Некоторые задачи динамики маятниковых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОД СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛЩАМИКИ.

§ I.I. Леммы о расщеплении сепаратрис

§ 1.2. Символическое описание траекторий

§ 1.3. Пример. Движение маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. Расщепление сепаратрис

§ 1.4. Пример продолжение . Символическое описание решений в окрестности гомоклиничес-кого контура. Их механическая интерпретация

§ 1.5. Исторический комментарий.

Глава 2. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Теорема о расщеплении сепаратрис.

§ 2.3. Символическое описание решений в окрестности грубого гомоклинического контура, их механическая интерпретация

Глава 3. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Теорема о расщеплении сепаратрис

§ 3.3. Символическое описание решений в окрестности грубого однообходного гомоклинического контура, их физическая интерпретация

Глава 4. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУЗВЕННОГО ПЛОСКОГО

МАЯТНИКА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.

§ 4.1. Постановка задачи.

§ 4.2. Возмущение стационарных решений.

§ 4.3. Понижение порядка системы уравнений движения по Уиттекеру. Теорема о расщеплении сепаратрис. Несуществование дополнительного интеграла

§ 4.4. Символическое описание решений в окрестности однообходного гомоклинического контура.

Их механическая интерпретация

§ 4.5. Переменные "действие - угол". Рождение периодических решений из резонансных торов невозмущенной задачи.

Задачи динамики маятниковых систем являются традиционным объектом исследования теоретической механики. Их изучение восходит еще к Галилею, подметившему изохронность малых колебаний тела с неподвижной горизонтальной осью и предложившему абстрактную схему исследования этого явления - модель математического маятника [2б]. Изучением движения маятников занимались Декарт, Роберваль, Гюйгенс, Ньютон, Гук. Обобщив задачу о физическом маятнике, Леонард Эйлер положил начало исследованию движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Маятниковые механические системы очень разнообразны. К ним относятся маятник с периодически меняющейся длиной, маятник с вибрирующей точкой подвеса, составные маятники, маятники, содержащие упругие элементы. С точки зрения теории маятниковых систем естественно рассматривать, например, и задачу о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. Большой вклад в исследование динамики маятников внесли отечественные ученые Н.Е.Жуковский, А.А.Андронов, П.Л.Капица, Н.Н.Боголюбов, А.Ю.Ишлииский, В.В.Румянцев и др.

Особенностью многих конкретных задач динамики маятников является сочетание простоты их физической постановки и сложности их решений. Описание этих сложных решений, а "также их механическая интерпретация являются актуальными задачами современной механики.

История изучения маятниковых систем дает характерный пример гармоничного сочетания теоретических и практических разработок. Так в работах Гюйгенса наряду с задачей создания часов была решена теоретическая задача о приведенной длине физического маятника, а также было открыто явление синхронизации. В наше время теоретическое изучение маятниковых систем тесно связано с их разнообразным применением во многих отраслях техники, с решением практических задач о движении космических объектов вокруг центра масс.

Как известно,сложное поведение решений гамильтоновых систем связано с отсутствием у них достаточного числа первых интегралов. Изучение вопроса о несуществовании дополнительных интегралов методом расщепления сепаратрис [5l] ,[3l] ,[37] позволяет прояснить природу сложной динамики системы, причем в случае пересечения сепаратрис удается провести качественное исследование некоторых классов траекторий методами символической динамики. В диссертации метод расщепления сепаратрис применяется для исследования трех задач динамики маятников: задачи о колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты, задачи о движении математического маятника под действием слабого периодического вращающего момента, задачи о двузвенном плоском маятнике в однородном поле силы тяжести.

Задачи о движении маятников встречаются в самых различных разделах механики, в частности, в небесной механике. Одной из таких задач является задача Лагранка о среднем движении перигелиев планет. В первом приближении теории возмущений, когда можно пренебречь квадратами эксцентриситетов орбит планет по сравнению с самими эксцентриситетами, эволюция положения перигелия орбиты описывается формулой

Этим же соотношением описывается движение точки А^ - подвижного конца а -звенного плоского маятника AQ. А , конец AQ которого закреплен, а звенья A^J^,, р = п. длины вращаются с постоянной абсолютной угловой скоростью 2/fi 'Х р. В случае, когда частоты \,., рационально-независимы, среднее движение находится по формуле

II а-Пр^ГрЫ

Если рационально зависимы, то среднее движение существует [8б], но является, вообще говоря, разрывной функцией начальных фаз. На практике известны лишь рациональные приближения частот и возникает естественный вопрос, приводит ли уточнение приближений рационально-независимых частот к уточнению значения среднего движения. Следуя методу работы в диссертации на этот вопрос дан положительный ответ. Одной из причин сложного поведения траекторий динамических систем, порожденных дифференцируемыми отображениями, является расщепление и пересечение сепаратрис - инвариантных асимптотических поверхностей гиперболических неподвижных точек. В диссертации доказан аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис [45J,[з7J для аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.

О структуре диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы.

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты диссертации.

1. Б задаче о плоских колебаниях спутника на слабоэллиптической орбите доказано несуществование нетривиального аналитического интеграла в случае, когда ось вращения спутника не является осью динамической симметрии. Проведено качественное исследование решений уравнений движения, расположенных в окрестности трансверсально пересекающихся сепаратрис.

2. В задаче о движении математического маятника под действием малого периодического вращающего момента доказано несуществование нетривиального аналитического интеграла. Методом символической динамики исследован класс решений уравнений движения, находящихся в окрестности однообходного гомоклини-ческого контура, дана их механическая интерпретация.

3. Исследован вопрос о неинтегрируемости уравнений движения двузвенного плоского маятника в поле силы тяжести. Методами малого параметра в рассматриваемой задаче доказано существование некоторых классов периодических движений. Поведение решений в окрестности трансверсально пересекающихся сепаратрис исследовано методом символической динамики.

4. Рассмотрена задача Лагранжа о среднем движении перигелиев. Дан положительный ответ на вопрос, приводит ли уточнение значений приближений рационально-независимых частот к уточнению величины среднего движения.

5. Доказан аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис для аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.

1. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. 1. Квазислучайные диффеоморфизмы. - Матем.сб., 1968, т.76, вып.1,с. 72-134.

2. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. П. Одномерные колебания в периодически возмущаемом поле. Матем. сб., 1968, т.77, вып.4, с.545-601.

3. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов. Матем.сб., 1969, т.78, вып.1, с.3-50.

4. Алексеев В.М. Символическая динамика. Одиннадцатая математическая школа. - Киев: Изд. ин-та математики АН УССР, 1976, с.5-210.

5. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика. Успехи мат.наук, 1981, т.36, вып.4,с. 61-76.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979. 432 с.

7. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Докл. АН СССР, 1964, т.156, $ I,с.9-12.

8. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. В сб. "Искусственные спутники Земли".-М.: Изд-во АН СССР, 1958, вып.1, с.25/43.

9. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 308 с.

10. Ю.Белецкий В.В. Либрация спутника на эллиптической орбите. -В сб. "Искусственные спутники Земли". М.: Изд-во АН СССР, 1963, вып.16, с.46-56.

11. Белецкий В.В. О либрации спутника. В сб. "Искусственные спутники Земли" - М.: Изд-во АН СССР, 1959, вып.3,с.13-31.

12. Болотин С.В., Козлов В.В. Либрации в системах со многими степенями свободы. Прикл. мат. и мех., 1978, т.44,вып.2, с.245-250.

13. Болотин С.В., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики. Вестн. МГУ. Мат., мех.,1980,№ 4,с.84-89.

14. Боль П. Избранные труды. Рига: "Зинатне",1974. - 517 с.

15. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979, - 248 с.

16. Брадистилов Г. Положение системы трех последовательно соединенных маятников, находящихся в одной плоскости, при ее периодическом движении вокруг положения устойчивого равновесия. Прикл. мат. и мех., 1955, т.19, вып.1, с.ПЗ-118.

17. Брадистилов Г. Положение тройного математического маятника в плоскости при его периодическом и асимптотическом движениях вокруг положения равновесия. Прикл.мат. и мех.,1955, т.19, вып.4, с.185-192.

18. Бурбаки Н. Общая топология. Кн.З. М.:Наука, 1975. -408 с.

19. Буров А.А. К задаче Лагранжа о среднем движении перигелиев. Прикл.мат. и мех., 1984, т.48, вып.4, с.675-677.

20. Буров А.А. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите. Вестн. МГУ. Мат.,мех., 1984, № I, с.71-73.

21. Буров А.А. 0 движении одномерного осциллятора в поле с периодическим потенциалом. Вестн.МГУ. Мат., мех., - 1984, № 3, с.63-65.

22. Буров А.А. 0 колебаниях спутника на эллиптической орбите.-Космич.исследования, 1984, т.22, вып.1, с.132-133.

23. Буров А. А. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о двузвенном плоском маятнике в поле силы тяжести.-Москва, 1983, 7 с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССР 7 декабря 1983 г., & 6626-83).

24. Гадионенко А.Я. Резонансные колебания и вращения маятника с вибрирующей точкой подвеса. Укр.матем.ж., 1966, т.18, « 2, с.102-106.

25. Гайдуков Е.В. Асимптотические геодезические на римановом многообразии, негомеоморфном сфере. Докл. АН СССР,1966, т.169, № 5, с.999-1001.

26. Галилей Г. Сочинения. T.I. М.-Л.: Гостехиздат, 1934.696 с.

27. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. В кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, с.284-293.

28. Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно-притягивающих тел. Астрон. ж., 1958, т.35, 2, с.265-276.

29. Зейферт Г. Трельфалль В. Топология. М.-Л.; Гостехиздат, 1938. - 400 с.

30. Зиглин С.Л. Неинтегр1фуемость задачи о движении четырех точечных вихрей. Докл. АН СССР, 1979, т.250, №6, с. 12961300.

31. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, 1980, т.41, с.287-303.

32. Златоустов В.В., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжев-ский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич.исследования, 1964, т.2,вып.5, с.657-666.

33. Златоустов В.А., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Вынужденные периодические колебания математического маятника. Прикл. мат. и мех., 1979, т.43, вып.2, с.250-261.

34. Златоустов В.А., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Вынужденные субгармонические колебания математического маятника. -Прикл,мат. и мех., 1981, т.45, вып. I, с.52-62.

35. Илиев И. 0 линейных интегралах голономной механической системы. Прикл. мат. и мех., 1970, т.34, вып.4, с.751-755.

36. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса. Журн. экспер. и теор.физ., 1951,т.21, Л 5, с.588-597.

37. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильто-новой механике. Успехи мат.наук, 1983, т.38, вып. I,с. 3-67.

38. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 232 с.

39. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т.266, & 6, с.1298-1300.

40. Козлов В.В. 0 колебаниях одномерных систем с периодическим потенциалом. Вестн. МГУ. Мат., мех., 1980, № 6,с.104-107.

41. Козлов В.В. Периодические колебания составного маятника. -Прикл. мат. и мех., 1980, т.44, вып.2, с.238-244.

42. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйле-ра-Пуансо. Вестн. МГУ, Мат., мех., 1976, № 6, с.88-91.

43. Ламб Г. Теоретическая механика. Т.2. Динамика. М.-Л.: 0НТИ, 1935. - 312 с.

44. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат, 1956. - 632 с.

45. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях. Труды ММО, 1963, т.12, с.3-52.

46. Морозов А.Д., Шильников Л.П. К математической теории синхронизации колебаний. Докл. АН СССР, 1975, т.223, № 6,с. 1340-1343.

47. Морозов А.Д. О полном качественном исследовании уравнений Дгаффинга, Дифф.уравнения, 1976, т.12, № 2, с.241-255.

48. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

49. Неймарк Ю.И. О движениях, близких и двоякоасимптотическим движениям. Докл. АН СССР, 1967, т.172, Jfc 5, с.1021-1024.

50. Неймарк Ю.И. Символические динамики, порождаемые гомоклини-ческими структурами. Дифф. уравнения, 1976, т. 12, № 2,с. 256-262.

51. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. T.I. - М.: Наука, 1971. - 771 е.; Т.2. - М.: Наука, 1972. - 999 с.

52. Пуанкаре А. 0 проблеме трех тел и об уравнениях динамики.-В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т.2. М.: Наука,1972. - 999с.

53. Раус Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М.: Наука, 1983. - 544 с.

54. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. -В кн.: Итоги науки и техники. Исследования космического пространства, Т.Н. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978. - 224 с.

55. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричныепериодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1980, т.18, вып.1, с.3-10.

56. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости .эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1979, т.17, вып.2, с.190-207.

57. Сарычев В.А., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. М., 1975, - 76с. (Препринт / Ин-т прикл.матем. АН СССР, № 48 ).

58. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1977, т.15, вып.6, с.809-834.

59. Синай Я.Г. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи мат.наук, 1972, т.27, вып.4, с.21-64.

60. Синай Я.Г. Марковские разбиения и "У-диффеоморфизмы. -Функц.ан. и его прилож., 1968, т.2, вып.1, с.64-84.

61. Синай Я.Г. Построение марковских разбиений. Функц. ан. и его прилож., 1968, т.2, вып.З, с.70-80.

62. Скалак Р., Яримович М. Субгармонические колебания маятника.- Сб.перев. Механика, 1961, № 6, с.31-40.

63. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками.- Сб.перев. Математика, 1967, т.II, № 4, с. 88-100.

64. Сумбатов А.С. Об интегрируемости уравнения Гамильтона-Яко-би в обобщенных координатах. Приклад.мат. и мех., 1982, т.46, вып.1, с.13-19.

65. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите. Космич.исследования, 1964, т.2, вып.5, с. 667-678.

66. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика.-М.-Л. :0НТЙД937.-500с.- 129

67. Уиттекер Е.Т., Ватсон Дк.Н. Курс современного анализа. Т.2. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

68. Хайнбокел Дж., Страбл Р.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, обладающих симметрией. Сб. дерев. Механика, 1966, № I, с.3-17.

69. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс. Журн. вычисл.мат. и мат.физики, 1963, т.З, № 3, с.474-483.

70. Чешанков Б.И. О субгармонических колебаниях маятника. -Прикл.мат. и мех., 1971, т.35, вып.2, с.343-348.

71. Чешанков Б.И. Резонансные колебания специального двойного маятника. Прикл. мат. и мех., 1969, т.33, вып.6, с.1112-III8.

72. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. - 628 с.

73. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. Матем. сб., 1970, т.81, вып.1, с. 92-103.

74. Шильников Л.П. 0 существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса. Докл. АН СССР, 1967, т.172,№ I, с.54-57.

75. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. Матем. сб., 1967, т.74, вып.З, с.378-397.

76. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. В кн.: Мараден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, с.284-290.

77. Birkhoff G.D. Nouvelles reoherches sur les systemes dynami-ques. In Birkhoff G.D, Collected mathematical papers.Vol. 2» - N.-Y«s American mathematical society, 1950• - 984 p*

78. Bradistilov G., Boyadjiev G. Existenz periodischer Bewegun-gen eines n-fachen Pendels im Falle, dees einige Wurzeln seiner charakteristischen Gleihung ein Vielfaches einer anderen sind. ZAMM, 1959» Bd. 39, № 7-8, S.284-290.

79. Bradistilov G. Ober periodische Bewegungen des n-fachen Pendels. Math. Ann., 1939, Bd. 116, № 4, S. 602-609.

80. Bradistilov G. Gber periodische und asymptotische Losungen beim n-fachen Pendel in der Ebene. Math. Ann., 1938,1. Bd. 116, № 2, S. 181-203.

81. Cartwright M.L. Forced-oscillations in nonlinear systems. Contributions to the theory of nonlinear oscillations. -Ann. Math. Studies, 1950, v.20, pp. 149-241.

82. Cushman R. Examples of nonintegrable analytic Hamiltonian vector fields with no small denominators. Trans. Am. Math. Soc., 1978, v.238, pp. 45-55.

83. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leur lig-nes geodesiques. J. Math', pur. appl.t 1898, v.4, 27-73.

84. Hill G.Y/. On the part of the mean motions of the sun and moon. Acta Math., 1886, v.VIII, pp. 1-36.

85. Ince E.L. Researches into characteristic Numbers of the Mathiew Equation. Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh, 1931-32, XLVII, pp. 355-433.

86. Mendes R.V., Duarte J.T. Arcs of discrete dynamics and constants of motion. Lett, in Math* Phys., 1982, v.6, H° 2, pp. 249-252.

87. Morse M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics. I. Am. J. Math., 1938, v.60, № 4, pp. 815-866.

88. Morse M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics. II. Am. J. Math., 1940, v.62, № 1, pp. 1-42.

89. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. -Princetone: Princetone University Press, 1973. 198 p.

90. Moser J. The analytical invariants of an area preserving mapping near a hyperbolic point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, v. 9, № 4, pp. 673-692.

91. Struble R.A. On the oscillations of a pendulum under parametric excitation. Quart. Appl. Math., 1965, v.22, № 4» pp. 157-159.

92. Struble R.A. Oscillations of a pendulum under parametric excitation. Quart. Appl, Math., 1963, v.21, N° 2, pp. 121-131.

93. Tisserand P. Traite de mechanique celeste. Tome II. Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de rotation. Paris: Gauthier - Villars, 1891. - 552 p.

94. Troger H. Heteroklinische Punkte und das Pendel mit periodisch erregtem Aufhangepunkt. ZAMM, 1979, Bd. 59» № 5» S. 158-160,99* Weyl H, Mean Motion I* Am. J. Math., 1938, v. 60, pp. 889-896.

95. Weyl H, Mean Motion II. Am, J. Math., 1939, v. 61, № 1, pp. 143-148.