Расчет пространственно-криволинейных стержней, нагруженных силами произвольного направления тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ . имени Н.Э.Баумана

На правах рукописи

Наумов Андрей Михайлович

УДК 531.8

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННО-КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ, НАГРУЖЕННЫХ СИЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ

РГб од

2 5 НОЯ £23

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Москва - 1996

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор СВЕГГЛИЦКИЙ В. А.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

ШАПОВАЛОВ Л. А. - доктор технических наук, профессор ТЕМИС Ю. И.

Ведущая организация - МАИ

Защита состоится 26 декабря 1996 г. в 14.30 на заседании Специализированного совета Д.053.15.08 при Московском государственном техническом университете имени Н. 3. Баумана по адресу: 107005 Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Автореферат разослан "_"_1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат технических наук, доцент /[ Дубинин В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Очень многие элементы конструкций можно рассматривать , используя модель стержня (прямолинейные, плоские криволинейные, пространственно-криволинейные). Диапазон использования " стержней" в технике очень широк, начиная с упругих стержневых элементов приборов (например, спирали, винтовые стержни) и кончая шлангами для перекачки жидкости и для подъема конкреций со дна морей и океанов.

Упругие стержневые элементы широко используются в технике в качестве чувствительных элементов средств измерений, в информационных и мехатронных системах, в низкочастотных механических фильтрах, аккумуляторах механической.энергии, акселерометрах, в системах активной и пассивной виброударозащиты.

Упругие элементы, входящие в мехатронные системы, должны обладать очень высокой надежностью, блкз:сой к надежности радиоэлектронных элементов. Только в этом случае надежность системы в целом будет высокой. В настоящее время надежность мехатронных систем определяется надежностью ее механических элементов, которая ниже надежности радиоэлектронных элементов. Для повышения надежности механических упругих элементов, в том числе чувствительных элементов первичных измерительных приборов информационных систем и систем управления, необходимо глубокое понимание физических особенностей процессов, которые имеют место при их эксплуатации и учете.этих процессов при обосновании математических моделей и методов расчета упругих элементов.

Особенно большое значение при разработке высокоточных методов расчета стержней имеет правильный учет действующих на упругие элементы сил ( например, сил инерции, аэродинамических сил и т.д.). В общем случае действующие на стержни силы могут иметь произвольные направления по отношению к единичному вектору, направленному по касательной к осевой линии стержня, что существенно осложняет учет этих сил с уравнек ях равновесия. Кроме того, многие силы есть силы с обратной связью, когда они зависят от деформированного состояния стержня ( например, аэродинамические силы). Повышенные требования к точности расчетов заставляют рассматривать многие прикладные задачи механики стержней в нелинейной постановке, чтобы оценить погрешность в расчетах по сравнению с решением этой же задачи в линейной постановке. Так как получить решение 0 аналитической форме нельзя, то остается единственно воз-.

можный вариант - развивать и использовать численные методы исследования ( компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент).

^¿смотря на большое число публикаций, посвященных механике стержней, многие проблемы, как теоретические, так и' прикладные, остались пока неразработанными. К таким проблемам относятся:

1) учет в уравнениях равновесия ( и малых колебаний) приложенных к стержню распределенных и сосредоточенных сил произвольного направления, которые в процессе деформирования стержня изменяются как по модулю так и по направлению. Модули проекций этих сил зависят от перемещения точек осевой линии стержня и от углов поворота связанных осей;

2) разработка алгоритма и численных методов определения геометрических характеристик стержня (кривизн произвольной пространственной осевой линии стержня, элементов матриц преобразования единичных векторов в зависимости от дуговой координаты);

3) численные методы исследования, в линейной и нелинейной постановке, взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости.

Именно этим задачам механики стержней посвящсна данная диссертация.

Цель работы заключается в разработке методов расчета гибких пространственно-криволинейных стержней, нагруженных распределенными силами произвольного направления с определением напряженно-деформированного состояния.

Методика исследований. В диссертационной работе используются как теоретические методы так и методы численного исследования систем нелинейных дифференциала,.ых уравнений равновесия пространственно-криволинейных стержней (метод последовательных натру-жений и метод дискретного продолжения решения по параметру). Линеаризованные уравнения равновесия в первом методе на каждом шаге решаются методом начальных параметров.

Научная новизна результатов, полученных в работе, заключается: 1) в разработке методов численного решения нелинейных уравнений статики пространственно-криволинейных стержней, нагруженных силами произвольного направления;

2) в разработке алгоритма определения проекций произвольной внешней нагрузки в связанных осях с учетом зависимости нагрузки от деформированного состояния стержня;

3) в решении ряда новых прикладных задач, имеющих практическое значение.

Практическая ценность заключается в разработанной методике расчета пространственно-криволинейных стержней, нагруженных произвольно направленными силами с обратной связью, когда они зависят от деформированного состояния стержня. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы для расчета и проектирования широкого класса упругих стержневых элементов машин и приборов. Основные теоретические результаты работы используются в учебном процессе.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью сформулированных задач, принятых расчетных схем и моделей и адекватных этим моделям.уравнениям статики гибких упругих стержней. Достоверность расчетов подтверждается совпадением результатов, полученных с помощью двух численных методов, а также совпадением результатов некоторых тестовых задач с имеющимися данными в литературе.

Внедрение. Результаты, полученные в диссертации,- могут быть использованы в учебном процессе при чтении лекций по специальным дисциплинам, входящим в программы подготовки инженерсз ряда машиностроительных специальностей.

Апробация работы. Основные результаты работы были изложены:

1) в докладе " Статика и динамика поджатых цилиндрических пружин в инерционном поле" на научно-технической конференции молодых ученых и специалистов факультета " Робототехника и комплексная автоматизация" МВТУ им Н.Э. Баумана 26 мая 1988 г.;

2) в докладе " Теория и методы компьютерного моделирования задач :татики стержневых пространственно-криволинейных элементов, взаи-«юдействующих с потоком воздуха или жидкости" на Второй Международной научно-технической конференции " Актуальные проблемы Фундаментальных наук", Россия, Москва, 24-28 января 1994 года, МГТУ 1М. Н.Э. Баумана;

5) на конференции, посвященной Межвузовской Научно-технической 1рограмме "Динамика, прочность и надежность машин, приборов и сонструкций", 23-25 февраля 1995 года, МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в трех ючатных работах .

Объем работы. Диссертационная работа состоит из предисловия, грех разделов (глав), приложения, списка используемых источников га 77 наименований. Работа содержит 457 страниц машинописною текста, 62 рисунка, 5 таблиц.'

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. В предисловии обосновывается необходимость разработки теории и методов расчета элементов конструкций, сводящихся к расчетной схеме гибких стержней, нагруженных инерционными и аэродинамическими силами произвольного направления, дается краткий обзор работ отечественных и зарубежных авторов, наиболее близких к теме диссертации. Формулируются основные задачи и обосновывается актуальность темы диссертации.

В первой главе приводятся основные уравнения равновесия пространственно-криволинейных стержней. В безразмерном виде они представляют собой следующую систему уравнений :

2>| + 5.xQ + ? cT(F -<8f») = О - (i)

é^ 4- ^ хЙ + Q. ♦'Йиа-Е^-о; (2)

Й = А ); А-- Го L

II с о

где Q. и И - соответственно вектора внутренних сил и моментов, <\, - внешняя^ распределенная нагрузка, jM - внешний распределенный момент, - соответственно внешние сосредоточенные сила и момент, приложенные в сечениях с координатами £р и , <Г -функция Дирака, А Ц - жесткости при кручении и изгибе (А„= GIk ■ Д2г -Б1у2 , А« - Е ; где Е ,G - модули упругости соответственно первого и второго рода. 1-зсг , моменты инерции сечения стержня относительно главных осей xz - Хк- геометрическая характеристика сечения при кручении), вектор перемещений;

эЬ - вектор к|>иви;"! Z at^ е^ ); - вектор начальных кривизн ( ъ^о'* jfj-a^o е,-); L ¿ - некоторые матрицы размера [3*3], элементы которых зависят от углов ; ^^ - элементы матрицы L .

(5)

Л

Исследование равновесия стержня удобно проводить, используя уравнения в проекциях на связанные оси. Кроме того, в связанных осях компоненты ^ и И;, векторов и |Ч имеют четкий физический смысл ( 0 4 - осевая сила, $г и Фз - перерезывающие силы, И4 - крутящий момент, Мг и М3 - изгибающие моменты).

В уравнения (1),(2) входят внешние силы и моменты . Эти уравнения справедливы для больших перемещений стержня под действием внешних нагрузок, поэтому необходимо учесть возможное поведение внешних сил в процессе нагружения стержня. Наиболее простыми являются случаи поведения внешней нагрузки, когда нагрузка "мертвая" или когда она "следящая". В прикладных задачах поведение нагрузки при деформировании стержня может быть и более сложным (например, сосредоточенные силы, следящие за фиксированной точкой или линией в пространстве, или распределенная аэродинамическая нагрузка, возникающая при взаимодействии стержня с потоком воздуха или жидкости и т. д.).

Поведение внешней нагрузки играет основную роль при определении напряженно-деформированного состояния стержня. Рели внешняя нагрузка "мертвая" и постоянная по модулю, а уравнения равновесия записываются в проекциях на неподвижные (декартовые) оси в базисе то проекции сил ^х^^х^Ру^^] не зависят от деформированного состояния стержня. Если внешняя нагрузка следящая и постоянная по модулю, а уравнения записываются в связанном базисе [ё^ .то проекции <\\. , ( М; также не зависят от от деформированного состояния стержня. Во всех остальных случаях при записи проекций внешней нагрузки в рассматриваемой системе координат необходимо использовать матрицы перехода от связанного базиса деформированного стержня к декартовому неподвижному базису и наоборот. В последующих главах рассмотрены задачи статики, когда действующие на стержень силы нельзя отнести ни к мертвым, ни к следящим, что осложняет их решение , так как проекции сил на оси (неподвижные и подвижные) зависят от перемещений точек осевой линии стержня и от углов поворота связанных осей. Методы учета поведения сил при нагружении подробно изложены во второй главе.

Частный случай уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня, когда компоненты векторов перемещений Ч* и углы поворота , а также приращения кривизн можно считать малыми величинами:

¿В •+ А* М + (7)

д*^=0-, (8)

$ 4 + =0; <9>

где , А Р, л - приращения векторов внешних сил, завися-

щие от перемещений точек осевой линии стержня и углов поворота связанных осей.

Во второй главе рассматриваются линейные и нелинейные задачи статики стержней, нагруженных произвольными по направлению силами.

В начале главы рассмотрена лине..лая задача, имеющая прикладное значение при расчете упругих элементов акселерометров. На цилиндрическую пружину, являющуюся чувствительным элементом прибора, например, акселерометра, с присоединенной сосредоточенной массой М , которая ьюжет перемещаться только в _направлении оси ЭС^ (рис.1) действуют распределенные силы инерции ^ , в общем случае не' совпадающие по направлению с осью эс^ . Если считать пружину безмассовой, то никаких дополнительных смещений точки 04 по оси не будет. При учете массы пружины появляются дополнительные смещения, - которые вносят погрешность (если они не учтены) в показания прибора.

екций. вектора на оси координат, связанные с осевой линией винтового стержня и 2) определения напряженно-деформированного состояния пружины) которое необходимо как для определения смещения точки 0.1 по осиэСд, так и для определения напряжений, возни-

кающих в пружине. Задача рассматривается в линейной постановке.

При высокоточных расчетах необходимо учитывать массу пружины, чтобы показания акселерометра были максимально точными. Поэтому задачу можно сформулировать следующим образом: определить дополнительные осевые ( по оси 2С± ) смещения точки 04 цилиндрической пружины, -нагруженной произвольной по направлению распределенной "мертвой" нагрузкой.

Для чирленного решения уравнений равновесия, содержащих . элементы £-1} матрицы , необходимо знать, как они зависят от безразмерной дуговой координаты £ ( = (&) ). Поэтому рассмотрим коротко алг'оритм получения элементов матрицы , зависящих от £ . Для этого уравнение винтовой линии было представлено в параметрическом виде :

где ^ - параметр осевой линии.

Выразим параметр через длину дуги Е :

(11)

Поэтому:

Безразмерные координаты точек осевой линии стержня:

Радиус-вектор Ъ и его первая производная соответственно равны : _

С другой стороны, единичный орт , выраженный через проекции на декартовы оси : — Оо — » о т о" ~

е<0= {_<< И + ^ * М5 1^3 ,

где - элементы матрицы 1Г преобразования базиса [X \ к базису . Таким образом, первые три компоненты матрицы из-

вестны:

о

* ^-Цои ^ С - Ь V с« у £'; 1лг - В^с^Г .

Воспользовавшись формулами Серре-Френе , определяющими выражения для производных единичных векторов базиса можно получить,

все остасшиеся компоненты матрицы_1_ 1<

■ ч«» в

о

Со' I

. Она выглядит так:

сг, I у

- cos ЛоI

где = £2ТГ 1 , X - число витков пружины.

В таблице приведена погрешность показания прибора в зависимости от отношения массы пружины И1П(>к массе груза И . Погрешность определялась из соотношения: Ы-ХЧ -

Л =

-10 0%

и-хл ■ - - >

где ЬЦ,- перемещение массы вдоль оси ^л. с учетом инерционности пружины, и^- перемещение массы без учета инерционности пружины.

ШОрр м 0. 0287 0.051 0. 204 0.319 0.459 0.625 0.816 1.03

А% 1.41 2.47 9.2 13.66 18.56 23. 7 28.84 33.9

Далее во второй главе коротко излагается алгоритм численного решения нелинейных уравнений равновесия стержня методом последовательных нагружений.

Решая нелинейные уравнения (1)-(5) методом последовательных нагружений, получим на И! -ом шаге шага линейную систему обыкновенных дифференциальных, уравнений, которая в векторной форме записи имеют вид (где ]2> < 1 - коэффициент, показывающий, какая доля нагрузки приходится на один шаг нагружения):

Г/МЛЛ - л^-'УсЛ .Т/^ЛЛ

где

А

уПг) = - Ъ) -Г7*)

уО-Л,

(14)

м

л?

.Ст "'">

А» А*.

О О

Аопп-^ 1-1

,0 А

. -л

А* -V Ам • А - А~ О

, иг

О О

С/о-О

Аэе

> |'Т

О О О

дГ'

J -вектор, зави^ящиД от внешней нагрузки. Элементы матриц ^а определяются из результатов вычис-

лений на предыдущих шагах нагружения. Решение уравнения (14):

Задачи статики стержней.является двухточечными краевыми задачами. Компоненты вектора С находятся из краевых условий при £ = 0 и £ = 1, что дает при определении компонент вектора С0"1' два уравнения:

У По) - С

— (уМ~)

(16)

5 (17) двенадцать

= ГУ^С^ + УГ'П").

Уравнения (16)-(17) дают возможность определить

ЯО'ч)

компонент вектора начальных параметров V- .

Также во второй главе исследуется вышеизложенным численным методом НДС цилиндрической пружины с переменными углом подъема витков при поджатии и при действии распределенной инерционной нагрузки (рис. 2а).

Рис. 2.

Уравнение винтовой линии описывается в -параметрическом виде (развертка прулсины на плоскость показана на рис. 26):

+ V 1 (18)

•х,(«$у и^'и^ Св.»-в/О ;

где Вт и ii- некоторые постоянные, определяющиеся из граничных условий при Е- - 0 =o¿0 , при £ = 1 oí -dj, При этом кривизна и кручение винтовой линии как функции центрального угла принимают следующий вид:

'/Le? (19)

На рис. 3 представлена упругая характеристика пружины при кинематическом растяжении и сжатии при следующих числовых характеристиках: диаметр пружины D =100 мм, диаметр проволоки cL =1 мм, число витков X =3, cí0 =40 град. =6 град, VI - высота пружины, Ux^- перемещение конца пружины в осевом направлении.

0$ /S // /

0,15 /'

-0,2. 0 -0,2.5 0,4

У/ // -0,5

Рис. 3.

В третьей главе диссертации исследуется статика пространственно-криволинейных трубопроводов при взаимодействии с внутренним и внешни! потоками жидкости. Основная сложность задач взаимодействия стержней с потоком заключается в том, что отсутствует необходимая информация об аэродинамических силах, которые зависят как от профиля обтекаемого стержня, так и от ориентации осевой линии стержня относительно направления потока. При больших скоростях потока равновесные формы стержней с малой жесткостью могут л сильно отличаться от естественных форм, что приводит к нелинейным задачам статики стержня в потоке. Обычно при рассмотрении статики стержня в потоке подразумевается, что обтекание стержня потоком

является стационарным (без срывов), что справедливо только в определенном диапазоне скоростей потока для стержней круглого поперечного сечения и стержней с обтекаемым профилем.

В монографии В. А. Светлицкого " Механика стержней" т.1 подробно изложена методика определения аэродинамических сил, действующих на стержень со стороны внешнего потока. Система уравнений равновесия трубопровода, взаимодействующего с внутренним потоком жидкости, отличается от исходной системы уравнений (1)-(5) только первым уравнением для внутренних сил, которое выглядит следующим образом:

(20)

где Р0(Ч /(о); Р,/- _ размерная сила внутреннего давления. р,- давление жидкости,Р - площадь просвета сечения трубопровода, V/« ¡^с - соответственно безразмерная и размерная' скорость движения жидкости внутри трубки ( \л/с = и/ее IV1 /(щ <+щ г") ), Пл - /(\Мл + №:>.") ; - погонная масса трубопровода, Мг - масса жидкости, приходящаяся на единицу длины трубопровода; + - погонная сила веса трубопровода с жидкостью;

<\ - распределенная аэродинамическая сила. Необходимо заметить, что если трубопровод с внутренним потоком жидкости находится во внешнем потоке жидкости, то в этом случае погонная сила веса трубопровода будет определяться с учетом выталкивающей архимедовой силы следующим образом:

Цр-грГ^-?*") + ~ ,

где^тр- площадь кольцевого сечения трубопровода; - плотность материала трубопровода; - плотность жидкости внутри трубопровода; - плотность внешнего потока жидкости. При выводе данного уравнения было сделано допущение, что стержень заполнен стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Сформулировэ"ная нелинейная задача взаимодействия трубопровода с внешним :: внутренним потоком жидкости решалась, наряду с вышеизложенным' методом последовательных нагружений, также методом дискретного продолжения решения по параметру. Этот метод позволяет решить исходную нелинейную систему уравнений равновесия стержня (1)-(5) без предварительной линеаризации. Было решено две прикладные задачи. ' ■

В первой задаче определяется НДС винтового цилиндрического

трубопровода (змеевика) и его новые равновесные формы при взаимодействии его с внешним и внутренним потоками жидкости (рис.4). Также был рассмотрен змеевик с промежуточной опорой. Геометрия цилиндрического трубопровода характеризуется следующими параметрами: 1) средний диаметр витка - D ; 2) средний диаметр трубки - d. ; 3) толщина стенки, трубки - <Г ; 4) угол подъема витков -о(0 ; 5)число витков - Т.

Характеристики внешнего и внутреннего потоков: 1) скорость внешнего потока, характеризующаяся модулем \V<>\ и направлением, задающимся в декартовых координатах направляющими косинусами CaSjJl , где - углы между вектором V« и координатными осями J^t ; 2) скорость внутреннего потока - W0 ;' 3) давление в потоке - ( принимается постоянным по всей длине змеевика); 4) плотность внешнего потока -^х ; 5) плотность жидкости внутри трубки - . На рис. 5 и рис. 6 представлены соответственно

формы равновесия и график эквивалентного напряжения для змеевика со следующими характеристиками (без опоры и с промежуточной опорой при Соп -0,5): D "50 ¡ мм, d -5 мм, ot„ =30°, Т -10AV»\ »2,5 м/с, -Wc ю, |Ц =90°. О0,1 ^ -90°, S" =0,3 мм, ^ х = $2 =1000 кг/м3. Из анализа графиков напряжений видно, насколько уменьшаются напряжения при использовании промежуточной опоры.

Во второй задаче определяется поведение резинокордного трубопровода (шланга), заполненного потоком жидкости и провисающего • г i внешнем потоке (рис.7). Реальный шланг имеет отличные от нуля жесткости, что следует учитывать при расчетах. Как правило, в работах, посвященных статике и динамике шлангов, заполненных жидкостью и находящихся в потоке, они рассматриваются как абсолютно гибкие стержни.

Для оценки жесткости шланга считалось, что эквивалентное значение изгибной жесткости шланга(Е1*)е есть сумма жесткостей на изгиб отделы .jx слоев структуры. Отдельные слои рассматривались как однородные концентрические цилиндрические оболочки и в процессе изгиба влиянием их друг на друга пренебрегалось. Аналогично с жесткостью на кручение. Таким образом:

Ь « afá&i^-tj •

где Ej : модуль упругости первого рода в осевом направлении j-12

0,5 1,0

Рио.5.

Рис.6.

1 £

d5

- ого слоя ( в случае упрочняющего слоя - это величина модуля, характеризующего структуру слоя в осевом направлении), в] - модуль упругости второго рода j -ого слоя , - момент инерции поперечного сечения ^ -ого слоя, -Ь^- толщина ] -ого слоя. Начальная геометрия провисающего трубопровода всилу его малой жесткости представляет собой цепную линию.

На рис. 8 и рис. 9а и 96 приведены соответственно форма равновесия и внутренние силы и моменты трубопровода со следующими характеристиками: длина = 30 м, диаметр среднего слоя резины Эр =0,28 м, средний диаметр корда =0,28 м, толщина слоя резины "Ц =0,03 м, толщина слоя корда -0,009 м, модуль упругости первого рода для резины: Нр =10 МПа; модуль упругости второго рода для резины: & р =3, 4 МПа; модуль упругости первого рода для корда в осевом направлении: Ек =2,8- 10* МПа, модуль упругости второго рода для корда = 4,6 "ЮгМПа.

Основные выводы по работе.

1). Разработана методика исследования нелинейного деформирования пространственно-криволинейных стержней при больших перемещениях, вызванных распределенными силами произвольного направления.

2). Изложен алгоритм исследования напряженно-деформированного состояния пространственно-криволинейных стержней под действием "мертвой" инерционной нагрузки с определением проекций вектора распределенной нагрузки на оси координат, связанные с осевой линией стержня, и элементов матриц преобразования единичных векторов в зависимости от дуговой координаты.

3). Разработаны методы исследования НДС и новых равновесных форм пространственно-криволинейных стержней (шлангов с учетом изгибной и крутильной жесткости) при взаимодействии их с внешним и внутренним потоками жидкости.

4).Изложены два численных метода решения двухточечной краевой задачи статики стержней: метод последовательных нагружений и метод продолжения решения по параметру в дискретной постановке.

5). На основе теоретических результатов и разработанных численных методов решен ряд прикладных задач:

а) задача определения ■ погрешности показаний акселерометра, вызванных к^учетом инерционности пружины;

б) задача определения НДС цилиндрической винтовой пружины с переменным углом подъема витков при действии на нее "мертвой" инерционной распределенной нагрузки и при принудительном поджатии;

в) задача о взаимодействии винтового цилиндрического трубопровода (змеевика) с внешним и внутренним потоками жидкости ( с учетом и без учета промежуточной шарнирной опоры);

г) задача исследования поведения резинокордного трубопровода, провисающего в потоке жидкости и взаимодействующего с внутренним потоком и определение новых равновесных форм при различных характеристиках внешнего потока.

По тёме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Светлицкий В. А..Наумов А.И. Определение напряженно-деформированного состояния цилиндрической пружины, нагруженной распределенными силами произвольного' направления // Расчеты на прочность (И.). .-1990. -Вып.29. -С.50-55.

2. Наумов A.M. Нелинейная задача статики винтовых стержней при произвольных нагрузках // Вестник МГТУ. Машиностроение. -1991. -N1. -С. 21-29.

3. Наумов A.M. Определение напряженно-деформированного состояния винтового трубопровода, находящегося в потоке жидкости или воздуха // ИВУЗ. Машиностроение. -1993. -N3-5. -С.18-23.

Тип. МГТУ им. Н. Э. Баумана "

Тира» 100 экз. Объем 1 п. л. Заказ 270

Подписано в печать 2S.iO.96