Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений двойного математического маятника тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1 Введение

2 Численное исследование гомоклинических трансвер-сальных пересечений двойного математического маятника

2.1 Сечение Пуанкаре. Отображение Пуанкаре. Фазовые портреты.

2.2 Периодические гиперболические точки отображения Пуанкаре

2.3 Построение сепаратрис отображения Пуанкаре.

2.4 Гомоклинический инвариант

2.5 Точность вычислений.

3 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы при 5 —> 0 в случае, когда значения параметров е и ь> близки к вырожденным значениям

3.1 Поведение двойного математического маятника в пределе при £ —»■ 0.

3.2 Расщепление сепаратрис предельной системы в случае адиабатического возмущения.

3.2.1 Гиперболические периодические траектории

3.2.2 Уравнения в вариациях в окрестности гиперболических периодических траекторий.

3.2.3 Техническая лемма.

3.2.4 Построение сепаратрис гиперболических периодических траекторий.

3.2.5 Гомоклинические трансверсальные пересечения сепаратрис гиперболических периодических траекторий

3.2.6 Количественные оценки на значения параметров, при которых существуют гомоклинические трансверсальные пересечения предельной системы.

3.3 Расщепление сепаратрис предельной системы в случае быстроосциллирующего возмущения.

3.3.1 Гиперболические периодические траектории

3.3.2 Уравнения в вариациях в окрестности гиперболических периодических траекторий в случае быстроосциллирующего возмущения.

3.3.3 Техническая лемма.

3.3.4 Построение сепаратрис гиперболических периодических траекторий в случае быстроосцилли-рующего возмущения.

3.3.5 Гомоклинические трансверсальные пересечения предельной системы в случае быстроосцилляци-онного возмущения.

3.3.6 Количественные оценки на значения параметров, при которых существуют гомоклинические трансверсальные пересечения предельной системы.

4 Исследование гомоклинических пересечений предельной системы при 5 0 в случае, когда значение одного из параметров е, и фиксировано, а значение другого близко к вырожденному значению.

4.1 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае низкоэнергетического возмущения.

4.2 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае высокоэнергетического возмущения.

4.3 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае адиабатического возмущения.

4.4 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае высокочастотного возмущения

4.4.1 Асимптотический метод.

4.4.2 Численный метод для определения константы 61(1/)

Данная диссертация посвящена изучению эффекта расщепления сепаратрис динамической системы "двойной математической маятник" , которая является классическим примером консервативной динамической системы с непрерывным временем. Явление расщепления сепаратрис рассмотрено во многих научных работах (например, [28], [3], [12], [9], [34]). В большинстве из них рассматриваются модельные искусственные динамические системы. В то время, как реальные физические системы мало изучены в силу сложности аналитических построений.

Хорошо известно, что нелинейные автономные гамильтоновы системы могут включать как регулярное, так и стохастическое поведение своих траекторий. В интегрируемом случае (когда количество независимых интегралов движения равно числу степеней свободы системы) движение довольно просто описать. Фазовое пространство разбивается на инвариантные многообразия (лагранжевы торы), каждый тор порождает квазипериодическое движение с частотами, зависящими от тора. Если число степеней свободы больше единицы, то при достаточно малом возмущении динамической системы часть инвариантных многообразий исчезает, однако, большинство торов остается, лишь немного деформировавшись. Оставшиеся торы порождают квазипериодическое движение с теми же частотами, что и соответствующие торы невозмущенной задачи, и, как следует из КАМ-теории, удовлетворяют некоторым дополнительным условиям нерезонансности [1]. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера Лебега дополнения к их объединению мала с возмущением. На месте разрушенных инвариантных торов появляются новые, однако, вообще говоря, дополнение к инвариантным многообразиям в этом случае не пусто, и движение сильно усложняется [32].

Основной составляющей этого движения являются гиперболические периодические траектории. Каждая гиперболическая периодическая траектория обладает устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями, сплошь заполненными траекториями, неограниченно приближающимися к периодической траектории при £ —=Ьоо. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируемых случаях ситуация иная: инвариантные многообразия могут трансверсаль-но пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Если устойчивое и неустойчивое многообразия принадлежат одной и той же периодической траектории, то их пересечение состоит из траекторий, называемых гомоклиническими. Если же они отвечают разным периодическим траекториям, то точки пересечения образуют гетероклинические траектории. Наличие гомоклинических траекторий является источником хаотического поведения динамической системы, а гетероклинические траектории служат как бы мостами между различными видами хаотического движения [2].

При исследовании движения возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. Если число степеней свободы больше двух, то ла-гранжевы торы не делят многообразие уровня постоянной энергии, а расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. При этом "щели", отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом, поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко, т.е. появляется возможность для явления, которое в литературе называется диффузией Арнольда [1].

Картина становится совершенно иной в случае двух степеней свободы, поскольку тогда инвариантные торы делят многообразие постоянной энергии, и устойчивые и неустойчивые многообразия периодических траекторий заключены между этими торами, образуя так называемый стохастический слой.

В случае, когда число степеней свободы равно двум, изучение поведения динамической системы в окрестности "стохастического слоя" может быть сведено, с помощью сечений Пуанкаре, к изучению отображения, сохраняющего площадь. При этом гиперболические траектории есть неподвижные гиперболические точки этого отображения, а устойчивые и неустойчивые многообразия - кривые, которые называются сепаратрисами. Одной из главных характеристик стохастического слоя является угол пересечения сепаратрис. Неравенство нулю этого угла в точке гомоклинической траектории (или в случае гетероклинического пересечения неравенство нулю двух углов, образованных неустойчивой сепаратрисой одной гиперболической точки с устойчивой сепаратрисой другой гиперболической точки, и наоборот) приводит к сложному поведению динамической системы, упомянутому выше. В частности, это ведет к существованию бесконечного числа как гиперболических, так и гомоклинических траекторий, что может быть рассмотрено, как прямая проверка неинтегрируемости системы [23].

Плодотворная постановка задачи об интегрируемости уравнений Гамильтона и первые нетривиальные результаты в этом направлении принадлежат Анри Пуанкаре. В работе "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики" [32] он исследовал задачу о полной интегрируемости "основной проблемы динамики". Речь идет о гамиль-тоновых системах, возникающих в теории возмущений, когда функция Гамильтона разлагается в ряд по степеням малого параметра Н = Но + еН\ + е2Н2 + ., причем гамильтониану Щ отвечает вполне интегрируемая система. Из его результатов вытекает, в частности, расходимость рядов различных вариантов теории возмущений в общем случае. Пуанкаре указал также явления качественного характера в поведении фазовых траекторий, препятствующие появлению новых интегралов; среди них - рождение изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис. После работ Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов "в целом" связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях постоянной энергии, которые известны, но имеются в недостаточном количестве. Попросту говоря, на уровне постоянной энергии должны существовать траектории всюду плотные в некоторой области на нем [1].

Целью данной работы, как раз и является изучение сложного, стохастического поведения фазовых траекторий двойного математического маятника. Упоминания о двойном математическом маятнике и о сложности поведения траекторий этой системы можно встретить, например, в [27] и [2]. Вопрос о неинтегрируемости данной динамической системы исследовался в [5], [6], [33]. Однако в этих работах рассмотрены лишь некоторые частные случаи при довольно сильных ограничениях на параметры системы. Таким образом, до настоящего времени отсутствует полное систематическое исследование вопроса о неинтегрируемости двойного математического маятника. Предполагается, что данная работа станет первой из серии работ, конечным результатом которой должно стать исследование вопроса о неинтегрируемости этой динамической системы.

Рассмотрим двойной математический маятник. Эта система состоит из двух масс т\ и Ш2, расположенных, как показано на рис.1, на двух последовательно соединенных плечах, длины которых равны ¿1 и ¿2? причем верхний конец первого из них зафиксирован и вся система находится под действием силы тяжести с ускорением свободного падения д.

Рис.1

Обозначим через ф\ и </>2 углы отклонений плечей от вертикальной оси. Тогда гамильтониан системы Н имеет вид: н = 1 (р\ Р1Р2СО*{ф1-ф2) + ^(1 + ^)'

ТП1 + т2 8т2(</>1 - </>2)) V11 Ьк % (7721 + "12)0/1(1 ~~ С08<^1) + 7712^/2(1 - СОЯ ф2), (1.1) где р\ и р2 - обобщенные импульсы, соответствующие координатам

Фь ф2

Мы будем изучать движение системы (1.1) на энергетической поверхности Н = Е, рассматривая значение энергии Е, как дополнительный параметр системы. Число параметров системы может быть уменьшено, если положить г т2 О = -, £ =

7711 к

Е й= н

2ш1^/1 тгдЬ

Тогда гамильтониан и уравнение энергетической поверхности могут быть записаны следующим образом:

ТТ 1 ( 2 Р1Р2 С05(ф1 - ф2) р\(1 +

1+6 8Ш2(^1 — Ф2)) \ ) +

1 + 8)(1 - С08фг) + 6г2( 1 - со8 ф2) (1.2)

Й(фъф2,Р1,Р2)^2и2. (1.3)

Таким образом, пространство параметров данной системы есть где Е+ = (0, +оо), и оно некомпактно. Компактифицируем его, добавив {0, +00} к каждому экземпляру и рассмотрим топологически множество ЩГ = и {0, +00}, как замкнутый интервал, а компактифицированное пространство как куб К§€Р. Следует отметить, что грани, ребра и вершины этого куба соответствуют вырожденным значениям параметров.

Численные эксперименты (см. также [33]) показывают, что система (1.2) проявляет хаотические свойства и поэтому можно ожидать ее неинтегрируемость. Уточним определение неинтегрируемости.

Рассмотрим гамильтонову систему, определенную на симплекти-ческом многообразии X, сШпХ = 2п, с гамильтонианом Н. Будем говорить, что система интегрируема на открытом подмножестве О С I, если существует п функций Д, /г?--? Лг> определенных на С таких, что

1. {/,,#} = О, * =

2. {/ь/Л = 0, /с,= 1, .,п

3. {У//С(ж)}^1 линейно независимы для всех ж £ С, где {•, •} означает скобки Пуассона.

Задавая и £ К, рассмотрим энергетическую поверхность Н — V. Пусть V не является критическим значением энергии. Будем говорить, что система интегрируема на уровне энергии если существует открытая окрестность С многообразия Н~1(и) такая, что система интегрируема на (2. Без потери общности можем считать, что (7 = и где - постоянные величины.

VI <Л'<М'1

Из теоремы Лиувилля-Арнольда следует, что если подмножество Н~1{\у — £о,1/ + £о]) компактно для некоторого положительного £о и данная система интегрируема в области Н~1(\ь> — е, г/ + е[), £ < £о, тогда система изоморфна интегрируемой модельной системе на В х Тп = {(/,0)} с гамильтонианом Н^едГаЫе, зависящим только от I. Если такой окрестности С не существует, будем говорить, что система неинтегрируема на уровне энергии и.

Сформулируем основную гипотезу:

При всех невырожденных значениях параметров 6, е, и, система (1.2) неинтегрируема. Под невырожденными подразумеваются значения отличные от нуля и бесконечности.

Как уже упоминалось, прямой проверкой неинтегрируемости системы может служить доказательство существования гомоклини-ческих трансверсальных пересечений инвариантных многообразий этой системы. Таким образом, для оправдания гипотезы достаточно указать на каждом уровне энергии и и для любых нетривиальных значений параметров 6 и е гиперболическую периодическую траекторию, сепаратрисы которой пересекаются трансверсально. Однако данная задача оказалась довольно трудной.

В настоящей диссертации реализована лишь часть этой программы. А именно, во второй главе разработан численный метод, позволяющий доказать неинтегрируемость системы при фиксированных значениях параметров. Данный метод состоит из численного нахождения координат неподвижных гиперболических точек, численного построения сепаратрис этих точек, нахождения гомоклинических точек и угла пересечения сепаратрис. Эта схема была реализована для трех наборов параметров 1.6 = 0.01, £ = \/5, г/ = 1.16;

2. 5 = 0.01, г = \/10, у = 0.80;

3. ¿ = 0.01, £ = >/7, 1/ = 0.16. , и при этом была доказана неинтегрируемость двойного математического маятника для этих фиксированных значений параметров. Стоит отметить, что данный метод применим для произвольных фиксированных значений параметров системы. Более того, из устойчивости гиперболических объектов относительно малых возмущений следует, что если система неинтегрируема для какого-то фиксированного набора параметров (¿>о, £о, Ц)), то автоматически это влечет неинтегрируемость системы в некоторой окрестности этой точки в пространстве параметров. Если бы пространство параметров было компактно, то можно было бы попытаться покрыть все пространство параметров конечным числом окрестностей, в которых доказана неинтегрируемость. Однако это не так. Поэтому численное исследование необходимо дополнить асимптотическим исследованием окрестности вырожденных значений, т.е. окрестности граней, ребер и вершин куба параметров. Во второй главе асимптотически исследуется предельная система, к которой приводится двойной математический маятник при 8 —> 0. То есть рассматривается система (1.2) на грани куба К$£1/, соответствующая <5 = 0. Эта система описывается гамильтонианом

V2 = у - СОБ(х ~ (1-4)

6с1п2(т, и) + 4г/2 — 5, у< 1;

6созЬ~2(г) — 1 или — 1, V — 1; (1.5)

6сп2(т, у) + Ау2 - 5, V > 1,

2агс*8 , „ < 1;

У сЬ^Т,^) фу(т) = \ 2аг^(8тЬ(т)) или 7г, и = 1; (1.6)

2ахс48 . „ > 1

Заметим, что в случае V = 1 функция фр{т) (соответственно 'Фг/(т)) имеет разный вид в зависимости от того, находится ли первый маятник в неустойчивом положении равновесия (второй случай) или его движение происходит по сепаратрисе (первый случай). Кроме того, в этой главе предполагается, что значения оставшихся двух параметров близки к вырожденным значениям. Это соответствует тому, что точка в пространстве параметров лежит на грани 5 — 0 и находится в малой окрестности от вершин куба K§£v. При этих предположениях доказано существование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы, получены асимптотические формулы для величин, характеризующих угол пересечения сепаратрис и получены оценки на значения параметров, при которых эти формулы справедливы. В частности, справедливо следующее утверждение:

Пусть значения параметров предельной системы удовлетворяют одному из следующих условий: lVe2 + V2 < Ю-3, logev>\\

2.\/е2 + v~2 < 5 - 10~3, — log£ V >

3.Уе~2 + и2 < 4 - Ю"7; 4Уе-2 + г/-2 < 2 • ИГ5, тогда предельная система неинтегрируема.

В третьей главе также исследуется предельная система при Ô —> 0. Однако в отличии от главы 3 предполагается, что один из параметров е, 6 фиксирован, а значение второго близко к вырожденному значению. Эта ситуация отвечает тому, что точка в пространстве параметров лежит на грани ô = 0 и находится в малой окрестности соответствующих ребер К$£1/. При этих предположениях также доказано существование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы и получены асимптотические формулы для величин, характеризующих угол пересечения сепаратрис.

Необходимо отметить, что из существования гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы следует как неинтегрируемость этой системы, так и неинтегрируемость двойного математического маятника для тех значений параметров, которые лежат в малой окрестности ребер и вершин куба параметров К$£1/, соответствующих грани 5 = 0.

Основные результаты диссертации докладывались на:

1. International conference "Day on Diffraction 2000", St.-Petersburg, May 29 - June 1, 2000;

2. International conference "COC 2000", St.-Petersburg, July 5-7, 2000;

3. семинаре кафедры математической и вычислительной физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, май, 2000;

4. семинаре кафедры прикладной математики и анализа университета Барселоны, июль, 1999 и опубликованы в следующих печатных работах:

1. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum - I. Numerical investigation of homoclinic transversal intersections, Regular and Chaotic Dynamics, No.l, 1999;

2. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum - II. Investigation of exponentially small homoclinic intersections, Mathematical Preprint Series No.271, 1999, Universität de Barcelona;

3. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum - III. Menikov's method applied to the system in the limit of small ratio of pendulums masses, Mathematical Preprint Series No.282, 2000, Universität de Barcelona;

4. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum - IV. Quantitative bounds on values of the system parameters when the homoclinic transversal intersections exist, Dynamik, Analysis, effiziente Simulation und Ergodentheorie, Preprint 29/00, Free University Berlin (2000) 42 p.;

5. A.V.Ivanov, Study of homoclinic transversal intersections for the double mathematical pendulum, Proceedings of 2nd International Conference "Control of Ocsillations and Chaos", v.l, pp.50-52.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору В.Ф.Лазуткину, под руководством которого проходили данные исследования, за его внимание к работе, полезные замечания и советы. Также автор благодарен В.Г.Гельфрейху и Н.В.Сванидзе за их внимание к работе и полезные дискуссии.

Исследования проходили при поддержке гранта Российского Фонда Фундаментальных Исследований с 1997 по 1999 гг. (№ 97-0100612), а также грантов INTAS grant 93-339-ext, INTAS grant 970771, CRDF RMI-227 и гранта государственного комитета по высшему образованию России.

5 Заключение

В данной диссертации представлены следующие результаты: 1. В работе описана процедура, позволяющая доказать неинтегрируемость динамической системы, зависящей от многих параметров. Данная процедура применена к системе двойного математического маятника. Из визуального анализа фазовых портретов системы найдены приближенные положения некоторых гиперболических периодических точек, а их уточненные координаты вычислены с помощью метода Ньютона. Получены изображения соответствующих сепаратрис, вычислены координаты некоторых гомоклинических точек и их гомоклинические инварианты. Эта схема реализована для трех наборов параметров системы и значений энергии. Доказана неинтегрируемость системы для этих значений параметров и энергии, что означает отсутствие первого интеграла у отображения Пуанкаре, соответствующего данному уровню энергии.

2. Асимптотически исследована предельная система, которая эквивалентна системе двойного математического маятника в пределе при <5 —0. Данная система исследована в предположении, что значения двух других параметров системы близки к вырожденным значениям. При этом доказано, что предельная система имеет гиперболическую периодическую траекторию в малой окрестности неустойчивого положения равновесия невозмущенной системы. Кроме того, доказано, что сепаратрисы этой гиперболической периодической траектории близки к сепаратрисе невозмущенной системы и пересекаются трансверсально. В ходе доказательства получены и доказаны асимптотические формулы для гиперболической периодической траектории, решений Флоке уравнения в вариациях в окрестности этой траектории, сепаратрис данной системы и величин, характеризующих угол пересечения этих сепаратрис. Также получены количественные оценки на значения параметров предельной системы, при которых все выше перечисленные асимптотические формулы имеют место.

3. Предельная система, соответствующая случаю (5 = 0 исследована асимптотически в предположении, что один из параметров е или V имеет фиксированное значение, а значение второго близко к вырожденному. При этом доказано, что предельная система имеет гиперболическую периодическую траекторию, которая расположена в малой окрестности неустойчивого положения равновесия невозмущенной системы. Как и в предыдущем случае, получены и доказаны асимптотические формулы для этой гиперболической периодической траектории, сепаратрис данной траектории и величин, характеризующих угол пересечения этих сепаратрис.

4. Доказана неинтегрируемость двойного математического маятника для тех значений параметров, которые лежат в малой окрестности вершин и ребер куба параметров системы К$£г/, соответствующих грани <5 = 0.

1. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, "Наука", М., 1974.

2. Арнольд В.И., Неустойчивость динамических систем со многими степенями свободы, Доклады АН СССР, 156(1964), 1, 581585.

3. Ахиезер Н.И., Теория эллиптических функций, Москва, 1973.

4. S. Bolotin, P. Negrini, A variational criterion for nonintegrability, Russian J. of Math. Phys., v.5, No.4, 1997, pp.415-439.

5. A.A. Burov, Nonexistence of an additional integral of the problem of a planar heavy double pendulum, Prikl. Matem. i Mekhan. 50, 168-171, 1986.

6. A.Delshams, Tere M. Seara, An asymptotic expression for the splitting of separatrices of the rapidly forced pendulum, Commun. Math. Phys. 150 (1992), pp.433-463.

7. V.G.Gelfreich, Melnikov Method and exponentially small splitting of separatrices, Phys. D, 101(3-4), 1997, pp.227-248.

8. V.G.Gelfreich, Conjugation to a shift and splitting of invariant manifolds, Applicationes Matematicae (1996).

9. V.G.Gelfreich, Reference system for splitting of separatrices, Nonlinearity 10 (1997) 175-193.

10. V.G. Gelfreich, V.F. Lazutkin, N.V. Svanidze, A refined formula for the separatrix splitting for the standard map, Physica D 71 (1994) 82-101.

11. J.Guckenheimer, P.Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, Berlin-Heidelberg-New York-Tokio, 1983.

12. H.Henon, Numerical Stability of the Restricted Problem: V. Hill's Case: Periodic Orbits and their Stability, Astron. Astrophys. v.l, 1969, pp.223-238.

13. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum I. Numerical investigation of homoclinic transversal intersections, Regular and Chaotic Dynamics, No.l, 1999.

14. A.V.Ivanov, Study of the double mathematical pendulum -II. Investigation of exponentially small homoclinic intersections, Mathematical Preprint Series No.271, 1999, Universität de Barcelona (submitted to Nonlinearity).

15. A.V.Ivanov, Study of homoclinic transversal intersections for the double mathematical pendulum, Proceedings of 2nd International Conference "Control of Ocsillations and Chaos", v.l, pp.50-52.

16. JI.B. Канторович, В.И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, "Физматгиз", Л., 1962.

17. Козлов В.В., Интегрируемые и неинтегрируемые случаи задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, УМН., т.34, № 5 (1979), 241.

18. Козлов В.В., Симметрии, топология и резонансы в гамилъто-новой механике, Ижевск, Издательство Удмуртского гос. университета, 1995.

19. V.F. Lazutkin, KAM Theory and Semiclassical Approximations of Eigenfunctions, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3.Folge, Band 24, A Series of Modern Surveys in Mathematics.

20. Лазуткин В.Ф, Расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова, рукопись деп. в ВИНИТИ 24 сент. 1984г., № 6372-84.

21. V.F.Lazutkin, Exponential splitting of séparatrices and analytical integral for the semistandard map, preprint, Université Paris VII (1991), 53p.

22. Лазуткин В.Ф, Об аналитическом интеграле вдоль сепаратрис полустандартного отображения: существование и экспоненциальные оценки для расстояния между устойчивой и неустойчивой сепаратрисами, Алгебра и анализ, 1992, т.4, № 4, 110-142.

23. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механик, Теоретическая физика, т. 1, "Наука", М., 1988.

24. Мельников В.К., Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях, Труды Московского математического общества, 12, 3-52, 1963.

25. V.Moauro, P.Negrini, Chaotic trajectories for a double pendulum, Prikl. Matem. i Mekhan. 62(5), 1998, pp.892-895.

26. J. Moser, Stable and random motions in dynamical systems. With special emphasis on celestial mechanics, Princeton, N.Y. Princeton unvi. press, 1973.

27. Нейштадт H.И., О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой, Журнал прикладной и математической механики 48 (1984), №.2, 133 -139.

28. H.Poincaré, Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste, vols. 1-3, Gauthier-Villars, Paris, 1892; (Dover, New York, 1957), reprint.

29. P.H. Richter and H.-J. Scholz, Chaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum, In: Stochastic Phenomena and Chaotic Behavior in Complex Systems. Schuster, P.(ed.), Berlin, Springer 1984.

30. M.B. Tabanov, Splitting of séparatrices for Birkhoff's billiard under some symmetrical perturbation of an ellipse, Universite Paris 7 -U.F.R de Mathématiques C.N.R.S.

31. Трещев Д.В., Расщепление сепаратрис с точки зрения симплек-тической геометрии, Матем. заметки, т.61, JV2 6, 1997, 890-906.

32. Трещев Д.В., Введение в теорию возмущений гамилътоновых систем, Москва, Издательство ФАЗИС, 1998

33. N. Fenichel, Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows, Ind. Univ. Math. J., v.21, pp.193-225.

34. N. Fenichel, Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Diff. Eqns., v.31, pp.53-98.

35. S.Wiggins, Global Bifurcations and Chaos. Analytical Methods, Aplied Mathematical Sciences vol.73, Springer-Verlag, 1988.

36. S.Wiggins, Adiabatic chaos, Physics Letters A, vol 128, No.6,7, 1988.