Построение математической модели распределения волны давления в изогнутом трубопроводе и приближенное решение ее уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

О ' На правах рукописи

ТКАЧЕНКО Олег Павлович

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ В ИЗОГНУТОМ ПОДЗЕМНОМ ТРУБОПРОВОДЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЕЕ УРАВНЕНИЙ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск 1998

Работа выполнена в Вычислительном центре Дальневосточного отделения Российской Академии наук.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

академик Вениамин Петрович Мясников, кандидат физико-математических наук, доцент

Виктор Анатольевич Рукавишников

доктор физико-математических наук, профессор

Валерий Иванович Белоконь, кандидат технических наук, профессор Владимир Владимирович Субботницкий Хабаровский политехнический университет

Защита состоится "// " рктЯуУЯ 1998 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.06.07 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу 690032, Владивосток, ул. Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

I_

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. ' / М.А. Гуэев

I. Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы. Проблема исследования движения жидкости в трубах является классической задачей механики, всегда привлекавшей внимание исследователей. В последнее время возник интерес к явлениям, сопровождающим потерю устойчивости длинной упругой трубы с потоком жидкости. Одним из последствий потери устойчивости является уход подземного трубопровода в сторону от первоначальной трассы и всплытие подводного трубопровода на участке трассы.

Важно, чтобы изменение формы профиля трубопровода было своевременно установлено. Это можно сделать пропусканием через поток жидкости импульса давления (гидравлического удара) или акустической волны. При прохождении волны через трубопровод вид давления как функции времени будет зависеть от кривизны оси трубопровода.

Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен.

Построение и иследование одномерных математических моделей течения жидкости в трубах проводилось Н.Е. Жуковским, А.И. Чарным, М.А. Гусейнзаде, В.А. Юфиным и многими другими. К сожалению, такие модели не позволяют изучать влияние изгиба профиля на распространение волн давления. A.C. Вольмир и другие исследовали взаимодействие цилиндрических оболочек с потоком жидкости, используя уравнения полной теории гидроупругости, но такой подход эффективен только для труб средней ■ длины. Есть также и математические модели течения несжимаемой вязкой жидкости в изогнутых трубках, целью построения которых является изучение динамики крови. Для анализа распространения колебаний давления в изогнутом подземном трубопроводе упомянутые математические модели непригодны. Главная трудность этой задачи - в необходимости учета явления с характерным масштабом порядка радиуса трубы при определении движения волны давления через весь трубопровод. При этом надо учитывать взаимодействие стенки трубопровода как с внешней средой, так и с потоком жидкости.

Следовательно, разработка и обоснование математической модели распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, а также создание программного обеспечения для ее расчета является актуальной задачей гидродинамики и прикладной математики.

Цель работы. Вывод трехмерных уравнений совместного движения стенки трубопровода и потока жидкости в выбранных координатах с учетом трения, давления и упругого сопротивления грунта, постановка соответствующих краевых задач. Редукция этих задач к двумерной математической модели, позволяющей анализировать влияние кривизни оси трубопровода на распространение волны давления. Численно-аналитическое решение уравнений этой модели и интепретация результатов расчетов.

Методика исследования. В диссертации для ¡записи исходных уравнений движения использовались методы теоретической механики жидкостей и оболочек и аппарат дифференциальной геометрии.

При упрощении уравнений и решении стационарной задачи движения жидкости, а также при нахождении формул для давления из нестационарных уравнений движения жидкости использовались асимптотические методы построения решений дифференциальных уравнений.

Для приближенного решения стационарной и нестационарной задач для трубопровода и, частично, нестационарной задачи движения жидкости использовались численные методы конечных разностей.

Для решения разностных задач использовались итерационные методы.

Научная новизна. Получены общие трехмерные уравнения совместного движения трубопровода и потока сжимаемой жидкости с учетом влияния грунта в специальных ортогональных криволинейных координатах.

Переход к двумерной модели осуществлен путем выбора представления для решений этих уравнений.

Найдено положение равновесия трубопровода и приближенное решение уравнений стационарного движения жидкости путем комбинирования аналитического и численного подходов.

На основе анализа уравнений движения жидкости методом малого параметра получены формулы, выражающие зависимость давления от кривизны оси трубопровода.

Практическая ценность. На основе полученных формул можно анализировать зависимость характера распространения волны давления в подземном трубопроводе от кривизны его оси. Это дает возможность для разработки системы контроля состояния трубопровода путем зондирования акустическим сигналом.

Созданный комплекс программ позволяет численно анализировать процесс распространения гидроупругих колебаний в трубопроводах с различным профилем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на III Все-гоюоиой школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды, (Абрау-Дюрсо, 1991), на XIX и XX Дальневосточных школах молодых ученых им. акад. Е.В. Золотова (1992, 1994), на Совещании по природным и антропогенным катастрофам (Новосибирск, 1995), на семинарах ПАПУ ДВО РАН (руководитель - акад. В.П. Мясников).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Личный вклад автора. В работах, написанных в соавторстве, автором построены математические модели и проведены расчеты на компьютере.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка основной использованной литературы и иллюстраций. Объем работы 140 машинописных страниц, в том числе 20 ри-

сунков и список литературы из 64 наименований. В каждой главе используется своя нумерация формул и рисунков.

II. Краткое содержание работы.

Во введении дается краткий обзор работ по исследованию распространения гидроупругих колебаний в длинных прямых и изогнутых трубах. Определяется цель работы, кратко излагаются основные результаты.

В главе 1 строится математическая модель совместного движения жидкости и трубопровода с учетом влияния грунта.

В §1 дана постановка задачи. Рассматривается поток жидкости в изогнутом подземном трубопроводе, в этом потоке возбуждаются колебания давления. Надо найти давление как функцию координат и времени.

При построении математической модели предполагается, что движение жидкости можно линеаризовать в окрестности стационарного, влияние грунта учесть через краевые условия и что следующие параметры малы: а = R0ßy где R0 - радиус трубы, I - минимальная длина волны сигнала; е = R0/min\po\, где р0 - радиус кривизны оси трубопровода; h* = h/R0) где h - толщина стенки трубы.

Введены криволинейные ортогональные координаты: s - расстояние вдоль оси трубопровода; в, R - угол и радиус полярной системы координат в плоскости поперечного сечения в точке s. Вычислены компоненты метрического тензора, коэффициенты Ламе и символы Кристоффеля для данной системы координат.

В §2 из общих инвариантных уравнений для трехмерного упругого тела получены уравнения в произвольной ортогональной системе координат для физических компонент тензора напряжений и кинематические характеристики движения.

Найдены компоненты тензора поверхностных напряжений, действующих на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Найдены также интегральные по толщине стенки трубы усилия и моменты. Поставлена краевая задача движения трубопровода как технической моментной оболочки:

аЖ+ — [£fu sin sc;

dw'\ _ 1-

Eh*

X - kime ;

дГ „ . а дХ' „ .ef . J , dw'\ 1 - ¡/2 , v , .

dxi/ д

2efw' sin 9 + a-^r + ef—(v' sin 9) О С од

h -.

1 -I/2

_!L_y2w> _ !l_v2V2u/ = -12 12 Eh*

RQA

JL( Am - dms

У-

I Í du' „ , Л dv' Л Ra sin в\ ,

, 1 ( dv' * ' Л 1 ди'

Х ~£fU cos J ~ 2~дв'

д fl dw'

dw'

-2 ¿ ___

V w " A[* 3C VA dl) ' de V"

Х-кхТПв = X(u',v',w',p,pe); У + к2тп, = Y(u',v',w',р,ре); 1

RcA

d . dmg

-(Ams)-a—1

dw'

= Z(u',v',w',p,pey,

w' = v' = u' = 0 ; -Д— = 0 приС = 0;

ÔC

if

= = u' = О

<9C

— О при С =

(1)

где ^ _ r = ut - безразмерные продольная координата и время; и , г/ tu' - смещения стенки трубы вдоль s, в, и R соответственно; Е, и -модуль Юнга и коэффициент Пуассона; / = min |р(С)|/Ж)> А = 1+Ж) SÏnd - известные функции координат; X, Y, Z - линейные дифференциальные операторы четвертого порядка.

Из задачи (1) после выбора специального вида решения

и' =и (С, т)+еи (С, г) sin в + £ и (С, т) cos в + 0{(?),

у' =1 (С, г) + £ V (С, г) sin в + £ V (С, г) cos в + 0(£2), =w (с, т) + £ W (С, т) sin в + £ ¿ (С, г) cos 0 + 0(£2)

W

(2)

получена краевая задача с исключенной угловой координатой, в дальнейшем

обозначаемая (Г).

В §3 выписаны уравнения гидродинамики в используемых координатах. После этого движение разделено на стационарное и нестационарное и получены соответствующие уравнения. Затем выбран вид функции сопротивления стационарному потоку Ф(«,0) = /Зу20 и наложены краевые условия, из уравнений стационарного движения путем выбора вида решения типа (2) исключена угловая координата в.

Найдено решение стационарных уравнений нулевого приближения:

Iß

vs0— Vo ; v6o=vro= 0; Po= 1 ---J

Pf а

■vl(C-C),

(3)

.. _ идаопсаш стационарной скорости; р0 ~ стационарное

ГД" ^$0) "РО) "ГО

ИЯПТ.ОХ..1С, ь0 - постоянная скорость потока на входе, р/ - плотность жидкости а2 - известная константа, С - длина трубопровода в единицах I.

Система первого приближения по е преобразована к виду:

д V

2 др0 ер 2

ОС о; р}

д2ь,0 = а2 /<92Р0 10 р. Р0 <9С2 а2 \ <9г2 г <9г г2

= 0; Р„

= 0;

5 р0

дг

/ а

= 3 " V

г=1 а

(4)

где г = Д/Л0.

Далее использовано найденное автором представление для решений гГ, р в нестационарных уравнениях движения жидкости (к = в, 9, г):

+ "к (г,С,г) + ^ (г,С,г) соз6> + 0(<г2),

р'(г><Лг) =Р (г, С, г) +£-Р(т,С,г) 8Ш0 + £-Р(г,С,г) С05б> + 0(£2) (5) и получена математическая модель:

+ «о • = ~а ■ + о.

дг

дС

дС

д уд д у9 _ д уг д г>г _ а2 д Р

а2 1 и, I I Д' I =0"

\ дт 0 дС, ) дС а дг аг '

(щ V, +р12 Р )

= ; Р

= 0;

= а

В и)

57'

(6)

где т, р.2 - произвольные константы, Р0(т) - заданная функция, Р(т, С) -плотность внешних сил. Уравнения первого приближения по е, учитывающие кривизну:

д у, дх>„ 2 др 2 , др

! д V, уг0 д V, д V, /

- Узо -----— • + г/ь0 ■ ----г>0 Уг

<Э£ а дг

д( а

д у$

~д7

+ У о

д Уд а

2/

+--Р= - -УоУз-

дС, аг

Уво аг

Г )

д уг д уг а? д Р 1

--1- у0 ■ -кг- Н--- = — V,

дт дС а дг

д уг уто д уг

дС

а дг

+

д уг 2/

+г/У0 ■ —— +--уа V, ,

дС, а

2 ,'дР , др\ дЬ, ув 1 дуг ¿г

- - '--Н ■ — ) + —----1----т--1- — =

аг а аг

дт

да дс

аг

= а

2 I . дР . др уго 0р\ дь, / .

V, +1X2 Р )

д V,

= 0 ; р

= 0; «г

= а

д и)

~д7]

ду, 2 др / дщ д у в а2 3, » д ув уго д щ , , 3

-г- + ^ • ----Р= ~ ".о -----+ г/««, • -ТТ-,

дт д( аг д( а дг д(

д уг .

-я - + V* ■ -57 дт 5С

9 ¿г а2 д Р _ ¿во о

а дг аг '

а

1

дР

дг

, ,

+ "в • -5Т +

5С

+Р2 Р )

дС = 0 :

аг а

аг

а

"в

= 0; уг

< = £

9 ги

(7)

(8)

Модель, описываемая уравнениями (1), (3), (4), (6)-(8) является основой для анализа динамики трубопровода в последующих главах.

В главе 2 найдено стационарное решение уравнений движения жидкости и трубопровода.

В §1 найдено решение уравнений для жидкости (4). Это формулы:

№ Г П ^ У' (92/ 4- ^

, 2 гь0 2 (д2/ ер дЛ ер г ь„=-ф.-а — .(З-г).^—+ -«.-у /¿С!

- г2) ■

Р/ )

й

3 aVa (i 2\ fdf ep ,

(9)

Решение получено разложением в ряд по малому параметру а в длинноволновом приближении, найдена ошибка приближения.

В §2 после определения величин давления грунта и касательных напряжений трения потока о стенку ре, Ф{ь10), подстановки в (Г) формул (3), (9) и приравнивания нулю слагаемых с производными по времени получены уравнения равновесия трубопровода. В нулевом приближении по е они имеют вид:

,д2 и0

дС2

+ av-

д w0

дС

оф I

1 +

Ра

l.2

о II о

дС,2

,<э2

Wo

д(2

+ w0 + аи

д и0

дС

Ра

' h*E*

(1 + у)(А-(1-у)-(1 + ^

(£-0)

(10)

В качестве краевых условий взяты условия жесткого закрепления.

Найдено точное решение краевой задачи нулевого приближения (10):

иа= Ь1 + 62С

-и

w d(, + с С,2, w =w0 —d — g

Ai ■ cos ( ¿2 ^ J + M ■ sin i¿2 ^

• exp ( ¿i - ) +

С

A3 ' cos [ 62 — 14*

+A4 ■ sin ( S2

С

• exp

a

avbo

1 + Kr - v

+ d+g(,

(П)

где коэффициенты с, d, g, 61, ¿2 найдены из правых частей (10), a 6i, 62, Ai, А2, A3, А4 — из краевых условий жесткого закрепления при помощи системы аналитических вычислений Reduce 3.4. Приведены графики функций

«(С), МО-

Краевые задачи, описывающие равновесное положение трубопровода в первом приближении по е, решены численно. Для этого интегро-интерполя-ционным методом построены разностные схемы. Полученные в результате системы линейных алгебраических уравнений решены методом минимальных невязок. Создан алгоритм решения и написана реализующая его программа на FORTRANe. Приведены графики полученных функций и механическая интерпретация некоторых из них. Подтвержден известный факт, что давление внутреннего потока жидкости стремится увеличить первоначальную кривизну трубопровода.

В главе 3 на основе метода разложения решения в ряд по малому параметру и разностного метода проанализированы и приближенно решены

начально-краевые задачи для уравнений движения трубопровода (1) и жидкости (6)-(8).

В §1 найдены приближенные решения уравнений нулевого порядка по е. Сначала получены уравнения для коэффициентов разложения решений уравнений движений жидкости в ряд по малому параметру а = Я0/£:

дь,0 дь10 4- V.

2 дРо

дро

9С

, др0 дт

+ Р2Р0)

= Ро(т); Ро

= 0;

= Ро

= 0.

(12)

В этих уравнениях только одна пространственная координата. Найдена поправка второго порядка по а к давлению.

Численно решена начально-краевая задача нулевого приближения по е. Построены разностные схемы, установлены порядки аппроксимации ими исходной дифференциальной задачи.

Рассмотрена связь наложенных краевых условий со способом возбуждения колебаний в жидкости. Приведен алгоритм и результаты расчетов, отмечена связь полученных решений с классическими и современными исследованиями гидравлического удара.

В §2 методом разложения решения в ряд по малому параметру а изучаются уравнения движения жидкости в первом приближении.ло е (7), (8). Сначала получены замкнутые системы уравнений относительно коэффициентов разложения. Затем эти уравнения были решены относительно поправок первого порядка по с к давлению и получены формулы

2 гьс

/у,0 + а2г-4

1 д ( д XV д хи\

дтд(> у0 дт \ дт

+ 1(г2-з№,о

з а2г д (д V) д и>

(13)

(14)

^.0 =

5 д\2 д2уу,0) , д

2/ +

10 Г Р} }

/¿с

дь!0

ЗС

+

+

(д ^ а>\Г а Л,,. / г.Лдро^ / (дьго "[д-т+ ■"-ж) а + !йЧ 1к+Л1к

о

Таким образом, давление в жидкости выражено через известные функции и смещение стенки трубопровода.

В §3 найдено численное решение начально-краевой задачи, описывающей движение стенки трубопровода в первом приближении по е. Выражения для сил X, У, 2, полученные из (1) исключением в, замыкаются подстановкой в них давления жидкости на стенку (3), (9), (13), (14). В качестве начальных условий взято решение стационарной задачи. Для решения полученной таким образом задачи интегро-интерполяционным методом построена трехслойная разностная схема. Отмечено, что эта схема аппроксимирует исходную краевую задачу со вторым порядком точности.

В §4 приведен алгоритм и результаты численных расчетов. Отмечено,

1

что поправка первого порядка к давлению Р имеет смысл перепада давления на диаметре трубопровода, соединяющего точки минимальной и максимальной кривизны для заданной продольной координаты. Показано качественное согласование найденных функций с известными результатами механики.

В заключении сформулированы основные результаты:

1. Получены общие трехмерные уравнения совместного движения трубопровода и потока сжимаемой жидкости в нем с учетом внешнего давления и сопротивления грунта в специальных ортогональных криволинейных координатах.

2. Посредством выбора вида решений исходные уравнения расщеплены на уравнения нулевого и первого приближения. Поставлена полная начально-краевая задача нестационарного движения системы (иначе говоря, построена математическая модель).

3. Комбинированием аналитического и численного подходов найдено положение равновесия трубопровода.

4. Методом разложения в ряд по малому параметру найдено приближенное решение уравнений стационарного движения жидкости. Указана точность этого решения.

5. В результате предварительного анализа нестационарной двумерной задачи методом малого параметра в нулевом приближении по е получена одномерная начально-краевая задача движения жидкости, а в первом приближении выведены формулы для поправок к давлению жидкости.

6. Построены разностные схемы для поставленных начально-краевых и краевых задач. Созданы алгоритмы расчетов и написаны программы для ЭВМ. Приведены результаты численных расчетов давления жидкости и смещения стенки трубопровода.

Автор благодарит своих научных руководителей В.А.Рукавишникова и В.П.Мясникова за постоянное внимание к работе и ценные консультации.

Список работ по теме диссертации.

1. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Одномерная математическая модель гидроупругих колебаний в трубопроводе с изгибом профиля. //Численные методы механики сплошной среды. Красноярск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1991. — С.97-98.

2. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Математическая модель гидравлического удара в упругой трубе с изломом профиля //Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. конф./ Институт математического моделирования РАН. — Москва: Институт математического моделирования РАН, 1991. — С.45-46.

3. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе // Вычислительные технологии. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993. — Т.2, N6. — С.112-122.

4. Ткаченко О.П. К теории распространения волн давления в длинной изогнутой трубе // Методы численного анализа. — Владивосток: "Дальна-ука", 1993. — С.91-112.

5. Tkachenko O.P. The mathematical model of propagation of the pressure wave in the fluid stream within the curved underground pipeline // Pacific international conference "Mathematical modeling and Criptography" (Vladivostok: August 13-20, 1995): Abstracts /The Institute of Applied Mathematics, FEB Russian Academy of Sciences. — Vladivostok: Dalnauka, 1995. — P.79.

6. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. — Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 1996. — N3. — С.78-86.

7. Ткаченко О.П. Влияние кривизны осевой линии трубопровода на распространение внутренней волны давления// Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В.Золотова: Тезисы докладов./ Институт прикладной математики ДВО РАН.— Владивосток:"Дальнаука", 1998. — С.88.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи ТКАЧЕНКО ОЛЕГ ПАВЛОВИЧ

УДК 532.595+519.633.6

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ В ИЗОГНУТОМ ПОДЗЕМНОМ ТРУБОПРОВОДЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЕЕ УРАВНЕНИЙ

01.02.05 - механика жидкостей, газов и плазмы Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители: академик Мясников В.П.,

кандидат физико-математических наук Рукавишников В.А.

$

I

Хабаровск - 1998

Содержание

Введение.........................5

Глава 1. Построение математической модели совместного движения изогнутого трубопровода, погруженного во внешнюю среду и потока жидкости внутри него..............16

1.1. Физическая постановка задачи, исходные предположения и системы координат....................16

1.2. Уравнения движения трубопровода............20

1.2.1. Уравнения движения трубопровода как трехмерного упругого тела..........................20

1.2.2. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Их связь с сипами, действующими на оболочку. 22

1.2.3. Уравнения движения трубопровода как оболочки.....26

1.2.4. Краевые условия на торцах трубопровода.......30

1.2.5. Выбор вида решений уравнений движения трубопровода и устранение угловой координаты.............34

1.3. Вывод уравнений движения и краевых условий для жидкости........................40

1.3.1. Общая: трехмерная задача гидродинамики и разделение стационарного и нестационарного процессов.........40

1.3.2. Вывод уравнений движения жидкости с двзпугя пространственными переменными. Постановка краевых условий.....46

Глава 2. Нахождение положения равновесия трубопровода и распределения давления и скорости в жидкости при условии стационарности движения...................53

2.1. Решение уравнений стационарного движения жидкости методом малого параметра..................53

2.2. Приближенное решение уравнений равновесия трубопровода при стационарном потоке жидкости............57

2.2.1. Некоторые точные решения стационарной задачи. ... 60

2.2.2. Построение разностной схемы и численное решение уравнений первого приближения стационарной задачи......63

Глава 3. Распространение волны давления во внутреннем потоке жидкости........................75

3.1. Предварительный анализ и численное решение задачи распространения гидроупругих колебаний в нулевом приближении по е...........................75

3.1.1. Анализ уравнений движения жидкости методом малого параметра в нулевом приближении..............75

3.1.2. Построение разностной схемы для численного решения системы уравнений нулевого приближения..........79

3.1.3. Алгоритм расчета и краевые условия для модельной задачи. Результаты численных расчетов для задачи нулевого приближения.........................86

3.2. Анализ уравнений движения жидкости в первом приближении по е методом малого параметра.............87

3.2.1. Прямое разложение по малому параметру а решений уравнений первого приближения................88

3.2.2. Вывод формул для давления в жидкости........94

3.3. Численное решение уравнений движения стенки трубопровода и нахождение давления в жидкости в первом приближении. 97

3.3.1. Упрощение уравнений движения стенки трубопровода. . 97

3.3.2. Построение разностной схемы для начально-краевой задачи движения стенки трубопровода в первом приближении по г. 100

3.3.3. Вычисление поправок первого порядка к давлению на стенку трубопровода.....................106

3.4. Алгоритм и результаты численного решения системы уравнений первого приближения...............106

3.4.1. Алгоритм проведения вычислений..........107

3.4.2. Результаты численных расчетов давления и деформации стенки трубопровода.................108

Заключение.......................110

Литература.......................112

Иллюстрации......................120

Введение

Проблема исследования движения жидкости в трубах является классической задачей механики, всегда привлекавшей внимание исследователей. В последнее время возник интерес к явлениям, сопровождающим потерю устойчивости длинной упругой трубы с потоком жидкости. В частности, одним из последствий потери устойчивости является уход подземного трубопровода в сторону от первоначальной трассы и всплытие подводного трубопровода на участке трассы.

Важно, чтобы изменение формы профиля трубопровода было своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля было предложено пропускание через поток жидкости импульса давления (гидравлического удара) или акустической волны.

Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Исследования волн давления в трубах были начаты еще Н.Е.Жуковским [11]. Упругость трубы учитывалась через поправку к скорости волны в жидкости, инерцией стенки пренебрегалось. Похожий подход был использован и в работе [41], где еще было учтено и трение потока о стенку трубы.

Решение задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных "массовая скорость - давление" используется в работах [5], [10], [14], [19], [26], [43]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. К сожалению, одномерная постановка задачи при этом подходе не позволяет исследовать распределение давления в поперечном сечении (то есть поляризацию проходящей волны), а практически полное пренебрежение динамикой стенки трубопровода делает точность уравнений недостаточной для изучения

распространения акустических волн.

Обзор состояния теории гидравлического удара в прямых трубах дан в [13] и [5]. У Л.Н.Картвелишвили [13] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара:

1) инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учи-

тывается;

2) неустановившееся движение рассматривается как одномерное;

3) деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя се-

чениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец.

Эти предположения явно или неявно сделаны во всех работах по гидравлическому удару. Исключением является книга [14], где те же уравнения для тонкостенных цилиндрических труб выведены из без-моментной теории оболочек, что не позволяет применить их в случае изгибных колебаний.

В [5] дан обзор исследований течения сжимаемой жидкости в прямых упругих трубах. Особое внимание уделено течению газожидкостной смеси. Рассмотрена цилиндрическая оболочка, осесимме-тричная одномерная задача.

В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой пинии.

Исследование колебаний давления в зависимости от условий закрепления конца трубы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки проводилось в работах [38], [56], [61]. В работах [62], [55] изучалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн

давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [40],[63] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку, остановленный поток (гидравлический удар).

Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде А.С.Воль-мира [4]. К сожалению, задачи, связанные с динамикой трубопроводов, почти не были затронуты, основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидр оупруго сти.

Движение жидкости в трубах с изгибом профиля изучалось в работах [23], [44]—[50], [52]—[54], [57], [58], [64]. Проводились также и экспериментальные исследования пульсаций давления [59]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [44], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе в [23]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось, использовались уравнения гидравлического удара типа уравнений Жуковского [11].

В группе работ [46]—[49], [52], [53] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Одним из первых исследований течения жидкости в трубах постоянной кривизны являются работы [47], [48]. В них изучено стационарное течение при условии малости параметра е — Я0/р0, где

R0- внутренний радиус трубы, р0~ радиус кривизны осевой пинии.

Нестационарный поток в закрепленной однородно изогнутой (р0 = const) трубе с малым г, движимый зависимым от времени градиентом давления, рассмотрен в работе [53]. Градиент давления колебался по синусоидальному закону с достаточно высокой частотой для того, чтобы толщина слоя Стокса \jvjuj0 была мала. Установлено существование поперечного потока, названного автором "эффектом центрифуги".

В работе [52] получены нелинейные уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в произвольно изогнутой в плоскости трубе, динамика которой задана. Рассмотрено два частных случая: труба с постоянной по координате, но зависящей от времени кривизной, и труба, синусоидально изогнутая и колеблющаяся с малой амплитудой в окрестности прямой линии. Построены асимптотики решений линеаризованных уравнений.

Более полный обзор работ этого направления до 1982 года приведен в [45]. Наиболее важные частные случаи рассмотрены в [46], [49], [64], [57], [58]. Все полученные результаты основаны на линеаризованных уравнениях Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, движение стенки трубы задано или отсутствует.

Волны в прямой упругой трубе в случае идеальной сжимаемой жидкости изучались в [2], [3], [21], [30] и других. Рассматривались нелинейные одномерные уравнения типа уравнений Жуковского. Основное внимание уделялось получению и анализу решений в виде уединенных волн. В [3] получено нелинейное уравнение Шредингера для давления, в [21] рассмотрено влияние кортевеговской волны давления на цилиндрическую оболочку. Областью применения полученных результатов считается медицина.

Коснемся еще работ об устойчивости и поперечных колебаниях

трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода типа балки приведено в [42], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [20].

Обзор исследований динамических характеристик и гидроупругой устойчивости гибких трубопроводов с 50-х годов до 1993 года сделан в [51]. Отмечены фундаментальные результаты по оценке изгибных колебаний трансарабского нефтепровода. Установлены условия возникновения статической (выпучивание) и динамической (флаттер) неустойчивости. Приведена система дифференциальных уравнений, описывающих осевые, радиальные и трансверсальные колебания трубопровода в режимах установившегося и неустановившегося течения жидкости.

Возможность возникновения хаотических поперечных колебаний гибкой трубки с потоком жидкости установлена в [54], что подчеркивает опасность изучаемого явления.

Таким образом, распространение гидроупругих колебаний в изогнутом подземном трубопроводе является теоретически и практически важной темой исследования.

В данной диссертации рассмотрена задача о распространении волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого упругого трубопровода, погруженного во внешнюю среду.

Эта задача была поставлена академиком В.П.Мясниковым на семинаре в ПАПУ, г.Владивосток. Она связана с проблемой диагностики изменения формы профиля подземного трубопровода под воздействием внутреннего потока жидкости. Если трубопровод зондировать акустическим сигналом, то в каждой его точке функция да-

вления от времени будет зависеть от кривизны осевой линии. Целью данной работы является построение и апробация такой математической модели, которая позволила бы исследовать эту зависимость.

В первой главе сделаны исходные предположения, гораздо менее ограничительные, чем в [13], введена оригинальная система координат, ранее нигде не встречавшаяся. Похожая система была в [50], но там кривизна оси постоянна и фактически использованы тороидальные координаты.

Приведены компоненты метрического тензора и тензора деформаций, выведены уравнения движения моментной оболочки и жидкости в данных координатах. Выделен малый параметр е — Я0/р0 и уравнения расщеплены на цепочку последовательных приближений по степеням этого параметра. В нулевом приближении получились обычные уравнения распространения волн в жидкости и оболочке (см., например, [11], [39], [4] и др.), уравнения же первого приближения ранее не встречались.

Во второй главе найдено точное решение стационарной задачи равновесия оболочки в нулевом приближении по методу, изложенному в [1]. Затем численно найдено решение задачи первого приближения по методу минимальных невязок из [32] и задачи стационарного движения жидкости в первом приближении разложением по малому параметру а (см., например, [22]).

В третьей главе решались нестационарные задачи движения трубопровода и жидкости.

Давление в потоке жидкости, найденное в нулевом приближении, в основном совпадает с известными результатами [11], [61], [62] и другими. Отличие заключается в том, что здесь рассматривается наложение колебаний на стационарный поток и рассчитано движение стенки с учетом моментов силы упругости.

Далее по известным методам [22], [9], [33] найдена динамика системы в первом приближении по г. Давление и скорость в жидкости представлены в виде рядов по малому параметру су, коэффициентами которых являются известные функции координат, времени и смещения стенки трубопровода. Движение же стенки найдено численно. Результаты проинтерпретированы и показана адекватность модели изучаемому процессу.

Результаты глав 2 и 3, полученные в первом приближении по ранее нигде не встречались.

Перейдем теперь к более подробному описанию результатов, полученных в диссертации.

В главе 1 из общих уравнений движения трехмерного упругого тела и жидкости выводятся упрощенные уравнения с одной пространственной переменной для трубопровода и с двумя — для потока жидкости. Эти уравнения линеаризованы в окрестности стационарного решения.

В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, сделаны исходные предположения и введена система координат. Найдены компоненты метрического тензора (1.1), коэффициенты Ламе (1.2) и символы Кристоффеля (1.4) для данной системы координат.

В пункте 1.2 получены уравнения движения трубопровода с одной пространственной переменной и краевые условия для них.

Из общих инвариантных уравнений для трехмерного упругого тела получены уравнения в произвольной ортогональной системе координат для физических компонент тензора напряжений (1.8), физические компоненты тензора деформаций (1.9), первый инвариант тензора деформаций (1.10) и элементарное вращение (1.11). Вообще говоря, выражения для этих величин в ортогональной системе координат можно найти в книге [1], но здесь применен другой способ

вывода.

Найдены компоненты тензора поверхностных напряжений (1.16), действующих на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Найдены также интегральные по толщине стенки трубы усилия и моменты (1.20).

Приведены уравнения движения трубопровода как моментной оболочки (1.22), (1.23), (1.25) и как технической моментной оболочки (1.25), (1.26). Из общих соотношений на поверхности упругого тепа (1.13) выведены краевые условия на торцах трубопровода(1.31). Далее из (1.25), (1.26) путем введения специального представления (1.33) для решения выведены одномерные уравнения движения стенки трубопровода (1.34)—(1.37). После некоторых дополнительных приближений получена упрощенная система (1.38)—(1.41), сохраняющая основные черты предыдущей.

В пункте 1.3 выписаны уравнения гидродинамики в используемой системе координат (1.43). После этого движение разделено на стационарное и нестационарное и получены соответствующие уравнения (1.52) и (1.53). Затем выбран вид функции сопротивления стационарному потоку и наложены краевые условия, из уравнений стационарного движения путем разложения решения в ряд по уагеряИоп получены уравнения (1.59). Решение системы (1.59) найдено, а в первом приближении по е получена краевая задача (1.63).

Далее, из уравнений нестационарного движения также исключена угловая координата в и получены линейные системы уравнений (1.65) - (1-67) с двумя пространственными переменными. В них в качестве коэффицие