Усреднение неупорядоченных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЁМАТИЧЁСкИЙ ИНСТИТУТ Им. В. А. СТЕКЛОВА

Ленинградское отделение

УСРЕДНЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ

(0i.0i.02 — дифференциальные уравнения и математическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.9

КОЗЛОВ Сергей Михайлович

СИСТЕМ

Ленинград 1988

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института им. В. В. Куйбышева.

Официальные оппоненты:

академик АН СССР В. А. Марченко;

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Бабич;

доктор физико-математических наук, профессор Я. Г. Синай.

Ведущая организация

— Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится « . . . »..... 1988 г. в . . . часов на заседании специализированного совета Д002.38.04 при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им. В. А. Стек лова АН СССР (Ленинград, наб. р. Фонтанки, Д. 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР.

Автореферат разослан « . . . »...... 1988 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

доктор ф.-мат. наук А. П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Многие физические теории давно, начиная с работ Максвелла и Рллея, используют эффективные характеристики неоднородных сред. Математическое изучение соответствующего круга вопросов - теории усреднения уравнений о частными производными - било начато сравнительно недавно, однако в этой области уже получено немало результатов принципиального характера. Наиболее детально изучены периодические или упорядоченные среды.-Для таких сред вычисление эффективных характеристик сведено к нахождения некоторых специальных периодических реше-, нкй уравнения в частных производных, коэффициенты которого имеют тот же период. Было установлено ®' что в той или иной форме принцип усреднения - замена неоднородной ореды однородной с соответствующими эффективными характеристиками -применим к веоьыа широкому классу упорядоченных сред. При этом, как и в теории усреднения обыкновенных дифференциальных уравнений Н.И.Боголюбова, важен но столько сам принцип усреднения, сколько асимптотические представления решений, следствием которых и является собственно принцип усреднения. Для неупорядоченных сиотем, которые описываются уравнениями со случайными коэффициентами, усреднение не кмеет столь универсального характера, ибо для многих таких систем существенен фяуктуацвошшй кеханнзм,

^ Н.С.Бахвалов, Г.П.Павасенко. Ооредненае процессов в перзодн-ческях средах .-М.¡Наука, 1984.

А.Еепсоиовап, J.L.Lions,c Papanicolaou. Acyaptot^o analysis for periodio otrootura,- Horth Holland Publ.Oorp., 1973. ,

открытой И.М.Диракцем В связи с этим выявление неупорядоченных систем, Допускающих усреднение, является в настоящее время актуальной задачей. Для таких систем с прикладной точки зрения не менее актуальна задача расчета еффектгвных характеристик.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Установить возможность усреднения для ряда континуальных и дискретных моделей неупорядоченных систем. Провести асимптотический расчет эффективных характеристик.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе наряду о аппаратом теории уравнений с частными производными и теория вероятностей используются теория ускоренной сходимости Колмогорова-Арнольда-Моэера, теория Морса, метод перевала, теория просачивания, конформные отображения, гармонические разложения типа Ходка.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе дано доказательство квазиперко-дичности основных состояний эллиптических операторов с квазипериодическими коэффициентами. Это первый неодномерный результат о квазипериодичности собственной функции дифференциального оператора с квазипериодическими коэффициентами. Для эллиптического оператора второго порядка общего вида с квазипериодическими коэффициентами найдена асимптотика фундаментального решения параболического уравнения при t —— . Эта асимптотика позволила дать математическое определение таких понятий, как бффсктивная диффузия к снос и указать четкую процедуру их вычисления.

Новой является геометрическая трактовка принципа усредне-

® Лкфшиц И.М., Гредескул O.A., Пастур .I.A.Введение в теории неупорядоченных систем.-М.¡Наука, 1982.

кия вариационных задач и двойственности. С ее помощью найден ряд новых точных соотношений и асимптотических оценок для эффективных характеристик вариационных задач. Применение теоремы двойственности позволило математически использовать геометрические представления о просачивании, широко применяющиеся в фнзичеоких теориях. Впервые доказана теорема компактности и усреднения симметричных разностных схем с микронеоднородныма коэффициентами. Предложена новая методика получения центральной предельной теорема для цепей Маркова иа решетке 2 со случайной вероятностями перехода. Эта методика позволила установить центральную предельнун теорему для широкого класса це-,пей Маркова.

Получены ноше результаты об аоимйтоттез спектральных характеристик. Дан многопараметричеокий аналог вейлевской асимптотики функции распределения спектра. Детально изучено асимптотическое поведение функции распределения спектра эллиптического оператора со случайными коэффициентами в области Е V при гомотетичном увеличении области, I -о«? .

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора.

; ттаОЕШШ. Результаты, полученные в работе, расширяют рамкя применимости метода усреднения. Даны математические приложения в теории дифференциальных уравнений с частника производнымя я в теории вероятностей. Осооенно аффективным для физических приложений оказался- синтез полученных результатов по усреднению в непрерывных и даскротных оистемах с геометрической теорией просачивания - новой интенсивно разшвызщейся облаотьв ■

- f> -

теории вероятностей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Совместные заседания Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского" в МГУ им. И.В.Ломоносова в 1980, 1981, 1987 гг., на ХУ Международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике в 1985г., на заседании Московского математического общества. По результатам диссертации автор выступал на семинарах: В МИСИ им.В.В.Куйбышева на семинаре под руководством проф. В.В.Кучеренко; в MI7 им.М.В.Ломоносова на семинарах им,И.Г.Петровского; на семинарах под руководством чл.-корр.АН СССР Н.С. Бахвалова, проф.О.А.ОлаЙник и доц.Г.П.Панасенко; проф.O.A.Олей-ник; проф.М.И.Вишика; проф.Я.Г.Синая; д.ф.-м.н. М.А.Шубина; . д.ф.-м.н. С.А.Молчанова и д.ф.-м.н. В.Н.1утубалина; д.ф.-м.н. В.Л.Бердичевского и д.ф.-м.н. А.Н.Голубятникова; проф.В.М.Тихомирова, д.ф.-м.н. А.В.Фурсикова и доц.М.И.Зеликина; в МИАН СССР им.В.А.Стеклова на семинаре под руководством академика В.С.Владимирова; в ЛОЖ АН СССР им.В.А.Стеклова на семинаре под руководством чл.-корр. АН СССР О.А.Ладиженской; на семинарах под руководством проф.В.М.Бабича; проф.И.А.Ибрагимова. По результатам диссертации автор выступал на математических школах в Воронеже и Минске. Отдельные результаты работа докладывались в институте Р.Куранта /Нью-Йорк, США/, в университете Ратгерс /штат Нью-Джерси, США/ на семинаре под руководством проф.Дж.Лю-бовица, в Масачуссетском технологическом институте на семинаре под руководством npoi.Р.Мельроуза.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты .диссертации опубликованы

в работах автора I -• Результат« работ по усреднению, написанных з соавторстве, в диссертацию не вошли.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИЙ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Глава I - §§1-6, глава II ~ §§1-4, глава Ш - §§1-3, глава 1У - §§1-6. Нумерация теорем, лемм и т.д. в каждой главе своя. Каждый номер формулы состоит из двух чковл: первое - номер параграфа., второе - порядковый номер формулы внутри параграфа. Диссертация изложена на 262 страницах. Библиография содержит 99. наименований.

• ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведены основные постановки задач, рассматриваемых в диссертация, отмечены их математические и физические мотивировки. Кроме того, во введении дано описание основных результатов диссертации и приведен краткий литературный обзор. Основным иатематическш объектом диссертации является эллиптический оператор второго порядда

' А»- X & <4; + £ *а;

к < 1 - кч *

Это-дифферонцяальнкЯ оператор в главах 1,П К ) а -

раэкоот:гкЯ в главе Ш. Гипотеза о неупорядоченности среда, которой отвечает (I) , приводит к непериодачностн коэффициентов оператора А . Однако остается требование некоторой однородности среда, физически означающее, что среднестатистические свойства среда э достаточно большой объеме не зависят от выбора ¿того объема. Этой гипотеза однородности удовлетворяют оператора о квавнпариодическими и статистически однородными случайными коэффициентами, расскатрнваемнз в диссертации. Возможность

усреднения появляется при введении в оператор (I) малого параметра £ , характеризующего масштаб неоднородности среды. Для оператора (I) введение £ мояет осуществляться различными способами. Однако наиболее важно с точки зрения рассматриваемого круга приложен^ ^автомодельное усреднение:

где а множитель £"* поставлен

для удобства записи. Только оно и изучается в работе.

Задача автомодельного усреднения семейства (2), где

<Х6(£)=0 допускает теоретюсо^вероятностнуп формулировку, обладающую большей наглядностью и рядом аналитических преимуществ. Кроме того, эта формулировка допускает значительно более широкое толкование понятия усреднения и эффективной диффузии. Один из вариантов рассмотрен в §2 главы П, где изучается число оборотов, совершаемых траекторией диффузии на компактной поверхности за большое время.

В главе I рассматривается случай, когда неупорядоченность среды иожет быть задана как кваэипериодичность ее характеристик. Напомним, что квазипериодической функцией |коротко к.п.) называется функция, представимая рядом Фурье

ТЧ*)= £ и е- , х-!!,,....^^ .

Суммирование распространияется на целочисленную решетку И ^

1 ^¿1 фиксированный набор векторов из й.* . Предполагается, что неупорядоченность достаточно сильна, т.е. что неравенства

^Зельдович Я.Б. Точное решение задачи диМузии в периодическом патз скорости л турбулентная диффузия.- ДАН СССР, 1982, т.266 м, о.аа!-егб.

.г -1-е

сз) •

К«1

внполнекн для всех т. е 2 \ 0 пра некоторых фиксирован-ннх "С, С». Это - случай общего положения относительно частот

^А» еоли *С > М" 1 • В §1 вводятся соболевские пространства к.п. функций Н * , которые задаются нормой

При этом подчеркивается, что требование { е Н , как правило, значительно сильнее требования [ Н^ (Й*1).

Пусть Л - дифференциальный оператор вида (I), 5t.fi Я* коэффициенты которого квазипвриодичны и их совокупность. обозначается кратко (».-(СЦ.а,,; , к■ 0,...,с(). При этом

л очитавтол доотаточно гладкими: 0. с Н , 1- > и « и выполнено условие равномерной эллиптичности

Формальноа применение метода усреднения для сеыейотва операторов |о малым параметром £ {2) приводит к необходимое« решения еяе-

'дующей спектральной задачи в к.ц. фртшциях

1 - . ■ ■ , ' ■ * ■ [ • -■ ■ ■

где Ей. - и., ^ - формально сопряженный к к оператор.

,В (5) необходимо найтя знакоопределеюша (положительные) к. д.. ; . решврия р , р^ я число А 0 . ДАя оператора Щредингера ! р» называется основным состоянием •- будем использовать этот термин и а общей" случае оператора (.1),

Основная теорема главы I утверждает, что К.я. решения (5) существуют, если <Х <£ Н'*' и "С достаточно велико и существует достаточно точное приближенное решение (5). Приведем форт,чу-лировку этой теоремы. Пусть имеется тройка (р* р° , А°), Л°£ Й , ар0, р1^ - к.п. функции и

"«Ч, Нр'Л <

где $ удобно считать таким же, как в (4).

Теорема. Пусть Тогда при любых <5", ^ найдут-

ся постоянные С , ^ = ¡^ что при любом

К > С , ^ из неравенства

вытекает существование к.п. основных состояний р, р* 6. Н ,

ч-1Т ) € л у „ __--й тщсла А» - К.

Для доказательства етой теоремы задача (.5) в к.п. функциях в сводится к задаче в периодических функциях в Р,И ' . при

8том оператор А теряет свойство эллиптичности, из-за малых знаменателей асимптотические разложения по К непосредственно не применимы. При построении обычных последовательных приближений происходит потеря гладкости в смысле Н"4 на IX в каждом следующем приближении по сравнению с предыдущим. В частности, если (X е. И , непосредственно можно построить лишь конечное число приближений. 3 связи с этим при доказательстве теоремы используется метод ускоренной сходимости Колмогорова-Арнольда-Мозера. Накопленный опыт применения метода ускоренной сходимости показы-

Еает, что он эффективен в сочетании с соображениями приводимости какого-лисо типа. В рассматриваемой задаче офсновных состояниях соображения приводимости также весьма существенны. Здесь идет речь о приводимости общего оператора Еида (I) к дивергентному

1" Г" 3 "b г- "й ^ .

0-гМШ + i COrvii: (6)

с помощью преобразования ~ АД) Р , где ?,Р*

- операторы умножения на к.п. функции (Н*), pv . Проверя-

ется (георема I главы I), что если тройка Lp. Р,, % А,) доставляет решение задачи (.5), то ^ = £ имеет

дивергентный вид (6).

, Для дивергентных операторов Л разрешимость уравнения \ у * i

f , где f в И - к.п. функция, устанавливается энергетическим методом в §2. Получаемое решение обладает меньшей глад-

Hi-tr

, однако при 6. С решение У. ^ С . Затем в §3 приводится модификация метода Ньютона для решения (5). Эта кодификация выбирается гакам способом, чтобы обеспечить наличке основных состояний для обращаемого при очередной итерации оператора. Основным состоянием этого оператора как раз и является предыдущее приближение. Тогда соображение приводимости позволяет обращать дивергентный оператор, который, хотя и с потерей гладкости, но обратим. После этого сходимость итераций и существование ' основных .состояний получается с помощью выбора подходящих приближенных решений а индуктивной процедуры КШ метода

Затем в §4 откечается, что До яыюетоя крайней левой

Мазер 0. Быстро сходящийся катод итераций и нелинейные ди$фо-, реюзальние уравяегаш.-Успеха пат.наук, 1968, т.23, Ji-l,о. 179-239

точкой спектра оператора Л на комплексной плоскости С и положительные ранения (5), нормированные требованием < р> ^ рж у =. 1 единственны ( <«. ? обозначает среднее к.п. функции (X ) . В §4 также даны некоторые применения теоремы. Так, к.п. основные состояний существуют, если коэффициенты оператора • h мало уклоняются от периодических в норме Н , и выполнено условие на частоты (3). При этом, если ft. С** , а к.п. возмущение коэффициентов содержит малый параметр, то формальные разложения по этому параметру оказываются асимптотическими. Показано, что для самосопряженного оператора + основное состояние - pty) и AotjO аналитичны по параметру jit , если (|,е Н4, и формальные асимптотические разложения являются сходящимися.

Далее в главе I, в §§5,6 развивается усреднение к.п. операто-_ ров (2) в априорном предположении существования к.п. основных состояний, и даны приложения к асимптотикам фундаментальных решений (коротко - ф.р.). Так, в §5 рассматривается задача Дирихле для оператора в ограниченной области V ^ . Имеются

два качественно различных случая: а) C,j)*0 и б)^ О

С С^ - из ($)), вектор С . в задаче диффузии имеет смысл

эффективного сноса. В случае а) имеет место слабая сходимость решенийкзадаче Дирихле с постоянными коэффициентами. В случае б) все определяется вектором С - предел решения во внутренней Точка t g V есть значение граничного условия в ближайшей по лучу , выходящему из X , точке границы области. В случае а) найдена также асимптотика ф.р. эллиптического уравнения

где для определенности Я, ^ & Асимптотика имеет вид

некоторые постоянные, а «<-> 0.

Ь §6 рассмотрены аналогичные вопроси для параболических уравнений. Приведем палученнум там асимптотику ф.р. параболичес-когег уравнения:

. , Л.,

При V г^-и Iх-<

.♦'о е"^),

где | , | - некоторая евклидова метрика Л ,

- ' ,

С , из (6). Эта формула конкретизируется при а * V для

: : ; ^ рсироо у, -АЛ,

Где , а =

Гауссовский вид полученнрй асимптотики придает строгий с мы ал цш-роко использующемуся в физической литературе понятию эффективной диффузии. Эффективной диффузией следует называть матрицу квадратичной формы стандартной евкладовой структуры в Я1* в евклидовой метрике« фигурирующей в асямлтотяке

Во второй главе рассматриваются геометрические аспекты усреднения. Прежде всего, в §1 дается когомологическая формулировка вспомогательной задачи усреднения. Здесь подчеркивается чисто алгебраическая сторона вспомогательной задачи в отрыье от теорем существования, которые априорно предполагаются выполненными. Пус"п> М - компактнее ориентируемое многообразие без края, размерности (1. , Т * М - кокаеатедьное расслоение к М , А* Т * М -

(К

его к -ая внешняя степень, ДМ - множество С дифференциальных V, -форм на И , Н * - векторное пространство вещественных когомологий размерности Ч . Предположим, что

К Т* \ гладкое, послойно выпуклое отображение

(лагранжиан). Рассмотрим вариационную задачу

где нижняя грань разыскивается по всем замкнутым К -формам когомологичннм . Определяется преобразование Лежандра лаг-

ранжиана

где верхняя грань берется после взятия значения о1 -формы ^ " ^-(^гк) на наборе -векторов. Пусть

м

И нижняя грань разыскивается по замкнутым а- ^ формам, хогомо-логгчкнм {а . Докасано следящее утверждение о двойственности. . Теорема. Справедливо соотношение

^ - цц),

"9

Квадратные скобки [•*! ~ I Л ^ определяют двой-

IК А ^

отвенность между И , И к , поскольку интеграл н« зависит от выбора представителей. В дальнейиеж э диссертации теорема двойственности используется только для квадратичных, строго положительно определенных функционалов, и все вопросы существования решеннй снимаются эллиптической теорией.

В §2 дана вероятностная интерпретация вариационной задачи (7), когда М - двумерная сфера с ^ ручками, а лагранжиан квадратичен. В этом случае (7) дает дисперсию предельного гауссова числа оборотов, сделанных частицей, диффундирующей по

М за большое врет, и содержит в себе понятие эффективной диффузии в потенциальном поле. Отмечено, что включение солснои-дального поля увеличивает, а потенциального - уменьшает диффузию. Включение сбалансированных процессов ^ Х0 = 0) рождения и гибели частиц также приводит к уменьшению эффективной диффузии.

Далее в главе П приводятся пример» использования теоремы • двойственности для точного и асимптотического решения задач усреднения. В §2 исследуется задача о дисперсии числа оборотов диффузии на двумерной сфо;.« с ^ -руч:сш.:л. Для неьвсо.'.гоЯ частицы на торе или кренделе с достатечньм запасом симметрия установлено, что произведение чисел оборотов равно площади М • (3 случае кренделя перемножаются числа оборотов, отвечающие одной ручке). Затем к диффузии добавляется потенциальное пола. Так, при ^ ™ 1 речь идет об эффективной ди^Гузии частицы, о. /хдшощеЗ по периодическому рельефу в присутствии силы тяжести. В этем случае лагранжиан '<£ 1?.:ест вэд ^ (и.1) - и.' л и и) , где \Г - потенциал векторного поля, * отвечает ркмановой

¡ метрике И , щ параметр, характеризующий соотношение диффузии и действие силы тяжести V V . Для еначения вариационной задачи (7) предлагается иное, более геометрическое представление, , Когомологии И* реализуются с помощью гармонических представителей, что еводит на Н* евклидову структуру, Тогда имеется оператор отождествления Т •' Н* —И4 , где VÍ4 - простран-отво одномерных вещественнйх гомологий М . {Свадратичная форма «£ (У >)) переносятся на Н, и для ye Н, . явдящашся циклами, принимает вад -■=";,;■•!

; jij i^) = S * t^yjf, Y ^ '.. ce) :

где. uJj* - решение вариационной задачи (7) £ CTI V a I«= 5 *4 * Т, , Далее . jt считается калим параметром. ; В втом случае представление (8) открывает возможность вычисления' f j(^) • а с ней и искомой дисперсии числа оборотов методом ne-i ревала. Контур ^ в (8) нужно шбрал дикошмяыго»

яааченпе потенциала V было минимальным среди воех контуров, представляющих данный клесо гомологий. Однако доя обоснования оце-' как, получающихся методом перевала, необходимо нзучитьсвойства , решений уравнения на М

- f* '& - у - f е C^tMV, v\.

где Д , V,¡ • - в метрике, ea II , при р 0. Рассмотрен случай морсовской функции V (все критические хоч4 кя V невырождены) ., имеющей лишь один максимум. В этих пред-* положениях получена оценка

Ht^fáV < С/ц.

достаточная для обоснования метода перевала. В итоге дня дисперсии числа оборотов тяжелой частица, дяффундярувдей п° замкнутой поверхности в Я* , получена двусторонняя оценка

М < => Ьт. р «МГ>-*в|

где "З^ - высота седла, которое нужно пройти, чтобы совершить рассматриваемый оборот. Высота отсчитывается от нижней точки поверхности. Также явно найдена асимптотика инвариантных подпространств квадратичной формы £ (ковариационной формы чисел персечений). В периодическом случае £ = А , выделенные седла имеют геометрический смысл первого и второго уровней просячи-ваяия на плоскости с периодическим рельефом V. (Л) , а инвариантное пространство - смысл первого пути просачивания.

О §4 аналогичная задача изучается для случайной шахматной доски, клетка которой независимо друг от друга окрашены в черный цвет о вероятностью р ив белый - с вероятностью 1 — р • Лагранжиан здесь имеет вид 2С. (из) № |1 , метрика -

стандартная, евклидова, а функция О. (х) равна 1 на белой клетке, и У на черной и интерпретируется как проводимость. Усредненный лагранжиан будем обозначать

сцр,£)= У<<п«)\1>,<*и> = 0, <ч*»=^<,0)] , о;

где 4 . > - пространственное среднее, минимум разыскивается по квадратично интегрируемым в среднем, - тр&нсляцион-

но однород1шм случайным формам . . Оператор с1 понимается в обобщенном смысле. Теорема двойственности в этом случае приводит к соотношению Дкхне б )• р,£) =

которое, в частности, дает точное значение 0.(0.5, S ) = \/<Гм . В §4 показано, что в асимптотическом смысле это точное значение сохраняется в интервале р -рв| р,).' С,

0<С <С«<&° р. - критическая вероятность просачи^ашш в задаче * * 1

узлов Po<Z/4) • Здесь также ваяны наиболее "трудные" пу-

ти. Если в §3 их существование получалось из теории Морса, то

здесь существование трудных путей обеспечивается теорией проса-6)

чиьания. 1

В §5 рассматривается задача о вычислении асядштогяки <Х(р\ = iim. O- l Pi 5) при малых р . Параллельно изучаются шахматные доски с клетками из правильных ч) -угольников площади К = Б). Полученная асимптотика имеет вид

а^р) - 1 - +0(pL) , р-* 0 (.10)

в ^шг-v г ^ -,ГВ№а функция

Эйлера. Для доказательства (ID) важно, .что ири малых р по чер-. ным клеткам нет просачивания с вероятностью единица, они располагаются в основном уединенно и удалзлн друг от друга на значительное расстояние. Благодаря этим обстоятельствам удалось построить достаточно точное приближенное решение ьадачи (9), набирая его из потенциалов скоростей обтекания идеальной жидкостью отдедь- . t mix черных клеток. ' •

3 главе Ш рассматривавтся разностные уравнения с ыикронеод-J нородаши ковффщиепттх. В отличие от сбычяой теории разностных ' схем, где первоначально аадан диффереидаашшй осерахор в вссле-,' дуеуоя сходимость решений оеточшх уравнений, так пли иначе пост-

^Кеотея X. Теория просачивания для кагеи&тшюя, М. ;top,I066

роенных по коэффициентам исходного уравнения, ндесь решается обратная задача - по шкронеоднородным сеточным уравнениям строится дифференциальное уравнение так, что решения исходных сеточннх сходятся при измельчении шага решетки к решениям построенного дифференциального. Микронеоднородиость коэффициентов означает, что их значения в близлежащих точках решетки в принципе никак не связаны между собой (для обычных разностных схем они сближаются в определением смысле при измельчения шага решетки). Для некоторого класса сидаетрячгшх разностных уравнений получена обпак теорема компактности, утверждающая, что решения уравнений с коэффициентами из этого класса обязательно содержат последовательность, сходящуюся я решению дивергентного дифференциального оператора второго порядка. Дадог определение клаоса рассматриваемых сеточннх

$ о!

операторов. Пусть Жг X, Х/^ <£. Ж ] и пря каждом

р6 ('X, , удоплвт-

(Х,Х)1 < С»

(положительность - й)

(симметрия - с) (нормировка - н) (финитность - ф)

г , ухеъ\

(эллиптичность - в)

-года ■ Дг и. - tuC*+£iM»-W)/£, р*С*) = рЧ*, * + Пуоть к. - дифференциальный оператор вада

и-выполнено условие равномерной эллиптичности. Пусть Vcft^ ограниченная облаоть V,-

V ft Zj, H\Vt\H^Vfc) _ соболевские пространства сеточных функций. Используется понятие слабой и сильной сходимости сеточных функций к его основные свойства и .

• Определение аппроксимируемости .Разностный оператор аппроксимирует дифференциальный h , если дня любой и. 6 Найдется семейство оеточных функций И ^ . таких,

что ' 4*6. '—О слабо в H4vt) при £ -»-О

: to*. II (i^- KtK'tYj lL,(t т О ЛИ)

• йцевь If - сноо обобщенной функции вада f r«L

•f С u '4Vj ка сетку . Напомним, что' общепринятое

• а) • '

определенна аппроксимируемости ' требует выполнения равенства

ClI) при s 0 и тем оамни подразумевает определенную оходшость коэффициентов р* W '" ц ;

Теорема'(компактности). Для добей последовательности разностных операторов, удоачэтворлюпрх условзкм (.п.с.н.ф.в) с Са,С,, S 'не зависящими от £ , найдется подпоследовательность б1 —О',

для

которой '.At« аппроковмирует некоторый оператор К . Эта теорема является аналогом теореаи компактности С.Спаяьола

V)

Ладыженская О,А. Краевые вадачи мнтекатическоЗ физики. М.: Наука, 1973. ' ' ' " .

Ф Самарский А.А, Теория разностных охш. U. :Наука, 1963.

для дифференциальных операторов. В §1 получены также основные факты о & -сходимости разностпых операторов (последовательностей разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальный), аналогичные обычным следствиям 0" - сходимости

В §2 этот аппарат применяется к задаче усреднения разностных схем. Здесь коэффициенты р* (х) случайны и IL fc - транс-лящтонно однородны по распределениям.'С тем, чтобы проверить (И), построены функции » ^ их определения вводится диск-

ретный вариант разложения Ходжа. Показано, что последовательность таких сеточных уравнений аппроксимирует дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами и дана вариационная процедура их вычисления. Рассмотрено также усреднение задачи Коши для разностного уравнения со случайными коэффициентами, подчиняющимися (п,с,н,ф,8). Дано приложение к центральной предельной теореме для блуждания в случайной симметричной среде. При более сильных предположениях на вероятности перехода, аналогичная теорема была получена в ^ другим методом.

Затем в §3 даны приложения к задаче об эффективной проводимости решетки, вершины которой соединены случайными сопротивлениями!. Доказано существования эффективней проводимости. Если сопротивление ребер решетки Ж1 независимо принимают оначение <Г С вероятностью р и I с вероятностью * - р - , то показано, что эффективная проводимость имеет положительный предел при Г-» 0.

®^£иков В.В,, Козлов С.М., Олейник O.A., ХаТьен Нгоан. Усреднение И С-сходимость дифференциальных операторов.Успехи мат.наук,1079, т.34,№5,с.65-133. Ю)

Anshe.levlch V.T., Khanin K.Ii., ainal TeuO. 3jnuetrlc ran-lom «•Iks in random enjvlronmente.- Coemun.Uitb.Fhjre.,1982, v.6-6, В 1, p.1-22.

• если р <0.5 и нулевой, если р »0.5 . Тел самым установлено, что геометрический порог просачивания рв'=- 0.5 в задаче связей является также порогом проводимости. Отмечено, что аналогичные утверкдения имеют место для треугольной, и шестиугольной решеток.

: В главе 17 изучаются некоторые спектральные вопросы, связанные с яеупорядоченшша системами'. В основной рассматривается вейлевская функция распределения собственных значений дифференциального оператора со случайными коэффициентами в области Ь V и еа предел при i—►■<>*> - плотность состояний. Выесте с тем, для ряда приложений интересны также мвогопораиетрическиз фушщии распределения вида

FCA,", Aj-

где - спзатральнне проекторы адшшшеских операторов

, t, , г некоторые диффзренцшдышо операторы. . Первоначально в главе 1У рассматриваются операторы, заданные в ограниченной области V. а получена вэ&левская асимптотика при Ä —f Оо

ül«>f4-tA

где 0. А = Xty , 2. . * г' означав*, что

, и t-, старшие ствола операторов

Эта аошптстйка получена многомерны.! тауберовам методом кото» рнй благодаря специфике рассматриваешь фукквдй раопредалегдаг допускает ряд уточнений.

.^Владимиров B.ö,, Дротаиаоа Ю.Н., Завьялов Б.И.Мкотчжернне тву-бербш теорема для обобщенных функций.М.;Наука, 1886,

В §§3,4 рассматривается дифференциальный формально самосопряженный оператор вида

UJ/H»« г Г ~ .у. .

- вещественны. Предполагается, что «-¿уДх) * U-tш), где задаш на вероятностном пространстве £1- с мерой

и эргодичеокой динамической системой , сохраняющей }*

, Реализации Q-d^W6 С." ) , и оператор к равномерно эллиптичен в к . Сначала доказаны высокочастотная, квазяклассическая и низкочастотная асимптотики плотности состояний Н (AV~ Sp Е (.М, где Sp должным образом понимаемый след . В §3 вычислена также асимптотика Sp Э- Е

E(Ai1ttS.j(X), > где EU,) - спект-

ральный проектор оператора N в i,1 (R4) . Так, при X-»<?<*

S(, (X) -< $ Ц Я^)) , A.AA-^mUvUi.M.

В §4 рассматривается оператор

i -Ъ г

N = - Z fe

* *

со случайнкми коэффициентами того же типа. Оператор А задал в ограниченной области V с i f R+ с краевыми

услоЕЯЯма Дирихле. Пусть N^ (А) - вейлевская функция распределения собственных значений N в t • V , нормированная на обьем i'V . функция (.А) . рассматривается при t

Для отого вводится следующая деформировапная функция распределения

Ctp Л) .

Показано, что в зависимости от значения параметра р при

i имеется 4 тлш нетривиальных предельных функций раопрэде-ления Н»» (к)

2) рО, Н„ (к) lN|À) - плотность состояний.

В 3), 4) ^ , Aj - собственные значения усреднен-

ного оператора R = £ ^-ггга«' ^ саиейотва A t s обльс-ти V , Случай 2) был изучен в А<4 При р<.-1 rl^ »ксиоаекцдально нала.со t .Отметим, что для оператора к с постоянными коэффициентами случаи I) - 3) дают одну и згу хе предельную функцию распределения. Сопоставление о результатам! ?3 показывает, что предельные функции распределения Г), 3)являются соответственно высокочастотной и низкочастотной асимптотиками предельной функции распределения случая ¿) - плотности состоянгС. Отсада следует, что приближение плотности состояний Щ^'Щ!) пркмвншо при изменении X ÊL tU ^ , £ > Û

{икоироваино. ) \

^Еастур Л./. .Спектр« случайных ешоооаряженадх операторов,-Уопехи мат.наук, 1973, т.28,KI,о,3-64

- Я5 -

Публикации по теме диссертации

1. Козлов С.М. Осреднение дафферекшюлькых операторов с почти-пе-рнодическими быстроосциллирующими коэффициентами.- Матом.сб., 1978, т.107, №2, с.199-217.

2. Козлов С.М. Осреднение случайных операторов.- Матем.сб., 1979, т. 109, Ш, с.188-202.

3. Козлов С.М. Асимптотики фундаментальных решений дивергентных дифференциальных уравнений второго порядка.- Матем.сб., 1980, т.ИЗ, Й2, с.302-323.

4. Козлов С.М. Основные состояния квазипериодических операторов. -ДАН СССР, 1983, т.271,- /«3, с.521-526.

5. Козлов С.М. Приводимость квазипериодических операторов я усреднение.- Тр. ММ0, 1963, т.46, с.99-123.

6. Козлов С.М. О двойственности одного типа вариационных •■задач.-функц.анализ, 1983, т.17, ЙЗ, 0.9-14.

7. Козлов С.М. Многомерные спектральные асимптотики для эллиптических операторов.- ДАН СССР, 1983, т.268, *4, с.789-793.

8. Козлов С.М. Многомерные спектральные асимптотики для эллиптических операторов в ограниченной области.- Изв. АН СССР, сер.матем, '1984, т.48, И, с.53-76.

9. Козлов С.М. Распределение собственных значений диф$еренциальннх операторов в больших областях.- Успехи матем. наук, 1982, т.37, *5, 0.185-186.

10. Козлов С.М. Проводимость двумерных случайных сред,- Успехи матем. наук, 1979, т.34, *4, с.193-194.

11. Козлов С.М. Метод усреднения и блуждания в неоднородных средах.-Успехи матем.наук, 1965, т.40, №2, с.61-120.

12. Козлов С.М. Усреднение разностных схем.- Матем.сб., 19Й6, т.129, с.333-357.

б'

ТО 2263 Подписало к печати 22.02.88г. Sopm? 60x84 I/I6 Пэч. офс.

. Sf-кав -2/К И—119 ' Объем 1.25 п.л. T.I00__Бесплатно

.Ротапринт ШСИ ии.В.В.Куйбшива