Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М-В-Ломоносова Механико-натенатический Факультет

Ш щт(кш рукописи

ИРТЕГОВ Валентин Дмитриевич

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

01-02-01 - теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора Физико-натенатических наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена в Лаборатории устойчивости движения Иркутского ВЦ СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор Физико-математических наук

A. В. Карапетян

доктор Физико-математических наук

B. А. Самсонов доктор Физико-математических наук,

профессор В. Н. СКИМеЛЬ

Ведущее предприятие-С"--Петербургских! университет

в 16 часов на заседании Специализированного совета Д-053-05-01 при ИГУ им-М-В-Ломоносова по адресу: 119899, Москва? Ленинские горы, МГУ, механика-математический Факультет, аудитория 16-10-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Защита состоится

■ I

1992 г-

Автореферат разослан 1

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физ-- мат- наук

Д - Б - Третцев

ссуд: . .. ; ^

бтлг л ! Обшая парактерпстика работы »

Данная работа посзлцена некоторы:! вопросам выделения , классиуикацнп и качественного исследования иппаркантпи:; многообразии

стационарных движений (Ш1СД) неханичоских систем с конечипи число;! степеней свободы ■

///.Л? \щСс>-пШ. является создание и развитие эффективных яетодоз нсследов анип Фазового пространства механических систем с первыми интеграла-пи (з частности5 с использов апиея символьных вычислений на ЭВМ) 5 основу которых составляют задачи выделения} классификации; устойчивости и бифуркаций НПСД и их "хороших" подгшсгосбра-еий 5 а также приложение полученных результатов к анализу некоторых классов конкретных нехани-ческих систем-

У/ШЫШи>/?'1Ш.. Стационарнне реыения (при всех разнообразии понимания зтаго теринна? сис-теи дифференциальных уравнений в задачах меканн-ки и их свойства (качественные исследования) всегда представляли и продолжают представлять оо'ект вниианил огромного числа исследований.

Причин для зтего (как обтектнвных3 так и суб'ектнвных) достаточно иного- Назозеи из них три следующих"

1 - Стационар::: реыенил часта достаточно "просты" и иогут бить технически реализованы • '"а ник иогут сопоставляться ипегие теоретические результат!;] с вкепернпонтальпыин.

2- Инвариантные многообразия стационарных движений оистех с первыми пнтегралали иогут "стратифицировать" фассвзе пространство па части

с 1 однотипными видами движении, и с этой точки зрения ва>:;кы при топологическая подхода к исследованию Фазового пространства■

3. Стационарные движения и инвариантные кногоооразкя стационарных движений могут служить "первый приближением" для изучения более общих решений системы, которые близки в определенной смысле к зтлн етацпснарн-ак•

В данной работе акцент сделан на изучение IIMСД размерности большей пуля.

'ЛЩЮб(МЩ'% j'iülKUiiM- Результаты» изложенные н диссертации, докладывались на Семинаре по общей механике и устойчивости движения при кафедре теоретической механики КАИ (рук- П-А. Кузьмин)5 Семинаре по устойчивости и аналитической механике при МГУ (рук■В■Е-Румянцев), Семинаре ИПМех РАН (рук- Д. М-Климов )5 Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (1976г.. 1981г-5 19S6r•), Всесоюзных Четаевских конференциях (1963г., 1972г., 1977г., 19S2г., 1937г., 1992г-)i Всесоюзных конференциях по К7Д" С1976г-, 1979Т■, 19Вбг•, 1939г.), Ееесскзной конференции по управлении (Таллинн5 1935г.), Республиканских конференциях по динамике твердого тела ( Донецк, 1976г•, 1934г-5 1990г.), Международном конгрессе математиков ( Еарыазс, 1933г.)5 Международных совещаниях по использованию символьных вычислений на ЭВМ в Физике (Дубна; 1979г., 1982г., 1935г., 1990г.), Международном семинаре по динамике нелинейных сиотеи (Иркутск, 1937г., 1990г.), Международной школе по Функциям Ляпунова и их приложению ( Иркутск 5 1939 г-,1992 г-), Международном семинаре по устойчивости {I-II3U РАН» Москва;, 1992Т-) и др-

чения naüfjTOE; памкладны;: программ символами:! вычислений .на ЭВМ ("Динамика" и "Механик" ) ..

Содержание работы

Во введении дли краткий обоор реезулитатоп , спязд!!,чы:; с током диссертации. Сспостаслону рас— личные определении стационарны;: движений в меха — пика, Вгедене понятне йК/ПвГраЛа ЧйС/ПИ CHCKSМЬ?. длп частник праиззаднык которого имеет мэсто пр едставлсние

<?V k

~ Е • (г;) Ф, - . ,П7 k < п ,

где a, . (>:) гладкие на многообразии ф, <>;) =0

(1 = 1 , . - . , к) и и его окрестности функции. Указами условия., при который многообразие пел пет с з: и н з а р и а н т и ы м м н о г о о ь р а о и е г 1 с т а и, и о на р j i ы х д в и ж е н и i: СИМСД). Такому ИМСД сопоставлено распределений п

- Е а (::) dx . , i = i

Доказана т с о р е и a 0.1.1. Если сущс?стсус?ч с ими ш трич е? с к a к, п о с т о я ь i н а я матри ц a F р а о м е р о :■ (к а к) такает, что система Пфаффа

(нф15. . . 5йфк)Т = F (с1ф11...,с»фк>Т =

Vi t'l

~ F ( Е a<sd;{; Е d«;)T

i = 1 "" " i. = i

интегрируема. то интеграл У i переменных ф , . . . , Ф]- ;;ч ? - - - 5 имеет вид квадратичной формы

V - фк> F Сф^----- фк)Т

В спязи с этим поедено понятие голеномны;: и негезленомны!'! ИМСД -

В ГЛаве 1 нпипедены основные полеженип, en стланные с: классической задачей на усланный экстремум по .Лагранжу,, Обсуждены дза сида иееамкну-т Г! с:"!"!. •! es ада'-! т а •;: а г о т и п а.

HvcTb дл51 связки интегпалогз V. (х) (j = i .. .к)

LJ

к - X. v. + v. + ...+ v. <,\. - I)

L

GO 11 к к С

а а п и с: а н ы у с: л оi; ¡. :л с т а и, и о ч а р н о с т и п о р d о г о и о í ■) и;; на с!стэ.льныи , рапных постоянным

ÚK

úit.~ ' 4"i '' " " 5 'Ч * " * '

L

= -f >; _ , ,. . , ) ~ О

; а )

V. í;:) ~ с. , i — 1 , . . . , п, j - 1,.... к " j L J

Если система (А) имеет невырожденное решение

» . . , с > = const, i » l,...,n;

i к

i Б 5

л О 1 О

Л; " Л; te. ,...,с, > = con^t. j - 1....,!;, j ' j '¡i

и на ноп del: jj ü"К/ ü к ^ ü.\ . j] О, то задгч:;

(А) на этом решении замкнута,, Причем, значини:;' i £>

Л. с а с т н с с я т р е ш е н и ю к .В) в с а и м н о о д н а а н а ч н о и н • -

' j а

то г р а. л К (к, ,\w) , который в дальнейшем называете и порождающим интегралом решения <в>.

В случае вырожденный решений задачи (А) , на

которых А — dot |] ¿Гк/ . «?>: . || - О, ссе но-

мзвостниз из (А) обычно найти не удается. В эrot-случае задача (А) не замкнута . Если свободными остаются параметры , то будем говорить с

J

незамкнутости 1 типа (рода). Если же свободными в такой ситуации остаются параметры с^ , то тяг

J

незамкнутоети второй. Возможна и незамкнутоеtl с: t '! е ш а !■ i i- •! о г a т и п а..

Выписаны дифференциальные уравнения и первые интегралы и случае движения твердого тола с неподвижной точкой. Указана одна полезная групп« преобразований, сохраняющая уравнения Пуассона.

Приведены основные определения и теорем!, старого метода Ляпунова, используемые npi-исследовании устойчивости ИМСД. в дальнейша? тексте. Отмечены возможные обобщения теорем!; Рауса-Ляпунова на случай вырожденный ИМСД, Обращено внимание на специфику построены: Функций Ляпунова из интегралов с этом случае.

Доказано у т. в е р >:: д е н и е 1.6.3. Ее л; все корни я ар актер истичес ког о уравнения линейно!'

:: и с темы с матрицей

!

А

О

где F

-. Л ,

II?

í

G = -В - двуднагональна матрица, различны, тс система допускает п ноависимых кв адратичных !. 11-! т © г р а л о в с постоя н и ы м и к а э о Ф и ц и е н т в м и,

Получен явный вид квадратичных интегралов длл таких гироскопически:-; систем. Сформулированы результаты о существовании первых интегралов, когда дифференциальные уравнения движения допусками "Г' '' ц о п о ч к и д и ф ф е р в н ц и а л ь и ы х с о о т н с ш е н и й'',

Доказана т е о р о м а 1.6.2. Если система

Х<х, у), у = Y ( х , у ) , ( X (о, у >

О )

допускает группу преобразований х—-Г ( х , у,а) , у~у , то у системы существует сеиейстсо имгшрилнтиих

многообразий с параметрами

-fix, у, а) - О,

ía

- -

> (здесь

ï

Р'

у е К

о

размерность вектороз х, у соствстственно).

Во второй главе дано определение ОСОООГО ИИСД, как такого, для которого существует несколько порождающим интегралов. Обсуждаютс п свойства таких HMCfi. Специально рассмотрен случай системы с линейными по скоростям псрзыми интегралами «

Доказаны некоторые теоремы и утверждения. У т гз е р ;к д е н и s 2.1.5. На семейстзе особых стационарных движений преобразование , перевод "!-■••

щео все линейные по скоростям интегралы в циклические , вырождено -

Т е о р с;> м а 2,2.1. Инвариантное подмногоойра™ зие, получаемое из вырожденного ИМСД с помощью сечения последнего гиперповерхностью уровня первого интеграла V. (>:) = с. , само является ИМСД.

L j 1 j

П орождаю u.i е й связка й т аки« подмногообраз и й я в л <■! е т с я н е лине й н а я с в я з к а интегралов.

П оказано, ч то п ерманентные вр ащони я твердого тела в случае Лагранжа и Эйлера являются ОСОБЫМИ с т а ц и о на р н ыми дв ижвииями»

Приведен анализ ИМСД для системы, допускающей линейные по скоростям интегралы с некоммути--р у 1-е m и м и и н Ф и н и т е з и м а л ь ным и о п е р а т о р а м и. Выя в л ена е этом случае специфика ветвления ИМСД различной р а з м е р н ости„

В третьей главе введено понятие вырожденных

ИМСД дифференциальны;; уравнений движения,,

Указаны два способа выделения "хороших" подмногообразий таких ИМСД:

1» Подмногообразийч получаемый сечением ИМСД гиперповерхностями уровня первых интегралов.

2. Подмногообразий, получаемых как поднятие a фа зов ов прсс тр а ис тво ИМСД р аслич ных уровней.

Проведен анализ подмногообразий и многосб.....

разий различных уровней для конкретных механически;: систем (случай Эйлера в центральном поле сил, случай Ксвалешской).

В четвертом параграфе 'пункты б и о) при

анализе ИМСД второго уровня на многообразии

Делоне продемонстрирована ситуация, когда пред.....

ставленио частных производных интеграла части системы является "взаимным", т.е. коэффициенты

а, . м ф, можно семантически менять местами -• а, .

L L TL L L

считать выполнпешими роль ф, , а ф, - роль л, . .

п р с д л о ж е н а к .л а с с и q> и к: а ц и я с е м е й с т о и м с ft р а с? -

яичных уровней, подобная классификации особен.....

!■¡остей отображений Тома,. При решении задачи по !'!ыдэ ляпни! полного набора ИМСД второго уровня на многообразии Делоне показано, что глобальный анализ таких задач действительно требует исполь-оования полного ¡-шабера карт на многообразии (нельзя обойтись одной*-

ЧВ1й8ерШВ,Я глава поспящена вопросам исследования устойчивости ИМСД размерности большей нуля, когда функции Ляпуноса з окрестности таких нелинейны:: ногаоомущенных множеств формируете я не первых интегралов. Поставлена задача об устойчивости подсемейства многообразий данного , ИМ С Л. сколь угодно близко примыкающих к нулю,

Г1 р о в оде н о и с с л е д с г; а н и е у с т а й ч и в о::: т )• в ы в о::' — денных ГОЛОНОМНЫХ ИМСД для волчка Э-йлсва о центвальном поле сил и волчка Ковалевской, Получены дос таточ ныв уелови я устойчивссти мног о— образия маятниковых колебаний тела вокруг глав! о й оси инерции у, когда представ пение частных г: р оно в о д ) ■■! ы х п е р о ж д a i о щ с? г о и н т о г р а л a iJ, е л и i -! ей г: о п о

отношению к "нормальным" координатам.. опреде.....

л я i о i'i и !■ 1 д а н н о о И М С Д„

П р о а и а л и о ¡- i р о п а н а у с т ойчив о с т ь И И С Д р а о лич н ы х уровней» Показано, что "перманентные врашения" г:олчка Э-йлера в центральном пело сил на второй уровне могут быть устойчивы для средней оси инерции.

В в е д е! :о г i о и к т ио О •- У С füO i ¡ '1 ¡1В О С ,T¡;!» Пред л о ж е i -i1 примеры, когда о-устойчивыс ИИСД второго и более

•зысоксгс vpccHfi при поднятии г Фазовое; пространство сохраняют свойство устойчивости и припер, где эта не тс:;.,

Пятая глава посвящена задачам БвШЛеНИЯ ИМСД различной размерности и смене устойчивости лом таких бифуркациях .

Поставлены некоторые новые задачи, возникающие в теории бифуркаций многообразий различной размерности в фазовом пространстве. Показано , что такого рода ветвления возникают в тог случае, когда среди ИМСД у системы имеются

особые*

Проведен анализ ветвления ИМСД в конкретных задачах механики. В частности, исследованы ns-р е с т р о й ¡ си б и ф у р i- с а ц и й о т с л о е ни я в о к р е с т и о с т ¡ • семейства особых ИМСД для волчка Лагранжа с центральном поле сил. Отмечена связь таких перестроек с резонзнезми. Показано, что существуют перестройки бифуркаций отслоения, которые? не определяются резонансами между собственными значениями уравнений первого приближения с окрестности особого стационарного движения, а связань с резонанс а ми в уравнениях первого приближения г: окрестности ответвляющихс я вырожденных ИМСД г

Справедлива т е о р е м а 5.3.1. Для иолчк; Лагранжа в центральном поле? сил устойчивыми пс Ляпунову являются только те особые перманентные вращения вокруг вертикальной оси симметрии тела, для которых имеет место бифуркация отслоениь инв ариантных многообразий ре г ул яр ных пр ецес си? (вырожденных ИМСД).

Аналогичное утверждение справедливо дл: волчка Эйлера в центральном поле сил.

В качестве одного из методов исследованж

•; лракт f;f!a б И Фур КЙЦИЙ tí OKpeCTI ЮСТИ С"! ЮЙСТП ОС" обмх ММСД предложен истод анализа о! ■'•!■■!оi"o ¡1Яо:кестЕ:;а на "расслоении"' , сопоставляемого по определению особым ИМСД,.

Установ лоно , что случай Ко г:; а.л опекой вы дол з о "г с. 'л среди о сох других случает* движения твердого тола с неподвижной точкой, я частности, тем, что Здесь имеет место ветвление семейств особых ИМСД (перманентных вращений).

Прззодон анализ бифуркаций вырожденных ИМСД в окрестности этих ветвящихся семейств особых ста-ционарнык движений. Как и в случае Лаг ран» л, р а с с i-i о т р е ¡ ы их п е р с? с т р с:) й к и. П о к а з a ¡- ¡ о ,, ч т о д л я к d а д р а т ичнм х и н т е г р а л о в г и р о с к о пи ч о с к и со л з a i ■ i нг х гнетом условия их одновременной приводимости к сумме квадратов совпадают с условиями существования бифуркаций отслоения от положения раснопосмп.

В ШЗСШЙ Главе рассмотрены вопросы исследования устойчивости особых И ¡1С Д..

Показана специфика анализа устойчивости особых ИМСД на основе методики теоремы Рауса—Ляпунова, которая состоит в том, в первую очередь, что для получения наиболее мягких достаточных условий устойчивости на основе второго метода Ляпунова здесь необходимо использовать максимальный порождающий данное особое ИМСД интеграл К , что при анализе з н а к о о п р о д о л о !•• i и о с т и п. о с л е д и ого р а в i -i о с и л ь н о исследованию (в простейшем случае) условий з м а к о о п р е д о л е н и о с т и о д н о й к в адра т и ч i ■■! о й ф о р м ы О"к на другой равной нулю ( 0*"V = О ) .

Г) о л у ч о н ы д о с т а т о ч н ые ус л о в и я у стой ч и п с с: т v перманентных вращений волчка Лагранжа в

1 1

ц о н т р а л ь и о м и п р о и з в о л ь н о м п о т о 11 ц и а л ь i -i о м п о г

сил UC7U) на границе устойчивости- На пример

гиросколичсски св язанной системы рассмотрены i г которые вопросы смены устойчивости при ветвлеьп.-ИИСД 13 окрестности особого положения равновесие Обсуждается вопрос о сохранении ИМС (соответстсующих порождающим первых интегралов и их свойства устойчивости при Н&ЛИЧНИ В03МУЩ6 НМЙ правых частей дифференциальных уравнений Укаоаи явный вид таких возмущений, не разруша ющих конкретные вырожденные ИМСД для солчк Эйлера, волчка Ковалевской и СИСШМЫ ЙШврДЫХ Ш6 с носителем.

Обращено внимание на то,, что при ветвлени ИМСД различной размерности возможны теки ситу ации, ког да все" огвет в ляющнес я с бифуркационного множества семейства состоят и устойчивы;: ИМСД.

Б связи с этим сформулирован "принци наименьшей стс-пени устойчивости", необходимый таких ситуациях при выборе невозмущенного ИМС по заданному возмущенному движению в окрестиост точки бифуркации„

В рамках этой же проблематики обеуждаетс задача об исследовании "смены устойчивости" пр изменении параметра семейства особых ИМСД с временем. Указана роль сформулированной выш гипотезы -- "принципа наименьшей степени ус тойчисзости" при решении задач, подобных задач Ишлинскпгс о "потере устойчивости" семейство перманентных вращений тела на струне при иоме нении угловой скорости вращения со иримеивм»

Седьмая глава содержит результаты исследо

влния Н!'1СД смгтгг'мм твердых тол с носителем, лагранжиан которой имеет вид ?

а з п :»

2L ^ 71 Е т- * 2 и Z я q . +

6=, а Р ¡=1 а=1 а J

а= i р= i ' 1 j = i а= i

i! ri .

+ Е S . (q) q;q; +

i = i .i = Í k ' - J

Гндг.'Леио семейство стационарных дт «жеымй та — г; и систем!:-: о силе одного "твердого" то л л < q . —

-о ) и поклйпио , ЧТО они ЯВЛЯЮТСЯ ОСОбЫМИ, пока.....

еано, что dt этого семейства отсстпляются вырожденные ИМСД дну- типов.

Отмечено, что бифуркацпонная картина таких ИМСЯ, при любом коночном п аналогична ситуации гзатзлонип ИпСД в случае Эйлера твердого тела с неподвижной тачкой .

Получены достаточные условия устойчивост! i р а с с матр и вае м о й с и с т е м ы , с о в е р lu а ! о щ ей п е р м а н е н т -мне пращоиия кок одно "твердое тело" , которые сводятся к: двум требованиям:

1. Ось перманентного вращения должна быть наибольшей или наименьшей главной осью инерции в р а с с м а т р и вас м о й кон Ф игу р а ц 11 !• i с и стами;

Значение кинетического потенциала системы, подсчитанного на скоростях, соответствующих да: и юму пормл! «ентмому вращению, долчено принимать гпсе максимальное значение по всем обобщенным ; i о о о д t. и а т а м в д а ни о й к с !- : ф и г у р а ц и v i.

Исследована устойчивость вырожденных ИМСД-

i з

стационарных движении тзсзрдого тела с одной закрепленной точкой в центральное поле сил-АзеореОорат лисс- на сокск■ учен- степ- к-т-н- -Казань, 1964- С- 1-16.

3. Иртагов В-Д. Стационарные дсюония уравне-зоиеиного твердого тела л их устойчивость з центрально:! полз сил тпготеыип-- Тр. КАИ, 1'асакь ? 195*1- Вып. S3- С- 3-15.

•1» Иртегоз З.Д. Об устойчивости из.лтнхпеезых колебаний гироскопа Ковалевской- - Тр. KAl-î v ■vérvT^.Hb -1963 • Б'-ш. 97- С- 33-415- Иртзгсз 3-Д■ 03 устойчивости алией регулярней прецессии - - Тр.КАИ, Казань, 1969- С-33-3?.

6- Иртегез 2-Д. О тесрене Рауза-Аппуноза- -Тр.КАИ, Казань , 1972, Выл-149, С-23-35-

7- Нртегоз В-Д. Особенности ппогсобраеил стационарных движений>- В i-сн." Проблалы аналитической нехапнхп 5 устойчлзостн дзх.г.еллп и управлении. ■]- : Наука, 1973 s С - 154-1603. Иртегез В.Д. 0 прсстеныих л~и:::зпнлн иенапи-ческих слотах и их устойчивости-- В кн.: Уотай-члзооть движения, аналитическая иенаника, управление лзнжзккен- Í5.: Наука, 19815 С.117-127 9- Иртегез В-Д. 0 стационарных движениях волчка Ковалевской - - В кн" Г*-зтод функций Ляпунова з линаинхе нелинейных систол- - Нсзссибирск: Наука, 19S3 = С » 123-15010- Иртегаз В-Д. 0 бифуркациях стационарных лзижений» - В км - : Дпналика нелинейных слотах« -Псзссибхрск: Наука. 1933. С « 121-132 -

11. Нртзгсз В-Д- Об устойчлзсстн лнзарлантхых иногсабраеий нехалнчзехих еистаи. - , 1934, Выл* 3, С-343-355.

12. Иртогов В-Д- Об устойчивости и бифуркации

инвариантных многообразий механических систем■ В кн.; Устойчивость дЕпкенкя- - Новосибирск Наука 5 1985. С-128-134-

13- Иртегов Е-Д- О классификации вырсшдешш

стационарных движений-- В кк-: Нетал Функци Ляпунова и его применения. - Новосибирск: Наука 1985- С- 216-22414- Иртегов Б-Д- О связи бифуркаций отслоения устойчивостью по Ляпунову- - Е^ КН.: функции Лн пукова и их приложения.- Новосибирск! Наука 1987, С-180-189-

15- Иртегов Е-Д- Об инвариантных многообразия стационарных движении одной системы -Устойчивость и управление движения. Межвузовски сб-, Казань, 1983. С- 4-11.

16« Иртегов Е-Д. Подмногообразия инвариантны многообразии стационарных движении и и свойств а- - ПММ, 1991, Т- 55, вып. 4, С.626-633 -

17- Иртегов В-Д- 0 смене устойчивости пр бифуркациях- -Е кн.5 Проблемы аналитическо механики, устойчивости и управления движением-Новосибирск" Наука, 1991- С- 73-7918- Иртегов Е-Д. Инвариантные иногообрази стационарных движений - устойчивость, бифурка цни, смена устойчивости-- Е кн.: Развитие применение метода функций Ляпунова- - Новоси бирок: Наука, 1992- С. 223 - 230-