Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с трением скольжения, верчения и качения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

4

о

На правах рукописи

Ишханян Маргарита Владимировна

Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с трением скольжения, верчения и качения

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

004600929

На правах рукописи

МИш

Ишханян Маргарита Владимировна

Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с трением скольжения, верчения и качения

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Карапетян, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Иванов, кандидат физико-математических наук, И.Ф. Кожевников Ведущая организация: Институт проблем механики

имени А.Ю. Ишлинского Российской академии наук

Защита состоится 30 апреля 2010 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 30 марта 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент,

В.А. Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Задача о движении твердого тела по неподвижной опорной поверхности является одной из классических задач динамики твердого тела, привлекавшей внимание многих ученых. За последние триста лет в задаче о движении тела по поверхности получено много важных результатов, и интерес к этой задаче в последнее время только усиливается. Для постановки данной задачи очень важным и непростым моментом является выбор математической модели, описывающей взаимодействие между телом и опорной поверхностью. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. В последнем случае чаще всего предполагается, что на тело действует только сила трения, описываемая моделью Кулона. Однако, эта модель пригодна, вообще говоря, только при поступательном движении тела, тогда как при поступательно-вращательном движении тело нередко возникает несоответствие между теоретическими (в рамках модели Кулона) и экспериментальными результатами. Впервые на необходимость уточнения закона Кулона обратил внимание Контенсу, предложив модель трения, учитывающую как силу трения, так и момент трения верчения. Впоследствии эта модель была развита в работах В.Ф. Журавлева, А.П. Иванова, A.B. Карапетяна, А.А.Киреенкова и др. Таким образом, исследование динамики твердого тела при наличии трения представляется весьма актуальным.

Цель диссертационной работы. Диссертация посвящена качественному, аналитическому и численному анализу динамики однородного шара, движущегося по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости, с учетом всех видов трения в рамках модифицированной модели Контенсу, предложенной A.B. Карапетяном.

Научная новизна работы. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Впервые

поставлена и решена задача о движении однородного шара по неподвижной горизонтальной плоскости в предположении, что взаимодействие шара с опорной плоскостью описывается обобщенной моделью Контенсу, в рамках которой учитываются все виды трения -скольжения, верчения и качения.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы с помощью методов аналитической механики и методов качественной теории дифференциальных уравнений. Качественно-аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Московском физико-техническом институте (Государственный Университет) и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого , проф. A.B. Кара-петяна и проф. Я.В. Татаринова, 2008, 2009г.

• Конференция молодых ученых Института механики МГУ, 2008, 2009г.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения" МГУ, 2009г.

• Международная научная конференция по механике "Пятые По-ляховские чтения", г. Санкт-Петербург, 2009г.

4

• Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященная памяти академика Валентина Витальевича Румянцева, Ульяновск, 2009г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в трех печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 100 страниц.

Содержание работы

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан обзор работ, посвященных исследованию движения однородного шара по шероховатым поверхностям с сухим трением, а также приведено краткое содержание работы.

В первой главе приведена постановка задачи, выписаны сила и момент трения в рамках модифицированной модели трения, а также исследованы свойства этой модели, которые существенно используются при анализе динамики шара.

В рамках рассматриваемой модели сила трения F и главный момент М сил трения, действующие на шар и приложенные в точке контакта шара с опорной плоскостью, могут быть представлены в виде

F = F(u, sau), fi), М = eaФ(и, sau, fi)

Здесь u- скорость скольжения шара, ui - угловая скорость шара, а - радиус шара, ß = е5 [е € [0,1], <5 Е [0,1] - параметры, характеризующие рассматриваемую модель трения). Доказано, что рассматриваемая модель трения обладает полной диссипацией.

5

Для описания движения шара вводится подвижный ортонорми-рованный репер ех, е2, ез такой, что орт ех направлен вдоль скорости скольжения и = иех шара, орт ег ортогонален скорости скольжения и и, как и ех, лежит в горизонтальной плоскости, а орт ез направлен вдоль восходящей вертикали. В проекциях на оси, связанные с этим репером, сила и момент трения имеют, соответственно, вид Г = ^\ех + _Р2е2, М = Мхех + М2е2 4- М3е3.

Функции Е и Ф аналитичны по ц, следовательно, компоненты (г = 1,2) силы трения и М^ (у = 1,2,3) момента сил трения можно разложить в ряды по степеням

м^ = м]0) + цм^ + + 0(м3)

Явные выражения функций

Г10) и Л40) были получены В.Ф. Журавлевым (1998). В диссертационной работе получены явные выражения для остальных функций М^ (к = 0,1,2), в частности, показано, что К,(0) = 0, м{0) = М^0) = м[1] = 0.

Доказано, что компонента F2 силы трения, ортогональная скорости скольжения шара, и компонента Мх момента сил трения, параллельная скорости скольжения, обращаются в нуль, если и только если угловая скорость шара ортогональна скорости его скольжения (¡¿1 = 0). Если при этом еще и угловая скорость верчения шара шз = 0, то и вертикальная компонента Мз момента сил трения обращается в нуль.

Во второй главе приводится качественно-аналитическое исследование динамики шара. Уравнения движения шара в проекциях

на подвижные оси, связанные с репером е^ез, имеют вид

. 7^1 5М2

ти - —----—

2 2 а

1Р2 5Мх

и\ 2 = —- Н--

2 2а

5^2 5М1 та{ш1 - ш2П) = — 4г ^ о^ 5М2 ша(ш2 + = —— + ——

5М3

ат^з = —— 2а

Здесь т - масса шара, О = Пез угловая скорость подвижного репера.

В первом параграфе второй главы проведена интерпретация основных свойств динамики шара в рамках модели Контенсу-Журавле-ва с точки зрения метода обобщенных диаграмм Смейла.

Во втором параграфе второй главы проведен анализ динамики шара в рамках рассматриваемой модели трения. Отмечено существование инвариантных множеств = 0 и — = 0. Доказано, что за конечное время ¿д шар остановится, причем в момент времени скорость скольжения шара и и его угловая скорость ш обращаются в нуль одновременно.

В третей главе проводится аналитическое исследование некоторых частных режимов движения шара в приближенной постановке (сила и момента трения, действующие на шар в точке контакта шара с опорной плоскостью, берутся с точностью до членов порядка ц2 включительно). В частности, рассмотрено движение шара на инвариантном множестве = Шз = 0. Получен первый интеграл соответствующих уравнений движения. Доказано, что качение шара без скольжения и скольжение шара без качения невозможны. Также показано, что во всех случаях, когда в начальный момент времени и(0)2 + а2«2(0) ^ 0 и и(0) • шг(0) = 0, имеет место неравенство и(£)ш> 0 Ш е (0, ¿д). В заключительном параграфе

третьей главы доказано, что возможны качения шара по плоскости со скольжением и закручиванием, не сопровождающиеся верчением шара вокруг вертикальной оси, а также, что, как и в рамках модели Контенсу-Журавлева, возможны равнозамедленные верчения шара.

Четвертая глава посвящена численному анализу динамики шара на горизонтальной плоскости. Проведен анализ типичных режимов движения шара и подтверждены качественно-аналитические результаты, приведенные во второй и в третьей главах. Численные результаты представлены графически.

На рисунке 1 приведены наиболее типичные результаты численных расчетов: зависимости фазовых переменных от времени (масштаб времени неравномерный). со,

О ^ Щ

К г <Г~5

Численное интегрирование показывает, что время полной оста-

8

новки шара можно разбить на три интервала: = ¿о + ¿е +1|1, где 2и(0) З2аш3(0)1 Л аш2(0) 1

¿д ~ -( --г ~--

7кд 157Гкд е кд ец

На первом интервале времени [0, ¿о] скорость скольжения шара (и) "быстро" убывает до значений порядка е, горизонтальная компонента угловой скорости, перпендикулярная скорости скольжения (ыг) возрастает, а остальные компоненты угловой скорости (и^, а>з) почти не меняются. На втором интервале времени [¿о, ¿о + ¿г] до значений порядка ¡л убывают и ("медленно"), сих и а»з ("быстро"), а шг почти не меняется. На третьем интервале времени [¿Е, + все переменные медленно убывают до нуля.

В Заключении сформулированы основные результаты:

• Доказаны основные свойства двухпараметрической модели трения, использованной для описания взаимодействия шара с опорной плоскостью. Получены точные аналитические выражения для разложений компонент результирующей силы трения и главного момента сил трения с точностью до второго порядка по ¡1 включительно.

• Проведен глобальный анализ динамики однородного шара на плоскости с трением в рамках двухпараметической модели трения: доказано, что шар остановится за конечное время скорость скольжения и угловая скорость шара обратятся в нуль одновременно; качение шара без скольжения и скольжение шара по плоскости без качения невозможны; качения (скольжения) шара, сопровождающиеся закруткой, без скольжения (без качения), невозможны.

• Проведен численный анализ динамики шара: построены типичные графики изменения фазовых переменных с течением времени и типичные траектории центра масс шара. Получена оценка времени полной остановки шара.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ишханян М. В. Динамика однородного шара на плоскости с трением // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ (8-10 октября 2008г). Изд-во МГУ. 2009. G. 99-105.

2. Ишханян М.В., Карапетян A.B. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 3-14.

3. Ишханян М. В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 216-220.

4. Ишханян М.В. Динамика однородного шара на плоскости с трением //Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 г. Изд-во СПбГУ, 2009. С. 38.

5. Ишханян М.В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости// Симбирская молодежная научная школа по аналитической механике, устойчивости и управлению движениями и процессами, Ульяновск, 8-12 июня 2009 г. Изд-во УлГУ, 2009. С. 50.

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд-л. 0,7 Зак.№ 22063 Тираж 70 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Глава 1. Уравнения движения однородного шара на горизонтальной плоскости с трением и их свойства.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Свойства двухпарамстрической модели трения.

1.3. Уравнения движения шара.

Задача о движении твердого тела по неподвижной опорной поверхности является одной из классических задач динамики твердого тела, привлекавшей внимание многих ученых. За последние триста лет в задаче о движении тела по поверхности получено много важных результатов, и интерес к этой задаче в последнее время только усиливается. Эта задача, восходящая к Леонарду Эйлеру, впоследствии стала стимулом для развития аналитических, экспериментальных и численных методов механики. Несмотря на простоту постановки этой задачи построить общие интегралы уравнений движения или получить качественные выводы о динамике тела удалось лишь в частных случаях. Как оказалось, для постановки данной задачи очень важным и непростым моментом является выбор математической модели, описывающей взаимодействие между телом и опорной поверхностью в области контакта. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. В последнем случае чаще всего предполагается, что на тело действует только сила трения, описываемая моделью Кулона. Однако, эта модель пригодна, вообще говоря, только при поступательном движении тела, тогда как при вращательно-поступателыюм движении тело нередко возникает несоответствие между теоретическими (в рамках модели Кулона) и экспериментальными результатами. Впервые на необходимость уточнения закона Кулона обратил внимание Контенсу, предложив модель трения, учитывающую как силу трения, так и момент трения. Впоследствии эта модель была развита в работах В.Ф. Журавлева,А.П. Иванова, A.B. Карапетяна, А.А.Киреенкова и др.

Настоящая диссертация посвящена качественному, аналитическому и численному анализу динамики однородного шара, движущегося по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости, с учетом всех видов трения в рамках модели, предложенной A.B. Карапетяном. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Задача о движении однородного шара по неподвижной поверхности является одной из классических задач теоретической механики. Исследованием этой задачи занимались такие известные механики, как JI. Эйлер [46], Ж. Даламбер [4], Г. Кориолис [30], В.Д. Мак-Миллан [34], А. Резаль [55-57], Э. Раус [39], П. Пэнлеве [38], П. Аппель [1] и многие другие ученые. В предлагаемом обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче (подробное изложение истории ее исследования и обширную библиографию можно найти в книгах [35, 36]). Здесь будут упомянуты лишь те работы, в которых уделено внимание вопросам, близким к рассмотренным в представленной диссертации.

Наиболее принципиальным моментом в постановке данной задачи является выбор модели взаимодействия тела с опорной поверхностью. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [3, 9, 29, 38]. В настоящей работе исследуется динамика однородного шара на неподвижной горизонтальной плоскости с сухим трением.

Простейшей и наиболее известной из моделей сухого трения является классическая модель Кулона, которая достаточно адекватно описывает взаимодействие тела с опорной поверхностью при поступательном движении тела.

Впервые задача о движении шара по неподвижной плоскости с учетом сухого трения скольжения в рамках модели Кулона, по-видимому, была изучена в 1758 году И. А. Эйлером (сын Леонарда Эйлера). В своей работе [45] И. А. Эйлер показал, что за конечное время скольжение шара прекращается, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Этот результат давно стал классическим и описан во многих учебниках по теоретической механике.

Дальнейшее развитие задача о движении однородного шара по неподвижной плоскости получила в трудах Г. Кориолиса [30], А. Резаля [55-57], Э. Рауса [39], П. Пэнлеве [38], П. Аппеля [1, 44] и др.

В этих работах также предполагалось, что взаимодейтсвие шара с опорной поверхностью описывается модель Кулона, что приводило к тому, что вертикальная составляющая угловой скорости шара при движении шара оказывалась постоянной величиной, и вращение шара вокруг вертикальной оси не влияло на траекторию движения центра масс шара.

Таким образом, использование модели Кулона для описания поступательно-вращательного движения тела приводит к несоответствию между теоретическими и экспериментальными результатами.

Исходя из естественного предположения о том, что для реальных тел точечных контактов не бывает, Контенсу [29], по-видимому, впервые обратил внимание на необходимость уточнения закона Кулона. На основе теории контактных напряжений Герца [32] и локального закона Кулона (для элементарной площадки внутри области контакта) Контенсу доказал зависимость результирующей силы сухого трения от отношения скорости скольжения к скорости вращения в предположении, что обе соприкасающиеся поверхности сферические. Зависимости, полученные Контенсу, были выражены в неэлемеитарных функциях. В работе [29] приведены результаты численного анализа полученных зависимостей для результирующей силы сухого трения. Как показывают численные расчеты при движении тела по плоскости в режиме скольжения и достаточно быстрого верчения сила трения приблизительно пропорциональна скорости скольжения, т.е. имеет место вязкое трение. В режиме чистого скольжения и при малых угловых скоростях верчения следует рассматривать сухое трение.

Ю.И. Неймарк и H.A. Фуфаев в [36] рассмотрели движение по инерции однородного тяжелого шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения. При решении поставленной задачи считалось, что контакт шара с опорной плоскостью происходит по круговой площадке контакта, давление на площадку контакта распределено равномерно. Для получения условий на силу трения и момент сил трения, были выполнены вычисления, аналогичные приведенным в книге [33]. Полученные выражения для результирующей сил трения и момента сил трения аналогичны полученным в [29]. Проведенный качественный анализ показал, что при любых начальных условиях, при которых скорость проскальзывания и угловая скорость верчения шара отличны от нуля, шар движется так, что верчение и скольжение, уменьшаясь со временем, всегда прекращаются одновременно. После достижения этого момента времени шар будет катиться без проскальзывания.

Принципиально новое развитие теории Контенсу было дано в 1998 году в работе В.Ф. Журавлева [5]. В этой работе были получены точные аналитические выражения для главного вектора силы трения и момента сил трения в зависимости от отношения скорости скольжения к скорости вращения. Эти выражения оказались достаточно громоздкими, поэтому для решения конкретных задач о качении твердых тел по шероховатым поверхностям в [5, 48] были построены дробно-линейные аппроксимации Паде первого порядка точных выражений для главного вектора и главного момента касательных сил трения. Дальнейшее развитие теория Контенсу-Журавлева получила в работах В.Ф. Журавлева [6, 9] и A.A. Киреенкова [25-28]. В частности, в работах [6, 26] была разработана методика прямого построения аппроксимаций Паде, не требующая непосредственного вычисления соответствующих интегралов.

В.Ф. Журавлев также рассмотрел задачу о движении однородного шара по горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения и показал, что за одно и то же конечное время прекращаются и скольжение и верчение шара, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой. Отметим, что данный вывод был получен В.Ф. Журавлевым как с помощью аппроксимации Паде для сил и момента сухого трения [5, 48], так и с использованием их точных выражений [9].

В 2008 году A.B. Карапетяном [21, 23] была предложена новая модель трения, обобщающая модель трения Контенсу-Журавлева. При выводе этой модели трения предполагается, что пятно контакта между телом и опорной поверхностью представляет собой не плоский круг (как в модели Контенсу-Журавлева), а сферический сегмент. На каждую элементарную площадку этого сегмента, с вершиной в произвольной точке Р области контакта, действует сила сухого трения Кулона, направленная в сторону, противоположную скорости точки Р и пропорциональная давлению, оказываемому этой площадкой на опорную плоскость. После интегрирования всех элементарных сил и их моментов по пятну контакта, получаем выражение для суммарной силы трения и суммарного момента сил трения. Эта модель трения описывает все виды трения - качения, скольжения и верчения. Предложенная в

21, 23] модель трения зависит от двух параметров и переходит в модель Контенсу-Журавлева при нулевом значении одного параметра, а в модель Кулона - при нулевом значении другого параметра.

В 2009 году А.П. Иванов [13] рассмотрел задачу об определении сил сухого трения при движении твердого тела с плоским основанием по шероховатой плоскости. Как отмечено в [13], выражение для силы трения существенно зависят от нормальной нагрузки, поэтому решение этой задачи напрямую связано с построением модели контактных напряжений. Условия контакта накладывают на кинематические характеристики три независимых ограничения, поэтому модель должна включать три свободных параметра, определяемых в каждый момент времени из этих условий. В частности, в случае трехточечного контакта тела с опорной поверхностью, в качестве этих параметров можно взять нормальные реакции в точках контакта. Однако, при большем числе точек контакта возникает неопределенность, для устранения которой требуется принятие некоторых дополнительных предположений. В [13] показано, что динамически согласованные контактные модели обладают некоторыми новыми качественными свойствами по сравнению с квазистатическими моделями [34]. В частности, возможна зависимость главного вектора и главного момента сил трения от направления скольжения или верчения тела, а также от величины угловой скорости.

В современных зарубежных исследованиях динамики бильярдного шара на горизонтальной плоскости [54, 58, 59] применяются, в основном, численные методы ,а для подтверждения полученных результатов проводят эксперименты с использованием современных высокоскоростных камер.

В диссертации рассматривается задача о движении однородного шара по неподвижной горизонтальной плоскости с трением в рамках двухпараметрической модели трения, предложенной A.B. Карапетяном. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Таким образом, в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• Доказаны основные свойства двухпараметрической модели трения, использованной для описания взаимодействия шара с опорной плоскостью. Получены точные аналитические выражения для разложений компонент результирующей силы трения и главного момента сил трения с точностью до второго порядка малости по ¡1 включительно.

• Проведен глобальный анализ динамики однородного шара на плоскости с трением в рамках двухпараметической модели трения: доказано, что шар остановится за конечное время ¿д; скорость скольжения и угловая скорость шара обратятся в нуль одновременно; качение шара без скольжения и скольжение шара по плоскости без качения невозможны; качения (скольжения) шара, сопровождающиеся закруткой, без скольжения (без качения), невозможны.

• Проведен численный анализ динамики шара: получены типичные графики изменения фазовых переменных с течением времени и типичные траектории центра масс шара. Получена оценка времени полной остановки шара.

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М.: Физматгиз, 1960. 487 с.

2. Болотов Е. А. О движении материальной плоской фигуры, стясненной связями с трением // Матем. сб. 1906. Т. 25 №4 С. 562-708.

3. Борисов А. В., Малмев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное мнтегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика. 2008. Т.4. №3. С. 223-280.

4. Даламбер Ж. Динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 343 с.

5. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.

6. Журавлев В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения// Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 81-88.

7. Журавлев В. Ф., Киреенков А. А. О разложениях Паде в задаче о двумерном Кулоновском трении.// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 3-13.

8. Журавлев В. Ф., Климов. Д. М. О динамике волчка Томсона(тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 6. С. 157-168.

9. Журавлев В. Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости// Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 3-9.

10. Жуковский Н. Е. Условие равновесия твердого тела, опирающегомя на неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой плоскости с трением// Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 1. С. 339-354.

11. Иванов А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. №3. С. 287-302.

12. Иванов А. П. О принципах механики систем с трением // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости. Сборник научных статей, посвященных памяти академика Валентина Витальевича Румянцева. М.: Физматлит, 2009. С. 72-83.

13. Иванов А. П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // ПММ. 2009. №2. С. 189-203.

14. Ишханян М. В. Динамика однородного шара на плоскости с трением // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ, 8-10 октября 2008г. Изд-во МГУ. 2009. С. 99-105.

15. Ишханян М. В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 216-220.

16. Ишханян М. В., Карапетян А. В. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 3-14.

17. Карапетян А. В. Качественное поведение динамики волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т.55. №4. С. 698-701.

18. Карапетян А. В. Первые интегралы, ивариантные множества и бифуркации в диссипативных системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т.2.№ 1. С. 75-80.

19. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

20. Карапетян A.B. Инвариантные множества механических систем //В сб.: "Нелинейная механика". М.:ФИЗМАТЛИТ. 2001. С. 62-88.

21. Карапетян A.B. О трении скольжения, верчения и качения// В сб.: "Экстремальная робототехника". СПб.: Издательство Политехнического университета. 2008. С. 112-115.

22. Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-тон)// Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 33-41.

23. Карапетян А. В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515-519.

24. Киреенков А. А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 60-67.

25. Киреенков А. А. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта// Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 48-53.

26. Киреенков A.A. Связанные модели трения скольжения и качения// ДАН. 2008. Т. 419. № 6. С. 759-762.

27. Киреенков A.A. Связанная модель трения скольжения и качения в динамике тел на шероховатой плоскости.//Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 116-131.

28. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60-77.

29. Кориолис Г. Математическая теория явлений биллиардной игры. М.: Гостехиздат, 1956. 235 с.

30. Косенко И. И., Александров Е. Б. Реализация модели Контенсу-Эрисма-на касательных сил в контактной задаче Греца // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. №4. С. 499-517.

31. Ландау Л. Д., Липшиц Л. М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.

32. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

33. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. 467 с.

34. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 335 с.

35. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.

36. Пуанкаре А. Идеи Герца в механике. // Пуанкаре А. Последние Работы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2001. 208 с.

37. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

38. Раус. Э. Динамика системы твердых тел. Т. 2. М.: Наука, 1983. 544 с.

39. Розенблат Г. М. Динамические системы с трением. Москва; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2005. 155 с.

40. Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1981. № 2. С. 76-78.

41. Смейл С. Топология и механика // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. №2. С. 77-120.

42. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости.// Чаплыгин С. А. Исследования по динамике неголономных систем.М.: Гостехиздат, 1949. 112 с.

43. Appell P. Sur le mouvement d'une bille de billard avec frottement de roulement // Amer. J. Math. 1911. Ser. 6, T. 7. P. 85-96.

44. Euler J. A. Recherches plus exactec sur l'effet des moulins à vent // Mem. Acad. Roy. Sei. Berlin. 1758. Bd 12. S. 165-234.

45. Euler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexililium, methods nova et facilis// Commentarii Academiae scientiarum imperiales Petropolitanae. 1734-1735.-1740. T. 7. P. 99-122.

46. Jellet J. H. A Treatise on The Theory of Friction. Dublin: Hodges, Foster and Co.,London: Macmillan and Co., 1872.

47. Zhuravlev V. Sur le modèle du frottement sec das les problèmes de roulement des solides // Thème 4 Simulation et optimisation de systèmes complexes Project SOSSO. Rapport de recherche №3586 - Décembre 1998 - 10 pages.

48. Kireenkov A. A. Rolling with sliding of heavy rigid ball on the rubbed plane // 9th Conference on dynamical systems: theory and applications, December 17-20, Poland, 2007. P. 211-218.

49. Kireenkov A. A. Connected models of friction rolling, sliding and whirling // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008, CD-Rom

50. Kireenkov A. A. About dynamics of heavy ball om the rubbed plane // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008, CD-Rom

51. Leine R. I., Gloker Ch. A set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction // European Journal of Mechanics A/Solids 22 (2003). P. 193-216.

52. Le S aux C., Leine R. I., Gloker Ch. Dynamics of s Rolling Disk in the Presence of Dry Friction // J. Nonlinear Sci. Vol. 15 (2005). pp. 27-61.

53. Mathauan S., Jackson M. R., Parkin R. M. Application of high-speed imaging to determine the dynamics of billiards// American Journal of Physics September 2009 - Volume 77, Issue 9, pp. 788-794

54. Resal H. Sur un point de la théorie mathématique des effets du jeu de billard // Coniptes Reudus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. 1882. T. 94. P. 1548—1551.

55. Resal H. Du choc de deux billes posées sur un tapis de billard // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. 1882. T. 95. R 655-659.

56. Resal H. Commentaire à la théorie mathémaque du jeu de billard // J des mathématiques pures et appliquées. 1883. T. 9. P. 65—98.

57. Shimamura S., Suga K., Ezawa Y., Aoki S. Effects of Material Properties of Cue on Impact Behavior in Follow and Draw Shots in Billiards // Journal of International Sports Engineering Association, Vol. 10 (2008), pp. 221-228.

58. Shimamura S., Suga K., Ezawa Y., Aoki S. Effects of Material Properties of Cue on Ball Trajectory in Billiards // Journal of Solid Mechanics and Materials Engeneering, Vol. 3 (2009), No. 7, pp. 978-989.