Численное моделирование турбулентных струйных и отрывных течений несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Центральный аэрогидродинамический институт . им.проф. Н.Е. Жуковского •

На правах рукописи

Усачов Александр Евгеньевич

УДК 532.526.048.3

\

■Численное моделирование турбулентных струйных и отрывных течений несжимаемой жидкости

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Автореферат

Диссертации на соискание ученойстепени -кандидата физико-математических наук

Москва, 1992

Работа выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте им.проф. Н.Е.. Жуковского

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор A.C. Гииевский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.Т. Федорченко кандидат технических наук, доцент О.В. Яковлевский

Ведущая организация: ЦИАМ им. П.И. Баранова '

Защита диссертации состоится " " 1992 года

на заседании Специализированного совета К.063.91.07 факультета а&ромехашжи и летательной техники Московского ордена Трудового Красного Знамени Физико-Технического института по адресу: 140160, г. Жуковский М.О., ул. Гагарина, д.16..

С диссертацией можно ознакомиться•в библиотеке факультета.

■ Автореферат разослан " " 1992г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

Киркинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Представленная работа посвящена некоторым аспектам численного моделирования струйных и отрывных течений.

Актуальность теш исследований обусловлена потребностью в -методах] позволяющих численно моделировать сложные струйные и отрывные турбулентные течения, часто встречающиеся в природе и технике. Многочисленные исследования, в которых рассматриваются вопросы численного решения уравнений Навье-Стбкса, свидетельствуют о большем интересе, вызванном возможностью практического использования о тих методов для расчета турбулентных течений в ' реалышх условиях. В связи с ростом применения численных методов в прикладной арродинамике неизбежно встают вопросы о повышении эффективности, - надеккости, точности, больней универсальности используемых вычислительных алгоритмов. Представляет несомненный интерес использовать современные алгоритш численного решения уравнений Навье-Стсксо и Рейнольдса для расчета сложных ламинарных и турбулентных течений. Одним из примеров подобной задачи может служить задача о свободных колебаниях тела под действием аэродинамических сил и сил упругости при обтекании его плоскопараллельным потоком.

Целью работы является создание эффективных универсальных методов моделирования турбулентных струйных и отрывных течений на базе численного решения полных уравнений Навье-Стокса или Рейнольдса, а также уравнений Рейнольдса в приближении пограничного слоя, замкнутых с помощью алгебраической или дифференциальной модели турбулентности; исследование с помощью разработанных алгоритмов структуры и характеристик неизотермических турбулентных струй в спутном потоке , а также стационарных и нестационарных отрывных течений.

Научная новизна выносимых на защиту результатов состоит в

том, что :

- построен эффективный алгоритм численного решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для отрывных двумерных течений несжимаемой жидкости в стационарном и нестационарном случаях; проведено сопоставление эффективности различных подходов конечноразностной аппроксимации модельных уравнений и различных процедур решения конечноразностных уравнений;

- проанализированы и сопоставлены с экспериментальными данными результаты численного моделирования стационарных и нестационарных отрывных течений при малых и больших числах Рейнольдса;

- численно исследовано ламинарное и турбулентное течение вблизи вынужденно и свободно колеблющегося цилиндра прямоугольного сечения;

- -разработаны рациональные подходы к построению достаточно универсального и надежного алгоритма численного моделирования цеизотермических двумерных струйных течений в спутном потоке;

- построен интегральный метод расчета, в котором используются четыре интегральных соотношения, что позволяет отказаться от дополнительной формулы, связывающей динамическую и. тепловую толщины;

- с помощью предлагаемых методик расчета автором получена серия результатов по моделированию течения в спутных неизотермических струях в зависимости от параметра спутности и степени их подогрева, выполнены расчеты неизотермических коаксиальных затопленных струй.

Практическая ценность работы. Развитые в работе методы численного решения полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, а также уравнений пограничного слоя могут быть использованы при моделировании турбулентных неизотермических струйных течений, ламинарных и турбулентных отрывных течений, играющих важную роль в авиационной технике, технологических установках, в атмосфере,

океане, возникающих при "обтекании строительных конструкций. Полученные в работе параметрические. зависимости для неизотермических коаксиальных струй могут найти применение для расчета ' характеристик струй в технологических установках. Разработанная методика численного моделирования- обтекания вынужденно и свободно, колеблющихся тел позволяет рассчитывать аэродинамические нагрузки, действующие на тело в каждый момент времени,- траекторию и скорости колебательного движения.

Автор зайщает:

- - численный метод решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для отрывных двумерных течений несжимаемой жидкости в стационарном и нестационарном случаях;

. - результаты численного моделирования стационарных и нестационарных отрывных течений при малых и больших -числах Рейнольдса;

- результаты численного- моделирования ламинарного и турбулентного течения вблизи вынужденно и свободно _колеблющегося цилиндра, прямоугольного сечения в неинерциальной системе координат;

- алгоритм численного моделирования неизотермических двумерных струйных течений в спутном потоке;

. - интегральный метод расчета, в котором используются четыре интегральных . соотношения;

- результаты численного моделирования течения в спутных неизотермических струях для различных параметров спутности и степеней их подогрева, расчеты неизотермических коаксиальных затопленных струй.

Апробация работы. Результаты работы - докладывались и обсуждались на Всесозной научной конференции по струйным течениям , 1982 г. в -г. Новополоцке, на межвузовской конференции "Математические проблемы аэрогидродинамики" в 1988 г. в Московском авиационном институте, на 34-й Научной конференции Московского

физико-технического института в 1988г., на 28-й научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦНИИ имени академика

A.Н. Крылова, в 1989г. ,на Всесоюзном семинаре' "Аэрогидродинамика неустановивишихся движений" в 1989г. (руководитель - проф.,д.т.н. С.М. Белоцерковский), на V Всесоюзной конференции по проблемам механики неоднородных сред и турбулентных течений 1990г. в г. Одесса (руководитель - академик В.В. Струмивский), на семинаре ЦИАМ по вычислительным методам в 1991г. (руководитель - проф., д.ф.м.н. А.Н. Крайко), на ежегодной научной Школе-семинаре . ЦАГИ "Механика жидкости и газа" в 1991г. (руководитель - чл. корр. АН

B.Я. Нейланд). Основные результаты были опубликованы в шести работах автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы из 109 названий и приложения. Весь материал изложен на 138 страницах машинописного текста, иллюстрирован 101 рисунком.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш исследования, делается краткий обзор известных методов численного моделирования турбулентных струйных и отрывных течений,' формулируются цели исследования, перечисляются новые результаты, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена численному моделированию турбулентных неизотермических струй в спутном потоке. В главе рассматриваются в приближении пограничного слоя методы моделирования турбулентных неизотермических струйных ■ течений с использованием разных моделей турбулентности. В п.1.2 представлен конечноразностный метод расчета, в котором применяется преобразование системы координат, основанное на интегральном инварианте струйных течений; Благодаря использованному

преобразованию существенно облегчается процесс численного решения системы дифференциальных .уравнений, при этом автоматически выполняется условие постоянства избыточного импульса вдоль струи. Для замыкания системы дифференциальных уравнений использовались алгебраическая модель турбулентности Прандтля и дифференциальная двухпараметрическая к-8 модель турбулентности.

Конечноразностнкм методом с' использованием модели турбулентности Прандтля были рассчитаны плоские и осесимметричные струи в спутном потоке при значениях параметра спутности т=0-0,5 (Як=и^/и0) и степени подогрева 8=0-5 (В^Т^/Т^) Расчет был выполнен для значения турбулентного числа Прандтля Рг0,7:

Для плоского случая проводилось сравнение результатов расчета скорости и температуры вдоль оси струи с экспериментальными данными для неизотермической струи (0 = 1,19) Ван дер Хегге -Цийнена . Удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента наблюдается при значении экспериментальной константы эе, входящей в формулу Прандтля для турбулентной вязкости, при (£=0,01. В осе симметричном случае сопоставление расчета скорости на оси неизотермической струи ( 9=3,25) с экспериментальными значениями, полученными Кливсом и Боултером , показало их хорошее совпадение при значении зе, также равном 0,01 (рис.1).

Двухпараметрическая к-В модель турбулентности использовалась для расчета коаксиальных нейзотермических турбулентных струй с различными начальными профилями скорости и температуры. Результаты-расчета коаксиальных струй сравнивались с экспериментальны!® данными для осесимметричных изотермических струй . На рис.2 представлено сравнение расчетных профилей скорости с экспериментальными б коаксиальной струе ( и /и. = 0,5; А /А,

г О I О {

=1,231 ) для поперечных сечений 'Х/г = 2,9 и х/г = 10,66 где А - площадь сечения внешнего сопла, -площадь сечения

внутреннего сопла, г - радиус внешнего сопла. На рис.3 для этой

же струи показаны расчетные и экспериментальные профили значений кинетической энергии турбулентности в аналогичных сечениях.

В п.1.3 рассматривается интегральный метод расчета турбулентных неизотермических струй, в котором используются четыре интегральных соотношения . для определения 'толщин динамического Sq и теплового ö ^ слоев смешения, а также изменения вдоль оси струи скорости Um и температуры " Т . Система уравнений замыкалась с помощью модели турбулентности Прандтля. Четыре интегральных соотношения приводились к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решаются методом Рунге-Кутта. •

Из сопоставления данных расчета и эксперимента были определены значения эмпирических констант ге для -плоского и осесимметричного случаев. В плоском случае при сравнении расчетных ж экспериментальных значений скорости на оси затопленной неизотермической струи (и = 0; 8 = 1,19) по опытам Ван дер Хегге Цийнена' было получено значение зе = 0,008 . Для осесимметричного случая (рисЛ.) сравнивались значения скорости на оси затопленной неизотермической струи {т = 0; 8 = 3,25) с опытными данными Кливса ' и Боултера ,при этом было получено значение ае = 0,0035.

Были проведены параметрические расчеты спутных.

неизотермических струй в широком диапазоне изменения параметров спутности и степени подогрева. В результате расчетов получены зависимости изменения скорости и температуры вдоль оси струи, а также динамической и тепловой толщин струи при И ='0-0,75 ; 8 = 0,5-5.

Расчеты были выполнены как для плоского, так и для осесимметричного случаев при различных, значениях турбулентного числа Прандтля Рг^. Было установлено, что в плоском случае лучшее совпадение расчета и эксперимента получается при значении Fr= 0,7; а в осесимметричном случае - при Рг = 0,8.

Во второй главе рассматриваются вопросы моделирования

стационарных течений несжимаемой жидкости на базе численного

решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Вырабатывается общий

подход к построению алгоритма численного решения системы

дифференциальных уравнений, который включает в себя: апробацию

различных методов конечноразностной аппроксимации, организацию

итерационного процесса, выбор модели замыкания системы уравнений

для турбулентного режима течения, вопросы корректной постановки

граничных условий. Для создания оптимального алгоритма численного

•решения были выполнены серии расчетов ламинарного и турбулентного

режимов течения для обращенного назад уступа, в которых

сравнивались различные способы конечноразностной аппроксимации

дифференциальных уравнений, методы определения давления,

итерационные методы . решения больших систем алгебраических

уравнений. На основании этих расчетов и сравнения их с

экспериментальными данными был составлен эффективный алгоритм

решения, с помощью которого было смоделировано поперечное

обтекание бесконечного цилиндра прямоугольного сечения в широком

в

диапазоне чисел Рейнольдса Ке=40-10.

В п.2.1 обсуждаются уравнения, описывающие стационарное течение несжимаемой жидкости. Для турбулентного . режима течения уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнол'ьдсу, можно представить в форме :

д и д и д р

р и — + р V -—- = -'— + ц Дй дх ду дх

д V д V д р

рй — + р V — ---- + (а Ду

дх ду ду

-р( -р(

д и'2 д и'и'

дх ду д и'и' д V

' , (1)

,2

дх ду

+

р

где и - осреднешше по Рейнолъдсу составляющие скорости, и ,

р

и11'', и' - составляющие тензора напряжений Рейнольдса, р -осреднешое значение давленця.

Система уравнений (I) незамкнута, так как не определены составляющие тензора напряжений Рейнольдса. Для замыкания системы уравнений (I) использовалась широко распространенная двухпараметрическая>дифференциальная модель турбулентности. Она достаточно универсальна и применялась для .расчета внешних и внутренних турбулентных течений. Известно, что к-8 модель турбулентности может вносить в решение погрешность при расчете течений с большой кривизной линий тока. Для устранения этого недостатка вводится поправка, предложенная В. Роди и М. Ледцинером, позволяющая учесть влияние кривизны линий тока.

Для вычисления напряжений Рейнольдса с помощью уравнений переноса характеристик турбулентности используется гипотеза турбулентной вязкости, которая связывает составляющие тензора напряжений Рейнольдса о локальной средней скоростью деформации. Коэффициент турбулентной вязкости выражается в виде

2

\х = С к / е , (2)

Т.

где С = 0.09.

Для определения кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации используются два дифференциальных уравнения

д ( , д г , д д- , Кг

— рий + — руй - — — — + — — . й 1 } ду 1 } дх 1 ок дх } ду ^ о^

д к

• - 1 в - р £ , (3)

ду J

э

дх

(р и 8 ]

д в

ду

+ С

+ — [р V е) ду ^ >

а е£

— С-С.р—■

а

Эх

( — !— ] + —" [

ае Зг 3 Я"

ЗУ

о

Здесь С - член, описывающий генерацию кинетической турбулентности

энергии

С = 11.

г" Г з й V

, 3 V,2 , 3 у 3 и ^

2 Г — 1 + Г — + — 1 ,

Ми J I Лт Ли 1 J

а

"к ' "е' Т 2 принимались равными:

, = 1,0 , ае = 1,3 , С1

ду ' 1 дх ду эмпирические константы, значения которых

1,44 , С2 = 1,92 ,

- коэффициент эффективной вязкости, ,[-1^ = ц + ц^ .

Подробно рассматривался вопрос корректной постановки граничных условий. Для рассматриваемых типов отрывных течений характерны три вида граничных условий: на свободной границе, в выходном сечении и на твердой стенке.

На свободной- границе значения скорости и характеристик турбулентности, как правило, неизвестны, поэтому при выборе размеров расчетной области расстояние до свободной границы должно быть большим настолько, чтобы считать дальнейшее изменение скорости и характеристик турбулентности пренебрежимо малым. Тогда становится возможной постановка так называемых "мягких" граничных условий : производная скорости и характеристик турбулентности по координате, ортогональной к границе, равна нулю.

При постановке граничных условий в выходном сечении расчетной области необходимо расположить границу таким образом, чтобы граница не пересекала зону обратных токов. £ этом случае даже при умеренных местных числах Рейнольдса влиянием диффузии на выходной

+

границе можно пренебречь и считать тип течения на выходной границе локально пораболическим.

Граничные условия на стенке для составляющих скорости и характеристик турбулентности задавались с помощью метода пристеночных функций, предложенного Б.Е. Лаундером и В.П. Джонсом.

В п.2.2 рассматривается конечноразнотный метод решения системы дифференциальных уравнений, отрабатываются подходы к построению оптимального алгоритма численного интегрирования- системы уравнений.

Дискретизация дифференциальных уравнений проводилась методом контрольного объема на неравномерной прямоугольной шахматной сетке. При разработке алгоритма были применены отдельные элементы ранее разработанных методов численного решения, которые хорошо зарекомендовали себя при их апробации в конкретных расчетах. Для выбора оптимального варианта построения конечноразностного метода решения были опробованы несколько - вариантов конечноразностной аппроксимации, два варианта метода определения поля давления,' два% варианта итерационного метода "решения систем _алгебраических уравнений.

По результатам методических расчетов в качестве' основной схемы конечноразностной аппроксимации была выбрана схема второго порядка точности с квадратичной интерполяцией против потока (схема Леонарда), неявная процедура нахождения давления £Р1Б0) и метод неполной матричной факторизации при решении систем . алгебраических уравнений. Они вошли в разработанный алгоритм численного решения в качестве его главных компонентов.

В п.2.3 с помощью численного эксперимента исследовались различные схемы конечноразностной аппроксимации дифференциальных операторов, методы решения. конечноразностных уравнений; рассматривался вопрос о влиянии схемной диффузии. На модельной задаче (рециркуляционное течение за обращенным назад уступом при

ламинарном (Re=40-200) и турбулентном (ñe=2- 1CP-5-W4) режимах течения) были - выполнены контрольные расчеты, в которых сравнивалась эффективность рассматриваемых методов численного решения.

Для проверки достоверности результатов расчеты проводились на грубой и межой сетках с числом узлов 54*21,54x29 и 54*39. Полученные в ходе расчетов поля скоростей, пол« давлений, полд кинетической энергии турбулентности сравнивались с имеющимися экспериментальными данными (рис.4). Можно констатировать удовлетворительное совпадение расчета с экспериментом. "

В качестве примера двумерного течения со свободными границами была рассмотрена задача о поперечном обтекании бесконечного по оси Oz цилиндра прямоугольного поперечного сечения. Отношение сторон прямоугольника а/Ь равнялось 2, стороны а и' Ь параллельны осям Ох и 0¡j соответственно.

Турбулентное течение рассчитывалось последовательно для чисел Рейнольдса Re = 2-I03,I04, 5-I04,2-I05 и Юб. Все расчеты проводились методом PISO , аппроксимация конвективных членов проводилась по схеме Леонарда.

В качестве начального приближения шля скорости турбулентного течения при числе Рейнольдса Re = 2-10 использовалось поле скорости ламинарного течения при этом же числе Рейнольдса. В последующих расчетах за начальное приближение поля скорости принималось поле скорости турбулентного течения, рассчитанное для меньших чисел Рейнольдса.

В результате расчетов были получены шля скорости, давления, характеристик турбулентности, распределение коэффициента давления Ср на теле в диапазоне чисел Рейнольдса Re = 2-I03-I06 . При анализе представленных полей скорости можно выделить некоторые характерные зоны течения: отрыв вблизи передней кромки, отрыв Зблизи задней кромки, образование зоны обратных токов за кормовой

поверхностью тела.

Для числа Рейнольдса Яе = б-Ю4 была рассчитана величина коэффициента сопротивления С =1,32. Экспериментально измеренный

X .

коэффициент С по данным Хорнера при числе Ее = 5-10 был равен С =1,4 . Таким образом, можно отметить хорошее совпадение расчетного и экспериментального коэффициентов сопротивления С.

Третья глава дисссертации посвящена численному моделированию нестационарного обтекания неподвижных и колеблющихся тел. В п.3.1 рассматриваются вопросы решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для нестационарного случая в неинерциальной системе координат.

Система нестационарных дифференциальных уравнений Навье-Стокса, осредненная по Рейнольдсу, в неинерциальной системе координат записывается в виде ч

'0й1

-= 0 ,

дХ1 (4)

3 к 3

где - рИ^ _ составляющие тензора напряжений Рейнольдса. В неинерциальной системе координат, при отсутствии других объемных сил, проекции вектора Р на оси координат записываются в виде

где 5® - проекции на оси координат переносной силы инерции, -проекции на оси координат кориолисовой силы инерции.

Показано, что при отсутствии кориолисовой силы уравнения для

переноса характеристик турбулентности совпадают по форме с уравнениями, записанными в абсолютной системе координат.

При численном моделировали колеблющихся тел рассматривались • колебания в направлении оси Оу бесконечного цилиндра прямоугольного поперечного сечения. В случае вынужденных колебаний изменение координаты центра масс тела у -определялось по закону синуса:

у = А0 з1п(ы^) , где А0, и0 - амплитуда и частота вынужденных колебаний.

В случае свободных поперечных колебаний тела под действием аэродинамических сил и сил жесткости системы уравнение динамики, записанное для движения центра масс системы , можно представить в следующей форме.'

т у г Уа- су - ру, (6)

где у - ускорение движения тела, 7 (t) ' - аэродинамическая сила, действующая на тело, С - коэффициент жесткости системы, р -коэффициент сопротивления.

В п.3.2 решаются вопросы конечноразностной аппроксимации нестационарных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, разрабатывается итерационный метод решения задачи о свободных колебаниях тела при обтекании 'его плоскопараллельным потоком.

Аппроксимация временной производной проводилась по неявной разностной схеме и по схеме Пейре, имеющей второй порядок точности по времени. Замена дифференциальных операторов по ■ пространству конечными разностями производилась так же, как и в стационарном случае. Конвективная составляющая потока аппроксимируется по схеме Леонарда на шахматной сетке.

Уравнение (6), описывающее движение центра масс тела при его свободных колебаниях, решается методом Рунге-Кутта. В этом случае

на каждом шаге по времени М определяются скорость V и смещение У-

В п.3.3 для ламинарного и турбулентного режимов представлены результаты моделирования нестационарного обтекания неподвижного цилиндра прямоугольного поперечного сечения. В ближнем следе за телом прослеживаются возникновение, отрыв и снос по потоку крупных вихревых стуктур. Число Струхаля при ламинарном режиме течения для числа Не=100, определяемое по формуле

Ти„ , о

$1 =-

Ь

и вычисленное для характерного времени Г изменения коеффициента , составило ЯИ =0, 11, в' турбулентном случае для числа йе=2.<Ю число Струхаля Б1ъ=0,08.

В неинерциальной системе координат был выполнен расчет обтекания цилиндра прямоугольного. сечения для ламинарного и турбулентного режимов течения при вынужденных (рис.5) и свободных (рис.6) поперечных колебаниях. Были получены изменения по времени коэффициентов сил, действующих на тело; в случае свободных колебаний рассчитывались траектории движения .тела и .мгновенные скорости колебательного движения (рис.7).

В заключении диссертации кратко излагаются основные ее результаты.

В приложении приводятся подробные преобразования интегральных соотношений для расчета турбулентных неизотермических струй.

Основные результаты и выводы работы

I. В приближении пограничного слоя с использованием алгебраической и .дифференциальной ' моделей турбулентности развиты и усовершенствованы интегральный и конечноразностный методы расчета плоских и осесимметричных стационарных турбулентных

неизотермических струй в спутном потоке.

2. В отличие от известных интегральных'методов, в которых задается априорная зависимость между значениями толщины динамического и теплового слоя, в предлагаемом интегральном методе для определения тепловой толщины привлекалось дополнительное интегральное соотношение. ,

3. На основе полных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, замкнутых с помощью дифференциальной модели турбулентности, выполнено численное моделирование двумерных стационарных и пестационарных отрывных ламинарных и турбулентных течений.

А. Проведен численный эксперимент, в котором на модельной задаче отработан эффективный' и падежный алгоритм численного решения двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для моделирования отрывных течений несжимаемой -сидкости.

5. Показано, что использование квадратичной интерполяционной противопотсчпой разностной схемы, неявной итерационной процедуры нахождения давления, метода неполной матричной факторизации решения систем алгебраических уравнений позволяет значительно повысить точность и эффективность конечноразностного метода.

6. Построен метод численного моделирования отрывных нестационарных течений в неинерциальной системе координат, что позволяет осуществить расчет обтекания колеблющихся призматических тел.

7. Разработана методика численного ' моделирования свободных колебаний тела под действием аэродинамических сил и сил упругости системы. В результате расчетов получены траектория' и скорость движения центра масс тела,-аэродинамические силы, действующие на тело в каждый момент времени.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

I. Усачов А.Е. К расчету неизотермических турбулентных струй. - В сб. " Струйные течения жидкостей и газов. Тезйсы Всесоюзной

научной конференции, 2-5 июня 1982, г. Новополоцк ", 1982.

2. Усачов А.Е. Интегральный и численный методы расчета неизотермических турбулентных струй в спутном потоке. - В сб. "

"Пром. аэродинамика",вып.34, М.: Машиностроение, 1987, с. 161-171.

3. Усачов АЦЕ. Численный метод расчета коаксиальных неизотермических турбулентных струй. - В сб. "Пром. аэродинамика", №36, М.: Машиностроение, 1991, с.124-132.

4. Исаев С.А.,Усачов А.Е. Численное моделирование отрывных течений нержимаемой жидкости в задачах внутренней аэродинамики. -Веб. "Пром. аэродинамика" 36, М.: Машиностроение, 1991, с. 43-75".

5. Усачов А.Е. Моделирование отрывного турбулентного обтекания колеблющихся тел. - Тезисы докладов. Турбулентный пограничный слой. Ежегодная научная школа-семинар ЦАГИ, 29 января-3 февраля 1991г., с.136-138.

6. Усачов А.Е. Численное моделирование турбулентного течения вблизи вынужденно и свободно колеблющихся призматических цилиндров. -М.: Издательский отдел ЦАГИ, Препринт ЦАГИ №24,1991, 12с.

Рис. 2

Рис. 3

3 \ ZD

-в-

"ЕГ

H

-Х-

-Ц

-Х-=

о о о о lo

II UJ

о:

г

о

s

Рис. 5

о

[?Е=50000 В=0.5 К=0.1 Рис. 7

Автореферат диссертации, 1992, 1-24

Подписано в печать 21.02.92 г. Формат бумаги 60 х 90 1/16. Бумага офсетная В I. Печать офсетная. Бум. л. 0,75. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,65. Тщаж 113 экз.

Издательский отдел ЦАГИ. Заказ Р-3505