Бифуркация квазипериодических движений гладких систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УСПЕНСКАЯ НАТАЛИЯ ВИКТОРОВНА

БИФУРКАЦИЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ГЛАДКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.928.7

ЛЕНИНГРАД 1990

Щггипщ^

С"?:.;:;;-;;) "/

• '"'.л/ ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА

' : г

*■;■>«ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГС ПЕНС КАЯ НАТАЛИЯ'ВИКТОРОВНА

УДК 517.928.7

БИФУРКАЦИЯ. КВАЗШЕРИОДИЧВСКИХ ДВИЖЕНИЙ ГЛАДКИХ СИСТЕМ ДШЕРЕНЭДАЛЫЖ УРАВНЕНИЙ

01.01.02- дифференциальные уравнения и математическая ||изика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград-

Работа выполнена в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н.Бибиков

Официальные оппоненты: доктоп физико-математических наук,

профессор В.Н. Фомин, кандидат физико-математических наук, допент С.П.Токарев

ведущее предприятие: Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится " бгоС 1990г.

в " часов на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата Физико-математических наук в Ленинградском государственном университете но адресу: 198904,Ленинград, Старин Петергоф» Библиотечная пл.,2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. 1.1.Горького Ленинградского государственного университета / Университетская наб.,7/9./

Автореферат разослан " " ОЛллС \ 990г. Ученый секретарь специализированного совета

до-/ент Л.И.Шепелявый

ОЩАЯ ХАРАКТЕРНО ТИКА РАБОТЫ Актуальность теш. В настоящее вречя теория бифуркаций является одним из интенсивно развивающихся направлений математических исследований. Это связано с многочисленными ее применениями в различных областях, например: в гидродинамике, в динамике биологических систем, в химической кинетике. Изучение бифуркаций многочастотных колебаний- один из основных вопросов теории бифуркаций на данном этапе ее развития, и поэтому ему посвящено большое количество публикаций. Отм^там^смда них наиболее близкие к тематике-- диссертации работы ' ' г в которых рассматривается бифуркация инвариантных торов большей размерности из исходных инвариантных торов системы обыкновенных дифференциальных.уравнений. В них получены условия бифуркации инвариантных торов, однако авторы не рассматривали вопрос о поведении решений на бифурцируюютх торах. Впервые условия бифуркации квазипериодических решений были получены в работе Ю.Н. Бибикова . в ней правая часть системы предполагалась аналитической, что ограничивает область применения полученных результатов. В диссертации изучаются неаналитические системы, при этом предполагается, что их правые части являются достаточно гладкими.

Цель работ: получить условяя бифуркации инвариантных то-

1/

Марсден Дж.,Мак-Кракен М. Бифуркация роядекия цикла и ее приложения. И.:Мир.1980.363с. . ,, ,

2/Sc.teetC. ftif-uicaiiorLcl /У/оАеь Tic menSÎcnae Ten // Лго h.

loi Rué тек. cmclJtn9.eu*it. 1913. V 69. JTJ. P /-99-230. 3/ ' '

Неймарк Ю.Н. О некоторых случаях", зависимости периодических

движений от параметра//ДАН СССР.1959.129.Ы.С.736-739. ^ р£ос iizbii J9. Pet SLS-bance. and fit ¿uieaiio* ofiSnl-CLltfint Toii ! Cstiiziton. _ Bi^LA-zcthon. and С // Canact'. J3Ъе. Coift. Pieceed?i Set ОП. V <?.

Бибиков Ю.Н. Бифуркация устойчивых инвариантных торов из инвариантных торов меньшей размерноста//ДУл983.Т.19.№2. С.354-357.

ров и квазипериодических решений из исходных инвариантных торов меньшей размерности гладкой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и практическая ценность. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получены новые условия бифуркации инвариантных торов различных размерностей из инвариантных торов гладкой системы дифференциальных уравнений.

2. Исследована гладкость инвариантных торов, получены оценки производных инвариантных торов по параметру и по угловым

переменным. . г .

6/.' /

3. Уточнена теорема А.М.Самойленко-Ю. Мозера , а именно: доказана гладкость невязки, обеспечивающей существование квазипериодаческих решений на инвариантных торах.

4. Получены условия бифуркации квазипериодических решений на инвариантных торах.

Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут найти применение при практическом построении многочастотных колебаний.

Методика . В диссертации применяются идеи, основанные на методе нормальных форм и на методе инвариантных многообразий.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по устойчивым отображениям на математико-механическом факультете ЛГУ и семинаре кафедры дифференциальных уравнений ма-тематико-механического факультета ЛГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах flj-Ы.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на восемь параграфов. Она содержит 94 страниш машинописного текста. Б списке литературы 31 название.

Боголюбов H.H..Митропольский Ю.А.,Самойленко A.M. Метод

ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев:Наукова думка. 196d.24Vc.

'Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итерапий и нелинейные колебания //УМН Л 968. Т. 23. Buп. 4. С . 1 79-2.'!8.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается система, зависящая от малого параметра и имеющая щи катдом значении параметра инвариантное многообразие, гомеоморфное У)Ь -мерному тору / будем называть

зто многообразие инвариантным тором/. Предположим, что в некоторой системе координат эта система имеет вид

где у - З.П -мерный, 6~ УП- -¡.ирный, £ - ¡0 -мерный векторы, функции

периодичны по & , а по у и £. определены в

малых окрестностях нулей и У(0,0,^Таким образом, система (1) имеет инвариантное многообразие размерности 771 : у = О • Говорят, что при £-О имеет место бифуркация инвариантных торов большей размерности, если при ЕФО существуют инвариантные торы системы (1) размерности УП + К-, К>0, а если эти торы заполнены квазипери одическими решениями - то имеет место бифуркация квазипериодических решений. Предположим,

что правые части системы принадлежат классу С , причем и -достаточно велико. Предположим также, что матрипа •$(£) при <£ = О имеет У1 пар чисто мнимых собственных чисел ~ I <3к. АVI. Отметим, что к такому виду с помощью принципа сведения приводится также система, у которой имеет и собственные числа с ненулевыми вещественными частями.

Допустим, что для векторовС0(0)у1 Л = , ■ -. выполняются неравенства

с*)

для некоторого К>0и } |2.<=2+ таких, чт • при /¿У/ - О

Г* I /Л/

неравенства (2) верны при всех О, а при 1 \ 4 7

неравенства (2) выполняются для всех С^^ 2- + .

8//Щшсс В.А. Интегральные множества периодических систем ди-ффврвнциальных уравнений. М. :Наука. хЭ/У. .'.и4с.

В первой главе диссертации получены условия бифуркации инвариантных торов системы (1) размерности Тп - п).

В §1 система (1) с помощью метода неопределенных коэффициентов приводится к нормальной форме до членов 7-го порядка в "У и 6-го в & , причем правые части нормализованной системы оказываются класса С , где %(М- V-

В §2 делается полярная замена (1 - К, -К-) переменных в нормализованной система, соответствующих К- парам комплексно-сопряженных собственных чисел Рассматривается укороченная система и по ней выписывается бифуркационное уравнение.

Пусть

2 <4) -вещественные части собственных чисел мат-

рицы а матрица в^ , размерности К "К,, состоит из ве-

щественных частей коэффициентов при членах третьего порядка в нормальной форме. При условиях А еЬ 8,(0)* О

гап1£>Л(0)=К (3)

г

бифуркационное уравнение имеет единственное решение вида р, -

• причем гап^£>£Я.(о)- >с . Рассматривая

систему в окрестности найденного решения уравнения (з) и вводя

новый параметркоторый изменяется в специально построенной

области % } , получаем систему

хи Л* ч) ^

где УП -мерный векторы, функош «^^пе-

риодичны по Л,

П.(0) = Соеок(<Я, 00(0)), Р(у) = с1са^( Р , Д. Л

\->.j i-K.i

R; = ¡\ (- ejciiv- ; < (o),

zftX^a-ocM-1), O-,

приМ-О Ы~*0. Пусть^

область, в которой для Функции Грина, построенной по матрице г

верна опенка -«¿J/W/KI

для некоторых

В §3 изучен частный случай К -£> и показано, что для матриц Що), не являющихся матрицами вида ^

Г

имеет вид сектора и V

Для того чтобы область была не пуста при произвольных К^ и матрица f3 должна удовлетворять следующим условиям: Для любогоt-^'/ . р хотя бы одно из чисел clit+-")нля fd-Kfi,. /о) (6)

не равно нулю. Матрица

В, (о]-£>

-устойчива. ('■)

-устойчивой называется такая устойчивая матри а <Л , что для любой диагональной матри in

матри"а

м устойчива. Понятие jD-устойчивости подробно рассмотрен^ в книге ® .

9 /

'Свирежев Ю.М.,Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978. 356с.

В третьем параграфе сформулировано следующее утверждение Теорема 1.1. Существует такое > 0 ,что при выполнении

/у

условий (2), (3) ,(б), (?) любому^) б ~\Г соответствует инвариантное многообразие размерности т гИ- К. - ^системы (А.) вида % а, следовательно, и инвариантный тор системы (±).

При этом функция Р имеет £-3 Липшиц непрерывные производные по Х- , первую Липшиц нецрерывную производную по V и непрерывные смешанные производные, причем существуют такие постоянные С-1 2 >0, l=0}í)%>j-C)../-3, что в некоторой области

X. ВД^верны оценки *

1 I 4)1 СI ^ Г> . И V//2

I I ^ £ ^ * 1 ^х ио,е-з х

■ ",2. -£

II V Г ®

К . ^ "л

Отметим,что условие (7) может быть заменено на менее огра ни-чительное условие: матрица имеет все собственные числа с вещественными частями одного знака. При этом условии

область ~у~ , вообще говоря, оказывается уже, чем при условии^.

Существование инвариантных торов системы ($.) является хорошо известным фактом / см., например, у Существенными же являются оценки (в) , которые в дальнейшем потребуются для изучения бифуркации квазипериодических решений. Доказательство оценок(8) проводится во второй главе.

В §4 изучена бифуркация инвариантных торов размерности уп +- И +1 из исходных инвариантных торов системы (1) .

Во второй главе изучается зависимость инвариантных торов от параметра.

¿¿ЦыпЬье ч^гтзЦ Мп. о{ <961

у. 43. Р Ж-.Ш.

- 9 -

В § 5 главы 2 рассматривается система & (z f) +(X,Г)

Ъ - Pfv )l

которая получается из системы (4) путем сферической замены параметра, причем а ^ изменяется на единичной сфере. Для этой системы выполняются условия (б) . В дпешально построенном пространстве дифференцируемых функций f- рассматривается отображение, неподвижной точкой которого является искомый инвариантный тор. Доказано, что при достаточно малых лс это ото-

& О

бражение действует из h в F .

На основании этого результата в §6 доказано утверздение Теорема 2.1. Существует такая постоянная juc > 0 . что в области Y" система (э) имеет инвариантный тор 2 - f-fie^ju^), прием функция f-bt периодична по JC , имеет i-s Липшиц непрерывные производше по 32 , Липшиц непрерывную первую производную по ju. и по ^ и соответствующие смешанные производные и для них верны оценки, из которых следуют оценки. (8) .

Отметим, что важные результаты по вопросу о гладкости инва-

; 1/ 12

риантных торов в последнее время получены в работах '

Третья глава посвящена условиям существования квазиперисди-ческих решений на бифуршрующих торах.

Параграф V главы о является вспомогательным, в нем рассматривается сужение системы (4) на инвариантные торы, то есть оио-

тема . ^ . , . /- \ х + W(X, vj

11/

Самойленко A.M. О гладкости по параметру инвариантных тч -ров квазилинейной системы дифференциальных уравнений • /Укр. мат. журн. i986.T.3d.J(5.C.bU5-6;s.

Самойленко A.M. Асимптотические разложения и диМерен"ируе мость по параметру инвариантного тора квазилинеШь ii системы диффррон 'иалыпк уравнений ''/Укр.мат.журн.1987.Т.,,9. ч .С.9' -и>5

где V М = || VI! ^ ^ V) + Ц , ^ V].

Доказано, что \л/ тлеет по параметру первую .производную, удовлетворяющую условию Липшица с показателем 1/2. В §8 рассматривается система

Х = СЛ- (п)

где СО удовлетворяет условиям типа (2) , а периодичес-

кая по всем аргументам функция, являющаяся некоторым продолжением IV по параметру. Из теоремы А.М.Самойленко-*).Мозера следует, что существует такая невязка А (у), что система

а? -со \>) может быть приведена к виду ^ = со

при помощи некоторого дифференцируемого преобразования. Доказано, что А имеет первую производную, удовлетворяющую условию Липшица с показателем 1/2 и А(о)-А • Ори выполнении

равенства

£_(■»)= (12) системы (11) и (12) совпадают. Отсюда вытекает

Теорема 3.1. Существует такое >0 , что любому ,

удовлетворяющему уравнении (12) , соответствует инвариантный тор системы (4) , а, значит,и системы (1) , заполненный квазипериодическими решениями.

В конце §8 показано, что при условии можно путем выбора достаточно малых юстоянных V и Д-- добиться того, чтобы большинство в смысле меры Лебега значений параметра из области удовлетв ,-ряло уравнению .

- 1.1. -

РАБОТЫ АВТОРА , .ПУБЛИКОВАННЫЕ По ТЕЛЕ Д/ЮСЕРТА ДО1

1 Успенская Н.В. Бифурканя квазипериодических решений для неаналитаческ'/й системы дифТерен'тсальных уравнений / дизд.ерешт. уравн.1988.Т.14..: 5.С. 9] 0-912.

2 Успенская Н.В.Уточнение одной те.-ремы А.М.Саыойленко-Ю. Мозера/'/Вестн.Лешшгр. ун-та.Мат.-мех.л.1588.Деп. в ВИНИТИ 2'<. 01.88.Л760-В88.

3 Успенская Н.В. 0 зависимости инвариантных тор^ от параметра7 /Вестн.Лешшгр. ун-та.'Лат.-мех.Л.1988.Деп. в ВШШ 27.01.88.Л759-В88.

\ .м'о.м; | |,-ч

ОМ-1 I 1 . \,ч / 1 I . " ИР.Ч"- 'С. :>Ь. . . . Но, 1 |.| 1" , .

11- • ' 1.М. . . . .

I НИ'

! ',