Экспоненциально малые эффекты в некоторых гамильтоновых системах с двумя степенями свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

При описании физических процессов часто встречаются системы, отличающиеся от интегрируемых малыми возмущениями. Для их изучения развит ряд методов, которые объединены под общим названием "теория возмущений". В некоторых ситуациях эти методы позволяют достаточно точно описать движение в возмущенной системе. Первое применение этих методов восходит к Лапласу и Лагранжу. Тем не менее, в ряде аспектов поведение возмущенной системы может существенно отличаться от поведения невозмущенной. Прежде всего это проявляется в том, что в возмущенной системе могут иметь место хаотические явления. Появляются траектории устроенные настолько сложно, что их поведение практически перестает быть предсказуемым. Первые шаги в построении современной теории хаоса в детер-менированных системах сделал Пуанкаре открыв явление расщепления сепаратрис в гамильтоновых системах. История этого открытия довольно любопытна.

На конкурс посвященный 60-летию короля Швеции Оскара Пуанкаре представил свой труд, посвященный задаче трех тел. Работа выиграла конкурс и была представлена к публикации в журнале "Acta Mathematica". В этой работе сепаратрисы предполагались сдвоенными. Ошибка была замечена Миттаг-Лефлером. (Существование асимптотических поверхностей у гиперболической неподвижной точки также было установлено Пуанкаре.) Ее исправление и привело Пуанкаре к важному открытию. Это явление получило название расщепление сепаратрис. Как выяснилось, оно лежит в основе современной концепции хаоса в детерменированных системах. Сам Пуанкаре так описывал пересекающиеся сепаратрисы возмущенной системы. "Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не решаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики в которых нет однозначного интеграла."

Рассмотрим систему с гамильтонианом

Н = Н0(у) + еН^х, у, е).

Здесь х G Rn, у G R™. Переменные (х, у) являются переменными "действие-угол" в невозмущенной системе (е = 0). Фазовое пространство невозмущенной системы расслоено на инвариантные торы у = const. Пусть и = - вектор частот. Будем говорить что частоты на торе {у = у0} рационально несоизмеримы, если (f, к) ф 0 для любого целочисленного вектора к ф 0. Если частоты на торе рационально несоизмеримы, он называется нерезонансным. Траектория обматывает такой тор всюду плотно. Если частоты соизмеримы, то инвариантный тор называется резонансным и в свою очередь расслоен на торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если , „

Если невозмущенная система невырождена в некоторой области D, то те значения у, которые соответствуют нерезонансным торам, всюду плотны в D.

Пусть v = - вектор частот. Если существуют положительные числа с и 7, такие что для всех к 6 Zn, к Ф 0: 1 и,к)> c\\v

17 ' то вектор частот называется диофантовым. Здесь 11 • 11 - некоторая норма в Rn. (Напомним, что все нормы эквивалентны в Rn, поэтому ее выбор большого значения не имеет).

Знаменитая теорема Колмогорова описывает судьбу условно-периодических движений при наложении возмущения.

Теорема 1 Если невозмущенная система невырождена в точке у = уо и вектор частот v соответствующий этому значению у, диофантов, то невозмущенный тор {у = у о} ке разрушится при малых е ф 0, а лишь слегка деформируется и по-прежнему будет нести условно-периодические движения с теми же частотами v.

Существует также "изоэнергетический вариант" этой теоремы. Невозмущенная система называется изоэнергетически невырожденной, если где Т обозначает операцию транспонирования.

Теорема 2 Предположим что инвариантный тор у = у0 невозмущенной системы лежит на уровне энергии Но = h, невозмущенная система изоэнергетически невырождена на этом торе и частоты и(у°) диофантовы. Тогда на уровне энергии Н = h лежит инвариантный тор, близкий к исходному, частоты на котором Xv(y°) пропорциональны исходным и А = 1 + 0(e).

Впервые полное доказательство теоремы Колмогорова было дано В.И.Арнольдом [18] (см. также [19]). А.И.Нейштадт доказал следующую теорему [16].

Пусть невозмущенная система невырождена в компактной области D с RТогда мера тех у € D, которые соответствуют разрушившимся торам, имеет порядок \ Ле|.

В случае двух степеней свободы при разрушении резонансного тора, в общей ситуации, рождается четное число периодических решений, половина из которых эллиптические, половина гиперболические [20] (см. также [17]). Гиперболические решения имеют в свою очередь пары асимптотических поверхностей, которые состоят из решений "наматывающихся" на периодическое решение при t —> ос (устойчивое многобразие) и при t —> — оо (неустойчивое). В случае трех и более степеней свободы, как показал Д.В.Трещев в [14], при разрушении резонансного тора образуются торы меньшей размерности. Часть из этих торов гиперболические и также имеют пары асимптотических поверхностей.

Расщепление сепаратрис, как правило, препятствует существованию полного набора аналитических первых интегралов. Проиллюстрируем это утверждение для полутора степеней свободы (т.е. в случае системы с одной степенью свободы и явной зависимости от времени). Пусть гамильтониан системы имеет вид Н = Н0(х, y)+eHi(х, у, t, е) и невозмущенная система (система с гамильтонианом До) имеет гиперболическую неподвижную точку zq. Пусть z® — гиперболическая точка возмущенной системы, близкая к z°. И пусть z® имеет две асимптотические поверхности, расположенные в расширенном фазовом пространстве, устойчивую Г+ и неустойчивую Г~. Пусть д — отображение за период сечения расширенного фазового пространства плоскостью t = to на себя. Пусть поверхности Г+ и Г- пересекают плоскость t — t0 по кривым Г+ и Г" соответственно. Рассмотрим малую окрестность U точки z° на плоскости t —10 и отрезок Д кривой целиком лежащий в U. При действии отображения дп, п G N образы отрезка А будут растягиваться вдоль Г+ неограниченно к ней приближаясь (это следует из теоремы Гробмана-Хартмана или из теоремы Мозера о нормальных координатах). Аналитическая функция постоянная на множестве 9п{^) будет постоянной всюду при t = to- Если функция f(x,t) инвариантна относительно потока дt и постоянна при t = t0, она постоянна и в некоторой области расширенного фазового пространства.

Естественно ожидать, что чем больше величина "несовпадения" сепаратрис, тем ярче выражено хаотическое поведение системы. Расщепление сепаратрис можно измерять несколькими способами, например вычисляя угол, образующийся при их трансверсальном пересечении. С инвариантной точки зрения более естественно измерять симплектическую площадь, заключенную между пересекающимися сепаратрисами. В некоторых ситуациях эта величина оказывается экспоненциально мала относительно возмущения. При этом "классическая" методика предложенная Пуанкаре, вообще говоря, перестает работать, так как она дает погрешность порядка квадрата возмущения. Расщепление асимптотических многообразий, появляющихся в результате разрушения инвариантных торов, экспоненциально мало. Экспоненциально малые эффекты играют важную роль в явлениях детерменированного хаоса. Например, они являются причиной диффузии Арнольда в системах с числом степеней свободы большим двух. Согласно гипотезе Арнольда, в системах с числом степеней свободы три и больше возможно ощутимое изменение переменных "действие" течением времени. Более точно: для любого е > 0 существует константа С > 0 такая, что найдется решение, на котором \у(Т) — у(0)\ > С для некоторого Т. В случае двух степеней свободы двумерный тор делит трехмерный уровень энергии и траектория вечно остается запертой между соседними нерезонансными торами, что препятствует значительному изменению переменных действие. Поэтому случае двух степеней свободы для любого Т выполнено равенство \у(Т) — г/(0)| < Сл/е. Согласно результатам Нехорошева в случае аналитической системы, удовлетворяющей некоторому условию довольно общего характера переменная "действие" может получить приращение порядка единицы лишь за время Т > Aebe °, где постоянные А,Ь,с положительны. Отметим, что недавно появились результаты Мезера, устанавливающие диффузию Арнольда в аналитических системах общего вида. Впрочем, полные доказательства пока не опубликованы.

Лазуткин и др. изучали экспоненциально малое расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова [4]—[10]. Тре-щев в [1] получил асимптотику симплектической площади заключенной между сепаратрисами в системе "маятник с быстро осцилирующей точкой подвеса". Расщепление сепаратрис для маятника обсуждается также в работе [3]. В настоящей работе мы развиваем идеи, впервые изложенные в [1]. Традиционно расщепление сепаратрис рассматривается для систем с полутора степенями свободы и отображений, сохраняющих площадь. Асимптотика экспоненциально малого расщепления асимптотических многообразий в системах с двумя степенями свободы появилась в [13]. В данной работе содержатся обобщения и доказательства результатов из [13].

В настоящей работе обсуждается поведение многообразий, асимптотических к гиперболическим периодическим решениям, появляющимся при разрушении резонансного тора в гамильто-новой системе с двумя степенями свободы.

Рассмотрим гамильтонову систему: дН дН х У

1.1) н уЛУ) eV(x), хет2, ye R2.

1.2)

Здесь (•, •) — стандартное евклидово скалярное произведение, А — симметричная матрица размера 2 х 2, V(x) — тригонометрический полином от переменных £i, £г! е > 0 малый параметр. Матрицу А будем считать положительно определенной. Это соглашение не является принципиальным, впрочем, первое слагаемое (1.2) обычно ассоциируют с кинетической энергией, а второе с потенциальной. Поэтому предположение о положительной определенности матрицы А естественно с механической точки зрения. Потенциал V(x) будем задавать формулой:

V(x) = Y1 Vk ф 0, (1.3)

Kfc/Vi

Л4 — конечное подмножество двумерной целочисленной решетки Z2. Так как функция V(x) предполагается вещественнознач-ной, множество Л4 симметрично относительно точки (0, 0) (т.е если к 6 М то и -к е М).

В качестве примера такой системы можно привести хорошо известную в физике твердого тела систему Гросс-Неве, описывающую поведение трех взаимодействующих точек на окружности. Ее гамильтониан имеет вид:

Я = ^(yi2+F22+F32)H-e(cos - X2)+cos (Х2 - X3)+cos (Хг - Х3)).

1.4)

Понижая порядок с помощью интеграла импульса + Y2 + Уз = const, мы получим систему с гамильтонианом вида (1.2). В этом случае:

V = — COS X1 — COSX2 — COs(x2 — Xi),

M = {±(0,1), ±(1,0), ±(1,-1)}.

При е = 0 система (1.1) интегрируема, переменные (у,х) являются переменными типа "действие-угол". Фазовое пространство невозмущенной системы расслоено на инвариантные двумерные торы у = у0. Согласно результатам К AM теории, большинство инвариантных торов сохраняются при добавлении к гамильтониану достаточно гладкого возмущения. Достаточные условия сохранения состоят в требовании диофантовости вектора частот на торе и, например, изоэнергетической невырожденности системы. Те торы, частоты на которых соизмеримы, как правило, распадаются. При этом, как было показано Пуанкаре, рождаются пары периодических изолированных эллиптических и гиперболических решений. Гиперболические решения имеют две инвариантные асимптотические поверхности, расположенные на фиксированном уровне энергии и состоящие из решений, неограниченно приближающихся к периодическому при t —>■ +00 и при t — 00. Эти поверхности называются асимптотическими многообразиями или сепаратрисами. Наша основная задача состоит в вычислении величины расщепления этих многообразий в системах вида (1.1)—(1.3). При этом величина расщепления измеряется симплектической площадью области, высекаемой на некоторой двумерной поверхности, трансверсально пересекающей асимптотические многообразия. В дальнейшем она обозначается А. Как будет показано ниже, эта площадь не меняется при непрерывной деформации секущей поверхности.

В силу положительной определенности матрицы А система удовлетворяет условию изоэнергетической невырожденности всюду, где уф 0 и в частности, на том резонансном торе, разрушение которого мы исследуем. Далее считается, что потенциал V удоволетворяет ряду специальных условий, точно сформулированных в следующем параграфе. В представленной работе получена формула:

А = + 0(еЪ log «Г1)), (1.5) где величины W, р, в, d0 и а не зависят от в и вычисляются как функции матрицы А, коэффициентов тригонометрического по

Рис. 1: Расщепление асимптотических многообразий. линома V, частот на резонансном торе и значения постоянной энергии.

2 Инвариантный смысл расщепления асимптотических поверхностей и формулировка основного результата.

Как будет показано в следующем параграфе, без ограничения общности можно считать, что периодическое решение, асимптотические поверхности к которому мы будем исследовать, близко к циклу х2 = const. Этого всегда можно добиться линейной канонической заменой. Постараемся понять, какой инвариантный смысл можно придать вопросу о расщеплении асимптотических поверхностей.

Пусть М4 = Т*Т2 — фазовое пространство нашей системы,

П3 — трехмерный уровень энергии, uj = dx f\dy симплектиче-ская структура на М4.

Пусть устойчивое (Г+) и неустойчивое (Г~) многообразия некоторого гиперболического периодического решения пересекаются (сечение поверхностей Г* плоскостью Х] = const изображено на рис 1). Возьмем двумерную гладкую поверхность П G П3, трансверсальную Г+ и Г-. Высекаемую поверхностями Г+ и Г-на, П область обозначим через V. Границей области V являются отрезки устойчивой и неустойчивой сепаратрис ^ПП, заключенные между "соседними" гомоклиническими точками. Положим:

Л = /ш. х>

Величина Л определена инвариантно, т.е. независимо от используемых координат на М4, и имеет геометрический смысл сим-плектической площади области V.

Утверждение 2.1 Величина А не меняется при непрерывных деформациях П.

Доказательство: Пусть Пх еще одна поверхность, трансвер-сальная Г+ и Г~. Поверхности II, Пь Г+, Г- изображены на рис. 2. Они ограничивают некоторую трехмерную область В. Положим: авпп = х>, дВ П Щ = X>i, дВПГ±=Т>±.

Применяя формулу Стокса к области В, получим:

J ш = j uj + Ju> + Ju} = J dw = 0. дв v+uv- т>1 t> в

Отсюда и из равенства ш \х>± = 0 вытекает: J и> — — / со. Если

Vi V

--X П,

Г f \ г NX \ \п

Рис. 2: К доказательству утверждения 2.1

Рис. 3: К доказательству утверждения 2.3. и потребуем чтобы В была унимодулярна, т.е. det В = I. (2.4)

Утверждение 2.2 Пусть матрица А положительно определена. Тогда матрица В удоволетворяющая условиям а) и Ь) существует и определена однозначно.

Доказательство: Два числа р и q определяются условиями а) и Ь).

В дальнейшем нам удобно считать множество М резонансно-выпуклым т.е. таким, что если точки га, п б М. и отрезок [га, п] параллелен резонансному вектору к', то М. Э ([га, и] П Z2). При этом множество А4 пополнится некоторыми точками к Е Z2, и если к ф Л4, считаем Vk = 0.

Прямую на плоскости R2 будем называть целочисленной, если она содержит хотя бы две точки с целыми координатами.

Утверждение 2.3 Ближайшие к тщ и параллельные ей целочисленные прямые m±i имеют на плоскости {z\, z2} параметрические уравнения:

Доказательство: Так как рад взаимно просты, существуют такие целые а и Ь, что ap+bq = 1. Таким образом, расстояние от точки с координатами (а, Ь) до прямой т0 равно , 1 Далее sjp-W осталось воспользоваться условием (2.4) (см Рис 3). прямую = + \p)t обозначим тп. 13 случае, если прямая тп имеет непустое пересечение с М., положим:

Геометрический смысл dn поясняется на рис. 4. Пусть d' = тах„^0,1 dn. Будем считать, что множество АЛ удоволетворяет следующим условиям: 2. Прямые гпу,т0 имеют с М. непустое пересечение.

3. Выполнены неравенства:

Замечание 2.2 Из равенств (2.7) - (2.8) следует, что 0 < а < 1.

Условия 1 и 2 допускают инвариантную геометрическую интерпретацию: Вложим решетку 7? стандартным образом в R2. Рассмотрим прямую ш0 (прямую, проходящую через ноль и параллельную вектору к' = (~9)) и прямые т± i — ближайшие к то и параллельные ей целочисленные прямые. Пусть ±&q " самые длинные вектора из множества Л4Г)т0 (считаем, что вектор кц

2.5)

2.6)

О < di, d' < di < do.

2.7)

2.8) сонаправлен с к'). Проведем через концы векторов соответственно прямые I*, перпендикулярные прямой то в метрике А. Рассмотрим точку kf из множества АЛ П гщ ближайшую к прямой 1+ (точка ki будет концом вектора к"+к'd\) я к± — ближайшую к прямой I" (считаем, что обозначения согласованы таким образом, что пара векторов (kf, к') задает положительную ориентацию). Аналогично рассмотрим множество М П тп-г и точки к+, и к~, из него (точка, к+, будет конпом вектора —к" + k'd^ 1. а

-J. -JL \ - JL «/ ' ' ' J. - « точки kf и kZ\ симметричны относительно начала координат). В силу симметрии множества dist(kf,t) = dist (Л119Г), dist(^,r) = dist(&ll3Z+)

Замечание 2.3 Неравенство (2.8) предполагает, что dist{kf,l+) < dist{к%1+). (2.9)

Условие (2.9) не является принципиальным и принято для упрощения дальнейших обозначений. Небольшая модификация рассуждений позволяет рассмотреть случай dist(k^,l+) > distal В этом случае неравенство (2.8) заменяется на d' < di < do.

Через точки ki и kZ\ соответственно, проведем прямые п±, параллельные 1±. Пусть £0 открытая полоса, ограниченная прямыми а С\ - замкнутая полоса, ограниченная прямыми п^. Неравенство (2.8) равносильно цепочке включений:

4. Рассмотрим функцию v : Т1 i-> R:

1 г2ж v(-qxi+px2) = — / V(xi+pt,x2 + qt)dt. (2.10)

Рис. 4: Геометрический смысл условия 1.

Будем считать, что v(z) имеет лишь один глобальный максимум Zq на отрезке [0,2х], причем этот максимум невырожден.

Можно считать, что v(zq) = 0. Во всяком случае этого всегда можно добиться добавлением константы к гамильтониану Н.

Рассмотрим v (z) как функцию комплексного аргумента. Определим семейство величин dfi

1 f dfj, рР= Im— /-

2 JPy/^jj

2.11)

Здесь P — путь, соединяющий точку действительной оси с точкой +гоо, а а?2 = (к', Ah') ф 0. Значение интеграла зависит от пути Р на римановой поверхности функции {v(p))"1^.

5. Будем предполагать, что имеется лишь один гомотопический класс, для которого Im рр > 0 и минимально. При этом два пути, соединяющие точку действительной оси с точкой гоо попадают в один гомотопический класс, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга в указанном классе путей, не переходя нули функции v.

Указанное положительное число рр будем обозначать просто Р

Сформулируем основной результат:

Теорема 3 Пусть выполнены условия 1-5, тогда верна формула (1-5), причем

W =

Vkt92do-l

L do

Г(2|)

2.12)

Здесь Г(а) = /0+°°

Условия Теоремы 1 выполнены, например, для уже упоминавшейся ранее системы Гросс-Неве. В невозмущенной системе Гросс-Неве рассмотрим торы, соответствующие движению одной частицы со скоростью 2v, а двух других со скоростями —v. После понижения порядка указанным торам соответствует резонанс (p,q) = (1,1), М = {(±1,0),(0,±1),(±1,т1)}- Прямые m±i в этом случае имеют вид: ж2 = ±1 — xi/2 ; d\ = 1/2, dG = 1, р = 7г/\/8, 9 — v. Формула (1.5) принимает вид = 87re-wr/v^(l + 0(eloge"1)). (2.13)

Отметим, что резонансы (fy = и Q = ^ системы, рассматриваемой на уровне интеграла / = Yi + Y2 + Y3, в исходной системе отличаются лишь нумерацией частиц. Таким образом, расщепление соответствующих асимптотических многообразий также описывается формулой (2.13).

3 Ширина стохастического слоя.

На каждом положительном уровне энергии М^ = {И — h > 0} возмущенной системы (1.1)—(1.2) образуется область хаотических движений, называемая стохастическим слоем. Формальное определение стохастического слоя следующее. Рассмотрим на Mh КАМ-торы возмущенной системы в окрестности резонанса (р, q). Отношение частот на этих торах близко к Выберем Т^ — инвариантный тор с минимальным отношением частот большим чем ^ и Т^ — тор с максимальным отношением частот меньшим чем Изоэнергетическая невырожденность системы равносильна выполнению условия закручивания, соответствующего отображения Пуанкаре на уровне Mh) поэтому указанные торы существуют. Двумерные торы ограничивают на трехмерном уровне энергии область. Ее мы и будем называть стохастическим слоем Dh. Очевидно Dh не содержит ни одного инвариантного тора, однозначно проектирующегося на Т2 = {ж}. Хаос, заключенный в Df„ естественно ассоциируется с резонансом (р, q). Возникает вопрос об измерении величины области Dh, что позволило бы судить о величине хаоса, порождаемого резонансом (р, q). Величину Dh мы будем характеризовать симплектической площадью сечения Dh какой-нибудь двумерной поверхностью П с Mh, трансверсальной потоку возмущенной системы. Как и раньше, с помощью теоремы Стоке а легко доказывается, что симплектическая площадь области ППЮд не меняется при непрерывной деформации П в классе поверхностей, трансверсальных потоку на Mh. Обозначим эту площадь через Sh(e). Можно также определить инвариантно трехмерный объем области

Dh, положив

VoUe) = [ и1 Л ш, (3.1)

JDh где из1 = у dx — первообразная со.

Пусть у™ах и у\тп соответственно максимальное и минимальное значение переменной на Dh и Д = у™ах — у™ш.

Утверждение 3.1 Выполнено соотношение:

Volh(e) = 1гЗД(»Г* + yfn + 0{А)). (3.2)

Доказательство: Пусть Пс = {(ж, у) е Mh : Х\ = с}. Равенство (3.2) следует из того, что: uil А ш = [ уг(х, г/2, h) dxi [ dy2Adx2, (3.3) JDh Jo JDhmxl и интеграл fphniixi dy2 A dx2 не зависит от xi.

Величину Д естественно назвать шириной стохастического слоя Dh в направлении переменной Она экспоненциально мала при е —» 0.

Пусть Л = А(е) симплектическая площадь области D, заключенной между сепаратрисами. Из результатов изложенных в [11] следуют оценки: cA(e)\ogA е > Sh(e) < cA(e)logA~

3.4)

Константы си сне зависят от г, и могут быть получены в результате численного эксперимента.

4 Отделение быстрой фазы.

В этом параграфе мы построим в окрестности резонансного тора Т° замену, которая будет удовлетворять следующим двум требованиям: в новых координатах периодическое решение, асимптотические поверхности к которому мы будем исследовать, будет

Утверждение 4.2 доказывается прямой подстановкой замены (4.1)-(4.2) в гамильтониан (1.2).

Введенную в параграфе 2 функцию v, можно записать в виде:

I г2ж I r2ir / v(xi> dxi = 7Г V(pxi - рх2, qxi + qx2) dxv. z7r Jo m J о

Утверждение 4.3 Функция v(x2) имеет период 2/Т.

Доказательство: Перепишем функцию V(x) в новых координатах:

V(Bx) = . кем

4.4)

Рассмотрим ki,k2 G Z2 такие, что: r2ir ^(kip+k^XiMfaq-kijfixi £х^ ф q (4.5) h

Из (4.5) и унимодулярности матрицы В следуют соотношения: kxp + k2q = 0, pq + qp = l.

Легко заметить, что при выполнении этих условий, число k2q — кip будет целым. Утверждение доказано.

Условие 1 параграфа 2 можно проинтерпретировать в новых координатах. Из определения матрицы В (§3) следует, что ВТ переводит решетку натянутую на вектора и в решетку Z2.

Для уже введенных в параграфе 2 величин dn имеем выражение

Г /i\ /п\ 1

4.6) dn — max I d G R, тгП j + rfk j G BTM 1 .

Пусть точка x® — невырожденный глобальный максимум функции v(x2). Согласно теореме Пуанкаре, на фиксированном уровне энергии существует периодическое решение Ke(t), которое ана-литично по е, гиперболично при е > 0 и при £ = 0 совпадает с решением:

Ko(t) = {у = 0, х\ = 9t, %2 = — const}.

Решение, лежащее на какой-либо асимптотической поверхности (Г+ или Г~), неограниченно приближается к Ke(t) при t —> оо или при t —оо соответственно. Возьмем в качестве секущей поверхности поверхность Х\ — 0 и определим на ней отображение исследования, Сечение поверхностей и Г- плоскостью Х\ = 0 изображено на рисунке 1.

Рассмотрим следующую гамильтонову систему с одной степенью свободы: дН° дН°

4.7)

H\x2^) = ^+v{x2). (4.8)

Рассмотрим гомоклиническое решение этой системы 7 (t):

7(t) 0) при t ±00.

Можно считать, что это решение находится на интегральном уровне Н° = 0, в противном случае вместо потенциала V(x) рассмотрим потенциал V(x) — vix®). Это решение аналитично в окрестности действительной оси, однако, может иметь особенности при комплексных значениях t. Пусть решение y(t) имеет особенность при t = ts. Тогда значение ts вычисляется следующим образом 1 r+ioo ф a2Jx2(0) (v(fj))1/2' Условие 4 параграфа 2 означает, что у(t) имеет лишь две особенности, ближайшие к действительной оси. Особенности эти комплексно сопряжены. Расстояние от любой из них до вещественной оси равно р. Мы также в силу автономности системы можем считать, что они чисто мнимые (этого всегда можно добиться сдвигом времени на решении у(t)). В случае системы Гросс-Неве р =

Основой доказательства теоремы 1 служит т. н. метод непрерывного усреднения. Этот метод заключается в анализе решения задачи Коши для некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных (системы уравнений непрерывного усреднения). В общем случае она может быть исследована лишь численными методами. Эта система будет получена в следующем параграфе. Однако, если наложить на потенциал V(x) некоторые дополнительные условия (условие 1 параграфа 2), то благодаря специфической структуре выведенных в следующем параграфе уравнений, появляется возможность получить асимптотику для величины расщепления сепаратрис аналитически.

5 Метод непрерывного усреднения.

Для систем, близких к интегрируемым значение симплектиче-ского инварианта Л обычно вычисляют с помощью методики Пуанкаре-Мельникова. В случае экспоненциально-малого расщепления сепаратрис прямое применение этой методики, вообще говоря, не гарантирует получения правильной асимтотики, так const как в этом случае ответ" порядка е ^ , а "ошибка" порядка е. Для того, чтобы воспользоваться интегралом Пуанкаре-Мельникова, мы постараемся максимально ослабить в нашем гамильтониане зависимость от быстрой фазы, построив канонические координаты, в которых возмущение будет экспоненциально мало. Для этого воспользуемся процедурой непрерывного усреднения, предложенной в работе [1]. Вместо серии последовательных, близких к тождественной канонических замен, предложенной Нейштадтом [15], для ослабления зависимости гамильтониана от быстрой фазы предлагается континуальное семейство: z(S) : (х, у) ^ (х(5), у(5)), х(0) = х, у(0) = у.

Пусть М4 = Т*Т2 — фазовое пространство, и — симплекти-ческая структура на М4. Н : М4 м> R функция Гамильтона. Пусть на М4 задана еще одна система с гамильтонианом F. Как известно, поток гамильтонова векторного поля vp задает семейство симплектических отображений М4 на себя. Пусть Н(-, - гамильтониан Н, переписанный в новых переменных. Выполнено следующее соотношение:

Н(х(6),у(6),5) = Й(х,у).

5.1)

Мы постараемся выбрать гамильтониан Этаким, чтобы сдвиг по траекториям системы: dz осуществлял замену, ослабляющую зависимость от времени в гамильтониане Н.

Разложим функцию Н(х,у,5) в ряд Фурье по х\. Получим:

Н = 9У1 + ^е£Нп(х2,уУ гпх 1

5.2)

Нужно заметить, что, так как потенциал V является тригонометрическим многочленом, существует такое d > 0, что Нп = О при всех \п\> d. Коэффициенты Фурье Нп не зависят от х\ . Положим:

Н+ = £ Нпе1 п>0

ЩХ1

Н~ = J2 п<0 гпх 1

Проведем неформальный анализ этой системы. Если в (5.7) отбросить все нелинейные члены (иначе говоря, положить е = 0 ), получим систему уравнений, имеющую следующее решение:

Нп(х2,у,8) = е-в№Йп(х2,у).

Таким образом, в нулевом приближении по е при п ф О коэффициенты Фурье Нп экспоненциально убывают с ростом 5.

Отбросим теперь нелинейные члены, не содержащие Н® Пусть дг — поток гамильтонова векторного поля с гамильтонианом Тогда решение получившихся уравнений легко выписать:

Нп = е-9\п\бдП 0 „и^ neZ

Из этих равенств видно, что при 5 = функции Нп о 7(i) имеют особенность при некотором вещественном t. Чтобы процедура непрерывного усреднения не потеряла смысла в малой окрестности невозмущенной сепаратрисы, мы должны ее остановить при 6 = 5 < ^к

Строгий анализ системы (5.7) основан на методе мажорант и составляет основную техническую проблему данной работы. Описание свойств усредняющей процедуры содержится в леммах 2 и 3. В случае полутора степеней свободы аналог системы (5.7) рассмотрен в работе [1]. Таким образом, построенная с помощью конструкции непрерывного усреднения замена, приводит систему с гамильтонианом (4.3) к системе, экспоненциальная близость которой к интегрируемости становится явной.

6 Формула Пуанкаре-Мельникова.

Заметим, что значение инварианта Л не меняется в ходе непрерывного усреднения, поэтому, вычисленный для системы с усред

Утверждение 6.1 Значение симплектического инварианта Л может быть найдено из следующей асимптотической формулы:

А = 4^\Р+\ + 0(е-2*).

Доказательство этого факта в случае полутора степеней свободы приведено в работе [2], посвященной вычислению инварианта А в системе "маятник с осцилирующей точкой подвеса". В нашем случае доказательство аналогично и содержится в параграфе 14.

7 Координаты время-энергия.

Вычисление константы Р+ связано с анализом комплексных особенностей решений гамильтоновой системы (4.7). В этом параграфе мы введем специальные канонические координаты типа время — энергия. Как мы видели, при неформальном обсуждении свойств усредняющей процедуры, существенную роль в поведении функций Нп играет сдвиг координат с помощью потока гамильтониана Н°. В новых координатах этот сдвиг будет иметь очень простой вид. С помощью этих координат мы сможем также достаточно просто описать функции Нп в окрестности особенности. Вместо старых координат (x\,x2,yi,y2) мы построим в комплексной окрестности Г новые канонические координаты (xur,ybh).

Итак, положим: h = H\x2,y2) = (*2f + v(x2). (7.1)

Переменную т найдем из условия канонической сопряженности, потребовав, чтобы решение системы (4.7) с энергией h имело где ф6{/32^т2^,!ъг2) = тШР'2/,1йт2/<1\Ьт2) - Фь(0, hf2).

Из равенства (7.10), возвращаясь к исходным переменным, получаем равенство (7.2). Утверждение 7.1 доказано. Обозначим: О V V 0 Sin(Go«2^ Y' ■'•'./ /'

Из утверждения 7.1 вытекает простое следствие:

Следствие 7.1 Функции Нп, Н° имеют, в координатах т, h следующий вид:

2 2 я° = Л + ^ , Нп(т, К) = Яп(г, /I) + т~*%Фп(т2'*>, r2h).

Zi здесь функция аналитична в точке (0,0) и Фп(0, z2) =

0.

Доказательство: Рассмотрим множество Л4п = М. П тп — {к™}, где тп целочисленная прямая, определенная в параграфе 2. Функции Нп имеют вид:

7.11)

Дальнейшее доказательство проводится прямой подстановкой (7.2) в (7.11).

В координатах т, h уравнения непрерывного усреднения приобретают более удобный для нас вид. Положим:

1 1 ЩУ1

Нп(т, h, уь 6) = .

Пользуясь обозначениями параграфа 5, и заменяя qn'k(H) на qk>™(H) = (qk'n{H) + 2ikmal^5HkHn)

8 Перенормировка и получение укороченной системы уравнений непрерывного усреднения.

В этом параграфе обсуждается роль условий 1 и 2 теоремы 1. Если тригонометрический полином V(x) таков, что d' < di < do, то система уравнений непрерывного усреднения может быть исследована аналитически. Итак, в системе (7.12) произведем следующую замену переменных: т = е^т, h = e^h, х\ = ii, yi —

Положим Я = е~1Н. Скобку Пуассона {vb по переменным f, h будем обозначать {•, Выполнены следующие соотношения:

Я я

8.1) dyi дух

Перейдя в уравнениях (7.12) к переменным уи f, h, для функций Нк получим систему уравнений:

Щ = %апЩ + ipn{H) - 2,

8.2) где

Я) = {Hm,Hk}2 -ikH%H*>-imHmHjjl,

Пн) = £ к < 0 < то к + т = п т,к

Положим:

Hn{f,h) = eHn{y/£f,e-lh) ie(f,h) = eHn(y/ef, e~lh).

8.3)

8.4)

Его решение с начальными условиями (8.5) будет иметь вид:

Hn(f,h,yu5) = Нп(т + i6on,h). (8.13)

Точные формулировки, касающиеся близости решения (8.13) уравнения (8.12) и функции Йп(т, h, у\,5): содержатся в лемме 3.

О Tfr\VCk OQTOTTT АППЛПТТЛЙ ГИЛ лгтг ж ^v/luUuI"ЛГВи uLnuorxuH icupcivini,

При доказательстве основной теоремы мы будем использовать следующие вспомогательные утверждения. Пусть 7*,е(£)—решение 7(t) (см. параграф 6) переписанное в координатах (ха, т*, h).

Утверждение 9Л Решение 7*>s(t) системы с гамильтонианом: вух + д/i (h-+ ajf + Д?(т„Л уи f)) , и начальными условиями:

7е,*(0) = (^>e(0),t/lieO,4e(0),A£(0)) = (0,0,^,0), имеет вид:

Ы,е, г*,£) у1г£, he) = (0t + epi (t), y/et + ep2(t), £p3{t))- (9.1) Причем при \t\ < ^ ; 0 < lint < — 6 — c: const, p2{x0ut)\ < constlog(l + |t|), (9.2) рз(ж°,£)| < const.

Доказательство утверждения 9.1 содержится в параграфе 10. Введем следующие обозначения: t' = -ъб-ic + t, ten, (9.3) vе

При const 8 < <5 и \t\ < 5 — ^^COnSt, — < ^Pl(i); PlW < COnSt.

Далее: conste3/2, и значит при \t\ < < ep2(t) где p2(t) < const.

И наконец: ак? ,-дН0 , ЗЯ° ST(/i) отсюда: n>s -у/ё\<

Ve дй° dh dH°dr(h) дт dh

10.10)

Снова применим оценку для функции Н°, полученную в лемме 3, при s выбранном согласно (10.8). Заметим что если (у{, т*. h) е Ds т0 \д^дК1\ < constУё. Имеем: dh дН1 дт

Таким образом —-!-.„,, < const е.

0с-2—2а

С £ s + г<$|

4 а s||s-N£|4a mi он2 дт const £2 -i—;- < dh conste2 const £ ,

1 -Ье-1/21 Re n I)'

Итак мы видим, что последние два слагаемые правой части равенства (10.10) оцениваются величиной j откуда и

Перейдем к доказательству оценки (9.10). Для оценки интеграла /2 воспользуемся формулой интегрирования по частям: djy/ё -с ЧлГе h\ < е-'ф'-Н1) 'fVe е~

J em{Hl(lG{t),6)-H\t-ic),Q)'t dt

-c-ivt try О „ /П •

Согласно результатам леммы 3, имеем: lr~rW~ -с 1 ~ ГЧ п,М М с+Г*/а,Ю/аФ Ы)

Н (т — s — 18,1ъ,уъ5) — Н (т — s) \ С - w

Положив в этой оценке:

3а f = 0, y\=yl, 5=6, ~h = 0, s = -Не, получим:

У е4Л (frijoCfyt) -Hl{t~ ic,Q))'t dt

-c'/V? c'/n/E e" l/2 «/^congf \t + ic\

3a+l dt < e~acoiiste1/2-a/2.

-c/v^

Теперь оценим внеинтегральный член:

-dfy/l

Неравенство (9.10) доказано.

И наконец, неравенство (9.11). Согласно утверждению 10.1 выполнена оценка: glgl-a-H/do nl~V}){f ~s,h)c

10.13) s|2(Q+l/do)(l - и)'

Снова воспользовавшись интегрированием по частям, получим: c'/yi

3| < е-1 (Н1 -Н1) с'/ф -C/Vi

J em(Hl - Hl)t dt

Тогда: n(f-s, h) <

-1—a

CM

12 a

W/2 ~ (|s|/2 — f)(Ci/|s|2 — h)

11.2)

Согласно утверждению 11.1 правая часть неравенства (11.2) имеет мажоранту

У~° s\2a+4\s\j4- f)(Cx/\s\2 -h) \sMl-^f/\s\)(l-h\s\yC4) '

При некоторых константах сп,(,,г] правая часть последнего неравенства мажорируется величиной

-&1Qlog|l -£f/|s| -ф|2Л|.

Оценка (10.5) доказана. Оценка (10.6) следует из утверждения 7.1 и соотношения (11.1). Утверждение доказано.

Утверждение 11.2 Существует такая постоянная ci} что при Im s > 0 выполнено соотношение: с4 g2oij/i<5 ^ при 5 > 0 .

11.3)

2-й

Доказательство: Оценка (11.3) следует из того, что функция еи является целой.

Утверждение 11.3 При любом 5 > 0 и некотором с5 > 0

5e~s

1-й)3 <с5ф*М)"

Доказательство: Нам нужно доказать неравенство:

11.4)

5е~

4 ск

1-й)3 (1 - u + -/(1 - «)2 -f(S))2' < j s—f-жА | s - iX|6a+1 (1 - u{x, s - iX, A))2(l - u{x, s + *Л, 0)) CXs2~2a s-i\\6<*(l-u(x,s-i\,\))3' если только константа С достаточно велика. Утверждение доказано.

Утверждение 11.5 При любом 8 > 0 функция Ф (см. (10.3)) удоволетворяет оценкам:

11.6) (11.7)

Ф(«,J) < свФи(п,8)у

2-й

Доказательство: Для доказательства оценки (11.6) преобразуем функцию F(u,8) следующим образом:

F(u, 8) 1

2(1 — %)т

1 - и + д/(1 - и)2 - f{8) / W

Далее заметим, что F(u,8) раскладывается по степеням ^ ак(8)

11.8) причем в этом разложении все аг(<5) положительны. Осталось заметить, что

J0 м du

1-и)к к (1 -и)к (к-1)(1-и) к-1 при А; ф 1.

11.9)

При к = 1 (11.9) заменяется очевидным неравенством

-— » — log11 - и\. J. ~ и

Для доказательства неравенства (11.7) снова воспользуемся разложением (11.8). Заметим, что согласно утверждению 11.1

1 — и) (2 — и) 1-й

Для любых двух функций F(f,h) и G(f,h) определим операцию:

F,G}} = FfG-h + GfF~h.

Операция {{-, •}} обладает следующим свойством: если F <С F\ и G < Gi то {{F, G}} < №,(?!}}. Введем обозначение: J s при тп > О sra — л

I « + 2гл при тп < 0.

Пусть Fl(x,s,X) некоторые функции. Для любого целого п такого, что \п\ < d положим:

Lin/ вч -fe^logll -u(x,s, 0)1

П (X,SJ - ^ , х, s, Л)(НЛ(х, sn) + F11 (я, в, Л)), Qrajit(x,s,A) = Rl + R2^Ra + Д4 + Д5 + Дб + Д7, s|4a(l — s, А))3/

R5(x,s,X) = \k\F^(x,s,X)(Hk(x,sk) + Fk(x,s,X))e2X^-1\

Rs(x,s,X) = 2|m||A|a1A(Hra(^,sw) + Fm(s,s,A)) x x (н*(ж, sfc) + F*(x, s)) ,

R7(x,s, X) = \m\Fki(x,s,X)(Hm(x,sn) + A))^1^-1)

Qn = Qm,k ■ к < 0 < m k + rrt = n

Введенные величины Рп и Qn являются мажорантными аналогами рп и qn, т.е. если Нт < Hm + Fm то рп < Рп и gra < Qn. Верно следующее утверждение

Утверждение 12.1 Пусть п Е N, и пусть функции Fl(x, s, Л) удовлетворяют следующей системе интегральных мажорантных неравенств:

- Г5

Л) > 2 Q0(z,s + i(5- X),X)dX, (12.1) J о

Fn(x,s,X) 2 ( (Pn(r,s,A) + Qn(®,s,A)) dX, (12.2) Jo

F~n(x, s, A) > 2 f (P-n(x, s + 2i(6 - A)) Jo

Q-n(x,s + 2i{5-X),X))dX. (12.3)

Тогда выполнены следующие мажорантные оценки:

Н°{х°,8) < F°(x,s,8), Hn{x°,6)-ie{r-s,h) < Fn(x,s,8)1 H~n{x\5)-irn{T-s-2i8,h) < F-n(x,s,8).

Утверждение 12.1 непосредственно следует из утверждений 10.1— 11.5 и следующего представления для скобки Пуассона:

Я*(я, s, А) - Нк{т + гА, h),Hm(x, a, А) - Нт(г - гЛ, h)} = -{Я*(ж, 5, А) - Нк(т + «А), Hm(r - гА)} -{Пк(т + iX, h),Hm(x, s, А) - Hm(r - гА, Л)} -{^(г + гА, к),Пт(т - iX,h)} + {Я*(х, s,X),Hm(x, s, А)}.

Таким образом, если нам удастся "угадать" хотя бы одно решение системы (12.1)—(12.2), мы сумеем построить мажоранты для функций Hk(f, yf, К). Доказательство леммы 1 сводится к доказательству следующего утверждения: которое выполнено при j3 > 0 и достаточно больших значениях s.

Второе слагаемое: сс+с4сге5/2-5а/2

Д2 < s + t(tf - A)|Sa

Ф(й,А),Ф(й,А)}}е

2Л

--1 , , Л)е А/2. здесь и в дальнейшем мы используем, что Н' -С сопз1Фи. Дз аналогично оценивается величиной: i?4 оценивается следующим образом: , С+С~Г3^1{{Ф(й,А);Ф(й,А)}}е

2Л s + i(<5 — A)|6q £с+с~с7е3~3а

Оценим i?5(x, s + i(5 — А), А):

Ф*(й,А)е

-Л/2

Теперь dCXc%cr(c + c-)c^-^ 2 2Д s + «(£ - А)|5а }

2daiАс4с6е2"2о! (с Н- с-) (с + с+) 2 s + — А)|4а Оценку для для Щ получаем так же как и для i?5.

R7 < d(sc4cec7(c + c+)c~g5/2-5Q/2,, ЛЧл2Л |s + i(8 — A)!50

12.6)

Ф2(й,А)е-2А. (12.7)

Ф2(й,А)е-2А. (12.8)

Мы будем использовать оценки (12.6)-(12.8), заменив сомножитель wwSw на 1 согласно неравенству (12.5), при /5 = 4а и р = 5а. Итак, получаем доказываемое неравенство в виде:

Ф(и, д)с°е |« + г£|4а

2—2а .g 0(\\~2-2а g W Фl(u,5)d\. (12.9) s + i5\4a где: о,лч А/2/7* С2°г1/2~а/2 Cl^-^ ^Л Л) = е~х'2 С? + , 2 . 1 + , 3 . , + ,4 , .tt + .

12.10)

Неравенство (12.9) выполнено если: ш < т. (12.„) 8 8

Действительно, в этом случае: = I* A) rfA » [5 ^-ФЦй, A) dA.

0 о J 0 о

Так как при /3 > 0 |s| < 0 < 5 < ^ выполнено неравенство: e^\s-hi8\2p < const, то для выполнения (12.11), а значит и (12.9) достаточно взять с0 достаточно большим.

2) Перейдем к проверке неравенства (12.2). Снова каждое из слагаемых анализируем по отдельности. Оценим первое слагаемое из Pn(x,s, А): ijIs + tAI*"-»^!^1 '

Второе слагаемое: n|F° (ж, а, А)(Н»(х, я) + F"{x, s, А)) « ^^^^^^ Л)"

Теперь слагаемые из Qm,k(x- s, А). Здесь т<0<кит+к= п. R\ (х, s, А) как и в неравенстве для функции F0 оценивается с помощью утверждений 11.2-11.5. Снова у всех функций Л, опускаем аргументы.

Rl ^ -- -Фв(«,А). c4c5c7Ce-V v -Ж

Второе: SCC ЧС7Сф2/й Д)е-А/2

Третье:

Четвертое слагаемое:

4|s + 2j(i-A)]s«« ,Д ' ф|6а-1

Пятое: dCAcV(c + c+)c-e5/2-5t*/2 „ 2А d(Xclc3c4(c + 2, „ 2Л - |S+W—ф-(и'А)е М

Шестое: ^ 4rfa1Ac4c6(c+ с-)(с + с+)е2~2а 2, ,д <<С -|5 + 2г(с5-А)Г-Ф("'Л)6

4 da1c4c6c2(c + c-)(c + c+)^2 А/з g|4a «\ ' /

Определим функцию Ф(и, 5) как и в лемме 3, при этом функцию f(S) заменим на /{(<)) = тах{2с^у/е,Сл/ее~6}. Верно следующее замечание, вполне аналогичное замечанию 12.1.

Замечание 13.1 При любой константе С можно выбрать константу с2 настолько малой, что при 0 < д < pj^fe будет выполнено неравенство: т < 1/2.

Следующее утверждение является основным и влечет за собой лемму 2.

Утверждение 13.3 Существуют такие константы с°,с+,с что функции:

F0 = с°4Щи),

Fn = Gn(x2el^5,y2e^,y]) + Fn;

F~n = д~п{х2е-^б,у2е^6:У1) + р-п,

F±n = с±Ф(м), где F0 = с°Ф(и), Fn = с+Ф(и), F~n = с"Ф(и), удоволетворяют системе неравенств (13.7).

Доказательство:

Доказательство утверждения проводится прямой проверкой. 1) Первое неравенство. Каждое слагаемое правой части неравенства (13.7) оценим отдельно, пользуясь утверждениями 10.1 - 11.5 и очевидными равенствами:

2 F2 и ,

VI а также тем, что Ф(«) log |1 — и\ при <5 > 0.

Пусть т + к = 0 ,к < 0 < т. Получаем оценку для первого слагаемого из Qm'k :

Для второго: nFyi{u,X)Fn{u,X) « dc'4/iAc°c3(c+ + Сп)ФФи < dc'\/eAc0c3(c4" + Сп)Ф2 .

В этом неравенстве га + к = п ,к < 0 < т. Теперь оценим слагаемые из Qm,k. Аналогично первому неравенству получаем: с;л Fk]^e-tkbg-tkan/eyiXg-X^aiytkX ~{с+ + Ст)(с~ + Ск)Ф2ие~х

Второе слагаемое:

S2 < dc'y/eXc+c3(c-+ Ск)ФФи < dc'VeAc+c5c3(c"- + Ск)ФФи.

Третье:

S3 < 4d2alv/iA(c+ + С"")(с- + Cfe)c6c^2e-A. (13.10) Четвертое:

S4 < 2о!с'Л/еАФФыс+(с- + Ск)с5с6е(13.11) Итак получаем: r& fR, А, где :

Ы2а1^/еХ(с+ + Ст) (с~ + Ск)съ<*еГх1* +\m\ka1^\Fm{u, A)Fk{u, А)е"А/2 +2^c'V?Ac+(c- + Ск)с5с6е'х'2, Вх = c°(c+ + Cn) + rfc'4/iAc°cV-f С"). следующую оценку: fS

F±nC^J D<f>2u(u,X)dX.

Заметим, что при любом Л 6 [0,и достаточно большой константе D1 имеем:

1/2-и и следовательно: rs ПД1

D<$l(u,\) -. (13.14)

J о i/2 —и

Теперь пользуясь неравенством (13.14) оценим функцию F°. Так как функции G% и G-7 коммутируют при г ф j и Сгш = 0 при 5 = О, из первого уравнения системы (13.2) вытекает оценка:

D2

Г° L)

F°<e Ле~А—т--dX.

J о 1/2 —и

Так как /05 Хе л dX ограничен при любом <5, неравенство (9.14) доказано.

14 Доказательство формулы Пуанкаре-Мельникова в случае автономной системы с двумя степенями свободы.

Рассмотрим "невозмущенную"- систему:

-Но = 6У1 + ^Н0(х2,у,$). (14.2)

Пусть к® (t) ее гиперболическое периодическое решение близкое к 4{t) = {Xl = xl + 9t,x2(t) = x°2 ,yi(t) = у» = г/® }■

Решение к°£ (£) имеет сдвоенную сепаратрису. Так как гамильтониан (14.2) не зависит от ац, y\(t) = у\ на всех решениях ассимптотических к n°e(t). Будем считать, что сепаратриса решения n£(t) задана с помощью производящей функции So = хху1 + y/eS^(x2) = Функция S0(x ъ х2) удоволетворя-ет следующему уравнению Гамильтона-Якоби:

14.3)

Рассмотрим систему с гамильтонианом

Ч = П\х2, У1, уа) + оЧ*{х, у, V5), (14.4) причем в нашем случае а = е~6. Система (14.4) также будет иметь периодическое решение n£(t) близкое к n°£(t). Решение na£(t) может быть представлено в следующем виде:

Оно также имеет две ассимтотические поверхности, которые мы будем задавать производящими функциями ас±

Функции S±, в свою очередь, также удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби:

8S^

Щх, а, у/е) = h(cг, у/е),

14.6) здесь h(cr, л/е) - значение гамильтониана % на периодическом решении kZ(1). Если в равенстве (14.6) рассмотреть нулевое приближение по а получим равенство (14.3). В качестве первого приближения получим следующее равенство: asf гдП\ 0 dSo.dSf дхо dyi дх 1 дхл

Список литературы

1] Treschev D.V. Separatrices Splitting for a Pendalam with Rapidly Oscillating Suspension Point. Russian J. Math. Phys. 1997. V.5. P.63-98.

2] Delshams A., Ramirez R. J.Nonlinear Sci. 1998. V.8. P.317-352.

3] Delshams.A and Seara.T. An asymptotik expression for the splitting of separatrices of the rapidly forsed pendalam. Communs Math. Phys. 1992. V.150. P.433-463.

4] Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова. Рукопись деп. ВИНИТИ 24 сент. 1984г. №6372-84 Деп. М., ВИНИТИ.1984.

5] Лазуткин В.Ф. О ширине зоны устойчивости возле сепаратрис стандартного отображения. Докл. АН СССР, 1990, 313(2), с.268-272.

6] Gelfreich.V.G., Lazutkin.V.F. and Svanidze.N.V. Refined fopmula of separatpices splitting for the standard шар. Physica D. 1994. V.71. №2. P. 101-127.

7] V.G.Gelfreich, V.F.Lazutkin, and M.B.Tabanov. Epxonentially small splitting in Hamiltonian sistem. Chaos.1991. V.l .№2.P. 137-142.

8] Gelfreich V. Reference systems for splitting of separatrices. Nonlinearity. 1997. V.10. P. 175-193.

9] Gelfreich V. A proof of the exponentially small transversality of the separatrices for the standard map. Communs Math.Phys. 1999. V.201. P.155-216.

10] V.G.Gelfreich. Splitting of separatrices of the rapidly forced pendalam. Preprint (1990).

11] Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М., Фазис, 1998.С.63-146.

12] Treschev D.V. An averaging method for Hamiltonian sistem, exponentially close to integrable ones. Chaos. 1996. Y.6. №1. P.6-14.

13] D.Treschev, "Hamiltonian sistems with three or more degrees of freedom". 1999. NATO ASI Series С. V. 533. P.244-253.

14] Трещев .Д. В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем. Матем. сб., 1989, 180(10), с.1325-1346.

15] Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Прикл. матем. и мех., 1984, 48(2), с. 197-204.

16] Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмлгорова о сохранении условно периодических движений. Прикл. матем. и мех., 1981, 45(6), с.1016-1025.

17] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Изд-во МГУ, 1980.

18] Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Успехи мат. наук, 1963,18(5), с. 13-40.

19] Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды. Успехи мат. наук, 1969, 24(2), с. 165-211.