Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005006788

Васина Марина Владимировна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-КРИВОЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Специальность 01.02.04- Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

Тула-2011

005006788

Диссертация выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель -Официальные оппоненты -

Ведущая организация -

доктор технических наук, профессор Грязев Михаил Васильевич доктор физико-математических наук, фессор Пеньков Виктор Борисович, доктор физико-математических наук, фессор Шоркин Владимир Сергеевич Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь

про-

про-

Защита диссертации состоится « ¿ » 2012 года в'0.00 на

заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина, 92, ауд. 12-303.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан » 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ~ Л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Многие прикладные задачи различных областей науки и техники связаны с исследованием состояний стержней с пространственно искривленной осью. Это прочностной анализ конструкции каркаса летательных аппаратов и судов, элементов жесткости антенных систем, несущих элементов нестандартных строительных конструкций, расчет систем амортизации, в которых используются различного рода пружины (цилиндрические или конические) и т.п.

В настоящее время одним из перспективных прикладных направлений является биомеханика, в рамках которой большое внимание уделяется изучению прочностных характеристик элементов костно-мышечного аппарата животных и человека при вибрационных, ударных и других видах внешней воздействий.

Прикладным проблемам динамики стержней посвящено множество работ, например в работах Алешина А.Я., Грудева И.Д., Светлицкого В.А., Гордона В.А. рассматриваются задачи о пространственных криволинейных стержнях; Григолюк Э.И., Селезов И.Т., Кузнецов Л.И. рассматривают различные подходы к анализу прямых стержней с переменными вдоль длины параметрами поперечного сечения. Несмотря на всестороннюю проработку методов исследования стержней можно отметить, что на сегодняшний момент нет методики, позволяющей целостно представить движение пространственно-криволинейного стержня с переменным сечением при произвольных динамических воздействий кроме дискретных методов (например, в работах Болотина В.В., Григорьева В.Г., Шмакова В.П., Постнова В.А., Пшеничнова С.Г. и др.).

Для решения задач о динамическом поведении вязкоупругих тел в настоящее время используется метод модального анализа (модального разложения). Его преимуществом является возможность использования как аналитических, так и дискретных моделей, слабая зависимость от характера внешнего воздействия. Для реализации метода применяется разложение движения вязкоупруго-го тела по модам колебаний - функциональному базису, составляемому формами свободных колебаний упругого тела. Удобство этого базиса в том, что он представляет собой полную ортогональную систему функций, что упрощает технику разложения. Ориентируясь на использование именно этого метода для анализа динамического поведения костей, следует отметить, что особую важность приобретает разработка методов решения упругой задачи о свободных колебаний. Изложенное позволяет сформулировать цель работы: разработка метода решения проблемы свободных колебаний пространственно-криволинейного упругого стержня.

Предметом исследования является пространственно-криволинейный упругий стержень.

Научная новизна состоит в следующем:

- предложен метод последовательных приближений для решения системы уравнения состояния стержня с переменными коэффициентами, отличающейся тем, что за начальное приближение принимается решение задачи для криволинейного стержня с постоянными параметрами и исследована его сходимость в зависимости от параметров геометрии оси;

- определены спектры свободных колебаний для стержня с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом..

Достоверность и надежность основных научных и практических результатов обоснована использованием классических апробированных методов механики деформируемого твердого тела и строгого математического аппарата.

Практическая значимость работы заключается в разработке универсального алгоритма анализа динамических состояний произвольно-криволинейных стержней и решением некоторых практических задач

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались автором на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе на:

-12, 13, 14, 15, 16, 17 зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999г., 2003г., 2005 г., 2007 г., 2009 г., 2011 г.);

-LVII Научной сессии «Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова», посвященной дню радио (г. Москва, 2002 г.);

-двенадцатой и тринадцатой межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2002-2003 гг.);

-международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2003, 2005-2007, 2011 гг.)

Публикации: по теме диссертации опубликовано 20 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 118 страниц машинописного текста, 29 рисунков, 5 таблиц. Общий объем диссертационной работы 129 страницы. Библиографический список включает 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Сформулированы цели и задачи данной работы. Приведена аннотация содержания глав диссертации.

В первом разделе описывается математическая модель колебаний пространственно-криволинейного стержня.

Рассматривается пространственно-криволинейный стержень, ось которого считается известной пространственной кривой, заданной параметрическим уравнением r(s), где г — радиус-вектор, я - дуговая координата, отсчитываемая

от произвольно выбранной начальной точки. Длина стержня предполагается конечной. Стержень предполагается тонким, то есть наибольший размер поперечного сечения О считается на один - два порядка меньшим, чем наименьшая из геометрических характеристик оси:

£> = (0.01...0.1)шД£,1/к^, 1/гП1К), где ктш, Гиах - наибольшая кривизна и наибольшая крутка оси стержня. Материал стержня считается линейно-упругим, деформации - малыми. Модель стержня строится на основании гипотез Бернулли

1. Плоские поперечные сечения стержня остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформирования и не изменяют поперечных размеров.

2. Волокна, эквидистантные оси стержня, не надавливают друг на друга. Следствием ее является отсутствие нормальных напряжений на площадках с нормалями, лежащими в плоскости поперечного сечения.

Тогда деформация растяжения/сжатия волокна, проходящего через точку с координатами {у, -) поперечного сечения, определяется так:

е = и'-к-у-у-(у' + к-и-т -мО'-г-(У + т -V)'

Это уравнение учитывает как растяжение/сжатие, так и изгиб. Выражения, стоящие в скобках перед координатами имеют геометрический смысл углов поворота относительно векторов бинормали Ь и нормали п естественного трехгранника:

Зь = у' + к ■ и - х ■ и1; 3„ = V + IV

Сдвиговую деформацию определим линейным соотношением, характерным для технической теории кручения стержней:

с15, ГТ7Т

Система уравнений, описывающая движение стержня, представляет собой совокупность дифференциальных уравнений движения, геометрических уравнений и уравнений связи между кинематическими и силовыми параметрами напряженно-деформированного состояния. Так как рассматривается задача о свободных колебаниях, то внешние нагрузки отсутствуют:

— = <2„-к+и-р-Л; ИЯич-Ы-к + Оь-т + а-р-А

5$ дх

М = + р.а = +

& о.г >

du _ ds ~ d9t ds

N , dv

-+ к ■ v; — =

E ■ A ds

9b - к -и + т ■ w;

dw äs'

G-J,

dS'„ ds

E ■ J„ ' ал

мъ Е-А

где а, у, те - перемещения точек оси стержня, 9,, 9„, — углы поворота сечения, N - растягивающая сила, <2„,<2Ь — перерезывающие силы, М,,М„,МЬ - крутящий и изгибающие моменты.

Для определения форм свободных колебаний предположим, что все кинематические и силовые факторы изменяются во времени пропорционально множителю е'ш, где со - частота свободных колебаний. Тогда для амплитуд внутренних силовых и кинематических факторов, исходя из (1) имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

М „ , 1 2

— = <?„ • к- р- Л-т -и ds

%k = -N.ic + Qb-г-р- А-со2 -v ds

ds

du N

— =-+ k-v

ds E-A

= 9b-k -u + T-w = Ä,-r-v

dMt ds

ds

---M,-k + Mb-T +öb - Jn p-m2 - 91

ds

■ = -M„-T-Oa-Jb-p-e>2-9l

dv ds dw ~ds d9t _ M, ds G ■ Jt

ds E J „ d9b _ Mb ds E ■ J h

(2)

Систему уравнений (2) необходимо дополнить однородными условиями на краях.

Система дифференциальных уравнений (2) и граничные условия однозначно определяют формы свободных колебаний.

Отметим, что для систем уравнений этого типа известен общий вид решения задачи Коши:

j>(s,iö) = V(S,O)J>0(üj), (3)

где y(s) - вектор неизвестных функций, V(.s) - матрица фундаментальных решений (матрица влияния), уо - вектор начальных условий (начальных параметров). Для сформулированной краевой задачи можно использовать такое же представление, если указать способ определения параметра со и вектора >'о таким образом, что будут удовлетворяться однородные краевые условия в начале и конце стержня.

Предположим, что фундаментальные решения - линейно-независимые функции — известны с точностью до параметра со и тем самым определена матрица влияния. В соответствии с характером граничных условий известны шесть

компонент вектора начальных параметров: они равны нулю; тем самым автоматически выполняется половина граничных условий. Шесть компонент вектора начальных параметров и параметр со пока остаются неопределенными; для их определения используем граничные условия на конце стержня, при

у(Ь,ш) = 06=ЩЬ,аШо>)- (4)

Здесь 06 - нулевой вектор из шести компонент, соответствующих однородным граничным условиям на конце стержня, у0(ш) - вектор, составленный из неопределенных начальных параметров, - матрица, полученная из матрицы влияния столбцов, соответствующих заданным в начале стержня параметрам, и строк, для которых неизвестны условия на конце стержня. Так как для фиксированного со матрица влияния постоянна, то (4) есть однородная система линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных компонент вектора начальных параметров. Она имеет нетривиальные решения только в том случае, когда ее главный определитель равен нулю, т.е. система имеет неполный ранг. Тогда для определения параметра со имеем частотное уравнение:

с1е1{^(£,су)} = 0. (5)

Так как даже при постоянных параметрах системы дифференциальных уравнений ее фундаментальные решения выражаются через трансцендентные функции (экспоненты вещественного, мнимого или комплексного аргумента), то и (5) будет трансцендентным уравнением; оно имеет счетное множество корней, образующих спектр свободных колебаний стержня. В общем случае такое уравнение можно решить только численно, например, методом половинного деления.

Когда спектр определен, то неопределенные начальные параметры определяются как нетривиальные решения (4). В некоторых простейших случаях такие решения можно найти аналитически, а в общем случае - приближенными методами, например, методом обратной итерации. Объединяя полученные собственные векторы с нулевыми значениями, соответствующими заданным начальным параметрам, получаем счетное множество векторов начальных параметров к = 1,2,3..., каждый из которых определяет одну форму свободных колебаний (моду), соответствующую собственной частоте со*. Построить форму колебаний для дальнейшего использования теперь можно по формуле (3).

Во втором разделе рассматривается численно-аналитический метод решения уравнений состояния для свободных колебаний пространственно-криволинейного неоднородного стержня. Для удобства анализа состояний система дифференциальных уравнений приводится к безразмерному виду и записывается в матричной форме:

^ = [А0-А1(^ + [М0-М1(^)Й (6)

од дт

где введен вектор состояния

= а, Оь М, мп Мь и V ТУ в, в„ вь} и безразмерные параметры:

Ь£ = л; Ьс1Е = сЬ: , , г ,

Ей3 рМ, = М,; Ей3рмп = Мп; ЕОърЙь = Мь,

о- ° 1 [Ё

Ь Цр

Для переменных по длине геометрических характеристик поперечного сечения стержня введено представление:

Ж£) = О2я(а0)[1-</>а(£)1 = 2 =

Решение уравнения (4) должно удовлетворять начальным и краевым условиям, о которых было сказано выше.

Так как свободные колебания криволинейного упругого стержня совершаются по гармоническому закону:

= (7)

где О — частота свободных колебаний, то из (4) получим уравнение для определения форм свободных колебаний:

|^={А0-О2М0 + А1(£)-П2М1(£)У. (8)

Компоненты вектора состояния У должны удовлетворять двенадцати однородным краевым условиям, шесть из которых заданы в начале стержня (4 = 0) и шесть - в конце стержня (£, = 1). Рассмотрим способ определения фундаментальных решений последней системы уравнений.

В изображениях по Лапласу (8) имеет вид интегрального уравнения:

СО

{р1-А0 + П2М0)1'*(ш)-Г(0)= |^;-а2м;}ш-_-)Г*(г)</: (9)

—СО

Здесь I - единичная матрица 12-го порядка, р - параметр преобразования.

Для решения этого уравнения сформулируем процедуру последовательных приближений:

1-1 1 (Ю)

Уо(р)=У'0(р,П)¥(0).

Здесь

О(р,О) = р1-А0+а2М0; У'0(,р,П) = &1(р,О.). (11)

Для определения оригинала начального приближения, очевидно, необходимо найти оригинал матрицы У0*(р, О).

Тогда, после использования теоремы свертки, в оригиналах получим:

к=1

# ( 12) ДУ, (£,£!) = |У0(^-г,а)В(г)ДУ,ч(-,П)^, к = 1,2,3...; о

Доказана сходимость суммы (12) по спектральной матичной норме.

Для демонстрации сходимости последовательных приближений рассмотрена задача о свободных колебаниях стержня с осью в виде логарифмической спирали и линейным подъемом, параметрические уравнения которой имеют вид:

где (р - полярный угол.

Расчеты показали, что безразмерные кривизна и крутка не зависят от начального радиуса Л; поэтому для исследования были выбраны безразмерные независимые параметры т и с/Я

Для исследования принят стержень, охватывающий полукруг (ф*=7г), круглого поперечного сечения с Л=0.25 м с отношением Ш=0.1, что позволяет считать стержень тонким. При вычислениях в безразмерной форме существенен только коэффициент Пуассона, принятый равным 0.2.

Рассмотрим изменения норм матриц влияния начального и первого приближения от параметров т и а при различных параметрах На рис. 1, 2 показаны линии уровня отношения эвклидовой нормы матрицы начального приближения к ее максимальному в области изменения параметров значению.

На рис. 1.. .4 приведены линии уровня отношений нормы поправок первого приближения к норме начального приближения. Отчетливо видно, что с увеличением параметра О. это отношение убывает от больших значений 30...40 при £2=0.01 (рис. 1) до пренебрежимо малых 2-10"8...2-10"9 при 0=10 (рис.4). Это свидетельствует о возможности ограничить количество приближений в зависи-

1МЩ§!

я

|рр

ТмШш -Як

1

Безразмерная частота = I

1

0.

Рис. 1. Отношение нормы Рис. 2. Отношение нормы

поправки первого приближения поправки первого приближения

к норме начального приближения

Безразмерная частота = 5

к норме начального приближения

^гагао* \ З-ИЗЮ"'

421Ю4 \ Ч, ^ \ \

Рис. 3. Отношение нормы Рис 4 Отношение нормы поправки первого приближения поправки первого приближения

к норме начального к норме начального

приближения приближения

мости от значения собственной частоты. Критерием выбора количества приближений может служить предварительный расчет спектра начального приближения. Если первые, младшие безразмерные частоты спектра, малы (<1), то для их вычисления требуется 2..3 приближения. Если же величина члена спектра лежит в пределах 1<0<10, то достаточно первого приближения. При значениях 0>10 для оценки частот достаточно начального приближения.

Такие же исследования были проведены для стержня с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом. Результаты исследований аналогичны предыдущим: при значениях частоты свободных колебаний, больших 1, доста-

точно первого приближения, для частот, больших 10 - можно обойтись начальным приближением. При малых частотах количество приближений 2.3.

Рис. 5. Зависимость первой

Рис. 6. Зависимость второй

собственной частоты от конечного значения полярного угла и

собственной частоты от конечного

значения полярного угла и

коэффициента Пуассона. Сплошная линия - консоль, штриховая -

коэффициента Пуассона. Сплошная линия - консоль, штриховая - заделка, штрих-пунктир - шарнир. Маркер-ромб: у=0.15; квадрат - ^=0.3; круг -

заделка, штрих-пунктир - шарнир.

Маркер-ромб: 15; квадрат - у=0.3;

круг - 1^=0.45

1=0.45

Обобщая результаты исследований сходимости, можно утверждать, что определение спектра свободных колебаний трехмерно-криволинейного стержня следует начинать с построения спектра начального приближения, который позволит определить необходимое количество приближений. Отметим, что конкретная форма оси стержня слабо влияет на сходимость процесса. Приведенные результаты справедливы, по крайней мере, для стержней с отношением наибольшего размера поперечного сечения к длине порядка 0.1.

В третьем разделе рассматривается определение форм свободных колебаний пространственно-криволинейных стержней с переменными коэффициентами с помощью описанной выше методики.

В качестве объекта исследования выбран стержень с осью в виде логарифмической спирали со следующими характеристиками: т=0.2, с//?=0.2, круглое сечение. Диаметр сечения выбирался из условия постоянства удлинения стержня 1/р=1/й?, длина стержня £ определялась значением полярного угла в конце стержня ф. Исследовались зависимость частот свободных колебаний от конечного угла и коэффициента Пуассона.

Значения параметра р принимались такими, чтобы стержень можно было считать тонким: р=0.001; 0.05; 0.1. Для коэффициента Пуассона принимались три значения: 1^=0.15; 0.3; 0.45.

Принимались три варианта условий закрепления стержня: консольное закрепление м(0)=у(0)=и>(0)=0; 6>,(О)=6>И(О)=06(О)=О; М,(Ь)=Мп(Ц=Мьа)=0; ЩЦ=дп(1)=<2ь(Ь)=0; заделка по двум концам: м(0)=т;(0)=и'(0)=0; 0,(О)=0я(О)=вь(О)=О; «(¿)=у(1)=м<£)=0; в,(Ц=вп(Ь)=вь(Ь)=0- шарнирное закрепление: и(1)=у(1)=м<£)=0; <9,(0)=0; М„(Ь)=Мь{Ь)=0; Щ,)=0.

I................................................................. .......

-я

Рис. 7. Консольный стержень - первое собственное состояние. 0-1.418

Для каждого варианта граничных условий и сочетаний параметров вычислялись первые три безразмерные частоты свободных колебаний. Установлено, что для принятого варианта определения диаметра поперечного сечения значения безразмерной частоты не зависят от параметра /?. Зависимость от коэффициента Пуассона приведена на рис. 5, 6. Аргумент графиков - конечное значение полярного угла, отнесенного к числу л.

Для исследованных параметров были построены зависимости характеристик состояния стержней от полярного угла. Совокупность 12 кинематических и силовых безразмерных параметров, соответствующих определенной частоте свободных колебаний, в дальнейшем называется собственным состоянием. Собственной формой следует называть зависимость компонент вектора перемещения и, V, м/. Собственные формы нормированы в смысле:

|«| = 4и2 +у2 +и>2 =1,

остальные величины вычислялись с учетом нормирования перемещений. Далее приводятся собственные состояния нескольких вариантов стержня. На всех рисунках маркерами показаны величины, соответствующие начальному приближению. Приведены первое и второе собственные состояния консольного

АЬ — АЛ *ЛЮ ■АЬО

- АпО

Рис. 8. Консольный стержень - второе собственное состояние. ,П=2.222 стержня.

Из рис. 7 видно, что среди кинематических и силовых факторов состояния можно выделить доминирующие. Так, среди перемещений доминирует поперечное м1, среди углов поворота - угол закручивания в,. Среди силовых факторов доминирует крутящий момент и поперечная сила, соответствующая доминирующему перемещению. Это означает, что при предварительном расчете на прочность достаточно учесть только доминирующие силовые факторы. Классификацию состояний стержня также можно проводить по доминирующим факторам. Например, состояние рис.7 можно называть изгибно-крутильным, а состояние рис. 8 - изгиб с растяжением. Из наличия доминирующих факторов можно заключить расчеты на прочность можно производить только по доминирующим силовым факторам.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Общая постановка задачи о свободных колебаниях пространственно-криволинейного упругого стержня с переменными параметрами сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 12 порядка с переменными коэффициентами относительно собственных состояний; она может быть решена методом последовательных приближений.

2. Сформулированы соотношения, позволяющие представить решение краевой задачи для стержня в аналитической форме при известных собственных частотах.

3. Предложен способ определения спектра свободных колебаний, основанный на методе начальных параметров, позволяющем выделить из множества решений краевой задачи модальный базис. Основой метода является выбор начального приближения как решения задачи с постоянными параметрами, выделяемой из основной, что позволяет уменьшить количество последовательных приближений..

4. Исследования сходимости рекуррентных формул, показали, что для стержней с осью в виде логарифмической и архимедовой спирали существует область параметров в которой достаточно первого приближения.

5. Установлено, что безразмерные частоты свободных колебаний пространственно-криволинейного стержня при сохранении удлинения стержня постоянным не зависят от него. Коэффициент Пуассона слабо влияет на безразмерные собственные частоты.

6. В исследованных состояниях выделяются доминирующие кинематические и силовые факторы, что может помочь при проведении расчетов на прочность.

Публикации по теме работы:

1. Васин A.A., Желтков В.И., Желткова М.В. Колебания стержней с криволинейной осью.// В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов», - Екатеринбург: УрО РАН, 1999, - с. 107.

2. Васин A.A., Васина М.В. Суперэлементный подход к анализу динамики подъемно-мачтовых устройств. // В сб. «LVII Научная сессия, посвященная дню радио. Труды», т.1, — М. — 2002, - с. 189-190.

3. Васин A.A., Васина М.В., Желтков В.И. Динамическая модель пространственно-криволинейного стержня. // В сб. «Математическое моделирование и краевые задачи. Труды». — Самара— 2002, - с.33-36.

4. Васин A.A., Васина М.В. Суперэлементный подход к анализу динамики подъемно-мачтовых устройств. // В сб. «LVII научная сессия, посвященная дню радио. Труды». М.: 2002, - с. 189.

5. Васина M.B. Исследование динамического поведения вязкоупруго-го пространственно-криволинейного стержня. // В сб. «Конференция, посвященная 80-летию со дня рождения JI.A. Толоконникова. Тезисы докладов». Тула, 2003, - с. 46

6. Васин A.A., Васина М.В. Определение спектра свободных колебаний упругих неоднородных прямых стержней методом начальных параметров. // В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов», - Екатеринбург: УрО РАН, 2003, - с. 73.

7. Васин A.A., Васина М.В. Свободные колебания упругих непрерывно-неоднородных прямых стержней. // В сб. «Математическое моделирование и краевые задачи. Труды». - Самара-2003, - с.19-21.

8. Васин A.A., Васина М.В., Желтков В.И. Математические модели динамики пространственно криволинейных стержней.// В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов», - Екатеринбург: УрО РАН, 2005, - с. 55.

9. Васин A.A., Васина М.В., Грязева Е.Д., Грязев М.В., Желтков В.И. Моделирование движения опорно-двигательного аппарата человека. // В сб. «Актуальные проблемы механики сплошных сред. Тезисы докладов» Пермь, 2005,-с. 27.

10. А. Vasin, М. Vasina, V. Jeltkov, V. Gordon. Dynamics of lifting-mast devices // «Military Technologies», Stockholm, 2005.

11. Васин A.A., Васина М.В. Вынужденные колебания подъемно-мачтового устройства. // В сб. «23 научная сессия, посвященная 110-летию со дня изобретения радио. Сборник научных трудов». М.: 2005, - с. 103— 106.

12. Васин A.A., Васина М.В., Грязев М.В., Грязева Е.Д. Свободные колебания упругого пространственно криволинейного стержня. // В сб. «Известия ТулГУ». Сер. Механика деформируемого твердого тела. - Тула, ТулГУ, 2006. - С. 106 -110.

13. Васин A.A., Васина М.В., Желтков В.И., Чан Тхань Хай. Анализ динамических состояний криволинейных стержней. // В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей», - Пермь: УрО РАН, 2007,-с. 174.

14. Васина М.В., Грязев М.В., Грязева Е.Д. Конечный элемент для моделирования пространственно-криволинейных стержней. // В сб. «Известия ТулГУ». Технические науки. Вып.2. - Тула, изд. ТулГУ, 2007. - с. 120 -124.

15. Васин A.A., Васина М.В., Ильин И.Ю., Желтков В.И. Суперэлементная модель грудной клетки человека. // В сб. «Механика сплошных сред как основа современных технологий». 16 Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь: Из-во ПНТЦ, 2009, с. 42.

16. Желтков В.И., Васина М.В., Волкова Я.Ю., Ильин И.Ю. Аналитические модели свободных, вынужденных движений и автоколебаний стержней. // В сб. «XVII Зимняя школа по механике сплошных сред». Тезисы докладов. Пермь - Екатеринбург, 2011.

17. Желтков В.И., Васина М.В., Волкова Я.Ю., Ильин И.Ю. Аналитические модели свободных, вынужденных движений и автоколебаний стержней. Труды XVII Зимней школы по механике сплошных сред (Электронный ресурс) - Пермь - Екатеринбург, 2011. Электронный оптический диск. (CD).

18. Грязев М.В., Желтков В.И., Васин A.A., Васина М.В. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела./ Уч. пособие. Часть 1. Статика стержней. - Тула: Изд. ТулГУ, 2011. - 123 с.

19. Васина М.В. Сходимость метода последовательных приближений для анализа состояний пространственно-криволинейных стержней // Вестник ТулГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». T.I7. Выпуск 1. Механика. - Тула: Изд. ТулГУ, 2011 г. - с. 110-114.

20. Васина М.В. Аналитические модели свободных и вынужденных движений стержней // Ученые записки Российского государственного социального университета - 2011 - №9(2). - с. 20-23.

Изд. лиц. JIP № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 28.12.2011. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 070.

Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95

61 12-1/947

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

На правах рукописи

Васина Марина Владимировна

Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных

стержней

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, Грязев М.В.

Тула-2011

Содержание

Введение_3

1. Математическая модель колебаний пространственно- криволинейного стержня_9

1.1. Кинематические соотношения_9

1.2. Дифференциальные уравнения движения криволинейного стержня_17

1.3. Уравнения состояния криволинейного неоднородного стержня 21

1.4. Уравнение свободных колебаний криволинейного стержня _26

2. Метод решения системы уравнений состояния для свободных колебаний пространственно-криволинейного неоднородного стержня_ 31

2.1. Уравнение состояния для свободных колебаний в безразмерной форме _32

2.2. Фундаментальные решения уравнений состояния_36

2.3. Определение спектра свободных колебаний_47

2.4. Реализация последовательных приближений для конкретных стержней_55

2.4.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом_____55

2.4.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом__59

2.5. Алгоритм определения спектра и построения собственных форм 61

3. Определение собственных частот и состояний пространственно-криволинейных стержней с переменными параметрами_65

3.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом_65

3.1.1. Консольный стержень___69

3.1.2. Защемленный стержень___ 76

3.1.3. Шарнирно-опертый стержень_82

3.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом_88

3.2.1. Консольный стержень___88

3.2.2. Защемленный по двум концам стержень_94

3.2.3. Шарнирно-опертый стержень_99

Литература_106

ВВЕДЕНИЕ

Многие прикладные задачи различных областей науки и техники связаны с исследованием состояний стержней с пространственно искривленной осью. Это прочностной анализ конструкции каркаса летательных аппаратов и судов, элементов жесткости антенных систем, несущих элементов нестандартных строительных конструкций, расчет систем амортизации, в которых используются различного рода пружины (цилиндрические или конические) и т.п.

В настоящее время одним из перспективных прикладных направлений является биомеханика, в рамках которой большое внимание уделяется изучению прочности элементов костно-мышечного аппарата животных и человека при вибрационных, ударных и других видах внешних воздействий.

Биомеханические структуры имеют сложную структуру и форму. Их механические свойства зависят от индивидуальных особенностей организма, возраста, функционального состояния, внешних факторов и в значительной степени определяются напряженно-деформированным состоянием, так как биомеханическая система адаптируется к внешним воздействиям.

Организм, как объект механики, представляет собой сложную систему, в которой просматривается иерархическая организация [14]. Один из возможных вариантов структурирования таков: выделение опорно-двигательного аппарата, (совокупности костно-мышечных тканей), внутренних органов, кровеносной системы. В свою очередь, каждая из указанных подсистем также может быть разбита на более простые. В частности, в опорно-двигательном аппарате выделяется скелет, источники энергии для его движения - поперечно-полосатые мышцы и суставы - соединительные элементы. Можно предложить и другой принцип структурирования - по отделам тела: голова, конечности, туловище со своими отделами - грудной клеткой, тазовым поясом и т.д. Рассматривая общие приемы исследования сложных систем, можно утверждать, что их математическое моделирование требует составления моделей элементов самого нижнего уровня иерархии, то

3

есть применительно к данному случаю костей, мышц и внутренних органов. Из приведенных примеров структурирования следует, что непременным элементом моделирования являются элементы скелета, т.е. кости, которые являются основными несущими конструкциями организма. В подавляющем большинстве кости можно представлять как пространственно-криволинейные стержни переменного сечения. Кроме того, элементы скелета обладают выраженными вязкоупругими свойствами [2, 8], изменяющимися как вдоль оси, так и в поперечном сечении. В силу этого разработка моделей таких объектов представляется актуальной задачей биомеханики.

В настоящее время изучению механического поведения организмов и их элементов, в частности, костей, посвящены исследования ряда российских и зарубежных ученых. Об актуальности таких исследований свидетельствует наличие специализированных журналов (например, Transactions ASME. Journal of Biomech. Eng., США, Российский журнал биомеханики, г. Пермь), постоянно действующих семинаров (например, под рук. проф. Ю.И. Няшина, Пермский ГТУ). В современных публикациях по биомеханике рассматривается широкий круг вопросов, который можно разделить на три основных класса: исследования механических свойств биоматериалов и различных элементов человеческого организма [29, 57, 59, 63, 62, 64, 67, 73, 75], моделирование динамики человеческого организма и отдельных кинематических цепей [4, 6, 7, 8, 10, 15, 20, 30, 33, 42,56], решение конкретных прикладных задач [33, 35, 37, 49, 54, 61, 70, 74, 72, 71, 58, 66]. Так, в [1, 12, 40, 43, 49, 54] изучаются вопросы статического и динамического поведения отдельных костей организма при различных видах нагружения. Исследуются более сложные вопросы, связанные с анализом соединений костей скелета - грудной клетки и суставов в различных условиях [37, 66, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78]. Общим вопросам механического поведения организма посвящены статьи и монографии [2, 31]. Существенным направлением исследований является анализ состояний и взаимодействие с организмом различного рода протезов [28,41].

Огромное внимание уделяется экспериментальному изучению свойств костных, мышечных и сосудистых тканей [24, 28, 38, 57, 59, 60, 63, 62, 64, 65, 67, 68, 69, 75, 77].

Рассматривая методы моделирования, следует отметить их значительное разнообразие - от аналитических моделей [1, 12, 44, 49, 54, 71] до дискретных конечно-элементных [5, 61, 70]. Тем не менее, следует отметить, что зачастую авторами используются упрощенные модели стержней, причем, как правило, основное предположение сводится к принятию плоской модели. В то же время такое предположение, особенно при динамическом нагружении может привести к значительным отклонениям от реального поведения стержня. В частности, даже при простых видах нагрузки - сосредоточенная сила, сосредоточенный момент (реализация которых, вообще говоря, сомнительна) в пространственно криволинейном стержне неизбежно возникновение сложных трехмерных форм колебаний. Особенно важным является это обстоятельство при учете вязкоупругих свойств. Известно [5], что различие в ядрах релаксации на растяжение и сдвиг приводит к взаимосвязи форм колебаний даже в тех случаях, когда в упругом теле они ортогональны. Изложенное приводит к необходимости рассмотрения именно трехмерных моделей.

Для решения задач о динамическом поведении вязкоупругих тел в настоящее время используется метод модального анализа (модального разложения) [5, 66]. Его преимуществом является возможность использования как аналитических, так и дискретных моделей, слабая зависимость от характера внешнего воздействия. Для реализации метода применяется разложение движения вязкоупругого тела по модам колебаний - функциональному базису - формам свободных колебаний упругого тела. Удобство этого базиса в том, что он представляет собой полную ортогональную систему функций, что упрощает технику разложения. Ориентируясь на использование именно этого метода для анализа динамического поведения костей, следует отметить, что особую важность приобретает разработка методов решения упругой задачи о свободных колебаниях. Изложенное позволяет сформулировать

цель работы: разработать метод решения проблемы свободных колебаний простраственно-криволинейного стержня.

Формы свободных колебаний являются решением спектральной задачи (Штурма-Лиувилля) при заданных однородных краевых условиях. Безусловно, решение такой задачи можно найти численно, например, методом конечных элементов. Но на этом пути встает одна важная проблема, а именно, выбор аппроксимирующих функций. Применение классических полиномиальных аппроксимаций оправдано в статических задачах: они позволяют получить точные решения (конечно, в рамках линейной постановки) для различных частных случаев нагружения. Например, для систем прямых стержней, работающих на изгиб, кручение и растяжение/сжатие применение полиномов I степени для растяжения и кручения и III для изгиба дает точные решения при нагрузках, приложенных только в узлах системы. Повышение степеней полиномов позволяет получить точные решения для распределенных нагрузок частного вида - равномерно, линейно и т.п. распределенных нагрузках. Это - следствие чисто математического факта: полиномы являются строгими решениями дифференциальных уравнений состояния прямых стержней при упомянутых видах нагрузок. Если же стержни имеют криволинейные оси, в простейшем случае с постоянной кривизной (плоские круговые стержни), то полиномы уже не способны в точности удовлетворить уравнениям состояния. Как известно из элементарного курса сопротивления материалов, статические задачи для стержней с круговой осью представляются тригонометрическими функциями, т.е. бесконечными рядами; уменьшение погрешности численного решения достигается измельчением конечноэле-ментной сетки, то есть разбиением одного стержня на множество элементов малой длины. Но при этом погрешность решения принципиально неустранима; она может быть уменьшена до некоторого предельного количества элементов, при котором доминирующей становится погрешность вычислений, обусловленная ограниченной разрядной сеткой вычислительной машины. Кроме того, увеличение количества элементов усложняет подготовку данных

при решении конкретных задач.

В анализе динамических состояний даже прямых стержней строгие решения есть сумма экспонент, и говорить о приемлемой точности при аппроксимации перемещений полиномами конечной (невысокой) степени некорректно. Поэтому в данном разделе рассматривается вопрос о представлении решений динамических задач через комбинации элементарных трансцендентных функций, которые в пределе дают строгие решения системы уравнений для форм свободных колебаний. Иными словами, предлагается вместо традиционных полиномов использовать приближенные аналитические решения дифференциальных уравнений состояния с переменными коэффициентами. Преимущества данного подхода очевидны: во-первых, аналитически определенные формы свободных колебаний для линейных задач представляют собой полную, а зачастую - и ортогональную систему функций, что дает возможность представлять решение сходящимся рядом, остаточный член которого легко оценить; во-вторых, при подготовке данных для стержневой системы реализуется принцип: один стержень - один элемент, что существенно облегчает подготовку данных.

Структурно диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы.

В первом разделе описывается математическая модель колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней. Получена система уравнений, описывающих свободные колебания таких стержней.

Во втором разделе рассматривается метод решения системы уравнений, полученной в предыдущем разделе. Описан общий алгоритм решения этой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Для удобства анализа состояний система дифференциальных уравнений состояния приводится к безразмерному виду и записывается в матричной форме. Для определения фундаментальных решений формулируется процедура последовательных приближений и доказывается ее сходимость. Осо-

7

бенностью процедуры является использование в качестве начального приближения фундаментальных решений уравнений состояния стержня с постоянными параметрами геометрии оси и поперечного сечения. Это обеспечивает аналитическое представление искомых решений и быструю сходимость последовательных приближений.

Для двух видов стержней исследована сходимость по норме в зависимости от параметров оси. Показано существование области параметров, в которой достаточно двух приближений - начального и первого.

Третий раздел посвящен применению разработанной математической модели и алгоритма к исследованию форм и частот свободных колебаний некоторых видов пространственно-криволинейных стержней. В качестве объектов исследований выбраны: стержни с осями в виде логарифмической и архимедовой спирали с линейным подъемом.

Все виды стержней исследуются по одной схеме: сначала рассматриваются стержни постоянного поперечного сечения, затем - переменного. Обсуждается влияние геометрии оси и поперечного сечения на частоты и формы свободных колебаний.

Основные положения и основополагающие идеи работы обсуждались и были одобрены на 12, 13, 14, 15, 16, 17 зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999г., 2003г., 2005 г., 2007 г., 2009 г., 2011 г.), LVII Научной сессии «Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова», посвященной дню радио (г. Москва, 2002 г.), двенадцатой и тринадцатой межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2002-2003 гг.), международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2003, 2005-2007, 2011 гг.)

По теме диссертации опубликовано 20 работ.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-

КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

1.1. Кинематические соотношения

Пусть в пространстве задана некоторая кривая параметрическими уравнениями:

=хг0), (/ = 1,2,3)

или в виде вектор-функции:

где г - радиус-вектор точки в декартовой системе координат, 5 - параметр, имеющий смысл длины дуги.

Располагая вектор-функцией г(^) можно считать известными геометрические характеристики кривой в окрестности произвольно выбранной точки этой кривой. Перечислим эти характеристики. Можно измерить длину определенного участка линии, установив приращение длины дуги Дя. Кроме того, можно определить направление материального волокна в пространстве по направлению векторов касательной t, нормали п и бинормали Ь в точке 5 . Эти вектора образуют так называемый естественный или собственный базис кривой и носят название векторов Френе. Конфигурация кривой опреде-

г = г

М

(1.1)

Рис. 1.1. Элемент дуги

9

ляется двумя параметрами: кривизной и курткой, являющимися скалярными функциями дуговой координаты 5 .

Отметим, что эти функции к - /с(<>) и т = г (б-) определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве. Такое задание кривой называется естественным.

Выпишем формулы для расчета характеристик материального волокна и формулы Френе-Серре дифференцирования векторов собственного базиса:

• длина материального волокна: (¿я - \с1г\;

г"

• векторы естественного базиса: 1 = г', п = -— , Ь = 1 х п;

• кривизна: к = ' г" ■

• крутка: т= (г' • [г" х г'"]) = 1 г'" • Ь;

к к

• формулы Френе-Серре: 1;' = к • п, п'= -к Л + т-Ъ, Ь' = -гп;

(1.2)

где штрихом обозначена производная по дуговой координате я. Условимся использовать это обозначение и в дальнейшем, кроме специальных случаев.

Таким образом, мы определили все параметры, характеризующие форму, ориентацию и длину материального волокна, заданного уравнением (1.1).

В механике деформируемого твердого тела основной интерес представляет изменение формы материальных объектов в процессе их движения. В связи с этим различают два состояния: начальное и деформированное (актуальное). Условимся далее по тексту, функции, векторы и другие параметры, относящиеся к деформированному состоянию, обозначать звездочкой - *.

Когда речь идет о материальном волокне, то в качестве наиболее важного количественного показателя смены начального состояния актуальным рассматривается удлинение Яа, которое вводится следующим образом:

, £¡5*

= л ш1

Полагая

е = К -1

(1.4)

рассматривают относительное удлинение волокна е. Относительное удлинение называется еще деформацией, хотя изменение формы как таковое эта характеристика не описывает. К параметрам формоизменения можно отнести изменение кривизны и крутки материального волокна.

Предположим, что задано некоторое векторное поле перемещений точек кривой как функция дуговой координаты

Сф) = и(у)/ + +

(1.5)

и это поле переводит кривую из начального состояния в актуальное (Рис. 1.2).

Очевидно, новое состояние волокна будет характеризоваться параметрами ориентации и формы, отличными от заданных в начальном состоянии