Методы расчета стабилизированных течений в каналах сложного профиля и автомодельных потоков со свободными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. Исследование механики турбулентного движения несжимаемой жидкости в каналах некруглой геометрии на основе уравнений переноса напряжений Рейнольдса •

1.1. О причинах недостаточно адекватного описания течения в каналах сложного профиля в рамках схем замыкания второго порядка.

1.2. Анализ приближённых уравнений баланса турбу -лентных напряжений

1.3. Эмпирические постоянные модели турбулентности

1.4. Система уравнений сохранения осреднённого импульса и граничные условия.

1.5. Численный метод решения задачи об установив -шемся турбулентном течении в каналах некруглой формы.

1.6. Результаты расчёта стабилизированного турбу -лентного потока в канале квадратного сечения

1.7. Оценка допустимости усечения моментных урав нений.

1.8. Алгебраическая модель напряжений Рейнольдса. Результаты использования квазиравновесной схемы замыкания для исследования установившегося турбулентного течения в квадратном канале

2. Приближённый метод расчёта характеристик основного потока в условиях стабилизированного течения в каналах сложного профиля.

2.1. 0 модели механизма турбулентного движения в установившихся потоках

2.2. Теоретические предпосылки использования модельных закономерностей для изучения гидродинамики некрутлых каналов. Построение расчётной схемы

2.3. Общий полуаналитический метод решения задачи о распределении напряжений сдвига при устано -вившемся течении в каналах произвольной геометрии

2.4. Результаты расчёта параметров турбулентного потока в каналах некруглого сечения.

3. Инженерный метод замыкания в задачах свободной турбулентности . III

3.1. Приближение тонкого сдвигового слоя для свободных турбулентных течений несжимаемой жидкости .III

3.2. Анализ закономерностей распространения осе-симметричной автомодельной слабонагретой затопленной струи и основного участка плоского следа за цилиндром. . . . . П

3.3. Результаты численного исследования турбулентной струи и следа за цилиндром. Сравнение с экспериментом

Интерес к изучению вопросов, связанных с турбулентным движением континуума, возник в середине прошлого века как результат выявления противоречия между теоретическими, полученными на основе закона трения Ньютона, и экспериментально наблюдаемыми значе -ниями сопротивления при течении жидкости в трубах и при внешнем обтекании тел. Анализ указанных расхождений привел в конечном итоге к пониманию того обстоятельства, что подавляющее большинство реализующихся в природе и технике течений жидкостей и газов являются турбулентными. Турбулентные процессы определяют трение и теплообмен при движении тел в жидкостях и газах и при течении в трубах и каналах, играют ведущую роль при горении, перемешивании и суже, при движении воздуха в атмосфере, воды в реках, морях и океанах, при течении жидкостей в различных биологических системах. От успехов в развитии теории турбулентности во многом зависит решение ряда важнейших задач современного промышленного производства, проблем энергетики, транспорта, медицины, экологических вопросов. Изучение закономерностей турбулентного переноса необходимо при проектировании ракетных и авиационных двигателей, камер сгорания, топок и печей, турбин и котлов, различных теплообменных устройств, гидротехнических сооружений, аппаратов химической технологии и т.д. Фундаментальность проблемы турбулентности, чрезвычайное многообразие и важность этого физического явления обусло -вили, с одной стороны, настоятельную необходимость всестороннего его изучения с целью построения надёжных методов прогнозирования и контроля и, с другой стороны, привлекли пристальное внимание многих выдающихся исследователей в области механики сплошных сред.

За столетие, прошедшее после опубликования ставших ныне классическими работ Осборна Рейнольдса ( 1883 и 1895 годы ), явившихся первым крупным вкладом в выяснение физической сущности турбу лвнтного движения, выполнено множество экспериментальных и теоретических исследований, позволивших достичь существенного прогресса в понимании природы турбулентности и разработке методов её математического описания. Здание современной теории турбулентности строилось в работах таких учёных как Г.Н. Абрамович, Н.И. Булеев,

A.C. Гиневский, Л.А. Вулис, Г#С, Глушко, М.А. Гольдштик, Б.И. Давыдов, В.М. Иевлев, Б.Б, Кадомцев, Л.В. Келлер, А.Н. Колмогоров, Б.А, Коловандин, С .С. Кутателадзе, Л.Д. Ландау, Ю.В. Лапин, А .И. Леонтьев, Л.Г. Лойцянский, М.Д. Миллионщиков, A.C. Монин, В. Г. Невзглядов, А.М. Обухов, Г.И. Петров, Л.И. Седов, А.Н. Секундов,

B.В. Струминский, Б.П. Устименко, Е.М. Хабахпашева, В.А. Шваб, В.Н. Штерн, A.A. Фридман, АЛ. Яглом, .а также c.w.van Atta,

G.K.Batchelor, R.Betchov, J.Boussinesq, P.Bradshaw,.J.M.Burgers, A.J.Chorin, G.Comte-Bellot, S.Corrsin, R.G.Deissler, С .du P.Donaldson, E.R.Van Driest, W.Prost, H.Gortler, P.T.Harsha, j.O. Hinze, E.Hopf, L.Hówarth, T.Von Karman, S.J.Kline, L.S.G.Kovasz-nay, J.Laufer, B.E.Launder, S.C.Lee, W.S.Lewellen, C.C.Lin, E.N. Lorenz, J.L.Lumley, G.L.Mellor, T.H.Moulden, Y.M.Nee, I.Nikuradse, S.A.Orsag, L.Prandtl, 0.Reynolds, W.С.Reynolds, M.Rosenblatt,

J.C.Rotta, P.G.Saffman, A.Sommerfeld, D.B.Spalding, G.I.Taylor,

H.Tennekes, W.Tollmien, A.A.Townsend, D.B.Wilcox и другие.

Несмотря на значительный объем накопленных к настоящему времени знаний в области турбулентного состояния среды, замкнутая рациональная теория турбулентности до сих пор не построена. Поиски наиболее перспективных путей описания этого крайне сложного трёхмерного вихревого хаотического движения, для которого тем не менее оказывается возможным определить статистически различимые средние значения щцродинамических параметров, привели к формированию нескольких различных направлений теоретического исследова ния проблемы турбулентности«

В специальной литературе наиболее широко представлены феноменологический и статистический подходы к замыканию уравнений ос-реднённого движения. На основе систематических экспериментальных исследований удалось создать разветвленную полуэмпирическую теорию турбулентности, позволяющую уже сейчас решать широкий круг важнейших инженерных задач. Что же касается попыток замкнуть бесконечную цепочку уравнений Фридмана-Келлера с использованием статистических методов анализа уравнений в корреляционной либо спектральной формах, то несмотря на перспективность статистического подхода, на логическую необходимость исследования хаотических,нерегулярных полей пульсаций гидродинамических параметров вероят -ностными методами, несмотря на ряд важных результатов, полученных при теоретическом изучении однородно-изотропной турбулентности, пока не удаётся распространить эти методы на случаи практически важных течений со сдвигом, поскольку ещё недостаточно изучены физические процессы, нормирующие статистические закономерности.

Ещё одно направление исследований турбулентности связано с попытками прямой численной реализации нестационарных уравнений Навье-Стокса. В настоящее время данный подход существенным образом ограничен возможностями компьютеров и прогресс в этих мето -дах будет, по-видимому, определяться темпами создания более мощных ЭВМ. Несомненный интерес представляют работы по подсеточному моделированию турбулентных течений, в которых влияние неразрешимых явно на используемых конечно-разностных сетках движений малого масштаба учитывается с помощью тех или иных феноменологических моделей. Однако проблема описания мелкомасштабных движений и их взаимосвязи с крупными масштабами по сложности, по меньшей мере, сравнима с проблемой замыкания уравнений сохранения осреднён-ного импульса, кроме того, весьма существенны затраты на прове дение вычислений и, наконец, методы подсеточного моделирования ещё недостаточно развиты для их использования в инженерных приложениях.

Помимо упомянутых выше основных направлений изучения турбулентных течений можно отметить ряд других исследований в области теории турбулентности» Известны, например, работы, в основе которых лежит предположение о невозможности описания процессов турбулентного перемешивания в рамках классической модели сплошной среда. В частности, предлагается отказаться от привлечения уравнений Навье-Стокса при анализе реальной турбулентности; однако каких-либо конструктивных предложений по их замене высказать не удалось. Заметим по этому поводу, что диапазон параметров, характеризую -щих турбулентность, достаточно далёк от диапазона молекулярных величин; турбулентные течения очень хорошо удовлетворяют гипоте -зам, используемым при выводе уравнений Навье-Стокса, и, кроме того, опыт применения этих уравнений свидетельствует о правомерности их использования при анализе турбулентных потоков.

В ряде работ помимо модели Навье-Стокса используются методы кинетической теории газов, в частности, из уравнения Больцмана выводятся соотношения, описывающие распределения корреляционных функций в турбулентном течении. Такой подход приводит к необходимости решения нескольких десятков уравнений в частных производных с соответствующим числом неизвестных и, естественно, неприемлем при проведении конкретных расчётов.

Около тридцати лет назад Л.Д. Ландау и Е.М. Лившицем была высказана гипотеза о том, что параметры, характеризующие турбулентность, могут быть найдены как квазипериодические во времени решения уравнений Навье-Стокса. Такие квазипериодические функции исследовались £ Hopf* ом. Однако последовательное возбуждение всё большего числа осцилляции приводит в итоге к гауссов ским распределениям, не описывающим реальные поля гидродинамических характеристик.

Весьма оригинальны работы по изучению новых объектов теории динамических систем - странных аттракторов. Что касается этих исследований, можно отметить некоторую приближённую аналогию пове -дения данных систем с рядом качественных особенностей турбулент -ных течений; тем не менее, отсутствие достаточно сложной многомасштабной модели пока не позволяет говорить о возможности примене -ния аппарата теории динамических систем к анализу конкретных турбулентных потоков.

Ещё один путь разработки проблемы турбулентности, заключаю -щийся в отыскании приближённых или точных решений системы уравнений, описывающих распределения пульсационных характеристик тече -ния, был указан в 1974 году В.В. Струминским. Для выяснения возможностей использования данного предложения при замыкании уравнений Рейнольдса необходимы дополнительные исследования.

Ряд авторов в настоящее время использует для моделирования турбулентности (в основном двумерной атмосферной) методы "Монте-Карло", основанные на принципах теории систем управления. Эти методы находятся пока в начальной стадии своего развития, частично апробированы лишь на простейших задачах, весьма сложны в исполь -зовании и их совершенствование так же будет опираться на дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования.

Достижения в разработке метода условных выборок позволили накопить достаточно экспериментальных данных, чтобы попытаться отразить при моделировании турбулентности наличие в потоках когерентных крупномасштабных структур. В связи с этим появились модели, в которых возможная утрата информации при использовании процедуры осреднения Рейнольдса устраняется путём введения несколь -ких уровней осреднения. В этих работах поведение крупномасштабных структур описывается детерминированными моделями, движения малых масштабов принимаются изотропными, переносимыми основным потоком и крупными вихреобразованиями. Однако информации о закономерное -тях образования когерентных структур и об их влиянии на течение пока недостаточно, чтобы предпочесть такие сложные многомасштабные модели уравнениям Рейнольдса, успешно применяющимся при решении многих практических задач.

Как отмзчалось выше, феноменологический подход к проблемам, связанным с турбулентным состоянием среды, оказался наиболее позитивным при построении методов расчёта реальных турбулентных течений. Детальную информацию об эволюции полуэмпирической теории турбулентности, подробные сведения об имеющихся моделях, оценки их возможностей и обсуждение перспектив развития полуэмпирического подхода можно найти в работах [1-34].

Накопленный к настоящему времени экспериментальный материал о поведении статистических характеристик турбулентных потоков позволяет строить и проверять модели турбулентности самых различных уровней сложности и детальности описания процессов турбулентного обмена, применимые в широком диапазоне встречающихся на практике граничных условий. Среди таких моделей, по-видимому, можно выделить инвариантные схемы замыкания, основанные на уравнениях переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка, как наиболее предпочтительные в смысле общности и степени достовер -ности описания физики турбулентности, позволяющие в то же время проводить исследования, не выходя за рамки возможностей современных компьютеров. Использование уравнений для вторых моментов обеспечивает достаточно обоснованное изучение явлений, возникающих в сложных турбулентных течениях, которые не удавалось адекватно описать с помощью моделей предшествующих поколений (несовпадение поверхностей нулевого сдвигового напряжения и нулевой средней скорости деформации в асимметричных потоках, изменение структуры течения под влиянием различных внешних воздействий,возникновение вторичных течений при движении жидкости в каналах некруглого сечения и в потоках, аналогичных по своим свойствам од-носвязным течениям в некруглых каналах - обтекание пластины ко -нечной ширины, внешнее обтекание пучка стержней либо одиночного стержня сложной конфигурации, течение вдоль образованного пересекающимися плоскостями угла и т.д., где так же имеет место сущест -венное изменение гидродинамических характеристик вдоль ограничи -ваюпдах стенок и наблюдаются средние циркуляционные токи жидкости в плоскости, перпендикулярной направлению основного потока).

Следует, однако, отметить чрезмерную сложность численной реализации моделей переноса второго порядка для использования последних непосредственно в инженерных приложениях. В этой связи интерес представляет построение и проверка локально-равновесных приближений полной модели, позволяющих избежать трудностей чис -ленного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных для определения составляющих тензора напряжений Рейнольд-са. Кроме того, зачастую интересы практики не требуют информации об эволюции в потоке всех компонент тензора турбулентных напряжений, что позволяет в этих случаях отказаться от привлечения уравнений переноса последних в пользу более простых схем замыкания при условии их адекватности реальным измерениям.

Заметим далее, что все существующие методы расчёта турбулентных течений, опирающиеся на использование опытных постоянных, от простых схем замыкания поля осреднённых скоростей до моделей, основанных на уравнениях переноса корреляционных моментов высокого порядка, являются по сути дела интерполяцией экспериментальных данных на основе тех или иных рациональных соображений. В связи с этим вполне естественно возникает стремление по возможности уменьшить число используемых эмпирических коэффициентов, компенсирующих недостаточность сведений о физических механизмах турбулентного обмена. Среди исследований в этом направлении можно отметить работы С.С. Кутателадзе и А .И. Леонтьева по формулировке независимых от эмпирических констант относительных предельных законов трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое, работы М.А. Гольдштика, в которых на основе анализа физических процессов, регулирующих структуру осреднённых движений жидкости, развит принцип максимальной устойчивости последних, работы М.А. Гольдштика и В.Н. Штерна по построению и проверке моногармонической теории пристенной турбулентности, не требующей использования эмпирических коэффициентов, работы Н.И. Булеева по развитию его теоретической модели турбулентного обмена.

К группе исследований, имеющих целью устранить необходимость использования опытных постоянных при расчёте турбулентных течений, можно отнести также работы В.А. Шваба и A.B. Шваба. Указанные авторы предложили приближенную теоретическую зависимость для опре -деления турбулентного напряжения сдвига в установившихся двумер -ных потоках, аналогичную известной формуле Кармана, с коэффициентом пропорциональности, однако, не являющимся постоянной величи -ной, а изменяющимся в соответствии с соотношением между турбу -лентной и вязкой частью полного напряжения. Найденная зависимость позволила построить не требующий опытной коррекции метод расчёта полей осреднённых скоростей и ряда других гидродинамических характеристик. Апробирование метода на исследовании течения Куэтта, установившихся потоков в круглой трубе и коаксиальном канале, течения между вращающимися цилиндрами показало, что теоретические результаты достаточно хорошо соответствуют данным измерений. С учётом этого обстоятельства, а также того, что модель, будучи схемой замыкания поля осреднённых скоростей, приводит к расчётным соотношениям, численная реализация которых значительно проще, чем решение дополнительных уравнений в схемах замыкания более высокого порядка, интерес представляют исследования, направленные на возможное расширение сферы применимости этой модели.

Ниже проводится обоснование необходимости исследовании, предпринятых при выполнении диссертационной работы и формулируются её цели,

I. Растущие требования к достоверности теоретических результатов, касающихся реальных турбулентных течений, в условиях распространения быстродействующих ЭЦШ, стимулировавшего процесс развития численных методов решения задач математической физики, с необходимостью приводят к все более широкому внедрению в прак -тику инженерных расчётов современных высокоинформативных моделей турбулентности. При этом выбор наиболее разумной из имеющихся моделей во многом связан с универсальностью их приложений.

Одной из наиболее детально разработанных схем замыкания уравнений сохранения осреднённого импульса является модель пере -носа напряжений Рейнольдса, развитая в работах группы 8.£1аап^а [35-37]. Численные расчеты широкого спектра турбулентных потоков, выполненныена основе этой модели, указывают на её достаточную инвариантность. (Инвариантность схемы замыкания включает в себя два обстоятельства, как отмечает В. Левеллен в обзорной статье из коллективной монографии [28] - во-первых, модель должна обладать теми же свойствами тензорной симметрии, что и моделируемые члены, и, во-вторых, будучи полуэмпирической, она не должна иметь изменяемых постоянных, которые необходимо подбирать для каждого конкретного случая течения • )

Одной из целей диссертационной работы является выяснение возможностей использования предложений по замыканию [35-37]при исследовании гидадинамики каналов некруглого поперечного сечения.

Турбулентные потоки жидкости в таких каналах относятся, по классификации П. Брэдшоу [12], к одному из типов сложных турбулентных течений, и теоретическое их изучение представляет интерес с точки зрения проверки универсальности выбранной модели турбулентности.

Весьма важен прикладной аспект проблемы моделирования турбулентных течений в каналах некруглой геометрии, связанный с широ -ким использованием последних в самых различных технологических устройствах. Каналы сложного профиля являются основными элементами конструкций эффективных систем теплообмена атомных энергетических установок [38-43], обслуживающих систем энергетических уста -новок космических аппаратов [44], их применение целесообразно при эксплуатации стеснённых газообильных подземных выработок [45] и т.д. Интересы современной технологии не ограничиваются установлением гидравлических закономерностей поведения потока в целом, но требуют построения расчётных методов, как можно полнее учитываю -щих всё многообразие процессов турбулентного обмена в каналах сложных форм.

Вопрос о правильном моделировании гидродинамики каналов непосредственно связан с возможностью адекватного расчёта теплооб -мена использующих их устройств. Так, в условиях постоянства теплового потока на стенке в окрестностях угловых точек, характери -зуемых значительным уменьшением касательного напряжения, могут возникать местные высокотемпературные зоны вследствие уменьшения интенсивности конвективной теплоотдачи, и для правильного расчёта теплового режима необходима информация о поведении потока в этих областях, в частности, о структуре и интенсивности вторичных течений. ^. 0,1'6Ы8аск 'ом [46] было проведено прямое численное моделирование течения в канале с частично шероховатыми стенками и показано, что вторичные течения могут оказывать заметное влияние на перенос тепла, а также в значительной степени определяют поведе -ние корреляций между пульсациями скорости и температуры.

В последние года ряд исследователей обращался к экспериментальному и теоретическому изучению турбулентного течения в каналах различных форм. Сведения о современном состоянии вопроса и достаточно представительную библиографию можно найти в монографиях [38,44,47], в работах авторов [38], а также в работах [39 ,40, 42,43,48-88]. Следует отметить, что ни простейшие методы расчёта поля осредненных скоростей, ни модели турбулентности, окончательное замыкание в которых осуществляется путем введения изотропного коэффициента вихревой диффузии, не позволяют описать течения в каналах некруглой геометрии с учётом всех особенностей, отличающих их от турбулентного потока в' круглой трубе или плоском канале. Эксперименты по исследованию турбулентных потоков в каналах сложной конфигурации показывают, что в таких течениях все шесть компонент тензора напряжений Рейнольдса конечны и при этом су -щественно изменяются по сечению канала. Поле же вторичных токов тесным образом связано с анизотропией полей нормальных напряжений. С учётом этих обстоятельств теоретическое исследование гидродинамики некруглых каналов необходимо проводить с привлечением моделей переноса турбулентных напряжений в качестве минимального уровня детальности описания физики турбулентности с дальнейшими разумными упрощениями на основе анализа результатов применения по возможности полной схемы замыкания.

В качестве тестовой задачи для апробирования наиболее общего вида приближения [35-37] был выбран стабилизированный турбулентный поток в канале квадратного сечения. Указанное течение является наиболее изученным экспериментально из рассматриваемого класса, оно сохраняет все наиболее общие черты турбулентных потоков в каналах сложных форм, все шесть компонент тензора напряжений Рейнольдса имеют конечную величину, и от достоверности моделирования анизотропии нормальных напряжений зависит правильность описания вторичных течений.

2. При использовании той или иной модели турбулентности второго порядка желательно избежать преждевременного стремления упростить её. В случае некруглой геометрии профиля стенок канала проверки требует, в частности, концепция локального равновесия, позволяющая, как отмечалось выше, устранить трудности численной реализации системы дифференциальных уравнений в частных производных для определения турбулентных напряжений. Особенно пристальное внимание следует обратить на достоверность описания процессов, связанных с взаимодействием флуктуаций статического давления с градиентами пульсационных скоростей и ответственных за перераспределение уровней интенсивности турбулентных напряжений.

Модели переноса напряжений Рейнольдса, позволяя рассчитывать помимо полей осреднённнх скоростей распределения всех компонент тензора турбулентных напряжений, являются весьма информативными и в том смысле, что дают возможность оценить относительный вклад различных механизмов турбулентности в общую картину - течения.

Указанные обстоятельства предопределили необходимость при исследовании турбулентного потока в квадратном канале поставить цель проведения корреляционного анализа турбулентных взаимодей -ствий, имеющих место в плоскости сечения канала, на основе сравнительной оценки компонент баланса вторых моментов, с тем, чтобы выработать достаточно обоснованные рекомендации, касающиеся допустимых границ усечения моментных уравнений.

3. Исключение из модельных уравнений переноса турбулентных напряжений конвективных и диффузионных составляющих (локально -равновесный подход) позволяет получить алгебраические выражения всех шести компонент тензора напряжений Рейнольдса через градиенты средней скорости, кинетическую энергию турбулентности и скорость её диссипации. Ввиду относительной простоты использования данного приближения оно может оказаться весьма полезным в инженерных приложениях, в связи с чем в диссертационной работе была поставлена цель построения алгебраической модели турбулентных напряжений и её апробация на исследовании установившегося течения в квадратном канале с учётом результатов корреляционного анализа потока на основе полных уравнений баланса вторых моментов.

4. Применение статистико-полуэмпирических переносных моделей турбулентности с возможными модификациями в соответствии с особенностями потока целесообразно в тех случаях, когда возникает необходимость детального исследования течения с учётом структуры распределения характеристик турбулентности. Эти модели весьма сложны в использовании и, будучи способны давать обширную и вполне достоверную информацию о поведении локальных параметров потока, содержат значительное количество эмпирических коэффициентов. Выше среди исследований, предпринятых с целью по возможности освобо -диться от необходимости опытной коррекции теоретических результатов, упоминались работы В.А. Шваба и A.B. Шваба. Предложенная указанными авторами в [89,90,29] эвристическая модель механизма турбулентного движения, ориентированная в основном на решение двумерных задач установившегося течения, хорошо зарекомендовала себя при изучении ряда пристенных потоков, в связи с чем, как было отмечено, интерес представляет расширение области применимости модели. При выполнении диссертации ставилась цель распространения приближения [89,90,29] на исследование турбулентных потоков в каналах некруглого сечения и, более того, цель построения обобщен -ного метода расчёта стабилизированных турбулентных течений в каналах произвольной форш, такого, чтобы расчётная схема в каждом частном случае геометрии канала требовала лишь точной аппроксимации профиля его сечения. Достижение указанной цели возможно только в том случае, если удастся разработать общую методику расчёта закономерностей поведения полного напряжения трения в каналах произвольного сечения [84]. Используемый в диссертационной работе приближенный полуаналитический метод, основанный на представлении искомого решения в виде отрезка ряда по неортогональным функциям с последующим их ортонормированием на контуре стенок канала [91, 92], позволяет рассчитать распределение напряжений сдвига при установившемся течении в прямолинейных каналах любой формы сече -ния как для ламинарного, так и для турбулентного режимов движения жидкости. (Построение общего метода расчёта вязких потоков в ка -налах некруглой геометрии представляет и самостоятельный интерес. Прежде всего можно отметить, что используемая в диссертационной работе математическая модель соответствует ряду других физических задач, таких как кручение призматического стержня, выпучивание закреплённой по периметру тонкой мембраны и т.д. Кроме того, известно, что точные аналитические методы позволяют исследовать полностью развитое ламинарное течение в канале лишь в немногих частных случаях геометрии границ последнего; но даже если интересуются в основном системами, содержащими частицы, внешние границы течения в реальных условиях существуют и оказывают влияние на характеристики потока, в связи с чем важно иметь под рукой решения, описывающие течение жидкости в каналах с различной конфигурацией профиля стенки.)

5. Видное место в прикладной механике вязкой жидкости занимают в настоящее время свободные турбулентные течения, что объ -ясняется важностью их практических приложений. Явления турбулентного обмена при отсутствии непосредственного влияния твердых границ зачастую играют определяющую роль в обеспечении интенсификации рабочего процесса в различных технологических устройствах.

За последние десятилетия в нашей стране и за рубежом выпол -нено множество работ по изучению, как экспериментальному, так и теоретическому, турбулентных потоков со свободными границами. Систематические исследования в этом направлении привели к появлению ряда известных монографий, суммирующих достигнутые успехи в изу -чении свободной турбулентности [93-96]. Обсуждение проблем, связанных с изучением свободных турбулентных потоков, можно найти в , материалах конференции, проведённой в 1972 году в исследователь -ском центре Л/Д5А им. Лэнгли [97], в монографиях [2,3,7,23,27-29], в обзорных докладах, сделанных на первом международном симпозиуме по турбулентным сдвиговым течениям [34], в многочисленных журнальных публикациях.

Переходя к формулировке цели диссертационной работы, отметим," что в связи со сложностью непосредственного использования в инженерной практике методов расчёта, основанных на моделировании членов, входящих в уравнения для напряжений Рейнольдса, равно как и моделей переноса кинетической энергии, их применение вряд ли может быть оправдано при решении простейших автомодельных задач свободной турбулентности. С другой стороны, ставшие классическими методы замыкания поля осреднённых скоростей ввиду недостаточной физической обоснованности гипотез, касающихся закономерностей, опре -деляклцих поведение турбулентных напряжений и, соответственно,вихревую или турбулентную вязкость, а также свойства турбулентности в переносе скалярной субстанции, не дают достаточно хорошего согласования с опытными результатами во всей области течения. Выше при обсуждении модели механизма турбулентного движения [89,90,29] отмечалась сравнительная простота её реализации при расчёте турбулентных потоков. В частности, задача определения поля осреднённых скоростей установившегося течения сводится к решению обыкно -венного дифференциального уравнения второго порядка. При этом отсутствует необходимость использования эмпирической информации о поведении коэффициентов турбулентного обмена. В диссертационной работе ставилась цель выяснения возможностей применения построенного на основе модели [89,90,29] метода расчёта турбулентных течений для исследования неизотропных свободных потоков. В качестве тестовых задач свободной турбулентности были выбраны течения в основном участке осесимметричной струи и в автомодельной области нагретого следа за круглым цилиндром.

Диссертационная работа состоит, помимо введения, из трёх глав и заключения, в котором кратко формулируются основные результаты выполненных исследований.

В первой главе проводится изучение механики турбулентного движения несжимаемой жидкости в каналах некрутлого сечения на основе приближённых уравнений баланса напряжений Рейнольдса. При этом в соответствии с поставленными целями при замыкании системы уравнений сохранения осреднённого импульса используются предложения [35-37]. Предварительно проведено обсуждение алгебраической модели турбулентных напряжений [57] с тем, чтобы выявить наиболее типичные причины недостаточно адекватного описания течений в каналах сложного профиля в рамках схем замыкания второго порядка и показано, что построению упрощённых методов расчёта должен предшествовать детальный анализ потока на основе по возможности полного учёта физических процессов, участвующих в общем механизме турбулентного обмена*

Применительно к исследованию течений в каналах некруглой геометрии подробно анализируется модель турбулентности [35-37]. Описывается численный метод решения задачи об установившемся турбулентном течении в каналах некрутлой формы.

На основе предложений по замыканию [36] выполнено численное исследование стабилизированного турбулентного потока в квадратном канале. Незавершенность локально-равновесных представлений устранена путём учёта вклада конвекции и диффузии напряжений Рейнольд-са в общий баланс последних. При моделировании корреляции "давления-деформации" учитывается влияние стенки на обменное слагаемое. При этом принимается обобщение, позволяющее оценить это влияние в случае слоеной геометрии границы. И, наконец, в целях возможности численной реализации задачи непосредственно от стенок канала без введения понятия вязкого подслоя, используются модификации модели [37], позволяющие учесть эффекты, связанные с уменьшением турбу -лентного числа Рейнольдса.

Результаты численного расчёта полей осреднённых скоростей как основного, так и вторичного потоков, а также расчётные распределения компонент тензора турбулентных напряжений сравниваются с экспериментальными данными различных авторов. Отмечается, что общий уровень соответствия результатов расчёта реальным измерениям достаточно высок.

Представлены данные по оценке относительного вклада различ -ных механизмов турбулентности в общий баланс напряжений Рейнольдса, на основе которых анализируется возможность применения ло -кально-равновесного приближения модели для исследования турбулентных потоков в каналах сложной конфигурации. Показано, что корреляция "давления-деформации" является одним из важнейших элементов баланса рейнольдсовых напряжений практически во всей области течения. Конвекция турбулентных напряжений в плоскости сечения канала пренебрежимо мала. Что же касается диффузионных процессов,то в отличие от турбулентного потока в прямой круглой трубе или плоском канале, они заметно проявляются в довольно широкой области сечения, в связи с чем полное пренебрежение диффузией турбулент -ных напряжений может привести к ошибочным результатам при расчё -тах течения. Отмечено, что наиболее разумный путь уточнения локально-равновесных соотношений связан с их использованием сов -местно с уравнениями переноса кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации.

Построена алгебраическая модель напряжений Рейнольдса, ориентированная на исследование турбулентных потоков в каналах сложного профиля. С учётом выработанных рекомендаций модель использовалась для анализа установившегося течения в квадратном канале. Проведено сравнение расчитанных полей скорости основного и вторичного пото -ков, а также распределений турбулентных напряжений с эксперимен -тальными данными и с результатами численного исследования течения на основе модельных уравнений переноса напряжений Рейнольдса. Показано, что квазиравновесная схема замыкания, упрощая численную реализацию задачи, позволяет, тем не менее, учесть особенности течения, в частности, достоверно описывает взаимосвязь поля вторич -ных токов с анизотропией нормальных напряжений, в связи с чем может оказаться полезной в инженерных приложениях.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию турбулентных течений в каналах некруглого сечения на основе модели механизма турбулентности, развитой в работах [89,90,29]. Предварительно кратко обсуждаются предложенные авторами [89,90,29] некоторые принципы механизма генерации турбулентного движения и приво -дятся уравнения, положенные в основу метода расчёта полей осред -нённых скоростей, турбулентных напряжений, вихревой вязкости и других характеристик турбулентного течения. Показано, как физический анализ процесса генерации турбулентности при установившемся тече -нии приводит в итоге к зависимости для определения значения полного напряжения, в которой учитывается соотношение между вязкой и турбулентной частями последнего.

Далее рассматриваются теоретические предпосылки применения модели [89,90,29] для изучения стабилизированных турбулентных потоков в некруглых каналах и разрабатывается схема расчёта течения. При использовании приближения [89,90,29], как отмечалось выше, необходимо предварительное исследование поля напряжений установив -шегося потока. Для решения этой задачи применяется полуаналити -ческий метод, дающий возможность рассчитать распределение полного напряжения сдвига в канале любой формы поперечного сечения [91, 92]. Включение алгоритмов [ 91,92 ] в общую схему расчета турбулентного потока позволило построить обобщённый метод определения характеристик основного потока в условиях стабилизированного турбулентного течения в каналах произвольного сечения. При этом на практике в частном случае геометрии канала необходимо лишь точно задать точки контура его границ.

Для оценки применимости построенной методики расчёта гидро -динамики прямых каналов некруглого сечения проведено численное исследование течения в каналах с различной формой профиля стенки -с последующим сравнением получаемых результатов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными. Отмечено достаточно удовлетворительное описание ряда гидродинамических параметров и сделан вывод о целесообразности использования разработанного приближения при расчётах стабилизированных потоков в некруглых каналах в тех случаях, когда не требуется информации о деталях структуры течения, в частности, не нужно учитывать вторичные токи.

В последней, третьей главе диссертации изучаются возможности использования модели механизма турбулентного движения [89,90,29] при анализе турбулентных потоков со свободными границами. Метод расчёта осреднённнх скоростей, температур и других характеристик течения иллюстрируется на примерах исследования основного участка осесимметричной слабонагретой затопленной струи и автомодельной области нагретого следа за круглым цилиндром [98,99]. (Материалы этой главы включены в программу читаемого в Томском государственном университете курса лекций "Теория турбулентности", часть из них использована в монографии Г 29 J - см, ссылку в Г29] на стр. 190.)

Проведённое сравнение полученных в результате численного расчёта безразмерных профилей скорости и температуры в сечениях автомодельных струи и следа с экспериментально найденными распределениями, а также сравнение с опытными данными расчётного профиля рейнольдсовых напряжений указывает на улучшение соответствия теоретических результатов эксперименту по сравнению с существующими полуэмпирическими схемами замыкания поля осреднённых скоростей. Численный анализ позволил также установить характер изменения безразмерного коэффициента турбулентной вязкости. Исследование турбулентного переноса тепла в струе приводит к подтверждающейся экспериментально независимости турбулентного числа Прандтля от его молекулярного аналога. Результаты численного расчёта тепло-переноса сравниваются с опытными данными различных авторов. Кроме того, проводится численное исследование влияния молекулярного числа Прандтля в широких пределах изменения последнего (от Р2 =10 о до Рг = 10° ) на изменение температурного поля затопленной струи.

Отмечается, что используемые модельные соотношения позволяют установить характер поведения целого ряда представляющих несомненный интерес характеристик турбулентного течения. При этом выбранная схема замыкания обеспечивает вполне удовлетворительное соответствие результатов расчёта реальным измерениям, что, по-видимому, открывает возможность достаточно глубокого изучения на её основе турбулентных потоков со свободными границами.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научных исследований кафедры прикладной аэромеханики Томского государственного университета и отдела аэромеханики и тепломассообмена НИИ прикладной математики и механики при ТГУ.

I. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИКИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ НЕКРУГЛОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА НАПРЯЖЕНИЙ РЕЙНОЛЬДСА

Основные результаты исследований, выполненных в диссерта -ционной работе, можно сформулировать следующим образом.

1. Применительно к изучению турбулентных потоков в каналах некруглого поперечного сечения и течений, аналогичных им по свойствам, подробно проанализирована одна из наиболее развитых к настоящему времени моделей механики турбулентного движения, основанная на уравнениях переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка. Показано, что в связи сс сложностью структуры течений в каналах некруглой геометрии и важностью их практических приложений при исследовании гидродинамики таких каналов на основе моделей турбулентности второго порядка необходимо избегать преждевременного стремления упростить схему замыкания. Во всяком случае, построению надёжных упрощённых методов расчёта должен предшествовать детальный анализ потока при возможно полном учёте физических процессов, участвующих в формировании полей гидродинамических характеристик.

2. Численно методом сеток исследован стабилизированный поток несжимаемой жидкости в канале квадратного поперечного сечения. Незавершённость локально-равновесных представлений устранена учётом вклада конвекции и диффузии напряжений Рейнольдса в общий баланс последних. В принятой версии модели турбулентности учтены также эффекты, связанные с уменьшением турбулентного числа Рей -нольдса с приближением к стенкам канала. При описании влияния границы на процесс взаимодействия флуктуации статического давления с градиентами пульсавдгонных скоростей использовано обобщение, позволяющее оценить это влияние при любой конфигурации профиля стенок. Полученные результаты включают распределения осреднённых скоростей как основного, так и вторичного потоков, а также информацию о полях всех компонент тензора турбулентных напряжений. Проведено сравнение результатов численного исследования течения с экспери -ментальными данными различных авторов. При этом показано, что система эмпирических коэффициентов модели турбулентности достаточно консервативна, и выбранная схема замыкания позволяет достоверно описать сложную структуру турбулентных течений в каналах некруг -лой геометрии, в частности, правильно отразить взаимосвязь анизотропии полей нормальных напряжений с полем вторичных токов.

3. Проведена оценка относительного вклада различных механизмов турбулентности в общий баланс напряжений Рейнольдса, на основе которой исследованы возможности усечения моментных уравнений с целью построения более просто реализуемых схем расчёта турбу -лентных потоков в каналах сложного профиля. Показано, что обмен -ная корреляция является одним из важнейших элементов баланса турбулентных напряжений во всей области сечения потока. При этом для правильного моделирования процессов перераспределения уровней интенсивности напряжений Рейнольдса необходимо использование общего вида приближённого представления слагаемого "давления-деформации',' включающего модель взаимодействия пульсационных величин, описание взаимовлияния осреднённого и флуктуирующего полей скоростей де -формации, а также учёт изменения обменного члена с приближением к твёрдой границе течения. Показана относительная малость конвек -тивного переноса вторых моментов в плоскости сечения канала. Что же касается диффузионных процессов, установлено, что турбулентная диффузия напряжений Рейнольдса, определяемая в рамках модели градиентной структурой поля тройных корреляций пульсационных скоростей, в отличие от турбулентного потока в прямой круглой трубе или плоском канале, заметно проявляется в довольно широкой области сечения потока. В связи с этим сделан вывод о том, что локально-равновесное приближение модели может привести к недостаточно достоверному описанию гидродинамики некруглых каналов и, по-видимому, единственно приемлемой альтернативой использования полных модельных уравнений баланса напряжений Рейнольдса является применение локально-равновесных соотношений совместно с уравнениями переноса кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации.

4. Построена алгебраическая модель напряжений Рейнольдса, ориентированная на исследование турбулентных потоков в каналах некруглого сечения. С учётом выработанных рекомендаций модель апробирована численным расчётом на её основе турбулентного течения в квадратном канале с последующим сравнением полученных распределений составляющих осреднённой скорости и компонент тензора турбулентных напряжений с экспериментальными данными, а также с результатами расчёта гидродинамических параметров с использованием полных модельных уравнений баланса вторых моментов. Квазиравно -весная схема замыкания, упрощая численную реализацию задачи, позволяет, тем не менее, учесть все особенности структуры течения, в связи с чем может быть использована в инженерных приложениях.

5. Исследование турбулентного потока в канале квадратного поперечного сечения на основе уравнений переноса напряжений Рейнольдса позволило проиллюстрировать значительно меньшее искажение под влиянием поперечной средней циркуляции изолиний поля осевой скорости по сравнению с распределениями осреднённых характеристик турбулентности, в связи с чем сделан вывод о целесообразности использования при расчётах гидродинамики каналов сложного профиля более простых схем замыкания поля осреднённой скорости в тех случаях, когда не требуется детальной информации о структуре течения, в частности, не нужно учитывать вторичные токи. Исключение из рассмотрения процессов, связанных с существованием циркуляционных движений жидкости в плоскости сечения канала, дало возможность построить приближённый метод расчёта характеристик основного по тока в условиях стабилизированного течения в каналах произвольного сечения. При описании взаимосвязи поля осреднённой скорости с распределением полного напряжения сдвига использована модель механизма генерации турбулентного движения, разрабатываемая в Томском государственном университете под руководством профессора В.А. Шваба. Для отыскания поля напряжений развит обобщённый полуаналитический метод, позволяющий рассчитать распределение сдвиговых напряжений в каналах любой формы сечения при вязком и тур -булентном режимах движения жидкости. Включение алгоритмов метода в общую схему расчёта параметров основного потока позволило сформировать последнюю таким образом, что в каждом частном случае геометрии канала необходимо лишь точно аппроксимировать контур его сечения. Проведённое численное исследование течения в каналах с различной формой профиля стенок и сравнение с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными свидетельствует о достаточной для инженерных приложений точности описания основного течения. С учётом того обстоятельства, что используемая модель турбулент -ности, будучи схемой замыкания первого порядка, приводит к срав -нительно простым расчётным соотношениям, построенная методика может применяться в практических расчётах основного потока в кана -' лах сложных форм.

6. Изучена возможность расширения сферы применимости модели механизма генерации турбулентности на исследование турбулентных течений со свободными границами. Метод расчёта течения рассмотрен на примерах решения задач о распространении основного участка осасимметричной затопленной слабонагретой струи и автомодельной области следа за цилиндром.'Построенные безразмерные профили ос-реднённых скоростей и температур в сечениях струи и следа, распределения напряжений Рейнольдса, турбулентной составляющей теплового потока, отношения поперечного турбулентного переноса тепла и импульса в струе сопоставлены с экспериментальными данными. Численный анализ позволил также установить характер изменения безразмерного кинематического коэффициента турбулентной вязкости, рассчитать распределение турбулентного аналога числа Прандтля, изучить влияние молекулярного значения числа Прандтля на измене -ние температурного поля затопленной струи. Выбранная схема замы -кания обеспечивает вполне удовлетворительное соответствие результатов расчёта реальным измерениям, что даёт возможность достаточно глубокого исследования на её основе турбулентных потоков со свободными границами.

7. Материалы диссертационной работы, касающиеся свободных турбулентных течений, включены в программу читаемого в Томском государственном университете курса лекций "Теория турбулентности',1 часть из них использована в монографии "Пристенные турбулентные течения1.1 - В.А, Шваб, A.B. Шваб. - Томск: изд-во Томского университета, 1980. - 207 с.

В заключение автор пользуется возможностью выразить глубокую благодарность своему научному руководителю - профессору Вениамину Андреевичу Швабу, чья научная и техническая эрудиция, огромный опыт, неизменно доброжелательное отношение к работам коллег снискали уважение многих специалистов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бай Ши-и. Турбулентное течение жидкостей и газов. М.: ИИЛ, 1962. - 344 с.

2. Хинце И.О. Турбулентность. Её механизм и теория. М.: Физмат-гиз, 1963. - 680 с.

3. Турбулентные течения: Тр. Всесоюз. симпоз. по проблешм турбулентных течений, включая геофизические приложения. Киев, июнь, 1967 г. М.: Наука, 1970. - 264 с.

4. Bradshaw P. The understanding and prediction of turbulent flows. Aeronaut. Journal, 1972, v. 76, p. 403-418.

5. Меллор, Херринг. Обзор моделей для замыкания осреднённого турбулентного течения. Ракетная техника и космонавтика, журнал Амер. института аэронавтики и астронавтики, 1973, т. II, $ 5, с. 17-29.

6. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и её измерение. М.: Мир, 1974. - 218 с.

7. Турбулентные течения: Тр. Всесоюз. семин. по проблемам турбу- лентных течений. М., апрель, 1972 г. М.: Наука, 1974.-226 с.

8. Launder В.Е., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flows. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1974,v. 3, И 2, P. 269-289.

9. Spalding D.B. Turbulence modeling: solved and unsolved problems. In: Turbulent Mixing Nonreact.and React. Plows. New-York - London, 1975, P. 8 5-130.

10. Wolfshtein M., Naot D., Lin A. Models of turbulence.1.: Top. Transp. Phenom. Bioprocesses, Math. Treatment, Mecli. New York e.a., 1975, p. 3-45.

11. Брэдшоу П. Сложные турбулентные течения (обзор). Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1976, т. 98. Сер.© , Теоретические основы инженерных расчётов, № 2, с. 101-112.

12. Онуфриев А.Т. Модели феноменологических теорий турбулентности. В кн.: Аэрогазодинамика и физическая кинетика. Новоси -бирск: ЙТПМ АН СССР, 1977, с. 43-65.

13. Турбулентные течения: Труды Всесоюз. школы по проблемам турбулентных течений жидкостей и газов. М., декабрь, 1974 г. -М.: Наука, 1977. 255 с.

14. Чеймберс, Уилкокс. Критическое исследование двухпараметричес-ких моделей душ замыкания системы уравнений турбулентного пограничного слоя. Ракетная техника и космонавтика, журнал Амер. института аэронавтики и астронавтики, 1977, т. 15, №6, с. 68-78.

15. Гиневский A.C., Иоселевич В.А., Колесников A.B., Лапин Ю. В., Пшшпенко В.Н., Секундов А.Н. Методы расчёта турбулентного пограничного слоя. В кн.: Итоги науки и техники, сер. Механика жидкости и газа. М., 1978, т. II, с. 155-304.

16. Понх ИД., Ступин А.Б. Проблемы турбулентных потоков жидкости и газа. Всесоюз. конф. в Донецке, сентябрь, 1977 г. Извес -тия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1978, }Ь 2, с. 207-208.

17. Lamley J.L. Computational modeling of turbulent flow. in:- 150

18. Adv. Appl. Mech. New York e.a., 1978, v. 18, p. 123-176.

19. Spalding D.B. Turbulence models for heat transfer. ~ 6th int. Heat Transfer Conf. Toronto, 1978, Keynote pap. Ottawa, 1978, v. 6, p. 33-43.

20. Hill J.C. Models for turbulent transport processes. Chem. Eng. Educ., 1979, v. 13, N I, P. 34-39.

21. Liepmann H.W. The rise and fall of ideas in turbulence.- Amer. Sci, 1979, v. 67, N 2, p. 221-228.

22. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях.- М.; Энергия, 1979. 408 с.

23. Коловандин Б.А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности. Минск: Наука и техника, 1980. - 184 с.

24. Кутателадзе С.С. Развитие основных идей теории турбулентности.- Вопр. истории естествозн. и техн., 1980, IS 4, с. II2-II6.

25. Механика турбулентных потоков: Материалы Всесоюз. конф. по проблемам турбулентных потоков жидкости и газа. Жданов, сентябрь, 1977 г. М.: Наука, 1980. - 376 с.

26. Турбулентность. Под ред. Брэдшоу П. М.: Машиностроение, 1980. - 343 с.

27. Турбулентность. Принципы и применения. Под ред. Фроста У., Моулдена Т. М.: Мир, 1980. - 535 с.

28. Шваб В.А., Шваб А.В. Пристенные турбулентные течения. Томск: Томский ун-т, 1980. - 207 с.

29. Петухов Б.С. Турбулентность в теории теплообмена. Тепломас-сообмен-6. Проблемные доклады 6-й Всесоюз.конф. по тепломас -сообмену, ч. I. Минск, 1981, с. 21-51.

30. Сашмен П.Г. Феноменологическая теория расчёта турбулентных сдвиговых течений. В кн.: Математика. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1981, №22, с. 38-46.

31. Чорин А. Теории турбулентности. В кн.: Математика. Новое взарубежной науке. M.: Мир, 1981, Jê 22, с. 30-37.

32. Rodi ?/. Progress in turbulence modeling for incompressible flows. AIAA Pap., 1981, И" 45, 12 p.

33. Турбулентные сдвиговые течения, I. M.: Машиностроение, 1982.- 432 с.

34. Hanjalic К., Launder В.Е. A Reynolds stress model of turbulence and its applications to thin shear flows. Journal Fluid Mech., 1972, v. 52, part 4, P. 609-638.

35. Launder B.E., Reece a.J., Rodi W, Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure. Journal Fluid Mech., 1975, v. 68, part 3, P. 537-566.

36. Hanjalic K., Launder B.E. Contribution towards a Reynolds-stress closure for low-Reynolds-number turbulence.- journal Pluid Mech., 1976, v. 74, part 4, p. 593-610.

37. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в каналах / Ибрагимов М.Х., Субботин В.И., Бобков В.П., Сабелев Г.И., Таранов Г.С. М.: Атомиздат, 1978. - 296 с.

38. Turbulent Forced Convection in Channels.and Rod Bundles.- proc. NATO Adv. Study Inst., Istanbul, July 20 Aug. 2, 1978, ASI Proc. Lect. S.I., s.a. 599 p.

39. Turbulent Forced Convection in Channels and Rod Bundles.- Proc. NATO Adv. Study Inst., Istanbul, July 20 Aug. 2, 1978, ASI Proc. Pap. S.1., s.a. 220 p.

40. Петухов Б.С. Актуальные проблемы теплообмена в атомной энергетике. Известия АН СССР, Энерг. и трансп., 1979, té I,с. 3-13.

41. Тепломассообмен 6: Материалы 6-й Всесоюз.конф. по тепломассообмену. Минск, .сентябрь, 1980 г. Т. I. Конвективный тепло -массообмен. 4.1. Тепломассообмен в каналах. Минск: ШЛО АН БССР, 1980. - 199 с.

42. Теплообмен и гидродинамика в элементах атомных энергетическихiустановок при однофазном течении теплоносителя: Материалы межотрасл. конф. 4.1. Обнинск: Физ.-энерг. институт, 1980.- 155 с.

43. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов. Под ред. засл. деятеля науки и техн. РСФСР Кошкина В.К. М.: Машиностроение, 1975. - 272 с.

44. Коршунов А.П. Опытное определение коэффициента аэродинамического сопротивления трубопроводов некруглого сечения. Науч -ные сообщения института горного дела им. Скочинского, 1977, № 157, с. 130-133.

45. Grtftzhach о. Direct numerical simulation of secondary currents in turbulent channel flows. Lect. Notes phys., 1978, v. 76, p. 308-319.

46. Тепакс Л. Равномерное турбулентное движение в трубах и каналах. Таллин: Валгус, 1975. -.255 с.

47. Brundrett Е., Baines W.D. The production and diffusion of vorticity in duct flow. Journal Fluid. Mech., 1964, v. 19, part 3, P. 375-395.

48. Агранович. Метод определения местных коэффициентов трения и теплоотдачи в турбулентном потоке в каналах с произвольной формой поперечного сечения. Тр.Амер. общ. инженеров-механиков, 1971, т. 93. Сер. с , Теплопередача, JS I, с. 64-72.

49. Launder В.Е., Ying W.M. Secondary flows in ducts of square cross-section. Journal Fluid Mech., 1972, v. 54, part 2, p. 289-297.

50. Launder B.E., Ying W.M. Prediction of flow and heat transfer in ducts of square cross section.- proc. of the Institution of Mech. Engineers, 1973) v. 187» P. 455-461.

51. Naot D., Shavit A., Wolfshtein M. Numerical calculation of Reynolds stress in square duct with secondary flow. -Warme- und StoffÜbertragung, 1974, Bd. 7, N 4, S. I5I-I6I.

52. Бобков В.П., Ибрагимов M.X., Сабелев Г .И., Саванин Н.К., Бобкова В.Е. Программа для расчёта гидродинамики турбулентных потоков в сложных каналах. Обнинск: Б.и., 1975. - 22 с. -(Препринт/Физ.-энерг. институт; ФЭИ - 645).

53. Булеев Н.И. Дальнейшее развитие пространственной модели турбулентного обмена в потоках несжимаемой жидкости. В кн.: Пристенное турбулентное течение. 4.1. - Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1975, с. 51-79.

54. Булеев Н.И. Опыт использования пространственной модели турбулентного обмена. Теплофизика высоких температур, 1976, т.14, J6 2, с. 312-320.

55. Гесснер, Эмери. Модель напряжений Рейнольдса для турбулентного обтекания утла. 4.1. Построение модели. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1976, т. 98. Сер. d , Теоретические ос-нош инженерных расчётов, № 2, с. 225-233.

56. Гесснер, Поу. Модель напряжений Рейнольдса для турбулентного обтекания угла. 4.2. Сравнение теории с экспериментом. Тр.

57. Амер. общ. инженеров-механиков, 1976, т. 98. Сер. Б , Теоретические основы инженерных расчётов, 2, с. 233-242.

58. Джоунс мл. Уточнение расчёта турбулентного сопротивления в каналах прямоугольного сечения. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1976, т. 98. Сер. D , Теоретические основы инженерных расчётов, № 2, с. 127-139.

59. Караджилесков, Тодреас. Экспериментальное и теоретическое исследование продольного турбулентного течения во внутреннем канале пучка стержней. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков,1976, т. 98. Сер. с , Теплопередача, 1?. 2, с. I25-I3I.

60. Meiling A., Whitelaw I.H. Turbulent flow in a rectangular duct. Journal Fluid Mech#> 1976, v. 78, part 2, p. 289-315.

61. Nagel Horst. Theoretische Untersuchung der Strömung und der Wärmetransports bei erzwungener turbulenter Konvektion im Rechteckkanal unter Berticksichtigung von Sekundäreffekten. -- Ber. inst. Kerntechn. Techn. Univ. Berlin, 1976, N 52,182 S.

62. Tracy H.J. The structure of a.turbulent flow in a Channel of complex shape. Geol. Surv. Profess. Pap., 1976, N 983, 24 P.ч

63. Булеев Н.И. 0 турбулентных течениях несжимаемой жидкости в различных каналах. В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука,1977, с. 181-187.

64. Ганжа Н.Г., Павловский В.Г. Особенности теплоотдачи в призматических каналах при турбулентном течении воздуха. В кн.: Проблемы машиностроения. Республиканский межвед. сб. 1977, вып. 5, с. 91-93.

65. Гесснер, Эмери. Моделирование масштаба длины для развивающегося турбулентного течения в канале прямоугольного сечения.- 155

66. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1977, т. 99. Сер. d , Теоретические основы инженерных расчётов, №2, с. 174-183.

67. Hornby R.P., Mistry J., Barrow Н. A mixing length model for turbulent flow in constant cross section ducts. WSrme- und Stofftíbertragung, 1977, Bd. 10, N 2, S. 125-129.

68. Кувыкин И.С. Связь профиля скоростей с вязкостью жидкости, режимом движения и гидравлическим сопротивлением. Известия ВУЗов. Строительство и архитектура, 1978, № I, с. II3-II9.

69. Barrow Н., Hornby R.P., Mistry J. The calculation of fully developed turbulent flows using a new mixing length model. -- 6th int. Heat Transfer Conf. Toronto, 1978. Ottawa., 1978, v. 2, p. 549-554.

70. G-osman A.D., Rapley C^W. A prediction method for fully-developed flow throw non-circular passages. Numer. Methods Laminar and Turbulent Plows, proc. 1st Int. Conf., Swansea, 1978. London - Plymouth, 1978, p. 271-285.

71. Massey Т.Н., Hitchcock J.A., Launder B.E. A prediction procedure for fully developed turbulent flow and heat transfer in tube banks. 6th Int. Heat Transfer Conf. Toronto, 1978. Ottawa, 1978, v. 4, P. 261-266.

72. Zukauskas A., Slanciauskas A. Forced convection in channel flows. -6th Int.Heat.Transfer Conf. Toronto, 1978. Keynote Pap. Ottawa, 1978, v.6, p. 61-71.

73. Барцис, Тодреас. Моделирование турбулентности осевого потока в пучке гладких стержней. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1979, т. 101. Сер. с , Теплопередача, J6 4, с. 67-75.

74. Инаятов А.Я. Гидродинамическая теория теплообмена для каналов некруглого поперечного сечения. Докл. АН УзССР, 1979, $ 9, с. 24-26.

75. Трапп, Али, Результаты расчёта вторичных течений в треугольных пучках стержней. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1979, т. 101. Сер. D , Теоретические основы инженерных расчётов, 15 3, с. 206-218.

76. Emery А.Р., Neighbors Р.К., Gessner Р.В. Computational procedure for developing turbulent flow and heat transfer.in a square duct. Numer. Heat Transfer, 1979, v. 2, N 4,1. P. 399-416.

77. Neti S., Eichhorn R. Computations of developing turbulent flow in a square duct. Turbul. Boundary .Layers: Forced, IncompressNon-React. joint ASME - CSME Appl. Meeh., Fluid Eng. .and Bioeng. Conf. Niagara Palls, II.Y., 1979, New York, 1979, P. 179-186.

78. Гидравлика и теплообмен при равномерном движении жидкостей в каналах. Межвуз. сб. Чебоксары: Чувашский ун-т, 1980.- 143 с.

79. Эмери, Нейборс, Гесснер. Численный расчёт развивающегося турбулентного течения в квадратном канале. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1980, т. 102. Теплопередача, № I, с.57-65.

80. Mojola 0.0. A unified velocity correlation for corner wall regions. Appl. Sci Res., 1980, v. 36, N 3, P. 147-162.

81. Mojola 0.0. On secondary flow in.streamwise corners. — Journal Mech. Appl., 1980, v. 4, N 2, p.177-196.

82. Алексеенко H.B., Корнилов В.И., Харитонов А.М. Взаимодействие несимметрично развивающихся : пограничных слоёв при продольном обтекании двугранного угла. Новосибирск: Б.и., 1981.22 с. (Препринт/ИТПМ СО АН СССР; II).

83. Гесснер Ф.Б., По Дж. К., Эмери А.Ф. Измерения развивающегося турбулентного течения в квадратном канале. В кн.'.Турбулентные сдвиговые течения, I. М.: Машиностроение, 1982, с.125-143.

84. Шваб В.А., Безпрозванных В.А. О моделировании турбулентности в прямолинейных каналах некруглого поперечного сечения. В кн.: Вопросы аэрогидромеханики и тепломассообмена. Томск: Томский ун-т, 1983, с. 25-34.

85. Безпрозванных В.А., Шваб В.А. О моделировании уравнений переноса напряжений Рейнольдса при исследовании турбулентного течения несжимаемой жидкости в каналах сложного профиля. Деп. ВИНИТИ № 1337-83 Деп. - 48 с.

86. Безпрозванных В.А., Шваб В.А. Исследование стабилизированного турбулентного потока несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения на основе алгебраической модели напряжений Рей -нольдса. Деп. ВИНИТИ J6 1338-83 Деп. - 18 с.

87. Безпрозванных В.А., Шваб В.А. О моделировании установившегося турбулентного течения в квадратном канале с использованием схемы замыкания второго порядка. Известия СО АН СССР, 1983, JS 13. Сер. технических наук, вып. 3, с. 27-38.

88. Шваб В .А., Шваб A.B. О модели механизма генерации турбулентности, в установившихся пристенных турбулентных потоках.

89. В кн.: Методы гидроаэромеханики в приложении к некоторым технологическим процессам, Томск: Томский ун-т, 1977, с. 5-36.

90. Шваб В.А., Шваб A.B. Метод непрерывной модели в приложении к расчёту теплообмена при турбулентном течении в трубах. В кн.: Методы гидроаэромеханики в приложении к некоторым технологи -ческим процессам. Томск: Томский ун-т, 1977, с. 36-56.

91. Спэрроу, Хаджи-Шейх. Течение и теплопередача в трубах произвольного поперечного сечения при произвольном задании тепловых граничных условий. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1966, т. 88. Сер. с , Теплопередача, И, с. II-20.

92. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, . I960. - 715 с.

93. Бай Ши-и. Теория струй. М.: Физматгиз, I960. - 326 с.

94. Вулис A.A., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965. - 431 с.

95. Гиневский A.C. Теория турбулентных струй и следов. M.: Ma -шиностроение, 1969. - 400 с.

96. Free Turbulent Shear plow: Conference Proceedings, v. I. Summary of Data, v. 2. NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia. NASA Rep. SP - 321, 1973.

97. Шваб В.А., Безпрозванных В.А. К проблема неизотропной свободной турбулентности. В кн.: Вопросы аэрогидромеханики и тепломассообмена в приложении к некоторым технологическим процессам. Томск: Томский ун-т, 1981, с. 3-20.

98. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. -Докл. АН СССР, 1941, т. 30, J5 4, с. 299-303.

99. Rotta J.С. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz.- Zeitschrift ftir physik, 1951, Bd, 129, N 6, S. 547-572; 1951, Bd. I3i, N i, s. 51-77.

100. Townsend A.A. The uniform distortion of homogeneous turbulence. Quart. Journal Mech. Appl. Math., 1954, N 7,1. P. 104.

101. Ifberoi M.S. Equipartition of energy and local isotropy in turbulent flows. Journal Appl. Phys., 1957, v. 28,p. II65-II70.

102. Chow P.Y. On velocity correlations and the solution of the equations of turbulent fluctuation. Quart. Journal Appl. Math., 1145, N 3, P. 38-54.

103. Rotta J.C. Turbulent boundary layers in incompressible flow- In: Progress in Aeronautical Sciences, ed. Ferri A., Kuchemann D. and Sterne L.H.G. Macmillan, 1962, v. 2,p. I—221.

104. Crow S.C. Viscoelastic- properties of fine-grained incompressible turbulence. Jôurnal Fluid Mech., 1968, v. 33,part I,, p. 1-20.

105. Reynolds W.C. Computation of turbulent flows-state of the art, 1970. Stanford University Mech. Engng Dept. Rep. MD-27, 1970.108, Bradshaw p. The strategy of calculation methods for complex turbulent flows. Imperial College Aero. Rep. 73-05, 1973.

106. Булеев H.И. Теоретическая модель турбулентного обмена в потоках жидкости. В кн.: Теплопередача. М.: АН СССР, 1962, с. 64-99.

107. НО. Обухов A.M. О распределении масштаба турбулентности в пото-. ках произвольного сечения, Прикладная математика и механика, 1942, т. 6, вып. 2-3, с. 209-221.

108. Миллионщиков М.Д. К теории однородной изотропной турбулентности. Докл. АН СССР, Новая серия, 1941, т. 32, J6 9,с. 6II-6I4.

109. Hanjalic К., Launder Б.Е. Fully developed asymmetric flow in a plane channel. Journal Fluid Mech., 1972, v. 51, part 2, p. 301-335.

110. Кормак, Лил, Сейнфелд. Анализ моделей турбулентности для компонент тензора напряжений Рейнольдса. Тройные корреляции скорости. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1973, т.100. Сер. б , Теоретические основы инженерных расчётов, té I,с. 169-177.

111. Давыдов Б.И. К статистической динамике несжимаемой турбу -лентной жидкости. Докл. АН СССР, 1961, т. 136, J& I, с. 47-50.

112. Сапаговас М.П. Решение квазилинейных эллиптических уравнений методом конечных разностей. Литовский матем. сб., 1965, т. 5, JS 2, с. 292-302.

113. Сапаговас М.П. К вопросу о решении квазилинейных эллиптических уравнений методом конечных разностей. Литовский матем. сб., 1965, т. 5, №4, с. 637-644.

114. Кошелев А.И. О сходимости метода последовательных приближений для квазилинейных эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1962, т. 142, Jä5, с. I007-I0I0.

115. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. 3-е изд., исправл. - М.-Л.; Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1951, т. I. - 476 с.'

116. Канторович Л.В. Приближённые методы высшего анализа. 5-е изд., исправл. - М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

117. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976. - 630 с.

118. Nikuradse I. Untersuchungen fiber turbulente . Strömungen aber in nichtkreisfErmingen Rohren. Ingr.-Arch., 1930, Bd. I, Heft 3, S. 306-332.

119. Кремерс, Эккерт. Измерение с помощью термоанемометра характеристик турбулентного воздушного потока в канале треугольного поперечного сечения. Тр. Амер. общ. инженеров-механиков, 1962, т. 29. Сер. Е , Прикладная механика, JH, с. 3-10.

120. Булеев Н.И., Бирюкова Г.П. Расчёт поля скорости в турбулентiном потоке жидкости в канале с прямоугольным сечением. -Теплофизика высоких температур, 1967, т. 5, №5, с. 849-857.

121. Шиллер Л. Движение жидкостей в трубах. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. .

122. Corrsin S. Investigation of flow in an axially symmetric heated jet of air. NACA Wartime Rep, W-94, 1943.

123. Hinze J.O., Van der Hegge Zijnen. Transfer of heat and matter in th'e turbulent mixing zone of an axially symmetric Jet. Appl. Sei. Res., 1949, N 5-6* p. 435-461.

124. Сакипов З.Б. Об отношении'коэффициентов турбулентного обмена импульса и тепла в свободной турбулентной струе. Известия АН КазССР, 1961. Сер. энергетическая, вып. 1(19), с. 21-30.

125. Сакипов З.Б., Темирбаев Д.Ж. Об отношении коэффициентов турбулентного обмена в свободной турбулентной струе жидкого металла. Вестн. АН КазССР, 1963, № 2, с. 79-80.

126. Townsend A.A. The fully developed turbulent wake of a circular cylinder. Australian Journal of Scientific Research, 1949, v. 2. Ser. A., Physical Sciences, N I, p. 451-468.

127. Ruden P, Turbulente AusbreitungsvorgHnge im Preistrahl.- Die Naturwissenschaften, 1933-, Bd. 21, II 21-23, S. 375-378

128. Старк С.Б. Перемешивание газовых потоков в факеле. ЕЕГш, 1953, т. 23, вып. 10, с. I802-I8I9.

129. Pabst O.E. Die Ausbreitung heib'er Gasstahlen in bewegter Luft. P.W.Plugzeugbau U.M., N 8004, 8007, 1944.

130. Rosler R.S., Bankoff S.G. Large-scale turbulence characteristics of a submerged water jet. Amer. Inst. Chem. Eng. journal, 1963, v. 9, N 5, P. 672-676.