Некоторые задачи о качении и скольжении твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

сг.

Московский Государственный Университет

О

им. М.В.Ломоносова '

е

^ сг> механико-математический факультет

п_ I

На правах рукописи УДК 531.01

АФОНИН Александр Ардолионович НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О КАЧЕНИИ И СКОЛЬЖЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Козлов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Маркеев, кандидат физико-математических наук А.В.Борисов

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

Защита состоится 1997 г. в 16 часов на заседании спе-

циализированного Совета по механике Д 053.02.01 при МГУ но адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10. С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ. Главное здание, 14 этаж.

Афтореферат разослан

1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.02.01 при МГУ, доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

Общая характеристика работы. Диссертация посвящена качественному исследованию некоторых свойств движения тяжелых твердых тел по поверхностям различной формы, а также доказательству неинтегрируемости уравнений скольжения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости.

Актуальность темы. Одним из классических разделов динамики твердого тела является задача о движении твердого тела по заданной поверхности. Первые результаты в этой области были получены Л.Эйлером. В работе 1 он изучил малые колебания твердого выпуклого тела, движущегося без скольжения по горизонтальной плоскости. Исследования Эйлера были продолжены в работах Даламбера, Кориолиса, Аппеля, Жуковского, Чаплыгина и многих других авторов. Обзор этих результатов можно найти в 2. Существенный вклад в исследование движения твердого тела по заданной поверхности внес английский математик и механик Э. Раус. В книге 3 он подробно рассмотрел качение однородного шара по неподвижным поверхностям, имеющим форму цилиндра, конуса, параболоида, а также движение шара на вращающейся сфере. В задаче о качении тяжелого однородного шара по произвольной шероховатой поверхности вращения Раус изучил стационарные решения и, исходя из линеаризованных в окрестности стационарных решений уравнений движения, нашел необходимые условия их устойчивости. Для получения уравнений движения Раус использовал основные теоремы динамики в проекции на оси системы координат, подвижной относительно тела.

Аналогичный способ применяется для составления уравнений движения рассматриваемых в диссертации механических систем. Одной из них

1 Kuler L. De minimis oscillationibus corporum tarn rigidorum quam flexililium, methodus nova et facilis. Commentarii Academiae scientiarum imperiales Petropolitanae 1734-1785.-1740. T.7.-P.99-122.

2Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. M. "Наука". 1992. 336

с.

3Раус Э. Динамика системы твердых тел. т.2. М.1983.

является задача о качении тяжелого однородного шара по неподвижному горизонтальному кольцу. Здесь, следуя Раусу, найдены стционарные движеиия, и, используя некоторые современные методы, получены условия их устойчивости.

Другой системой, изучаемой в диссертации, является движение тяжелого диска по горизонтальной плоскости. Изучению этой задачи посвящена обширная литература . Много интересных результатов получены в случаях скольжения диска по абсолютно гладкой плоскости, качения по абсолютно шероховатой плоскости и в случае движения диска с острым краем на льду. Первый случай представляет собой пример голономной механической системы, остальные два являются неголономными системами. Обычно предполагается, что диск однородный и его край имеет форму круга. При этом предположении во всех трех случаях уравнения движения диска во всех трех случаях могут быть проинтегрированы. Менее иследованными остаются ситуации, когда диск неоднородный или он ограничен произвольной выпуклой кривой. "Уравнения движения в этих задачах ужо неинтегрируемые, как это показано в диссертации на примере задачи о скольжении круглого диска по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Однако, применяя различные методы качественного анализа дифференциальных уравнений, удается получить некоторые результаты и в этих случаях. Этому посвящена одна из глав предлагаемой диссертации.

Цель работы заключается в качественном исследовании некоторых свойств движения тяжелого твердого тела по заданной поверхности.

Научная новизна работы состоит и следующем:

1. В задаче о качении без проскальзывания тяжелого однородного шара по неподвижному горизонтальному кольцу найдены стационарные решения и исследована их устойчивость. Уточнены условия устойчи-

пости стационарных решений, полученные Раусом в задаче о качении однородного шара по поверхности вращения.

2. В задаче о скольжении круглого динамически несимметричного диска по горизонтальной плоскости доказано, что для почти всех начальных данных (в смысле меры Лебега) диск никогда не упадет на плоскость. Далее, показано, что этим свойством обладает также диск, ограниченный произвольной выпуклой кривой.

3. Доказана неинтегрируемость задачи о скольжении круглого динамически несимметричного диска, когда его главные центральные моменты инерции мало отличаются друг от друга.

Апробация работы. Результаты работы доложены и обсуждены на научно-исследовательском семинаре механико-математического факультета МГУ "Динамические системы классической динамики" под руководством В.В.Козлова и С.В.Болотина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изоженных на 65 страницах, включая 12 рисунков и список цитируемой литературы из 22 наименований.

Содержание работы. В первой главе рассматривается задача о качении тяжелого однородного шара по неподвижному горизонтальному кольцу. При этом предполагается, что движение происходит без проскальзывания и что шар не отрывается от кольца. Исследуются стационарные движения шара и условия их устойчивости. Исследованы условия соприкасания шара и кольца. Кроме того, уточнены условия

устойчивости, полученные Раусом в задаче о стационарных движениях

4

шара по поверхности вращения .

В §1 главы 1 получена следующая замкнутая система уравнений, описывающих движение шара по кольцу :

... 5 2-

ai} — ф2(п + a sin??) costf = -д sin$ — -афг sin г?,

-2 • • R

(R + a sin д)ф — (-ar — 2 аф cos d)d,r =--фд,

где а -радиус шара, R -радиус кольца, углы ú и ф -широта и долгота на торе Т, по которому джижется центр шара, соответственно, г -проекция угловой скорости шара на нормаль к тору Т, д -ускорение силы тяжести. Масса шара предполагается равной единице.

В §2 главы 1 исследуется устойчивость движений, при которых центр шара находится на постоянном расстоянии от плоскости кольца, точка контакта равномерно движется по кольцу и проекция угловой скорости шара на нормаль к тору Т постоянна:

■d = а , ф = ut , г = п , a, ш,п = const.

Параметры а,ш и п связаны следующим соотношением

2 5

u)2(R + a sin a) cosa — -aun sin а + ygsina = 0.

Таким образом, стационарные движения образуют двухпараметриче-ское семейство.

Для получения условий устойчивости применяется теорема, установленная А.В.Карапетяном 5. Условие устойчивости имеет вид:

2/, 5R . . 25 fl2sina lOgcosasina ...

w (1 + __sma) + - jR + asina > 0 (1)

Если в соотношении (1) знак неравенства заменить на противоположный, то соответсвующее стационарное движение будет неустойчивым.

4Раус Э. Динамика системы твердых тел. т.2 М. 1983.

5Карапетяи A.B. Об устойчивости систем некоторого вида. Изв. АН СССР Сер. механ. твердого тела. 1983. N 2. с.45-51.

В конце §2 теорема А.В.Карпетяна применяется для получения условий устойчивости стационарных решений в задаче о качении шара по поверхности вращения. Условие устойчивости имеет вид

о, о 2 . , 5 b . . 25 q2 sin а 10 о sin a cos а „ .„.

и) (cos а+- sin а + -- sin о) + —■2——--— ¿---> 0, 2)

7 te 49 coc<r 7 о

где Ь -расстояние от центра шара до оси симметрии поверхности вращения, с—а - радиус кривизны меридиана поверхности вращения. Условие (2) не совпадает с условием, полученным Раусом.

В §3 главы 1 найдены условия, при которых шар все время будет касаться кольца. Для стационарных движений условие соприкасания имеет вид

д cos а — ш2(Л + a sin a) sin а > 0. Во второй главе исследуется задача о скольжении круглого диска, центр масс которого совпадает с геометрическим центром, а главные центральные моменты инерции различны, по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Более точно, ставится вопрос о вероятности падения такого диска на плоскость. Оказывается, что для почти всех (в смысле меры Лебега) начальных данных диск никогда не упадет на плоскость. Далее показывается, что этим свойством обладает диск, ограниченный произвольной гладкой выпуклой кривой. Для доказательства применяется метод, в идейном плане восходящий к известной теореме об исключительности парных столкновений в задаче о многих гравити-рующих точках: сначала производится регуляризация уравнений движения, затем исследуются инвариантные многообразия падений и фазовые потоки на них, после этого используется аналог теоремы Пуанкаре о возвращении. В задачах о качении диска по абсолютно шероховатой плоскости и о скольжении диска с острым краем на льду (когда скорость точки контакта лежит в плоскости диска) данный метод удается применить только в случае динамической симметрии.

Для описания движения диска вводится подвижная система отсчета Gxyz, с началом в центре масс диска, такая, что ось Gx -горизонтальна,

Gz - перпендикулярна плоскости диска, а ось Gy является линией наибольшего восходящего уклона плоскости диска. В §1 главы 2 получены уравнения скольжения круглого диска rio горизонтальной плоскости:

(I + Jcos2(p + ma2cos2ú)p + Jqsin2f = 2Jr(psin2ip — qcos2tp) — —Cqr + q ctg$[(7 + J eos 2<p)q — Jp sin 2<¿>]+ +ma2p2 sin $ eos г? — mag cos д Jpsin 2<р + (/ — J cos 2<p)q = — 2 Jr(p cos 2ip + 17 sin 2^) +

(4)

+Cpr + q ctg j9[Jq sin 2<p — (I — J cos 2ip)p] Cr — J sin 2(p(q2 - p2) + 2,Jpq cos 2ip ф = r — q ctg д, д = p I=(A+B)f2, J = (A-B)/2,

где p, q и г -проекции угловой скорости диска на оси Gxyz, i? -угол между осью Gz и вертикалью, <р - угол собственного вращения диска, А, В и С -главные центральные моменты инерции, т -масса диска, а -его радиус,*/ -ускорение силы тяжести.

В §2 главы 2 производится регуляризация полученных в §1 уравнений движения (4). Падению диска на плоскость соответствуют значения д = 0 и $ = 7Г . Правые части уравнений (4) имеют особенность (полюс первого порядка) при г) = 0 и tf — 7Г . Чтобы избавиться от нее вводится новое время г посредством замены

<1т — dt¡ sin??.

Полученная таким образом новая система называется регуляризован-ной. Она обладает двумя инвариантными многообразиями падений

£+ = {0 = 0} и XL = {tf - ti-}.

В §3 главы 2 расматриваются инвариантные многообразия Е+ и фазовые потоки на них. Полагая в регуляризованных уравнёниях д — 0 , получаем систему дифференциальных уравнений на инвариантном мно-

гообразии Е+:

{I + J cos 2<р + та2)р' + Jq' sin 2ip = (I + J cos 2ip)q2 - Jpq sin 2<¿>,

Jp' sin 2ip + (I — Jcos2<p)q' = Jq2 sin2^ — (I — J cos 2ip)pq, (5) ip' = -q, r' = 0

где штрихом обозначена производная по новому времени т.

Эта система имеет два первых интеграла

г = с, (б)

(I + Jcos2v + ma2)p2 + (I - J cos 2ip)q2 + 2Jpqsm2ip = h.

Рассматриваются поверхности Mch, задаваемые уравнениями (б). Показано, что поверхности Mc¡¡ представляют собой двумерные торы. Оказывается, что на торах Mc¡¡ можно так ввести угловые координаты Vi, Ф2 mod2n, чтобы уравнения (5) на Мс/, приняли бы следующий вид:

^2= if, (7)

где 7 = const,/(^1,^2) -некоторая аналитическая функция, 27т-периодическая по каждому аргументу. Функция / обращается в нуль на кривых 7i и 72, по которым плоскость q = 0 пересекает тор Мси ■ Кривые 71 и 72 делят тор Mc/¡ на два кольца. Внутри одного из них функция / положительна, внутри другого -отрицательна. Траектории системы (7) лежат на кривых

7^1 — Ф2 = const,

трансверсально пересекающих кривые равновесий 71 и 72. Решения системы (7), отличные от положений равновесия являются двоякоасим-птогическими: при т —> ±оо они неограниченно приближаются к равновесиям, лежащим на кривых 71 и 72 ■

В §4 доказывается основное утверждение, что для почти всех начальных данных диск не упадет на плоскость. Основой доказательства является теорема Шварцшильда - Литтлвуда 6.

63игель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ. 1959. 300 с.

В §5 главы 2 рассматриваются другие модели движения диска по плоскости. В пункте 5.1 §5 исследуется качение диска по обсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. С помощью методов §1 главы 2 получена замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающих движение диска в этом случае. Оказывается, что правые части этих уравнений также имеют особенность при д = 0 и $ = 7Г. Поэтому к ним применимы результаты §2,3 главы 2. Многообразия падений и фазовые потоки на них устроены точно также, как и в случае скольжения диска но абсолютно гладкой плоскости. К сожалению, применить теорему Шварцшильда-Литтлвуда здесь не удается, так как в этом случае не удается найти инвариантную меру у регуляризованных уравнений движения. Однако, если диск динамически симметричный: А — В (7 = 0), то фазовый ноток регуляризованной системы сохраняет обычную меру в пространстве переменных {р, д, г, Следовательно, в этом случае

применимы методы §4 главы 2 и симметричный диск почти никогда не упадет на плоскость.

В пункте 5.2 §5 рассматривается задача о движении диска с острым краем на льду (когда скорость точки контакта лежит в плоскости диска ). По аналогии с §1 главы 2 выведена замкнутая система уравнений движения диска. Фазовое пространство этой системы уже шестимерно. Пятимерные инвариантные многообразия падений расслоены на двумерные торы из §3 главы 2. Предложенную в §4 главы 2 методику удается применить только в случае динамической симметрии.

В §6 главы 3 дается обощение доказанного в §4 утверждения на случай, когда диск ограничен произвольной выпуклой кривой, Показано, что в этом случае инвариантные многообразия падений и фазовые потоки на них качественно устроены точно также, как и в случае круглого диска, хотя и зависят от формы ограничивающей диск кривой.

В главе 3 доказывается неинтегрируемость уравнений движения круглого динамически несимметричного диска, скользящего по горизон-

тальной плоскости. Предполагается, что главные центральные моменты инерции диска мало отличаются друг от друга. Для доказательства используется восходящая к Пуанкаре методика, основанная на явлении расщепления асимптотических поверхностей 7. В техническом плане задача сводится к вычислению интеграла Пуанкаре-Мельникова, которое производится с помощью ЭВМ.

Работы автора по теме диссертации.

1.A.А.Афонин О качении тяжелого шара по кольцу. Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1995. N5. с.105-108.

2.А.А.Афонин В.В.Козлов О падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости. Изв. АН СССР. Сер. Механ. твердого тела. 1996. N 6.

3.А.А.Афонин О вероятности падения диска, скользящего по горизонтальной плоскости. Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика, (в печати).

4.А.А.Афонин Неинтегрируемость задачи о скольжении неуравновешенного диска по горизонтальной плоскости. Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика, (в печати).

'Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой мехаиике. Ижевск: Изд-во Удмурдского гос. ун-та, 1995. 432 с.