Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в квадратичных сохраняющих площадь отображениях плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Обзор литературы

§1. Основные определения.

§2. Формальная сепаратриса

§3. Первая теорема об аппроксимации

§4. «Чисто-квадратичное» отображение

§5. Вторая теорема об аппроксимации

§6. Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий.

§7. Аналитический интеграл

§8. Асимптотическая формула для гомоклинического инварианта

Настоящая работа посвящена исследованию экспоненциально малого расщепления сепаратрис. В ней рассматривается квадратичное отображение плоскости, сохраняющее площадь. Исследуются итерации точек плоскости под действием этого отображения, как вперед, так и назад. Например, пусть имеются отображение F: R2 —> М2 и точка плоскости (ж, у) Е R2 . Тогда Fn(x,y) — n-ая итерация. Совокупность всех таких точек при п Е Z называется орбитой точки (х, у). Именно, исследованию орбит точек плоскости и посвящается данная работа. Как известно, изучение консервативной динамической системы с двумя степенями свободы сводится к изучению отображения плоскости, сохраняющему площадь [20]. Поэтому все вопросы, рассматриваемые в данной диссертации непосредственно переносятся на теорию динамических систем.

Исторически вопрос берет свое начало от работ А. Пуанкаре [53]. Им было открыто явление расщепления сепаратрис. Все фазовое пространство разбивается сепаратрисами на две компоненты, на ограниченную и неограниченную. При наличии расщепления сепаратрис появляется также стохастический слой. Этот слой образуют устойчивая и неустойчивая сепаратрисы, каждая из которых является одномерной линией на плоскости (в случае двух степеней свободы).

Таким образом, при наличии расщепления сепаратрис фазовое пространство состоит из двух компонент: регулярной и стохастической. Регулярная компонента достаточно хорошо изучена. Она является объектом теории KAM. Ей посвящены работы Колмогорова А.Н. [45], Арнольда В.И. [37], Мозера Ю. [50] и др. Стохастическая же компонента изучена значительно хуже. Именно ей посвящается данная диссертация.

Актуальность темы диссертации связана осознанием значимости явления расщепления сепаратрис не только для нелинейной физики [43,44,48,10], но и для современного естествознания [52,55]. Дело в том, что рассматриваемые отображения тесно связаны с Гамильтоновыми динамическими системами. Развитие современных компьютерных технологий позволяет воочию видеть явления, связанные с хаосом. Одним из универсальных механизмов возникновения хаоса является расщепление сепаратрис. Если отображение имеет неподвижную точку гиперболического типа, то у него существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия этой точки, называемые сепаратрисами. В двумерном случае — это кривые на плоскости, и для интегрируемой системы они совпадают. Если же они пересекаются в какой-либо точке под ненулевым углом, то появится бесконечно много таких пересечений, так как при итерациях точка пересечения должна перейти в точку пересечения. При этом сепаратриса не может иметь самопересечений. В результате, в фазовом пространстве образуется очень сложная картина, называемая стохастическим слоем. Если в интегрируемую систему ввести малое возмущение, то появляется стохастический слой. Его толщина может быть степенной по параметру возмущения. В этом случае применимы стандартные методы асимптотических теорий. Например, разложение в степенной ряд [53] или метод Мельникова [49]. Стохастический слой может иметь экспоненциально малую по параметру возмущения толщину. В работе М. Нёпоп [23] в качестве примера рассмотрены квадратичные отображения плоскости. В ней показаны некоторые аналитические свойства таких отображений. Однако большинство результатов носит численный характер. Наиболее перспективное аналитическое направление исследования было предложено Лазуткиным В.Ф. в [46]. Продвижение в этом направлении, несомненно, возможно только при сочетании аналитических и численных методов. Настоящая работа является развитием предложенных идей, в первую очередь в аналитическом направлении.

Обзор литературы

Стохастическим явлениям в целом, и расщеплению сепаратрис в частности, посвящено огромное количество публикаций. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. Основополагающие разработки принадлежат J. Moser'у, J.M. Greene'y и I.C. Perci-val'io. В качестве примера рассмотрим следующие работы: [31], [22], [34]. В них рассматриваются отображения плоскости в себя. В работе [31] были определены аналитические инварианты сохраняющих площадь отображений вблизи гиперболической неподвижной точки. Это означает, что у каждой канонической системы с двумя степенями свободы, имеющей вещественно аналитический Гамильтониан, в некоторой окрестности неустойчивого периодического решения, существует вещественно аналитический интеграл, не зависящий от Гамильтониана. Частично это уже было доказано Биргоффом [19], который установил формальное разложение в виде степенного ряда, но не доказал его сходимости. Мозером была доказана сходимость ряда.

Статья [22] посвящена изучению стандартного отображения Чирикова. В ней дано общее представление о том, что имеется тесная связь между существованием КАМ-торов и стабильностью вблизи периодических орбит. Поскольку Мозером в [32] было показано, что К AM-поверхности лежат в замыкании множества периодических орбит, резонно полагать, что такая связь может существовать. Грином было установлено, что это действительно так, при надлежащем рассмотрении. В этой работе рассмотрены условия, которые необходимы для связи КАМ-поверхностей и стабильностью вблизи периодических орбит.

В последней из приведенных работ, [34], проиллюстрирован переход от регулярного к хаотическому движению в Гамильтоновых системах. Инвариантные торы, или КАМ-поверхности, содержащие регулярное движение, сужаются до инвариантных замкнутых кривых на плоскости. Для рассмотренных отображений граница между регулярным, упорядоченным движением и нерегулярным, хаотическим задается радиусом сходимости аппроксимирующего ряда. Члены степенного ряда сильно осциллируют из-за присутствия малой величины в делителе. Представлен метод для укрощения подобного поведения ряда. Он основан на преобразовании показателя сходимости С — — In ас в интеграл от непрерывной, но недифференцируемой А-функции, график которой имеет похожую структуру на малых расстояниях. Свойства самоподобия проиллюстрированы для хаотических границ функции olc{v) , где v — частота.

Одна из важнейших задач теории расщепления сепаратрис — получение асимптотической формулы для этого самого расщепления. Сначала остановимся на классических асимптотических методах. Открытое А. Пуанкаре в конце XIX века явление расщепления сепаратрис [53], исследовалось для интегрируемой динамической системы с малым параметром возмущения. Сепаратрисы возмущенной системы искались в виде ряда по степеням малого параметра для частного интеграла уравнений Гамильтона-Якоби. Позднее Мельниковым был изобретен метод построения сепаратрис непосредственно [49]. Арнольд В.И. дал свою интерпретацию интеграла Мельникова [38]. В отличие от работ [45] и [37], где было найдено много условно периодических движений в каждой нелинейной динамической системе, близкой к интегрируемой, в [38] было показано, что устойчивость всех движений системы вытекает из этих результатов лишь в случаях, когда размерность фазового пространства меньше 4. То есть в ней указан пример системы с 5-мерным фазовым пространством, удовлетворяющей всем условиям работ [45,37], но неустойчивой. Отклонения в системе имеют скорость ехр(—l/Vs) и поэтому не улавливаются никаким приближением классической теории возмущений.

Во многих примерах функция Мельникова может быть вычислена точно и оказывается экспоненциально малой с очень близким показателем, но все же большим, чем показатель из верхней оценки. Так что она оказывается меньше, чем верхняя оценка, равно как, и ошибка стандартного приближения. Аналогично, функция Мельникова была использована в [14] при изучении расщепления сепаратрис Гамильтоновой системы на плоскости с высокочастотным возмущением. Как известно в этом случае расщепление сепаратрис экспоненциально мало относительно периода возмущения, 27Г£, а постоянная в экспоненте зависит от положения сингулярностей невозмущенной сепаратрисы в комплексной плоскости. В этой работе найден класс Гамильтонианов, для которого функция Мельникова дает настоящую асимптоту для расщепления, при условии, что амплитуда возмущения \ц\ меньше, чем ¡j,q£p для некоторого р > 0.

Простой вид функции Мельникова был получен в [11] для Гамильтониана вида |y2+U(x)+ßxG(t/e). В этой работе доказана экспоненциальная малость расщепления сепаратрис для аналитических двумерных систем с быстроменяющейся силой. В ней приведен пример неприменимости метода Мельникова и получены верхние оценки для консервативных и аналитических систем на плоскости с большой амплитудой, возмущенной быстроменяющейся силой. Аналогичные результаты были получены до этого в [8], где в качестве системы использовалась очень популярная модель — маятник. В этом примере U{x) = cos х, а G(t/e) = sin(i/e).

Модель двойного математического маятника исследовалась также Ивановым A.B. [24], [25]. В [24] система изучалась численно в терминах сечений Пуанкаре. Численный метод, примененный в этом исследовании состоит из нескольких шагов. Первый — обнаружение гиперболических периодических точек для отображения Пуанкаре. Визуально находились приблизительные положения некоторых гиперболических периодических точек по фазовому портрету, а их точные координаты были рассчитаны при помощи метода Ньютона. Второй шаг метода — построение устойчивой и неустойчивой сепаратрис. Используя разложение в ряд Тейлора вблизи гиперболических точек, были получены приближения сепаратрис в малой окрестности этих точек. Далее сепаратрисы были продолжены аналитически с помощью отображения Пуанкаре. Последний шаг — доказательство существования трансверсального пересечения сепаратрис. Были проведены сравнения построенных сепаратрис, рассчитаны положения гомоклинических точек и оценен гомоклинический инвариант. Из неравенства последнего нулю следует неинтегрируемость системы. Основное предположение, сделанное в работе — неинтегрируемость системы при некоторых значениях параметров. Частично, это предположение доказано в [25], при условии применимости стандартного метода Мельникова или адиабатической теории, а также и в случае экспоненциально малого расщепления сепаратрис.

В статье [7] приведен обзор нескольких простых моделей, демонстрирующий общий механизм универсальной нестабильности -— диффузии Арнольда. Этот механизм срабатывает в осцилляционных системах с двумя и более степенями свободы. Особенность этой нестабильности проявляется в нерегулярном, или стохастическом, поведении системы, как будто бы на нее действует случайное возмущение, хотя в действительности движение описывается чисто динамическими уравнениями. Нестабильность проявляется только при специальных начальных условиях — внутри, так называемого, стохастического слоя, который, при этом, является всюду плотным в фазовом пространстве системы. Основной моделью являлся математический маятник с внешним периодическим возмущением. Исследования Чирикова Б.В. подарили миру основную модель для изучения экспоненциально малого расщепления сепаратрис — Стандартное отображение Чирикова: отображение плоскости, определенное по формуле БМ: (х, у) \—»■ (х + у + е зт(ж), у + е 8ш(ж)) , здесь е играет роль малого параметра возмущения.

В настоящей диссертации исследуется другая модель — квадратичное отображение плоскости, для которого экспоненциально малое расщепление сепаратрис было доказано М. Нёпоп в [23] на численном уровне. Одна из его форм записи, после линейной замены координат, имеет вид НМ: (х, у) \—(х + у + ех{\ — х), у + ех(1 — ж)) . Явления расщепления сепаратрис и сложной гомоклинической структуры составляют причину хаоса. Это было указано Пуанкаре. Интересные особенности динамических систем с дискретным временем для потенциала с двумя корнями показаны в работе [33]. Аналитические результаты демонстрировались на основе экспоненциально малых асимптотических разложениях. При этом использовались различные аналитические методы — преобразование Бореля, явления Стокса и механизм подковы Биргоффа-Смейла. Авторы прекрасно справились с сильно волнообразным поведением неустойчивого многообразия в непосредственной близости от гиперболической неподвижной точки. Также было проведено сравнение результатов для Стандартного отображения Чирикова и квадратичного отображения Нёпоп.

Теперь рассмотрим работы, посвященные аналитическому исследованию расщепления сепаратрис для двух последних указанных моделей, БМ и НМ. Один из подходов к проблеме экспоненциально малого расщепления сепаратрис основывается на преобразовании Бореля. Ему посвящена теория ресургентных функций Экаля [9]. Книга содержит подробное и полное описание теории. Однако изложение материала носит сложный характер, что затрудняет применение теории к практическим задачам. Несмотря на то, что теория является всеобъемлющей, извлечь конкретные асимптотические формулы из нее не представляется возможным. Упрощенное изложение материала о ресургентных функциях можно найти в работе [35]. В ней продемонстрированы методы теории на примере маятника.

Что касается отображения Эно, НМ, то первая подготовительная работа была проведена в [2], где было изучено отображение с параболической неподвижной точкой. Были построены устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия, которые в дальнейшем приобрели вид интегралов Лапласа от аналитической функции на мно-голистной поверхности, универсальной накрывающей С за вычетом счетного числа полюсов. Эта аналитическая функция подходила к обеим сепаратрисам и росла экспоненциально вдоль мнимой оси. Как результат — расстояние между сепаратрисами оценивалось экспоненциально убывающей функцией.

Попытка разложения этой функции в степенной ряд была предпринята в [4]. В результате был получен только первый член ряда при экспоненциальном множителе с оценкой (1 + О (к)), где /г2 ~ е играет роль малого параметра. Однако работа показала, что на этом пути можно получить двойное разложение по степеням ряда и по кратным показателям экспонент.

В следующей работе, [3], для расщепления сепаратрис отображения НМ было получено асимптотическое разложение в виде степенного ряда с экспоненциально малым множителем перед ним. С высокой точностью были вычислены несколько первых коэффициентов этого ряда. К сожалению, несколько предположений остались недоказанными.

Последним достижением в этой области можно считать работу [21]. Здесь изучено два комплексных инвариантных многообразия, связанных с параболической неподвижной точкой сохраняющего площадь отображения Нёпоп. Построено разложение в степенной ряд, которое подходит обеим сепаратрисам. Преобразование Бореля от него — аналитическая функция в некоторой области. Проводились исследования ее аналитического продолжения на Риманову поверхность и изучались сингулярности. В том числе, было доказано, что константа, описывающая расщепление сепаратрис ненулевая. Как итог по данной работе, можно заключить, что данная работа подтверждает сложность рассматриваемого подхода, идущую от работ Экаля [9] и необходимость более детального и тщательного исследования в этом направлении.

В связи со сложностями, возникающими при работе с преобразованием Бореля от сепаратрис, особого внимания заслуживает другой подход к проблеме, метод Лазуткина. Основные идеи этого метода впервые изложены в [46]. В этой работе была получена экспоненциально малая асимптота для величины угла между сепаратрисами Стандартного отображения в некоторой специально выбранной гомоклинической точке. Величина угла существенно зависит от точки пересечения сепаратрис. Поэтому в дальнейшем Лазуткин В.Ф. придумал более удобную величину для исследования расщепления сепаратрис — гомоклинический инвариант, — это площадь параллелограмма, натянутого на векторах, касательных к сепаратрисам в гомоклинической точке, или площадь ограниченной области внутри сепаратрис между двумя гомо-клиническими точками. Строгое определение гомоклинического инварианта дано в настоящей диссертации.

Идеи работы [46] оказались настолько плодотворными, что были целиком перенесены на исследование этого инварианта. Сначала в [41] были получены значения первого коэффициента в асимптотической формуле для гомоклинического инварианта и в некоторых полиномиальных отображений плоскости, в том числе и для отображения Нёпоп, НМ. Затем в [20] доказали следующую асимптотическую формулу, которая для НМ принимает вид: где ш0 - 2.474. х 106 и 5 > 0.

И все же основное внимание уделялось Стандартному отображению Чирикова. Именно оно, использовалось в качестве модели при построении разложения гомоклинического инварианта в асимптотичекий ряд по степеням малого параметра с экспоненциально малым множителем. Промежуточным итогом стала статья [19]. В ней использованы идеи работы [46]. Коэффициенты в асимптотическом разложении искались численно как решение нелинейной рекуррентной системы дифференциальных уравнений в комплексной области. Несколько предположений было оставлено без доказательства.

Это потребовало дальнейшей работы. Поэтому выходят публикации [26], [28], [27] и [36]. Остановимся подробнее на каждой из них. Статья [26] содержит доказательство одного из предположений, а именно, того факта, что в некоторой окрестности инвариантного многообразия для полустандартного отображения SSM: (u,v) н> (и + v + ехр и, v + ехр и) существует аналитический интеграл.

Следующая работа [28] решает некоторые общие проблемы теории конечноразност-ных операторов, необходимые для исследования экспоненциально малого расщепления сепаратрис. Эти же моменты изложены в §9 статьи [15].

И наконец, [27] содержит доказательство существования сепаратрис полустандартного отображения, из которого следует экспоненциальная оценка расстояния между устойчивой и неустойчивой сепаратрисами и существование аналитического интеграла вдоль неустойчивой сепаратрисы. Эти три факта необходимы, чтобы получить асимптотическое разложение расщепления сепаратрис для Стандартного отображения при малых значениях параметра и определения величин коэффициентов, входящих в это разложение.

В [36] доказано, что первый коэффициент этого разложения ненулевой, так как он может быть получен как предел возрастающей последовательности с положительным первым членом. Причем сделано это как для Стандартного отображения, так и для отображения Нёпоп. Полностью строгое аналитическое обоснование этого факта реализовано в [21] на основе отображения Нёпоп.

Высшая точка разработок в данном направлении — работа Гельфрейха [15]. В ней собраны воедино результаты всех предыдущих исследований по данной теме и приведено полное доказательство разложения экспоненциально малого гомоклинического инварианта в асимптотический ряд. Однако, обратим внимание на то, что все это сделано только на примере Стандартного отображения Чирикова.

В заключение, рассмотрим другие задачи возникающие при появлении хаоса. Во-первых, рассмотрим статьи [12,13], где изучалось семейство диффеоморфизмов, близких к тождественному и имеющих неподвижную точку гиперболического типа, то есть таких отображений, которые переходят в тождественное, когда малый параметр равен нулю. Изучалось асимптотическое поведение инвариантных многообразий. Также были рассмотрены случаи гомо-, гетероклинических точек. Были получены верхние оценки расстояния между сепаратрисами. В результате установлено, что для гомо-клинических точек расщепление сепаратрис экспоненциально мало, показатель экспоненты зависти от положения сингулярностей потока в комплексной плоскости. А в случае гетероклинических точек расщепление имеет степенной порядок, зависящий от гладкости отображения.

В статье [29] можно познакомиться с поведением орбит гомоклинических точек в комплексной плоскости. Здесь рассмотрено Стандартное отображение, сохраняющее площадь, но в комплексной плоскости. Изучалась возможность поиска гомоклинических точек, которые сложно отличить от гомоклинического касания сепаратрис. В этой работе были изобретены многообещающие методы поиска таких точек. Работа являлась, в основном феноменологической и содержала несколько предположений. Развитие предложенных идей можно наблюдать в целом ряде работ Сванидзе Н.В.

Еще одна очень интересная и плодотворная конструкция — ферн (или папоротник). Публикация [18] дает некоторые представления об их структуре. В ней рассмотрены стандартное и полустандарное отображения в С2 и изучено поведение их итераций на инвариантных многообразиях. Была совершена попытка понять сложную вещественную динамику, рассматривая ее сверху, с точки зрения комплексной динамики. Здесь можно найти аналитические продолжения сепаратрис в комплексную плоскость, а также критерии ухода точек на бесконечность и гиперболичности. Имеются некоторые численные исследования pi построены фрактальные структуры, похожие на папоротники.

В статье [51] рассматривается гамильтонова система с одной степенью свободы, зависящая от параметра £ , который медленно изменяется со временем t : £ = £(et), 0 < е 1, — и достаточно регулярно стремится к определенным пределам при t —> ±оо . Адиабатический инвариант действия вдоль траектории такой системы имеет предельные значения 1± при t —У ±оо . Оценивается их разность А/ = 1+ — .

Задача об оценке АI возникает в классической механике [47,39], квантовой механике [42], теории волноводов [40]. Для случая, когда зависимость £ от et финитная (£(et) = const для достаточно больших et) бесконечно дифференцируемая, в [30] показано, что АI убывает при е —» 0 быстрее любой степени е. Для линейных систем с аналитически зависящей от et частотой известна асимптота AI, оказавшаяся экспоненциальной: AI = 0(ехр(—с/е)), с = const, — [42,54]. В [47] дано неверное доказательство экспоненциальной малости AI в случае аналитической £ (et) для общих нелинейных систем.

В [51] задача об оценке AI рассмотрена с помощью процедуры возмущений в переменных действие-угол. Для случая, когда зависимость £ от et финитная и имеет конечную гладкость, вычислена степенная асимптотика AI, а для случая аналитической £ (et) доказана экспоненциальная малость AI по е.

Научная новизна работы. Результаты, полученные автором, существенно развивают идеи, предложенные в [46] и [15], и являются в подавляющем большинстве новыми.

Впервые полностью доказана формула полного разложения гомоклинического инварианта в асимптотический степенной ряд для отображения Hénon.

Построено формальное разложение в ряд для устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий и доказана теорема об оценке сепаратрис этим рядом.

При переходе в комплексную плоскость введены определения инвариантных многообразий к бесконечности и доказана экспоненциальная оценка для этих многообразий.

Выполнено сравнение сепаратрис отображения Hénon в комплексной специальным образом выбранной области.

Построен аналитический интеграл вдоль неустойчивой сепаратрисы, с помощью которого оценка разности сепаратрис спускается из комплексной плоскости на вещественную ось и преобразуется в формулу для гомоклинического инварианта.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну.

Научная и практическая ценность диссертации обусловлена простотой рассматриваемой модели и ее важностью для теории Гамильтоновых динамических систем и физики нелинейных явлений. Несмотря на всю свою простоту, в рассматриваемой модели присутствуют все явления характерные для динамических систем с экспоненциально малым расщеплением сепаратрис. Результаты работы позволяют выявить некоторые общие моменты, присущие многим другим отображениям плоскости, и указывают на сложность построения асимптотических формул в каждом конкретном случае при наличии экспоненциально малого расщепления сепаратрис. Работа вносит вклад в создание общей теории экспоненциально малого расщепления сепаратрис, по которой уже имеются некоторые результаты [16] и [17].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

1) 2nd International Conférence "Control of Oscillation and Chaos", St.-Petersburg, May 29 - June 1, 2000, [5];

2) семинары кафедры математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (1999 — 2001 гг.);

3) International Conférence "Progress In Nonlinear Science", Nizhny Novgorod, July 2 - 6, 2001, [6].

Основные результаты отражены в публикациях [2], [3], [4], [5] и [6].

Заключение.

В работе получена асимптотическая формула (1.7) для гомоклинического инварианта в случае квадратичного отображения плоскости. При этом, в основном, были использованы методы, разработанные Лазуткиным В.Ф. и его учениками. Заслуга их собрания в одну статью [15] и завершение доказательств для стандартного отображения Чирикова принадлежит Гельфрейху В.Г. Дальнейшее развитие данные идеи получили в статьях [16] и [17], где рассмотрены асимптотика расщепления для сильно резонансных периодических траекторий в семействах общего положения и расщепление сепаратрис для аналитического семейства общего положения в окрестности бифуркации типа седло - центр. Частным случаем подобной бифуркации (и важнейшим) является отображение Эно, сохраняющее площадь. Эти работы являются первым шагом к обобщению разработанных теорий.

1. Birkhoff G.D., Dynamical systems xuith two degree of freedom, Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1917), 199-300.

2. Chernov V.L., Resurgence of séparatrices of the Quadratic Map, Mathematics Preprint Series no. 185., Universität de Barcelona (November 1995.), 13p.

3. Chernov V.L., Separatrix splitting for the Hénon map: a resurgence approach, Mathematics Preprint Series no. 188., Universität de Barcelona (November 1995.), 17p.

4. Chernov V.L., On separatrix splitting of some quadratic area-preserving maps of the plane, Regular & Chaotic Dynamics Vol.3 1 (1998), 49-65.

5. Chernov V.L., Separatrix Splitting in Hénon's Transformation, Proceedings of the 2nd International Conference on Control of Oscillations and Chaos COC'2000, St.Petersburg, Russia vol. 1, (July 5-7, 2000), p. 135.

6. Chirikov B.V., A universal instability of many-dimensional oscillator systems, Physics Reports 52 (1979), 263-379.

7. Delshams A., SearaT.M., An asymptotic expression for the splitting of séparatrices of the rapidly forced pendulum, Commun. Math. Phys. 150 (1992), 433-463.

8. Ecalle J., Les fonctions résurgentes. Tome 1-3., Publ. Mathématiques Université Paris-Sud, d'Orsay, 1985.

9. Escand D.F., Stochasticity in classical hamiltonian systems: Universal aspects, Physics Reports 121, no.3,4 (1985), 166-261.

10. Fontich E., Rapidly forced planar vector fields and splitting of séparatrices, Jour, of Differential Equations vol.119, no.2 (1995), 310-335.

11. Fontich E., Simö С., The splitting of the séparatrices for analytic diffeomorphisms, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 10 (1990), 295-318.

12. Fontich E., Simö С., Invariant manifolds for near identity differentiable maps and splitting of séparatrices, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 10 (1990), 319-346.

13. Gelfreich V.G., Melnikov method and exponentially small splitting of séparatrices, Physica D 101 (1997), 227-248.

14. Gelfreich V.G., A proof of the exponentially small transversality of the séparatrices for the standard map, Comm. in Math. Phys. No.201(l) (1999), 155-216.

15. Gelfreich V.G., Splitting of a small separatrix loop near the saddle-center bifurcation in area-preserving maps, Physica D 136 No.3-4 (2000), 266-279.

16. Gelfreich V.G., Splitting of séparatrices near resonant periodic orbits, Mathematical Physics Preprint Archive no. 00-402 (2000), 266-279.

17. Gelfreich V.G., Lazutkin V.F., Simö C., Tabanov M.B., Fern-like structures in the wild set of the standard and semistandard maps in C2, Int. J. of Bifurcation and Chaos 2, no.2 (1992), 353-370.

18. Gelfreich V.G., Lazutkin V.F., Svanidze N.V., A refined formula for the separatrix splitting for the standard map, Physica D71 (1994), 82-101.

19. Gelfreich V.G., Lazutkin V.F., Tabanov M.B., .'Exponentially small splitting in hamiltonian systems, Chaos Vol.1, no.2 (1991), 137-142.

20. Gelfreich V.G., Sausin D., Borel summation and splitting of séparatrices for the Hénon map, Annales l'Institut Fourier 51, fasc.2 (2001), 513-567.

21. Greene J.M., A method for determing a stochastic transition, J. Math. Phys. 20, No.6 (1979), 1183-1201.

22. M.Hénon, Numerical study of quadratic area-preserving mappings, Quarterly of Applied Mathematics XXVII, no.3 (1969), 291-312.

23. Ivanov A. V., Study of the double mathematical pendulum I. Numerical investigation of homo-clinic transversal intersections, Regular and Chaotic Dynamics 1 (1999), 104-116.

24. Ivanov A.V., Study of the double mathematical pendulum III. Melnikov's method applied to the system in the limit of small ratio of pendulums masses, Regular and Chaotic Dynamics 3 (2000), 329-344.

25. Lazutkin V.F., Analytic integrals of the semistandard map, and splitting of séparatrices, Algebra i analiz 1(2) (1989), 427-445.

26. Lazutkin V.F., An analytic integral along the separatrix of the semistandard map; existence and an exponential estimate for the distance between the stable and unstable séparatrices, Russian edition, Algebra i analiz 4(4) (1992), 110-142.

27. Lazutkin V.F., .'Exponential splitting of séparatrices and an analytical integral for the semistandard map, preprint, Université Paris VII (1991.).

28. Lazutkin V.F., Simô C., Homoclinic orbits in the complex domain, Int. J. of Bifurcation and Chaos 7 (1997), 253-274.

29. Lenard A., Adiabatic invariance to all orders, Ann. Phys. 6, No.3 (1959), 276.

30. J.Moser, The analytic invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point, Communications on Pure and Applied Mathematics IX (1956), 673-692.

31. J.Moser, Bull. Astron. 3(3) (1968), 53.

32. Nakamura K., Hamada M., Asymptotic axpansion of homoclinic structures in a symplectic mapping, J. Phys. A: Math. Gen. 29 (1996), 7315-7327.

33. Percival I.C., Chaotic boundary of a hamiltonial map, Physica D. 6 (1982), 67-77.

34. Sausin D., Résurgence paramétrique et exponentielle petitesse de l'Scart des séparatrices du pendule rapidement forcé, Annaulist Fourier, Grenoble 45(2) (1995), 11-89.

35. Suris Y.B., On the complex séparatrices of some standard-like maps, Nonlinearity Vol.7 (1994), Printed in the UK., 1225-1236.

36. Арнольд В.И., Доказательство теоремы А.H. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом возмущении функции Гамильтона, Успехи мат. наук, т.18, №5 (1963), сс.13-40.

37. Арнольд В.И., О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы, Доклады АН СССР, сер. Математика, т.156 №1, (1964), сс.581-585.

38. Арнольд В.И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.

39. Боровиков В.А., Высшие типы волн в плавнонерегулярных волноводах, Радиотехника и электроника т.23, №7 (1978), с. 1365.

40. Гельфрейх В.Г., Расщепление сепаратрис полиномиальных отображений, сохраняющих площадь, Пробл. мат. физ., вып.13, ЛГУ, ред. Бирман М.Ш., (1991), стр. 108-116.

41. Дыхне A.M., Квантовые переходы в адиабатическом приближении, ЖЭТФ т.38, вып.2 (1960), с. 570.

42. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. Москва, 1988.

43. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д. А., Черников А. А .Слабый хаос и квазирегулярные структуры. Москва, 1991.

44. Колмогоров А.Н., О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, Доклады АН СССР, сер. Матем., т.98, №4 (1954), сс.527-530.

45. Лазуткин В.Ф., Расщепление сепаратрис стандартного отображения Чири-кова, препринт ВИНИТИ 6372/84, ЛГУ, 1984.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика. Т.1 Механика. М.:1. Наука, 1973, 208 с.

47. Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика. Москва, 1984.

48. Мельников В.К., Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях, Труды московского математического общества, том 12 (1963), сс.3-52.

49. Мозер Ю., Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя, Математика, т.6, №5 (1963), сс.51-67.

50. Нейштадт А.И., О точности сохранения адиабатического инварианта, Прикладная математика и механика, т.45, вып.1 (1981), сс.80-87.

51. Николис Г., Пригожин И., Познание сложного. Москва, 1990.

52. Пуанкаре А., Избранные труды, том 2. Москва, 1972.

53. Федорюк М.В., Адиабатический инвариант системы линейных осцилляторов и теории рассеяния, Дифференциальные уравнения (1976), т.12, №6,с.1012.55. Хакен, Синергетика. 1984., 4 1