Численное моделирование нелинейной динамики криволинейных трубопроводов с жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РГб од

1 з ДЕК 20ПП

ЕГУНОВ ЮРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ

Специальность 01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нау|

Нижний Новгород - 2000

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

Научные руководители:

Заслуженный деятель науки РФ, академик РАИН,

доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Баженов,

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Кочетков.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н. проф. Ерофеев В.И.

(Нф ИМАШ РАН)

к.ф.-м.н., с.н.с. Овчинников В.Ф.

(НИИ механики ННГУ)

Ведущая организация - ГУП ОКБМ им. И.И. Африкантова, г. Нижний Новгород

Защита состоится Ч дании диссертационного

£^2000 года в часов на засе-063.77.05 в Научно-исследовательском институте механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, Н. Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан /SOJ?S/j<4 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 063.77.05 кандидат технических наук, доцент

Б.В. Трухин

Актуальность темы.

Трубопровод с протекающей под давлением жидкостью является элементом конструкций многих систем. Их используют в объектах атомной энергетики, в авиастроении, нефтегазовой промышленности, в объектах химического производства, в системах водоснабжения жилых зданий и в огромном ряде других объектов окружающих человека.

При проектировании несущих и защитных конструкций различного назначения, центральная роль отводится обеспечению прочности объектов в аварийных ситуациях.

В случае разрушения трубопровода высокого давления, разгерметизации соединения или разрыва трубы в местах крепления, последствия таких аварий могут привести к существенным материальным потерям, а также к человеческим жертвам и экологическим катастрофам. В виду тяжелых экономических и экологических последствий от возможных аварий, к прочности разрабатываемых конструкций и к входящим в их состав системам трубопроводов предъявляются повышенные требования. В этих условиях, математическое моделирование динамики трубопроводных систем с жидкостью становится особенно актуальным.

Сложность математического моделирования динамического поведения трубопроводов в аварийных ситуациях обусловлена следующими факторами:

— взаимным влиянием параметров деформирования трубопровода и протекающей по нему жидкости;

— нестационарными, нелинейными волновыми процессами в жидкости;

— большими перемещениями осевой линии и необратимыми деформациями трубы.

Из сделанного в работе анализа, современного состояния проблемы нелинейного динамического деформирования криволинейных трубопроводов с жидкостью, можно сделать следующие выводы:

1. Недостаточно изученными являются нелинейные задачи динамики гидроупругосвязанных криволинейных трубопроводов с жидкостью, в особенности с одновременным учетом различных нелинейных эффектов геометрического и физического характера.

2. Проблема является актуальной в связи с требованиями обеспечения безопасности, действующих и разрабатываемых трубопро-

водов высокого давления в атомной энергетике, нефтегазовой промышленности и других отраслях.

На основе сделанных выводов устанавливаются следующие цели диссертационной работы:

— разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования динамического деформирования трубопроводов с учетом упругопластических деформаций, больших перемещений, предварительного напряженно - деформированного состояния, нелинейных волновых процессов в жидкости, взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов;

— численное исследование эффектов гидроупругого взаимодействия и нелинейных факторов на ряде модельных и прикладных задач.

Научная новизна.

В диссертации получили развитие математические и численные модели, разработана методика и программное обеспечение для расчета динамического деформирования криволинейных трубопроводов с жидкостью с учетом больших перемещений и необратимых деформаций трубопровода, нелинейных волновых процессов в жидкости, эффектов взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов. Проведено численное исследование влияния предварительного напряженно-деформированного состояния я других факторов на динамику трубопроводов.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается их сопоставлением с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность.

Разработана методика и программы численного исследования динамического деформирования трубопроводов с жидкостью, с учетом нелинейных эффектов геометрического и физического характера, которые могут быть использованы при проектировании и экспериментальной отработке конструкций трубопроводов различного назначения. Применение предлагаемой методики позволит повысить уровень обоснованности конструкторских решений и тем самым безопасность разрабатываемых систем.

Работа проводилась согласно тематического плана госбюджетных и хоздоговорных НИР НИИ механики, в том числе в соответствии с программой поддержки ведущих научных школ России (фант РФФИ 96-1598156), фантом РФФИ № 99-01-00132, фантами Минобразования РФ по разделам "Фундаментальные проблемы охраны окружающей среды и экологии человека" и "Фундаментальные исследования в области энергетики и электротехники".

На защиту выносятся.

1. Математические модели, методики численного решения и пакеты программ для двумерных и трехмерных задач нелинейной динамики криволинейных гидроупругосвязанных трубопроводов.

2. Результаты исследований влияния гидроупругих эффектов и статического НДС на нестационарное поведение трубопроводов с жидкостью.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на:

Научно-технической конференции, посвященной 10-летию Нф ИМАШ РАН "Проблемы машиноведения" Нижний Новгород, 1997;

Ш Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва, 1997;

Седьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 1997;

Всероссийской конференции молодых ученых и студентов "Математическое моделирование физико-механических процессов", Пермь, 1997;

IV Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва, 1998.

Третьей международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях ^Р>4.!-2000), Истра-Москва, 3-7 июля 2000 г.

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1-9].

Структура Ii объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Основной печатный текст составляет 99 страницы, 25 рисунков, 12 страниц - список цитируемой литературы (82 наименований).

Краткое содержание работы.

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: описан исследуемый объект, рассмотрена актуальность темы, сформулированы цель и основные направления исследований, составляющих содержание диссертации.

В первой главе дается краткий обзор научной литературы, математических моделей и методов решения задач динамического деформирования трубопроводов с жидкостью, формулируются цели работы.

Исследованием динамических процессов в трубопроводах с жидкостью занимались многие ученые. Можно выделить известные труды Жуковского Н.Е., Батлина А., Кармана Т., Болотина В.В., Ильгамова М.А., Филиппова А.П., Вольмира A.C., Светлицкого В.А., Кондрашева Н.С.. Белостоцкого A.M., Трояновского И.Е., Пашкова И.А., Духовного И.А. Овчинникова В.Ф., Самарина A.A., Смирнова Л.В., Куликова Ю.А., Торли, Wiggert D.S., Hatfield F.J„ Stukenbrock S, Wilkinson D.H., Walker J.S., Phillips J.W. и других авторов.

При существующем многообразии моделей и методов исследования динамических процессов в пространственных трубопроводах можно выделить два основных подхода. В первом случае решение строится на основе уравнений деформаций криволинейных стержней. Во втором -используются различные оболочечные модели. Использование стержневой модели оправдано в том случае, если диаметр трубопровода много меньше его длины. Оболочечные модели используют для тонкостенных трубопроводов, где необходимо учитывать изменение формы сечения в процессе деформирования.

Важным вопросом при построении модели является вопрос о целесообразности учета движения жидкости в трубопроводе в связи с деформационными процессами. Даже в случае стационарного потока жидкости на криволинейных участках трубы возникают значительные гидродинамические нагрузки, которые необходимо учитывать. В условиях эксплуатации трубопроводных систем очень часто возникают пульсации скорости и давления, которые приводят к переходным процессам.

Влияние потока жидкости на динамику трубопроводных систем играет особую роль при переходных процессах, возникающих при различных переключениях насосов, гидравлических ударах и внешних ударных нагрузках. Существующие в настоящее время модели, описывающие деформирование трубопроводов с жидкостью в аварийных ситуациях, основываются на слишком сильно упрощающих проблему предположениях.

При анализе аварийных режимов, связанных с разрывом и разрушением трубопроводов высокого давления, важным является не только правильная оценка возможного выброса жидкости, но и оценка скоростей разгона и траектории движения элементов трубопровода за счет реактивных сил. В этих задачах необходимо учитывать большие перемещения и деформации трубопровода, а также взаимное влияние деформационных и гидродинамических процессов.

Анализ публикаций по этой проблеме позволяет сделать выводы о ее актуальности и недостаточной изученности и установить цели диссертационной работы.

Во второй главе излагается постановка задачи нелинейного динамического деформирования плоско-криволинейного трубопровода с жидкостью.

В основу математической модели положены волновые уравнения динамики стержней типа Тимошенко. В этом случае, осевая линия трубопровода (криволинейного стержня) предполагается плоской кривой. Вводятся две декартовы системы координат (рис. 1): общая неподвижная система гОг и местная подвижная система Т , связанная с деформирующейся осевой линией стержня, где в - длина осевой линии

от ее начала до текущей точки (0 5« 51 < Ь), ф - угол поворота попе. * . *

речного сечения. Выражения для нормальных и £ и касательных ит скоростей смещений по толщине стержня принимаются в виде

где и' ^ ( 5 , / ), м т ( 5 , Г ) - скорости смещений точек осевой линии, точка над символом означает дифференцирование по времени /.

Осевая £ и поперечная сдвиговая у скорости деформаций выражаются через скорости смешений следующим образом:

£ ° = и £ = £° + ^ф 5 7° = Ф + У=Г (О

где — Н <£><Н,Н=Я + 1г (/?- радиус внутреннего сечения

трубопровода, И - толщина стенки); нижний индекс после запятой означает производную по соответствующей пространственной переменной. Связь между скоростями смешений в различных системах координат устанавливается соотношениями

«•т = + « г О "£ = ~

где г(л\ /),/'(л, /) - координаты осевой линии.

Упругопластическое деформирование стержня описывается на основе уравнений теории пластического течения с линейным кинематическим упрочнением.

Осевая N и поперечная () силы, а также изгибающий момент М определяются интегрированием соответствующих напряжений:

0={о13еМр- М = ]оИс/Ар (2)

л

где Ар - площадь поперечного сечения стержня, Сп =СТП — \PRli 1

(для учета эффекта Пуассона), Р - давление в протекающей жидкости. Для тонкостенных труб принимаем Ар = Я+ . Уравнения движения трубопровода получим из вариационного принципа Журдена

»

+ Р/„ф5ф+Р,щЩ ■ чр^србф^ -

I.

о

- + Р£Ьй% + М °5ф|=0^ = 0 (3)

Здесь рр,р г - плотности материалов стержня и жидкости; Iр ,-

моменты инерции поперечного сечения стержня = + Н)*И и

элемента жидкости J/ относительно плоскости, проходящей

через осевую линию перпендикулярно плоскости X; Аг - площадь

поперечного сечения жидкости; Р* , Р^ - компоненты погонной на/7 А

грузки на стержень со стороны протекающей жидкости; г^ - компонента силы Кориолиса; /**т, Р^ - компоненты погонной внешней нагрузки; Рт°, Р^ , А/" - краевые значения сил и момента. Подставляя в вариационное уравнение (3) выражения для компонент деформаций (I), предполагая независимость вариаций 5йх, Ъй^ , 8ф и осуществляя

переход к общей неподвижной системе координат, получим систему дифференциальных уравнений

РрАри: ~ (А^ + *(|10г1 = Р: + + р,^«, - (Иг, - \ = К + Р/ + (4)

и полный набор возможных граничных условий:

М=±Л/° .если 5 ф * 0 или ф = ф"(0 ,

если 5ф = О ;

(Ш^ + ктО>\х)= ±Л° . если 5и__ * О ; й. = и ° (/) , если 8и . = О ;

-)= ±Р(° . если 8 и * О ; и г = «г° (Г) , если ¿> н'= О ,

где = У7. = - компоненты погон-

ной нагрузки в неподвижном базисе; ,

Ау = Рр«/^^«/^ •]"' коэффициенты учета массы и момента инерции жидкости. При = =1 инерционные свойства жидкости не

учитываются. Начальными условиями для системы (4) служит решение задачи о равновесии криволинейного стержня под действием статических сил, включая силы от стационарного потока жидкости.

Нестационарное поведение жидкости в трубе считаем зависящим от значений осевой координаты 5, времени продольных деформаций стержня и будем описывать модифицированными уравнениями акустики

= 0 Р + В*У5 - 2\В'й° = 0 (5)

с начальными условиями />(5,0) = Рн , У{Ь,0) = VИ , где Р , V - давление и скорость потока жидкости; В — р ¡-С* -объемный модуль упругости жидкости;

Ся = С ! (1 + 2 /?р 1 С ,\ИЕ ]"' У - скорость возмущений Жуковского (С г - скорость звука в безграничной жидкости). При выводе этих уравнений исходили из того, что поверхность трубы при деформировании не теряет устойчивости и круговая форма сечения сохраняется. В качестве краевых условий при .у = 0 и .V = Ь задаются давление или скорость как функция времени.

При решении задач разрыва трубопровода высокого давления, несущего разогретый поток жидкости, целесообразно использовать мо-

дель парожидкостной смеси в термодинамическом равновесии. В этом случае, нестационарное поведение парожидкостной смеси описывается нелинейными уравнениями Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния:

Р, =0 (р,гъ +(Р,У2 +РЬ =0

ар

о

(Iр,

С1 =

с;0 ,р*>р.(т) с2,(Р) ,р°<рлт)

(6)

с2

С /

где С2/0 - скорость звука в «чистой» жидкости, С2/е(Р) - равновесная скорость звука парожидкостной смеси, Р,(Т)- давление насыщения. Начальные условия Р(я,0) = Рн , У(Ь,0) - Ун ,

р(5,0) = р0(/>0,Г0 ), Г0 = Т» - температурасреды.

Связь между системами уравнений динамики стержня (4) и протекающей жидкости (5), (6) обусловлена, с одной стороны, заданием правых частей Г"] ' , Р/ в системе (4), как функций текущих значений давления и скорости потока жидкости (в том числе коэффициентов кп,, ¿у ), а с другой стороны, зависимостью давления в систнмах (5), (6)

от скорости деформации Ё°. Погонная сила, действующая на криволинейных участках стержня сЬ со стороны жидкости (трением жидкости о стенки трубы пренебрегаем), имеет компоненты в локальном базисе

Р{ =- (р,Г2+р)/1,КЗД г/ = 0 (7)

где ^(•5') - единичный безразмерный орт нормали к осевой линии, К = — + % - ее кривизна в данной точке. Таким образом,

правые части в системе (5) получим в виде

р/ = Г/

Поток жидкости внутри двигающейся трубы сопровождается возникновением силы Кориолиса, погонная компонента которой определяется следующим образом:

= 2р,Л/соИ;(*) (8)

где (О - скорость поворота осевой линии трубы. Правые части в системе (4)получим в виде

Г" = -¿'„./ЧЧ, Р."

Уравнения (I) - (8) описывают гидроупругопластическое волновое деформирование стержня с жидкостью с учетом больших перемещений его осевой линии. Полные перемещения определяются суммированием перемещений, полученных на каждом этапе (И, на которые разбивается процесс деформирования. Несмотря на то, что система уравнений (4) внешне выглядит как линейная, она является нелинейной, так как координаты осевой линии г(5,2(5,/), а следовательно, и г , , г 3 ,

/**/ , I7- есть функционалы процесса деформирования. Вместе с тем заметим, что приведенная постановка задачи учитывает влияние перемещения осевой линии трубопровода в плоскости на волновые процессы в протекающей жидкости и наоборот.

Уравнения движения стержня (4) интегрировались вариационно-разностным методом с использованием явной схемы «крест». Явные рекуррентные соотношения получаем при замене вариационного уравнения (3) дискретным аналогом и из условий независимости вариаций скоростей перемещений в узлах основной сетки

+ +р +Г.Г + +/7/ \

Л \ "У*1'2 -/-1'2 -/+1/2 -и<2 -)*\п ->-1.2 /

. ; . Д/

и: =и.. +-

РрЛрДя

[<>., - ктдг, )/+1/3 - ("г, - ктдг, ),,1/2 ]+

+к +Г/ )

2р Д 4 * * +1/2 '/-1/2 '/»1/2 '/-1/2 '/.1/2 '/-1/2 '

ФУ = Ф/ + —ТТ"^ К+1/2 - ^У-1/2 ~ 0.5(^41/2 + 0У-./2 М (9)

а' =ау +а7А/ (а = г/.>а=иг,а = <р,у' = 1,...,Лг,).

Расчет пластических компонент деформаций проводится итерациям, исходя из требований удовлетворения условию текучести. Для системы разностных уравнений (9) используется регуляризация, позволяющая смягчить условие устойчивости и повысить точность численных результатов, при Д5(/? + //) 1 > 1 . Шаг по времени в этом случае определяется условием Куранта для продольных упругих волн

&( < МК = Д^Яр;1)-0'5 (10)

Уравнения гидродинамики (6) интегрируются по явной схеме Годунова.

Условие устойчивости для системы уравнений по схеме Годунова более мягкое, чем (10), и поэтому решение связанной задачи проводится с шагом Д/ = AtJ{ .

Предварительное статическое напряженно-деформированное состояние трубопровода при действии на него стационарного потока жидкости определяется решением динамической задачи по описанной выше методике методом установления. Процедура вычислений, предложенная Баженовым В.Г., Ломуновым В.К., имеет итерационный характер и выглядит следующим образом: На первой итерации ненапряженный стержень приходит в движение и деформируется под действием стационарных сил. При достижении стержнем глобального максимума полной кинетической энергии

г, = 0,5p.lt к [(»< I + (".- X]+ -^Ф2/1 ' = 1>--т

происходит зануление скоростей движения точек стержня (и, )/. = (»,.). = (ф= 0 и переход к следующей итерации, в которой начальным условием является найденное на предыдущей итерации напряженно-деформированное состояние стержня; далее вновь решается динамическая задача до того момента, когда кинетическая энергия 1¥м

достигает максимального значения. Процесс нахождения равновесного положения продолжается до удовлетворения условия

<5 ,

где Щ , 1¥/+1 - максимальные значения полной кинетической энергии в

момент первого и (¡+1)-го циклов нагружения: 6 = Ю-5. Полученное таким образом статическое напряженно-деформированное состояние используется в качестве начальных условий для решения задачи нестационарного деформирования трубопровода.

В третьей главе приводится методика численного моделирования и алгоритм решения задач нелинейной динамики пространственно - криволинейных трубопроводов с жидкостью.

В основу методики положены соотношения и алгоритм численного решения разработанные Баженовым В.Г. и Кибецем А.И. для анализа нелинейного динамического деформирования пространственных стержней, основанные на МКЭ. Автором диссертационной работы предложено развитие данного подхода применительно к трубопроводам с жидкостью.

Уравнение движения выводится из вариационного принципа Журде-

на.

]8{£}г[С]{а}с/Г + |5Мгрр{1/}£/Г= /5{*/}г{/МГ.(П)

£1 П /',

[С] = Ж^(1 1 1 2 2 2),

где {£}=[£,, е,, е„ е|2 £„ в,,]7", {а} =[о„ о,, о,, а12 а,,]7, -векторы, составленные из компонент тензоров деформаций и напряжений, {£/} = [£/, и2 - перемещения в общей системе координат, рр - плотность трубы, {/} - распределенная нагрузка. - область, занимаемая конструкцией, Г - область действия внешнего давления;

точка над символом означает частную производную по времени л Скорости деформаций определяются в местной (сопутствующей) ортогональной системе координат {х}, отслеживающей смещение и поворот элементарного объема с!У как жесткого целого:

'Э, О О Э2/2 О Эз/2 ^

О Э2 О Э,/2 Э3/2 О О О Э, О Э2/2 Э,/2

(12)

Э,. =Э/Эх,. х, О

В (12) {«} =[1/|,й2,й}]т, где и,,г/2,м3- компоненты скорости перемещений в местной системе координат {х}. При упругопластическом деформировании полные деформации раскладываются на пластические и упругие компоненты. Пластические деформации вычисляются с помощью соотношений теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением.

О,

= Ее,, , от

22

Р—,о33 ~0, ст„ = в е\х , п

12 = (7 £ 12 ,

S22 =1^22 -2gs'22>

= ~ + °22 ) - ' S|2 = GI2 ~ .

= <b, - 2 g-eM .

Здесь одним и двумя штрихами обозначены упругие и пластические компоненты тензоров, Е - модуль Юнга, G - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, О 7 - предел текучести, g - модуль упрочнения

конструкционного материала, Я, - параметр, тождественно равный нулю при упругом деформировании и определяемый из условия прохождения мгновенной поверхности текучести через конец вектора догрузки в пространстве компонент девиатора напряжений при упругопластиче-ском деформировании, Р - давление в протекающей жидкости.

Нестационарное поведение жидкости или парожидкостной смеси в трубе будем считать зависящим от значений осевой координаты xs, времени /, продольных деформаций трубы, и описывать приведенными ранее модифицированными уравнениями акустики или нелинейными уравнениями гидродинамики.

Связь между системами уравнений динамики трубопровода, полученной из (11) и протекающей жидкости обусловлена как заданием правых частей Г/ , ТУ , функции текущих значений давления и скорости потока жидкости, так и зависимостью давления в жидкости от скорости деформации £,,. Погонная сила, действующая на криволинейных участках стержня dX) со стороны жидкости (трением жидкости о стенки трубы пренебрегаем), имеет компоненты в локальном базисе

г/=- (p/V2 +p)s/k2 т{ =- (p,r2+p)s,K,

т/ = 0, (13)

где К , , К3 - проекции вектора кривизны на координатные плоскости

местного базиса, который в общем случае может не совпадать с осями сопровождающего трехгранника.

Для дискретизации определяющей системы уравнений динамики трубопровода по пространственным переменным используется метод конечных элементов, а по времени явная конечно-разностная схема типа «крест». Ось криволинейного стержня разбивается на ряд 2-узловых конечных элементов с линейными функциями формы. В каждом из них

вводится локальный базис {л} = [д"|,х2,л3]7 , текущее положение в

пространстве, которого определяется осью стержня. Принимая гипотезу плоских сечений предполагаем, что деформации малы, а смещения и углы поворота поперечного сечения стержня произвольны. В пределах конечного элемента распределение скорости перемещения в поперечном сечении определяется формулами

г/, = Щ + ХзФ2 112 = "з ~ ХчФ| "З = + Х2Ф1 ' С4)

где {и0} =[»|°,1<2,г^]Г - перемещения центра КЭ. {ф} = [ф|,ср2 'Фз ]Г " УГЛЬ| поворота поперечного сечения относительно осей местного базиса {х} . Текущие значения скорости перемещений

оси стержня {й0} и угловые скорости {ф} поворота поперечного сечения определяются в узлах конечных элементов в общей системе координат {X} . При вычислении деформаций и напряжений они проецируются в местный базис. Скорости деформаций аппроксимируются в стержневом КЭ линейными функциями в виде суммы безмоментных и мо-ментных составляющих.

С учетом принятых гипотез уравнение (11) для стержневого конечного элемента длиной А запишется в виде:

д д

\Цё}т{Т)ск, -

о

о

д

(15)

В (15) используются следующие обозначения: {Г} = [7] Т2 Т} /, /2 /3]г - вектор обобщенных внутренних сил стержневой модели

Г, = ]опскр Т2 = к„, \<5п<Ьр Ту = кп |сЯ|¿зр /, = |(а„х2/2 = /, =кп ]с„х2^ (16)

{¿} = [¿и ё',2

ё„ £ц.2 ¿п.з ¿зкг] " обобщенные скорости деформаций; рр- плотность материала; {IV} = [й,° й\ ф, ф2 ф-,]Г - вектор скорости обобщенных перемещений;

3р1 ^ Ръ) • диагональная матрица, характеризующая геометрию поперечного сечения трубы, где 5 - площадь поперечного сечения, 3р2 , - осевые моменты инерции, ./, - полярный момент инерции; {Г1} = [7]' Т2 Т3 /' 1\ /]]г - вектор сил моментов от распределенной на боковой поверхности трубы нагрузки {р} = [р\ Р2 Ру]Т> {71' } = [О Т/ т/ О О 0]г - вектор сил действующих на трубу, на криволинейных участках со стороны жидкости; (ГЛ } = [О Т2 ТУК О О 0]г - вектор силы Кориолисса;

{Т~} = [Г,2 Т2 Ту /2 /3 ]Г - вектор сил и моментов от распределенной нагрузки на торцах трубы. Компоненты векторов {Г1},{Г2} вычисляются по формулам (16).

Для вычисления геометрических характеристик и компонент обобщенных внутренних сил, поперечное сечение трубы покрывается четырехугольными ячейками, внутри которых напряжения и пластические деформации предполагаются постоянными и равными их значениям в центрах ячеек.

Уравнения гидродинамики интегрируются также по явной схеме С.К.Годунова.

В четвертой главе.

Приводятся результаты тестирования разработанных численных методик и программ путем сравнения с известными численными и экспериментальными результатами.

В частности, сравнивались с результатами полученными в экспериментах (N.Chiba, N.Sueyoshi. J.Kaneko) по деформированию плоскокриволинейного трубопровода при действии приложенной на свободном конце следящей силы.

Параметры трубы (смотри рис. I): 1)=3,9м, 12=0,157м, Ь=0,7 м, Rcp=0,0273 м, h=0,0063 м, Е=2.05* I05 МПа, р=7900 кг/м\

От=236 МПа, 3g=3*10'1 Мпа, 0,297 (в качестве материала взята нержавеющая сталь 12Х18Н10Т) при s=0 - условия жесткого закрепления й. =йг =ф=0, а при s=L прикладывается следящая сила Рт, которая аппроксимируется в виде, изображенном на рис. 2. На рис. 3 приводится изменение во времени скорости концевой точки в направлении поворота трубы. А на рис.4 показаны формы трубы в различные моменты времени (кривая! -1=80 мс; кривая2 - t=120 мс; криваяЗ - t=160 мс). На этих рисунках, штриховая линия - результат эксперимента, сплошная линия - результат численного решения по данной методике. В целом получено хорошее сходство в результатах, даже при отсутствии точных значений характеристик материала трубы.

Решение задачи о нелинейном динамическом деформировании трубопровода со стационарным потоком жидкости при разрыве по полному сечению сравнивалось с численными результатами (Белостоцкий A.M. и др.). Параметры трубопровода: 1|=0,5775 м, 12=0,855 м, 13=0,175 м, RK=0,55 м, 1*^=0,1625 м, Ь=0,016м, Е=2.1*105МПа, G=0,8*105МПа, р =7880 кг/м\ О [=400 МПа, 3g=2* I01 МПа. Поток жидкости предполагался стационарным с Рц=8,6 МПа, VH=23,8 м/с, Ср=1500 м/с, р (=1000 кг/м\ Для моделирования разрыва ставятся граничные условия: при s=0 - жесткого закрепления й. —йг =<¡9 = 0, а при s=L - условия на свободном крае. В начальный момент времени смещения, напряжения и деформации в трубопроводе отсутствуют. Формы трубопровода в различные моменты времени приведены на рис. 5: сплошная линия - решение по методике автора, штриховые - результаты (Белостоц-

кий A.M.), трубопровод в моменты времени t=0;33;66;88 мс, соответственно. Трубопровод испытывает большие смещения, что вызывает пластические деформации в зоне заделки. В целом наблюдается удовлетворительное соответствие между результатами, что свидетельствует о достоверности численных решений в данной постановке.

С целью апробирования методики для гидроупругих систем проводилось сравнение с численными результатами (Уиггерт Д.С., Хатфилд Ф.Дж., Штукенбрук), где решалась задача о гидравлическом ударе в трубопроводе при быстром закрытии клапана на одном из его концов. Параметры трубопровода: 1|=35,6 м, Ь=0,31 м, 1,=12,3 м, RK=0,2 м, Rcp=l,25 м, h=0,127 м, Е=1,17*105 МПа, р =8940 кг/м3 и для рассматриваемой задачи при s=0 и s=L выполняются условия жесткого закрепления й. —йг = ф = 0. Поток жидкости предполагается нестационарным с Сг=1500 м/с, Рг=1000 кг/м3 и с начальными и краевыми условиями Pi 1=0,4 МПа, Vh=1,8 м/с,. P(0,t)=0,4 МПа,

V(L, t) = {Vn (1— tjt.), при /</,;0, при />/,}, моделирующими с

края s=0 постоянную подпитку жидкости из резервуара с постоянным давлением, а с края s=L - закрытие "клапана" за время t.=0,2 мс. В начальный момент времени смещения, напряжения и деформации в трубопроводе отсутствуют. Зависимость давления жидкости в районе клапана от времени приведены на рис. 6. Сплошные линии - решение по данной методике, штриховые - результаты (Уиггерт и др.). В целом наблюдается удовлетворительное соответствие между результатами. Деформирование трубы в данной задаче происходит упруго.

Наряду с тестированием разработанной программы приведены результаты численных исследований взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов.

В частности, на рис. 7 приведены численные результаты решения задачи в полной гидроупругой постановке (сплошные линии) и в несвязанной постановке (штриховые линии). В обоих случаях поток жидкости предполагается нестационарным с начальными данными Рн=5,05 МПа, VH=7,92 м/с и краевыми условиями: при s=0 Г(0,/) = 7,92 м/с (постоянный расход жидкости), при s=L P(L,t)=0,l МПа (свободное истечение); предварительное статическое напряженно-деформированное состояние не учитывалось. В несвязанной постановке предполагалось km=kj=l и V = 0 в уравнениях гидродинамики (4) и при определении

осевой силы (5). Наблюдается заметное отличие как в амплитудах, так и в фазах колебаний поврежденного трубопровода. Более полное решение содержит высокочастотные гармоники, связанные с осевыми колебаниями трубы вследствие эффекта Пуассона. Гидроупругосвязанные колебания имеют тенденцию к возрастанию амплитуды, что вызывает появление пластических деформаций в окрестности точки закрепления стержня. Для более углубленного анализа влияния гидроупругих эффектов проведены расчеты данной задачи в упрощенных, но связанных постановках. На рис. 8 сплошной линией показано решение с =1,

но V ^ 0, а штриховой линией - решение с V = 0, но ктФ 1 и к} £1.

Видно, что учет инерционных свойств жидкости существенно изменяет период колебаний системы, но напряжения в стержне не превышают предела текучести. Учет же эффекта Пуассона увеличивает амплитуду колебаний стержня и приводит в результате к появлению остаточных деформаций, и качественному изменению характера движения системы.

Для анализа влияния гидроупругих эффектов при больших смещениях трубопровода рассматривалась несколько измененная задача - при 5=0 ставилось другое краевое условие для уравнений гидродинамики -Р(0,1)=5,05 МПа, то есть предполагалось, что начало трубопровода соединено с большим резервуаром постоянного давления. В этом случае гидродинамическая нагрузка на поврежденный трубопровод существенно увеличивалась. На рис. 9 приведены результаты расчетов смещения точки А для гидроупругосвязанной задачи в полной постановке -сплошная линия, дпя несвязанной задачи - штриховая линия, а штрих-пунктирные линии соответствуют решению связанной задачи с учетом предварительного НДС. Решение задачи при V = 0, но с учетом инерционных свойств жидкости практически совпало с решением полной связанной задачи. Таким образом при больших перемещениях поврежденного трубопровода более важное значение имеет учет инерционности жидкости, содержащейся в трубе. Видно, что при учете предварительного НДС, начальные статические напряжения и деформации являются стабилизирующим фактором, приводящим к более медленному развитию процессов, хотя и в этом случае очевидно дальнейшее разрушение поврежденного трубопровода.

Приведены также результаты расчетов динамики главного циркуляционного трубопровода реактора ВВЭР-1000 при его разрыве по полно-

му сечению, анализируется влияние различных факторов на динамику конструкции.

Основные выводы.

1. Разработаны математические модели и методики численного решения геометрически и физически нелинейных задач нестационарной динамики криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью. В моделях учитываются:

— взаимосвязанность деформационных и гидродинамических процессов;

— большие перемещения и необратимые деформации трубопровода;

— предварительное статическое напряженно - деформированное состояние, получаемое методом установления;

— силы Кориолиса при движении жидкости в подвижном криволинейном трубопроводе;

— фазовые переходы в жидкости и образование парожидкостной смеси.

2. Разработан пакет прикладных программ «PIPE» для решения двумерных нелинейных задач деформирования гидроупругосвязанных трубопроводов, Разработаны программные модули и модернизирована информационная структура ППП «Динамика-3», позволяющие решать нелинейные задачи динамики пространственно-криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью.

3. На задаче разрыва по полному сечению трубопровода высокого давления проведены численные исследования влияния нестационарности потока жидкости, предварительного статического НДС, силы Кориолиса, виляния связанности деформационных и гидродинамических процессов на динамику трубопровода с жидкостью.

Список публикаций.

1. Баженов В.Г, Егунов Ю.В., Кочетков A.B., Фельдгун В.Р. Моделирование нелинейной динамики трубопровода высокого давления при поперечном разрыве // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1997. Х°3. С. 58-65.

2. Егунов Ю.В. Методика расчета нелинейного динамического деформирования плоско-криволинейных трубопроводов с жидкостью П Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное модели-

рование физико-механических процессов: Межвуз. сб. /М.: Товарищ, научн. изд. КМК. 1998. C.I29-I38.

3. Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Численное исследование нелинейной динамики гидроупругосвязанных плоско-криволинейных стержней // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. 1999. №1. С.212-219.

4. Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Расчет нелинейной динамики трубопровода высокого давления при поперечном разрыве // Проблемы машиноведения: тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 10-летию Нф ИМАШ РАН / под ред. В.И.Ерофеева. -Н.Новгород: Издательство общества "Интелсервис". 1997. С. 105.

5. Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Динамика гидроупругосвязанного трубопровода высокого давления при поперечном разрыве // Тезисы докладов III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" - М: Издательство "ЛАТМЭС" МГАТУ. 1997. С. 153.

6. Глазова Е.В., Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Моделирование днна-мики гидроупругосвязанного плоско-криволинейного трубопровода высокого давления при поперечном разрыве // Труды седьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 1997. 4.1. С. 27-28.

7. Глазова Е.В., Егунов Ю.В. Моделирование динамики гидроупругосвязанных трубопроводов высокого давления // Материалы Всеросий-ской конференции молодых ученых и студентов "Математическое моделирование физико-механических процессов" / Пермь. ПермГТУ. 1997. С. 70.

8. Баженов В.Г., Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Моделирование нелинейной динамики гидроупругосвязанных пространственно-криволинейных трубопроводов // Материалы IV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". Механика взаимодействия сплошных сред. -М: Издательство "ГРАФРОС". 1998.

9. Баженов В.Г., Егунов Ю.В., Кибец А.И., Кочетков A.B. Конечно-элементная методика расчета нелинейного динамического деформирования пространственно-криволинейнных трубопроводов с жидкостью. // Тезисы докладов Третьей международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2000), Истра-Москва, 3-7 июля 2000г. - М.:МГИУ, 2000. С.36-37.

Рис. 1

Рис.3

Рис. 5

Рис. 7

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Проблемы численного моделирования динамики 7 трубопроводов с жидкостью.

1.2. Численные методы решения нестационарных задач 12 динамического деформирования трубопроводов с жидкостью.

1.3. Цели диссертационной работы

Глава 2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛОСКОКРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ.

2.1. Определяющая система уравнений

2.1.1. Система уравнений движения трубопровода

2.1.2. Система уравнений, описывающая нестационарное 22 поведение жидкости.

2.1.3. Силы действующие на трубопровод со стороны 24 жидкости

2.1.4. Характеристика полученной модели плоско - 25 криволинейных трубопроводов с жидкостью.

2.2. Численные схемы решения задач.

2.2.1. Численная методика решения задач нелинейного 27 деформирования плоско-криволинейных трубопроводов с жидкостью

2.2.2. Численная методика определения предварительного 30 статического напряженно-деформированного состояния трубопровода.

Программная реализация численного решения задач 32 нелинейной динамики трубопроводов с жидкостью.

Глава 3.

Глава 4.

4.1.1.

4.1.2.

4.1.3.

4.1.4.

4.1.5.

4.1.6.

4.3.1.

4.3.2.

КОНЕЧНО - ЭЛЕМЕНТНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА 3 5 НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО - КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИССЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 43 НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ.

Тестирование методики решения задач динамики трубопроводов.

Решение задачи колебания линейного трубопровода 43 без жидкости под действием нормальной распределенной силы.

Тестирование процедуры определения предварительного статического напряженно -деформированного состояния.

Сравнение численного решения задачи динамики трубопровода с результатами эксперимента. Динамическое деформирование трубопровода со стационарным потоком жидкости.

Гидроупругосвязанные трубопроводы с жидкостью.

Истечение парожидкостной смеси из трубопровода.

Численное исследование взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов.

Решение прикладных задач.

Задача метания участка поврежденного газопровода.

Движение трубопровода АЭС при разрыве в 68 поперечном сечении.

Трубопровод с протекающей под давлением жидкостью является элементом конструкций многих систем. Их используют в объектах атомной энергетики, в авиастроении, нефтегазовой промышленности, в объектах химического производства, в системах водоснабжения жилых зданий и в огромном ряде других объектов окружающих человека.

При проектировании несущих и защитных конструкций различного назначения, центральная роль отводится обеспечению прочности объектов в аварийных ситуациях.

В случае разрушения трубопровода высокого давления, разгерметизации соединения или разрыва трубы в местах крепления, последствия таких аварий могут привести к существенным материальным потерям, а также к человеческим жертвам и экологическим катастрофам. В виду тяжелых экономических и экологических последствий от возможных аварий, к прочности разрабатываемых конструкций и к входящим в их состав системам трубопроводов предъявляются повышенные требования. В большинстве случаев, натурные испытания трубопроводов с жидкостью, вплоть до разрушающих нагружений, не всегда возможны или затруднены в виду большой их стоимости. В этих условиях, математическое моделирование динамики трубопроводных систем с жидкостью становится особенно актуальным.

Сложность математического моделирования динамического поведения трубопроводов в аварийных ситуациях обусловлена следующими факторами:

1) взаимным влиянием параметров деформирования трубопровода и протекающей по нему жидкости;

2) нестационарными, нелинейными волновыми процессами в жидкости;

3)большими перемещениями осевой линии и необратимыми деформациями трубы.

Решение таких задач стало возможным только благодаря применению численных методов и современной вычислительной техники.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию математических и численных моделей, разработке методики и программного обеспечения для расчета динамического деформирования криволинейных трубопроводов с жидкостью с учетом больших перемещений и необратимых деформаций трубопровода, нелинейных волновых процессов в жидкости, эффектов взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов. В диссертации проводится решение тестовых задач, исследование эффектов взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов, решение прикладных задач.

Структура диссертационной работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработаны математические модели и методики численного решения геометрически и физически нелинейных задач нестационарной динамики криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью. В моделях учитываются:

- взаимосвязанность деформационных и гидродинамических процессов;

- большие перемещения и необратимые деформации трубопровода;

- предварительное статическое напряженно - деформированное состояние, получаемое методом установления;

- силы Кориолиса при движении жидкости в подвижном криволинейном трубопроводе;

- фазовые переходы в жидкости и образование парожидкостной смеси.

2. Разработан пакет прикладных программ «PIPE» для решения двумерных нелинейных задач деформирования гидроупругосвязанных трубопроводов. Разработаны программные модули и модернизирована информационная структура ППП «Динамика-3», позволяющие решать нелинейные задачи динамики пространственно-криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью.

3. На задаче разрыва по полному сечению трубопровода высокого давления проведены численные исследования влияния нестационарности

73 потока жидкости, предварительного статического НДС, силы Кориолиса, виляния связанности деформационных и гидродинамических процессов на динамику трубопровода с жидкостью.

Таким образом, разработана методика и программы, которые могут быть использованы при проектировании и экспериментальной отработке конструкций трубопроводов различного назначения. Применение предлагаемой методики позволит повысить уровень обоснованности конструкторских решений и тем самым безопасность разрабатываемых систем.

Работа проводилась согласно тематического плана госбюджетных и хоздоговорных НИР НИИ механики, в том числе в соответствии с программой поддержки ведущих научных школ России (грант РФФИ 9615-98156), грантом РФФИ № 99-01-00132, грантами Минобразования РФ по разделам "Фундаментальные проблемы охраны окружающей среды и экологии человека" и "Фундаментальные исследования в области энергетики и электротехники".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Об одном методе решения нелинейных задач динамики оболочек в уточненной постановке. // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюзный межвузовский сборник Горьк. ун-т., 1975, вып.1, С. 58-66.

2. Баженов В.Г, Егунов Ю.В., Кочетков A.B., Фельдгун В.Р. Моделирование нелинейной динамики трубопровода высокого давления при поперечном разрыве // Проблемы машиностроения и надежности машин., 1997, №3, С. 58-65.

3. Баженов В.Г. и др. Пакет прикладных программ «Динамика-2»// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация исследований: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький, 1987. С. 4-13.

4. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. /Горьк. ун-т. 1981. Вып.18. С. 57-66.

5. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек // Проблемы прочности. 1984. №11. С. 51-54.

6. Баженов В.Г., Кибец А.И, Кибец Ю.И. Расчет нестационарного упругопластического деформирования стержней. // Прикл. пробл. Прочности и пластичности. 1998. Вып.58. С.122-128.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И. Чиссленное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв.РАН.МТТ. 1994.№1. С.52-59.

8. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Программный комплекс «Динамика 3». Конечно - элементный анализ нестационарного деформирования составных конструкций. // Труды 33 международного симпозиума «Актуальные проблемы прочности». Новгород, 1997.

9. Баженов В.Г., Михайлов Г.С. Об одном методе решения задач статики и динамики осесимметричных упругопластических оболочек с учетом больших прогибов и сложного неизотермического нагружения. // Учен. Зап., Горьк. Ун-т Сер. Мех., 1970, вып. 108.

10. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек. -Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1992.

11. Белостоцкий A.M., Духовный И.А., Пашков И.А., Трояновский И.Е. Движение трубопровода АЭС при обрыве в поперечном сечении // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. №1. С. 80-85.

12. Бирбраер А.Н., Шульман С.Г. Прочность и надежность конструкций АЭС при особых динамических воздействиях. -М: Энергоатомиздат, 1989.

13. Богомолов С.И., Журавлева A.M., Ингульцев C.B. Расчет вынужденных колебаний пространственных трубопроводных систем. Динамика и прочность машин. Респ. межвед. Тем. сб., 1979, вып.30.

14. Босняцкий Г.П. Усилия в длинном отводе, содержащем пульсирующий поток. // Вибрация технологических трубопроводов на нефтеперерабатывающих и нефтехимических предприятиях. М.: ЦНИИТЭ нефтехимия, 1970, С. 99 103.

15. Босняцкий Г.П., Козобков A.A. Реактивные усилия в трубопроводных системах с пульсирующим потоком. // Вибрация технологических трубопроводов на нефтеперерабатывающих и нефтехимических предприятиях. М.: ЦНИИТЭ нефтехимия, 1970, С.61 64.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

17. Велитченко В.И., Шульман С.Г. Расчет трубопроводов АЭС на сейсмическое воздействие. // Изв. ВНИИГ им Веденеева, т. 118. Сейсмостойкость ГЭС, Тэс, АЭС. Изд. Энергия, 1977.

18. Вереземский В.Г., Грудев И.Д., Корнеева С.И. Свободные колебания теплообменной петли первого контура ВВЭР-1000. // Динамические деформации в энергетическом оборудовании. М.: Наука, 1978.

19. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972, С.432.

20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир. 1984.

21. Годунов С.К, Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностные схемы для двумерных задач газовой динамики и расчет обтекания ударной волной // ЖВММФ, 1961, Т. 1, №6.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

23. Дородницын A.A. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. // Труды III Всесоюзного математического съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958, Т.З, С.447-453.

24. Доценко П.Д. Геометрические и кинематические соотношения при конечных деформациях криволинейных стержней. // Динамика систем, несущих подвижную, распределенную нагрузку. Тем. сб. научных трудов, ХАИ, 1978., вып.1

25. Доценко П.Д. Некоторые аналитические результаты расчета напряженно деформированного состояния трубопроводов. // Динамика систем, несущих подвижную, распределенную нагрузку. Тем. сб. научных трудов, ХАИ, 1978, вып. 1.

26. Доценко П. Д. О постановке задач устойчивости и колебаний трубопроводов с жидкостью. // Динамика систем, несущих подвижную, распределенную нагрузку. Тем. сб. научных трудов, ХАИ, 1978, вып. 1.

27. Доценко П.Д. Об уравнениях движения одномерных систем, несущих подвижную распределенную нагрузку. Машиноведение, 1979. №3

28. Доценко П.Д. Об уравнениях малых колебаний криволинейного трубопровода. Изд. АН СССР, МТТ, 1974. №5.

29. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными. ЖВМ и МФ, 1965, 5, №4, С.680-688.

30. Егунов Ю.В., Кочетков A.B. Численное исследование нелинейной динамики гидроупругосвязанных плоско-криволинейных стержней // Прикладная механика и техническая физика, Новосибирск, 1999, №1, С.212-219.

31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

32. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

33. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. // Укр. Матем. Журн., 1954, №6.

34. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения. ПММ, 22, 1, 1958.

35. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

36. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971.

37. Кондрашев Н.С. Возбуждение поперечных колебаний трубопроводов пульсациями давления. // Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов. Труды КуАИ, 1967, С. 118 — 128.

38. Кондрашев Н.С., Лашкова Л.А. О взаимодействии трубопровода с протекающим по нему потоку. // Проектирование и доводка авиационных газотурбинных двигателей., Межвуз. Сб., КуАИ, 1979.

39. Коротких Ю.Г., Белевич С.М. Уравнения состояния статических и динамических задач термопластичности при сложном нагружении. // Учен. Зап., Горьк. Ун-т Сер. Мех., 1970, вып. 108.

40. Куликов Ю.А. Напряженно деформированное состояние трубопровода при гидравлических ударах. // Проблемы машиностроения и надежности машин., №3, 1999.

41. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. -М.: ИЛЛ, 1950.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1978.

43. Массуд. Обобщенные векторные уравнения движения непризматических тонких пространственных стержней. // Труды Американского общества инженеров-механиков. Серия Е., 1971.

44. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957.

45. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987

46. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. / Под редакцией О.М. Белоцерковского. Труды ВЦ АН СССР. М. 1966.

47. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Колебания трубопроводов с нестационарным потоком жидкости. // Вопросы атомной науки и техники. Серия физика и техника ядерных реакторов, 1985, в. 2.

48. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерная модель колебаний тонкостенной криволинейной трубы с жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сборник докладов., Новосибирск, 1990.

49. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерные уравнения деформации тонкостенных труб, изогнутой в пространстве. -М.: Машиноведение, 1988, №3.

50. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерные уравнения колебаний тонкостенной пространственной трубы с внутренним потоком жидксоти. // Проблемы машиностроения и надежности машин., №4, 1991.

51. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Особенности влияния параметров внутреннего потока жидкости на свободные колебания пространственных трубопроводов. // Прикладные проблемы прочности и пластичности., Всесоюз. Межвуз. Сб., 1978, вып.8.

52. Пашков И.А., Рогов A.A., Трояновский И.Е. Влияние эффекта Кармана на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечении. МИЭМ, 1991.

53. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложение в газовой динамике. М.: Наука, 1968.

54. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

55. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975.

56. Светлицкий В.А. Малые колебания пространственно-криволинейных трубопроводов. // Прикладная механика, 1978, т. XIV, №8.

57. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. // Машиностроение. 1978.

58. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М. 1982г.

59. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения и малые колебания стержней, заполненных движущейся жидкостью. Изд. АН СССР, МТТ, 1977, №1.

60. Светлицкий В.А. Статика, устойчивость и малые колебания гибких стержней, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. // Расчеты на прочность, 1969. вып.№14.

61. Стренг Г. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

62. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

63. Торли Нестационарные давления в гидравлических трубопроводах. // Теоретические основы инженерных расчетов., 1989, №3.

64. Уиггерт Д.С., Хатфилд Ф.Дж., Штукенбрук С. Анализ гидравлических и упругих переходных процессов в трубопроводах методом характеристик //Теоретические основы инженерных расчетов. 1988. №1. С. 260 267.

65. Уитмер Е.А., Балмер Н.А., Лич У., Пиан Т.Н. Большие динамические деформации балок, колец, пластинок, оболочек. // Ракетная техника и космонавтика, 1963, №8.

66. Численное моделирование динамического деформирования участков трубопровода при распространении трещины с учетом истечения газа. // Отчет НИИ механики ННГУ, инв.№ 4/95, 1996.

67. Численное решение многомерных задач газовой динамики // Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976.

68. Чушкин П.И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. Труды ВЦ АН СССР, М., 1968.

69. Courant R., Fridrichs К.О., Lewy Н. Uber die partiellen Differenzengleichungen der // Mathematischen Phisik Math. Ann., 100, 32, 1928.

70. N.Chiba, N.Sueyoshi, J.Kaneko. Pipe-whip experiment and numerical analysis. // Struct. Mech., React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne ,Aug.l987.P.17-21.

71. Wang Bin. The Deformation of Freely Whipping Pipes. //Proc. 3rd Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Singapore. 1993. V.2 P. 62-68