О бифуркации периодических решений уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

0034Э4529

Лысакова Юлия Валерьевна

О бифуркации периодических решений уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата фпзико-математнческих наук

ВОРОНЕЖ — 2010

?. 5 мдр 20*0

003494529

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета

Научный,руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Евгении Семенович

Ведущая организация: Вологодский, государственный технический университет

Защита состоится 23 марта 2010г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан февраля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ.- мат. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнения с запаздыванием являются важной составляющей теории динамических систем. Они служат для описания большого класса систем управления, моделирования различных процессов в технике, оптике, физике, биологии. Еще в 60-80 годах XX века уравнения с запаздыванием активно изучались такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцср, Ю.А. Дядчснко, A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, М. А. Красносельский, Ю.С. Колосов, А.Д. Мышкнс, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Система дифференциальных уравнений с запаздыванием нейтрального типа имеет вид:

x'(t) = f(t,e,W(e)xt,W(e)x't), (1)

где

/ : Я1 х [0,1] х C{{-h,0],Rm) х C([-ft, 0], Rm) -» Rm, а выражения xt,x't е С{[— ft, 0], Rm) обозначают:

xt(s) = x(t + s), x't(s) = x'(t + s) (s e [-ft, 0]),

оператор W{e), г € [0,1], действует в C([—ft, 0], Rm) по правилу:

[W{e)u}{s) = u(ea) (s e [-ft, 0]).

Таким образом, параметр e характеризует величину запаздывания в уравнении (1). Для данного е G [0,1] величина производной неизвестной функции х в момент времени t зависит от поведения функции х и ее производной на отрезке [t — eh, t]. Для уравнений с параметром одной из важных задач является исследование критических значений параметра, приводящих к качественному изменению характера процесса, например, рождению предельных циклов или периодических решений из состояния равновесия.

В настоящее время наблюдается новый всплеск интересов к вопросам, связанным с зависимостью решеипй от параметра для функцнональпо-дифференциальных уравнений и бифуркацией по параметру (см., например, работы Д. Бартона, М. Ведерманна, Ю.Ф. Долгого, Е.С. Жуковского , Я. Лина, Т. Лузяниной, Д. Руза, Ю.И. Сапронова, Дж. Хейла, К. Эигельборга).

В 70-х годах XX века М.А. Красносельский для нелинейных систем дифференциальных уравнений построил математическую модель рождения периодических режимов одного периода из состояния равновесия, называемую бифуркацией вынужденных колебаний из положения равновесия. Отметим, что М.А. Красносельский рассматривал задачу о рождении периодических решений из состояния равновесия п - мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой непрерывно зависит от параметра. Таким образом, в силу конечномерности системы правая часть будет равномерно непрерывной по параметру. В системе же (1) непрерывность по е не будет равномерной и метод М.А. Красносельского непосредственно не может быть применен для анализа задачи о бифуркации периодических решений уравнения (1). Отмстим также, что операторы, неподвижные точки которых определяют периодические решения уравнения (1), не будут вполне непрерывными в соответствующих функциональных пространствах. Поэтому возникает вопрос, возможно ли обосновать наличие бифуркации периодических решений для уравнения (1) и дать оценку нормы бифуркационного решения.

Таким образом, задача о существовании бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, когда линеаризованная система имеет единственный с точностью до знака простой единичный мультипликатор, до сих пор является актуальной и интересной.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование возможности существования бифуркаций из нулевого решения, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений с малым запаздыванием, теории вращения векторных полей. Методологическую основу исследования составляют методы теории уплотняющих операторов и теории возмущений для линейных уплотняющих операторов.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Получены условия существования бифуркации периодических рс-

шсний из состояния равновесия, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального тппа с малым запаздыванием.

2. Доказан аналог классической теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов в случае лишь сильной непрерывности таких операторов по параметру.

3. Сформулированы и доказаны условия существования бифуркации из непрерывной ветвн решений для уравнения с уплотняющими операторами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа посит теоретический характер. Полученные результаты представляют реальный интерес для теории колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, а также для теории уплотняющих операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на "Пятой Международной конференции по дифферециалышм п функционально-дифференциальным уравнениям "(Москва, 2008 г.), на "Второй Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я. Б. Лопатинского" (Донецк, Украина, 2008г.), на семинаре кафедры нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ (Воронеж, 2009г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. Из совместных публикаций [1], [4] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 67 источников. Общий объем диссертации — 112 страниц.

Содержание работы

Первая глава состоит из 5 параграфов. В первом параграфе изложены известные результаты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов и теории вращения, которые адаптированы к диссертационному исследованию.

Во втором, третьем и четвертом параграфах сформулированы и доказаны результаты, полученные лично автором. Во втором параграфе

найдено разложение для собственных векторов и собственных значений линейного уплотняющего оператора. Выписано разложение для случая, когда собственное значение линейного уплотняющего оператора является простым.

В третьем параграфе абстрактное операторное уравнение

u = F(e,u), (2)

где оператор F : Н х U —> Е уплотняет по совокупности переменных е и и относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1, исследуется на наличие бифуркации из нулевого решения. Здесь и далее Е - банахово пространство, Н = [0,1], U - некоторое открытое ограниченное множество в Е.

Раскладывая правую часть уравнения (2) в ряд Тейлора в окрестности и = 0 и налагая дополнительные условия, что все производные оператора F{e, и) до к — 1 порядка по второй переменной, вычисленные в нуле, равны нулю, уравнение (2) сводится к эквивалентному уравнению

u = G(e)u + C(e,ti) + Z?(e,u), (3)

где оператор G(e) сильно непрерывен по е и линеен по и, С(е,и) -однородный по и оператор порядка к, то есть С{е,\и) = ЛкС(е,и), и и)|| = o(||ti||fc).

Обозначим через ц(е) собственное значение оператора G(s), непрерывно зависящее от е и обращающееся в 1 при е = 0.

Пусть ео - нормированный собственный вектор оператора G(0), соответствующий собственному значению, равному 1, а дд - собственный вектор оператора G*(0), сопряженного оператору G(0), соответствующий собственному значению 1 и нормированный условием

(e0,flb) = l- (4)

Введем обозначение: £о = (С(0, ео),

Основной результат данного параграфа сформулирован в виде теоремы:

Теорема 1. Пусть оператор F(e,u) уплотняет по совокупности переменных е и и относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q <1 и 1 - простое собственное значение оператора G(0).

Тогда для того чтобы е = 0 являлось точкой бифуркации решений уравнения (2), где

F(e, и) = G(e)u + C(s, и) + D(e, и),

необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность £т —» О, для элшентов которой выполнено одно из равенств:

sign{ 1 -/í(em)) = sign^o

или

sign(l - ß(sm)) = (-1)(ш)sign^o.

Если £ = О является точкой бифуркации, то бифуркационное решение ит уравнения (2) удовлетворяет соотношению:

l-ß{em) ~ Humll^T1.

В четвертом параграфе для уравнения

X = Ф(х,е) + еФ(х,е) (5)

проводятся аналогичные исследования существования бифуркации из непрерывной ветви решений, представимой в виде:

хе = х0 + £xi + о(е).

Здесь операторы Ч?:БхН—+ЕиФ:ЕхН—*Е трижды непрерывно дифференцируемы по переменной х. Операторы Ф и Ф удовлетворяют условию:

(А) Оператор Ф уплотняет с константой q < 1 по совокупности переменных х и s относительно меры некомпактности Хаусдорфа, а оператор Ф уплотняет по совокупности переменных х и £ относительно меры некомпактности Хаусдорфа с некоторой константой q\; параметр £ изменяется на таком промежутке [0,£о], что q + £o<?i < 1.

После замены переменных х = xe+z и разложения правой части уравнения (5) в ряд Тейлора в точке z = 0, получаем следующее уравнение:

г = G(e)z + С$(£, z, z) + еС2(£, z) + С£(е, z) + еС§(е, z) + W(£, z),

где G(e) - сильно непрерывный по s линейный оператор, C$(e,z,z) и С2(е, z) - однородные по z операторы второго порядка, z) и С|(£", z)-однородные по z операторы третьего порядка, ||W(e,.z)|| = о(||,г||3).

Операторы G(e)z, C2{e,z), C|(e,z, z), Cy{e,z), C%{e,z) уплотняют по совокупности переменных ей z относительно меры пскомпактностп Хаусдорфа с константой q < 1.

Также предполагается, что собственное значение ц(е) —► 1 при е —» О оператора G(s) имеет следующий вид:

ДОО = 1 + ^"(0 )е2 + о(е2). (6)

Такое представление связано с работой B.C. Луда для дифференциальных уравнений.

Пусть оператор G*{e)z уплотняет по совокупности переменных е и z относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1. Тогда собственные векторы еЕ и де операторов G(e) и G*(s), соответствующие собственному значению представимы в виде:

е£ = e0 + eei +о(е), , .

9s = 9о + egi + о{е),

где во и до введены выше и удовлетворяют соотношению (4).

Для формулировки основного результата потребуются следующие обозначения:

£ = (С2(0,е0),<?о), £ф = (С|(0, ео),до), й = (C$(0,e0,e0),3i). В четвертом параграфе доказана следующая теорема:

Теорема 2. (Обобщенная теорема М.А. Красносельского)

Пусть нелинейный уплотняющий по совокупности переменных е и z относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q<l оператор (7(£)(|е| < öi) допускает представление:

U(s)z = G{e)z + С|(е, г, z) + еС\е, z) + СЦе, z) + eCg(e, z)+ +W(e,z),

где G(s) - непрерывно зависящий от е(|е| < ¿i) линейный оператор, Cq(e,z,z)u C2(e,z) - однородные операторы второго порядка, C|(e,z) и Сф(г, z) - однородные операторы третьего порядка, W(e, z) = о(||.г||3). Предположим, что выполнены следующие условия: 1) 1 - простое собственное значение оператора G(0), которому соответствует нормированный собственный вектор во;

8

2) fi(e) представимо в виде (6) и ц"(0) ф О/

3) да - собственный вектор сопряженного к G(O) оператора G*(0), удовлетворяющий условию (4);

4) (Сф(О, ео, v), до) = О для любых v € Е;

5) числа ф,£о отличны от нуля;

6) оператор G*(e)z уплотняет по совокупности переменных г и z относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1.

Тогда можно указать такие положительные числа го и Sq, что справедливы следующие утверждения: 1°. При s = 0 уравнение

z = U(e)z (9)

не имеет в шаре ||г|| < г о ненулевых решений. 2°. Если > 0, то

(a) уравнение (9) имеет в шаре ||г|| < го по крайней мере два непрерывно зависящих от г ненулевых решения z\{e) и ^(е), если

/(0) е (—оо,^^-); решения удовлетворяют условиям:

sign {zi(s),g0) = sign (z2(e),g0) = -sign (£ + £o), если p"(0) e

sign (zi(e),g0) = -sign {z2{e),go), если //'(0) € (—oo, 0);

(b) уравнение (9) не имеет ненулевых решений в шаре ||z|| < го, если 3°. Если < 0, то

(a) уравнение (9) имеет в шаре ||z|| < г о по крайней мере два непрерывно зависящих от е ненулевых решения zi(e) и z2(t), если

//'(0) € решения удовлетворяют условиям:

sign (zi{e),g0) = sign (z2(e),g0) = sign (£ + £o)> если p"(0) £ (Щ^-, 0);

sign (zi(e),go) = -sign (z2(e),go), если /х"(0) € (0, oo);

(b) уравнение (9) не имеет ненулевых решений в шаре ||z|| < tq, если

Заметим, что если (С|(0, ео, ео),до) Ф 0, то справедлива Теорема 1.

В пятом параграфе приводятся литературные указания.

Вторая глава состоит из 4 параграфов. В первом параграфе изложены вспомогательные сведения из теории уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, описана схема перехода к эквивалентному операторному уравнению, формулируются основные свойства полученного эквивалентного оператора.

Во втором параграфе исследуется случай существования бифуркации периодических решений из состояния равновесия для уравнения (1).

Будем предполагать выполненным следующее условие:

(А\) Функция х(Ь) = 0 является решением уравнения (1) при любом е, то есть

/(¿,£,0,0) = 0. (10)

Если £ = 0, то уравнение (1) будет иметь вид

x'{t) = $>{t,x{t),x'{t)), (11)

где Ф : R1 х Rm х Rm —> Rm - оператор, определяемый равенством

${t,u,v) = f{t,Q,Ihu,Ihv).

Здесь Ih - канонический оператор вложения Rm в C([—h, 0], Rm), то есть Ih - оператор, действующий из Rm в С{[—h,0},Rm) по правилу:

(Ди)(а) = и для всех и е Rm.

(А2) Оператор / является Т-периодическим по первой переменной, k-раз непрерывно дифференцируемым по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица с константой I < 1 по четвертой переменной.

Из условия (Лг) следует, что оператор f(t,e, -, •) можно разложить в ряд Тейлора в точке (£, е, 0,0). При этом предположим, что все дифференциалы 2,3,..., (к — 1)-порядка равны нулю, то есть

f{t,£, и, V) = a{t,e)u + b{t,e)v + C(t, £,и, v) + D(t,e, u,v), (12)

где

/, N _ dfjt.e.u.v) I °\1'£) ~ -Ш-^=0^=0)

оператор С, действующий из R1 х [0,1] х С([-Л, 0], Ят) х С{[-1г,0], Rm) в Rm, является однородным по совокупности третьей и четвертой переменных порядка к , то есть С(1,е,\и,\у) = ХкС(1,£,и,и), а оператор О имеет больший, чем к порядок малости по совокупности третьей и четвертой переменных, то есть

|| Ю(г,е,и,у)

М + М

0 при и, v —> 0

равномерно относительно t, е.

По теореме о неявной функции уравнение (11) эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению в нормальной форме:

x'(t) = v(t,x(t)), (14)

где оператор ¡р действует из R1 х Rm в К71. Из равенства (10) следует, что

¥>(*,0) = 0. (15)

Таким образом, x(t) = 0 является решением уравнения (14). Оператор ц> допускает в окрестности точки,(£,0) аналогичное (12) представление:

<p(t,x) = [I-b(t)]-1a(t)x + Cip(t,x) + D4,(t,x), (16)

где Cip : R1 х Rrn —* Rm - однородный по второй переменной оператор порядка к и ||D9(i,x)|| = o(||z||fc). Здесь a(t) = a(t,0)lh, b(t) = b(t,0)Ih. Будем предполагать далее, что (А$) 1 - простой мультипликатор системы

x'(t) = [I-b(t)]-1a(t)x(t). (17)

Обозначим через а:о(t) ненулевое Т-перподическое решение системы (17) такое, что ||:го(0)|| = 1. Далее будем считать, что xq дважды непрерывно дифференцируемо и выполнено условие: (А\) Система

x'(t) = a(t, e)W{e)xt + b(t, e)W(e)x't (18)

не имеет ненулевых Т-периодических решений для любых е ф- 0.

Пусть во - нормированный собственный вектор оператора сдвига У(Т, 0) по траекториям системы (17), соответствующий собственному значению, равному 1, который является начальным условием Т-периоди-ческого решения хосистемы (17), то есть х0(0) = ед-

Пусть до - собственный вектор оператора У*(Т, 0), сопряженного к оператору У(Т, 0), соответствующий собственному значению 1 и нормированный условием:

(ео,Д)) = 1. (19)

Введем следующее обозначение: т

6 = I {У-\т,Ъ)С^т,х0{т)),д0)йт. о

Основной результат второго параграфа формулируется в виде теоремы:

Теорема 3. Пусть выполнены условия (Л1) — (Л4).

Тогда для того чтобы е = 0 являлось точкой бифуркации решений уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность ет —> 0, для элементов которой выполнено одно из равенств:

з1дп{ 1 — //т) = вгдп^

или

81дп{ 1 - //-) = (~1){к+1)1пдп^,

где /л£т - простое собственное значение оператора и(Т,е) сдвига по траекториям уравнения (18), сходящееся к 1 при ет —> 0. Если е = 0 является точкой бифуркации, то бифуркационное решение х£т уравнения (1) удовлетворяет соотношению:

Также в этом параграфе выписан в явном виде оператор, сопряженный к линейному оператору, полученному в результате сведения исходного дифференциального уравнения к эквивалентному операторному уравнению, н найден его собственный вектор, который соответствует простому собственному значению, равному 1.

В третьем параграфе дифференциальное уравнение с дискретным запаздыванием

x'(t) = f(t, е, x(t - eh),x'(t - eh)), (20)

где

/ : R1 x [0,1 ]хйгахГ-> Rm,

a h > 0, исследуется на наличие бифуркации из непрерывной ветви решений, имеющей специальный вид:

x£(t) = x 0(i) + exi (i) + o(e). (21)

Предполагается, что выполнены следующие условия: (Ai) Т-периодическая, непрерывно-дифференцируемая функция x£(t) является решением уравнения (20), где x£(t) представимо в виде (21).

(А2) Оператор f является Т-периодическим по первой переменной, трижды непрерывно дифференцируемым по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица с константой I < 1 по четвертой переменной.

С помощью замены переменных x = х£ + z уравнение (20) сводится к эквивалентному дифференциальному уравнению:

z'{t) = /(е, t, z{t - eh) + x£{t - eh), z'(t - eh) + x'£{t - eh))--f{e,t,x£(t-eh),x'£(t-eh)). [

Точка г = 0 является решением уравнения (22) при любом е. Если е = 0, то уравнение (22) будет иметь вид:

z'(t)=f(0,t,z(t)+x0(t),z'(t)+x'0(t))-f(0,t,x0(t),x'0(t)). (23)

Из условия (А2) следует, что правую часть уравнения (22) можно разложить в ряд Тейлора до третьего порядка в точке z = 0.

Тогда (22) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению:

z'(t) = a(t, e)z(t - eh) + b(t, e)z'(t - eh)+ +C|(e, z(t - eh), z'(t - eh)) + eC2{e, t, z{t - eh),z'(t - eh))+ +Cl{e,t,z(t-eh),z'(t-eh))+ [

+еСф(е, t, z(t - eh), z'(t - eh)) + D(e, t, z(t - eh), z'(t - eh)),

где

/. \ _ df{e.t,u.v) I

a\t,e) — qu \u=Xe(t-£h),V=X'c(t-£h)l (Г)Г\

, /, ч _ Of(e.t.v.v) I

0(1, e) — -^-\v.=x€{t-eh),v=x'e(t~eh)-

Операторы С| и С2 являются однородными второго порядка по совокупности переменных г, г', операторы С| и С| - однородными третьего порядка но совокупности г, г', авД входят члены более высокого порядка малости но третьей и четвертой переменным.

Предположим, что

(Лз) 1 - простой мультипликатор системы:

г\£) = [I - Ъ(1,0)]"1^, 0)г{1). (26)

(А4) Близкие к 1 мультипликаторы системы

г'(р) = а(г, ф(< - еК) + &(£, ф'(£ - еН) (27)

имеют вид (6), где £¿"(0) 0.

Пусть ео - нормированный собственный вектор оператора сдвига У(Т) по траекториям системы (26), соответствующий собственному значению, равному 1, который является начальным условием Т-периодического решения ¿о(¿) системы (26), то есть го(0) = ео-

Для формулировки основного результата потребуются следующие обозначения:

{ = /(С2(т,г0(т)),(1-Ь^,0)Г1у(^т, о

= /(С3 (г, 2о(т)), (I - 6*(г, 0))-12 о

о

где у{{) - решение сопряженной к (26) системы, д\(Ь) является решением системы:

д[Ц) = (1- &•(«, 0))-1(-а*(«, 0) + (ЬШ 0))91(1)+

+(/ - Ь*(*,0))-1(—0)7'(0 - На*)[(1, о)7(0-0)7(«) + /»(*>*)! («, 0)У(«) + 0)7"(0+ +Л(Ь%МЬ(*) + (Ь%7(0 + (МЬ*)'хМ)+

+(Ь*)2(«,0))У(0,

а7(4) = (7-6Ч4,0)Г12/(4).

Теорема 4. Пусть выполнены условия (Л1) — (А4) и /(5/33(0, t, x0(t),x'0(t))z0(tHt) + Я4( 0, t, 10(f), x,0(i))Zb(i)i/(i)+ +1/44(0, (I - b*(t, 0))_1y(i))di - 0

d/иг любого и € Ст- Предположим также, что числа отличны

от нуля.

Тогда можно указать такие положительные числа го и Sq, что справедливы следующие утверждения:

1°. При е = 0 уравнение (22) не имеет в шаре ||л|| < го ненулевых решений.

2°. Если > 0, то

(a) уравнение (22) имеет в шаре ||z|| < г0 по крайней мере два непрерывно зависящих от е ненулевых решения zf uz§, если ¡л"(О) € (—оо, ^^ )>' решения удовлетворяют условиям:

sign]zf{t)(I -b\t,0))-'y{t)dt = signfz2(t)(I— b*(t,Q))~ly(t)dt =

о 0

= -sign (£ + $)>

есди/х"(0)е(0,^);

T T

sign f zf(t)(I -b*{t,$))~ly{t)dt = -sign f z%(t)(I - VfaO^yitfdt, о 0

если fi"(0) G (—oo,0);

(b) уравнение (22) не имеет ненулевых решений в шаре ||z|| < если

^»(0) G (М!,оо). 3°. Если £ф < 0, то

(а) уравнение (22) имеет в шаре ЦгЦ < го по крайней мере два непрерывно зависящих от £ ненулевых решения zf и zf, если £ оо); решения удовлетворяют условиям:

т т

sign J zf(t)(I - b*(t, 0)Yly{t)dt = sign f 4(t)(I - b*(t, 0)yly(t)dt = о 0

если„'Ще(Щ^-,0);

T T

sign J ¿l(t)(I-b*(t,0))-1y(t)dt = -sign J ze2{t)(I - 6*(i,0))_1i/(i)di,

если ц"(0) 6 (0,оо);

(Ь) уравнение (22) не имеет ненулевых решений в шаре ЦгЦ < го, если /,"(0)6 (-оо,^).

В четвертом параграфе приведены литературные указания.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Лысакова Ю.В. О бифуркации периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием / М.И. Каменский, Ю.В. Лысакова, П. Нистри // Автоматика и телемеханика. - 2008. - №12 . - С. 41-46.

[2] Лысакова Ю.В. К Теореме М.А. Красносельского о бифуркации / Ю.В. Лысакова // Вести. ВГУ. Сер. Физика. Математика. - 2008. - № 2. -С. 129-132.

[3] Лысакова Ю.В. Обобщение теоремы М.А. Красносельского о бифуркации в бесконечномерном случае / Ю.В. Лысакова // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. - 2009. - № 1. - С. 138-140.

[4] Lysakova Y.V. On Bifurcation of Periodic Solutions for Functional Differential Equations of Neutral Type with Small Delay / M.I. Kamenskii, Y.V. Lysakova, P. Nistri // The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations : abstr., Moscow, Aug. 17-24, 2008. - Moscow, 2008 - P. 33.

[5] Lysakova Y.V. To the M.A. Krasnosel'skii Bifurcation Theorem / Y.V. Lysakova // Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. Lopatinskii: abstr., Donetsk, Ukraine, Nov. 11-14, 2008. - Donetsk, 2008. - P. 19-20.

Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано в печать 17.02.10. Формат 60*84 '/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 212

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Абстрактные теоремы о бифуркации

1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер не-компактности и уплотняющих операторов и теории вращения.

1.2 Теорема о разложении собственных значений и собственных векторов уплотняющего оператора в линейном случае.

1.3 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов.

1.3.1 Постановка задачи.

1.3.2 Необходимые условия бифуркации.

1.3.3 Достаточные условия бифуркации.

1.4 Бифуркация из непрерывной ветви решений.

1.4.1 Постановка задачи.

1.4.2 Обобщенная теорема М.А. Красносельского.

1.5 Литературные указания.

2 Бифуркация периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием

2.1 Вспомогательные результаты из теории уравнений нейтрального типа.

2.2 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации периодических решений из состояния равновесия для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Вычисление оператора

2.2.3 Основные результаты

2.3 Бифуркация из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Вычисление оператора G*.

2.3.3 Основной результат

2.4 Литературные указания.

Актуальность темы. Уравнения с запаздыванием являются важной составляющей теории динамических систем. Они служат для описания большого класса систем управления, для моделирования различных процессов в технике, оптике, физике, биологии. Еще в 60-80 годах XX века уравнения с запаздыванием активно изучались такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядченко, A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, М. А. Красносельский, Ю.С. Колесов, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Система дифференциальных уравнений с запаздыванием нейтрального типа, следуя терминологии из [32], имеет вид: x'(t) = f(t,e,W(e)xuW(e)x't), (1) где : М1 х [0,1] х C([-h, 0},Rm) х C([-h, 0],Rm) -> Rm, а выражения xt,x't Е C([—h, 0], Rm) определены следующим образом: xt(s) = x(t + 5), x't{s) = x'(t + s), где s G [—h, 0]. Оператор W(e) действует в пространстве C([—h, 0], Rm) по правилу:

W(£)u](s) = u(es), где £ e [0, l],s € [-Mb

Таким образом, e характеризует величину запаздывания в уравнении (1). Для данного е G [0,1] величина производной неизвестной функции х в момент времени t зависит от поведения функции ж и ее производной на отрезке [t — eh, t]. Для уравнений с параметром одной из важных задач является исследование критических значений параметра, приводящих к качественному изменению характера процесса, например, рождению предельных циклов или периодических решений из состояния равновесия.

Различные виды бифуркаций являлись одними из важных ступеней исследования в 60-80 годах XX века. В работах [23]-[27], [48], [49], [56], [57], [58], [60] изучается не только возможность возникновения бифуркаций, но и устойчивость бифуркационных решений, а также в некоторых случаях приводится оценка периода для бифуркационного периодического решения.

В настоящее время наблюдается новый всплеск интересов к вопросам, связанным с зависимостью решений от параметра для функционально-дифференциальных уравнений и бифуркацией по параметру (см., например, работы [10], [11], [12], [13], [41], [42], [44], [45], [47], [48], [50], [52], [53], [54], [55], [59], [61]).

В 70-х годах XX века М.А. Красносельский для нелинейных систем дифференциальных уравнений построил математическую модель рождения периодических режимов одного периода из состояния равновесия, называемую бифуркацией вынужденных колебаний из положения равновесия. (см, например, [29]). Отметим, что М.А. Красносельский рассматривал задачу о рождении периодических решений из состояния равновесия п - мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой непрерывно зависит от параметра. Таким образом, в силу конечномерности системы правая часть будет равномерно непрерывной по параметру. В системе же (1) непрерывность по е не будет равномерной и метод М.А. Красносельского непосредственно не может быть применен для анализа задачи о бифуркации периодических решений уравнения (1). Отметим также, что операторы, неподвижные точки которых определяют периодические решения уравнения (1), не будут вполне непрерывными в соответствующих функциональных пространствах. Поэтому возникает вопрос, возможно ли обосновать наличие бифуркации периодических решений для уравнения (1) и дать оценку нормы бифуркационного решения.

Таким образом, задача о существовании бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, когда линеаризованная система имеет единственный с точностью до знака простой единичный мультипликатор, до сих нор является актуальной и интересной.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование возможности существования бифуркаций из нулевого решения, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории дифференциальных уравнений с малым запаздыванием, теории вращения векторных полей. Методологическую основу исследования составляют методы теории уплотняющих операторов и теории возмущений для линейных уплотняющих операторов.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Получены условия существования бифуркации периодических решений из состояния равновесия, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2. Доказан аналог классической теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов в случае лишь сильной непрерывности таких операторов по параметру.

3. Сформулированы и доказаны условия существования бифуркации из непрерывной ветви решений для уравнения с уплотняющими операторами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют реальный интерес для теории колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, а также для теории уплотняющих операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на "Пятой Международной конференции по дифферециальным и функционально-дифференциальным уравнениям "(Москва, 2008 г.), на "Второй Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я. Б. Лопатинского"(Донецк, Украина, 2008г.), на семинаре кафедры нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ (г. Воронеж, 2009г.).

Публикации. Основные результаты были опубликованы в 5 работах [63]-[67]. Из совместных публикаций [63], [66] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [63] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 67 источников. Общий объем диссертации — 112 страниц.

1. Ахмеров P.P. Принцип усреднения и устойчивость периодических решений уравнений нейтрального типа. / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Тр. НИИ математики / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1974. - Вып. 15. - С. 9-13.

2. Ахмеров P.P. К вопросу об устойчивости состояния равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым отклонением аргумента / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Успехи мат. наук. 1975. - Т.ЗО, №2. - С.205-206.

3. Ахмеров P.P. Периодические решения систем автономных функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, B.C. Козякин, А.В. Соболев // Дифференц. уравнения. 1974. - Т.10, №11.- С. 1923-1931.

4. Борисович Ю.Г. К топологической теории уплотняющих операторов / Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов // Докл. АН СССР. 1968. - Т.183, №1. - С. 18-20.

5. Борисович Ю.Г. К топологической теории компактно сужаемых отображений / Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов // Тр. семинара по функциональному анализу / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1969. - Вып. 12.- С. 43-68.

6. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений / Г.М. Вайникко. Тарту : Изд-во Тартусского гос. ун-та, 1970. - 204 с.

7. Вайникко Г.М. О вращении уплотняющих векторных полей / Г.М. Вайникко , Б.Н. Садовский //В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж : Изд-во Воронежского гос. ун-та, 1968. - Вып.2. - С. 84-88.

8. Гольцер Я.И. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с запаздыванием в банаховом пространстве / Я.И. Гольцер, A.M. Зверкин // Дифференц. уравнения. 1976. - Т.12, т. - С. 1404-1409.

9. Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М. : ИЛ, 1962. - Т.1. - 895с.

10. Долгий Ю.Ф. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием / Ю.Ф. Долгий, С. Н. Нидченко // Сибирский математический журнал. 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1288-1301.

11. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодического решения нелинейного диф- ференциального уравнения с запаздыванием / Ю. Ф. Долгий, С. Г. Николаев // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, № 5. - С. 592-600.

12. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнения Вольтерра / Е.С. Жуковский // Матем. сборник. / Тамбовский гос. ун-т им. Г.Р. Державина. Тамбов, 2006. - Вып. 197. №10 -С. 33-56.

13. Жуковский Е.С. Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения : автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 / Е.С. Жуковский. Екатеринбург, 2006. - 32 с.

14. Каменский Г.А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа / Г.А. Каменский. // Мат. сб. 1961. - Т.55, №4. - С.363-378.

15. Каменский М.И. Вычисление индекса изолированного решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа / Каменский М.И. // Сборник трудов аспирантов / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1973. - Вып. 1. - С. 6-12.

16. Каменский М.И. Об операторе сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа / М.И. Каменский // Сборник работ аспирантов по теории функций и дифференциальным уравнениям / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1974. - С. 19-22.

17. Каменский М.И. Меры некомпактности и теория возмущений линейных операторов / М.И. Каменский // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1977. - №430. - С.112-122.

18. Каменский М.И. Оператор сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа, зависящим от параметра / М.И. Каменский // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1978. - №448. - С.107-117.

19. Каменский М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве / М.И. Каменский // Доклады академии наук. -1997. Т. 535, № 1. - С.13-16.

20. Каменский М.И. Первая и вторая теоремы Н.Н. Боголюбова -Н.М. Крылова в принципе усреднения / М.И. Каменский // Учебно-методические материалы. Воронеж : ВорГу, 1998. - 15 с.

21. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / А. Картан. М. : Мир, 1971. - 392 с.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М. : Мир, 1972. - 740 с.

23. Кащенко С. А. Периодические решения системы нелинейных уравнений с запаздываниями, моделирующих задачу хищник-жертва / С.А. Кащенко // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981.

24. Кащенко С.А. Исследование сложных колебаний систем запаздывания методом большого параметра / С.А. Кащенко // Тезисы докл. Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем. Горький, 1987. - Ч. 1.

25. Кащенко С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40, № 3. - С. 567-572.

26. Кащенко С. А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // ЖВМ и МФ. -2000. Т. 40, № 5. - С. 693-702.

27. Колесов Ю.С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швитра. Вильнюс : Мокслас, 1979 . — 145 с.

28. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М. : Наука, 1975. - 512 с.

29. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. - 332 с.

30. Красносельский М.А. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.А. Красносельский, С.Г. Крейн // Тр. семинара по функциональному анализу / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1956. - Вып. 2. - С. 2-23.

31. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / JI.A. Лю-стерпик. М. : Наука, 1965. - 520 с.

32. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров и др.]. Новосибирск : Наука, 1986. - 265 с.

33. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. М. : Наука, 1972. - 352 с.

34. Родкина А.Е. О продолжимости единственности и непрерывной зависимости от параметра решений уравнений нейтрального типа / А.Е. Родкина // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, №2. - С. 268-279.

35. Родкина А.Е. Теорема о неявной функции и разрешимость уравнений нейтрального типа / А.Е. Родкина // Дифференц. уравнения. -1983. Т.19, №6. - С. 1632-1636.

36. Родкина А.Е. О разрешимости уравнений нейтрального типа в различных функциональных пространствах / А.Е. Родкина // Укр. мат. журн. 1983. - Т.35, №1. - С. 64-69.

37. Родкина А.Е. О дифференцировании оператора сдвига по траекториям уравнения нейтрального типа / А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский // Тр. математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1974. - Вып. 12. - С. 31-37.

38. Рудин У. Основы математического анализа / У. Рудин. СПб. : Лань, 2002. - 319 с.

39. Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах / Б.Н. Садовский //В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1968. - Вып. 2. - С. 89-119.

40. Сапронов Ю.И. К гомотопической классификации уплотняющих отображений / Ю.И. Сапронов // Тр. математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1972. - Вып. 6. - С. 78-80.

41. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. 1991. - Т. 49, вып. 1. - С. 94-103.

42. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение схем конечномерной редукции в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Матем. заметки. 2000. - Т. 67, вып. 5. - С. 745-754.

43. Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. М.: Наука, 1971. - 296 с.

44. Barton D.A.W. Homoclinic bifurcations in a neutral delay model of a transmission line oscillator / D.A.W. Barton, B. Krauskopf, R.E. Wilson // Nonlinearity. 2007. - V. 20, №4. - P. 809-829.

45. Barton D.A.W. Collocation schemes for periodic solutions of neutral delay differential equations / D.A.W. Barton, B. Krauskopf, R.E. Wilson // J. Difference Equ. Appl. 2006. - V. 12, № 11. - P. 10871101.

46. Engelborghs K. Bifurcation analysis of periodic solutions of neutral functional differential equations: a case study / K. Engelborghs, D. Rooseand Т. Luzyanina // International Journal of Bifurcation and Chaos. -1998. V.8. - P. 1889-1905.

47. Engelborghs K. Bifurcation analysis of periodic solutions of neutral functional-differential equations: a case study / K. Engelborghs, D. Roose, T. Luzyanina // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 1998. - V. 8, № 10. - P. 1889-1905.

48. Hale J.K. Hopf bifurcation for functional equations / J.K. Hale, J.C.F. de Oliveira // J. Math. Anal. Appl. 1980. - V. 74. - P.41-59.

49. Kaplan J. L. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations / J. L. Kaplan, J. A. Yorke // J. Math. Anal. Appl. 1974. - V. 48, № 2. - P. 317-324.

50. Lin Y. Bifurcation of periodic solution in a three-unit neural network with delay / Y. Lin, R. Lemmert, P. Volkmann // ActaMath. Appl. Sinica (English Ser.). 2001. - V.17, № 3. - P. 375-381.

51. Loud W.S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system/ W.S. Loud. Annals of Mathematics. - 1959. - Vol.70 N.3 - P. 490-529.

52. Luzyanina T. Periodic solutions of differential algebraic equations with time delays: computation and stability analysis / T. Luzyanina, D. Roose // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2006. - V. 16, № 1. -P. 67-84.

53. Luzyanina T. Computing Floquet multipliers for functional differential equations / T. Luzyanina, K. Engelborghs // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2002. - V. 12, № 12. - P. 2977-2989.

54. Luzyanina T. Numerical bifurcation analysis of differential equations with state-dependent delay / T. Luzyanina, K. Engelborghs // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2001. - V.ll, № 3. - P. 737-753.

55. Luzyanina Т. Computation, continuation and bifurcation analysis of periodic solutions of delay differential equations / T. Luzyanina, K. Engelborghs, K. Lust, D. Roose // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 1997. - V. 7, № 11. - P. 2547-2560.

56. Marsclen J. Hopf Bifurcation and its Applications / J. Marsden, M. McCracken. Springer, New York, 1982. - 410 p.57. do Oliveira J.C.F. Hopf bifurcation for functional differential / J.C.F. de Oliveira // Nonlin. Anal. 1980. - V.4. - P. 217-229.

57. Petrov D.I. Bifurcation values of the parameters in a problem on forced oscillations in control systems with delays / D.I. Petrov // Z. Anal. Anwendungen. 1988. - V. 7, № 2. - P. 141-148.

58. Roose D. Continuation and bifurcation analysis of delay differential equations / D. Roose , R. Szalai // Numerical continuation methods for dynamical systems. Springer, Dordrecht, 2007. - P. 359-399.

59. Staffans O.J. Hopf bifurcation for functional and functional-differential equations with infinite delay / O.J. Staffans //J. Differential Equations. 1987. - V. 70, № 1. - P. 114-151.

60. Weedermanri M. Hopf bifurcation calculations for scalar neutral delay differential equations / M. Weedermann // Nonlinearity. 2006. - V.19, № 9. - P. 2091-2102.

61. Wei J.J. Stability and global Hopf bifurcation for neutral differential equations / J.J. Wei , S.G. Ruan // Acta Math. Sin. 2002. - V. 45. - P. 93-104.

62. Лысакова Ю.В. О бифуркации периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа смалым запаздыванием / М.И. Каменский , Ю.В. Лысакова, П. Ни-стри // Автоматика и телемеханика. 2008. - №12 . - С. 41-46.

63. Лысакова Ю.В. К Теореме М.А. Красносельского о бифуркации / Ю.В. Лысакова // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2008. - № 2. - С. 129-132.

64. Лысакова Ю.В. Обобщение теоремы М.А. Красносельского о бифуркации в бесконечномерном случае / Ю.В. Лысакова // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2009. - № 1. - С. 138-140.