Обобщенные операторы и мнемофункции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

•6 ОА

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -

3 ИЮН 1395

УДК 517.9

ГУЛЕЦКАЯ ОЛЬГА ИСААКОВНА ОБОБЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ц МНЕМОФУНКЦИИ

01.01.01 -математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск; 1996

Работа выполнена ha.кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Радыно Я.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лопушанский О.В.

кандидат физико-математических наук, доцент Вувуникян D.U.

Оппонирующая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится " 27 " июня 1995г. в 10 часов на заседании Совета К 056.03.05 в Белорусском государственном университете (220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4, Белгосуниверситет, главный корпус, к. 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета

Автореферат разослан "26" мая 1995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

П.Н.Князев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми диссертации. 13 различных областях математики и физики широко используются и операторные метода, которые основаны на применении функционального, или операторного, исчисления. Термин "операторное исчисление" обычно употребляется в следующем смысле: каждый метод вычисления оператора ?'(/) по голоморфной функции / и линейному оператору Т, который является гомоморфизмом, называется операторным, или функциональным, исчиолэтга-ем. Построение функционального в™«ом.™^ -,-п ^^^¿¿¿л ашыжп,

содзргсцои'о обиОшмннмн лункц^н, является ва^аюй задачей теории операторов.

Операторные метода, используемые в различных областях современной математики и физики, основываются на функциональном исчислении линейных операторов. В ряде случаев существует хорошо разработанная теория, которая позволяет задавать функции определенных классов от линейных операторов. Например, в случае, когда оператор А действует в конечномерном пространстве X размерности т, мы можем определить ф(Л) для любой функции (р, принадлежащей классу С"'. Классическое функциональное исчисление Риссо-Данфорда для заданного ограниченного оператора А, действующего в банаховом пространстве X, каждой голоморфной в окрестности спектра оператора А функции / (которая и называется символом) ставит в соответствие ограниченный оператор по формуле:

где Е(\;А) - резольвента оператора А в точке X. Это функциональное исчисление является основой спектральной теории. Одн&ко множество символов данного операторного исчисления состоит только из голоморфных в окрестности спектра оператора А функций и продолжение его на более широкий класс символов связано с определенными трудностями.

Для построения более общей спектральной теории, включающей спектральную теорию несамосопряженных операторов, были введены понятия спектрального подпространства и спектрального оператора. Спектральные операторы характеризуются тем, что функциональное

исчисление от них определено'для множества символов, состоящего из функций, дифференцируемых на спектре оператора.

Для операторов, характеризуемых достаточно медленным ростом резольвенты при подходе к спектру, построены различные исчисления, символы которых ярчяются бесконечно дифференцируемыми неква-бианалитическими функциями, принадлежащими классам Карлемана. "

Однако для многих задач квантовой механики и квантовой теории поля такого множества символов оказывается недостаточно. Для решения этих- задач необходимо продолжить функциональное исчисление линейных операторов на алгебру символов, содержащую обобщенные функции. Важность такого рода проблем привела к разработке, различных методов задания обобщенных функций от линейных операторов. Например, в работах В.П.Маслова для достаточно широкого класса операторов была построена алгебра символов, содержащая б-функцию Дирака. Новый вариант операторного исчисления, множество символов которого содержит обобщенные функции, был предложен Я.В.Радано в работах.

Однако в рамках классической теории распределений задача продолжения множества символов до алгебры, содержащей обобщенные функции Шварца,, оказывается неразрешимой, поскольку при ее решении ш сталкиваемся с проблемой умножения обобщенных функций. В рамках классической теории распределений невозможно ввести ассоциативное умножение обобщенных функций. В связи с этим возникли новые теории обобщенных функций. "Общий подход к построению алгебр новых объектов был предложен А.Б.Антоневичем и Я.В.Радыно.Алгебрь мнемофункций определяются как множества классов эквивалентности последовательностей гладких функций (в частности, по алгебре S(r; строится пространство обобщенных элементов »(5(к))). Задание обобщенной функции от оператора в виде класса эквивалентности последовательности ограниченных операторов дает решение задачи < продолжении множестве символов на пространство распределений. Новый подход к обобщенным функциям как к классам эквивалентност) последовательностей гладких функций позволяет свести задачу умножения распределений к умножению бесконечно диф]вренцируешх функ ций. Новые теории Коломбо и Егорова, а также метод, предложении; Антоновичем и Радано, основываются именно на этом подходе. По скольку для достаточно широкого класса операторов построено функ

циональное исчисление, множество символов которого содержит гладкие функции из пространства 5(к), естественно попытаться представить значение обобщенной функции от оператора А как нвкоторЦ класс эквивалентности последовательности ограниченных операторов полученных применением к А гладких функций (если значение <р(Л определено, по крайней мере, для всех ц> * 5(в?)). Однако, поскольку последовгательность линейных ограниченных операторов не всегда можно отождествить с классическим линейным отображением, действующим в нормированном пгостранглпо. нйпПттпшг» -cmcnm™ ~ пко ноъоы множество, которое со.дерхято су з пселедовариль-

ности вида (<рп(Л)), где Л - линейный оператор из X в К. ц>п - некоторые гладкие функции. Тагам пространством и является алгебра обобщенных операторов, построенная в данной диссертационной работе.

Связь работы _с научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научно-исследовательской работа Белгосуниверситета по теме "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" гос. per. О!910055396).

Цель и задачи работы. Настоящая диссертация посвящена построению .алгебры обобщенных операторов, свойстез которой схожи со свойствами множества линейных ограниченных операторов, действующих в нормированном пространстве, и продолжению функционального исчисления линейных операторов на множество символов, содержащее классические распределения Шварца.

Научная новизна полученных результатов заключается в следу»-

щем:

- построена алгебра обобщенных операторов, включающая как ограниченные, так и неограниченные линейные операторы;

- исследованы свойства алгебры обобщенных операторов;

- доказан принцип равномерной ограниченности для множества обобщенных операторов;

- построено функциональное исчисление, множество символов которого содержит все обобщенные функции.

Г

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод построения и свойства алгебры обобщенных операторов.

2. Принцип равномерной ограниченности для обобщенных операторов.

3. Функциональное исчисление операторов для множества символов, содержащего обобщенные функции.

4. Теоремы о непустоте спектра и об открытости резольвентного множества обобщенного оператора.

Практическая значимость работы. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты в дальнейшем могут быть применены в теории линейных операторов, а также использованы для составления новых специальных курсов по функциональному анализу. .

Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации результаты получены лично соискателем и проанализированы с научным руководителем. В работе [7], выполненой совместно с Н.Я.Радыно, автором настоящей диссертационной работы были доказаны результаты и рассмотрены примеры, связанные непосредственно с алгеброй обобщенных операторов. Цель и задачи статьи [8] были поставлены научным руководителем Я.В.Радыно и'разработаны соискателем.

Апробация и опубликованность результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции математиков Беларуси (г.Гродно, 1992), международной конференции по информатике и вычислительной технике (г.Минск, 1994), на научном семинаре кафедры функционального анализа БГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Я.В.Радыно. Основные результаты опубликованы в работах [1-8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и выводов. Общий объем диссертации составляет 100 страниц, список использованных источников содержит 85 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана общая оценка проблематики теории линейных операторов в связи с применением операторных методов, в различных областях современной науки.

В общей характеристике работы обоснована актуальность темы,

ее связь с новыми теориями обобщенных, функций, кратко изложены основные результаты диссертации, их отлитчие от полученных ранее, приводится структура диссертации.

В начале первой главы изложены основные моменты новых теорий обобщенных функций Ж.-Ф.Коломбо, Ю.В.Егорова, общего подхтода к построению алгебр обобщенных элементов, предложенного А.Б.Антоновичем и Я.В.Радыно, на котором основывается и метод задания пространства обобщенных операторов. Центральным моментом первой гла-

ГЛ1 аопойфпа лтто по птГ1|а йпгадЛтм! лЛг.ЛшдиЩ!* лпотштпт^» т* оилоииа

'" ' ^ ......... ^ ^ .. ...

ИЗ НОЙ СООТЕОТСТБУтсполот*.

Для определения пространства обобщенных операторов вводится понятие обобщенного комплексного числа, которое задается по аналог™ с мнемофункциями. Далее по произвольной алгебре линейных ограниченных операторов, действующих в нормированном пространстве X, строится алгебра обобщенных операторов. Для этого на множестве С(^) всех последовательностей, составленных из элементов алгебры ■х>, определим два подмнокества:

й (.«) = {(А ) е э т * г, э с > 0, такие, что яА и < сп"

М Г) »•>

для почти всех /I е N } к

■"(*>) = '{(Ап) е См (.*.): V и е г, э с > О, такое, что Мп« £ сп~т

для почти всех п <= и

В разделе 1.2 доказано, что множество £„(■"*) является подалгеброй алгебры С (.«О (над кольцом с"™), а л (-■»') - идеалом в См (••»). Пространство обобщенных операторов определяется как .фактор-алгебра = /ж элементы этого пространства называются обобщенными операторами и обозначаются: А=[(Аг)] «?

Исходное множество операторов вкладывается в алгебру (-•<')• К тому же если для неограниченного оператора А найдется сильно сходящаяся к нему последовательность Мп) ограниченных операторов Ап из алгебры растущая не быстрее некоторой степени п, то опера-

л»

тору А ставится в соответствие -обобщенный оператор А = [(Л^)] « При этом одному неограниченному оператору может соответствовать множество обобщенных операторов из алгебры ¡?(->*).

Для интерпретации обобщенных операторов как отображений вводится понятие обобщенного нормированного пространства, которое строится с помощью той же конструкции, что и алгебры мнемофунк-ций, обобщенных комплексных чисел и обобщенных операторов, и обо-

значается Хш (если оно получено из нормированного пространства X). Тогда областью определения и областью значений всякого обобщенного оператора А е является пространство Хл.

Важную роль при задании топологии в обобщенных пространствах играет определение положительных и неотрицательных обобщенных действительных чисел. Положительным назван такой элемент к е с для которого найдется представитель (\п) <= X, состоящий из положительных чисел (К^О), и при этом число \ обратимо в Неотрицательным называется такое число Я. е что для некоторого его представителя йп) « X все элементы \ неотрицательны. Неравенство к < ц означает, что обобщенное число (X - ц) является положи-

«V «V N «Ч

тельным, а неравенство И |1 означает, что (А. - р.) - неотрицательное число.

Так как исходное пространство является нормированным, определение топологии на множестве обобщенных операторов задается с помощью некоторого аналога нормы в классическом векторном пространстве, Сначала вводится обобщение понятия модуля комплексного числа: каадому обобщенному числу \ = Г ] е сж ставится в соответствие неотрицательное обобщенное число [(I Л. I)], которое обозначается С помощью этого отображения, названного »-модулем, определяется и открытый шар на множестве Открытым шаром В(Х,е) с центром в точке X и положительного радиуса е назы-

г/ «V л (у

вается множество таких чисел % « <п„, для которых - А.1, < е. Далее по аналогии с классическим "случаем определяется система открытых множеств: множество М, с с,, называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторый шар положительного радиуса с центром в этой точке.

Так же, как' в кольце обобщенных комплексных чисел сш вводится понятие »-модуля, в пространстве обобщенных операторов определяется отображение ».»„: $(■*?) - называемое »-нормой, по следующему правилу:

«2«. - [(»Л »)] из к» для каждого А = [ (А )] е »(л).

* Г» * Г»

Определения открытого шара и открытого множества в пространстве обобщенных операторов совершенно аналогичны соответствующим определениям в кольце <с„. Введенная таким образом система открытых множеств образует топологию на алгебре обобщенных операторов.

Надо заметить, что при задании топологий в пространствах

и существенную роль играет определение положительного обоб-ценного числа. Именно благодаря тому, что всякое положительное число Я, <= обратимо в алгебре с,, в с^ и в S(-«0 является верным результат об открытости пересечения конечного числа открытых множеств.

• v>

Заданная с помощью системы открытых шаров -типология сохраняет основные топологические свойства пространства линейных ограниченных операторов, для нее справедливы следующие результаты:

Творена 1.2. Гип&си&л «5 ¿KCZCZr.5? •»«»-

тедой сткрших шаров, отделила.

Теорема 1.3. Всякий открыжй шар 3(0,р) на $(•>*) является бы-пуклил хнохествол.

Теорема 1.4. Алгебраическая структура пространства У (.«*) над колъцол с, согласована с топологией на

Далее определяется множество обобщенных операторов, действующих из Х4 в Y^, - x^(X,Y) (как частный случай произвольного обобщенного пространства). Для него является справедливым результат, имеющий место для классических линейных операторов:

Теорема 1.6. Если X ~ нормированное пространство, Y - банахово, то лножество обобщенных операторов £ t(X,Y) является пск'ныл в топологии, заданной с полощыо *-норжи.

Алгебра обобщенных операторов определена таким образом, что з s (-■»') вкладываются неограниченные операторы и при этом множество зсех обобщенных операторов обладает многими свойствами пространства линейных непрерывных отображений. В частности, исследование :войств обобщенных операторов показывает, что всякий обобщенный »ператор А из алгебры $(■*) является ограниченным (в обобщенном :мысле, то есть существует обобщенное число с, такое, что М»ш i ) и равномерно непрерывным на всем пространстве Х+, которое яв-яется его областью определения.' Таким образом, к алгебре обоб-енных операторов может быть применен термин "алгебра линейных ©прерывных обобщенных операторов". ,

Кроме того, в разделе' 1.6 доказан аналог теоремы Банаха-гейнгауза для алгебры »{.«О.

Теорема 1.8 (принцип равномерной ограниченности,). Если X ба-тхово пространство, Y - нормированное, а - некоторое подлно-?ство лножества обобщенных операторов ±\(X,Y), такое, что для

*v «v

каждого i е 1 найдется положительное обобщенное число с , для

* rv rv rv X

которого выполнено неравенство «Ar« ж < сх для любого А е M то лнохество ограничено, то есть существует такое С « к^, С > О, чио для всех А ^ и^ Верна оценка: M» ^ < С.

Во второй главе диссертации построено функциональное исчисление линейных операторов, множество символов которого состоит из мнемофункций.

Раздел 2.1 посвящен определению обобщенной функции от самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н. Рассматривается алгебра состоящая из линейных нецрерыв-ных операторов вида В ц>(А), где ф - измеримая ограниченная функция. По алгебре м строится множество обобщенных операторов, которое обозначается $(А).

Обобщенной функцией от самосопряженного оператора А называется класс эквивалентности ф(Л) последовательности (фп(Л) ), если Ф » Кфп)1 - некоторая мнемофункция из пространства s (S(R) ). Множество всех таких классов эквивалентности обозначено &(А).

В разделе 2.1 доказано, что всякая обобщенная функция от самосопряженного оператора А является обобщенным оператором, при этом множество $(Л) является подалгеброй алгебры' У(А). При этом •справедлива следующая

• Теорема 2.2. Гололорфизл Г: S(ю) » ф - <р(А) <s продолжается

л/ t

до гололорфиала Г: s(S(k)) S (.А).

Раздал 2.2 является обобщением результатов, полученных в разделе 2.1, на случай, когда оператор А не является самосопряженным. В этом случае на А накладываются дополнительные условия для того, чтобы можно было определить значение ф(Л) для произвольной функции ф из пространства S (в?), а для последовательности (фп); задащ&й некоторую мнемофунхцию ф е s(S(œ>), заведомо было выполнено условие: (фп(А)) « Также в разделе 2.2 рассмат-

риваются примеры вычисления мнемофункций от операторов в банаховых пространствах.

Третья глава посвящена изучению спектральных свойств обобщенных операторов. Доказано, что обобщенный оператор А обратим i алгебре-S (j*), если найдется такой его представитель ^ А, чтс для всех операторов Ап существуют ограниченные обратные A'1 i (А"1 ) « В силу важности вопросов об обратимости линейныз

операторов определение алгебры ${■*) введено таким образом, что и в задачах, связанных с этими вопросами, сохраняется соответствие между непрерывными линейными отображениями и обобщенными операторами. Для элементов множества являются справедливыми результаты, аналогичные классическим:

Теорема 3.1. Если X - банахово пространство, А е ;<;(■*>) - обобщенный оператор из Х% 6 Х%, такой, что и.4»Л < 1, то оператор Т= I ~ А обратил в $(■**).

Теорема 3.2. Пусть - лтипгп*'> а - о«'-

оиобщ*нннн оперпшур. Тог?а :~срсг.йр 3, уйсолшдорхои^хй условию: «А - Вя, < обратил б '$(.«*).

Для обобщенного оператора вводится естественное определение регулярной точки и спектрального значения оператора А. Весьма важным в спектральной теории обобщенных операторов является следующий результат:

Теорема 3.3. Спектр произвольного обобщенного оператора А является непуспсыл подлножествол лнахества обобщенных комплексных чисел

Эта теорема обобщает результат о непустоте спектра линейного непрерывного оператора в нормированном пространстве, который, вообще говоря, не является верным для произвольного линейного ото-., бражения. Однако утверждение теоремы 3.3 справедливо только ъ кольце обобщенных комплексных чисел и не выполняется в поле с. На элементы алгебры '$(■*) обобщается также и результат об открытости резольвентного множества, который является важным свойством линейных операторов в нормированных пространствах [32, 67].

В двух последних разделах изучается зависимость между спектрами линейного оператора А, действующего в нормированном прост-

«V

ранстве X, и обобщенного оператора А, построенного по последовательности (Лп), которая сходится к оператору А. Если операторы

(Ап) (п «= «) и А являются элементами исходной алгебры и последовательность (Ап) сходится по норме к оператору А, то для обобщенного оператора А = [[А )] е '${-■*) выполняются еле душив включе-

Л/ Т> о/

ния: р(Л) с р(А)г>с и оМ) => о{А)пс. Более детальное изучение спектральных свойств линейного оператора А к обобщенного оператора А дает возможность установить следующий результат:

Теорема 3.6. Спеюпр о(А) оператора А содержит множество та-

ких колплекстх чисел,. которые являются пределами последовательностей, представляющих спектральные значения обобщенного оператора А, то есть а {А) > { А. е с, для-которых найдется спектральное

* (V Л/ /V

значение к оператора А, такое, что 'К = и = Ь )•

. Однако оказывается, что в некоторых ситуациях включение в условии теоремы 3.6 можно заменить равенством, то есть спектр оператора А полностью огшсывается множеством комплексных чисел Д., которые являются пределами последовательностей, представляющих спектральные значения обобщенного оператора А. В частности, такой резул! ат справедлив для произвольного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве н.

Если же оператор А является инфинитезимальным производящим равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со), то ддя последовательности (4п), где Ап = п2Я{п;А) - п1, сильно сходящейся к А, справедливо обратное включение.

ВЫВОДЫ

1. Построена алгебра обобщенных операторов $(■*), которая об-"лада'ет основными свойствами множества линейных непрерывных операторов и в которую вкладываются неограниченные операторы.

2. Определена локально-выпуклая отделимая топология на §(•>*), в которой непрерывны алгебраические операции. Доказан принциг равномерной ограниченности для множества обобщенных операторов.

3. Построено функциональное исчисление линейных операторов, множество символов которого состоит из мнемофункций.

• 4. Доказаны результаты о непустоте спектра и об открытост] резольвентного множества для произвольного обобщенного оператора

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Гулецкая О .И. Обобщенные функции от матриц// Конференци математиков Беларуси. Тез. докл., ч. 2. - Гродно, 1992. - С. 87.

2. Гулецкая О.И. Обобщенные функции от' самосопряженного операт ра// Тез1 М1жнародно1 математ1чно! конф!ренци1, пр!свячоно1 нам*

экадйм!ка М.П.Кравчука. - Киев - Луцк. 1992. - С. 59.

3. Гулецкая О.И. О спектре обобщенного оператора// Понтрягинские чтения-ГУ. Тез. докл. - Воронеж, 1993. - С. 60.

4. Гулецкая О.И. Об одном обобщении теоремы Банаха-Штейнгауэа// Проблемы математики и информатики. Тез. докл. ко"ф, ч.1. - Гомель, 1993. - С. 139.

5. Гулецкая О.И. О некоторых свойствах обобщенных операторов// Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обисц«ч«ш1о. Захдрззлв :.:згг"суларсггст^т^т

ческой конференции творческой молодежи - Минск, 1994. - С. 253.

6. Гулецкая О.И. О функциональном исчислении, обобщенных операторов// Редакция журнала "Вестник Белгосуниверситета. Сер. I: физ., мат., мех." - Минск, 1995. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.01.95,

» 217В.95.

7. Гулецкая О.И., Радыно Н.Я. К общей теории банаховых модулей// Докл. РАН (в печати).

8. Гулецкая О.И., Радыно Я.Е. К теории обобщенных функций от операторов// Ввсцг АН Беларус!. - 1995, № 2.

РВЗКМЕ

Гулецкая Ольга Исааковна Обобщенные операторы и ынеыофуикции

Ключевые слова: алгебра обобщенных операторов, мнемофункция, функциональное исчисление, принцип равномерной ограниченности, обобщенный спектр, резольвентное множество.

С помощью общего метода построения алгебр обобщенных элементов определена алгебра обобщенных операторов, которая обладает * свойствами пространства линейных.ограниченных операторов и содержит некоторые неограниченные операторы. Построено функциональное исчисление оператороь, множество символов которого содержит классические распределения Шварца. Доказаны принцип равномерной ограниченности и теоремы о непустоте спектра и об открытости резольвентного множества всякого обобщенного оператора. Изучена зависимость между спектрами линейного оператора, действующего в нормированном пространстве, и соответствующего ему обобщенного оператора, заданного в обобщенном нормированном пространстве.

SUMMARY

Guletskaya Olga Isaakovna Generalized operators and mnernofunctions Key worde: algebra of generalized operators, mnemofunotion, functional oaloulua, principle of uniform boundednees, generalized spectrum, resolvent set.

By means of general method o* construction of algebra of ge-nerali id elements the algebra of generalized operators whioh po-sesses properties of spaoe of linear bounded operators and oonta-ins воте unbounded operators ie defined. The funotional oaloulue, the symbol's set of that oontains olaaaio Sohwartz's distributions, is oonstruoted., The prinoiple of uniform boundednees and theorems about unemptiness of spectrum and openess of the resolvent set of any generalized operator are proved. The dependence between spectrum of the linear operator defined in the normed spaoe and generalized operator given in generalized normed spaoe is investigated.

РЭЗЮМЕ

Гулецкая Вольга юакауна Абагульненыя аператары i мнемафункцы!. Ключавыя слова: алгебра абагульненых аператарау, мнёмафункцыя, Функцнянальнав зл!чэнне, принцип раунамернай абмежаванасц1, аба-гульнены спектр, рэзальвентнае мноства.

3 дапамогай агульнага метада будавання алгебр абагульненых элементау азначана алгебра абагульненых аператарау, якая валодае уласЩвасцяМ 'Прасторы л!нейных абмежаваных аператарау; змяшчае некаторыя неабмежаваныя аператары. Пабудавана функцыянальнае зл1чэннв аператарау, мноства с1мвалау якога змяшчае клас1чныя разме;каваша Шварца. Даказаны прынцып раунамернай абмежаванасц1 i тэарэмы аб непустаце спектра i адкрытатЦ рэзальвентнага мноства $сякага абагульненага аператара. Вывучана залежнасць пам1ж спектра^ л!нейнага аператара, дзеючага у нарм1раванай прасторы, i адпаведнага яму абагульненага аператара, зададзенага у абагуль-ненай нарм1раванай прасторы.