Прямой расчет турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ВОРОНОВА Татьяна Владимировна

ПРЯМОЙ РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ

Специальность 01 02 05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗОБЬэ

Москва—2007

003065702

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Н.В Никитин

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

И.И Вигдорович

доктор физико-математических наук, А.В Сетуха

Ведущая организация. Институт теоретической и прикладной

механики им. С.А. Христиановича СО РАН, г Новосибирск

Защита состоится 19 октября 2007 г в 16 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.89 при Московском государственном университете им. МВ Ломоносова по адресу 119992, г Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ им МВ Ломоносова

Автореферат разослан " сентября 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

А Н. Осипцов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы В настоящее время довольно подробно изучены как численно, так и экспериментально одномерные в среднем турбулентные течения Течения, средние характеристики которых зависят от двух координат, например, течения в некруглых трубах, интересны в прикладном и научном плане не только большей пространственной сложностью, но и наличием так называемых турбулентных вторичных течений, именуемых также вторичными течениями Прандтля 2-ого рода Вторичные течения — это организованные движения жидкости в плоскости, перпендикулярной к направлению основного потока В отличие от вторичных течений Прандтля 1-ого рода, возникающих в потоках вдоль вогнутой поверхности под действием центробежных сил как в турбулентных, так и в ламинарных потоках, вторичные течения Прандтля 2-ого рода — исключительно турбулентное явление, вызываемое анизотропией компонент тензора напряжений Рейнольдса Интенсивность турбулентных вторичных течений невелика (как правило 1-3% от средней скорости потока), однако их вклад в процессы переноса импульса, массы, примеси в поперечной к направлению потока плоскости весьма значителен Непосредственное измерение вторичных течений в экспериментальных условиях затруднительно, поскольку их величина сравнима с точностью измерений Отсутствие достоверных экспериментальных данных задерживает разработку приближенных методов расчета таких течений В этих условиях прямой расчет оказывается практически единственным источником надежной информации о свойствах и структуре вторичных течений в некруглых трубах

До недавнего времени численное исследование турбулентных течений с неодномерными средними характеристиками ограничивалось трубами прямоугольного сечения Эллиптическая труба является незначительной модифи-

кацией классической трубы и простейшим типом трубы некруглого сечения Несмотря на это для турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения в литературе до недавнего времени отсутствовали какие-либо данные об их свойствах и структуре

Целью работы является прямой расчет и анализ развитых турбулентных течений в трубах эллиптического сечения

Научная новизна.

• Определены интегральные характеристики турбулентных течений в эллиптических трубах, распределения средних и пульсационных характеристик по сечению трубы

• Выявлены факторы, влияющие на форму и интенсивность вторичных течений

• Описано поведение всех членов уравнения баланса кинетической энергии пульсаций, характеризующих производство, диссипацию и перераспределение энергии по сечению трубы Выявлены сходства и отличия с поведением соответствующих характеристик в других течениях

Практическая ценность работы Результаты могут быть использованы для разработки и тестирования приближенных методов расчета турбулентных: течений, верификации коммерческих пакетов программ Реализованные в работе вычислительные методики могут быть использованны для расчета широкого класса турбулентных течений в сложной геометрии

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинаре по газовой динамике под руководством академика Г Г Черного в Институте механики МГУ (2007г), на конференции "Ломоносовские чтения"(2006г и 2007г), на международной школе-семинаре МГУ "НеЗаТеГиУс"(Московская область, 2006г), на семинаре "Гидромеханиче-

екая неустойчивость и турбулентность "под руководством доктора физико-математических наук, профессора С Я Герценштейна в Институте механики МГУ (2005г и 2007г)

Публикации. Результаты диссертации отражены в пяти публикациях, из них две в научных журналах из списка ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения Объем диссертации — 93 страницы, включая 30 фигур, 1 таблицу и список литературы из 89 наименований

2 Содержание работы Введение

Во введении обоснована актуальность темы работы, приведена аннотация ее содержания, указаны цель и новизна исследований

Первая глава

Первая глава начинается с обзора существующих исследований течений в трубах эллиптического сечения Разделы 1 1—1.2 посвящены описанию ламинарного установившегося течения и изучению вопроса его линейной устойчивости Для турбулентных течений в эллиптической трубе в литературе до недавнего времени отсутствовали какие — либо данные В разделе 1 3 приводятся результаты численных исследований других турбулентных течений, проводившихся различными авторами ранее К ним относятся течения в плоском канале, в асимптотическом погранслое над плоской пластиной, в трубе круглого, квадратного, и эксцентрического кольцевого сечения Далее в разделе 1 4 приводится краткая сводка вычислительных подходов, использовав-

шихся в разное время для расчета турбулентных течений Описаны области применимости этих подходов

Вторая глава

Во второй главе приводится постановка задачи и описывается используемая вычислительная методика

Раздел 2.1 посвящен постановке задачи Течение несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения описывается уравнениями Навье—Стокса и нер азрывноети

— = u х ш — grad П — i/rot и>, div и = 0, и) = rot и, П = р/р + |и|2/2

Здесь и,и> — поля скорости и завихренности, р — давление, t — время, р, v — постоянные плотность и вязкость жидкости

Областью решения является внутренность эллиптического цилиндра

Г2 = {;х2/а2 + у2/Ь2 <1, 0 <z<Lz} Для определенности считается а > Ъ

На стенке трубы ставится условие прилипания Считается, что рассматриваемая труба конечной протяженности является участком бесконечно-длинной трубы, и течение статистически однородно вдоль продольной координаты z Это является модельной идеализацией течения в длинной трубе на участке, достаточно удаленном от входного и выходного сечений Предположение о продольной однородности позволяет использовать периодические граничные условия вдоль координаты z

Из периодичности скорости по г следует, что давление можно представить в виде

n(i, х, у, z) = —Dp(t)z + q(t, х, у, z), q(t, x,y,z + Lz) = q(t, x, y, z)

4

Линейная составляющая давления отвечает внешнему напору, создающему движение Средний градиент давления Бр{€) определяется в каждый момент времени из условия постоянства расхода жидкости Интенсивность движения характеризуется значением числа Рейнольдса, выраженного через среднюю скорость движения и гидравлический диаметр

Технология прямых расчетов турбулентных течений в трубах состоит в следующем В начальный момент времени задается некоторое трехмерное поле скорости, удовлетворяющее уравнению неразрывности После чего уравнения движения интегрируются по времени до выхода решения на статистически стационарный режим Характер предельного режима зависит от числа Рейнольдса и в некоторой степени от деталей начальных условий При малых числах Рейнольдса единственный предельный режим представляет собой стационарное движение, не зависящее от координаты г — ламинарное течение При больших числах Рейнольдса кроме ламинарного течения возможно установление турбулентного течения, характеризующегося нестационарным и непостоянным по г: решением Пороговое значение числа Рейнольдса, начиная с которого возможно установление турбулентного режима, зависит от конкретных геометрических параметров сечения трубы

В настоящей работе начальное поле скорости задавалось в виде суммы скорости в течении Пуазейля и некоторого возмущения V, обладающего нулевым расходом Поле V должно быть без дивергентным, удовлетворять условию непротекания на стенке трубы и не содержать каких-либо симметрии, сохраняющихся в силу уравнений Навье—Стокса Для достижения турбулентного режима необходимо также, чтобы пространственная (вдоль координаты г) неоднородность начального поля скорости имела амплитуду по крайней мере в несколько процентов от средней скорости течения Пуазейля При выполнении этих условий средние характеристики устанавливающихся турбулентных режимов не зависят от конкретного выбора начального возмущения

В разделах 2 2—2 4 дается описание составляющих вычислительного метода пространственной дискретизации, определения давления, схемы интегрирования по времени

Задача решается с использованием криволинейных координат (г, в) в плоскости поперечного сечения трубы

х = cch/(r) cos0, у = csh/(r) sm0 (1)

где с = Vffl2 - в € [0,2тг], г € [0,г*], г* = In [^{а+ Ъ)/{а - bfj

Наиболее динамически значимая область находится вблизи стенки, так как здесь наблюдается наибольшая активность турбулентных пульсаций Для адекватного сеточного разрешения этой области с помощью гладкого монотонного преобразования / = /(г) производится локальное сгущение узлов около стенки По z и в используется равномерная сетка

В системе координат (г, 9, z) метрические коэффициенты (параметры Ламэ) имеют вид

HT = Hf, Нв^Н, Hz = 1, Н = c\j sh2 f(r) + sm2 9

Численный метод основан на разностной аппроксимации уравнений на равномерной сетке в координатах (г, в, z) Область решения [0, г*] х [0,2тг] х [О, Lz] делится на равные прямоугольные ячейки, в физическом пространстве размер расчетной ячейки меняется от точки к точке

В соответствии с принципом перемежающихся сеток (Харлоу и Уэлш1), сеточные функции, соответствующие различным отыскиваемым функциям (давление, три компоненты скорости и три компоненты завихренности), определяются в разных системах точек Для получения дискретной (по пространству) системы уравнений все производные, входящие в уравнения движения,

1 Harlow F H , Welch J Е Numerical calculation of time-depent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys Fluids 1965 V 8 N12 P 2182-2189

заменяются центральными разностями, аппроксимирующими их со вторым порядком точности При такой замене все линейные члены в уравнениях Навье—Стокса и неразрывности, записанные в скалярной форме, оказываются согласованными в том смысле, что левые и правые части всех уравнений определены в одних и тех же точках Сомножители нелинейных членов относятся к разным системам узлов, поэтому аппроксимация нелинейных членов невозможна без дополнительных интерполяций Для вычисления значений переменных в точках между расчетными узлами применяется осреднение в пределах одного шага сетки

Система уравнений Навье—Стокса после дискретизации по пространству записывается в следующем виде

Дискретные уравнения неразрывности и определения компонент завихренности получаются также путем замены частных производных на разностные

Непосредственно на твердой стенке трубы определены лишь нормальные компоненты скорости (щ), поэтому условия непротекания и прилипания формулируются следующим образом

Непосредственной проверкой устанавливается, что разностные дивергенции от ш и от вязких членов уравнений (2) — (4) тождественно равны нулю Также равен нулю разностный ротор от аппроксимации §гас1 q

(4)

(2)

(3)

иг = Нщг — и/ = О, при г = г:

При расчете турбулентных течений важно правильное описание интегрального баланса кинетической энергии Уравнение баланса получается после скалярного умножения уравнений Навье—Стокса на и и интегрирования по области течения Как и в дифференциальной формулировке задачи при выполнении условий непротекания на границах (или условий периодичности), нелинейные члены уравнений Навье—Стокса и градиент давления в дискретной формулировке не дают вклада в уравнение баланса кинетической энергии

Для давления получается задача Неймана для уравнения Пуассона Условием разрешимости задачи является условие постоянства объема жидкости в области течения (поток жидкости через границы области равен нулю), что очевидно необходимо для несжимаемости Для решения уравнения Пуассона в направлениях $ и г используется дискретное преобразование Фурье В результате задача сводится к решению совокупности одномерных уравнений, каждое из которых решается итерационным методом

Для интегрирования по времени используется полунеявный метод Рунге-Кутта 3-его порядка точности, разработанный Н В Никитиным Неявно обрабатываются лишь вязкие члены уравнений Навье—Стокса, порождающие наибольшую жесткость дискретной системы

Третья глава

Третья глава посвящена исследованию результатов расчетов в трубе эллиптического сечения с соотношением полуосей Ь/а — 0 5 при Де = 4000 и йе = 6000 (число Рейнольдса Де вычисляется через среднюю скорость и гидравлический диаметр)

В разделе 3 1 приводятся геометрические параметры задачи, обосновывается выбор алгоритмических параметров

Раздел 3.2 посвящен описанию описанию интегральных и пульсадион-ных характеристик течения

Результаты работы хорошо согласуются с результатами, полученными ранее методом виртуальных границ (Никитин, Яхот2) Для обоих чисел Рей-нольдса также было проведено сравнение профиля продольной компоненты скорости и интенсивности пульсаций продольной компоненты скорости вдоль меньшей полуоси эллипса с соответсвующими профилями для турбулентного течения в плоском канале при близких локальных числах Рейнольдса ReT = uTb/v (в плоском канале Ь — полуширина канала) В эллиптической трубе локальная динамическая скорость ит вычисляется через локальное трение на стенке в точке (ж = 0, у = &) Для меньшей полуоси эллипса ReT равнялось 118 и 162, для канала — 110 и 150 Рассматриваемые профили близки к соответствующим профилям в плоском канале

Рассчитанные течения в турбулентном режиме характеризуются существенным повышением коэффициента сопротивления по сравнению с ламинарным режимом течения Коэффициент сопротивления повышается в 2 45 раза при Re=4000 и в 3 3 раза при Re=6000 Относительная разница с коэффициентом сопротивления, полученным из закона сопротивления Блазиуса, для обоих чисел Рейнольдса не превышает 3%

Максимальная средняя продольная скорость течения в трубе уменьшается от 2 в ламинарном режиме до 1 3 (Re=4000) и 1 27 (Re=6000) в турбулентном (фиг 1) Профили скорости становятся более наполненными в радиальном направлении

При Re — 6000 для профиля средней продольной скорости вдоль меньшей полуоси эллипса четко выделен логарифмический участок Известно, что при невысоких числах Рейнольдса профили скорости отклоняются в верх-

sNikitm N , Yakhot A Direct numerical simulation of turbulent flow in elliptical ducts // J Fluid Mech 2005 V 532 P 141-164

Фиг 1 Распределение средней продольной скорости по сечению трубы Нижняя половина фигуры соответствует ламинарному режиму, верхняя — турбулентному Интервал между линиями уровня составляет 0 2

нюю сторону от линии, соответствующей универсальному логарифмическому закону стенки, что и наблюдается при Не = 4000 При нормировке на локальные вязкие масштабы линейный участок в профиле скорости вдоль обеих полуосей сечения трубы простирается до « 5, также, как и в типичном турбулентном профиле {<1 — расстояние до стенки, верхним индексом + обозначается нормировка на вязкие масштабы)

Наибольший уровень пульсаций скорости наблюдается в пристенной области (фиг 2) Максимальное значение интенсивности достигается на меньшей полуоси эллипса Азимутальная зависимость четко выражена для интенсивности поперечных пульсаций

Показано, что вблизи стенки турбулентные пульсации существенно ани-

Re=4000

О 0.2 0.4 X 0.6 0.8 1

Re=6000

фиг. 2: Распределение среднеквадратичной амплитуды пульсаций скорости по сечегоно трубы. Интервал между линиями уровня составляет 0.02.

зотроттны. Для рассматриваемых течений был вычислен показатель степени пеизотронноств К* (Ли, Ким, Моин3).

2 и2

jr^i __z.nrï^

1 ¡2 -¡.i x.rms y.nlts

(щ,гт*, 4r,rm*j ^уйи-штеНСИноем пульсаций продольной и поперечных компонент скорости)

Для изотропной турбулентности К* — 1. В области вблизи стенки значительная разница между интепсивпостши продольных и тщкречных пульсаций приводит к намного большим значениям К' (фиг.З).

Также показано, что вблизи стенки показатель степени неизотропности турбулентных пульсаций практически не зависит от угла,

'Lee M., Kira J., Moin [>. Structure of turbulence at higll shear rate // J Fluid Mech. lSStl, V 1.30. В 561- 583.

1Че=4000

Яе=6000

Фиг 3 Распределения показатель степени неизотропности К* по сечению трубы Интервал между линиями уровня равен 3

В пристенной области 0 < < 30 в распределении продольной скорости наблюдаются вытянутые вдоль потока полосы ускоренного и замедленного движения, почти периодически чередующиеся в боковом направлении (фиг 4) Считается, что с образованием и разрушением данных структур связаг-на наибольшая часть производства напряжений Рейнольдса и кинетической энергии турбулентности Применение критерия, связывающего значения показателя степени неизотропности турбулентных пульсаций с наличием полос на определенном расстоянии от стенки, показывает, что полосы выражены при с1+ < 30 — 35 Это согласуется с описанным видом распределений продольной скорости

Локальное трение в турбулентном режиме более равномерно распределено по границе по сравнению с ламинарным режимом При обоих числах Рейнольдса описано поведение турбулентного касательного напряжения, вязкого

Ке=6000

г'

Фиг. 4: Распределение продольной компоненты скорости и3 на эллиптической поверхности на расстоянии от стенки = 10 при Не = 6000. длина дуги вдоль координаты в.

трения и их суммы: общего касательного напряжения вдоль меньшей полуоси эллипса (фиг. о). Турбулентное трений достигает наибольшего значения вблизи стенки, на стенке и в центре трубы оно нулевое. Показано, что в от далекий от стенки полное касательное напряжение определяется в основном турбулентным трением.

Данные по вторичным течениям Прандтля 2-ого рода вынесены в отдельный раздел главы, так как в анализе результатов расчетов им уделено особое внимание, В разделе 3.3 описывается форма и интенсивность вторичных течений, изучаются основные факторы, влиящие на их особенности.

Линии тока вторичных течений представлены двумя парами вихрей про-ттоположпото знака (фиг, 6). Жидкость растекается от центра- трубы к стенке вдоль больших полуосей и возвращается обратно вдоль малых

Максимальная скорость вторичных течений составляет приблизительно 1% от средней скорости потока, однако, как показало Никитиным и Яхотом, вторичные течения вносят определяющий вклад в формирование рашредо-

Фиг 5 Распределение касательного напряжения вдоль меньшей полуоси трубы при локальном ReT = 118 и ReT = 162 Пунктир с точкой — вязкое трение, пунктир — турбулентное трение, сплошная линия — их сумма, общее касательное напряжение

Фиг б Линии тока вторичных течений (сплошные линии соответствуют движению против часовой стрелки, пунктирные — по часовой стрелке)

ления средней продольной скорости 17г(х,у)

Вторичное течение в развитом турбулентном потоке однозначно определяется по средней продольной компоненте завихренности Цг = диу/дх—дих/ду (их, иу — средние поперечные компоненты скорости) Из-за прилипания на стенке трубы О,^ меняет знак при приближении к ней и достигает минимального значения непосредственно на стенке (фиг 7)

Из уравнений Рейнольдса для поперечных компонент средней скорости можно вывести уравнение для продольной завихренности В эллиптической системе координат (г, в) это уравнение имеет вид

иг апг и„ да, и /э2а , д2пл _

Я (г, в) = с\АзЬ.2 г + 81п2 в, с = Vа2-Ъ2 15

Ие=4000

Р?е=600и

Фиг. 7: Распределение средней продолпой компсЙйнты завихренности по сечению трубы. Положительные уровни отмечены сплошными линиями, отрицательные — штриховыми.

и 1 \д 1 5 д 1 д I т п , /й^Ч ~ Эт^Эё + ШТрШ' I Я -

Ой -

1.1 е 1 9] , ,

Первые два слагаемых в левой части (5) еднсывают конвективный перенос завихренности вторичным течением, третье слагаемое ответственно за, вязкое сглаживание градиента Пг, Два, слагаемых п правой части представляют собой источники завихренности. При отсутствии утих источников уравнение (5) совместно с уравнением неразрывности, выражением завихрспности через компоненты скорости и условиями прилипания на стспко .дает нулевое решение. Таким образом, наличие ненулевых источников, связанных с на-

пряжениями Рейнольдса — необходимое условие возникновения вторичного течения

Результаты расчетов показывают, что источниковые члены имееют заметные ненулевые значения лишь в узком пристенном слое, где компоненты скорости иг и щ могут интерпретироваться как нормальная и тангенсальная по отношению к стенке

Первый член в правой части (5) отвечает генерации завихренности благодаря неоднородному вдоль стенки распределению разности нормальных напряжений Рейнольдса, отражающей анизотропию турбулентных пульсаций вблизи стенки Пренебрегая переменностью Н(г, в) в каждой точке пристенной области можно выписать следующее приближенное выражение для величины <51

«■»41 («>-«»

Здесь тип обозначают тангенсальную и нормальную координаты (с1т « Н&6, Ап я» —Нбт) Вблизи стенки

(и'в2) ~ п2, (и'2) ~ {(и'2) - «2» > О

Пульсации скорости в области меньшей полуоси эллипса (в — тс/2) интенсивнее, чем в области большей полуоси (в = 0) (фиг 2) Это в равной степени относится к интенсивности колебаний каждой компоненты скорости, так что растущей функцией в оказывается и (и'д) — (и12) и ее номальная производная Таким образом получаем (¿г > 0 В трубе круглого сечения или в плоском канале анизотропия нормальных напряжений Рейнольдса не создает вторичного течения из-за однородности вдоль стенки (тангенсальная производная от разности напряжений Рейнольдса тождественно равна нулю)

Аналогичное приближенное выражение для второго источникового члена в правой части (5) имеет вид

(в2 д2\ 17

Далее, очевидно, что изменение (и'ги'д) вдоль стенки много меньше изменения вдоль нормали, поэтому производной д2/дт2 можно пренебречь Кроме того, из условий прилипания (и'ги'в) ~ п3, откуда следует, что знак <32 противоположен знаку {и'ги'е) По крайней мере в области пристенного сдвигового слоя вторичного течения положительное и'т (по направлению к стенке) переносит частицы жидкости с большей тангенсальной скоростью т е создает положительную пульсацию и'в и наоборот, отрицателная радиальная пульсация создает отрицательную и'в Таким образом, (и'ги'в) > 0 и <5г < О

Несмотря на то, что два источниковых члена в правой части (5) имеют противоположные знаки, знак интегрального вклада должен совпадать со знаком В противном случае вторичное течение изменило бы направление на противоположное, а вместе с ним изменился бы знак у {и'ги'&) и, соответственно, у <2г Из приведенных приближенных оценок следует гипотетический вывод о том, что знак источника в уравнении для продольной завихренности определяется членом, содержащим разность нормальных напряжений Рейнольдса Член содержащий касательные напряжения Рейнольдса действует в противоположном направлении, однако не может поменять направление вторичного течения

Достаточно неожиданным является совпадение распределений €¡1 и — <?2 вплоть до мелких деталей со значениями — <3г примерно в одну треть от <31 (фиг 8, 9)

В частности, минимум <5г достигается в той же точке, что и максимум СЦх Там же достигается максимум <51 + <5г

В разделе 3 4 описано поведение всех членов уравнения баланса кинетической энергии пульсаций, характеризующих производство, диссипацию и перераспределение энергии по сечению трубы Выявлены сходства и отличия с поведением соответствующих характеристик в канале

Большинство современных инженерных методов расчета турбулентных

Ре=4000

0.51 0.52 0.50 0.48 0.4В

Яе=4000

0.54 0.52 ^0.50 0.43 0.45

136=4000

Фиг. 8: Распределение источпиковых членов уравнения (5) в плоскости переменных (в, г) при Пе = 4000. (а) — (Ь)— (с) ■ Положительные уровни отмечены сплошными линиями, отрицательные - штриховыми.

Ке-6000

0.54 0.52 0,50 0.40 0.46

Ке=6000

Ке=6000

Фиг. 9: Распределение исто'-пшковых членов уравнения (5) в плоскости неременных [0, г) йри Не ~ 6000- (а) — (с) — С?, Положительные уровни отмечены сплошными линиями, отрицательные — штриховыми.

течений использует модельное уравнение для кинетической энергии турбулентности к — 0 5и[и[ вида

Где Б/ПЬ— полная производная, а члены в правой части Р,Б и е — соответственно производство, диффузия и диссипация энергии, подлежащие модельному описанию Прямой расчет всех членов уравнения для кинетической энергии, а также аналогичных уравнений для диссипации кинетической энергии и напряжений Рейнольдса в плоском канале (Мансур, Ким, Моин4) стимулировали построение нового поколения более точных моделей расчета неизотропных турбулентных течений

Диффузия кинетической энергии происходит за счет трех различных физических механизмов — вязкости турбулентности и пульсаций давления

D = DV + D^ + DP

Диффузия кинетической энергии за счет пульсаций давления так же, как и конвективный перенос энергии вторичным течением, во всей области течения малы по сравнению с другими членами уравнения энергии Качественно процессы производства, диссипации и диффузии кинетической энергии происходят одинаково вдоль всего периметра сечения трубы (фиг 10) Максимум производства достигается на расстоянии = 12 от стенки Вязкая диффузия переносит кинетическую энергию из области активного производства 6 < (¿+ < 20 в пристенную область < 6 Турбулентная диффузия действует в обе стороны Из области 8 < й+ < 30 энергия переносится как к стенке, так и во внешнюю область потока Диссипация кинетической энергии турбулентности максимальна на стенке, где она балансирует вязкую диффузию

4Mansour N N , Kim J , Moin P Reynolds-stress and dissipation rate budgets m a turbulent channel flow // J Fluid Mech 1988 V 194 P 15-44

При удалении от стенки диссипация уменьшается уравновешивая производство и турбулентный перенос Те же процессы происходят и в плоском канале (Мансур, Ким, Моин4)

Вместе с тем, имеется заметное количественное отличие В отдалении от стенки в узкой части трубы наблюдается повышенное положительное значение турбулентной диффузии При пониженном уровне пульсаций в этой части трубы такое аномальное поведение может объясняться переносом энергии в тангенсальном направлении из области более интенсивных колебаний Также необходимо отметить следующую особенность распределения производства энергии Внутри координатных четвертей максимум производства энергии по радиальному направлению при нормировке на местные вязкие масштабы ведет себя не монотонно вдоль периметра трубы Наибольшие значения наблюдаются в промежуточной области Это связано с наличием углового градиента средней скорости и неоднородностью распределения энергии пульсаций по сечению трубы

Заключение

В заключении подведены итоги работы и сформулированы ее основные результаты

Приложение

В приложении приводится структурная диаграмма программного кода Ее компоненты отражают основные этапы расчета и особенности их взаимодействия

Фиг 10 Распределения членов в правой части уравнения кинетической энергии турбулентности (6) в пристенной области трубы при Re = 6000 (а) — производство, (Ь) — диссипация, (с) — вязкая диффузия, (d) — турбулентная диффузия Линии 1—5 соответствуют координате в = 0,7г/8,7г/4,37г/8,7г/2 Точки — результаты для плоского канала при Rer = uTh/v = 150 (h — полуширина канала)

Основные результаты и выводы

Определены интегральные характеристики турбулентных течений в эллиптических трубах, распределения средних и пульсационных характеристик по сечению трубы при Не = 4000 иЛе = 6000

Описано поведение всех членов уравнения баланса кинетической энергии пульсаций, характеризующих производство, диссипацию и перераспределение энергии по сечению трубы Выявлено, что качественно процессы производства, диссипации и диффузии кинетической энергии происходят одинаково вдоль всего периметра сечения трубы и качественно совпадают с распределением соответствующих характеристик в плоском канале Вместе с тем, имеется заметное количественное отличие В отдалении от стенки в узкой части трубы наблюдается повышенное положительное значение турбулентной диффузии При пониженном уровне пульсаций в этой части трубы такое аномальное поведение может объясняться переносом энергии в тангенсальном направлении из области более интенсивных колебаний Также необходимо отметить следующую особенность распределения производства энергии Внутри координатных четвертей максимум производства энергии по радиальному направлению при нормировке на местные вязкие масштабы ведет себя не монотонно вдоль периметра трубы Наибольшие значения наблюдаются в промежуточной области Это связано с наличием углового градиента средней скорости и неоднородностью распределения энергии пульсаций по сечению трубы

Из уравнений Рейнольдса для поперечных компонент средней скорости получено уравнение для средней продольной завихренности в эллиптической системе координат Один из источниковых членов уравне-

ния отвечает генерации завихренности благодаря неоднородному вдоль стенки распределению разности нормальных поперечных напряжений Рейнольдса (Отметим, что в трубе круглого сечения или в плоском канале анизотропия нормальных напряжений Рейнольдса не создает вторичного течения из-за однородности разности напряжений Рейнольдса вдоль стенки ) Другой источниковый член определяет вклад сдвигового напряжения Рейнольдса Показано, что главным фактором, определяющим форму и интенсивность вторичного течения, является вклад первого источникового члена Вклад второго члена является противоположным по знаку, однако не является определяющим

Публикации по теме диссертации

1 Воронова ТВ, Никитин Н В Прямой расчет турбулентных течений в трубе эллиптического сечения // ЖВМ и МФ 2006 N 46(8) С 1477 — 1485

2 Воронова Т В , Никитин Н В Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения / / Изв РАН МЖГ 2007 N2 С 59-70

3 Воронова ТВ Прямой расчет турбулентного течения в трубе эллиптического сечения // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность Матер междун конференции —Моек обл , 26 февраля - 5 марта 2006г - М , 2006 — С 26

4 Воронова Т В , Никитин Н В Прямой расчет турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения // Ломоносовские чтения тез докл научной конференции Секция механики, г Москва, апрель 2006г - М , 2006 — С 46

5 Воронова ТВ Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения при Ке = 4000 и Де = 6000 // Ломоносовские чтения тез докл научной конференции Секция механики, г Москва, апрель 2007г - М , 2007 - С 131

Подписано в печать 05.09.2007 г. Печать на ризографе Тираж 100 экз. Заказ № 589. Объем 1,1 пл Отпечатано в типографии ООО "Алфавит 2000", ИНН- 7718532212, г Москва, ул Маросейка, д 6/8, стр 1, т. 623-08-10, www.alfavit2000.ru

Введение

Структура диссертации и апробация результатов

1 Обзор известных исследований

1.1 Ламинарное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения

1.2 Линейная устойчивость течения Пуазейля в трубе эллиптического сечения.

1.3 Результаты расчетов турбулентных течений в областях различной формы.

1.4 Краткая сводка вычислительных подходов.

2 Вычислительный метод

2.1 Постановка задачи.

2.2 Пространственная дискретизация

2.3 Определение давления.

2.4 Схема интегрирования по времени.

3 Результаты расчета

3.1 Алгоритмические и геометрические параметры задачи

3.2 Характеристики течения в установившемся режиме.

3.3 Вторичные течения.

3.4 Баланс кинетической энергии пульсаций

Прямой расчет, основанный на численном решении полных уравнений Навье-Стокса, превратился за последние годы в надежный метод исследования физики турбулентных течений. Многочисленные примеры свидетельствуют о хорошем согласии результатов прямых расчетов с экспериментом [1]. Данный метод не требует какой-либо априорной информации в виде эмпирических констант или подгоночных коэффициентов для расчета исследуемого течения. Такой подход зачастую является даже предпочтительным по сравнению с экспериментальными подходами, поскольку обеспечивает практически неограниченную по детальности информацию о структуре исследуемого течения.

Главная трудность на пути численного изучения турбулентности связана с величиной диапазона динамически значимых масштабов, свойственных турбулентным течениям, которые должны быть адекватно разрешены на дискретном уровне. Для расчета пристенных турбулентных течений при больших числах Рейнольдса объем вычислений пропорционален Re1'2. Последнее ограничивает численные исследования весьма невысокими числами Рейнольдса. Другое существенное ограничение связано со степенью сложности геометрии течений, доступных для прямого расчета.

В настоящее время довольно подробно изучены как численно, так и экспериментально одномерные в среднем течения. В классе пристенных течений большинство исследований проведено для плоского канала, асимптотического погранслоя над плоской пластиной, трубы круглого сечения [2]—[8].

Течения, средние характеристики которых зависят от двух координат, например, течения в некруглых трубах, интересны в прикладном и научном плане не только большей пространственной сложностью, но и наличием так называемых турбулентных вторичных течений, именуемых также вторичными течениями Прандтля 2-ого рода. Вторичные течения — это организованные движения жидкости в плоскости, перпендикулярной к направлению основного потока. В отличие от вторичных течений Прандтля 1-ого рода, возникающих в потоках вдоль вогнутой поверхности под действием центробежных сил как в турбулентных, так и в ламинарных потоках, вторичные течения Прандтля 2-ого рода — исключительно турбулентное явление, вызываемое анизотропией компонент тензора напряжений Рейнольдса. Интенсивность турбулентных вторичных течений невелика (как правило 1-3% от средней скорости потока), однако их вклад в процессы переноса импульса, массы, примеси в поперечной к направлению потока плоскости весьма значителен. Непосредственное измерение вторичных течений в экспериментальных условиях затруднительно, поскольку их величина сравнима с точностью измерений. Отсутствие достоверных экспериментальных данных задерживает разработку приближенных методов расчета таких течений [9]. В этих условиях прямой расчет оказывается практически единственным источником надежной информации о свойствах и структуре вторичных течений в некруглых трубах. До недавнего времени численное исследование турбулентных течений с неодномерными средними характеристиками ограничивалось трубами прямоугольного сечения [10]—[12].

Эллиптическая труба является незначительной модификацией классической трубы и простейшим типом трубы некруглого сечения. Несмотря на это для турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения в литературе до недавнего времени отсутствовали какие-либо данные об их свойствах и структуре. Для данного типа труб были лишь подробно описаны свойства ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости [13] и проведено исследование линейной устойчивости ламинарного течения [14]. Целью настоящей работы являлись прямой расчет и анализ турбулентных течений в трубах эллиптического сечения, описание интегральных и пульсационных характеристик, изучение структуры вторичных течений.

Структура диссертации и апробация результатов

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение

Проведены прямые расчеты турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения с соотношением полуосей Ь/а — 0.5 при Re = 4000 и Re = 6000 (число Рейнольдса Re вычисляется через среднюю скорость и гидравлический диаметр). Использован метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в криволинейных ортогональных координатах, основанный на центрально-разностной дискретизации по пространству и полунеявном методе Рунге-Кутты 3-его порядка точности для интегрирования по времени. Для решения уравнения Пуассона при определении давления используется алгоритм Быстрого Преобразования Фурье. Результаты работы хорошо согласуются с результатами, полученными ранее методом виртуальных границ [52].

Рассчитанные течения в турбулентном режиме характеризуются существенным повышением коэффициента сопротивления по сравнению с ламинарным режимом течения. Относительная разница с коэффициентом сопротивления, полученным из закона Блазиуса для некруговых труб, для обоих чисел Рейнольдса не превышает 3%.

Показано, что максимальная средняя продольная скорость течения в трубе в турбулентном режиме меньше, чем в ламинарном режиме, и профили скорости становятся более наполненными в радиальном направлении. При Re = 6000 для профиля средней продольной скорости вдоль меньшей полуоси эллипса четко выделен логарифмический участок. Известно, что при невысоких числах Рейнольдса профили скорости отклоняются в верхнюю сторону от линии, соответствующей универсальному логарифмическому закону стенки, что и наблюдается при Re = 4000.

Наибольший уровень пульсаций скорости наблюдается в пристенной области. Максимальное значение интенсивности достигается на меньшей полуоси эллипса. Азимутальная зависимость четко выражена для интенсивности поперечных пульсаций. Показано, что вблизи стенки турбулентные пульсации существенно анизотропны. Кроме того, вблизи стенки показатель степени неизотропности турбулентных пульсаций практически не зависит от угла.

В пристенной области 0 < d+ < 30 в распределении продольной скорости наблюдаются вытянутые вдоль потока полосы ускоренного и замедленного движения, почти периодически чередующиеся в боковом направлении. Считается, что с образованием и разрушением данных структур связана наибольшая часть производства напряжений Рейнольдса и кинетической энергии турбулентности. Применение критерия, связывающего значения показателя степени неизотропности турбулентных пульсаций с наличием полос на определенном расстоянии от стенки, показывает, что полосы выражены при d+ < 30 — 35. Это согласуется с описанным видом распределений продольной скорости.

Описано поведение всех членов уравнения баланса кинетической энергии пульсаций, характеризующих производство, диссипацию и перераспределение энергии по сечению трубы. Диффузия кинетической энергии за счет пульсаций давления так же как и конвективный перенос энергии вторичным течением во всей области течения малы по сравнению с другими членами уравнения энергии. Качественно процессы производства, диссипации и диффузии кинетической энергии происходят одинаково вдоль всего периметра сечения трубы и качественно совпадают с распределением соответствующих характеристик в плоском канале. Вместе с тем, имеется заметное количественное отличие. В отдалении от стенки в узкой части трубы наблюдается повышенное положительное значение турбулентной диффузии. При пониженном уровне пульсаций в этой части трубы такое аномальное поведение может объясняться переносом энергии в тангенсальном направлении из области более интенсивных колебаний. Также необходимо отметить следующую особенность распределения производства энергии. Внутри координатных четвертей максимум производства энергии по радиальному направлению при нормировке на местные вязкие масштабы ведет себя не монотонно вдоль периметра трубы. Наибольшие значения наблюдаются в промежуточной области. Это связано с наличием углового градиента средней скорости и неоднородностью распределения энергии пульсаций по сечению трубы.

Локальное трение в турбулентном режиме более равномерно распределено по границе по сравнению с ламинарным режимом. При обоих числах Рейнольдса описано поведение турбулентного касательного напряжения, вязкого трения и их суммы: общего касательного напряжения вдоль меньшей полуоси эллипса. Турбулентное трение достигает наибольшего значения вблизи стенки, на стенке и в центре трубы оно нулевое. Показано, что в отдалении от стенки полное касательное напряжение определяется в основном турбулентным трением.

Рассчитаны вторичные течения в плоскости поперечного сечения, свойственные турбулентным течениям в некруглых трубах. Линии тока вторичных течений представлены двумя парами вихрей. Жидкость растекается от центра трубы к стенке вдоль больших полуосей и возвращается обратно вдоль малых. Максимальная скорость вторичных течений составляет примерно 1% от средней скорости потока, однако, вторичные течения вносят определяющий вклад в формирование распределения средней продольной скорости.

Из уравнений Рейнольдса для поперечных компонент средней скорости получено уравнение для средней продольной завихренности в эллиптической системе координат. Один из источниковых членов уравнения отвечает генерации завихренности благодаря неоднородному вдоль стенки распределению разности нормальных поперечных напряжений Рейнольдса. (Отметим, что в трубе круглого сечения или в плоском канале анизотропия нормальных напряжений Рейнольдса не создает вторичного течения из-за однородности разности напряжений Рейнольдса вдоль стенки.) Другой источниковый член определяет вклад сдвигового напряжения Рейнольдса. Показано, что главным фактором, определяющим форму и интенсивность вторичного течения, является вклад первого источникового члена. Вклад второго члена является противоположным по знаку, однако не является определяющим.

1. Moin P., Mahesh К. Direct numerical simulation: a tool in turbulence research // Ann. Rev. of Fluid Mech. 1998. V. 30. P. 539-578.

2. Рождественский Б. JI., Симакин И.Н. Secondary flow in a plane channel: their relashionship and comparison with turbulent flows // J.Fluid.Mech. 1984. V. 147. P. 261-289.

3. Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number //J. Fluid Mech. 1987. V. 177. P. 133-166.

4. Spalart P.R. Direct simulation of a turbulent boundary laer up to Ree = 1410 11 J. Fluid Mech. 1988. V. 187. P. 61-98.

5. Приймак В.Г. Результаты и возможности прямого численного моделирования турбулентных течений вязкой жидкости в круглой трубе // ДАН СССР. 1991. Т. 316. N.1 С. 71-76.

6. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., Westerweel J., Adrian R.J., Friedrich R., Nieuwstadt F. T.M. Fully developed turbulent pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment //J. Fluid Mech. 1994. V. 268.1. P. 175-209.

7. Никитин H.B. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1994. № 6. С. 14-26.

8. Никитин Н.В. Статистические характеристики пристенной турбулентности // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1996. № 3. С. 32—43.

9. Demuren А. О., Rodi W. Calculation of turbulence-driven secondary motion in non-circular ducts // J. Fluid Mech. 1984. V. 140. P. 189-222.

10. Gavrilakis S. Numerical simulation of low-Reynolds-number turbulent flow through a straight square duct //J. Fluid Mech. 1992. V. 244. P. 101-129.

11. Huser A., Biringen S. Direct numerical simulation of turbulent flow in a square duct //J. Fluid Mech. 1993. V. 257. P. 65-95.

12. Никитин H.B. Численное моделирование турбулентных течений в трубе квадратного сечения // Докл. РАН. 1997. Т. 353. № 3. С. 338-342.

13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа // Учебник для вузов. — 7-е изд., испр. 2003. С. 389-392.

14. R.R. Kerswell, A. Davey On the linear instability of elliptic pipe flow // J. Fluid Mech. 1996. V. 316. P. 307-324.

15. Воронова Т.В., Никитин H.B. Прямой расчет турбулентных течений в трубе эллиптического сечения // ЖВМ и МФ. 2006. N 46(8). С. 1477 -1485.

16. Воронова Т.В., Никитин Н.В. Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2007. N 2. С. 59 70.

17. Воронова Т.В. Прямой расчет турбулентного течения в трубе эллиптического сечения. // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность: Матер, междун. конференции.—Моск. обл., 26 февраля 5 марта 2006г. - М., 2006. - С. 26.

18. Воронова Т.В., Никитин Н.В. Прямой расчет турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения. // Ломоносовские чтения: тез. докл. научной конференции. Секция механики; г. Москва, апрель 2006г. М., 2006. - С. 46.

19. Воронова Т.В. Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения при Re = 4000 и Re = 6000. // Ломоносовские чтения: тез. докл. научной конференции. Секция механики; г. Москва, апрель 2007г. М., 2007. - С. 131.

20. L.M. Hocking The stability of flow in an elliptic pipe with large aspect ratio // Q.J. Mech. Appl. Maths 1977. V. 30. P. 343-353.

21. M.C. Potter Stability of plane Couette-Poiseuille flow // J. Fluid Mech. 1966. V. 24. P. 609-619.

22. F.D. Hains Stability of plane Couette-Poiseuille flow // Phys. Fluids 1967. V. 10. P. 2079-2080.

23. W.C. Reynolds, M.C. Potter Finite-amplitude instability of parallel shear flow // J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 465-492.

24. T. Tatsumi, T. Yoshimura Stability of laminar flow in a rectangular duct // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. P. 437-449.

25. Deardorff J. W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers 11 J.Fluid Mech. 1970. V. 41. P. 453-480.

26. Schumann U. Subgrid scale model for finite difference simulations of turbulent flows in plane channels and annuli // J.Сотр. Phys. 1975. V. 18. P. 376—404.

27. Moin P., Reynolds W. C., Ferziger Large eddy simulation of incompressible turbulent channel flow // Rep. TF-12. Dept Mech. Engng, Stanford Univ.

28. Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J.Fluid.Mech. 1982. V. 118. P. 341-377.

29. Moser R.D., Moin P. Direct numerical simulation of curved turbulent channel flows j I NASA TM-85874.

30. Moin P., Kim J. The effects of curvature in wall-bounded turbulent flows 11 J.Fluid.Mech. 1987. V. 175. P. 479-510.

31. Рождественский Б. JI. О применимости разностных методов решения уравнений Навье—Стокса при больших числах рейнольдса // ДАН СССР. Т. 211. С. 308-311.

32. Рождественский Б.JI., Стойнов М.И. Алгоритмы интегрирования уравнений Навье—Стокса, имеющие законы сохранения массы, импульса и энергии: Предпринт N.119. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 28

33. Приймак В.Г. Семейство псевдоспектральных алгоритмов интегрирования уравнений Навье—Стокса в цилиндрической системе координат // ЖВМ и МФ 1992. Т. 32. N.8 С. 1291-1309.

34. Пономарев С.Г., Приймак В.Г., Рождественский B.JI. Статистически стационарные решения уравнений Навье—Стокса в кольцевом канале. Гидродинамические характеристики и пространственно-временная структура // ЖВМ и МФ 1988. Т. 28. N.9 С. 1354-1366.

35. Reynolds О. Experimental investigation of the circumstances wich determine whether the motion of water shall be direct or sinous and the law of resistance in parallel channels // Phil. Trans Roy. Soc. London. V. 174. P. 935-982.

36. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах. Проблемы турбулентности. М.—JL: ОНТИ НКТП СССР.

37. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow: NASA Rep 1174.

38. Salwen H., Grosch C.E. The stability of Poiseuille flow in a pipe circular cross-section 11 J.Fluid.Mech. 1972. V. 54. P. 93-112.

39. Вилъгелъми T.A., Голъдштик M.A., Сапоэюников В.А. Устойчивость течения в круглой трубе // Изв. АН СССР. МЖГ. N.1 С. 20-24.

40. Salwen Н., Cotton P., Grosch C.E. Linear stability of Poiseuille flow in a circular pipe // J.Fluid.Mech. 1980. V. 98. P. 273-284.

41. Никитин H.B. О жестком возбуждении автоколебаний в течении Гагена— Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N.5. С. 181-183.

42. Приймак В.Г., Рождественский Б.Л. Вторичные течения вязкой несжи-• маемой жидкости в круглой трубе и их статистические свойства // ДАН

43. СССР. 1987. Т. 297. N.6 С. 1326-1330.

44. Никитин Н.В. Возможности и результаты прямого численного моделирования турбулентности в трубах кругового сечения: // Отчет N.4334. М.: Ин-т механики МГУ. 1993.

45. Fasel Н., Rist U., Konzelmann U. Numerical investigation of the three-dimensional development in boundary-layer transition // AIAA J. 1990. V. 28. P. 29-37.

46. Fasel H., Konzelmann U. Non-parallel stability of a flat-plate boundary layer using the complete Navier—Stokes equations I j J.Fluid.Mech. 1990. V. 221. P. 311-347.

47. Никитин Н.В. Временной и пространственный подходы к численному моделированию турбулентности: // Отчет N.4387. М.: НИИ Мех. МГУ. 1994.

48. Никитин Н.В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 6. С. 767-770.

49. Kleiser L., Zang Т. Numerical simulation of transition in wall-bounded shear flows // Ann. Rev. Fluid Mech 1991. V. 23.

50. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование турбулентных течений в трубах // Автореферат докторской диссертации. Москва, 1996.

51. Никитин Н.В. Прямой расчет турбулентных течений в эксцентрических трубах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46(3). С. 509-525.

52. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier—Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates // J. Comput. Phys. 2006. V. 217(2). P. 759-781.

53. Nikitin N., Yakhot A. Direct numerical simulation of turbulent flow in elliptical ducts // J. Fluid Mech. 2005. V. 532. P. 141-164.

54. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-depent viscousincompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids 1965. V. 8. N.12 P. 2182-2189.

55. Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier— Stokes equations for incompressible flow // J.Fluid.Mech. 1969. V. 37. P. 727— 750.

56. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. Т. 4 N.3 С. 3—12.

57. Cooley J.W., Тикеу J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Math. Сотр. 1965. V. 16. P. 297-301.

58. Orszag S.A. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries. 1. Galerkin (spectral) represantations // Stud. Appl .Math. 1971. V. 50. P. 293-327.

59. Orszag S.A., Kells L.S. Transition to turbulence in plane Poiseuille flow and in planCouette flow // J.Fluid.Mech. 1980. V. 96. P. 159-205.

60. Рождественский Б.JI., Симакин И.Н. Моделирование турбулентных течений в плоском канале // ЖВМ и МФ 1985. Т. 25. N.1 С. 96-121.

61. Никитин Н.В. Неустойчивость вязких течений в каналах: // Отчет N.2750. М.: Ин-т механики МГУ. 1982.

62. Никитин Н.В. Нелинейное развитие возмущений в плоском течении Пу-азейля // Вестн. Моск. ун-та. Мат-ка, мех-ка. 1984. N.6. С. 62—65.

63. Никитин Н.В. Переходные процессы при течении вязкой несжимаемой жидкости в трубе круглового сечения: // Отчет N.2866. М.: Ин-т механики МГУ. 1983.

64. Никитин Н.В. Неустойчивость течений в осесимметричных каналах: // Отчет N.3044. М.: Ин-т механики МГУ. 1984.

65. Герценштейн С.Я., Никитин Н.В. Автоколебания конечной амплитуды во вращательном течении Гагена—Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. N.4 С. 22-28.

66. Orszag S.A. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries: accuracy // J.Fluid.Mech. 1971. V. 49. P. 75-112.

67. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flow using finite-difference schemes // J. Comput. Phys. 1991. V. 96. P. 15.

68. Никитин H.B. О характере вторичных течений во вращающейся трубе // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1992. № 6. С. 29-35.

69. Peskin C.S. Flow patterns around heart valves: a numerical method //J. Сотр. Phys 1972. V. 10. P. 252-271.

70. Никитин H.B. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. № 2. С. 42-55.

71. Jimenez J., Moin P. The minimal flow unit in near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 213.

72. Harlow F.H., Welsh J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow with free surface // Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 2182— 2189.

73. Kim J., Moin P. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1985. V. 59. P. 308.

74. А.А. Самарский, А.В. Гулин Численные методы математической физики // М.:Научный мир. 2003. 316с.

75. Spalart P.R., Moser R.D., Rogers M. Spectral methods for the Navier-Stokes equations with one infinite and two periodic directions //J. Comput. Phys.1991. V. 96. P. 297.

76. Verzicco R., Orlandi P. A finite-difference scheme for the three-dimensional incompressible flows in cylindrical coordinates //J. Comput. Phys. 1996. V. 123. P. 402.

77. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme forincompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2006. V. 51(2). P. 221-233.

78. Brown D.L., Cortez R., Minion M.L. Accurate projection methods for the incompressible Navier-Stokes equations //J. Comput. Phys. 2001. V. 168. P. 464-499.

79. Dukowicz J.K., Dvinsky A.S. Approximate factorization as a high order splitting for the implicit incompressible flow equations // J. Comput. Phys.1992. V. 102. P. 336-347.

80. Perot J.B. An analysis of the fractional step method //J. Comput. Phys.1993. V. 108. P. 51-58.

81. Никитин H.B. Спектрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 6. С. 909-925.

82. Choi Н., Moin P. Effects of the computational time step on numerical solutions of turbulent flow //J. Comput. Phys. 1994. V. 113. P. 1-4.

83. Ham F.E., Lien F.S., Strong A.B. A fully conservative second-order finite difference scheme for incompressible flow on nonuniform grids // J. Comput. Phys. 2002. V. 177. P. 117-133.

84. Lee M., Kim JMoin P. Structure of turbulence at high shear rate // J. Fluid Mech. 1990. V. 190. P. 561-583.

85. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 741-773.

86. Corino E.R., Brodkey R.S. A visual investigation of the wall region in turbulent flow // J. Fluid Mech. 1967. V. 37. P. 1-30.

87. Kim H.T., Kline S.J., Reynolds W.C. The production of turbulence near a smooth wall in turbulent boundary layer //J. Fluid Mech. 1971. V. 50. P. 133-160.

88. Голъштейн С. (ред.) Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости// 1948. г. 1-2. М.: ИЛ.

89. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика // 1965,1967. г. 1-2. М.: Наука.

90. Mansour N.N., Kim J., Moin P. Reynolds-stress and dissipation rate budgets in a turbulent channel flow //J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 15-44.