Расщепление сепаратрис и комплексная динамика тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1 Введение.

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Исторический комментарий. Обзор результатов.

2 Расщепление сепаратрис для отображений, близких к тождественному

2.1 Параметризация сепаратрис.

2.2 Аппроксимация сепаратрис.

2.3 Существование двоякоасимптотических траекторий

2.4 Величины, характеризующие расщепление сепаратрис

2.5 Локальное выпрямление отображения.

2.6 Экспоненциальная малость расщепления.

3 Асимптотические формулы для расщепления сепаратрис

3.1 Обобщенное стандартное отображение.

3.2 «Стохастическая паутина».

3.3 Постоянная ©1.

3.4 Основные этапы вывода формул для расщепления сепаратрис обобщенного стандартного отображения.

3.5 Аппроксимация сепаратрис с помощью рекуррентной системы дифференциальных уравнений.

3.6 Сепаратрисы в окрестности особенности.

4 Доказательство экспоненциально малой трансверсальности сепаратрис для стандартного отображения Чирикова

4.1 Расщепление сепаратрис стандартного отображения

4.2 Формальная сепаратриса.

4.3 Первая теорема об аппроксимации.

4.4 Полустандартное отображение.

4.5 Вторая теорема об аппроксимации.

4.6 Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий

4.7 Аналитический интеграл и асимптотическая формула для гомоклинического инварианта.

4.8 Построение формальной сепаратрисы (предложение 4.4 )

4.9 Доказательство первой теоремы об аппроксимации (предложение 4.5 ).

4.10 Доказательство существования сепаратрис полу стандартного отображения (Теорема 4.6 ).

4.11 Доказательство теоремы 4.7 об экспоненциальной близости сепаратрис полустандартного отображения . 103 4.12 Существование разложения, начинающегося с сепаратрисы полустандартного отображения (Предложение 4.8)

4.13 Доказательство второй теоремы об аппроксимации (предложение 4.9)

4.14 Существование второго решения уравнения в вариациях (предложение 4.10).

4.15 Построение ряда для расстояния между сепаратрисами стандартного отображения (предложение 4.11)

4.16 Доказательство теоремы об аналитическом интеграле (теорема 4.13)

5 Аналитические инварианты конформных отображений с точки зрения теории динамических систем

5.1 Аналитическая классификация Воронина.

5.2 Построение обратных функций Абеля.

5.3 Инвариантные слоения.

5.4 Вычисление аналитических инвариантов.

6 О применимости метода Мельникова к исследованию систем со слабым высокочастотным возмущением

6.1 Постановка задачи.

6.2 Формулировка условий применимости метода Мельникова

6.3 Метод усреднений, устойчивость и периодические траектории

6.4 Инвариантные многообразия.

6.5 Аналитическое выпрямление потока.

6.6 Квалифицированная оценка сверху для расщепления сепаратрис

6.7 Завершение доказательства теоремы 6.2.

6.8 Об аналитических свойствах функции Мельникова

7 Модельные системы в комплексном фазовом пространстве

7.1 Асимптотики для расщепления сепаратрис.

7.2 Процедура сведения к модельной системе.

7.3 Сепаратрисы модельных систем.

7.4 Численные методы для корректирующего множителя

8 Расщепление сепаратрис для маятника с высокочастотным возмущением большой амплитуды

8.1 Асимптотика расщепления сепаратрис маятника

8.2 Периодическая траектория и параметризация сепаратрис

8.3 Асимптотические ряды для сепаратрис.

8.4 Выпрямление потока в окрестности сепаратрисы

8.5 Экспоненциально малые оценки погрешности

9 Аналитическая теория конечно-разностных уравнений

9.1 Метод вариации произвольных постоянных.

9.2 Линейные уравнения второго порядка.

9.3 Лемма об интеграле Коши.

9.4 Уравнения вида Да = д в областях типа (А, ±) и И а ■ ■

9.5 Равномерные оценки для решения системы двух уравнений

Глава 1 Введение.

1.1 Общая характеристика работы

Хорошо известно, что при малом возмущении интегрируемой га-мильтоновой системы большая часть инвариантных торов сохраняется. Движение на каждом таком торе носит почти-периодический характер. Инвариантные торы образуют регулярную компоненту, которая является объектом теории KAM (Колмогоров-Арнольд-Мозер [24, 2, 34]). Для систем, близких к интегрируемым, регулярная компонента имеет асимптотически полную меру. Исследование динамики в дополнение к регулярной компоненте является одной из важнейших и интереснейших задач современной теории динамических систем. Со времен работ А. Пуанкаре, посвященных задаче трех тел, хорошо известно, что важную роль в этой части фазового пространства играют гиперболические инвариантные торы, гиперболические периодические траектории, а также их инвариантные (устойчивые и неустойчивые) многообразия, которые мы по сложившейся традиции будем называть сепаратрисами.

Устойчивая (неустойчивая) сепаратриса не может пересекать ни саму себя, ни другую устойчивую (неустойчивую) сепаратрису. Однако могут существовать точки пересечения устойчивой и неустойчивой сепаратрис, называемые гомоклиническими или гетероклиническими в зависимости от того, соответствуют ли сепаратрисы одной периодической траектории (инвариантному тору) или нет. Траектории го-моклинических и гетероклинических точек Пуанкаре назвал двоякоасимптотическими. Наличие точек трансверсального пересечения сепаратрис ведет к образованию стохастической компоненты в фазовом пространстве, т.е. на некотором инвариантном замкнутом подмножестве движение оказывается сопряженным со сдвигом Бернулли.

В интегрируемых системах сепаратрисы являются сдвоенными поверхностями: устойчивая сепаратриса одновременно является неустойчивой. Подобная ситуация не является общей и может быть разрушена под воздействием сколь угодно малого возмущения (см. рис. 1.1). Возмущенная система может обладать трансверсальными

Рис. 1.1: Пример: расщепленные отрезки сепаратрис неподвижной гиперболической точки сохраняющего площадь отображения х\ = х + т/х, у\ = у + ех{1 — ж2) при е = 0. двоякоасимптотическими траекториями, при этом сепаратрисы образуют запутанную сеть (см. Рис. 1.2).

Расщепление сепаратрис является одним из универсальных механизмов возникновения стохастических явлений, и его роль выходит далеко за рамки теории гамильтоновых систем. В связи с этим, проблемам, связанным с расщеплением сепаратрис уделяется много внимания в научной литературе. Интерес к исследованию расщепления сепаратрис сильно возрос в последнее время также вследствие развития вычислительной техники и открывшейся возможности приложения теории динамических систем к задачам самой различной природы. Явление расщепления сепаратрис играет заметную роль в задачах физики плазмы, например при исследовании устойчивости магнитных бутылок и стохастического ускорения частиц. В адиабатической теории расщепление сепаратрис может приводить к несохранению адиабатических инвариантов. В гидродинамике расщепление

Рис. 1.2: Пример: расщепленные сепаратрисы на фоне, образованном итерациями одной точки. Показана часть фазового пространства, соответствующая квадрату на Рис. 1. сепаратрис может обуславливать стохастизацию линий тока.

Хорошо известно, что в целом ряде интересных с точки зрения возможных приложений задач величина расщепления сепаратрис оказывается по порядку величины меньше любой степени параметра возмущения. В подобных задачах стандартные методы теории возмущений, использующие разложения по степеням малого параметра, не позволяют исследовать эффекты, связанные с расщеплением сепаратрис. Подобная ситуация возникает в частности в следующих задачах:

• расщепление сепаратрис под воздействием высокочастотных периодических по времени возмущений автономных систем;

• расщепление сепаратрис в окрестности простых резонансов в почти интегрируемых гамильтоновых системах с двумя степенями свободы;

• расщепление сепаратрис сохраняющих площадь отображений, близких к тождественному;

• расщепление сепаратрис в окрестности бифуркаций периодических траекторий в однопараметрических семействах сохраняющих площадь отображений.

Все эти задачи имеют между собой много общего. В частности, экспоненциальная малость расщепления для каждой из них может быть выведена из теоремы Нейштадта [36] о точности разделения переменных в системах с быстро вращающейся фазой. С другой стороны, для приложений важно иметь также оценки снизу. Эти оценки оказываются крайне чувствительными к малым изменениям уравнений. В результате возникает необходимость рассматривать каждую из систем индивидуально. При этом методы для дифференциальных уравнений и для отображений развиваются параллельно.

Отметим особо, что аналитичность является ключевым свойством, определяющим масштабы рассматриваемых явлений. Всегда, если только явно не указано обратное, отображения, многообразия и другие объекты будут подразумеваться аналитическими.

Целью диссертации является главным образом исследование расщепления сепаратрис в аналитических гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. При этом рассмотрены системы как с непрерывным (потоки), так и с дискретным (каскады, отображения) временем.

В настоящее время стандартным инструментом количественного исследования расщепления сепаратрис является метод Пуанкаре-Арнольда-Мельникова, который для краткости часто называют просто методом Мельникова. Этот метод использует первые члены в разложении сепаратрис по степеням малого параметра. Для широкого класса задач применение этого метода требует специального обоснования, так как изучаемые эффекты оказываются экспоненциально малыми по сравнению с параметром возмущения, и стандартная оценка погрешности оказывается недостаточной. Однако, для широкого круга задач эта оценка может быть существенно улучшена. В этой ситуации значительный интерес представляет вопрос о пределах применимости метода Мельникова.

В 1984 В. Ф. Лазуткин вывел асимптотическую формулу для угла расщепления сепаратрис стандартного отображения Чирикова [25]. Несмотря на то, что работа не содержала полного обоснования результата и существенным образом опиралась на две гипотезы, доказательства которых в полном объеме нет до настоящего времени, она положила начало целому ряду работ по оценкам экспоненциально малых величин, характеризующих расщепления сепаратрис как для отображений, так и для потоков.

В основе метода лежала гипотеза о возможности выпрямления отображения в достаточно широкой окрестности сегмента одной из сепаратрис с помощью аналитической канонической замены координат. Вторая сепаратриса оказывается при этом графиком периодической функции. Исследование аналитического продолжения этой функции позволяет оценить её коэффициенты Фурье и получить экспоненциально тонкие оценки для вещественных величин, непосредственно связанных с расщеплением сепаратрис.

Развитие этой идеи позволило разработать единый подход к решению ряда задач, которые и составляют основу диссертации.

Научная новизна. Подавляющая часть представленных в диссертации результатов являются новыми. В обзоре литературы, помещенном в первой главе диссертации, содержится подробное сопоставление с имеющейся литературой.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть интересны специалистам по теоретической и математической физике, занимающимся нелинейными задачами, а также специалистам по теории динамических систем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математической строгостью обоснования применяемых методов, а также сравнением теоретических предсказаний с результатами численных экспериментов, проведенных как соискателем, так и другими исследователями.

Апробация. Результаты, вошедшие в диссертацию, были представлены на ряде международных и всесоюзных конференций: на рабочих семинарах по теории бифуркаций (Пугцино, 1986 и 1988 гг.), на Всесоюзной конференции по теории нелинейных колебаний (Горький, 1990 г.), на международных конференциях «Дни динамики» (Берлин, 1991 г.) и «Динамические системы» (Санкт-Петербург, 1991 г.), «Гамильтоновы системы с тремя и более степенями свободы» (С.-Агаро, 1994 г.), конгрессе испанского общества прикладной математики (Вик, 1995), международной конференции по теории дискретных динамических систем (Брюссель, 1997), международной конференции «Диффузия, расщепление сепаратрис и небесная механика» (Оссуа, 1998). Кроме того результаты работы докладывались на научных семинарах С.Петербургского отделения математического института им. Стеклова, С.Петербургской академии аэрокосмического приборостроения, Университета Париж-7, бюро долгот Французской академии наук, Свободного Университета г. Берлин, Университета г. Барселона, Брин Мавр Колледж (Пенсильвания), ЭХШУ в Стони Брук, Миланского Университета, Университетов гг. Комо и Падуя, Университета «Тог vergata» (г. Рим), института Вейер-штрасса (г. Берлин).

Результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в [9-15], [73-84].

Первые результаты, показавшие возможность адаптации метода к системам со многими степенями свободы и тем самым определившие перспективы дальнейшего развития теории, опубликованы в [55-58].

На защиту выносится метод, предназначенный для исследования эффектов, экспоненциально малых по сравнению с параметром возмущения, и позволивший получить решение следующих задач:

1. Построение квалифицированной оценки сверху для расщепления сепаратрис преобразований плоскости, близких к тождественному, без условия сохранения площади.

2. Полное обоснование для асимптотической формулы, характеризующей расщепление сепаратрис стандартного отображения Чи-рикова, включая доказательство существования аналитического интеграла вдоль неустойчивой сепаратрисы стандартного отображения.

3. Построение асимптотики расщепления сепаратрис для некоторых классов полиномиальных отображений плоскости, близких к тождественному.

4. Нахождение достаточно общих достаточных условий для применимости метода Мельникова к исследованию слабых высокочастотных возмущений.

5. Исследование границы применимости метода Мельникова к исследованию расщепления сепаратрис под воздействием высокочастотного периодического возмущения для ряда полиномиальных гамильтоновых систем.

6. Вывод асимптотических формул в случае, когда метод Мельникова не дает правильного предсказания для величины расщепления.

Кроме того

7. Получена теорема о возможности (локального) выпрямления отображения, близкого к тождественному, с помощью аналитической замены координат.

8. Получена новая интерпретация для значений аналитических инвариантов конформных отображений в окрестности вырожденной неподвижной точки.

1. В. М. Алексеев. Квазислучайные динамические системы 1.III. Мат.сборник, т.76, вып.1, 72-134 (1968); т.77, вып.4, 545-601 (1968); т.78, вып.1, 3-50 (1969), 1968-1969.

2. В. И. Арнольд. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом возмущении функции Гамильтона. Успехи мат. наук, 18(5):13-40, 1963.

3. В. И. Арнольд. О неустойчивости в гамильтоновых системах со многими степенями свободы. ДАН, сер. Математика, 156(1):9-12, 1964.

4. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. Наука, М, 1979.

5. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.:Наука, 1974. 504 с.

6. В. С. Булдырев, Б. С. Павлов. Линейная алгебра и функции многих переменных. Учебное пособие. Изд. ЛГУ, Л. 1995, 496 с.

7. В. В. Вечеславов, Б. В. Чириков. Прецезионное измерение расщепления сепаратрисы нелинейного резонанса. ИЯФ 98-3, Новосибирск, 1998.

8. С. М. Воронин. Аналитическая классификация конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частъю. Функциональный анализ и его приложения, 15(1):1-17, 1981.

9. В. Г. Гельфрейх. Расщепление сепаратрис стандартного трехпараметрического семейства отображений, деп. в ВИНИТИ 3245-В88, 1988. 22 с.

10. В. Г. Гельфрейх. Вычисление аналитических инвариантов конформных отображений в окрестности вырожденной неподвижной точки . Математические методы исследования приборов и систем управления, под ред. Понырко С.А., ЛИАП, с. 77-79, 1990.

11. В. Г. Гельфрейх. Расщепление сепаратрис полиномиальных отображений, сохраняющих площадь. Проблемы математической физики, вып. 13, под ред. М. Ш. Бирмана, изд. ЛГУ, с. 108-116, 1991.

12. В. Г. Гельфрейх. Расщепление сепаратрис для некоторых полиномиальных гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, диссертация на соискание степени кандидата ф.-м. наук, ЛГУ, 1992.

13. В. Г. Гельфрейх. Расщепление сепаратрис для некоторых полиномиальных гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, автореферат диссертации на соискание степени кандидата ф.-м. наук, Л., 1992.

14. В. Г. Гельфрейх. Аналитические инварианты конформных отображений с точки зрения теории динамических систем, Регулярная и хаотическая динамика, N 4, стр. 42-50, 1998

15. В. Г. Гельфрейх, В. Ф. Лазуткин, М. Б. Табанов. Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в гамильтоновых системах. Нелинейные колебания механических систем II, Тезисы докладов всесоюзной конференции, Часть 1, 1990, с. 50.

16. Г. М. Заславский, М. Ю. Захаров, Р. 3. Сагдеев, Д. А. Усиков, А. А. Черников. Стохастическая паутина и диффузия частиц в магнитном поле. ЖЭТФ, 2, N. 8:500-516, 1986.

17. Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.

18. Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев, Д. А. Усиков, А. А. Черников. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М., 1991.

19. К. Л. Зигель. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона. Математика, 5(2):103—117, 1961.

20. С. Л. Зиглин. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы. ПММ, 45(3):564-566, 1981.

21. С. Л. Зиглин. Расщепление сепаратрис и несуществование первых интегралов в системах дифференциальных уравнений типа гамильтоновых с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, Сер. Мат., 51(5):1088-1103, 1987.

22. В. В. Козлов. Интегрируемость и неинтегрируем ость в га-мильтоновой механике. УМН, 38, 1 (229):3—67, 1983.

23. В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в га-мильт,оновой механике. Издательство Удмуртского государственного университета, Ижевск, 1995. 432 с.

24. А. Н. Колмогоров. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Доклады АН СССР, сер.Матем., 98(4):527-530, 1954.

25. В. Ф. Лазуткин. Расщепление сепаратрис для стандартного отображения Чирикова, деп. в ВИНИТИ 6372/84, 45 е., 1984.

26. В. Ф. Лазуткин. Расщепление сепаратрис для стандартного семейства преобразований, сохраняющих площадь. Распос-транение волн, теория рассеяния. Проблемы математической физики, вып.12, под. ред. М. Ш. Бирмана, изд. ЛГУ, с. 32-41, 1986.

27. В. Ф. Лазуткин. Расщепление комплексных сепаратрис. Функциональный анализ и его приложения, 22(2):83—84, 1988.

28. В. Ф. Лазуткин. О ширине зоны неустойчивости около сепаратрисы стандартного отображения. ДАН, 313(2):268-272, 1990.

29. В. Ф. Лазуткин. An analytic integral along the separatrix of the semistandard map: existence and an exponential estimate for the distance between the stable and unstable séparatrices. Алгебра и Анализ, 4(4):110-142, 1992.

30. В. Ф. Лазуткин, М. Б. Табанов, И. Г. Шахманский. Расщепление сепаратрис стандартного и полустандартного отображений, деп. в ВИНИТИ 4027/85, 30 е., 1985.

31. А. Лихтенберг, М. Либерман. Регулярная и стохастическая динамика. М., Мир, 1984.

32. М. Ю. Любич. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина. УМН, 41, вып. 4, (250):35—95, 1986.

33. В. К. Мельников. Об устойчивости центра при периодически действующих возмущениях. Труды московского математического общества, 12:3-52, 1963.

34. Ю. Мозер. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя. Математика, 6(5):51—67, 1963.

35. А. И. Нейштадт. О точности теории возмущений для систем с одной быстрой переменной. Прикладная математика и механика, 45:80-87, 1981.

36. А. И. Нейштадт. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. ПММ, 48(2):197-204, 1984.

37. А. И. Нейштадт. Об изменение адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика плазмы, 12, вып. 8, 1986.

38. Нитецки, 3. Введение в дифференциальную динамику. Мир, М., 1975. 304 с.

39. А. Пуанкаре. Новые методы небесной механики, Избранные труды, т. 1. М., Наука, 1971.

40. Пуанкаре, А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики, Избранные труды, т. 2. М., Наука, 1972.

41. Ж. Риордан. Введение в комбинаторный анализ. М., 1984.

42. Ю. Б. Сурис. Об интегрируемых отображениях типа стандартного. Функциональный анализ и его приложения, 23(1):84-85, 1989.

43. Д. В. Трещев. Расщепление сепаратрис с точки зрения симплектической геометрии. Мат. Заметки, т. 61, вып. 6, с. 889-906, 1997.

44. С. Amick, Е. S. С. Ching, L. P. Kadanoff, and V. Rom-Kedar. Beyond all orders: singular perturbations in a mapping. J. Nonlinear Sci., 2:9-67, 1992.

45. S. Angenent. A variational interpretation of Melnikov's function and exponentially small separatrix splitting// Symplectic geometry, London Math. Soc. Lecture Note Ser. vol. 192, D. Salamon, ed., Cambridge Univ. Press, pp. 5-35, 1993.

46. J. Barrow-Green. Poincare and the three body problem. History of Mathematics, vol. 11, AMS, 1997

47. A. Benseny and C. Olive. High precision angles between invariant manifolds for rapidly forced Hamiltonian systems. In Perellö et al. 100], pp. 315-319.

48. Y. H. Chang. Proof of an asymptotic symmetry of the rapidly forced pendulum. In Segur et al. 106], pp. 213-221.

49. Y. H. Chang and H. Segur. An asymptotic symmetry of the rapidly forced pendulum,. Physica D, 51(1-3):109-118, 1991.

50. V. L. Chernov. On separatrix splitting of some quadratic area-preserving maps of the plane. Regular & Chaotic Dynamics, 3, no. 1:49-65, 1998.

51. V. L. Chernov. Separatrix splitting for the Henon map: a resurgence approach. Universität de Barcelona, Mathematic preprint series, no. 188, 1995.

52. L. Chierchia and G. Galavott.i. Drift and diffusion in phase space. Annales de ¡'Institute H. Poincare, 60:1-144, 1994.

53. B. V. Chirikov. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. Physics Reports, 52:263-379, 1979.

54. R. Cushman. Examples of nonintegrable analytic Hamiltonian vector fields with no small divisors. Trans, of Amer. Math. Soc., 238(l):45-55, 1978.

55. A. Delshams, V. Gelfreich, A. Jorba, and T. M. Seara. Exponentially small splitting of separatrices under fast quasiperiodic forcing. Commun. Math. Phys., 189:35-71, 1997.

56. A. Delshams, V. Gelfreich, À. Jorba, and T. M. Seara. Lower and upper bounds for the splitting of séparatrices of the pendulum under a fast quasiperiodic forcing. ERA Amer. Math. Soch., 3:1-10, 1997.

57. A. Delshams and R. Ramírez-Ros. Poincaré-Melnikov-Arnold method for analytic planar maps. Nonlinearity, 9(1):1—26, 1996.

58. A. Delshams and R. Ramirez-Roz. Exponentially small splitting of séparatrices for perturbed integrable standard-like maps, (preprint 97-160 in mparc@math.utexas.edu; to appear in J. Nonlinear Sci.).

59. A. Delshams and T. M. Seara. An asymptotic expression for the splitting of séparatrices of the rapidly force pendulum. Commun. Math. Phys., 150:433-463, 1992.

60. A. Delshams and T. M. Seara. Exponentially small expressions for separatrix splittings.// In Kuksin et al. 90], pp. 68-80.

61. A. Delshams and T. M. Seara. Splitting of séparatrices in rapidly forced systems.// In Perelló et al. 100], pp. 103-113.

62. A. Delshams and T. M. Seara. Exponentially small splitting in Ha-miltonian systems. In Seimenis 107], pages 181-187.

63. J. Ecalle. Les fonctions résurgentes, vol. 2. Publ. Math. d'Orsay, Paris, 1981.

64. J. A. Ellison, M. Kummer, and A. W. Sáenz. Transcendentally small transversality in the rapidly forced pendulum. Journal of Dynamics and Differential Equations, 5(2):241-277, 1993.

65. B. Fiedler and J. Scheurle. Discretization of homoclinic orbits; rapid forcing and "invisible" chaos. Memoires of the AMS, 119(570):79, 1996. (Konrad-Zuse-Zentrum, preprint SC 91-5, (1991)).

66. N. N. Filonenko, R. Z. Sagdeev, and G. M. Zaslavsky. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities: Part II. Nuclear Fusion, 7:253-266, 1967.

67. E. Fontich. Exponentially small upper bounds for the splitting of séparatrices for high frequency periodic perturbations. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 20(6):733-744, 1993.

68. E. Fontich. Rapidly forced planar vector fields and splitting of séparatrices. J. Diff. Eq, 119(2):310-335, 1995.

69. E. Fontich and C. Simo. The splitting of séparatrices for analytic diffeomorphisms. Ergod. Th. and Dynam. Sys., 10:295-318, 1990.

70. A. Fruchard and R. Schäfke. Exponentially small splitting of séparatrices for difference equations with small step size. Prepublication de Institute de Recherche Mathématique Avancée, 1994/030, 42 p., 1994.

71. G. Gallavotti. Twistless KAM tori, quasi flat homoclinic intersections, and other cancellations in the perturbation series of certain completely integrable Hamiltonian systems. A review. Reviews in Mathematical Physics, 6(3):343-411, 1994.

72. V. G. Gelfreich. Separatrices splitting for the rapidly forced pendulum.// In Kuksin et al. 90], pp. 47-67.

73. V. G. Gelfreich. Splitting of séparatrices in rapidly forced hamiltonian systems.// Proceedings of the IV Spanish Meeting of Applied Mathematics, Vic, Spain, 18-22 September 1995.

74. V. G. Gelfreich. Conjugation to a shift and the splitting of invariant manifolds. Applicationes Mathematicae, 24, 2:127-140, 1996.

75. V. G. Gelfreich. Separatrix splitting for a high-frequency perturbation of the pendulum. Universität de Barcelona, Mathematics Preprint series no. 195, 1996. (to appear in Russian J. of Math. Physics).

76. V. G. Gelfreich. Melnikov method and exponentially small splitting of séparatrices. Physica D, 101:227-248, 1997.

77. V. G. Gelfreich. Reference systems for splitting of séparatrices. Nonlinearity, 10:175-193, 1997.

78. V. G. Gelfreich. A proof of the exponentially small transversality of the séparatrices for the standard map. Communie. Math. Physics, v. 201, no.l, pp. 155-216

79. V. Gelfreich, Splitting of séparatrices for a small loop near the Bogdanov-Tackens bifurcation, (mparc@math.utexas.edu, preprint 98-646, 1998).

80. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, C. Simo, and M. B. Tabanov. Fern like structures in the wild set of the standard and semistandard maps in C2. Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 2(2):353-373, 1992.

81. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, and N. V. Svanidze. A refined formula for the separatrix splitting for the standard map. Physica D, 71(2):82—101, 1994.

82. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, and M. B. Tabanov. Exponentially small splitting in Hamiltonian systems. Chaos, 1(2):137—142, 1991.

83. V. G. Gelfreich and D. K. Sharomov. Examples of Hamiltonian systems with transversal homoclinic orbits. Physics Letters A, 197:139-146, 1995.

84. M. L. Glasser, V. G. Papageorgiou, and T. C. Bountis. Melnikov's function for two-dimensional mappings. SIAM J. Appl. Math., 49(3):692-703, 1989.

85. J. M. Greene and I. C. Percival. Hamiltonian maps in the complex plane. Physica D, 3:530-548, 1981.

86. J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, Tokio, 1983.

87. V. Hakim and K. Mellick. Exponentially small splittings of séparatrices, matching in the complex plain and Borel summation. Nonlinearity, 6:57-70, 1993.

88. P. Holmes, J. Marsden, and J. Scheurle. Exponentially small splitting of séparatrices with applications to KAM theory and degenerate bifurcations. Contemporary Mathematics, 81:213-244, 1988.

89. M. Kummer, J. A Ellison, and A. W. Saenz. Exponentially small phenomena %n the rapidly forced pendulum.// In Segur et al. 106], pages 197-211.

90. V. F. Lazutkin. Exponential splitting of séparatrices and an analytical integral for the semistandard map. Université Paris VII, 1991.

91. V. F. Lazutkin. Resurgent approach to the séparatrices splitting.// In Perello et al. 100], pages 163-176.

92. V. F. Lazutkin, I. G. Schachmanski, and M. B. Tabanov. Splitting of séparatrices for standard and semistandard mappings. Physica D, 40:235 348, 1989.

93. McGehee and K. Meyer. Homoclinic orbit of area preserving diffeo-morphisms. Amer. J. Math., 96:409-421, 1974.

94. E. M. McMillan. A problem in the stability of periodic systems, // Topics in Modern Physics. Colorado Association University Press, pp. 219-244, 1971.

95. J. Moser. The analytical invariants of an area preserving mapping near a hyperbolic fixed point. Comm. Pure Appl. Math., 9:673-692, 1956.

96. K. Ngan, S. Meacham, and P. J. Morrison. Elliptical vortices in shear: Hamiltonian moment formulation and Melnikov analysis. Institute for Fusion Studies. The University of Texas at Austin, July 1995.

97. A. Nikitin. Separatrix splitting via resurgence for the "twist map". A method of calculation of the coefficients of the splitting formula. Universität de Barcelona, Mathematic preprint series, no. 184, 1995.

98. C. Perellö, C. Simo, and J. Solà-Morales, editors. International Conference on Differential Equations (Squa^ff 91). Held in Barcelona, 26-31 August, 1991. World Scientific, Singapore, 1993.

99. V. Rom-Kedar, C. Amick, E. S. C. Ching, and L. P. Kadanoff. The break-up of a heteroclinic connection in a volume-preserving mapping. Physica D, 62(2-4):51-65, 1993.

100. J. Sanders. Melnikov's method and averaging. Celestial Mech., 28:171-181, 1982.

101. D. Sauzin. Résurgence paramétrique et exponentielle petitesse de Vécart des séparatrices du pendule rapidement forcé. Ann. Inst. Fourier, 45(2):453—511, 1995.

102. J. Scheurle. Chaos in a rapidly forced pendulum equation. Contemporary Mathematics, 97:411-419, 1989.

103. J. Scheurle, J. Marsden, and P. Holmes. Exponentially small estimates for separatrix splittings// In Segur et al. 106], pp. 187195.

104. H. Segur, S. Tanveer, and H. Levine, editors. Asymptotics beyond All Orders, volume 284 of NATO Adv. Set. Inst. Ser. B Phys. Plenum, New York, 1991.

105. J. Seimenis, editor. Hamiltoman Mechanics: Integrability and Chaotic Behavior, vol. 331 of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys. Held in Torun, Polland, 28 June-2 July 1993. Plenum, New York, 1994.

106. C. Simó. Averaging under fast quasiperiodic forcing// In Seimenis 107], pp. 13-34.

107. C. Simó, H. Broer, R. Roussarie, Invariant circles in the Bogdanov-Takens bifurcation for diffeomorphisms. Ergodic Theory Dynam. Systems, 16, no. 6 (1996) 1147-1172.

108. C. Simó, E. Fontich. On the smallness of the angle between split séparatrices// Singularités, Feuilletages et Mécanique Hamiltonienne, M. Hermann, éd., pp. 41-52, 1985.

109. Ya. G. Sinai. Topics in Ergodic Theory. Princeton University Press, 1994.

110. Yu. B. Suris. On the complex séparatrices of some standard-like maps. Nonlinearity, 7(4):1225-1236, 1994.

111. D. V. Treshchev. An averaging method for Hamiltonian systems, exponentially close to integrable ones. Chaos, 6(1):6—14, 1996.

112. D. V. Treshchev. Separatrix splitting for a pendulum with rapidly oscillating suspension point. Russian J. of Math. Phys., 5(l):63-98, 1997. (preprint CRM no. 273, 1994).

113. D. V. Treshchev. Width of stochastic layers in near-integrable two-dimensional symplectic maps. Physica D, 116:21-43, 1998.

114. Построение квалифицированной оценки сверху для расщепления сепаратрис преобразований плоскости, близких к тождественному, без условия сохранения площади.

115. Полное обоснование для асимптотической формулы, характеризующей расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова, включая доказательство существования аналитического интеграла вдоль неустойчивой сепаратрисы стандартного отображения.

116. Построение асимптотики расщепления сепаратрис для некоторых классов полиномиальных отображений плоскости, близких к тождественному.

117. Нахождение достаточно общих достаточных условий для применимости метода Мельникова к исследованию слабых высокочастотных возмущений.8

118. Исследование границы применимости метода Мельникова к исследованию расщепления сепаратрис под воздействием высокочастотного периодического возмущения для ряда полиномиальных гамильтоновых систем.

119. Вывод асимптотических формул для случая, когда метод Мель никова не дает правильного предсказания для величины расщепления.Кроме того

120. Получена теорема о возможности (локального) выпрямления отображения, близкого к тождественному, с помощью аналитической замены координат.

121. В. Г. Гельфреих. Расщепление сепаратрис ста,нда,рт,ного трехпарамегпрического семейства отображении, деп. в ВИНИТИ 3245-В88, 1988. 22 с.

122. В. Г. Гельфреих. Вычисление аналитических инвариантов конформных отображений в окрестности вырожденной неподвижной точки. Математические методы исследования приборов и систем управления, под ред. По-нырко С.А., ЛИАП, с. 77-79, 1990.

123. В. Г. Гельфреих. Расщепление сепаратрис полиномиальных отображений, сохраняющих площадь. Проблемы математической физики, вып. 13, под ред. М. Ш. Бирмана, изд. ЛГУ, с. 108-116, 1991.

124. В. Г. Гельфреих. Расщепление сепаратрис для некоторых полиномиальных гамилътоновых систем, близких к интегрируемым, диссертация на соискание степени кандидата ф.-м. наук, ЛГУ, 1992.

125. В. Г. Гельфреих. Аналитические инварианты, конформных отображений с точки зрения теории динамических23систем, Регулярная и хаотическая динамика, N 4, 1998, стр. 42-55

126. В. Г. Гельфрейх, В. Ф. Лазуткин, М. Б. Табанов. Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в гамильтоно-вых системах. Нелинейные колебания механических систем II, Тезисы докладов всесоюзной конференции, Часть 1, 1990, с. 50.

127. В. Ф. Лазуткин. Расщепление сепаратрис для стандартного отображения Чирикова, деп. в ВИНИТИ 6372/84, 45 е., 1984.

128. A. Delshams, V. Gelfreich, A. Jorba, and T. M. Seara. Exponentially small splitting of séparatrices under fast quasiperiodic forcing. Commun. Math. Phys., 189:35-71, 1997.

129. A. Delshams, V. Gelfreich, A. Jorba, and T. M. Seara. Lower and upper bounds for the splitting of séparatrices of the pendulum under a fast quasiperiodic forcing. ERA Amer. Math. Soch., 3:110, 1997.

130. V. G. Gelfreich. Splitting of séparatrices in rapidly forced ha-miltonian systems.// Proceedings of the IV Spanish Meeting of Applied Mathematics, Vic, Spain, 18-22 September 1995.

131. V. G. Gelfreich. Conjugation to a shifl and the splitting of invariant manifolds. Applicationes Mathematicae, 24, 2:127140, 1996.

132. V. G. Gelfreich. Separatrix splitting for a high-frequency perturbation of the pendulum. Universität de Barcelona, Mathematics Preprint series no. 195, 1996. (to appear in Russian J. of Math. Physics).

133. V. G. Gelfreich. Melnikov method and exponentially small splitting of séparatrices. Physica D, 101:227-248, 1997.

134. V. G. Gelfreich. Reference systems for splitting of séparatrices. Nonlinearity, 10:175-193, 1997.

135. V. G. Gelfreich. A proof of the exponentially small transversality of the séparatrices for the standard map. Communie. Math. Physics, 201, pp. 155-216, 1999.

136. V. Gelfreich, Splitting of séparatrices for a small loop near the Bogdanov-Tackens bifurcation, (mparc@math.utexas.edu, preprint 98-646, 1998).

137. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, C. Simo, and M. B. Tabanov. Fern like structures in the wild set of the standard and semistandard maps in C2. Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sei. Engrg., 2(2):353-373, 1992.

138. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, and N. V. Svanidze. A refined formula for the separatrix splitting for the standard map. Physica D, 71(2):82—101, 1994.25

139. V. G. Gelfreich, V. F. Lazutkin, and M. B. Tabanov. Exponentially small splitting m Hamiltonian systems. Chaos, 1(2):137-142, 1991.

140. V. G. Gelfreich and D. K. Sharomov. Examples of Hamiltonian systems with transversal homoclinic orbits. Physics Letters A, 197:139-146, 1995.