Устойчивость по Ляпунову операторов в гильбертовом пространстве и задачи подобия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТ;й£И РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗЩАЧИ ПОДОБИЯ

01.01.03 - штематячеокая фяэяка

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэикв-математических наук

' Санкт-Петербург

На правах рукописи

УДК 517.948

ФАДДЕЕВ Михаил Михайлович

19 9 2

Работа выполнена на кадедре *:атсматдсческой физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор КД.Б0К0 С.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научн. сотр. ПШИ РАН СКРИГАНОЗ Ы.М.

}• чщадаг физико-математических нау • доцокт Си^еропольского государств ' ного университета ТИХОНОВ A.C.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

авиационного прдборостроения

Защита диссертации состоятся 19Ш

в 45 ч. 30 мин, га заседании специализированного совет: К.063.57.17 во присуждению ученой отелена канцвдата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государств ином ушиерсятето во адресу; 199034, Санкт-Петербург, Университет екая наб., д. 7/9.

С диссертацией монно ознакомиться в научной библиотек»! Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " ЯЯ " ЭмА-о^Л^_1Р93 г,

Ученый секретарь специализированного совета

МАШ'ИА С

ОБЩАЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Актуальность теми.. Исследование устойчивости по Ляпунову «авненоя Шредингера г = Lu(t} с песакосопряаенпш

i dv

гераторо?4 L приводят цао к эквивалентной задаче о равно-)рной по t ограниченности операторной экспоненты £Xp(iLt) -, тем сайда, к задаче о подобал спарятвра самосопряженному. . згда это подобие выполняется, ми мокеы строить спектральное 13Лоаенк! оператора L - его спектральные проекторы будут граняченныш ( вообще говоря, неортогональншя ) операторами, акке мы имеем возможность отроить функциональное исчисление ператора U и решать исходное нестационарное уравнение, ио- . ользуя операторную экспоненту. Тем самым, актуален вопрос о ормуларовке условий, которые были бы необходимыми и достаточная длл устойчивости оператора L . Такие условия известии терминах резольвенты оператора (1-3), характеристической |ункцин оператора (3-5). С точка зрения математической физи-:и наибольший интерес вызывают критерии устойчивости конкретных операторов - к примеру, операторов модели Фредрихса, пред-¡тавляюпих собой возмущения операторов умноненил на независи-iyD переменную а возникающих при записи оператора Шредянгега i импульс ном представлении, или дифференциальных операторов, г!звестен. например, критерий устойчивости оператора Шредингера на полуоси с бнотроубыванцш комплексным потенциалом, • который заключается в вещественности спектра этого оиератора (что является необходимым условием устойчивости) и в отсутствии у оператора спектральных особенностей (см. (б)).

Цель работы. Работа посвящена исследовании вопросов устойчивости, формулированию, критериев, подобия операторов в терминах, удобных для использования. В частности, для операторов модели Фрвдрихса оказывается возможш/м указать критерий юс подобия самосопряженном операторам s терминах возмуиеная све-v ' ратора. На основании получении: условий ыокно анализировать и другие модели'операторов — оператор Шредингера.с сепарабз-льным потенциалом, оператор Шредингера с вещэстпоннш потек-"цаалом и комплексным многоточечным граничит условием. Р. стш-за с извегтнгл'.а условиями устойчивости' ссчрагпров в т»рг.гяах

■¿л харап ерастическга: метрра-^уаккай ясслгдует-я вопрос о рс л»г он редел иг елей ооследиах в-задачах подобий'. Работа содержи такие ; юсмо!ранее задачи о подобия оператора изометрическом; в формулирование.кригеряев подобая оператора самосопряженном; в терминах ¡^ункцаснальной модели оператора.

Научная ной и зга. В диссертации получены следующие новые результаты: •

1. Приведены услозия подобия операторов изометрическим в терминах а калит аческах семейств собственных функций сопряженного оператора. Отдельно-необходимые а отдельно-доотаточные условия получены в терминах оценок резольвенты исследуемого оператора. -Приведена пр^-е н, подтверндапцив точность получения результатов. ;

2. Для операторов модели Фрадриса с возмущением конечного ранга получены условий их устойчивости в терминах возмущения оператора. Приведена схема рассмотрения вопросов устойчивости операторов Шредингера с комплексным сепарабельныы поте)

. нмалом и с вещественным потенциалом и комплексным многоточечным граничным условием. Отдельно рассмотрен случай оператора .знаменатель резольвенты которых тогуестввнно равен I,

. 3. Получены условия устойчивости операторов в терминах функциональных моделей. На это!.; пути построены новые доказательства известных теорем С.-Кадя - Фояша и Сахновича о подобии (3,5 ). . .

4. Исследована роль определителя характеристической ¿унк-шд оператора в задачах устойчивости л получены необходимые условия подобия операторов самосопряженным с участием упомянутого определителя. -•

;.'аучнчя ц практическая ценность. Работа носат теоротрт!ес-' кай. характер. Полученные в ней результаты применим« для анализа широкого класса задач устойчивости и подобия операторов. Результата г.огут представлять интерес для специалистов'в области теоретической и ыатематаческой уазики» ыехаал'и, теории операторов и, математического анализа.

. ' АнЕобагдя работы. Результаты дпосертатш докдадквались на семинаре кафедры.катвматяческоЯ фнзака ¿азэтепкого факультета СЯбУ, На У1 Всесоюзной кои&ереншш "Комплексный анализ «

дифференциальные уравнения" ( Черноголовке, ISb? и< ХУ1 Всесоюзной школе по теории операторов з функциональных пространствах ( Нивний Новгород, 1691 h ' ' ;

Публикации. По тьме диссертации опубликовано б научны; работ ( У-Io ). ■' ■ ' .

Структура а сбг-еы диасвртациа, Диссертация с оде pair: 125 страниц машинописного- текста а состшге из введения, чзтщ.&х глав, разбитых на парагрч^ы и списка л зт ара тури, оодаргймзго ' 44 наименования.

СОДЕРЖА' S РАБОТЫ

Во введении к диссертации дается обзор предыдущих результатов по теме работы, содзржагся постановка задач исследования i приводятся точные формулировки основных результатов работы.

Первая глава работы посвящена рассмотрению задачи о подо-)ии оператора произвольной изометряи. Основным результатом гервого параграфа служит критерий под«Зая оператора азсматриа, , обобщающий на случай рассматриваемой задачи критерий подобия таратора унитарному (1,2).

Тео ,'ма Для подобая оператора Т изомзтрическому

¡еобходиыо и достаточно, чтобы б'(Т)ср ц били выполнены ледуюлио ооднка:

г* .л . .

HT-re'Vull^e * СЫг , О-«,'

г>4 о :. •

Й. Сг'1 "ст " ге'3)'u ^* с 11 u|1* > с ? 0

Второй параграф первой главы еолерап рассмотрение -н о подобии изометрна снимающего (ÏTll«H) оператора и иосилен обобщению на эту задачу теоремы С.-Надя-Зеяша (3). Одпэкс, терминах локальных "резольвентных сценок" нельзя с^ормулиао-1ть критеряй подобия сжатия 'яземетряи, как с я? дув» из йтов, доказанных в даннел; параграфе. •Первый на них'сгноснтоы' оператором с единячяил дв^ктнкм чяодом р. сщтои «дмвичнсч луге 3D . Пусть Tu^Q.-.ftUoïHi у_ . •./•.:'. ' Iââlî5.'li.i?ÂiÎ' Оияякп .■ v

с>о ( I )

являетен достаточной для подобия изометрическому оператору сжатия Т о единичным дефектним числом в открытом круге ID .

Этот результат обобщается те роемой 1.2.2 на случай задача о подобии нземетраи сжатия Т , для которого dtV^Ker Т** = п<с» » « Вместе с tbi: оценка (i) не

является необходимой для рассматриваемого подобия. Как следует из приводимого нике утверждения, в терминах локальной опенки |j(T-Ä)utl кэгь:л сформулировать критерий подобия скатия изометриа,

Те опека 1.2.3. Пусть С А[, &[о, l[. Тогда существует сжатие Т в пространстве Н такое, что

Г. dim Кег Тг i .

г. Кт-*)ии*» сги-1М)г№йг +

3. Т не может быть подобным никакому изометрическому оператору.-

Доказательство теоремы 1.2.3. проводится прямым построением. Ее результат показывает, что дтя формулировка критерия рассматриваемого вадобая требуется привлечь какую-либо дополнительную информацию об операторе Т . В третьем параграфе искомый критерий отроится дяя ограниченного ( не обязатель-во сжимающего ) оператора Т с использованием собственных функвдй оператора Т* . Если ¿iтКсг(Тг-Я)*1 при то mozho ввести функцию В(Х) со значениями в пространстве Н ' такую, что V Cü№),u)eN VueH

. ( в^рез N мы обозначаем класс Неваилакны аналитик jCkäx в круге D. пункций ограниченной характеристики!через Hz. .класс Харда аналитических в круге Р функций, для которых TdSl/Cr е'еЛ4бС ,г <А (7)). Условия, :.аклацнваемне наш на функции BW , фиксирует ее с точностью до произвольного скалярного мноадаеяя класса- N , поэтому »тот последний а' присутствует $ формулировке следуодих результатов.

Теорема I.3.I. Пусть FeV5txT. Следупцие условия .эквивалентны:

I.. Оператор Т*1р ' подобен оператору Ь* (где S -оператор односюронкего сдвига в пространстве .¿¿(Ю )<

2. Найдется функция класса такая» что функмя fb(X) голоморфна в D и система векторов

Зразует базис Рисса пространства F .

3. Найдется (¿упквдл й№ класса N такая, что функция aW» ßiX) голоморфна в J) к от об раке на я / ; Н^. ., ействующее по иравалу (Хи)(.Х1 = fbt^p являвтчя гранячекнкм и ограниченно обрати»,¡мл.

В качестве пралоьсеняя теоремы 1.3.1. рассмотрена .задача подобии цзометриа оператора Т= S V в пространства

ш

де 3- оператор сдвига, S (•»'о,*'»,хгу-) = (0,хО1х,,..), ~V ~ иагональнцй оператор ¿паэС^ЛД,...) * ^ 1^1<*<> • Необходимым и достаточным условием подобия Т изометриа служит уо-овие maxi^U 4 , в чем ыозно убедиться на основании теоре-п, Следущая теорема 1.3.2 обобщает результат предыдущей на лучай- Кгг п 4 <*> . Две рассмотрен-

ие теоремы устанавливают критерий подобия части исследуемого пер^гора - - оператору сдвига. Когда оператор Т .

вляется ояатием, эти результаты можно уточнить.

£§ чсма 1.3.3. Сжатие Т подобно изометрическому опера-ору тогда и только тогда, когда

1. Найдется такое подпространство F , инвариантная тнооцтельно оператора Т* , причем КггF , что оператор r*lF подобен оператору, сопряженному к оператору сдвига крат-ости dimKerT^

2. IKT-ТО Uli >С (1-1'А1)1|иЦ, с>0;|Л|< t, и е Н & Р

В четвертом параграфе мы рассматриваем сжатия класса

3) с конечными дефектами неунитарнсотм d^rank (I-T'T) и d^-. использованием функциональной модели сжатий (3) мы можем казать более простой по форме критерия подобия сгатая у^аз-ш-ого класса изометрическому оператору ( оператору едвагл ).

Теорема Г.4.1. Для подобия сдатия Т клаоса С,0 с ко~ ечншля дефектами неуннташюстя d^, где d,f, = «JTT 1. , опе-атору одностороннего сдвига, кеобходтао а достаточно, чтобы ператор Т* обладал таким семейством собственно: иункштй ß(^) , для которого • •

ШХ)КХ(1-\Х\)У* , РФсЛ И (BlX),u)i_N VweH .

Вторая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости операторов модели Фрадрахса с возмущением конечного ранга :

(L xw(x) + 2. и< Hw (2)

кч ' ,

с использованием критерия устойчивости (1,2; в терминах интегральных резольвентных жевок. Резольвента (L-А)"1 имеет вид

((uv^'-gH- -1 Щ «а

где Мт = N'1 , Ык;(-Х) , о Т^Сх-^^МЩ^) • Через £>(\)

ма обозначим определитель матрица А/ , играющий роль знаменателя резольвенты оператора L . Так как в условиях подобия самосопряженному оператор L не монет иметь невещественного спектра, то функция не должка иметь невещественных

нулей. Справедлив и более сальный результат'

Теорема 2.I.I. В условиях подобая оператора L самосопряженному функция является внешней (7) функцией в полуплоскостях Зтй>О |С/т7\<0 .

Последний результат не запрещает функция <S иметь нули на верхнем или нижнем берегах вещественной оси. Однако такие нуля деланы определенным образом компенсироваться соответствующим поведением функций и . Следующие утвервдения показывают характер этой компенсации. ( № используем стандартное обозначение для преобразования Пуассона функции '•('PtyX&ty)* му/Я-и d* )•

—> I

Теорема 2.1.2. В условиях подобия оператора и оамосопряженному

sup мИи4и)«р.(лН(к+;о<ов Ч

t>o«e)-- v f *< тл 1 (4j

СлоС<о> -«• 4 '

Еще один результат "компенсационного" характера ин можем получить» наложив на функции 4V я дополнительные условия гладкости:

Теорема 2.I.о. Б случае зшолнения функциями ц?и а. ■ условий гладкости (5) условие

Z « (6)

Р'1'1

является необходимая для подобия оператора и самосопряженному.

Полеченная нама совокупность условий (З-б) является и достаточной для устойчтссты оператора L г

Теорема 2.1.4. В случае, когда функция (*) и удовлетворяют условиям (5), для подобия оператора L самосопряженному оператору не обход шло и достаточно, чтобы функция 5){ Л) была внешней в полуплоскости 3mA>0 , и

чтобы выполнялись условия {А) и <б).

Таким образом, наы удалось сформулировать критерий устойчивости операторов модели Фрздряхса в терминах возмуаепая модели - функций if к. и , а тагае г/лтрипы М W я знаменателя сЭ(А) резольвенты оператора L Полученные разуль-таты дают возможность аналнзнрогать устойчивость различных операторов, являющихся всзлущенаяыи конечного ранга самосопряженных» в частности, операдоров.Шр_дангера о сепарабельнда потенциалом, оператора Ерэддагера с многоточечным граничным условием:

Hu»-u*+i|u , u £ W^Ula«^«^) , а,« о, aw„*w

u'k<« - ^V» " с*и(а;>»ц(о)а°-

где вещественный потенциал п, предполагается-таним> что оператор о областью определения является самосопряженным.

Несколько иную форту имеют результаты- в случае,'когда знаменатель резольвенты оператора (_» равен I тождественно. Второй параграф, второй главы в освящен рассмотрэ плю этого случая. Отметимf что одним аз необходимых { а для диссапатив-ных операторов - и достаточный (I,3j) условий устойчивости оператора слуаит оценка

SUP i:WX\ 1\(1->>"'« (7)

поэтому представляет интерес вопрос о порядке роста резсль-

венты оператора в окрестности вещественной оса. Для операторов вида (Ьц)('х)= з пространстве

( ыеуа |У поает Сыть н сингулярной ) в случае' ^ а О ( что га; .'.тирует обращение знаменателя резод^вентц X) в I тождественно ) моаяо показать, что ¡| (¡.-к-!*.)'1 II = ©(¿"V при ', прачеи эту оценку нельзя улучать : какова Он

на была фуикшя Ь(£) • , монотонно стремящаяся к 0 при £~>о существует оператор 1* указанного вксе в^ца, для которого

£гЬ(2) ||(£>-1£)*1Н >0 , Такие операторы мн ко-

пен предьявить путем ирякого построения функций и Щг) .

Критерий устойчивости оператора

= эси(зс;.+ . <8)

б пространстве' (Я.) ( с мерой Лебега ) ми ыозем дать в терминах сингулярных интегральных операторов Т и Т* :

(9)

* К(Х>|(Р±иф)0с±!О)

(Здесь чарез Р± обозначены проекторн Рисса пространства Ь, (Я) ка классы Харди (сы.(1,7)Ж?: (&± и)( = = ±а/2пи I ), Так как разность опера-

торов ~Т+ и Т_ есть оператор умножены на пункцию /^/<7 , тождественно равную 0, то Т+ +■ Т_ =» О и Т#+ + Т,.'0 ( но . 1<И*)1 ( Р+иЗХх-м'О Ф (Р_ич90-|£; , £>0 |'.:оано

показать, что в условиях устойчивости оператора Ь операторы Т и Т* ограничены. Более полный результат доказы-" вается в случае, когда на (¿ункции ч> и ^ накладывается более сильнее, пепели = 0 » условие! заключающееся в тог,!, что минимальные замкнутые носители ууякцаа я у могут пересекаться разве лишь на множестве меру нуль.

Теорема 2.2.1. В случае гла($ирр^ О $чрр^)=0 условие ограниченности сингулярных интегральных операторов- Т ц Т^ является крл^риеы подобия оператора ( вида (8Л само-

сопряженному. • ' .

• В качестве простого следствия теоремг 2.2.1 вд монем от-метагь- тот факт, что оператор Ь ' ввда (8) заведомо будет

)ДоОен самосопряаеквду. когда носители ^ункцдй '-?(*) а а з н е о е я и , м есть ¿и . п

»ком случае операторы Т и Т> представляет собой онз-аторы Гальберта-йладта.

Аналогичный предыдущему результат мы можем получить и для декретных операторов модели Фрздрахса, то есть операторов в ростраг тве вида

■ , ¿пФЖ приЛ/У (¿о). ,

к - а .

Теорема 2.2.2. Критерием подобия оператор А ( веда ,10)) самосопряженному оператору с луз от условие ограшпяяпо-:ти в пространстве ¿г (М) оператора X , задаваемого матрицей . Хек* о(л)-< , ¿V* . ^гг-о .

Здесь мы такие мохем отметить, что в случае Ые.-^!? > О оператор X заведомо ограничен и оператор А устойчив, как и в случае непрерывкой подели.

Предает да рассмотрений третьей главы диссертация является исследование условий устойчивости операторов, которые включают в свои уориуларовку термины 4-УЯкцяональной модели операторов. Первый параграф с^дергит описание функциональной модели, ( построенной в (А) для недиссялатизнкх операторов ) "близкого к самосопряженному" оператора Ьу вада А + 1АУск/% , где А'А* .¿иЭ-Э'-У'^'Ъ %Е'~ЩЗ)

В качестве модельного пространства выбирается подпространство

К пространства Ж- (\ двухномповеатннх вектор- '

функций со значениям* в пространстве £ '. Норма в этом

пространства определяется правилом - ■

о1

где Б(Х) - характеристическая ( сгимавдая при З«^ ; функция диссшативного оператора 1> ~ А + •

$(х)=Т■■ (ш

Подпространство К. выделяется условна . $ + [к) =■

то есть ¡¿уикцлл я допускают аналитическое-про-

должение в верхние ( соответственно hstshbo ) полуплоскости. . известно (3f4), что дшзсщштявеый оператор L ( точное, его вполне несацосопряЕенкая часть ) унитарно эквивалентен геке-ра:ч)ру сотлающей полугруппы Рке^*и(х) , и € К

Мы j.iosKM выписать формулы для действия резольвенты функциональной модели 6 оператора L ив этом re представления записать а форлулы действия резольвенты недиссипатовиого оператора L3 . Последние формулы включают в себя, в частности, характеристическую ^ункцип оператора Lyi

* lUol(L*~W1d (12)

■ Во втором параграфе отмечено, что резольвентные оценки

S4p Uif°Jk /| ( L k-i£)"1u II3 * С full1 £>0(<o) —'

(13)

s*p uffjklKlf-k-Uf'ug* ¿СЛм/|2,и6н ¿>«(<0)

выполнение которых служит критерием устойчивости оператора (1,2) могут быть записаны в терминах функциональной модели оператора ■ L3 , если пробный вектор И сч тать принадлежа- ' «ним пространству & - области значений, оператора d , ( Ы »IЯ Хм L3 ]Vl ). Можно убедиться в том, что из выполне-'.ния условий (13) следует справедливость оценок

. «-о.

- «Ир I f ((1- e(kHOCt&*(k*k))u,u)£Jkj * сиыин1- • £*° Z (14)

sup i Т((0- 0'(k*itp,O(pii))u,u)£clki * c|w«|*

Условия (14) уае не будут достаточными для-устойчивости оператора ( за исключением случая £ - Н ) как следует из приводимого'в рассмаграааемси параграфе Ьримера. Отметим такяе, что подынтегральное выражение в (14) 6>3 * . . = - 9*50- • определяет характеристики абсолютно непрерывг ного спектра' оператора - . : *' :

В. третьем параграфе мы рассматриваем основные янтеграль-•■'

нне резольвентное оценка (13) в уу i ¡кцио паль ной модели оператора. Путем использования форлул для резольвенты модального оператора мы монет установить следующий результат:

Теоиена 3.5.1. Выполнение оценка

юа .

sup Iii J dk II Y L-j - k-ic)' ц К 4 Cltuu\ ueH эквивалентно выполнению неравенства ■

in i * С j[( ip|j*

( здесь"A'lctii^1^.-^., - дополнительные- ортопроекторн в пространстве £ ). Аналогичный ввд клеит ( с заменой ^V на

, б* на 0 , на ) а другие оценка в.

(13) - при £ >0 и для резольвенты оператора L* . Это позволяет нагл уорглулировать критерий устойчивости недксояпатив-ного оператора в терминах его функциональной модели. Путем использования последнего критерия в четвертом параграфе третьей главы строятся новые доказательства классических теорем С.~;1адя-Фояша я Сахнозича (3,5) о подобии оператора самосопряженному.

В четвертой главе ми фиксируем ^ни.кшие на той роли, которую в задачах подобия играет определитель характеристической ¿ункция оператора. Путем прямого вычисления характеристической t/ункцди, а такке используя формулу следов

di ^ (» т $Р ( ( Lf-г>"1 - ( L, - Л)'1)

ш конем убедиться в справедливости следующих результатов. 1ерный из них относится к операторам в произвольном, гильбертовом пространства.

Теорема 4.1. Необходимы* условием подобия оператора L , ■зкк. CUL ^ 1 . самосопряженному оператору с лудит ограни- , ■енность л отделеняють от нуля в полуплоскостях Зи»Я >'0 , УглЯ^о определителя характеристической ^унка^л'оператора

CUc 6 ¡¿Л 0JA>H С<со '

Стоит отметить, что для операторов допели <]>рздрихпа взда ,и)(х)*эсщ¿J + я) этот результат уне содержал-

я во второй главе, так как определитель характеристической

ункши таких операторов выражается через знаменатель резоль-. венты по правилу <1гЛО(Ъ)= <£>а;/о0/ А) . Ограничен-,

нссгь и отделенность от нуля последнего выражения в случае £02!^;-,;ная ранга I в иод ела оридрихса совпадает с утвервдени-еы (б; теоремы 2.1.3. Второй результат, приведенный в четвертой: главе, относится к операторам «одела Фрвдрихса в пространстве ¿-¿[а,ЬД с "чисто мшием" возмущением конечного ранга:

^ в С*[АЛ] , г>1/л , = о

Тсррема 4.2. Еусть оиератор Ь , введенный .правилом (15ь подобен невоэыущенному оператору умнохения на независима вере/ленную в пространстве [я, Ь] , причем оператор, осуществляющий подобие, самосопрязин и полоаителен. Тогда определитель характеристической^упкщи оператора ¿ ограничен . отделен от нуля в полуплоскостях У*лЛ>0 ,С|«Д<0 .

ЛИТЕРАТУРА

1. *11абоко С.Н. Об условиях подобия унитарным и самосопрякен-11Ш операторам.// Фу над. анализ я его прил. 1984. Т. 18, вып. I. С. 16-27.

2. Сзз*гггп 9 . ОрегаТогз ипПдгц ог .

.// Рас«'/Гс у .ИИП. ГС'°3. I/. 104, Л I. Р. 241-255.

3. Секе^альви-Надь Б., 4ояы Ч. Гармонически»! анализ операторов в гильбертовом пространстве. Ы., "¡¿ар". 1570.

4. Набоко С.Н. функциональная модель теории возмущений и ее . приложения к теории рассеяния.// Тр. 1ШН. 1580. Т. 142. С. 86-114.

5. Сахпович Д.А. Неунитарные операторы с абсолютно непрерывным спектром.// '¿'зв. АН СССР, сер. ттеи. ■ 1Я69. Т. 33, ,"6 I.

С.' 52-64.

6. НаЯыарх У.а. Линейные дш^йрешшльные-операторы. М., "Наука". 1669.' ' '

7. 'кусие и. Ггаеденде в'теорию пространств Н-.М.,"Пир". 1984.