Анализ неограниченных несамосопряженных операторов и их характеристических оператор-функций в оснащенных гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукошсп

ЦЕКАНОВСКИЙ Эдуард Рувимович УДК 517.984

АНАЛИЗ НЕОГРАНИЧЕННЫХ НЕСАГ.ЮСШШШНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ В

ОСНАЩЕННЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - штагатпчэскпЯ анализ

Автореферат

*

диссертация на сопскашю учэпоЗ сташяи доктора фазико-ютетатзчаскшс наук

Кнев-1988

/'ГШ | АКАЩМЙ НАУК УКРАШСКОЛ ССР • "ОРША1 ГРУДОВОП) КРАСНОГО ЗНАШШ ИНСТИТУТ МАТЕМЛТШСИ

ОТДвЛ

ссвэтщий

.•ГРУ

и

На правах рукописи

ЦЕКАНОВСКИЙ Эдуард Рувимович УДК 517.984

АНАЛИЗ НЕОГРАНИЗЕНШХ НЕСАМОСОПШНШНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ 3 ОСНАЩЕННЫХ ГИЛЬШРТОБЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - гатематичеютЯ анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физшю-тлатоглтическдх наук

К:мв-1988

Работа выполнена в Донецком государственном университете.

Официальные оппоненты: Академик АН УССР, доктор физико-

математических наук, профессор Берозанский lO.i'.l.

Доктор физико-математических наук, профессор Костшченко А.'Р.

Доктор физико-математических наук, профессор Куаюль A.B.

Ведущее предприятие: Ленинградское отделение ордена Ленина'и ордена Октябрьской революции Математического института ни. Ь.А.Стеклова.

Защита диссертации состоится ■■if - г.

в ,. Ч С часов на заседании специализированного совета Д.016.50.01 при-институте математики All УССР по адресу: 252601, Киев, 4, ГСП, ул.Репина 3.

С диссертацией мо;шо ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан ЯУЦь&Ц 19^ J года.

Ученый секретарь специализированного Совета

Лучка А.Ю.

0Е4ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная с известных работ М.В.Келдкша, значительное развитие полупи гармонический анализ ограниченных линейных операторов, "близких" как к самосопряженным так и к унитарным операторам. Суцествзшгуп роль при исследовании но-самосопряяепных операторов играет метод характеристических оператор-Функций (х.о.ф.). Характеристическая оператор-функция относится линейному оператору, либо более слотаому агрегату - операторному узлу, который является математической моделью эткрытой фиэическои системы. Впервые характеристическая опера-гор-фужция была введена (через мнимуп компоненту ограниченного оператора) и исследована М.С.Лившицем и с ее помощью им ке Зыли получены спектральные разложения (треугольные модели) для шрокого класса ограниченных несамосопряженных операторов. Тео-Л1Я характеристических оператор-фушщий и гармонную ста анализ юсамосопряжешшх операторов разрабатывались и исследовались в :аботах В.М.Адагляна, Д.З.Арова, Ю.ГЛ.Лрлинского, Т.Я.Азпзова, ¡.С.Бродского, В.П.Бродского, В.И.Васзгтана, Ю.П.Гинзбургсг '.ы.1убреева, И.Ц.Гохберга, Н.Данфорда, Л. До Бранна, В.А.Дер-■дча, В.К.Дубового, С.Дэвиса, В.А.Золотарова, В.Э.Кацполъсона, '.О.Кисилевского, М.Г.Крайна, Л.В.Ку-еля, М.С.Лившица, Ю.И.Лгь ича, В.11.Цацаева, М.М.Маламуда, С.Н.Набоко, Б.Надя, Н.КЛиколь-кого, В.П.Потапова, Б.С.Павлова, А.Г.Руткаса, Л.А.Са:шовича, ;.Фояиа, А.П.Филимонова, З.Хелтона, С.В.Хрущева, Ю.Л.Шмульяна, „ВЛтрауса, А.АЛнцевича и др.

Операторные узлы и связанные с нигли характеристические поратор-футащии играют ванную роль в теории рассеяния,теории лектричзских цепей, в общей теории линейных стационарных ди-амическдх систем (В.М.Адамян, Д.З.Аров, II .Лаке, Р.Фпллипс, .С.Лдвзиц, Б.С.Павлов, З.П.Потапов, А Л.Ефимов, А.Г.Руткас, •Д.Фадаеев и др.).

Вето установлено, что характеристическая оператор-функция граниченного оператора (либо ее модификация) является передающим отображением в общей теории линейных консервативных гационарпшс динамически: систем, матрицей прохождений в тоо-ш электрических цепей, матрицей рассеяния.

Вшсто о тан, если оператор является ноорраничешиы то даже определенна характеристической оператор-функции (х.о.Ф.) с помочь» которого могло изучать стационарные динамические системы практически отсутствовало. В связи с этим, уке довольно давно М.С.Лившицем и американским математиком В.Хелтоном ставилась задача определить и построить теорию х.о.ф. нэограни- ■ чоншхх несамосопряжзнных операторов (неограниченных операторных узлов) с помодао которой удалось бы решить важныо для при-локшшй и остававшиеся открытыми вопросы:

1) дать определение неограниченного операторного узла и ■ 1 ого характеристической функции, котороэ бшю бы физичным (с помощью которого мокно изучить стационарные динамические систе-ш);

2) описать классы оператор-функции, которые реалйзутотая

как характеристические оператор-функции неограничвшшх оператор-' них узлов и решить задачу восстановления стационарной линейной консервативной динамической системы по ее матрице прохоздодия (передаточному отображению);

3) решить задачу факторизации характеристических огаратор-функцнй неограниченных несамосонрякенных операторов на простейшие мнокитела, отвэчаащаэ инвариантным подфостранствам таких операторов, на которых индуцируются ограничашшэ операторы;

4) построить простые треугольные модели достаточно широкого класса неограниченных не само сопряженных операторов о помощи характеристикаской оператор-функции и ее факторизации на простойте множители.

Имеющиеся исследования но теории характеристических функций неограниченных операторов (А.В.Куиэль, Л,В.Штрауо и др.) оставляли откригнми указанные вопроси.

В квантовой теории поля возникают операторы о 5 -оораз-ными погоициалами, которые оказываются расширениями, с выход си в оснащенное пространство, плотно заданных эрмитовых операторов, действующих в гильбертовом пространстве (Ф.А.Бэрозин.Р.А.НЕшгоо, 1.Д.Фаддеев). Эти расширения не укладываются в ражи классической теории расширений Дв.Нейлона и всех известных оо модификаций (М.А.Найшрк, М.А.Красносэльскнй, А.В.Штраус и др.). Какая либо теория таких расширений (опиоашш, классификация)

полностью отсутствовала. Теория положительных самосоцряязнних расширений положительных эрмитовых операторов (без выхода из пространства) и ее. приложение развивались в работах К.'Зридрих-са, М.Стоупа, Ю.И.Бэрезанского, 1.1.Ш.Бирмана, М.Г.Крейна.Да.Ней-иана, Т.Андо и К.Нкшо. .М.Л.Горбачуха, А.Н.Кочубея, З.А.Мпхай-леца, Ф.С.Рофе-Бэкзтова, А.Л .Штрауса и др. Аккретивнке операторы играют ванную роль в теории полугруппы операторов и теории уравнений в гильбертовом пространстве (С.Г.Крейн, Р.Онллипс и пр.). Однако, также принципиальные вопросы как вопросы существования и ош:сания максимальных насамосопряженных аккретивнкх [ Ш -аккретивных) расшрений плотно заданного эрмитова опера-сора оставались открытыми. Оставались нерешенными задачи, на соторые обратил внимание Т.Като:

1) установить критерии существования у положительного плот-[О заданного эрмитова оператора, действующего в гильбертовом фостранстве, ТП - аккретивных и д -секториальных в смысле '.Като (в терминологии С.Г.Крекна - регулярно дпссяпатпвннх >асашрений;

2) дать полное описание ТП. - акгретлвных а 0 - сектори-¡льных расширений положительного эрмитова' опоратора.

Несмотря на имеющийся прогресс (А.Н.Кочубеи, В.А.ГЛихайлоц : др.) отсутствовало полное решение задачи описания для обыкно-онных дифферешдальных операторов (на полуоси, конечном отрзз-е) в терминах граничных условий всех 772- аккроткзных и ТП.— ккретивных и 0 -секториальных граничных задач, т.е. Граниных задач (дифференциальных операторов), которые пороэдаят сяя-авдуа полугруппу (полугруппу, голоморфно- продоляаецую как полу-руппу снатий в некоторый сектор комплексной плоскости).

Известно, что полный гармонический анализ неограниченных аиосопряяешшх операторов удается привести лишь в рамгсах тео-ш оснащенных пространств (Ю.М.Бэрезанский.И.М.Гелъфанд, .Г.Костюченко, Г.И.Кац и др.).Исследование многих вопросов тео-;и рассеяния, спектральной теории систем сямог зяряг.огшых опера-зров и дигМеренциально-операторных граничных задач такяе суцест-ншо опирается на технику оснащенных пространств (О.М.Березан-сий,13.И.Горбачук,М.Л.Горба^.ВЛ.Ко111:ланенко,Л.П.Нцкшпс,Ю.С.Са-»'¡ленко, В. Э .Лянпе, О .Г .Стороя и др.). Использование теория осна-!нных гильбертовых пространств оказалось существенным и для решил указанных выше вопросов.

Цель тааботи. I) Построение теории (¿«расширений (самосопряженных и несалюсопряаеннкх) линейных замкнутых эрмитовых опеоа-торов (описание, классификация, свойства).

2) Построение теории оснащенных операторных узлов и их характеристических оператор-функций (восстановление операторного узла по его х.о.ф., йакторизация х.о.й. па простейшие множители, теорема о постоянном ^ -унитарном множителе, приложения к ста-цаонагак.'зд динамическим системам).

3) Исследование аккретивнкх и секториальшлс расширений положительных эрмитовых операторов (описание, классификация, описание аккретквних п секторкальных граничных зацач для обыкновенных дифференциальных операторов, построение функциональных (эду-гольннх) моделей для широкого класса аккоетивных неограниченных насамосопрядашшх операторов).

Методика исследований. Использованы: X) метода общей теории линейных операторов в гильбертовых цространствах; 2)'техника оснащенных гильбертовых пространств; 3) методы классической тоории расширений эрмитовых операторов; 4) методы спектральной теории несамосопряженных операторов и теории ¡^ -норастягивающих матриц-функций; 5) методы классического комплексного анализа.

Научная новизну и практическая значимость. В настоящей работе развивается новая теория расширений эрмитовых операторов о выходом в оснащенное пространство - теория бирасширьний,которая содержит в себе (в переформулированном виде, в терминах абстрактных граничных условий) классическую теорию расширений Дк.Неймана плотно заданных эрмитовых операторов и теорию, развитую М.А.Красносельским не плотно заданных эрмитовых операторов.

Для бирасширений установлен аналог формул Дк.Неймана, о помощью которых дано полное описание и классификация таких расширений, устанавливается критерии их единственности, приводятся теоремы существования и единственности решений некоторых операторных уравнений, порожденных йирасширениями.

Для обыкновенных дифференциальных операторов (на подуоои, конечном отрезке) дано полное описание, так называемых, сильных самосопряженных бирасширений, а также■приведено описание корректных (несамосопряяенных) бирасширений.

В работе лсслвдугзтся такта самосопряженные блоэгаиренпя юлуограниченпого эржтоза оператора с сохранением гэа-

гя. При это;.; показано, что аналог теоремы К.^опдрнхса для само-¡опржюшшх бпраетлоенлй полуогоаклченпого оператора. мобав "озовя. места не имеет. Вместе о тем установлено существование 5<э счисленного множества самосошхтхепных биоосшпрений со сколь тодно близкой нижней гранью произвольного полуогоаначениого шзоатора. что является обобщенном известной теоремы Лк.Не:1-«:а-са. Кроме того, найден критерий суцествованая с&мосонояаэнных ¡прасшрешл". с сохранением ш'лнел гранн. Этот критерий йормули-|уется в терминах меткого (по К.Фрндопхсу) и мягкого (по [.Г .Крепну) раеюнре'шй (обычных) полуогоаниченного оператора.

В работе развивается теория характеристических опзратор-ункций оспаленных операторных узлов, решается обратная запахи еорш! характеристических оператор-йункций, состоящая в описа-пи класса - оператор-;7тункц;!й. которые реализуются как харак-ешстические опеоатоо-чяункции оснасешых операторных узлов, сновной оператор, которых является биоасшпреннзм. Описан класс паратор-Лункций. которые реализуются как х.о.ф. оснагешшх злоь. основной оператор которых есть акковтивное бирасшире-пе.

в работе устанавливается также теорема о постоянном пита оном множителе. которая показывает, что если оператор-функ-ая действует в конечномерном гильбертовом пространстве и при-адлекит классу опаватор-йункпдй, описанному пои решении обрат-эй задач;! теории х.о.ф.. то умногение ее на произвольны;! пос-эянный ^ -унитарный оператор не вызолит произведение из угнанного класса.

¿ля ашшятизных операторов с вещественным спектром из тределзнного класса дается регулярная оакторизация их харак-)ристичэских оператор-Функций на поостейше многштела и на-¡нова этой Факторизации строится треугольная модель аккветив->го оператора с вещественным спектром, которая является бос->печноморны?л аналогом известной теоремы И.Шура для нэогоачи-ишых операторов.

Г -

Развитая теория х.о.Ф. дает возможность рассмотреть новый класс линв11нах стационарных консервативных динамических систем - обобщенные стационарные динамические системы, основной оператор которых является бирасшшением и для них решить задачу восстановлошш системы по ее передаточному отображению и тем самым решить проблему ¿.1 .С.йикчица к В.Халтока.

В работе вводится новый класс снятий - так называемые В - косекториалыше сжатия и строится теория расширенна! неплотно заданного эрмитова скатил до 9 -косекториального сжатия.

Установлен критерий существования у произвольного неплотно заданного эрмитова саэтия в -косекториального сжимайшего расширения, дано их полное описание, получена формула резольвент всех 9 -косекториальных снимающих расширений эрштова сжатия, в терминах характеристической оператор-Функции ограничэн-ного оператора с конечномерной мнимой компонентой установлен критерий того, когда ограниченный оператор является 9 -косекто-риальным сжатием.

Введен и исследован класс экстремальных сжимающих расширений эрмитова сжатия.

В работа надеин критерии существования, исследованы свойства и дано полное описание максимальных не само сопряже ¡даих ак-коотивпых ( 771 -аккоетивных) расширений плотно заданного положительного оператора в гильбертовом пространстве. Среди Еласса Ш -аккретивных расширений в работе ввделеи подкласс в -сек-ториалышх в смысле Т.Като расширений положительного оператора, установлены критерии их существования и дано полное их описание. Весьма любопытным и неожиданным оказался тот Факт, что если положительный оператор В имеет несамосопряженное

ТП -аккоетинноо расширение Т( Вс Тс 6*) .то оператор Б всегда допускает ГО -аккретивное расширение, которое не является 0 -секториальным ни при каком 9(0<9<§-) причем, как это выяснено в работе, множество ТП. -аккретивных расширении оператора £> , но являющихся 0 -секториаль-1ШГЛ1Г на при каком 0 (0< §) достаточно "мало" по сравнению до ииотстрои 171 -аккретивных расашрений, которые являются

б -секторпальными пои каком-либо В (0<В . Получен-

ные здесь результаты оазвкяают и успл;шают исследования Л-:: .Неймана, К.Фшлпихса, М.Г.КреГаа, Р.Злллилса, Т.Като.

Как хороло известно (теоремы Р.'Жчлппса и С.Г.Крейна) П1 - анкоетивпость ( 6 -сзктооиальностъ) оператора Т эквивалентна тому, что задача Коши

ГЙ +ТX = 0

порождает соответственно охимаж'дга полугруппу (полугруппу, го-ломогйно гоюдолкаемуя. как полугруппу аатий в сектор /аг^ 5 /<

< ~ 9 комплексной плоскости). Развитая в работа теория бираотирений. характеристических оператор-функций, В -ко-сокториалькых с::с::лаюаих расширений эрмитова с;хат1!я позволяет для широкого класса обыкновенных диррерентшзльных операторов на полуоси (конечном отрезке) дать полное речение долгое время остававшейся открытой задачи: как в терминах граничных условий дать описание и установить критерии существования тп -аккре-тивных ( б -сектоональных) граничных задач, т.е. граничных задач..тая которых задача Копи (0) порогиаэт сжимавщуа подгруппу (полугруппу, голоморфно продэтаземуз как полугруппу скатий в некоторый сектор комплексной плоскости). Для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с локально сутьпгоуемым потегшиа-лом в случае предельной точки Г.Вайля удаётся получить простые Формулы. позволяшие в терминах граничного параметра описывать все аккретивныэ и 0 -уцгаориальныа граничные задачи, а такяэ находить точное значение угла секториальности по заданному граничному значению параметра. Развитый в работе подход позволяет частично дать решение задачи, слормулгшозанной А.А.Дезиным: как управлять спектром дифференциального оператора с помошью граничных условий?

Наконец, в работе установлена теорема о том. что всякое носамосопоп-эшюе ПХ -ашсов'кшное и • в -секториальное расширение Т простого положительного оператора В . для которого Б -максимальная эрмитова часть, обладает тем свойством, что ркюнке задачи Коим (0) асимптотически стремится к нулю при t 00 •

ЬШ&ШШ-Р^Шг. 0снов1ше результаты диссертации, докладывались на ca'.ufiaoax (рук.проф. С.Г.Кройн. проб. Е. Л.Горин, noo't). И.О.Иохвииов) в Воронежских зимних математических школах в 1977-1987 гг.. на конференциях по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям в Черноголовке в 1961-1905 гг.. на конвенции по дифференциальным уравнениям, посвяценнок памяти н.Б.Лонатинского в г Львове в ISsI г., на конференции, посвдаешюй памяти В.II.Потапова в г.Одессе в 1981 г., на конференции но нелинейным задачам математической физики в г.Донецке в 1983 г., в П-Ш математических школах по теории оператооов в Функциональных пространствах в г.Челябинске и Тамбове в 1983-19Ь7 гг., на семинарах в Ленинграде (ЛШН, рук.проф. Н.К.Никольский). в Москве (;ДГУ, проф. А.Г.Костюченко, - проф.Б.М.Левитан), Математический институт им. В.А.Стеклова, рук.проев. А.Л.Дезин), в Киеве (Институт математики АН УССР, рук.академик ЛИ УССР, проф. Ю.Ы.Березансккй, рук. проф. М.Л.Горбачук), в Одессе на семшгаре чл.корр. АН УССР , пооф. М.Г.Кренна, в Симферополе (рук.прой. А.В.Кукель).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-20.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и занимает 300 стр. машинописного текста. Библиография содержит 124 наименования работ советских и зарубежных авторов.

Основное содержание диссертации. Глав^ 1,д Пусть J\ -замкнутый эрмитов оператор с неплотной областью определения

^ (А/)_1_дейотвуыций в гильбертовом пространстве ^ ^ .Обозначим IX(Я) = lLB , Р - ортоцроектор в на VL. ,

dmx=(A-jllWA)'7Lx=%Q4mz -да-

фоктноа пространство оператора Л , рл - ортоцроектор в % на ?1Л , 'Р^<РЛХ , fCx = Rfft- полудофектноо

а

подпространство оператора Я . Оператор Л будем рассматривать как действующий из в _. Пусть /¡* -сопряженный по отношению к Я оператор, ' 1У(Д*}~ ^ . Вводам на лшюало = \У(Я V новоч скалярное произведение

(х,1])+ = (х^КЛя, А'у) (х,уеТГ(А-))

построш оснащенное нростр^кслэд с \ с %- . Обозначил через Я - изометрический оператор из на . зюзчи-

каакцй в теории оснащенных пространств и который з далыюйшм будем называть оператором Рдсса-Беуозапского шп РБ-оператооом. Оператор Я буяем называть регулярным, если оператор Да — = íP Я -замкнут в . Отметим, что замкнутый эрмитов оператор с плотной областьэ определения всегда язляется регулярным. В дальне ;1ше-.т мы будем сопоововдать геометрические и тоип-лпгичзскла понятия в пространствах + » ^ , -указа-

нием на нормы, относительно которых эти понятия рассматриваются, сопоставляя этим нормам символы ('+) , (•) , (-) соотватст-вошо. Через 31 ( Ь) будем обозначать область значений оператора В и через 1Х(В) - его область определения. 1

для регулярного эрмитова оператора Я получено прямое разложение

1у(я*) = %+=тя)+К + п'х+п (I)

где К оС , которое является обобщением первой формулы

Дж.Неймана, установленной им для случая плотно заданного эрмитова оператора. При А = ±1 указажое разложение будет (+) -ортогональныл. Отглэтим, что непрямое разложение *) =

=1У(Л)+?1л+ б^о впервые установлено М.А.Краскосельским. Памосопрякенноа расширение Л оператора Я будем называть регулярным, если оператор РЛ —замзохут. Понятие регулярного оператора по существу (в других терминах) бито введено М.Л.Красносельским. Однако в развитой им теории расширений неплотно заданных эрмитовых операторов оставался открытым вопрос о существовании у регулярного эрмитова оператора регулярных самосопряяешшх расширений.

Теорема 1.4.6. Для того, чтобы регулярный эрмитов оператор Я допуская регулярные самосопряженные расширения необходимо и достаточно, чтобы полудефектные числа оператора Я были равны мегду собон;

В пространстве введем эквивалентное аеллрное

произведение

где

(2)

и - (+) -ортопрооктор на подпространство Т1 ' в разло-

гекип (2). Построим оснащение С ^ С

Определило. Замкнутый, плотно заданный оператор Т , действущпй в гильбертовом пространстве \ , будем называть квазпэрмитовым расширением (к.э.р.) замкнутого эрмитова (з.э.) оператора Я , если

То Я, Т*=>А

К.э.р. Т з.э.оператора Л будем называть регулярным, если РТ и ¡¡РТ * -замкнуты в ть Квазиэрштово расширение Т будем откосить к классу &(Я) , если -регулярная точка для Т . т.е. если (~1)е.р(Т) (/>(Т)-мяо-аоство регулярных точек оператора Т )• Обозначим

Г-Йе 7111 © П (3)

при этом ШЬ является и (+) -подпространством, а такав,

(+1)-подпространством. Мноаество ¿Щ. '»рассматриваемое как подцрострапство в будем обозначать через ¡Ш., .

ХЗДР^З I. Каадому к.э.р. Т класса З.э.

оператора Л (регулярного) отвечает оператор М в пространстве ТЗХ < со свойствами:

1) 1Г(М)*П'1®П, %(м

2) Мх + х = 0 лишь при д: =0 , М*х +х = 0 лишь при Х«0.

Такой, что

1Г(Т'}= I'>'(А)®(М"+1ХПи®Ю (4)

П. Наоборот, всякая пара (+0-сопряженных го отношению друг к другу (Неограниченных операторов М я М * со свойствами!) и 2) отвечает некоторому к. э.р. Т класса 5Х (Я ) з.э. оператора Л по Формуле (4).

Г,1. Оператор "р является регулярным распирендои оператора Я тогда и только тогда + и (-^-замкнуты.

1У. Операторы Т, 1 действую! по Формулам

£ = 2 +У ( £е1Г(Т), уе-'Ш), уе Ю'

= Г Г М V ®

-у)

где Р. - РБ - оператор в оснащении 1 с ^ с - .

Теорема (1.5.5) дополняет и усиливает результаты 10.1.1 _Лр-лннск.ого, ¡Л.Л.Крнонссельакого, Д:::.11е'.:мана, Ю..а.Шуулья:га.А.В.Ку-

Глаза II. Чэрез Iобозначай! мноздство всех линейных ограниченных операторов, днйствушнх из ^ + в .

Определение. Оператор А1 £ [ Ч)^ +•, ^ - ] называется би-раетнрешюм регулярного з.э.оператора Л , если

/II зЛ, /Г=>Л'

Бпрасзирание /41 будем называть самосопряаениш, если/II ~/41 Отметил, что /Ге [ ^

Пусть оператор • Обозначим

^ х ^ . их <=- )

Оператор В ~ 6 будем называть квазиядром оператора 6 .

14 А

Определение. Пусть _л - квазиядро самосопряженного би-расширения А регулярного з.э.- оператора Я . Оператор А будем называть слабым, средним и соответственно сильным самосопрязээнным бирасширешем Я ' , если 1)Я-я ,2тя

,Э)$ФА И 1-4* .

Б этой главе подзывается, что всякий регулярный з.э.оператор допускает самосопряженное бирасшрение. Однако, если оператор Я имеет не плотную в ^ область определения, то он не всегда имеет слабые и сильные самосопряженные бирастарения.

Теорема 2.2.7. Пусть Я -регулярный з.з. оператор с неплотной областью определения. Для того, чтобы оператор Я допусхил сильное самосопря;ээнное бирасаирение необходимо и достаточно, чтобы полудефектные числа оператора Я били равны ыевду собой.

Дано таюге описание самосопряженных бирасшираний регулярного з.э.оператора Я . Приведем это описание для случая плотно заданного з.э. оператора Я .В этом случае

П'а-Пп .31=0

Теорема (2.3.1).(2.3.2). Всякий з.э.оператор Я с плотной областью определения в гильбертовом пространстве допускает самосопряженное бирасширение А\ на ТУ (А *)= ^ ^ , которое задается в виде

лы-^о.^ (5)

где ' . .

(6)

а Я - оператор Рисса-Березанского, цричем формулы (5) и (6) устанавливает биективное соответствие А 3 между множеством самосопряженных бирасширений оператора Я и множеством самосопряженных операторов из [Ш-, ЛИ] . Для того, чтобы оператор А\ вида (5) бил средним расыире-нием Я не обходило и достаточно, чтобы & 4- 0 и

тах[е(&,.ац (?)

где & подпространство нулей опоратора 6. вида (5), б (И+О- раствор мезду подпространством & и .

Оператор А\ вида (5) является сильным самосопряженным би-расширением оператора /I тогда и только тогда, тогда

Форцулк (5) и (6) являются аналогами формул ДкЛейлаиа 1 для самосопряженных бирасширенли. Введем в рассмотрение гра-1 ничный оператор Г-Я 0.9^1 • Тогда из приведенной теоремы как следстпие получаем, что оператор

1х-Я х (1Г (1Н* е 1ГМ'): Гх = 0} )

является обычным самосопряженным расширением оператора Я тогда и только тогда, когда справедливо (8). Отметил,еще, что для плотно заданного з.э. оператора Я существуют самосопряженные бирастирания всех трех типсь.

Пусть Я -плотно заданный з.э.оператор с низней гранью т , т.е. (Ях, х)? т (Х,Х) (х&1г(Л)) - В этой главе исследуется вопрос о существовании самосопря:аэнных бира старении с сохранением низней грани.

Теоремд (2.4.2'). следствие 2 к теореме (2.4.4). Пусть Я -полуограпиченный оператор с шпеней гранью ТП п пусть £- -положительное сколь угодно малое число. Тогда оператор Я допускает сильное самосопряженное бираевщранлв с нианей гранью

т-6 .

Ота теорема является обобщением известной теоремы Дк.Ней-мана. Аналог теоремы К.^ридрлхса о существовании самосопряженных бирасширений с сохранением нижней граня, вообще говоря, места не имеет. Однако справедлива

Теорема 2.4.5. Для того, чтобы полуограничзнный оператор Л с нинней гранью ГП допускал самосопряженное бнрассдре-ние А\ с сохранением нашей грани необходимо, а в случае конечных дефектных чисел оператора Я ' , и достаточно, чтобы жесткое по К.Фридрихсу и мягкое по М. Г.Крепну расишрения оператора Л-тп1 были взаимно простыми5*).

Расширения Я1 и Яг оператора называются взаимно проо-тыми, если 1Г(Л/)П ТГ(Лг)-ТО) (Я,^Я,Яг^Я)

Установлено таж<е, что если нолуограничонный оператор лонге. .от самосопр^охзнноэ бпрасшрениэ с сохранением нашей грани, то этот оператор допускает такда сшшюа самосопрякеквое бирасширение с сохранением нижней грани (следствие I к теореме (2.4.4)), сьма кео;шданнш оказалось то, что всякий полуог-раниченнпй оператор Я не дотекает сильного самосогожен- , ного биоассирония с сохраненном кижкзй грани, квазиядоом которого являлось ¡честное но К.Фридрихсу расширение оператора Я Определение, Оператор /41 е ] будэм называть

квазиэрмитовым бнрасширэниеы регулярного з.э. оператора. Я еолл сущоствует кваэаэрмитово расширение Т ошратора Я такое, что

/а^т^л, /гот'^я

Оператор А при этом будем называть такаю (*) -расширением сноратора Т .

Пусть Т -квазиэрмитоЕо расширение класса &(А) регулярного з.э. оператора Я . Для того,чтобы оператор А\ ввда

(9)

О „ о А. Ф+ 4- ± (р*. ОЛ 2 Тя'; + 2 -I Я-1

(Ю)

бил («■) -ра ширенном оператора Т необходимо и достаточно. • чтобы

г (1-М),

(II)

ГД0 ^ " Рв -оператор, М -определяет У(Т) по формулам

И — (+0 - сопряженный по отношению к М оператору. Отметим еще, что формулы (9), (Ю), (Ц) дают ошеание ксех (*) - расширений оператора Т

Другое описание (не в параметрической Схтме) (*) - расширений оператора Т бьшо дано Г.Ы.Губрвевь1м в терминах характеристической оператор-функции. введенной и изученной Л.В.Ку;злом.

Пусть Я -плотно задашпй з.э. оператор. Кваздэрмнтозо бираспирониэ Л оператора Я будем называть корректным, если А\~ {А\'rAVj!Z - сильное самосопряженное бирасаиро-

шга Я . ----

Как показано в работе, если T<si2.(ü) , У(Л)= it}.. и оператор Я имеет конечны® и равные дефектные числа, то оператор Т всегда допускает корректное '*) - .расширенна А\ .

Определение. Оператор Те 5L (J) , IX (ß)-^ будем отно-( сить к классу А (А), если I) оператор Т дотекает корректные (*) - расширения 2) Я - максимальная общая эр.мл-. тоза часть операторов Т и Т * .

В этой главе устанавливается критерий принадлежности оператора Т £. Л ( А) классу А (Я) 11 Дается описание всех корректных (*) - расширений опоратора Т . прияадлозажаго классу А (Я) . 3 работа исслодован тахта вопрос едплствешюс-ти (совпадения) корректных г*) -расширений оператора Ts А 01).

Теорема 2.5..D3, Пусть Т в А ( Л) и пусть AIi я Alz - (*■) — расширения Т » реальные части которых - сильные самосопряпзшшв бирасшпрения з.э. оператора Я . Длл того, чтобы Ali и Alz совпадали мз:зду собой необходимо и достаточно, чтобы квазиядра кх реальных частей били равны.

В этой за главе для дифференциальных операторов (на полуоси, конечном отрезка), порожденных самосопряженным квазидпл-форенциальным выражением дано описание сильных самосопряженных, бирасширети и корректных квазиэрмитовых бирасшдраш'й соответствующего минимального оператора. Приведем одну из ьолу-' чанных теорем. Рассмотри: в = [а/00J юзазэдифуоренциаль-ную операцию

у которой коэффициенты '/Ri£j , Pjx) ,..., Рп(х) суммируемы на каждом конечном интервала [a, J3] . Пусть эрмитов оператор

( К = -1,2, • • 2п)

в пространство Ь2 + к.юет индексы дефекта (п,п) . Известно, что всякое самосопряженное расширение Я оператора Л тлеет вид

I Й "»У

где

2 и,

<м

= (¿к",-/*)

(14)

(15)

Пусть и-11и^к11 = >п,к~ Ь '-^п) -матрица, удовлетворяющая соотношению (15). Построй оснащение 1Т(Л*) -^С рассмотрим функционалы

{ЧХ;)= 2 и1""'3 (а) / - ,р \

(16)

Теорему 2.5.12. Пусть .л - дифференциальный оператор вида (14), (15). Тогда формула

V;

устанавливает биективное соответствие меиду совокупностью сильных самосопряженных бирасииреный оператору вида (13),

квазшшюм которых является оператор Л и совоку1шостью мат-| риц ТС-Ци^Ц ( } = п1 к-1,—,2п.) удовлетворяющих соотновюшш (15) и таких, что ^^ (хс/^О , гдэ обратимая .матрица С-ЦСцЛ (*,} = <>■■■/п) находится из соотношения

IГС'К - ТС*с и = Ц

в случае предельной точки Г.Вейля в ЬДО-г+с*3) множество всех сильных самосопряженных бирастирений представляется в вице

Ау=-у'Ч (х)И+^Ьй 6'(х_а)+^1[з:"а)+а)]

со ^ /5, М^!.-—^Ш') (у,Л8(х-а)+&'(х-а)) = 11у(а)-у,(а)

3 этой ке главе дано описание всех корректных квазиэрмитовых бирасширений оператора = , у(0)-у(Е) = 0 , в прост-

ранстве 1>г. 10, [] , который моделирует все простые эрмитовы операторы с индексом дефекта (1.1), допускающие квазиэрмитовы расширения бес спектра в конечной части плоскости.

Г$ава Ш. В этой главе исследуются резольвеитн самосопряженных и корректных квазиэрмитовых бирасширений з.э. оператора

Я . В частности показано (теорема (3.1.4) ), что если Я -з.э. оператор о конечными и разными дефектными числами и /II -самосопряженное бирасшрение, то оператор 64! ~Л1) '(УтЛ^О) являотся (->•) - непрерывным тогда и только тогда, когда А\ -сильное самосопряженное бирасширение. Для корректных (*) -расширений А\ оператора Т в А (А) приводятся теоремы (3.1.5), (3.1.6) существования и единственности решений операторных уравнений

от вектора у в . - корректное (*) -рас-

ширение Т . Агрегат

будем называть оснащенным операторным узлом если

1) £ - гильбертово пространство, 1 ,

2)

з) Эт А\ = К 3 К * , (К) = КСЗтАО .где замыкание боротоя в .

Оператор /¡I будем называть основным оператором узла, С/ -ыаправлжвдм оператором, К - каналозш оператором. Опзратср-^унзсщш

(л^сп) да)

будем называть характеристической оператор-функцией узла о Опооатор-фушсщш (А) & 1 Е, Е ]

В работе показано, что всякое коороктное (*-) -растирание /41 оператора Тб.Л(Л) можно включить в оснащенный операторный узел з качестве основного оператора. Операторный узел, основно:' оператор которого является корректны.! (*)-расширением оператора I' * А (Я) цц будем также относить к классу А (Л) . 0бозчач:п,; через П± - открытую верхнюю (низкыэ) полуплоскость комплексно:: плоскости.

Определение. Пусть Е -гильбертово пространство, й-У - Т' . Спорато^ункцзцо Е-,Е] будем относить '

к классу ¿¿-у (Ес) , если

1) - голоморфна в некоторой области , содержащей точку 1-0

2) при Л& (&-1 0 П.)и(&-1 ППг) оператор \У1л)+1 имеет ограниченный обратный, определенный на всем Е и оператор-функция

= аэ)

явллется операторный Я. -функцией, обладающей свойствами; а) пространство , где

допускает оснащение £_ , при котором опора-

тор Б является сужением оператора Р-~' Рисса-Березан-ского в этом оснащении на Ео и оператор-функция VI (Л) - V (Л)! Ес допускает расширенно на £- до операторной /2. -Функции 1° (Я) & [£-, Е +■ .] , для которой :

О йт (-Ух е Е_/{о})

Теорема 3.2.2. Для того, чтобы оператор-Функция 5ыла характеристической оператор-функцией некоторого оснащенного операторного узла класса А (Л) с направляющим оператором 3 , необходимо и достаточно, чтобы

3 том случае, когда пространство Е -конечномерно, пункт а) з 2) из определения класса оСу (Еа) опускается, Операторную И -Функцию 0.Ш будем относить к классу £ , если

Л- такае является операторной И -функцией.

Определение. Оператор-сЬуккщш \1С1Л) £ !_£,£-] будем гаюсить к классу , если

:) УУ(Л) принадлежит классу ЗЬ^ (Е) >) \Х/(Л) - голоморфна в открытой левой полуплоскости 5) оператор-функция \/(А) вида (19) допускает голоморфное продолжение Ш) на Еас+Ю^«5) причем Теорема 3.3.3. Пусть Зе.1В,Е] , . Для того,

ггобы оператор-Функция Wf.il) ё1_Е,Е] была характеристической оператор-Функцией некоторого оснащенного узла класса

А(Л) с направляюща»! оператором С/ , обратимым каналовыгд жератором и аккретивным основным оператором необходшло и до-¡таточно, чтобы I

Рассмотрим обобщенную стационарную динамическую систему

ада

= $--¿1К X 3 ' О ,

?де У- - входной вектор, - выходной, X - вектор внутр-

еннего состояния системы, а агрегат вида (17) образует осна-;енный операторный узел. Передаточное отображение (матрица хрохоздений) такой системы 5Ш совпадает с характеристкче-жой Функцией соответствующего узла. Теоремы (3.2.2) и (3.3.3) здют решение задачи 1,1.С .Лившица и В.Хелтона об описании класса шератор-функций, которые реализуются как передаточные отобра-

жоцвд обобщенных стационарных динамических систем, Отнотшл.что шшроодма реализации стационарных даиа.ических систем по их передаточным отобракэмвдм занимались Д.3.Аров, П.Ц.Гохберг, Л.Х.Меграбян, До «Седзр Хань, Л.А.Сахнович, американские математики Р.Калман, Р.Ьрокэт, н.Барас, П.«урман, В.Хелтон и др. Однако, исследуемые в этих работах классы оператор-йушсций состояли из опоратор-Фуш;ц;й, которые голоморфны в окрестности бесконечно удаленной точга (в окрестности нуля). Реализуемые в настояшп работе классы 3L j (F-c), сX} содеркат оператор-функции, не являющиеся голоморфными D окрестности бесконечно удалонпой точки.

Исследование пассивных липе иных систем в рамках подхода "вход-выход" о передаточными функциями те икотах переменных было ироаодоно В.С.Владимировым. Отметил, чки аиача рассеянна дяя операторов с $ -образными нотеншаламн исследовалась B.li .Кошманеш:о. Далее, в этой so главе подзывается (теорема 3.4.4),что, если основные операторы двух оснащенных операторных узлов являются различными корректными (*) -расширениями одного п того же оператора класса А (Я) , то характеристические оператор-Функции тайне узлов отличаются на постоянный rJ -унитарный оператор. Кроме того, показано (теорема 3.5.3), что умножение оператор-Функции (слева, справа) из класса otji (dim на постоянный rj -унитарный оператор не выводи

из этого класса. Кроме того, задача восстановления так называемых W -узлов по характеристической оператор-Функции, введенной А.В.Куколем и их связь с оснащенными операторными узлами исследовалась Г.М.Губреевым.

Глдвд 1У. Пусть Я -эрмитово сжатие, зааанное на подпространстве V(Я) гильбертова пространства ^

Ороеделение■ Оператор 5 в назовем квазисопря-

аенным сжимающим расширением ((fiC. -расширением) оператора J , воли З^Я , HSil^l .

Самооопря^енные сжимающие расширения ( 6С -расаирония) бшш введены и изучены Ы.Г.Крейном в связи с задачей описания самосопряженных расширений симметрического оператора с сохранением ого нижней грани. Как установлено существуют два "крайних" ¿с -расширения Aju. и ^н такие, что мнокество всех ас -расширений я образует операторный сегмент i s\f , Лм J .

Определение., Сжатие 5 в гильбертовом пространство будем называть 0 -косекториальнш с::атием, если существует 0 (0 ^ 6 ^ ) такое что ' .

z.dt9l1m(SfJ)l*llfir-i!Sft iM«,) (2I)

Последнее неравенство эквивалентно US- i-CtijO-LII^ У ■

Поэтому, если S — 9 - косекториальное скатив, то 5_тагско.

является б -хосокториальным сг.сатием. Обозначил '¿ИЛи'Л/) Тео_рэма_ 4.1._6, Равенство

устанавливает взаилаю однозначное соответствие мевду -расширением S эрмитова сяатия J и сжатиями Xs в подпространства 'ilo . Для того, чтоба оператор S вида (22) являлся О - косекториалькш -раетнрением эрмитова скатия необходимо и достаточно, чтобы JCS являлся ß -кооокторг.алыигл жатшгл в подпространстве Л. о •

1з теоремы (4.I.G) при следуют результаты (в менее об-

дай форме) американских математиков С.Дэвиса и й.Крандалла, )умынскпх математиков Г.Арсена н А.Геондия. Зта теорема такие гсилшзает и дополняет исследования ГЛ.Г.Крейад, Й,Л,Шиульяна, '.НЛновской.

Плотно заданный, замкнутый, лннепнш окерэтдр Т в гиль-ертовом пространстве Yj^ будем называть ащютивным, если R е (TfjP)"? О при ¥{Т) , Аккроттазный оператор Т

удом называть m -аккротивнш, оолп он но допускает аккре-ивных расширений. Аккрэтивный оператор Т будем называть

6 -секториальнш (в смысле Т.Хато), (в терминолопш б.Г.Крой-а - регулярно диссипативнш), если существует 0 е такое,

то

äf&l1m(T{.J)I^R.&(TfJ) (i^irCV))

швтим, что дробно-линейное преобразование (I~T)(L тТ б -сокторигльного оператора является в -косекториальнш - расширенном опоратора

а - ГТ-ЦУГ^Р,]-1

л II идх который является эрмитовым сглтием.

Пусть и Ян "крайних" />с - расширения эрмитова

садтгл Я . Тогда, пак известно оператора Еуи - ,

- (Т-Мн )(1+Ам У1 являются положительными самосопряженными расширения:.!:! В> соответственно по К.^ридрихсу к ¡Л.Г.К.рейну ("жесткое" и "мягкое" расширения).

Теорема ( (4.1.7)-(4.1.9) ). Для того, чтобы поло;штельный оператор В допускал косамосопряженное Ш -аккретивное расширенна Т (Бс-Тс_ В") необходимо и достаточно, чтобы В/'?1 6М . Если В/^ВН , то

1) при каздом фиксированном -.г) оператор 6 допускает несамосопряжснное ТП -аг-кретивнов и 6 -ссктори-альное распирение Т Г В сТс 6')

2) оператор В допускает несамосопряжешюе ГП -аккретивное расширение 74 в с Гс В') , которое не является 6 -сек-торпальпым ни при каком Э £ (0, $-)

Указанная теорема является обобщением на несамосопряженный случай исследований К.ч'ридрпхса, гЛ.Г.Крейна, Р.-лишшса, Кроме того, эта теорема дает решение задачи о существовании О -сокториальных расширений у положительного оператора, на которую обратил внимание Т.Като. ^алее в это!! ке главе дается оиисашю (теорема 4.2.1) (в параметрической форме) всех резольвент Ц-М' -расширений эрмитова сжатия Я , а также всех резольвент Э -косекториальних Cj.bc -расширений эрмитова сжатия Я . Полученная при этом описании формула является обобщением формулы резольвент М.Г.Крейна-И.Д.Овчарепко, установленной ими дал резольвент б С- -расширений эрмитова сжатия Я . . Кроме того, установленная формула резольвент В -косекториаль пых -расширений дополняет исследования по формулам резоль

вент сяшающнх расширений (в постановке, отличной от нашей) математика из ГДР Г.Лангера и шведского математика Б.Тексториуса. Далсо, для произвольного лилейного ограниченного оператора, с конечномерной мнимой компонентой, действующего в гильбертовом пространстве ^ , в терминах его характеристической матри-цы-функцгл (по ¡.I.С.Лпвшшу) установлен критерий того, когда этот оператор является 9 -косекториалышм сжатием (теорема 4.3.1). Как следствие из этого критерия получается следующий любопытный факт: •

для того, чтобы простой, диссипативный вольтеров оператор S с одномерной мнимой компонентой являлся В -косекториальным снятием необходимо и достаточно,- чтобы 2 ip rJmS < j , при этом, если S — В -косекториальное с:штио, то В = - 2. лр Ут S , причем это значение угла 0 является точным (его нельзя, вообще гозоря, уменьшить в неравенстве (21) ). Отсюда следует также, что среда всех простых, диссипативных вольтерровых операторов с одномерной мнимой компонентой существует единственный оператор, который является сжатием, но не является в -косекториальным сжатием ни при каком Эе(0, ?) . Этим оператором является оператор S , у которого

2. />р 3mS = £

¡К-1]

Пусть , где дифференциальное

выражение t(ij) имеет вид (12), является положительным и имеет индексы дефекта (.

Рассмотршл операторы

TrW (г'",п)

' Будем предполагать, что 1Х(Т)П1ХСГ',)-1У(В)Л Построил оснащэ-, ние .Пусть , [ и.,-]; £ ,

которые порождают Функционалы

1п (24)

у1"'11 (а.)

Пусть -произвольное корректное (*) -расширение оАврато-Ра Т . Тогда, его мшщую компоненту можно представить в ввде СЬп = 1Л • где {У^е »А - и пороздает

; Функционалы ' = 2 У/к у*-" (а) (уе1ГГВ*>, 3=

а штрица , удовлетворяет условию .

О учетом теорэмы (4.4.1) оператор Л можно представить в виде и -п.

причем матрицы С =11 и 0 = 1 однозначно опреде-

ляются по матрицам Ы-ИИ^^Ц , 1 / = 11^*11

из соотношения /О I \

= ¿у (25)

Пусть -базио в дефектном подпространстве 'Л-л опе-

ратора В , т.о. I (^)-Л^ (/ = {)■■;п) . Рассмотршл матрицы

шдик^ад, ш(26)

Заедем матрицу

(27)

где С' , О' _ транспонированные по отношению к матрицам С , 1 г> из (25).

Теопомд '1.4.6. Пусть В - ыиншлалькый положительный дифференциальный оператор вида (13) с индексом дефекта (п.,11) . Для того, чтобы дилере ¡гцаальный оператор вида (23) был а икре- . тивныгл необходимо и достаточно, чтобы

1) матрица-шункция = ^ I ЩЯ)+1]~'№'и)\Х/(А)-1 ] V где V/ [Л) имеет вид (27), была голоморфна в Езс! [.Р,

2) матрицы &~'(0) , ЬО.'Ч-^'СС'МГ^ существовали и матрица , , . .

являлась сжатием. ^

Лккретивный оператор ' вида (23) 6 -сокторпален тогда и только тогда, когда вида (2С). является 0 -ко-

секториальныгл саатием. Если оператор Т — 6 -секториален, то точное значаще угла в определяется из уравнения '

ЦК' ;

Рассмотршл оператор Штуша-Лиувиляя

■ Ьцх-у" +-С}.(Х)у (29)

который является полотатольнш и имеет индексы дефекта (Ч^.

Для олератора Штурма-Лиувилля (29) получаются следующие результаты (теоремы (4.4.8), (4.4.9) ):

I. Для того, чтобы полопштелъный оператор ¡Птурма-Лпувилля вида (29) допускал несамосопряженные аккретивные расширения (граничные задачи) необходимо и достаточно, чтобы ГП

со

где тж(Л) - функция Бе;Ыя.

П. Многлество всех аккретивных и 9 -векториальных граничных задач для оператора Штуома-Лиувилля (29) определяется параметром Ь , находящимся в области

(31)

-т„ Со)

при этом, если I) /5 на вещественной оси в этой областл, то получаем все аккретивные самосопряженные граничные задача 2)/) не лежит на прямой Яе.$ = -тоо(0) ,и ¡¡4- ^ , то получаем все б -секториальнке граничные задачи, при этом точное значение угла В " определяется так, как указано в (31) 3) к ¡-1\ ленит на прямой Не ^--т^, (0) , то получаем все ашфотивные граничные задачи, не являющие Э -векториальными 1Ш при каком бе (0, 5).

Поскольку числовой образ 8 -секторпального оператора расположен в секторе / агд- в .то спектр огоратбра Т/, ( в -секториального) такке лекит в этом секторе. Поэтому из (31) видно как "управлять" спектром с помощью граничного параметра $ . Таким образом теоремы (4.4.6), (4.4.8) (4.4.9) частично отвечают на вопрос, поставленный А.АДезиаш. Отметим, что в случав когда произвольный минимальный оператор В -положительно определен (имеет положительную нихнюю грань) описание ГП -аккретивных расширений в терминах абстрактных граничных пространств бьио дано А.Н.Кочубеем и ВГА.Михайлецом.Отметим, что аккретивные расширения операторов исследовались в работах

Е.Коддиктаыа, Н.Скоо, Л.В.Кукэдя, З.С.Роткевич, Л.В.Штрауса, Ю.М.Арлпнского, В.А.деркача, М.М.Иалзмуда, О.Г.Сторожа и др.

Теорема 4.4.11. Пусть Т/5 (Йп^фО) аккретивный оператор Шттома-Лпувиллн вида (30). Тогда при любом вещественном значении параметра _/<- , удовлетворяющего неравенству

Операторы

Ау = 'У+^ШЦ ^ Щ(а)- Ц '(а)]№(х-а> ^^(х-а.)}

определяют всю совокупность корректных аккретивных М -расширений оператора Т/ . Оператор

имеет единственное ак-кретшзное (*) -расширение тогда к только тогда, когда Иё Ь -= -т~(0) . причем он имеет вид/11^

Пусть далее, Т -аккретивный оператор класса Л(Л), где Я - положительный оператор с индексами дефекта Гй .'¿К^'-"^. Мы будем предполагать, что оператор Т имеет только вещест-вонный спектр. Оператор Т , обладающий указанными выше свойствами будем относить к классу У\£ (У!) .

Тооромц 4.5.6., Пусть 9 -оснащенный операторный узел о обратимым каналовым оператором и направляющим оператором С/ , основной оператор которого является корректным (+) -расширением оператора Те Л г. (Л) . Тогда характеристическая оператор-Функция V/о (Я) этого узла допускает регуляриэоваыное ьульти-шшкативное представление ^

цю-рЗ^даэд^ишт^ & и»

где I) 01 Iх) -неубывающая непрерывная слева на функция;

2) оператор-сЪункция П^х)£[£,Е] ,сНтЕ = г , 5рП"(х)П(х)^I и Л(х) обратима на множестве положительной меры; 3) если •

= Гп'ШПШсИ . > то при -I/ Е/[о) . •!

о * X +

Определение,. Оператор 7Аг (Л) будем называть простым, если У Ял » ГД9 М-я -дефектное подпространство J\ , значок'" У - означает замкнутую линейную оболочку. Обозначим .Оператор Т0 = ТКо будем нази-

jUpiri Q r-r-> J

вать простой частью оператора I

Пусть Те Лt (Л) . Какое-либо корректное (*)-расширение Т включим в оснащенный узел с обратимым каналовым оператором и направляющим оператором 0 . С помощью соотношения (32), рассмотрим в Ц [ 0, + оператор

(Тр(х)^ IX) f(X) П(х) fj п •( t) fit) dt (33)

гдо v(T)*{fix)£ Ц[ о, + : (Tf)(x)6 Ll LO, < ~>}

Теоретга 4.5.7. Пусть Те. Д^ ) и являотся простил оператором. Тогда он унитарно эквивалентен простой части "треугольной модели" вида (33). Для оператора Т^- Л* С//) треугольная модель имеет вид ^

(Tl)tx)-6Ltx){(x)+Ziji(t)dil

1Т(Т) = (I (х) в L21о, + • (Тв U [о,

Теорема (4.5.7) являотся бесконечномерным аналогом для неограниченных операторов известной тзоремн И.Шура.'Построенная в теореме (4.5.7) треугольная модель для рассматриваемого класса неограниченных операторов проще чем модель, полученная впорвыэ А.В.Кутзэлвм. .э j

Основные полокэння диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Арлшский Ю.М., Цэкановский Э.Р, Метод оснащенных пространств в тоорян расширенна эрмитовых операторов с ыеплот-юй областью определения // Сиб„кате:,т.тэдщ., 1374. - Т.15. -

* 2.- С.243-251.

2. Армгоский Ю.М., Цехачозскнй Э.Р. Нэсамооопрягонпко жвшающиа расширения эрмитова сжатия и теоремы М.Г.Крэйиа// Гошшх мат.наук, 1982.- Т.37.- Выи.1.- C.I3I-I32.

3. Доркач В.Л., Цекановский Э.Р. О характеристических оператор-функциях'аккретивных операторных узлов // Докл. АН УОСР.-1981.-Сер.А.- С.16-19.

4. Цекановский Э.Р,' Обобщенные расширения неограниченных операторов // Докл. All СССР,- 1965.- T.I65.- !i I. - С.44-46.

5. Цекановский Э.Р. Обобщенные расширения несимметричных операторов // Мат. сб.- 1965,- Т.68. - .№ 4. - С.527-548.

6. Цекановский Э.Р. Об описании обобщенных расширений с одномерной мнимой компонентой оператора дифференцирования без спектра // Докл. ЛН СССР,1957. - Т.176. - ф.- C.I266-I269.

7. Цекановский Э.Р. Обобщенные самосопряженные расширения симметрических операторов // Докл. АН СССР, 1968. - T.I73.-

Л 6.- СД267-1270.

8. Цекановский Э.Р. Роальная и мнимая части неограниченного оператора // Докл. Ail СССР, 1961.- Т.139. -HI. - С.48-51.

9. Цекановский Э.Р. Об описании и единственности обобщенных расширений квазиэрмптовых операторов // функцион. анализ

и его прил., М., 1969. - Т.З.- Ц I,- С.95-36.

10. Цекановский Э.Р. Аналитические свойства резольвентных матриц—фушодiii и одна обратная задача // 3 кн.: Тр. всесоюзн. конферонц. по теории функций комля. пер-го.- Харьков,- ФТИНТ АН УССР.- 1971,- С.233-235.

11. Цекановский Э.Р. О диссипативных расширениях, порождающих голомррфные полугруппы снятий // В кн.: Граничные задачи математической физики, Киев: Наукова Думка.- 1981.- C.I4I-I42.

12. Цекановский Э.Р. Характеристическая функция и описание аккретивных и секториальных граничных задач для обыкновенных дифференциальных операторов // Докл. АН УССР, 1965,- Сар.Л,-

J6 6.- С.21-24.

13. Цекановский Э.Р. Треугольные модели леограниченных ак-кретивных операторов и регулярная факторизация их характеристических оператор-функций // В кн.: XI Всесоюзная школа по теории, операторов в функциональных цространствах, Челябинск, 1986,-Т.2.- С.141-142.

14. Цекановский Э.Р. Несамосопряженные аккретивныа расширения положительных операторов и теоремы Фридрихса-Крейна-Филяип-са.// Функцион.анализ и его прил., М., 1980.- T.I4.- & 2, С.87-89.

15. Цекановский Э.Р. Расширешш ©ридрихса я Крейна поло-шгаельных операторов и голоморфные полугруппы сяатий // Функ-цион. анализ и его прил., М.,1981. - Т.15,- № 4.- С.91-93.

16. Цекановский Э.Р. Характеристическая функция и секто-риалышэ граничные задачи // В кн.: Исследования по геометрии и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987,- Труды ин-та математики.- Т.7. - G.180-195.

17. Цекановский Э.Р. О некоторых свойствах обобщенных самосопряженных расширений симметрического оператора // Матем. физика, Киев, 1968. - № 5. - С.203-205.

18. Цекановский Э.Р. Треугольные модели неограниченных аккрэтивных операторов и регулярная факторизация их характеристических оператор-функций // Докл. АН СССР, 1987.- Т.297.-

С.552-556.

19. Цекановский Э.Р,, Шмульян Ю.Л. Вопросы теории расширения неограничошшх операторов в оснащенных гильбертовых пространствах // Итоги науки и техники ВИНИ'Ш,- Сер. Мат .-анализ, 1977.- д 14. - С.59-100.

20. Цекановский Э.Р., Шмульян Ю.Л. Теория бирасширений операторов в оснащенных гильбертовых пространствах. Неограниченные операторные узлы и характеристические функции // Успехи мат .-наук. - 1977.- Т.32. - IS5. - С .69-124.

БП 03791 Подписано к печати 7.05.88.

Заказ 2851 Тираж 100

Ротапринт гортипографии 340002, г,Донецк, пр. Б. Хмельницкого, 102,