Расщепление сепаратрис для некоторых полиномиальных гамильтоновых систем, близких к интегрируемым тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

С АНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕН Н ЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи Гельфрейх |}асилиу Георгиевич

РАСЩЕПЛЕНИЕ СЕПАРАТРИС ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ, БЛИЗКИХ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ

Специальность: 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Ле-вянградского института авиационного приборостроения.

Научный руководитель: доктор физико-математических Наук Лазуткин Владимир Федорович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Нейштадт Анатолий Исерович

Кандидат физико-математических наук Федотов Александр Александрович

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

ыатематнчского института им.Стеклова.

■ ,

Защита диссертации состоится - ^^ 1992 г. яа

заседания специализированного совета К.063.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук я Санкт-Петербургском государственном университете ио адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н. Манида

' ■ I /

!■•;■) | Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия сильно возрос интерес к исследованию гамильтоновых динамических систем вследствие развития вычислительной техники и открывшейся возможности приложения теории динамических систем к задачам самой различной природы.

Ныло обнаружено, что фазовое пространство общей га-мильтоновой системы с числом степеней свободы больше единицы делится на регулярную и стохастическую компоненты. Регулярная компонента является объектом теории KAM и к настоящему времени сравнительно хорошо изучена.

Не так обстоит дело со стохастической компонентов. Ев возникновение связано с открытым А.Пуанкаре явлением расщепления сепаратрис, т.е. трансверсальным пересечением ИИ-вариантных многообразий, соответствующих неустойчивым периодическим траекториям. Со времени открытия этого явления и осознания его последствий для динамики прошло более ста ■ лет. Однако, до сих пор в картине пересекающихся сепаратрис многое остается неясным.

Явление расщепления сепаратрис играет заметную роль в задачах физики плазмы, таких как исследование устойчивости магнитных бутылок и стохастического ускорения частиц. Расщепление сепаратрис может приводить к несохранению адяа- ■ батических инвариантов. Сохраняющие площадь отображения возникают также в теории твердого тела. В гидродинамике расщепление сепаратрис может обуславливать стохастизашио линий тока.

Расщепление сепаратрис является одним из универсальных механизмов возникновения стохастических явлений. В связи с этим, проблемам, связанным с расщеплением сепаратрис уделяется много внимания в научной литературе. Было обнаружено, что в целом ряде задач величина расщепления сепаратрис оказывается по порядку величины меньше любой степени параметра возмущения. В подобных задачах стандартные методы теории возмущений, использующие разложения по степеням малого параметра не позволяют исследовать эффекты, связанные с

р*сщепяеи1Г<^» сепаратрис, Имеется весьма мало аналитических результатов, касающихся экспоненциально малого расщепления сепаратрис.

Цель работы.. Получит», и обосновать асимптотические по параметру возмущения формулы, характеризующие расщепление сепаратрис для ряда гамильтоновых систем, имеющих полиномиальный характер. Пронести исследование в случаях тригонометрического и алгебраического полиномов произвольной степени. Следует огмггшь, что все изпестные примеры, встречающиеся в научной литературе носят полиномиальный характер.

Методика исследования. Применяются методы функционального анализа и теории функций комплексной переменной. Для выявления экспоненциально малых по параметру возмущения аффектов строится аппроксимация аналитического продолжения сепаратрис. Для получения оценок с экспоненциально малой погрешностью используются аналитические интегралы движения, существующие в некоторой окрестности отрезков комплексных сепаратрис.

Научная новизна работы. Результаты, полученные автором, существенно развивают идеи, предложенные В.Ф.Лазуткиным и являются в подавляющем большинстве новыми. Получены асимптотические формулы для ряда величин, характеризующих расщепление сепаратрис полиномиальных отображений типа стандартного. Для алгебраических полиномов степени от 2 до 6 проведены вычисления на ЭВМ значения предекспоненциальной постоянной. Для отображения «с подкручиванием», описывающего движение электрона в волновом пакете, получены асимптотики для инварианта гомо(гете-ро)клияических траекторий. Впервые получено строгое обоснование асимптотики угла расщепления сепаратрис для системы с непрерывным временем. Старший член асимптотики совпадает с величиной, предсказываемой С помощью интеграла Мельникова. Однако, метод Мельникова предполагает только степенную оценку погрешности И не Цозволяет доказать наличие расщепления сепаратрис в случае, когда расщепление экспоненциально

Научи а'я и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть интересны специалистам по теоретической и математической физики, занимающимся нелинейными задачами, а также .специалистам по теории динамических систем.

Апробация. Результаты, пошедшие в диссертацию, были представлены на рабочих семинарах по теории бифуркаций в г.Пущино (1986 и 1988 гг.), на Всесоюзной конференции по теории нелинейных колебаний (г.Горький, 1990 г.), а также на международных конференциях Dynamics Days (г.Берлин, 1991 г.) и Dynamical Systems (г. Санкт-Петербург, 1991 Г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация- состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации 112 страниц текста, 12 рисунков. Библиография содержит 58 наименований.

Содержание работы

Во введении к диссертации дается обзор рредыду-. щих результатов но теме работы, описывается круг физических задач приводящих к исследованию расщепления сепаратрис и ставятся задачи исследования.

• В главе 1 дается определение основных понятий, необходимых для формулировки основных результатов, а также приводятся асимптотические формулы для величин, характеризующих расщепление сепаратрис.

Величины, характеризующие расщепление сепаратрис

Рассматривается гамильтонова система с дискретным временем, порожденная итерациями симплектвческого диффеоморфизма F : Z Z двумерного симплектического многообразен

- Г) -

Z. В данной работе в качестве ¿Г будет пыступать либо Ш,2, либо двухмерный Тор Т2, либо цилиндр Т1 х I1, снабженные стандартной симплектичсской структурой П = ¿х А ¿у.

Неподвижная точка ?о € /,'(?о) = ^о> называется гиперболической, если собственные числа (Л и А-1) линейной части г в го не лежат на единичной окружности. Пусть для определенности |Л| > 1. Мозер_ показал, что л^ окрестности 2ц аналитическое отображение Р может быть аналитической симплектической заменой координат приведено к виду

где V — аналитическая функция одного аргумента, 'г(0) = А. Отсюда вытекает, что неустойчивая "'"(-о) и устойчивая Иг1(го)

сепаратрисы, ^"''(гц) = {г € 2 : -► го г > представляет

собой образы Ж относительно аналитических инт>ективных погружений ч?',н : Ж —» таких, что

знак относится к случаю И'и(г0). знак — к случаю И" (го). В случае А > 1 неподвижная точка делит каждую иэ сепаратрис на две инвариантные части, называемые усами Уем

удобно параме*ризовать при помощи функций

^•'(0 = */"Ч±ехр (())•

Отметим, Что погружения у?''" определены с точностью до суперпозиции с растяжением Ж: £ ' с£, с ^ 0. Причем нри замене с с < 0 И^''(го) и меняются ролями. Поэтому в даль-

нейшем мы будем опускать индексы 4- и — в случаях, когда это не приводит к недоразумению.

' В каждой точке г € однозначно определен вектор

касательний к И'","(2о)

«'■"(*)= —НО. г =

(1)

Чтобы указать на зависимость е',"(г) от го, будем иногда писать е',и(г; г0).

Пусть гк = (к*, О), к =г 1,2, - две гиперболические точки Р (не обязательно различные). Точка »» 6 ^"(21) П 1У'{гз) называется гомоклиначескоИ, если — г^ф гА, и гетероклинической, если гх ф г2. Траектория 7 = к 6 2} вся состоит из го-

моклинических (гетеронлинрческцх) точек.и называется гомок-лининеской (гетер оклчническои) траекторией. Значение формы П — ¿х Л с1у на паре векторов (1)

и/(7) = Я(е"(г*!*1),«'(Л*з)) , (2)

не зависит от выбора гЛ € 7 и выбора параметризаций тр"''. Определение этого инварианта принадлежит В.Ф.Лазуткину. Величина угла расщепления сепаратрис а в точке г1* связана с ^(7) очевидным соотношением

где || • || - евклидова норма в 2. Угол « ^ зависит от

выбора точки г*1 € 7.

Пусть га и гь лежат на некоторой незамкнутой кривой \¥ и (га»*ь)|и' обозначает открытый отрезок IV с концами в точках г„ и Будем называть 7 главной гомбклиническоЙ (гетерокли-нической) траекторией, если для любой точки ** 6 7 выполнено (*1! П (2'11 г2)|и"(*э) — Это свойство достаточно про-

верять для одной произвольной точки гн 6 7.

Пусть 7», к = 1,2, - две главные траектории, лежащие на пересечении усов сепаратрис и Ю"^). Предположим,

что на пересечении этой пары усов нет других главных траекторий. Тогда можно выбрать две гомокликяческие (гетвроклйни-ческие) точки и такие, что (**, П(.*1, Д^))!»" —

Площадь «луночки», образованной отрезками а не зависит от выбора точек и В дальнейшем

эту величину будем обозначать 5(7!, 72). Она характеризует «фазовый поток» через сепаратрисы.

Обобщенное стандартное отображение

Отображение SM : (,Y, У) t-» (Л'ь V'i),

Х1 = Х + мУ1, У, = У+^р(Х), (3)

лблястсл естественным обобщгнисм стандартного отображения Чирикова, определяемым формулами (3) при р(Х) = sin(A').

В качестве функции р( X) мы рассмотриваем либо тригонометрический полином р(т) = а* sin(A:x -f Ьъ), либо алгебраический р(х) = • Случаи р(х) = ein(®) и р(х) = sin(x) + asin(2x) были рассмотрены ранее В.Ф. Лазуткиным.

Траектории отображения (3) при малых ß похожи на траектории системы дифференциальных уравнений

X = У, У = р(Х) . (4)

Несложно проверить, что неподвижные точки отображения (3) являются положениями равновесия для системы (4) и наоборот. Причем гиперболическим неподвижным точкам отображения отвечают «седла» системы дифференциальных уравнений. Неподвижные точки отображения (3) имеют вид (х,0), где х -корень уравнения р(х) .= О. Пусть г*. = (г*,О), к = 1,2, - две (необязательно различные) седловые точки системы (4), такие, что существует двоякоасимптотяческое (сепаратрисное) решение (Xo(t)i УЬ(0) системы (4):

■Хо(0-X0(t)--*Х2-

I—* —ОО i—«- + 00

Для простотк предполагается, что Л'о(<) является четной или нечетной функцией.

Пусть р > О такое число, что Ло(0 аналитична в полосе |Im (l)| < р и имеет особенности в точках = tp + ßki к = 1,... m (° £ ßl < ••• < ßm)> тогда псе остальные особенности, лежащие на границе полосы, совпадают с — t*, t* или — i*. В случае когда на границе. полосы, лежат только две особенности, ti и tj, требование четности Хо(<) явлнется излишним.

Пусть W*(«i) (Wl(z2)) - ус сепаратрисы, близкий к (XoiOt >о(*)) при < —» — оо (t -+ +ос). Точная формулировка понятия близости дана в главе 2.

При сделанных выше предположениях существует главная гомоп-линическая траектория -у С И/+(г1) П ^"(^з) и *Н € 7»

** = (*о(0),У0(0))+-0(,.а). '

Справедлива асимптотическая при ^ —* О формула

где

■ = - — ехр | - —) ^ с» сое —- , (6)

_ / 1. А =.о, е* - Н. д

Если р(х) = а* соб(/и + 6*) я'ви^гется' тригонометрическим

полиномом, то

и = 3, с* = л3, 5 €]0,1/(2п + 2)[, |0| «а 1119,827706. (Г)

Множитель |<?| возникает при решении вепоя<огател»нов нелинейной задачи, не зависящей от ц и одинаковой для всех п. Его значение было вычислено ранее Галановым М.В. и ЛаздткиниМ В.Ф. ' . • ■

Если р(г) = ~ алгебраический полином, т»

и = 3 + 4/(п - 1), А = >\ В €]0,1/(2п)[, 0 Э в(п) . (в)

Значение 0(п) зависит от степени полинома. По-видимому, 5(о) не имеют явного выражения через известные константы, и их значения могут быть найдены толъко численно:*

п. 2 . 3. 4 5

2.47... • 106 7.Э84... • 103 9.3015...-10* 2.7956... -102

Угол расщепления сепаратрис '

^к)«-,-^-

Хо(0)2 + 1"0(0)2 •

с той лее погрешности»*), что и в формуле (5). Существует у' С П - вторая главна* траектория,

5(7. V) = + О (^"+á+2exp(-2x^)) .

Приведенные асимптотические формулы не являются равномерными по коэффициентам полинома р даже при фиксированном п. Константа в оценке остаточного члена зависит от выбора S. Доказательство приведенных формул не является полностью строгим, его следует доподнить доказательством утверждения о существовании аналитического интеграла стандартного отображения (" Теоремы" 3), Имеющиеся данные не оставляют сомнений а ее справедливости.

Автором были проведены вычисления на ЭВМ величины и при р(х) s х — П es 2,3,5. В атом случае все величины, входящие в асимптотическую формулу могут быть найдены явно. ОсииллирующиЬ члец отсутствует. Оказалось, что формула дает правильный порядок ш уже при ц ~ 0.5. При меньших значениях ц результаты получаемое значение отлично согласуется с численными экспериментами С. Sim о and E.Fontich.

«Стохастическая паутина»

Рассмотрена .также динамическая система, порожденная итерациями отображения «с подкручиванием» : (г,у) —►

(*l.J/i). где .

Х1 — + M sin у) COS lf> + у glB lp yi — — (г + /i sin y) sin ip + y eos ip

' Это отображение было ранее использовано для описания движения алектрона в плазме. Отображение 'М^(ц) может быть рассмотрено как возмущение поворота на угол <р- Численные 'эксперименты'показывают неинтегрируемость Mv(ií) при ц ф О и существование неограниченной диффузии на плоскости (г, ¡/) , при некоторых значениях угла <р. Диффундирующие траектории'

покрывают плоскость переменных (г, у), образуя сеть, напоминающую паутину. Появление етой сети'обусловлено травевер-сальным пересечением сепаратрис различных неустойчивых периодических траекторий.

Наиболее важными являются случай <р = ~ и <р s

Отображение AfT/2(ti) имеет гиперболическую периОдйчес-кую траекторию (;г,0) —♦ (О,—т) —» (—ir, 0) —► (0,и) —► (*<0) при не слишком больших /t ф 0. Лля главной гомоклянйческой трк-ектории справедлива асимптотическая формула:

где |A*i| = Gil.188936 .... Угол пересечения сепаратрис в гомокля-нической точке, лежащей на линии симметрии у = х, a ~w/4.

Случай ф = 2т/3. При малых ¡i ф 0 отображение имеет две периодические траектории периода 3, одна Нз Яоторых состоит из точек (2ir/\/3,0), (—ir/vT, — ir), (—w/n/з, т), а вторая получается путем применения инволюции (г,у) (—г,— у). Существует главная гетероклиническая траектория, одна йэ точек которой лежит на линии симметрии х = — ^ sin у. Для главной гетерок-линической траектории имеет Место

8*|A'i| Г 2 я-2 1 где [A'it имеет то же значение, что и в (10).

Маятник с высокочастотным возмущением

Простейшей гамильтоновой системой с числом степеней свободы большим единицы является уравнение маятника с Периодическим по времени возмущением. Для нас представляет интерес случай, когда частота возмушенил неогранячеййо во> растает при стремлении параметра к нулю

V+ sm(v) = 5epBÍn(í/c) , (12)

(10)

0*<е<1,0<£<£0ир>3. Это уравнение можно рассматривать в трехмерном расширенном фазовом пространстве (<Р,Ф,т) = (<р,Ф^/е), считая переменные <р иг определенными по модулю 2ж.

При е = 0 уравнение (12) является интегрируемым. Возмущенное уравнение имеет 2*£-периодическую траекторию при 1. '

В расширенном фазовом пространстве существуют двухмерные инвариантные поверхности (сепаратрисы) И" и (Vй, представляющие собой однопараметркческие семейства траекторий, асимптотических к периодической траектории при ( —» ±оо соответственно.

Инволюция J : (р,^!*") ►-+ {—'Р,'Ф>—т) обращает поток, соответствующий уравнению (12). Линия симметрии I = {(О,\/|,0) : 0 6 Ж). Пусть первая точка пересечения IVй и I. Угол пересечения сепаратрис в точке г/, дается формулой

а = хг£71ехр(-£)-(1 + 0(£>-3-»)) , . (13)

где значение постоянной ц может быть выбрано произвольным из интервала (0,р — 3). .Величина угла измеряется ц сечении сепаратрис плоскостью г = О. Хотя формула (13) доказана нами только для р > 3, численные эксперименты (АШош Вепзепу, Санпе ОЦте, ицраЫЬЬе<1 1991) свидетельствуют о том, что старший член асимптотики имеет тот же вид до р > — 1.

Старший член асимптотики совпадает с величиной, получаемой в результате применения метода Мельникова, Этот факт ' примечателен тем, что метод Мельникова предполагает получение оценок только со Степенным убыванием остаточного члена.

Глава 2 содержит основные втаны вывода асимптотических формул для расщепления сепаратирис обобщенного стандартного отображения. Следует отметить, что доказательство не является полным, его следует дополнить доказав тельством "Теоремы"?. Численные эксперименты подтверждает правильность полученных формул с высокой точностью.

•

Приведено доказательство а случае, когда р(х) является тригонометрическим полиномом, а сепаратрисное решение системы дифференциальных уравнений (4) нечетно (Xgft) =г —Ло( —О)- В этом случае полином р(х) обязательно должен быть нечетной функцией. Кроме того рассмотрен только случай, когда Л'о(<) имеет ровно одну особенность на прямой. Im t =s р, а именно ip. Рассуждения переносятся буквально на случай четной функции A'o(l), только в ряде рассуждений слова «четный» и «нечетный» меняются местами, при этом не возникает Никаких ограничений на четность полинома р(я). Вывод асимптотических формул в случае нескольких особенностей с одинаковой мнимой частью не имеет принципиальных отлачиЙ, однако сложнее технически и не рассматривается.

Доказательство построено следующим образом. Мы строим аппроксимацию устойчивой и неустойчивой сепаратрис с помощью асимптотического ряда по степеням малого параметра, коэффициенты которого являются решениями системы дифференциальных уравнений. Т.к. расщепление сепаратрис является акспонепнйалыю малым, этот ряд не Позволяет »ЫЯНЙТЬ расщепление сепаратрис ни в одном из Порядков. Мм рассматри-. маем аналитическое продолжение сепаратрис в ксШНлеасное фазовое пространство. В окрестности особенностей решения дифференциального уравнения погрешность aitttpbKcittíaitiin становится значительной. В этой области расщейлейяё сепаратрис имеет уже не экспоненциальный, а степенной характер. После замены переменных устойчивая п Неус^ОЙчйвая сепаратрисы могут быть аппроксимированы асимптотическим фядон по степеням малого параметра, в качестве первого.Л Лена которого выбраны устойчивая а Неустойчивая сепаратрисы поНустаНдар-тного отображения. Для пересчета расщейленйя комплексных кривых в интересующие нас експоНеНцй&ЛЬко малые характеристики расщепления вещественных многообразий Mfcí используем аналитические интегралы, определенный в некоторой окрестности комплексных сепаратрис стандартного И' йолустак-дартного отображений. Этн интегралы равны нулю lia неустойчивых кривых. В качестве меры расщепления сепаратрис Мы

берем значения втих интегралов на устойчивых многообразиях. В результате' получаются периодические функции параметра, имеющие среднее значение равное нулю. Функцию, определенную для стандартного отображения, удается аппроксимировать 'в достаточно широкой комплексной полосе с помощью значения интеграла полу стандартного отображения" сосчитанного на его неустойчивой сепаратрисе. Из ограниченности разности периодических функций с нулевым средним в достаточно широкой комплексной полосе вытекает их экспоненциальная близость на вещественной оси.

Глава 4 содержит доказательства утверждений, сформулированных в главе 2.

В главе 3 проведено исследование сепаратрис маятника с высокочастотным возмущением.

Нвывод формулы для угла расщепления сепаратрис маятника с высокочастотным возмущением основан на построении аппроксимации аналитического продолжения сепаратрис в комплексном фазовом пространстве. Расстояние между комплексными кривыми уже не является экспоненциально малым я может быть выловлено с помощью аппроксимации, имющей степенную погрешность по параметру возмущения. Для пересчета расщепления комплексных сепаратрис в интересующие нас вещественные величины используется аналитический интеграл.

В отличии от доказательства; приведенного в главе 2, дан-пое доказательство является полным.

В приложении приведены результаты исс-' ледования модельных, систем, возникающих при исследовании сепаратрис полиномиальных отображений'в различных частях фазового-пространства. -

Указатель литературы

1. Гельфрейх В.Г. Расщеплеиие сепаратрис стандартного трезшараметрического семейства отображений - Деп.в ВИНИТИ. 1988. №3245 - БЯ8. С.1-22.

2. Гельфрейх В.Г. Вычисление аналитических инвариантов конформных отображений п окрестности вырожденной неподвижной точки // Математические методы исследования приборов и систем управления, ред. Понырко С.А.. 1990. С.77-79.

3. Гельфрейх В.Г. Расщепление сепаратрис полиномиальных отображений, сохраняющих площадь // Проблемы математической физики, pep Бирман М.С.. 1991. С.108-117.

4. Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф.,Табанов М.В. Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в гамильтоновых системах // Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции (сентябрь 1990). Часть 1. 1990. С.50.

5. Geliieich V.G., Lazutkin V.F., Tabanov М.В. Exponentially small splittings in h&miltonian systems //Chaos, v.l, Ю.2, 1991, pp.137142.

Йвдпяейн« к псчшп 49.OX199JL Формат 60x6«» I/I6

Печт офсемвя Гол.пвч.л.1 Эакйа Ж Тйри 100 aitSi

■' . . • .

Рвмприят JITU