Структура алгебр сингулярных интегральных операторов в весовых L -пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г Б ОА ------ "

•..>-.> На правах рукишси

Георгиев Константин Аяатп

СТРУКТУРА АЛГЕБР СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВЫХ Ъ -ПРОСТРАНСТВАХ

V

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-аа Дону 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики Донскол Государственного Технического Университета

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук

доцэнт Дэундяк В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-маггемэткчвских наук,

профессор Симоненко И.Б., кандвдэт физико-математических наук, доцэнт Павлов И.В. Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение

математического института им. В.Л.Стеклов;

Вздета диссертации состоится ю 2Л." &Ш7иЩ/Л 1995г. в '(¿С0 часов на заседании диссертационного созетг К 06ii.52.03 по физико-математическим наукам в РТУ по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 233 •

О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке

РГУ

Автореферат разослан " ¡¿Я " 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного, совета, доцэнт [л /\У/ Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Акпзльность_темы. Важная с точки зрения приложений проблема разрешимости сингулярных интегральных уравнений возникла в начала настоякрго столетия,в-трудах Д.Гильберта и А.Пуанкаре и сохраняет свою актуаль^^Т*- • »"Т - "и^'«1. Пострл»1*"?ииппбхрадытьпс операторов связано с кронами Т.Каргэмана, Ф.Натэра, Н.Й.Мусхелишвнлн, И.И.Привалова, И.Н.Векуа, С.Г.Михлина, М.Г.Крекнз, Ф.Д.Гахо-ва, И.Б.Симонвнко, И.Ц.Гохбарга, Н.Я.Крупника, Н.К.Никольского, Б.Зильбврмана и других. Внутреннее развитие теории, а таювэ, разумеется, потребность в этой теории со стороны различных разделов естественных наук (таких, например, как теория упругости, гидро- и аэромеханика, теоретическая физика), стимулировали рассмотрение всё более сложных пространств, в которых действуют операторы, и изучение все более сложных алгебр коэффициентов. До начала 80-х годов изучались, в основном, алгебры операторов, действующих в бвзвесовых ^-пространствах или в пространствах с весом Хведелидзе на ляпуновских кривых, а в качестве алгебры козффициэятов брались кусочно-непрврьшнь», квззинапрерывные или кусочно-квазинвпрерывные функции. В недавних работах И.Спитковского, А.Еётчера, И.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника начали исследоваться условия нетеровости алгебр сингулярных интегральных и тешм-давых операторов в ^-пространствах с произвольным весом

- к -

Ханта-Манвнхаупта-Вадэнз и коэффициентами из ТО и РОС; в работе В.О.Рабиновича рассмотрена алгебра сингулярных "интегральных ошраторов на сложном контуре с осциллируодэй касательной. В связи с этом представляется перспективным метод, позволяющий часть трудностей, связанных с рассмотрением общих весов,, преодолеть при домощи редукции более сложного случая весовых пространств к беавесовому случаю.

Цель работы. Диссертация посвящена, главным образом, определению условий на вес ш, при которых естественное отображение подобия с1ы осуществляет изоморфизм алгебры сингулярных интегральных ошраторов с ко зффициэнтами из банаховой алгебры МсЬ ), действующих в весовом пространств© Ъ (и>), на

со р

аналогичную операторную алгебру в безвесовом пространстве, а также исследованию некоторых алгебраических свойств рассматриваемых алгебр.

Методика исследования. Используются методы теории функций комплексной гаремадной, развитые при изучении пространств Харда, классов ВМО и 7М0 и алгебр Дугласа в работах Р.Койфмана, Д.Сарасона, Р.Дуглзса, Д>к. Гарнетта и других. Кроме того, исследование опирается на методы теории банаховых операторных, алгебр, разработанные Н.К.Никольским, И.Б.Симоненко, И.Ц.Гохбергом, Н.Я.Крупником и другими.

Научная новизна. Введены и исследованы специальные односторонние идеалы алгебры 1псЦЬ >; с их "помощью получены

______---------------- - 5 -

оценки норм операторов Теплица и Ганюэля и установлена возможность канонического разложения для алгебр сингулярных интегральных операторов с коэффициента*® из алгебры Сзрасона. Постороан и исследован специальныг оператор дифференцирования, соотЕзтствующиЯ" операции

I оломорфного

ся'!з2ства азпзшвншх сингулярных операторов Кош. Получены достаточные условия изоморфности алгебр сингулярных интегральных операторов в различных весовых пространствах и доказана их необходимость для случая коэффициентов из алгебр Сарасона.

Практическая и' теоретическая цзнность. Результаты, поученные в работе, носят теоретический характер. Они позволяют для конкретной алгебры коэффициентов орределить такой класс весов, для которого изучение нетеровости и вычисление индекса семейств операторов в весовом пространстве редуцируется к бо«весовому случаю. _________ - .....

Апробация- работы. Результаты диссертации докладавались на семинара кафедры алгебры и дискретной математики- Ростовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. И.Б.Симоненко), на семинаре лаборатории математического анализа Санкт-Петербургского отдаления Математического института им. В.А.Стеклова (рук. д.ф.-и.н., проф. В.П.Хавин и д.ф.-ед.н., проф. 0.А.Виноградов), на ежегодных научных конферен-

- б -

циях Донского государственного технического университета (1993-1995гг.}.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ в соавторстве с научным руководителем В.М.Дэундяком. Результаты этих работ принадлежат соавторзм в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 110 страницах и состоит из введения и трёх глав. Библиография содержит 64 наименования отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕШАНИЕ РАБОТЫ

Напомним некоторые определения и обозначения. Пусть чг -единичная окружность комплексной плоскости с центром в нуле, 1<р<т, Ар - шожэство весов Ханта-Макенхаупга-Видена, ы е Ар. Норму в весовом пространстве Ър{ш) зададим равенством:

Шр.с - (Л№)\рша)бЖ*))'/р,' где га — нормированная мера Лебега на тт. (Если область интегрирования не указана, то подразумевается интегрирование - по тг.) Черэз Зр ш обозначим сингулярный оператор Коши, действующий в Ър(ш):

Примам обозначения: Ър ■= 1>р(1), Зр = 8р1, Шр - ,Шр11,-. Чэрез 1пс1(к), когдз к - бгнахово пространство, будем

- 7 - _ ----------- ---------

обозначать банахозу алгебру всех линейных. ограниченных ош-рзторов, действующих в п. lait как ш е то го таорамэ Хаита-Макенхаупта-Бадзна

Для произвольной: замкнутой подалгебр)! А банаховой алгебры La всех существенно ограниченных на тг фушш^ ^""::-—., ««^

nw^Sii' алгейрч Znd(I (ш}), шретдэнную бшрзтором Зр ^ и операторами умнохэния на функции из А. При этом А называется алгеброй козффицкэнтов, а WS U,A) — алгеброй сингулярных интегральных -операторов с коэффициентами из Л. В отличда от базвасовоа алгебры 4i(S ,А)

ЗР

структура алгебры V(Sp tù,Ji) с нетривиальным весом зависит нз только от свойств алгебры коэффициентов А, но и от ш, что существенно осложняет исследование нетерфвости и вычисление индекса. Поэтому представляется перспективным такоа штод исследования нетаровости алгебры 1USp который

позволяет редуцировать ату задачу к безвзсовойу случаю.

Сопоставление

c£,J (Ш(Ър(ш))з) L h— o>1/p'Z(ù}-'/p>J определяет естественный изоморфизм подобия банаховой алгебры Ind(bpCwj) на банахову алгебру ~£пй{Ър). Однако, для произвольной алгебры коэффициентов А и произвольного веса образ Ыш<гГГ.9р ы,ЛЛ(с Ind(bp)) алгебры 4i(S относитель-

но отображения аы не совпадает, вообще говоря, с алгеброй

<U(Sp,A), то есть структура алгебры do>{'U(Sp b},Ji)) существенно зависит от сёояств веса ш. В дальнейшем операторы из o^WS Ö»AJ) будем называть взвешенными сингулярными интегральными операторами (в частности, otw<Sp u) — взвешенный сингулярный оператор Коши).

Отметим, что в случае сложного ляпуновского контура и степенного веса Хведелидзе действие ос^ на алгебры сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами исследовалось ранее в работах И.Ц.Гохбврга, Н.Я.Крупника, И.Б.Симоданко, Б.Зильбермана и др.

Диссертация посвящена, главным образом, определению условий на вес w, при которых естественное отображение подобия осуществляет изоморфизм алгебры сингулярных интегральных операторов с коэффициентами из банаховой алгебры ¿ЦсХ^), действующих в весовом пространства Lp(w), на аналогичную операторную алгебру в безвесовом пространстве, а такзке исследованию некоторых алгебраических свойств рассматриваемых злгебр. В главе II диссертации оператор изучается с

помощи включения его в некоторое голоморфное семейство взвешенных сингулярных операторов Коши. Полученные результаты позволяют определить в главе III достаточные условия на вес ы, гарантирующие для произвольной заданной алгебры коэффициентов Л изоморфносггь алгебр V(S иГА) и <U(Sp,J) относительно о£ . Кроме того, в главе III устанавливается наобходи-

____________—----------- 9 -

мость вышеупомянутых услов1а в случае, когда Л — алгебра Сарасона. Доказательство необходимости основано на результатах глзвы I, в которой исследуются свойства коммутаторного вдэала алгебры сингулярных интегральных ошраторов с коэффициентами из алгебры Сарасона, а так®« "гг^ - п

односторонними идеалами алгебры .

Перейдем к изложению работа по главам. Во введении содержатся краткие историческиэ сведения по изучаемой теме и изложены основные результаты диссертации. Глава X состоит из трех параграфов.

В § ' 1. Г излагаются предварительные сведения и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые в дальнейшем. Через tf^ (1ф&>) будем обозначать пространство Харда (иногда вместо Ир мы будем писать просто йр), а через а — произвольную алгебру Дугласа (то есть замкнутую подалгебру банаховой алгебры содержащую Я^). По алгебре Дугласа & опре-„деляются полугруппа обратимых в д внутренних функция и

даэ С*-алгебры:

q& ~ л П й, \ - algi!8aU *л), которые будем называть алгебрами Сарасона.

В пространстве Бр (1<р<а>) рассматриваются ганкелев ж

теплицэв операторы Н+ = р~ ы р+ и Т* = Р* и Р*. гле

*> р р р <р р р р'

+ f

Р~ = ~ единичный оператор алгебры Enû^), jt^

— оператор умножения на феХ^. Наряду с Н*. Т* будем рассматривать такте операторы Н~ = Р* Ё^ Р~ и Т~ = Р~ Р~.

В §1.2 вводятся замкнутые правые идеалы алгебры £пй(1р), связаннш с произвольной фиксированной алгеброй Дугласа а:

ЗГ = <Ъ е Шй(1)1 1п1 ЦСР-й. щ = 0), р р *

3* - а; £ ЕпйГ! ): 1п1 |ГР+*Л;| = 01,

Р Ь€»Л Р Ь

Зд =3- пз*

и исслвдукггсп их свойства. В частности, шказывается, что Зя '{О}, Зн = Сошр(1 ),

и 0 г .

где СошрГХ ) — ъ&еал штатных оператороб алгебры Епс1(£ },

Р Р

и доказывается следующая важная для дальнейшего теорема.

Теорама 1.2.1. Зд «Злятся заланутл двусторонний идеалом замкнута подалгебр* Ш5р,«?л,Зд; Оаногобой алгебры Тпй(Ър), порожденной оператором операторам из 3Й и операторами утешения на Щриащи из вд.

Далее исследуется связь меаду идеалами з|, Зд и огора-торами Теплица и Ганке ля.

Теорема 1.2.2. Для произвольных функции <р из Ъ^ и алгебры Дугласа-л

сШ^Й^.З^ = Шв^/ф = |ф|в.

Теорема 1.2.3. Для произвольных функции <р из и

алгебра Дугласа &

МвШ*Дй) - та!:

для. удобства приняли обозначения: я4 == д, а" = {/; /(,&).

Теорэма. 1 .2.3. обосбщает теорему' о суп^ствеппоа порта

р~горл Ди навала СсггрСХ^}), которая является еэ частным случаем при

По аналогии с Зд и За вводятся замкнутые лэвыэ идеалы ®д и ®л ал^вбри ~Епй(Ър), обладающие сходными свойствами. В следующей теореме устанавливается соотношение двойственности вевду левыми л правыми здэзлани.'

Теорана 1.2.4. Пусть 1<р<<*>, р-1), & — щхлявольная алгебра Дугласа. Тогва

- &1Р>*> = <зд.рЛ

(Второй нижний индекс в обозначениях идеалов, например, ц, означает, что рассматривается идеалы алгебры ЕпсЦЬ^).)

В § 1.3 ал1^раЛ1Г5р,вд; изучаеуся-с шмощью идеала Зд, соответствующего той та алгебре Дугласа л, что и алгойра коэффициентов <?а. Пример использования, одностороннего вдэала алгебры Епа<£Гг) дяя исследования алгебр тешшцэвых одарато-ров содержится в работах Н.К.Никольского.

Сформулируем основные теоремы §1.3. Пусть а — произвольная. злгебра Дугласа, ' © - пряная сумма банаховых

алгебр с нормой |(<р,ФЛ = иахС|<рЫФ1,)- В следующей теорема содержится утверждение о каноническом представлении ошрато-ра из

Теореиа 1.3.1. Любой оператор ? из Ч1(Зр,Ял) единствен-кил оОразол представил в виде:

р = + *Л + Т-

где <р,ф 6 <}д, а Г е Сат(ЩЗр>Цй)). При этап соответствие

Р к—►

задает эгшлорфизл банаховой алгебры Ч!(Зр,(}&) на банахову алгебру £)Л Ф Я&, ядро которого совпадает с Сош(ЩБ ,ЯА)). Теорема 1.3.2. Справедливы равенства:

соштр^Оь)) ~ зйп = ©Лп чн^.Оь).

Глава II диссертации посвянцзна изучению свойств голоморфного семейства взвешенных сингулярных операторов Коши. Она состоит из четырех параграфов.

В 6 2.1 приводятся необходимые в ■ дальнейшем свойства пространства функций ограниченной средней осцилляции ВМО и свойства весов Ханта-Макенхауггга-Видена, совокупность которых обозначается через Ар.

В § 2.2 описывается некоторая операция дифференцирования, заданная на (незамкнутой) алгебре Уа(Зр Ж,А) (с 1пй(1р(ае;)), порожденной оператором ж и операторами умножения на функции из Л. В определенном смысле рассматриваемое дифференцирование ставит в соответствие оператору

1еЧ10(Зр Н,А) его коммутатор с оператором умножения на функцию ЫВМО (оператор Иь не является, вообще говоря, ограниченным в 1р(эеЛ. В статье Кояфмана и Рочберга исследовался вопрос об ограниченности в 1>р(х) коммутатора 1Ыь,Зр я1 и оценивалась его норма. В диссертации (11.

покоторая подалгебра алгебры 1Ю, определяемая по функции Ъ.

В §2.3 вводится семейство взвешенных сингулярных ошра-торов Коши и формулируются теоремы о его свойствах, которые являются основными результатами главы II.

Пусть и>Ыр1 = и+и, где и.и ( Ът и и — функция,

сопряженная функции и; А — замкнутая подалгебра алгебры 1<я, порожденная функциями и и и; А = 1гес: о(< < о2>, где

числа о,<0 и о„>1 таковы, что ш =■ е А дая любого

12 г р

лей; Ся: ,А) — И^Я,Л.) - диффэрзнцировзниэ.

описанное в §2.2, соответствующее операции коммутирования с оператором Нь, где Ь=~1п(ы) £ ЕНО'.-И^-. Лр<ш,7 —* Ър — изометрический изоморфизм, определяемый формулой = аг/г-/. Все рассмотренные в этом абзаце объекты сусрствуют--в- силу результатов из" §§ 2.1-2.2. Для любого 2€Д оператор

ограничен в пространстве причем А(1) - где

- 14 -

— рассмотренное выше отображение подобия из Inü{Lp(w)) в IndСопоставление z i—• A(z) определяет опзраторно-значную функцию А: А •— laü(Lp), свойства которой рассматриваются в следующих двух теоремах.

Teopeua 2.3.1. (1) Функция А гололорфна в А, примХл в некоторой окрестности точки СеЛ справедлива форлула: Alz) - Нс exp((z-Uö()(S ) (VKr'.

(2) Для любых СеЛ и т=0,1,...

Теореыя 2.3.2. Для любых z.teA иЫ,2,... <1) е

(2> ¿ГгМГС,», е CornmSpM^.

Таким образом, в силу теоремы 2.2.2 операторы Ne S (ЯГ1 образуют голоморфное семейство взвешенных

р' в

сингулярных опвраторов Кош. Для случая р=2 семейство операторов такого типа рассматривалась в одной работе Кояфмана, Рочберга и Вейса.

В $2.4 доказываются теоремы 2.2.2-2.2.3 и рассматривается пример с р=2 и простейшим весом Хведелидаа ш(t) - |t-f|a (~1<и<1). В этом примере приводится выражение взвешенного 'интегрального ошратора Коти ыш(Бг ш) через оператор S2 и оператор умножения на кусочно-непрерывную функцию In(t) (СKarg(t)<2tc ).

Глава III посвящена определению условия, при которых отображение осуществляет изоморфизм подобия алгебры на алгебру Ч1(Зр,Л). Глава состоит из двух парагра фов. _

В 6Я-1 ГГЛ>Т/ к." >» "

,-----•

достэтсчпья УСЛСЕИЯ НЗ еэс и, ГЭрзНТКрУЩИО для произвольной заданной алгебры коэффициентов А изоморфность алгебр И^^А) и ЩЗр,Л) относительно <ЛШ.

Теорема 3.1.1. Пусть 1<р«», из е А. Если фунтуш

г»

из представления 1п(ш) = ш-и принадлежал заткнутой подалгебре А банаховой алгебра ко отображение ^ осупузствляет изо.юр$изл подобия алгебри 11(5 ,А) (сЕлй(Ъ (ы))) на алгебру и(БрГА) (сЕпй(1р)), при зтол

~ ^ «с™тзР1<л,А)).

В случае, когда Д-РС и ш — вес Хведелидзе, И.Ц.Гахоерг. и'Н.Я.Крутайк получиот формулу, с. пбмощыо.которое вярдпенкыз сингулярный оператор Каии ппно выратается чэреи

зломокты- алгебры А1(Зр,А). В теореме 3.1.2 эта формула . распространена на случай общих коэффициентов и весов.

В §3.2 в качестве алгебры коэффициентов рассматривается алгебра Сарасона. В этом случае важную роль в дальнейшем изложении играет некоторое замкнутое подпространство УНО^ про-

- 16 -

странства BMQ, связанное с алгеброй Дугласа «.

Трорека 3.2.H. Пусть л - алгебра Дугласа, 1<р«а, и>Ыр.

Если 1пСш; е Ш>Л, то *jspj - sp е Caa(V(Sp,G&)).

Теорема 3.2.3. Пусть л - алгебра Дугласа, 1<р<<в, шеАр,

1п(ш) с 7М0Л. Тогда любой оператор. ? из 4}(Sp iù.Q&) евинсш-

беиныл образам представил в виде:

F = U Р* + M Р" + Г, pp." тр." '

2de ф,ф е Qa, а Г ç ComfUfSp Л, и сопоставление

F

aaôœn эпилорфизл цА ш банаховой алгебра на банахо-

ву алгебру Qa Ф Q&, ядро второго совпадает с ComiW(S„ При этол справедливо равенство:

Нй.и - ^й.,4,-Одним из главных результатов диссертации является следующая теорема, содержащая обращение теоремы 3.2.2.

Теорема 3.2.4. Пусть а - алгебра Дугласа, 1<р<а>, шеА . Следущше repu условия равносильны: 1 ) 1п(ш) с 7МОа ;

2> «JSP,J - sp с соътзр,сй))- 3) djsp j е wsp,Q&).

Следствием теорем 3.1.1 и 3.2.3 является критерий изо-морфности алгебр V(Sp ^А) и WSp„<U относительно аш в случае, когда А — алгебра Сарасона.

Теорема 3.2.6. Пусть л - алгебра Дугласа, А е iC&,Qa}, 1<р«о, ш е Ар. Тогда отображение ctu осуществляет изолорфизл подобия алгебры Ч1(Бры,А) (с?пй(Ър(ш))) на алгебру V(S ,А)

fcZnü<ip)) в тол и только в яюл случае, когда lnfcu; е

Автор глубоко признателен В.М.Деундяку за руководство

работой.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ -

1. Георгиев К.А., Дэундяк В.М^ о п^г}ТпГ"~г* — 'оиэтулярияг T*?rr;rp±tbruz ¿лЪрзторбв в soccsus пространствах // Модели и дискретные структуры. Сб. науч. трудов.-Элиста, 1993.- 0.70-77.

2. Георгиев К.А., Деуядяк В.М. Структура алгебр сингулярных интегральных операторов в весовых L - пространствах на окружности // Известия вузов.. Математика,- Казань, 1333.-№.- С.84-87.

3. К,Л.Георгиев, В.М.Деундяк. О принадлежности взвешенного сингулярного оператора Коши некоторой операторной алгебре. - Ростов Н/Д, 1993.- 37.- Деп. в ВИНИТИ 11.03.93, №74 - В93.

4. К.А.Георгиев, В.М.Дэундяк. Накото^ьгаалгебраические свойства сингулярных интегральных операторов с кссффицкэктаки из алгебры'Сарасона. - Ростов н/Д,1993-Деп. в ВИНИТИ 15112.93, Й3084 - В93.

5. К.А.Георгивв, В.М.Деундяк. Критерий принадлежности взвешенного сингулярного оператора Кош алгебре сингулярных интегральных операторов с коэффициентами из алгебр Сара-сона,- Функц. ан. к его прило«., 1994.- 1.28, 'S 3.