Электронная структура и магнитные свойства неупорядоченных сплавов с ближним порядком тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

^МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА-ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ-И.ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ1/НИВЕР.СЙТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

.Физический факультет

РГБ ОД

I3 ДРК

.Багрец Алексей Александрович

ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУК-№АИ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СПЛАВОВТГБЛИЖНИМ ПОРЯДКОМ

Специальность 01.04.11 — физика магнитных явлений

■АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание^чёной^тепени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре магнетизма физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук..

профессор А. В. Ведяев

доктор физико-математических наук, профессор А. К. Аржников ■

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Ю. Г. Рудой

доктор физико-математических наук, профессор П Н. Стеценко

Ведущая организация: Технический университет МИРЭА

(Московский институт радиотехники, электроники и автоматики)

Защита состоится 21 декабря 2000 года в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного Совета К053.05.77 физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, физический факультет, аудитория ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 21 ноября 2000 года.

Ученый секретарь совета

кандидат физико-математических наук I ул О. А. Котельникова

ВЪЧ-8.03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Техническое развитие общества требует постоянного обновления материалов, одним из источников которого в настоящее время являются неупорядоченные сплавы. При сплавлении или разупорядочении свойства зновь полученных соединений (например, магнитные) могут кардинально отличаться от свойств исходных компонентов Для объяснения и прогнозирования этих изменений необходимо развитие методов расчета электронной структуры неупорядоченных сплавов, поскольку именно конкретный вид энергетического спектра определяет подавляющее большинство электронных свойств, таких как транспортные, магнитные, оптические и так далее. Препятствием к построению таких теорий в неупорядоченных системах является отсутствие периодичности потенциала ионов кристаллической решетки

В настоящее время общепринятым подходом, который позволяет преодолевать эту трудность, является приближение когерентного потенциала (ПКП). Комбинация'ПКП с "первопринципными" линейными методами расчета зонной структуры позволяет получать информацию об электронных и магнитных свойствах неупорядоченных сплавов, которая по точности согласуется с результатами, получаемыми для упорядоченных систем. В то же время, как это хорошо известно, ПКП является ''одноузельным'1 приближением и не может учесть эффекты межатомных корреляций и многократного рассеяния на кластерах Эти эффекты, однако, могут оказывать существенное влияние на формирование электронных спектров неупорядоченных систем Учет корреляций в расположении атомов в неупорядоченных средах необходим, поскольку экспериментальные данные свидетельствуют о том, что независимое распределение случайных зеличин в сплавах реализуется достаточно редко. Так, для задач, связанных с фазовыми переходами или явлениями сегрегации, вопросы взаимосвязи и взаимного влияния пространственных корреляций расположения атомов и формирования электронной структуры выдвигаются на первый план

Применение стандартных рядов теории возмущений к вычислению конфигурационно-усредненной резольвенты с учетом корреляций и многократного рассеяния наталкивается на трудности, связанные с нарушением аналитических свойств функции Грина. Для решения этих проблем оказалось эффективным применение так называемого формализма расширенного пространства (ФРП), который был предложен Мукерджи

еще в 70-е годы [1] и основан на представлении случайных величин операторами. К настоящему времени развитие этого метода применительно к "первопринципным" схемами расчета зонной структуры твердых тел позволяет, в том числе, учитывать и эффекты ближнего порядка в сплавах. Несмотря на достигнутый прогресс, проблему конфигурационного усреднения при наличии корреляций нельзя считать окончательно решенной. Рекурсивный метод Хейдока, который используется Мукерджи и соавторами [2] для вычислений в расширенном пространстве; является существенно численным и не содержит малого параметра, который позволил бы оценить точность приближений. Непосредственные вычисления в работах Мукерджи проводятся в реальном пространстве, поэтому результатом является усредненная плотность состояний, которая определяет лишь интегральные одноэлектронные свойства системы. В то же время, в большинстве случаев необходимо так же знать и усредненную функцию Грина в к-пространстве, (С(е, к)), например, для вычисления различных функций отклика, таких как магнитная восприимчивость, диэлектрическая проницаемость и т.д., или расчета кинетических коэффициентов. В связи с этим возникает необходимость развития методов для вычисления (<?(е,к)) непосредственно в к-пространстве, приближения в которых контролировались бы по некоторому малому параметру.

Одним из интересных объектов в физике неупорядоченных систем с точки зрения изучения их структурных и магнитных свойств являются неупорядоченные микрокристаллические и аморфные сплавы железа с гр-элементами МхРе1_г (М = А1, Б), Р). За последние годы накоплен разнообразный экспериментальный материал по их исследованию [3]. Эти сплавы относятся к магнетикам с коллективизированными электронами. В то же время для интерпретации экспериментальных данных в этих системах оказывается успешным применение моделей, основанных на понятиях о локальном атомном окружении и локальных магнитных моментах. Поэтому, одним из фундаментальных вопросов в экспериментальных и теоретических исследованиях является выяснение роли межатомных корреляций и ближайшего атомного окружения на формирование магнитных свойств (среднего магнитного момента на атоме Ре, среднего сверхтонкого поля на ядре Ре, и т.д.) в таких системах.

Таким образом, целями данной работы явились:

1. Адекватное математическое решение проблемы конфигурационного усреднения при наличии пространственных корреляций в неупорядоченных сплавах в рамках формализма расширенного пространства.

2. Объяснение концентрационных зависимостей магнитных характеристик (средних магнитных моментов и сверхтонких полей) для неупорядоченных сплавов типа, металл-металлоид МгРех_г (М = А1, Б1, Р) с помощью моделей локальных магнитных параметров с учетом корреляций в расположении примесных атомов.

Научная новизна работы состоит в том, что в диссертации развивается теория расчета электронных спектров неупорядоченных сплавов, которая позволяет в рамках кластерных обобщений приближения когерентного потенциала учесть флуктуации атомных конфигураций ближайшего окружения в случае коррелированного в пространстве распределения случайных величин. Предложено обобщение математического аппарата формализма расширенного пространства, которое поззоляст в рамках единого подхода строить аппроксимации для расчета конфигурационно-уоредненной функции Грина неупорядоченного сплава, учитывающие эффекты ближнего порядка и обладающие правильными аналитическими свойствами. При описании концентарционных зависимостей магнитных свойств неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид применен аппарат модели Изинга для учета пространственных корреляций расположения атомоз. Показано, что отклонения вероятностей образования кластеров заданной конфигурации от биномиальных можно объяснить ближним порядком в расположении примесных атомов. Определены параметры эффективного межатомного взаимодействия и параметры Ка-ули для сплавов Ре-М (М = А1, Э;, Р)

Практическая ценность диссертации определяется прежде всего тем, что ее положения и выводы вносят вклад в развитие физических представлений об особенностях формирования энергетических спектров и магнитных характеристик неупорядоченных сплавов в зависимости от характеристик ближайшего атомного окружения. Предложенные схемы расчета спектров модельных гамильтонианов, учитывающие ближний порядок, могут служить основой для расчетов спектров реальных неупорядоченных систем.

Основными результатами диссертации, которые выносятся яа защиту, являются следующие

1 Используя модель Изинга для описания неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид МхРех-х (М — А1, Б!, Р) и учитывая ближний порядок в расположении атомов, в рамках моделей типа Джаккарино-Уолкера рассчитаны концентрационные зависимости среднего магнитного момента на атоме Ре, т(х), и среднего сверхтонкого магнитного поля

на ядре Ре, Н{х). Полученные теоретические кривые хорошо описывают экспериментальные данные по средним магнитным моментам и средним сверхтонким полям, полученные из анализов мёссбауровских спектров и магнитных измерений. Оценки величины параметра эффективного отрицательного взаимодействия между атомами металлоида показывают, что ближний порядок усиливается в последовательности А1 Р,

что согласуется с данными по неравновесным фазовым диаграммам для этих сплавов.

2. В рамках формализма расширенного пространства для модельного гамильтониана неупорядоченного сплава в приближении сильной связи предложен метод расчета усредненной по конфигурациям одноэлектрон-ной функции Грина, позволяющий учитывать корреляции в расположении атомов. Предложенный метод явно учитывает трансляционную инвариантность при определении базиса в расширенном пространстве.'

3. С помощью проекционной техники в расширенном пространстве получено формально точное выражение для массового оператора усредненной функции Грина. Для одномерной цепочки атомов, пространственные корреляции на которой определяются марковским случайным процессом первого порядка, такое представление получено в виде операторной цепной дроби. Предложены общие схемы построения самосогласованных аппроксимаций для вычисления массового оператора, которые точно учитывают многократное рассеяние в пределах максимального кластера и, в частном случае отсутствия ближнего порядка, обобщают известные приближения когерентного потенциала и блуждающего кластера.

4. Показано, что построенные приближения приводят к правильным предельным переходам к функции Грина упорядоченного кристалла при стремлении параметра Каули ближнего порядка к критическим значениям и удовлетворяют свойству Герглотца, тем самым обеспечивая положительную плотность электронных состояний во всей области изменения параметров системы.

5. Проведен численный анализ уравнений самосогласования для случая одномерной марковской цепочки атомов и для случая бесконечной размерности пространства. Рассчитанные кривые правильным образом отражают поведение плотности состояний в примесной зоне при изменении параметра ближнего порядка. В пределе бесконечной размерности пространства (с£ = оо) для приближения, обобщающего ПКП, предложен аналитический метод решения нелинейного интегрального уравнения для массового оператора в ограниченной области изменений параметра Каули а.

Апробация работы. Основные результаты' диссертации докладывались на российских и международных конференциях: "2-ой Российской университетско1 академической - - научно- практической _ _ конференции", Ижевск, 1995, "3-й Российской университетско-академической научно-практической конференции", Ижевск, 1997, "International Conference for Physics Students'97'!, Vienna, Austria, 1997, "II открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ", Дубна, 1998; "XXVII Международной зимней школе-симпозиуме физиков теоретиков "Коу-ровка-98", Екатеринбург-Челябинск, 1998

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях и 5-ти тезисах докладов, список которых приведен з конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы Полный объем работы — 121 страница машинописного текста, включая 21 рисунок, 2 таблицы и бибилиографию из 146 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования рассматривав мых в диссертации проблем, сформулирована цель работы и дана краткая характеристика основных разделов диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. Параграф 1 1 посвящен краткому анализу известных в теории неупорядоченных сплавов различных методов расчета усреденной по конфигурациям одноэлектрон-ной функции Грина, таких как приближение когерентного потенциала (ПКП), метод погруженного кластера, метод 7-разложеяия и др. Особое внимание уделено краткому изложению методики формализма расширенного пространства (ФРП), основой которого является представление случайных величин самосопряженными операторами.

В параграфе 1.2 проведен краткий обзор отдельных работ, посвящен- • ньгх "первопрктгципньш" расчетам электронных и магнитных свойств неупорядоченных сплавов на основе комбинации линейных методов расчета зонной структуры с ПКП и формализмом расширенного пространства Анализ работ показывает, что, несмотря на существенный прогресс, достигнутый в этой области исследований неупорядоченных систем за последнее десятилетие, решение задачи о конфигурационном усредении при наличии корреляций между случайными величинами не является окончательно завершенным.

В параграфе 1.3 кратко изложены экспериментальные данные о структурных и магнитных свойствах разупорядоченных микрокристаллических и аморфных сплавов железа с sp-элементами (Al, Si, Р). Особое внимание уделено исследованиям этих систем методом мёссбауровской спектроскопии, данные которой свидетельствуют о возможности описания интегральных магнитных свойств рассматриваемых сплавов в терминах локальных магнитных моментов и сверхтонких магнитных полей, зависящих от ближайшего атомного окружения атома Fe.

Вторая глава посвящена теоретическому описанию экспериметналь-ных данных по концентрационным зависимостям средних магнитных моментов и средних сверхтонких полей в неупорядоченных сплавах металл-металлоид MjFej-j; (М = Al, Si, Р) в рамках феноменологических моделей типа Джаккарино-Уолкера. Средний магнитный момент т(х) и среднее сверхтонкое поле Н(х) на ядре Fe в рамках этих моделей пред-ставимы в виде [3]:

т(х) = £ ткРк(х), Н(х) = ¿ НкРк(х),

к=а о : ;

где суммирование предполагается по числу немагнитных sp-атомов в 1-ой координационной сфере атома Fe; гпк и IIк, соответственно, не зависящие от концентрации х магнитный момент на атоме Fe и сверхтонкое поле на ядре при фиксированном числе К атомов металлоида в ближайшем окружении, Z — координационное число решетки. Рк{х) есть вероятность образования кластера фиксированной конфигурации с атомом Fe в центральном узле и К атомами металлоида в ближайшем окружении. Из экспериментальных работ по рентгеноструктурному анализу [3] следует, что сплавы металл-металлоид в широкой области концентраций (Fe-Al до 70 ат.%, Fe-Si до 33 ат.%) сохраняют ОЦК решетку, что позволяет их считать сплавами типа сплавов замещения с Z = 8. Экспериментальные данные свидетельствуют так же о том, что рассматриваемые сплавы характеризуются весьма "сильным" ближним порядком. Поэтому расчет вероятностей Рк проводился с учетом корреляций в расположении атомов.

В параграфе 2.1 для расчета вероятностей Рк образования кластеров атомов фиксированной конфигурации применяется аппарат модели Изинга. Выражение для энергии системы записывается через парные потенциалы взаимодействия атомов. Это выражение далее может быть представлено в терминах изинговских спинов or = ±1, взаимодействие

между которыми определяется величиной /(г) = | [.#лв(г) - |Явв(г)~

где Еар{т) — парный межатомный потенциал. .....Неупорядоченные-микрокристаллические й аморфные сплавы железа с вр-элементами получают путем резкого охлаждения или методами механического сплавообразовашш и электрохимического осаждения [3]. Считая, что метастабильные состояния соответствуют равновесным при некоторой более высокой фиксированной температуре, свойства системы можно описывать ста тистической суммой модели Изинга. Ограничивая взаимодействие /(г) ближайшими ■соседями и аппроксимируя решетку, окружающую кластер П на каждом узле, решеткой Бете с координаци онным числом 2 — 8, можно воспользоваться точным решением модели Изинга для этого случая. Для вероятности Рц тогда получаем выражение.

где С§ биномиальный коэффициент, Рдв — вероятность обнаружить атом В при условии, что ближайший узел занят атомом А:

\[{Г- 2x)2(e~4jr - 1) + 1 -

-2 j

Рав — ^ _ ^ sinh (2J)-' ' =

где rj — радиус ]-ой координационной сферы.

В параграфе 2.2 приводятся результаты расчетов концентрационных зависимостей средних магнитных моментов и средних сверхтонких полей в рассматриваемых сплавах. Для оценки безразмерного параметра J, который опеределяет вероятность Рдв образования пары атомов, были использованы данные по концентрационным зависимостям вероятностей локальных конфигураций Рк-(х), полученные их анализа мессбауровских спектров [3] На рис. 1 эти данные представлены на примере Fe-Al сплавов. Наряду с Рк[х) в [3] были найдены значения Н(х) сверхтонких магнитных полей на ядре Fe для сплавов Fe-Al, Fe-Si и Fe-P, а так же значения локальных полей (таблица 1), которые практически не зависят от концентрации х. Сравнения теоретических кривых с экспериментальными зависимостями Рк{х) и Н{х) позволили сделать заключение, что J — -0.7 для Fe-Al, J — -1.0 для Fe-Si и J = -1 5 для Fe-P сплавов Для вычисления концентрационных зависимостей средних значений магнитных моментов т(х) были использованы модели локальных магнитных моментов тк, предложенные в [3] (таблица 2). На рис. 2 и 3 приведены зависимости средних величин т(х) и Н(х) в сплавах FeAl с учетом ближнего порядка." Из представленных данных видно, что

\ р° Рл \ »

; • а

А * / Y » ( \ • 1 ^-JL % * «

рг /ь

Ру ¿г N^« . —«г-'Л ш ^г . ' ' " тт 18 """Яг* "W* '

Al concentration (at ж) Рис. 1. Зависимость вероятностей локальных конфигураций Рк{х) от концентрации А1. • — эксперимент [3], сплошная линия — расчет при J — -0.7.

Таблица 1. Значения локального сверхтонкого магнитного поля Нк (кЭ) [3j.

м if

0 1 2 3 4 5 6 7 8

А1 340 315 290 265 214 159 106 53 0

Si 340 307 275 230 172 115 57 0 0

Р 340 305 270 202 135 67 0 0 0

Таблица 2 Значения локального магнитного момента т,к (дв) (3J-

М К

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Al 2.20 2.17 2.13 2.10 1.68 1 26 0 84 0.42 0.00

Si 2.20 2.13 2.07 1.71 1.29 0.86 0.43 ' 0.00 - 0.00

Р 2.20 2.10 180 1.35 0.90 - 0.45 0.00 0.00 0.00

Рис. 2. т(х) - средний магнитный момент на атоме Fe для AljFei-z. Значки обозначают экспериментальные данные [3], сплошная линия — расчет, J = -0 7

Рис. 3. Н(х) - среднее сверхтонкое поле на ядре Ре для А^Ре^х. Значки обозначают экспериментальные данные [3], сплошная линия — расчет, ] = —0.7

теоретические кривые хорошо согласуются с экспериментом. Аналогичные результаты получены так же и для систем Fe-Si и Fe-Р. Разброс экспериментальных значений по зависимостям Рк{х), гп{х) и Н(х) допускает вариации в оценке параметра J. Тем не менее, анализ данных для разных сплавов показывает, что значения J упорядочены так, что

|JFe_Al| < |ÍFe-Si| < |Jíte-p|, (1)

и J < 0, что в терминах изинговских спинов характеризует тенденцию к "антиферромагнитному" упорядочению атомов по кристаллической решетке. Наибольшее по модулю значение |JFe-p| свидетельствует о том, что ближний порядок является наиболее "сильным" для системы Fe-P в рассматриваемой серии сплавов. Полученные результаты для параметров эффективного взаимодействия между атомами металлоида со-гласуютсягс-эксперим-ёнтальными данными по неравновесным фазовым диаграммам: область" существования ОЦК-фазы сдвигается от больших значений х для Fe-Al сплавов в последовательности Al (70 ат.%) —> Si (33 ат.%) -> Р (11 ат.%). Проявление закономерности вида (1) продиктовано различным количеством Зр-электронов для Al, Si и Р.

В параграфе 2.3 сформулированы выводы главы 2.

В третьей главе на основе формализма расширенного пространства (ФРП), для модельного гамильтониана неупорядоченного сплава излагается оригинальный метод расчета усредненной по конфигурациям од-ноэлектронной функции Грина, позволяющий учитывать корреляции в расположении атомов. В параграфе 3.1 сформулирована постановка задачи. Гамильтониан бинарного сплава в приближении сильной связи с диагональным беспорядком имеет вид:

= + (2) i ij

здесь |i) есть вектор.состояния электрона (функция Ваннье), локализованного на узле с радиус-вектором i. Множество векторов {|i)} образует полный ортонормированный базис в пространстве Ф. Конфигурация сплава описывается набором случайных величин {e¡}, где e¡ = ед, если в узле i находится атом сорта А, и e¡ = ев, если в узле i находится атом В. Для сплава с ближним порядком величины e¡ не являются независимыми. Одноэлектронные свойства системы определяются усредненной одночастичной функцией Грина гамильтонина (2)

ВД = / ¡-..^№-Н{{еп}))-*\з)Р({еаЩ<ка, (3)

где Р({£п}) — совместная функция распределения случайных величин,

при этом

Р£» = Щё-~ЕХ)-+у5(е- с в) - / /.7г/ Р({сп}) П - (4) - -

есть плотность распределения случайной величины е\ на фиксированном узле. Здесь х и у - концентрации атомов сорта А и В, соответственно Интегралы перекрытия в гамильтониане (2) предполагаются неслучайными

В параграфе 3.2 построение формализма расширенного пространства начинается с рассмотрения одномерной неупорядоченной цепочки атомов А и В, конфигурация которой определяется случайным марковским процессом первого порядка. Если Р^^) есть вероятность найти атом сорта в узле 1 при условии, что в узле j находится атом сорта а Р^) — вероятность обнаружить атом 5; в узле ¡, равная его концентрации, то вероятность образования кластера заданной конфигурации из п атомов выражается через произведение парных условных вероятностей:

Я»К, 51,, ■ • , ¿0 = Р(5,1)Р(5Ь|5,,)Р(513|5Ь) . . . РЫз,„.Л, (5)

где ¿1 < ¿2 < ■ ■ • < 1п- Параметр Каули ближнего порядка определяется как а = 1 - РАВ/ху, где РАВ — вероятность образования пары А-В на ближайших узлах. Бели х < у, то 0 < РАВ < х и -х/у < а < 1

Для построения расширенного пространства с учетом корреляций необходимо знать корреляционные функции произведений случайных величин (;, {(¡(_,(к .}, где — — ё есть флуктуация энергии на узле ¡, а е = хса Л- уев- Далее приводятся явные выражения для корреляционных функций на марковской цепочке, которые, в силу соотношения (5) выражаются через связанные корреляционные функции, определяемые как

где ¡1 < ¿2 < • • ■ < к, И Д = д/ху{еА - ев), Д£ = [у - х)[еа - ев)-

В параграфе 3.3 для одномерного случая марковской цепочки в расширенном пространстве строится специальный неортогональный базис, в представлении которого гамильтониан имеет блочно-трехдиагональный вид Согласно ФРП, случайной величине £ сопоставляется самосопря женный оператор действующий на вспомогательном пространстве Ф. В модели бинарного сплава £ имеет распределение вида (4) и Ф есть 2^-мерное линейное пространство, где N — число узлов решетки. В

пространстве Ф определен полный ортонормированный базис {|з)}, где 5 == ($1, 52, ■. •, и я, = А или В. Состояния {(я)} есть собственные векторы оператора £ для всех ¡; при этом

ш = ем*),

£Л — е> = А,

ЕВ-ё, 81 = В.

Функции случайных величин /(&, Cj. --.ik) сопоставляется оператор / = /(£ь£ь • • ■ >&)■ В пространстве Ф определен вектор основного состояния

|шс) = £\Ш|*>, (6)

(гдер(з) есть вероятность реализации конфигурации б) так, что значение величины /, усредненное по всем конфигурациям системы, есть / = (шс(/|г)ас).

Далее излагается процедура построения специального базиса в пространстве Ф такого, что вектор \vclc) (6) является базисным вектором, а пространство Ф по-прежнему представимо в виде прямой суммы некоторых пространств Еп> сШл.^?,, = Н\/[п\(Н - п)!]:

Ф = £о © Ф #2 Ф - - Ф £п © - - - -

и оператор удовлетворяет свойству: 1т {¡(.Еп) С Еп-\ Ф Еп ф Еп+1. Пространство Еп есть линейная оболочка векторов

Ы1)) = |1ь1а,.--,и,

где ап — конфигурация кластера, 1 — положение его центра тяжести, к < Ь < ■ • • < 1п- Эти вектора определяются из соотношения

Ь<7„|1ь Ь, ■ • •, 1п} = [СиСь ■ • •

-¿К+Х^. ¿1+1. 4 + 2, ■ ■ • ,&Л1«ас}.

Здесь ■ • • >Ск)> п < к — полином от к переменных общей

степени (п - 1) вида:

>=1 ^ • ■ ■ + Е сг1»2 • • ■ &П-1 ■

Коэффициенты полинома (7) находятся из условия ортогональности вектора |<7П(1)> любому кластеру ат{\') С {Ь, Ь, • • -, 1п} {т < п), используя выражения для~коррёляцйонных "функций; константа Ьап определяется из условия нормировки Построенный таким образом вектор |стп(1)) ортогонален любому вектору £ . .ф Еп-\. Различные векторы |сгп(1)} и ортогональны, если кластеры сг„(1) и а'п{1') не перекрываются. Иначе скалярные произведения отличны от нуля. В представлении ФРП гамильтониан (2) имеет вид

и=£ 1001 ® &+£ +® I, (8)

1 и'

где I — единичный оператор на пространстве Ф. Гамильтониан (8) действует в расширенном пространстве Ф®Ф, ¡¡) е Ф, которое имеет структуру пространства Фока: Ф ® Ф = Е(0) ф Еф ... © Е(п> ф ..., где £■(") = Ф® £„. Базисный вектор в Е^ есть ¡1 + 1, сг„(1)) = + О®)^^)), здесь 1 есть положение электрона, отсчитанное от центра тяжести кластера сг„(1), причем 1 = 0 при п = 0. В этом базисе гамильтониан (8) имеет блочно-трехдиагональный вид:

К-пгп ~ К-п&пт ^п^-ч^ 'Г

где Ппт = РпКРт, Чп = РпЧРп, Дп - РпПРп+1 И Рп (п > 0) - ортогональный проектор на

В параграфе 3 4 описаны аппроксимационые схемы расчета усредненной функции Грина (3), нахождение которой в ФРП сводится к вычислению проекции <?о(е) — -Ро£ -цРо проекции резольвенты гамильтониана (8) на пространство Выполняя фурье-преобразование векторов состояний в расширенном пространстве по центрам тяжестей кластеров 1, получаем набор векторов ¡¡,ап,с}) Гамильтониан Ц (8) записывается в фурье-представлении. Далее, используя технику проекционных операторов в расширенном пространстве резольветна Со(е, q) может быть представлена з виде С?о(е,С[) - ^о(ч) _ где

-Ап-!(Ч)

1

е~-Нп{ц)-Т.п{е,Ч)

и Нп{ч) = Ап(ч) = Р2и(ч)Р2+1, а Рпч есть ортогональные

проекторы на пространства Ы(ц) есть представление случайной составляющей исходного гамильтониана в расширенном пространстве.

Аналитическое вычисление формально точного выражения (9), которое представляет собой операторную цепную дробь, невозможно из-за входящих в него матриц бесконечных размерностей, причем проблемы вычисления возникают уже на первом этаже из-за неортогональности базисных векторов. Далее в тескте излагается процедура ортогонализа-ции базиса и проводится анализ матричных элементов гамильтониана в построенном ортогональном базисе на каждом этаже расширенного пространства. Анализ показывает, что матричные элементы случайного потенциала убывают как а1+1', с увеличением расстояния между узлом 0 и центрами тяжестей кластеров сгп(1) и

Для дальнейшего упрощения необходимо использовать аппроксима-ционную схему, возможные варианты которой обсуждаются ниже. Выделим кластер ап, содержащий п узлов, рассеяние на котором будем учитывать точно. Будем называть его максимальным кластером а™01. Определим в Е^фЕ^ф.. подпространство Ьч = Ь^фЬ^ф.. где — линейная оболочка векторов таких, что 1 и ащ С атах < пу Пусть ТД — ортогональный проектор на подпространство и уч = — ортогональный проектор на Ьч. В этих обозначениях несамосогласованная аппроксимация состоит в следующей замене:

и{а) => ГЗДТО+ + До (я) + А0+(Ч). . (10)

Таким образом, действие Ы{<\) сужается на пространство Ьч ф Е^. После замены (10) матрицы операторов Ат(я) и Ыт((\) (т < п) имеют ненулевые элементы для конечного числа кластеров, поэтому обращение матриц в (9) может быть выполнено аналитически. Для построения самосогласованных аппроксимаций необходимо, следуя работе [4], определить операторы

где |х0,о-п,я)) есть вектор, дуальный к Ц,ап,я), ^¡-¡(е) есть фурье-образ Ео(е,я). Далее случайный потенциал в гамильтонине %{<!) заменяется его сужением на Ьч®Е^ согласно (10). На каждом этаже цепной дроби (9) выполняется замена:

£т(е,ч) => + ^(£,Ч)2Г, (11)

где = РД — Т* — проектор на ортогональное дополнение к Ь^ в пространстве ЕПодстановка (11) означает, что точный учет рассеяния ведется на всех кластерах ат С о™ах (т < п) Влияние других конфигураций учитывается в приближении эффективной среды. В результате на каждом этаже цепной дроби (9) суммирование ведется по конечному множеству кластеров {ат ат С ст™а1} (то < п), и хотя по 1, ] матрицы, входящие в цепную дробь, остаются бесконечными, их обращение становится возможным в аналитическом виде. В частном случае а —- 0 мы получаем аппроксимацию, предложенную в работе [5].

Анализ аппроксимаций показывает, что малыми параметрами теории являются (а/Яа)т (т - целое число, зависящее от размерности пространства и номера этажа, а - постоянная решетки, Л^ - характерная длина затухания интеграла перескока электрона), ехр{-|1— Л/10} (10 - величина порядка длины свободного пробега электрона) и параметр Каули а.

В параграфе 3.5 рассмотренная методика обобщается с необходимыми изменениями на случай произвольных корреляций случайных величин и размерности пространства больше 1. При этом корреляционные функции, необходимые для построения базиса в расширенном пространстве, считаются известными, выступая в качестве "параметров" теории

В параграфе 3 б исследуются предельные случаи упорядоченного кристалла Для примера рассматривается двумерная квадратная решетка и парная корреляционная функция моделируется следующим образом

= (Ш - (12)

где |1гх - г2|| = ¡£1 - 22[ + ¡У1 т Уг 1> 1а1 < 1 ~ параметр Каули Тогда при а = 1 сплав распадается на две подсистемы, состоящие из атомов только сорта Л или только сорта В При концентрации х - 0 5 и а = -1 атомы А и В чередуются по решетке в шахматном порядке. Показано, что построенные приближения приводят к правильным предельным переходам к функции Грина упорядоченного кристалла при стремлении параметра Каули ближнего порядка к критическим значениям

В параграфе 3 7 доказывается, что построенная в соответствии с ап-прокекмационной схемой одно частичная функция Грина Со (с) обладает правильными аналитическими свойствами (свойствами Герглотца)-

<30+(е) = <?„(£*), СоЫ - С0(е2) = (е2 -е^оЫФК^СоЫ, где

Ф(£)Е*) > 0. Тем самым обеспечивается положительная плотность электронных состояний во всей области изменения параметров системы. В четвертой главе на конкретных примерах рассмотрена реализа-

ция схем самосогласования для вычисления массового оператора В параграфе 4.1 для случая марковской цепочки атомов рассмотрено уравнение, являющиеся аналогом приближения блуждающего кластера (ПБК), которое соответствует выбору в качестве максимального кластера cr™"1 = а2 пары ближайших соседей. Описаны детали вычислений, приводящие в итоге к самосогласовнному нелинейному интегральному уравнению, которое определяет Eo(e,g), q £ [—7г,7г].

В параграфе 4.2 приведены результаты численного анализа получен-' ного уравнения. Для расчетов были выбраны следующие параметры модельного гамильтониана (2): ед = — с в = 2.5 (энегрия здесь и далее измеряется в условных единицах); V¡_j = 1.0, если i, j есть пара ближайших соседей и V¿_j = 0 в другом случае. Концентрация примесных атомов (сорта А) равнялась х = 0.1 и х = 0.5. Такой выбор параметров отвечает интересной области сильного рассеяния и достаточно больших концентраций примесей. При этом существует щель между основной и примесной зонами на шкале энергии, которые формируются в интервалах (-4.5; -0.5) и (0.5; 4.5), соответственно. При х = 0.1 основная зона близка по форме к плотности состояний идеального кристалла (х = 0), а при х = 0.5 зоны расположены симметрично относительно с = 0. Поэтому достаточно рассматривать интервал энергий (0.5; 4.5), соответствующий примесной подзоне. Для сравнения теоретических результатов с точными проводился численный анализ распределения собственных значений случайного гамильтониана (2) (гистограмма на рис. 5) при фиксированной выборке, содержащей 10® атомов. Такой анализ в одномерном случае достаточно прост и сводится к подсчету числа нулей собственных функций гамильтониана.

На рис. 4 показана плотность состояний при х = 0.1 в приближении блуждающего кластера (толстая сплошная линия) и плотность состояний, рассчитанная с учетом ближнего порядка для а = 0.1 (тонкая сплошная линия) и а = —0.05 (пунктирная линия). Центральная зона вблизи с = еуi соответствует состояниям, локализованным преимущественно на парах атомов А-В. По обе стороны от нее расположены подзоны, соответствующие связывающим и антисвязывающим состояниям, локализованным на парах А-А. Их относительный вклад в общую плотность состояний есть величина порядка РАА = х{х-\-ау), где РАА — вероятность образования пары А-А. Относительный вес центральной подзоны ~ РАВ — ху( 1 - а). Кривые на рис. 5 демонстрируют правильное поведение плотности состояний при изменении параметра Каули. Слу-

.1.0

Energy

Рис. 4. Плотность состояний в примесной зоне неупорядоченой марковской цепочки атомов для х = 0.1, еА = = 2.5, V — 1.0, а = 0 (толстая линия, ПБК), а = 0.1 (тонкая линия), а = —0 05 (пунктирная линяя).

чай а > 0 соответствует притяжению атомов одинакого сорта. Число пар атомов А-А увеличивается, и вклад боковых подзон в суммарной плотности состояний возрастает. Вклад центральной подзоны, наоборот, уменьшается. В случае (а < 0) мы имеем противоположную ситуацию отталкивания одинаковых атомов.

На рис. 5 приведены теоретические расчеты плотности состояний при х — 0.5 в сравнении с точным решением (гистограммы) при положительных и отрицательных значениях а. Теоретические кривые хорошо отражают основные особенности гистограмм й демонстрируют положительную плотность состояний во всем интервале значений параметра Ка-ули. При а > 0 кривая плотности состояний эволюционирует к точному решению (а = 1). Значение а = -1 соответствует критическому случаю полного отталкивания атомов одного сорта. При этом сплав (в данном случае, цепочка атомов) упорядочивается в структуру вида АВАВ . . В рассматриваемом приближении относительный зес боковых подзон определяется матричными элементами проекторов Ai(q) и A^(q), которые равны нулю при а —х/у. При концентрации х = 0.5 вклад конфигураций, на которых рассеяние учитывается эффективным образом, достаточно велик х3), и при а = 0 приближение не воспроизводит полностью тонкую структуру зоны. Чтобы добиться лучшего согласия, в

0 12 3 4

а = 0.0 :\

0.5 04 03 02

0.1 0

0 .1 -2.3 4.

а = 0.25

0 1 2 3 4 3 «=1.0

06 04 0.2 о

Energy

Рис. 5: Плотность состояний в примесной зоне неупорядоченной марковской цепочки атомов для х = 0.5, ех = -ев = 2.5, V = 1.0.

о

аппроксимации необходимо учесть более большие, чем пара ближайших соседей, кластеры. При стремлении а к критическим значениям теоретические кривые хорошо согласуются с гистограммами.

. В параграфе_4-3_ рассматривается, самосогласованное, приближение,.

которое в случае коррелированного беспорядка обобщает ПКП В общей схеме самосогласования, рассмотренной в разделе 3.4, это приближение соответствует выбору в качестве максимального кластера единственного узла решетки (отах — а 1). Самосогласованное интегральное уравнение для массового оператора в этом случае имеет вид:

ЕоМН__5__, (13)

+ +

где

ч) = ^р/<*рз(р-я)Ео(£,р), боо(е.ч) = Ща / ¿рд(р - ч)<?о(е,р), Ые,ч) = Р-а)^о(е,р)Со(Е,р),

1 г

="■ I ¿рд(р - я)Е2(е,р)О0(е(р),

здесь интегрирование выполняется по первой зоне Вриллюэна рассматриваемой решетки, (1 — размерность пространства, а есть фурье-образ двухузельной корреляционной функции

Далее проводится анализ порядка отбрасываемых членов, который показывает, что в дополнение к "одноузельному" характеру такого приближения, они являются малыми по параметрам а и (1 —|а|)<г, где а — параметр Каули 1-ой координационной сферы, <2 — размерность пространства.

Анализ уравнений (13) значительно упрощается, если выбрать парную корреляционную функцию в виде (12), положить интеграл перескока V отличным от нуля только для ближайших соседей и рассмотреть предел бесконечной размерности пространства ¿ — со При этом для получения нетривиального результата V необходимо переномировать как V = У/у/3. В этом случае функциональная зависимость £о(е,я) от я

Рис. 6. Плотность состояний неупорядоченного сплава для й = со при х = 0.2, еА = -ев = 1.0, Ь = 2V* = 1.0, а — 0 (пунктирная линия, ПКП), а = 0.5 (толстая линия), а = 10 (тонкая линия).

Energy

Рис. 7. Плотность состояний неупорядоченного сплава для d = оо при х = 0 5, £а = -ев = 1-0, 6 = 2V* = 1.0, Q = 0 (пунктирная линия, ПКП), а = -0 5 (толстая линия), а = —1.0 (тонкая линия).

имеет вид Eo(e,q) = S(e,z), z = ^£^=1cosgn, и интегрирование по q, в силу центральной предельной теоремы, сводится к гауссовым квадратурам.

Для численных расчетов были выбраны следующие параметры гамильтониана (1.1): са = —ев — 1.0, b = 2V* = 1.0. На рис. 6 представлены расчеты плотности состояний для концентрации примесей х = 0.2

Рис. 8. Плотность состояний неупорядоченного сплава для d. — со при х = 0.5, еа = -£в — 1 0, b = 2V" = 1.0 и различных отрицательных значениях параметра Kay ли ос.

и положительных значениях параметра Каули а. На рис. 7 — для отрицательных значений параметра а и концентрации х = 0.5. Пунктирная кривая на графиках соответствует ПКП (а — 0) Тонкая сплошная кривая — плотность состояний упорядоченного кристалла Толстая сплошная кривая (а — 0.5 и а — —0.5, соответственно) демонстрирует эволюцию плотности состояний от случая разупорядоченного сплава к упорядоченному состоянию.

На рис. 8 представлены в сравнении плотности состояний для различных значений величины параметра Каули а < 0 при ед = —ев — 1.0. Структуру плотности состояний при а близком к -1 можно понять, воспользовавшись следующими рассуждениями. При а = -1 (х = 0.5) сплав полностью упорядочен, и плотность состояний имеет дзухпиковую форму. При а близком к -1, некоторые узлы решетки заняты "чужими" атомами. При конечной их концентрации, вблизи основных зон появляются узкие примесные зоны, образованные за счет уширения примесных уровней ±(ео — <5+), где ео = £д = — ев, > 0. Таким образом, при Ci —> — 1 каждая из двух подзон плотности состояний рассматриваемого неупорядоченного сплава должна иметь подобие двухпиковой структуры. Тенденцию такого рода можно наблюдать на рис 8.

В параграфе 4 4 для рассмотренного приближения, обобщающего ПКП, в пределе d = оо рассматривается аналитический метод решения нелинейного интегрального уравнения для массового оператора. Решение

0) 0.1 Q

•1 0 1 Energy

Energy - Energy1

Energy Energy

Рис 4 9. Приближенное аналитическое решение интегрального уравнения "ПКП + ближний порядок" для £¿ = 00 (сплошная линия) в сравнении с точным численным расчетом (пунктирная линия) для различных значений параметра Каули а. Концентрация примесей х = 0.2, са = -£в = 1-0, Ь = 21/* = 1.0.

уравнения "ПКП+ближний порядок" для d — оо предлагается аппроксимировать следующим образом:

-----------------------------------------------------

где а2 — 1 — а2, ш — с - ё, a EqPA(w) есть решение стандартного уравнения ПКП с гауссовой "затравочной" плотностью состояний с дисперсией равной 1, но в котором все энергетические параметры поделены на о, то есть Дст = Д/а, = Д£/а, ê0 = ё/ст. Далее приведены обоснования в пользу выбора такой аппроксимации. Сравнение приближенных решений с точными решениями уравнения, полученными численным методом, показывает, что приближение хорошо работает при 0 < а < 1 при любых концентрациях и величине рассеяния 5 = \ед — ев\- В области отрицательных параметров Каули (а < 0) построенное приближенное решение так же удовлетворительно описывает точное при |а| < 0.25. Приближение начинает работать тем хуже при уменьшении параметра Каули а в отрицательную область, чем больше величина рассеяния. Для иллюстрации, результаты такого сравнительного анализа приведены на рис. 9 для х — 0.2 и 5 = ед - ев = 2.0. При х = 0.2 значение ас — —х/у = —0.25 является критическим для данной концентрации

В параграфе 4.5, следуя работе [6], на примере TB-LMTO метода расчета зонной структуры показано, как предложенный в диссертации метод учета корреляций случайных зеличин в самосогласованных расчетах энергетических спектров модельных гамильтонианов может быть применен к расчетам реальных систем. В параграфе 4.6 даны выводы главы 4

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: ■

1 A Arzhnikov, A Bagrets, D. Bagrets. Allowance for the short-range atomic order in describing the magnetic properties of disordered metal-metalloid alloys // J. Magn. Magn. Mater. - 1996. - V. 153. - P. 195-201.

2. Аржников A. К., Багрец A. A., Багрец Д. A. Усреднение резольвенты с коррелированным в пространстве распределением случайного потенциала // ТМФ - 1998. - Т. 114, №2. - С 296-313

3. Arzhnikov А. К., Bagrets A. A., Bagrets D. A. Application of the augmented-space formalism to a problem of configuration averaging m the theory of unordered alloys with correlated disorder // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60, No. 9. - P. 7178-7195.

4. Аржников А. К., Багрец А. А., Багрец Д. А. Учет ближнего порядка расположения атомов при описании магнитных свойств неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид // В сб.: "Тезисы докладов 2-й Российской университетско-академической научно-практической конференции". Ч.З. - Ижевск: УдГУ, 1995. - С. 16-17.

5. Аржников А. К., Багрец А. А., Багрец Д. А. Расчет электронной плотности состояний неупорядоченной цепочки атомов с учетом ближнего порядка //В сб.: "Тезисы докладов 3-й Российской университетско-академической научно-практической конференции". 4.6. - Ижевск: УдГУ, 1997. - С. 15-16.

6. Bagrets A., Bagrets D. Self-consistent cluster theory for unordered alloys with correlated disorder // International Conference for Physics Stu-dents'97. Conference Programme. - Vienna: Organizing Committee of the 12th ICPS, 1997. - P. 46.

7. А. А. Багрец, Д. А. Багрец. Расчет спектров квазичастиц неупорядоченных сплавов с коррелированным беспорядком // В сб.: "Вторая открытая научная конференция молодых ученых и специалистов ОИЯИ, труды конференции". - Дубна, 1998. - С. 125-127.

8. Аржников А. К , Багрец А. А., Багрец Д. А. Расчет электронных спектров неупорядоченных сплавов с коррелированным беспорядком // В сб.: "XXVII Международная зимняя школа-симпозиум физиков теоретиков "Коуровка-98". Программа. 2-7 марта 1998 г. - Екатеринбург-Челябинск: УрО РАН, 1998. - С. 24.

Цитируемая литература

[1] Mookerjee A. A new formalism for the study of configuration-averaged properties of disordered systems // J. Phys. С - 1973. - V. 6, N10. - P. L205-L208.

[2] Saha T , Dasgupta, Mokerjee A. Augmented-space recursive method for the study of short-range ordering effects in binary alloys // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 50, N18. -P. 13267-13275

[3] Елсуков Е.П Структура и магнитные свойства микрокристаллических и аморфных бинарных сплавов железа с sp-элементами (Al, Si, Р) // ФММ. - 1993. - Т 76, вып. 5. - С 5-31.

[4] Аржников А. К., Новокшонов С. Г. Кластерное обобщение приближения когерентного потенциала на основе проекционного формализма в расширенном пространстве // ТМФ. - 1990. - Т. 84. № 1. - С. 128-140.

[5] Kaplan T., Leath P. L , Gray L. J., Diehl H. M. Self-consistent cluster theory for systems with off-diagonal disorder// Phys. Rev. B. - 1980. - V. 21, N10. - P. 4230-4246

[6] Kudrnovsky J., Drchal V. Electronic structure of random alloys by the linear band structure methods // Phys. Rev. В - 1990. - V. 41, N11 - P. 7515 - 7528

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Различные подходы к исследованию моделей неупорядоченных сплавов

1.2. Расчеты свойств неупорядоченных сплавов из "первых принципов"

1.3. Магнетизм в сплавах железа с йр-элементами

Глава 2. Феноменологическое описание магнитных свойств неупорядоченных сплавов металл-металлоид с учетом ближнего порядка

2.1. Учет ближнего порядка при расчетах вероятностей образования кластеров атомов

2.2. Результаты и их обсуждение

2.3. Выводы

Глава 3. Формализм расширенного пространства (ФРП) для сплава с ближним порядком

3.1. Введение

3.2. Корреляционные функции марковского типа

3.3. Построение базиса в расширенном пространстве для одномерного случая

3.4. Конфигурационное усреднение резольвенты в случае марковских корреляций

3.5. ФРП и усреднение резольвенты для случая произвольных корреляций и размерности пространства больше

3.6. Предельные случаи упорядоченного кристалла

3.7. Аналитические свойства усредненной резольвенты

3.8. Выводы

- 3

Глава 4. Анализ уравнений самосогласования для массового оператора

4.1. Аналог приближения блуждающего кластера

4.2. Результаты численных расчетов

4.3. Аналог приближения когерентного потенциала

4.4. Приближенное аналитическое решение интегрального уравнения

4.5. ФРП и линеаризованный метод "muffin-tin" орбиталей.

4.6. Выводы .1.

Техническое развитие общества требует постоянного обновления материалов, одним из источников которого в настоящее время являются неупорядоченные сплавы. При сплавлении или разупорядочении свойства вновь полученных соединений (например, магнитные) могут кардинально отличаться от свойств исходных компонентов. Для объяснения и прогнозирования этих изменений необходимо развитие методов расчета электронной структуры неупорядоченных сплавов, поскольку именно конкретный вид энергетического спектра определяет подавляющее большинство электронных свойств, таких как транспортные, магнитные, оптические и так далее. Препятствием к построению таких теорий в неупорядоченных системах является отсутствие периодичности потенциала ионов кристаллической решетки.

В настоящее время общепринятым подходом, который позволяет преодолевать эту трудность, является приближение когерентного потенциала (ПКП). Комбинация ПКП с "первопринципными" линейными методами расчета зонной структуры позволяет получать информацию об электронных и магнитных свойствах неупорядоченных сплавов, которая по точности согласуется с результатами, получаемыми для упорядоченных систем. В то же время, как это хорошо известно, ПКП является "одноузельным" приближением и не может учесть эффекты межатомных корреляций и многократного рассеяния на кластерах. Эти эффекты, однако, могут оказывать существенное влияние на формирование электронных спектров неупорядоченных систем. Учет корреляций в расположении атомов в неупорядоченных средах необходим, поскольку экспериментальные данные свидетельствуют о том, что независимое распределение случайных величин в сплавах реализуется достаточно редко. Так, для задач, связанных с фазовыми переходами или явлениями сегрегации, вопросы взаимосвязи и взаимного влияния пространственных корреляций расположения атомов и формирования электронной структуры выдвигаются на первый план.

Применение стандартных рядов теории возмущений к вычислению конфигурационно-усредненной резольвенты с учетом корреляций и мно - 5 гократного рассеяния наталкивается на трудности, связанные с нарушением аналитических свойств функции Грина. Для решения этих проблем оказалось эффективным применение так называемого формализма расширенного пространства (ФРП), который был предложен Мукерджи еще в 70-е годы и основан на представлении случайных величин операторами. К настоящему времени развитие этого метода применительно к "первопринципным" схемами расчета зонной структуры твердых тел позволяет, в том числе, учитывать и эффекты ближнего порядка в сплавах. Несмотря на достигнутый прогресс, проблему конфигурационного усреднения при наличии корреляций нельзя считать окончательно решенной. Рекурсивный метод Хейдока, который используется Мукерджи и соавторами для вычислений в расширенном пространстве, является существенно численным и не содержит малого параметра, который позволил бы оценить точность приближений. Непосредственные вычисления в работах Мукерджи проводятся в реальном пространстве, поэтому результатом является усредненная плотность состояний, которая определяет лишь интегральные одноэлектронные свойства системы. В то же время, в большинстве случаев необходимо так же знать и усредненную функцию Грина в к-пространстве, (С(е,к)), например, для вычисления различных функций отклика, таких как магнитная восприимчивость, диэлектрическая проницаемость и;т.д., или расчета кинетических коэффициентов. Для сравнения теоретических расчетов с экспериментальными данными, получаемыми методом фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением, необходимо знать спектральные (к-зависяхцие) плотности состояний А(е,к).

В связи с этим возникает необходимость развития методов для вычисления (С(е,к)) непосредственно в к-пространстве, приближения в которых контролировались бы по некоторому малому параметру.

Одним из интересных объектов в физике неупорядоченных систем с точки зрения изучения их структурных и магнитных свойств являются неупорядоченные микрокристаллические и аморфные сплавы железа с зр-элементами МжРе1х (М —' А1, 81, Р). За последние годы накоплен разнообразный экспериментальный материал по их исследованию. Эти сплавы относятся к магнетикам с коллективизированными электронами.

- 6

В то же время для интерпретации экспериментальных данных в этих системах оказываются успешными модели, основанные на понятиях о локализованных магнитных моментах. Поэтому, одним из фундаментальных вопросов в экспериментальных и теоретических исследованиях является выяснение роли ближайшего атомного окружения и межатомных корреляций на формирование локальных магнитных свойств (магнитного момента на атоме Ре, сверхтонкого поля на ядре Ре, и т.д.) в таких системах.

Таким образом, целями данной работы явились:

1. Адекватное математическое решение проблемы конфигурационного усреднения при наличии пространственных корреляций в неупорядоченных сплавах в рамках формализма расширенного пространства.

2. Объяснение концентрационных зависимостей магнитных характеристик (средних магнитных моментов и сверхтонких полей) для неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид М^Ре^^ (М = А1, 81, Р) с помощью моделей локальных магнитных параметров с учетом корреляций в расположении примесных атомов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1*. A. Arzhnikov, A. Bagrets, D. Bagrets. Allowance for the short-range atornic order in describing the magnetic properties of disordered metal-metalloid alloys // J. Magn. Magn. Mater. - 1996. - V. 153. - P. 195-201. .

2*. Аржников A. К., Багрец A. A., Багрец Д. A. Усреднение резольвенты с коррелированным в пространстве распределением случайного потенциала // ТМФ. - 1998. - Т. 114, №2. - С. 296-313.

3*. А. К. Arzhnikov, A. A. Bagrets, D. A. Bagrets. Application of the augmented-space formalism to a problem of configuration averaging in the theory of unordered alloys with côrrelated disorder // Phys. Rcv. B. - 1999. - V. 60, No. 9. - P. 7178-7195.

4*. Аржников A. К., Багрец A. A., Багрец Д. A. Учет ближнего порядка расположения атомов при описании магнитных свойств неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид // В сб.: "Тезисы докладов 2-й Российской университетско-академической научно-практической конференции". Ч.З. - Ижевск: УдГУ, 1995. - С. 16-17.

5*. Аржников А. К., Багрец А. А., Багрец Д. А. Расчет электронной плотности состояний неупорядоченной цепочки атомов с учетом ближнего порядка //В сб.: "Тезисы докладов 3-й Российской упиверситетско-академической научно-практической конференции". 4.6. - Ижевск: УдГУ, 1997. - С. 15-16.

6*. Bagrets A., Bagrets D. Self-Consistent cluster theory for unordered alloys with correlated disorder // International Conférence for Physics Stu-dents'97. Conférence Programme. - Vienna: Organizing Committee of the 12th ICPS, 1997. - P. 46.

7*. A. A. Багрец. Д. A. Багрец. Расчет спектров квазичастиц неупорядоченных сплавов с коррелированным беспорядком // В сб.: "Вторая открытая научная конференция молодых ученых и специалистов ОИЯИ, труды конференции". - Дубна, 1998. - С. 125-127.

8*. Аржников А. К., Багрец А. А., Багрец Д. А. Расчет электронных спектров неупорядоченных сплавов с коррелированным беспорядком // В сб.: "XXVII Международная зимняя школа-симпозиум физиков теоретиков "Коуровка-98". Программа. 2-7 марта 1998 г. - Екатеринбург-Челябинск: УрО РАН, 1998. - С. 24.

В заключение я искренне благодарю своих научных руководителей, профессоров А. В. Ведяева и А. К. Аржникова за руководство, всестороннюю помощь и внимание при выполнении данной работы. Я хочу так же искренне поблагодарить проф. А. Б. Грановского за постоянную поддержку во время моего обучения в аспирантуре на кафедре магнетизма, неизменный интерес к работе и полезные дискуссии.

- 115

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Используя модель Изинга для описания неупорядоченных сплавов типа металл-металлоид Мх.Ре1ж (М = А1, Р) и учитывая ближний порядок в расположении атомов, в рамках модели типа Джаккарино-Уолкера рассчитаны концентрационные зависимости среднего магнитного момента на атоме Ре, т(ж), и среднего сверхтонкого магнитного поля па ядре Ре, Н(х). Теоретические кривые хорошо описывают экспериментальные данные по средним магнитным моментам и средним сверхтонким полям, полученные из анализов мёссбауровских спектров и магнитных измерений [86-89]. Оценки величины параметра J эффективного отрицательного взаимодействия между атомами металлоида показывают, что ближний порядок усиливается в последовательности А1 —> 81 —^ Р. что согласуется с данными по неравновесным фазовым диаграммам для этих сплавов.

Была рассмотрена задача о вычислении электронного спектра бинарного неупорядоченного сплава в приближении сильной связи с диагональным беспорядком. Для конфигурационного усреднения одночастич-пой функции Грина был предложен метод, который в рамках формализма расширенного пространства (ФРП) позволяет учитывать корреляции в расположении атомов. Преимуществом предложенного подхода перед ранее известными является явный учет трансляционной инвариантности при определении базиса в расширенном пространстве. Построение такого базиса проводится на примере одномерной неупорядоченной цепочки атомов, пространственные корреляции на которой определяются марковским случайным процессом первого порядка. В отличии от случая некоррелированного беспорядка этот базис является полным, но неортогональным.

Используя формализм расширенного пространства, получено формально точное выражение для трансляционно-инвариантного массового оператора конфигурационно усредненной функции Грина. В случае одномерной марковской цепочки такое представление собственной энергии

-111 электрона оказывается возможным в виде операторной цепной дроби. Рассмотрена общая схема построения несамосогласованных и самосогласованных аппроксимаций массового оператора, которая может быть использована для любой размерности пространства, если известны необходимые корреляционные функций. Предложенная схема точно учитывает многократное рассеяние электрона в пределах выбираемого максимального кластера. Рассеяние на кластерах других конфигураций описывается эффективной средой. В простейшем случае получено обобщение известного метода когерентного потенциала (ПКП), которое учитывает ближний порядок в сплаве.

Анализ построенных аппроксимаций показывает, что дополнительными к имеющимся в теориях [9, 25] малым параметрам, являются параметры а и (1 — \(У-\)<1-, где а — параметр Каули, й — размерность пространства. Достоинством подхода является то, что построенные приближения приводят к правильному предельному переходу к функции Грина упорядоченного кристалла, когда параметр Каули а стремится к критическим значениям. При а — 0 получаются выражения известных ранее аппроксимаций [19, 25, 29]. Анализ аналитических свойств приближений показывает, что они удовлетворяют свойству Герглотца, тем самым обеспечивая положительную плотность состояний во всей области изменения параметров системы.

Проведен численный анализ уравнений самосогласования для одномерной марковской цепочки и для случая бесконечной размерности пространства. Рассчитанные кривые правильным образом отражают поведение плотности состояний в примесной зоне при изменении параметра ближнего порядка. В пределе бесконечной размерности пространства {(I = оо) для приближения, обобщающего ПКП, предложен аналитический метод решения нелинейного интегрального уравнения для массового оператора в ограниченной области изменений параметра Каули а.

Обобщение ФРП на случай недиагонального беспорядка было предложено в работе [19]. Подобное обобщение возможно так же и в случае учета ближнего порядка в рамках рассмотренной аппроксимационной схемы. Кроме того, используя ФРП, можно получить точные выражения для одночастичной плотности состояний на кластере фиксированно

- 112 го размера и конфигурации [1461 ■ В рассмотренном подходе парциальные плотности состояний, зависящие от расположения примесных атомов в ближайшем окружении, вычисленные согласно общей аппроксимацион-ной схеме, будут автоматически/учитывать эффекты ближнего порядка. Модель неупорядоченного сплава в приближении сильной связи с диагональным беспорядком представляет собой лишь простой пример неупорядоченной системы. Тем не менее решение такой задачи может служить необходимой базой для реальных расчетов электронной структуры неупорядоченных сплавов с ближним порядком. Как это было показано на примере TB-LMTO метода, задача об усреднении резольвенты простейшего гамильтониана сильной связи возникает в приложениях "первопринципных" методов расчета зонной структуры к неупорядоченным сплавам. Кроме того, рассмотренный метод может быть использован для сравнительной оценки различных подходов, не обладающих основательным математическим обоснованием.

1. М., Грсдескул С. А., Пастур Л. А. Введение в физику неупорядоченных систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 360 с.

2. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. - 592 с.3j Gonis A. Green functions for ordered and disordered systems — Studies in mathematical physics, Vol.4 North-Holland.

3. Эллиот Р., Крамхансл Дж., Лис П. Теория и свойства случайно неупорядоченных кристаллов и связанных с ними физических систем // Новости физики твердого тела. 1977. - Вып. 7. - С. 11-238.

4. Taylor D. W. // Phys. Rev. 1967. - V. 156. - P. 1017.

5. Tsukada M. Contribution to the many site theory of the disordered system /'/ J. Phys. Soc. Jap. 1972. - V. 32. - P. 1475-1485.

6. Butler W. H. Self-consistent cluster theory of disordered alloys // Phys. Rev. B. -1973. V. 8. N10. - P. 4499-4510.

7. Gonis A., Garland J.W. Multishell method: Exact treatment of a cluster in an effective medium // Phys. Rev. B. 1977. - V. 16. - P. 2424-2436.

8. Gonis A., Butler W. IT., Stocks G. M., First principles calculations of a cluster densities of states and short-range order in Agr;Pdic alloys // Phys. Rev. Lett. -1983. V. 50, N19. - P. 1482-1485.

9. Gonis A., Stocks G. M., Butler W. H., Winter H. Local environmental fluctuations and densities of states in substitutional^ disordered alloys // Phys. Rev. B. 1984.- V. 29, N2. P. 555-567.

10. Gonis A., Freeman A. J. Cluster densities of states of nonrandom substitutionally disordered alloys // Phys. Rev. B. 1984. - V. 29, N8. - P. 4277-4291.

11. Stefanou N., Zeller R., Dederichs P. H. Electronic structure of CuPd alloys // Solid State Comm. 1987. - V. 62, N11. - P.735-738.

12. Mills R., Ratanavararaksa P. Analytic approximation for substitutional alloys // Phys. Rev. B. 1978. - V. 18, N10. - P. 5291-5308.

13. Kaplan Т., Leath P. L., Gray L./J., Diehl H. M. Self-consistent cluster theory for systems with off-diagonal disorder// Phys. Rev. B. 1980. - V. 21, N10. P. 42304246.

14. Токарь В.И., Массанский И.В. Учет ближнего порядка в электронной теории неупорядоченных сплавов // ФММ. 1987. - Т. 64, Ж6. - С. 1201-1211.

15. Гаркуша В. В., Лось В. Ф., Репецкий С. П. Выход за рамки одноузельного-116 приближения с учетом ближнего и дальнего порядков в сплавах // ТМФ. -1990. Т. 84, Ш. - С. 91-100.

16. Лось В. Ф., Лось А. В., Репецкий С. П. Самосогласованная многоузельная теория электронных спектров сплавов // ТМФ. 1993. - Т. 97, №2. - С. 304-319.

17. Mookerjee A. Averaged density of states in disordered systems //J. Phys. C.: Solid State Phys. 1973. - V. 6, N8. - P. 1340-1349.

18. Mookerjee A. A new formalism for the study of configuration-averaged properties of disordered systems // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1973. - V. 6, N10. -P. L205-L208.

19. Аржников А. К., Новокшонов С. Г. Кластерное обобщение приближения когерентного потенциала на основе проекционного формализма в расширенном пространстве // ТМФ. 1990. + Т. 84. № 1. - С. 128-140.

20. Mookerjee A. Fermion field theory and configuration averaging // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1975. - V. 8. - P. 1524.

21. Mookerjee A. Fermion field theory and configuration averaging: II. Two particle Green functions // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1975. - V. 8. - P. 2688.

22. Haydock R., Heine V., Kelly M. J. // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1972. V. 5.- P. 2845.

23. Gray L. J., Kaplan T. Self-consistent theory for random alloys with short range order // Phys. Rev. B. 1981. - V. 24, N4. - P. 1872-1882.

24. Kaplan Т., Gray L. J. Disordered systems with short range order // J. Phys. C: Solid State Phys. 1976. - V. 9. - P. L483-L487.

25. Mookerjee A. Prasad R. Generalized augmented-space theorem for correlated disorder and the cluster-coherent-potential approximation // Phys. Rev. B. 1993.- V. 48, N24. P. 17724-17731.

26. Saha Т., Dasgupta, Mokerjee A. Augmented-space recursive method for the study of short-range ordering effects in binary alloys // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50, N18. - P. 13267-13275.

27. Wigner E., Seitz F. On the constitution of metallic sodium // Phys. Rev. 1933. -V. 43, N5. - P. 804-810.

28. Slater J. C. Wave functions in a periodic potential // Phys. Rev. . 1937. V. 51.1. N10. P. 846-851.

29. Herring C. A new method for calculating wave functions in crystals // Phys. Rev.- 1940. V. 57, N12. P. 1169-1178.

30. Korringa J. On the calculation of a Bloch wave in a metal // Physica. 1947. -V. 13. - P. 392-404.

31. Kohn W., Rostoker N. Solution of the Schrodinger equation in periodic lattices with an application to metallic Lithium // Phys. Rev. 1954. - V. 94, N5. - P. 11111120.

32. Andersen O. K. Linear methods in band theory // Phvs. Rev. B. 1975. - V. 12, N8. - P. 864-871.

33. Koelling D. D., Arbrnan G.O. Use of energy derivative of the radial solution in an augmented plane wave method: application to Copper // J. Phys. F: Metal Phvs.- 1975. V. 5, N11. - P. 2041-2054.

34. Borigi-Kuqo M., Monnier R„, Drchal V. Electronic structure of random binary alloys beyond the single-site approximation // Phys. Rev. B 1998. - V. 58, N13. - P. 8355- 8361.

35. Koepernik K., Velicky B., Hayn R., Eschrig H. Self-consistent LCAO-CPA method for disordered alloys // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55, N9. - P. 5717-5729. Blackman J. A., ¿sterling D. M., Berk N. F. // Phys. Rev. B. 1971. - V. 4. -P. 2412.

36. Razee S. S. A., Prasad R. Disordered alloys with short-range order: A Korringa-Kohn-Rostoker formulation within the cluster coherent-potential approximation // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42, N15. - P. 9391-9402.

37. Razee S. S. A., Prasad R. Cluster coherent-potential approximation in the tight-binding linear-muffin-tin-orbital formalism // Phys. Rev. B. 1993. — V. 48, N3.- P. 1361-1367.

38. Datta A., Thakur P. K., Mookerjee A. Self-consistent cluster coherent-potential approximation for the tight-binding linearized-muffin-tin-orbitals approach to random binary alloys // Phys. Rev. B. 1993. - V. 48, N12. - P. 8567-8571.

39. Biswas P., Sanyal B., Fakhruddin M., Haider A., Mookerjee A., Ahmed M. An augmented-space recursion in the k-space representation //J. Phys.: Cond. Matt.- 1995. V. 7. - P. 8569-8575.

40. Ghosh S., Das N., Mookerjee A. Convergence of the augmented-space recursion // J. Phys.: Cond. Matt. 1997. - V. 9. - P. 10701-10714.

41. Saha T., Dasgupta I., Mookerjee A. Electronic structure of random binary alloys // J. Phys.: Cond. Matt. 1997. - V. 9. - P. 10701-10714.

42. Dasgupta I., Saha-Dasgupta T., Mookerjee A., Das G. P. Study of transition metal aluminide alloys // J. Phys.: Cond. Matt. 1997. - V. 9. - P. 3529-3541.

43. Sanyal B., Biswas P., Saha-Dasgupta T., Mookerjee A., Huda A., Choudhury N., Ahmed M., Haider A. Electrical and magnetic properties of AuFe alloys //J. Phys.: Cond. Matt. 1999. - V. 11. - P. 1833-1846.

44. Saha T., Mookerjee A. Electronic structure of ternary random alloys //J. Phys.: Cond. Matt. 1997. - V. 9. - P. 6607-6618.

45. Ghosh S., Sanyal B., Chaudhuri C. B., Mookerjee A. Electronic structure and magnetism of disordered bcc Fe alloys // arXiv: cond-mat/0007384 25 Jul 2000.

46. Ghosh S., Mookerjee A. Magnetic properties of disordered CoCu alloys: A first principles approach // arXiv: cond-mat/9909145 10 Sep 1999.

47. Dasgupta I., Mookerjee A. An augmented-space recursive method for the study of concentration profiles at CuNi alloys surfaces //J. Phys.: Cond. Matt. 1996. -V. 8. - P. 4125-4137.

48. Sanyal B., Biswas P., Mookerjee A., Salunke H. G., Das G. P., Bhattacharyya A. K. An augmented-space recursion study of the electronic structure of rough epitaxial overlayers // J. Phys.: Cond. Matt. 1998. - V. 10. - P. 5767-5779.

49. Saha T., Mookerjee A. Augmented space recursive method for the study of short-range ordering effects in binary alloys // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50, N18 -P. 13267-13275.

50. Ghosh S., Chaudhuri C. B., Sanyal B., Mookerjee A. Effect of short-range order on electronic and magnetic properties of disordered Co based alloys // arXiv: cond-mat/0003206 13 Mar 2000.

51. Sanyal B., Mookerjee A. Magnetism and magnetic asphericity in NiFe alloys // arXiv: cond-mat/9903348 23 Mar 1999.- 119

52. Yelsukov E. P., Voronina E. V., Barinov V. A. Mossbauer study of magnetic properties formation in disordered Fe-Al alloys //J. Magn. Magn. Mater. 1992.- V. 115. P. 271-280.

53. Elsukov E. P., Konygin G. N.- Barinov V. A., Voronina E. V. Local atomic environment parameters and magnetic properties of disordered crystalline and amorphous iron-silicon alloys //J. Phys.: Cond. Matt. 1992. V. 4. - P. 7597 7606.

54. Elsukov E. P., Vorobyov Yu. N., Trubachev A. V. Local atomic structure and hypcrfine interactions in electrodeposited Feioo-xPz (1-8 < x < 45) alloys // Phys. Stat. Solidi(a). 1991. - V.127. - P. 215-222.

55. Williams A. R., Moruzzi V. L., Malozemoff A. P., Terakura K. Generalized Slater-Pauling curve for transition-metal magnets // IEEE Trans. Magn. 1983. -V. Magn-19. - P. 1983-1988.- 120

56. Malozemoff A. P., Williams A. R., Moruzzi V. L. "Band-gap" theory of strong ferromagnetism: Application to concentrated crystalline and amorphous Fe- and Co-metalloid alloys // Phys. Rev. B. 1984. - V. 29, N4. - P. 1620-1632.

57. Jaccarino V., Walker L. R. Discontinuous occurence of localized moments in metal // Phys. Rev. Lett. 1965. - V. 15, N6. - P. 258-259.

58. Srinivasan Т. M., Claus H., Viswanathan R., Beck P. A., Bardos D. I. // In: Phase stability in metals and alloys, Eds. Rudman P. S., Stringer J., Jaffe R. I. McCraw-Hill, New York, 1967. - P. 151. ;

59. Кубашевский О. Диаграммы состояния двойных систем на основе железа. М.: Металлургия, 1985. - 183 с.

60. Htiller К., Dietz G. The temperature dependence of the magnetization of Fe-P, Co-P and Ni-P alloys //J. Magn. Magn. Mater. 1980. - V. 50. - P. 250-264.

61. Pickart S. J., Nathans R. Unpaired spin density in ordered Fe3Al alloys // Phys. Rev. 1961. - V. 123, N4. - P. 1163-1171.

62. Meinhardt D., Krisement O. Die magnetische Struktur der geordneten Legierungen des System Eisen-Silizium // Zs. Phys. 1963. - Bd. 174, N4. - S. 472-488.

63. Paoletti A., Passari L. A polarized neutron investigation of Fe3Si alloy // Nuovo Cim. 1964. - V. 32, N1. - P. 25-32.

64. Moss J., Brown P. J. Spin density distribution in iron-silicon alloys //J. Phys. F: Metal Phys. 1972. - V. 2. - P. 358-371.

65. Ono K., Ishikawa Y., Ito A. Internal magnetic field in ordered Fe3Al //J. Phys. Soc. Japan. 1962. - V. 17, N11. - P. 1747-1750.

66. Budnick J. I., Scalski S., Burch T. J. Hyperfine fields in Fe-Si alloys // J. Appl. Phys. 1967. - V. 38, N3. - P. 1137.

67. Lisher E. J., Wilkinson C., Ericson Т., Haggstrom L., Lundgren L., Wappling R. Studies of the magnetic structure of Fe3P. //J- Phys. C: Solid State Phys. 1974.- V. 7 P. 1344-1352.

68. Stearns M. B. Variation of the internal fields and isomer shifts at the Fe sites in the Fe-Al series // J. Appl. Phys. 1964. - V. 35, N3, Pt. 2. - P. 1095-1096.

69. Fultz В., Gao Z., Short range ordering in Fe3Al // Abstr. Int. Conf. Appl. Mossbauer Effect. Budapest, Hungary, 1989. - V. 1. - P. 2.29a.

70. Voronina E. V., Ershov N. V., Ageev A. L., Babanov Yu. A. Regular algorithm for the solution of the inverse problem in Mossbauer spectroscopy // Phys. Stat. Solidi(b), 1990. - V. 160. - P. 625-634.

71. Voronina E. V., Ageev A. L., Yelsukov E. P. Using an improved procedure of fast discrete Fourier transform to analyze Mossbauer spectra hyperfine parameters // Nucl. Instr. and Meth. 1993. - B. 73. - P. 90-94.

72. Voronina E. V., Ageev A. L., Yelsukov E. P. Estimation of anisotropic and isotropic parts of magnetic hyperfine field from Fe based alloys Mossbauer spectra // Book of Abtrs. Int. Conf. Appl. Mossbauer Effect. China, Nanjing, 1991. P. 3.41

73. Arzhnikov A. K., Dobysheva L. V. The formation of the magnetic moments in disordered binary alloys of metal-metalloid type //J. Magn. Magn. Mater. 1992.- V. 117. P. 87-92.

74. Воронина E. В., Фомин В. M., Бабанов Ю. А., Коныгин Г. Н., Елсуков Е. П., Годовиков С. К. Мёссбауровские и EXAFS-исследования локальной атомной структуры нанокристаллических сплавов Fe-Sn // Изв. РАН, сер. физич. 1999.- Т. 63, №7. С. 1430-1434.

75. Воронина Е. В., Фомин В. М., Бабанов Ю. А., Елсуков Е. П. Определение параметров локальной атомной структуры и особенности их концентрационного поведения в неупорядоченных нанокристаллических сплавах Fe-Si // ФММ. -2000. Т. 89, вып. 1. - С. 75-83.

76. Анисимов В. И., Постников А. В., Курмаев Э. 3., Вих Г. Влияние разупоря-дочения на электронную структуру и рентгеновские спектры Fe3Si // ФММ. -1986. Т. 62, N4. - С. 730-733.

77. Елсуков Е. П., Чураков В. П., Коныгин Г. Н., Баянкин В. Я. Влияние перехода порядок-беспорядок на электронную структуру сплавов Fe-Si // Известия АН СССР, металлы. 1991. - N1. - С. 172-174.

78. Полищук В. Е., Самисский Я. П. Высокотемпературное рентгеновское исследование сплавов системы железо-кремний // ФММ. 1970. - Т. 29, N5. - С. 1101— 1104.

79. Randqvist S. X-ray investigation of the ternary system Fe-P-B // Acta Chem. Scand. 1962. - V. 16, N1. - P. 1-19.

80. Car R., Parrinello M. Structural, dynamical, and electronic properties of amorphous selicon: an ab initio molecular-dynamics study // Phys. Rev. Lett. 1988. - V.60, N3. - P.204-207.

81. Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.- С. 14-17.

82. Mookerjee A., Thakur Р. К. An augmented-space formalism for the T = 0 conductivity for random Cu-Ni alloys in a cluster coherent potential approximation // J. Phys. C: Solid State Phys. 1988. - V. 21. - P. 943-949.

83. Фатеев M. П. Статическая электропроводность бинарного сплава в приближении блуждающего кластера // ТМФ. 1992. - Т. 90, № 1. - С. 128-137.

84. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I. М.: Мир, 1967. 498 с.

85. Лифшиц II. М. Физика реальных кристаллов и неупорядоченных систем. М.: Наука, 1987. - С. 197-243.

86. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

87. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 1. -М.: Мир, 1977. 357 с.

88. Onodera Y. Toyozawa Y. Coherent-potential approximation //J. Phys. Soc. Japan.- 1968. V. 24, N1. - P. 341.

89. Metzner W., Vollhardt D. Correlated lattice fermions in d = oo dimensions // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62, N3. - P. 324-327.

90. Georges A., Kotliar G., Krauth W., Rozenberg M. J. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions // Rev. Mod. Phys. 1996. - V. 68, N1. - P. 13-125.

91. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas. // Phys. Rev. B. 1964. -V. 136, N3. - P. 864-871.

92. Немошкаленко В. В., Антонов В. Н. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Зонная теория металлов. Киев: Наук, думка, 1985. 408 с.

93. Local Atomic Arrangements Studied by X-Ray Diffraction (edited by Gordon and Breach). New York, 1966.