Конечно-элементное моделирование нелинейных задач нестационарного деформирования трубопроводов с жидкостью в грунтовой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Глава 1. Обзор численных методов решения задач нестационарного ■ г V упругопластического деформирования пространственных у ; трубопроводов с жидкостью, взаимодействующих : с грунтовыми средами.

Глава 2. Постановка задачи. Метод решения

2.1. Определяющая система уравнений

2.2. Метод решения . .

2.2.1. Конечно-элементная методика расчета напряженно — деформированного состояния упругопластических сред и оболочек.

2.2.2. Конечный элемент для решения задач нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов с жидкостью на упругом основании. ¿

2.2.3.Численное моделирование контактного взаимодействия деформируемь1Х элементов конструкций Рисунки к главе

Глава 3. Программная реализация. Решение тестовых задач^ и. ' Исследование точности и устойчивости численной схемы .".

3.1. Гидравлический удар в трубопроводе при быстром закрытии клапана на одном из его концов. ь 3.2. Динамическое деформирование циркуляционного трубопровода при его разрыве. Анализ влияния консервативного сглаживания на численное решение.

3.3. Упругие поперечные колебания шарнирно опертой балки, лежащей на упругом основании .—.

3.4. Динамическое деформирование двух свободных трубопроводов при их перекрестном соударении

3.5. Численное моделирование деформирования трубопровода с жидкостью при действии ударной нагрузки.---------.

Рисунки к главе 3 .-----.

Глава 4. Численное решение задач нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов в фунте при ударных нагрузках

4.1. Определение коэффициента постели по экспериментальным данным исследования динамических свойств грунтовых сред.

4.2. Расчет прочности подземных трубопроводов при падений самолета.. . ¿

Рисунки к главе

В атомной энергетике, в нефтегазовой и химической промышленности широко применяются трубопроводы с протекающей в них жидкостью, которые могут быть закреплены на опорах или находиться в грунте. Согласно существующим правилам и нормам для проектируемых трубопроводов необходимо обоснование их прочности при сейсмических воздействиях, падении самолета, соударении с осколками разорвавшихся труб и т.д. Для таких аварийных ситуаций характерны значительные формоизменения поперечного сечения трубопровода под действием локальных ударных или импульсных нагрузок, взаимосвязанность деформационных процессов в трубопроводе, грунте и гидродинамических процессов в жидкости. Для достоверной оценки прочности трубопроводов требуется учет геометрически и физически нелинейных эффектов деформирования и в ряде случаев трехмерная постановка задачи, так как одномерные модели не позволяют получить адекватное описание процессов деформирования при локальных воздействиях. Численное решение нелинейных задач динамики трубопроводов ограничено их большой протяженностью и возможностями вычислительной техники. Сложность нелинейных задач рассматриваемого класса и их недостаточная изученность обуславливают актуальность темы диссертационной работы.

Проведенный в работе анализ по современному состоянию проблемы, показал, что исследование напряженно-деформированного состояния трубопроводов в целом с учетом локальных эффектов изменения сечений труб практически невозможен без разработки гибридных моделей, применение которых позволит оптимизировать вычислительный процесс и расширить класс решаемых задач.

Развитию такого подхода и посвящена настоящая диссертационная работа.

1. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОГО УЛРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ЖИДКОСТЬЮ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОВЫМИ СРЕДАМИ.

В общем случае нестационарное упругопластическое деформирование конструкции, включающей в себя пространственные трубопроводы с протекающей жидкостью, находящихся во взаимодействии с грунтовыми средами, описывается уравнениями механики сплошных сред или теории оболочек. Такой подход оправдан в местах приложения интенсивных локальных нагрузок. В этом случае можно учесть контактное взаимодействие трубопровода с окружающими/заполняющими средами, значительные локальные формоизменения поперечного сечения трубопровода, необратимые деформации, возникающие в трубопроводе, и другие нелинейности геометрического и физического характера. Однако для протяженных трубопроводов применение соотношений механики сплошных сред без упрощающих гипотез может оказаться очень трудоемким и требует больших затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в случае отсутствия интенсивных локальных воздействий протяженные трубопроводы целесообразно описывать стержневой моделью, а грунт - как упругое основание. В целом же наиболее полное описание динамики трубопровода можно получить на основании комбинированных вычислительных Моделей, сочетающих в себе одномерные и трехмерные численные схемы.

Интегрирование разрешающей системы уравнений, описывающей динамические нелинейные процессы деформирования сложных конструкций, как правило, возможно, только при использовании численных методов и современной вычислительной техники. Обзоры численных методов решения задач механики сплошных сред изложены в [73,121]. Применительно к рассматриваемому классу задач можно выделить методы конечных разностей, вариационно-разностный метод и метод конечных элементов.

В методе конечных разностей Г13.38.74Л 10] для приближеннсЬго решения задачи, описанной системой дифференциальных уравнений в частных производных, расчетная область разбивается на ячейки, вершины которых образуют разностную сетку области. Искомые функции заменяются совокупностью их узловых- значений, вычисляемых из дискретного аналога определяющей системы уравнений. Последний получается из исходной системы уравнений на основе аппроксимации производных по пространственным координатам с помощью некоторых разностных соотношений. Одной из самых популярных схем МКР является схема "крест", предложенная в работе [77], отличающаяся простотой и высокой алгоритмичностыо по сравнению с другими схемами сквозного счета. В работе [90] приводятся формулы естественной аппроксимации частных производных по пространственным переменным, внесшие значительный, прогресс в теорию и практику конечно-разностных методов. Среди многочисленных работ, использующих "естественную" аппроксимацию, ;Можно выделить работу M.JI. Уилкинса [123]. . '

В вариационно-разностных методах (ВРМ) при описании движения деформируемой среды исходят из какого-либо вариационного принципа (Даламбера-Лагранжа, Журдена и т.д.). Дискретизация разрешающей системы уравнений основана на тех же подходах, что и в методе конечных разностей. В задачах газовой динамики ВРМ развивался в работах A.A. Самарского. [113,114], в динамике упругопластических тел, пластин и оболочек - в работах [10,11,47] и др.

В методе конечных элементов [37,50,96,109] расчетная область также разбивается на ряд ячеек - конечных элементов. В каждом КЭ задается стандартная система базисных функций (функций форм), аппроксимирующая перемещения, деформации и напряжения. Численное решение находится из минимизации вариационной задачи на введенном множестве базисных функций. Разработанный для решения задач статики в последующем метод конечных элементов был применен и для анализа процессов нестационарного деформирования. Как правило, при решении трехмерных задач динамики применяют наиболее простые типы конечных элементов: тетраэдры с линейной аппроксимацией перемещений или 8-узловые КЭ.

Различные варианты, алгоритмов численного моделирования процессов соударения деформируемых тел "приведены в работах M.JI. Уилкинса, Г. Джонсона, В.Н. Кукуджанова, Н.Г. Бураго, В.Г. Баженова, А.И. Садырина, А.Б. Киселева, А.И. Гулидова, В.Д. Кошура, А.И. Корнеева [14,29,112,123] и др. Обстоятельный обзор и описание методов численного решения задач нестационарного контактного взаимодействия содержится в [126].

Общая схема численного (конечно-разностного или конечно-элементного) решения задачи соударения деформируемых тел разбивается на два этапа. На первом из них производится определение предварительных значений скоростей перемещений и координат узлов сетки каждого тела без учета их контактного взаимодействия. Далее на втором этапе анализируется пересечение взаимодействующих подобластей и находится текущее положение контактной границы. Для всех узлов, принадлежащих контактным поверхностям, определяются контактные усилия, корректируются их скорости и координаты. Способы вычисления контактных усилий могут быть самыми разнообразными. Именно они составляют главное отличие используемых алгоритмов численного решения контактной задачи и определяют точность этого решения.

Тонкостенные элементы конструкций обладают рядом особенностей, допускающие при соблюдении некоторых условий, -построение разрешающей системы уравнений и граничных условий с меньшим числом независимь1Х переменных. Это позволяет существенно экономить вычислительные ресурсы, что является решающим фактором при анализе трехмерных задач нестационарного деформирования, отличающихся исключительной трудоемкостью.

Обзор методов сведения трехмерной задачи к двумерной, решение которой приближенно восстанавливает трехмерные поля смещений, деформаций и напряжений в обол очечных элементах конструкций, приведен в работах В.З. Власова [32], A.C. Вольмира [33], B.B. Болотина, Ю.Н. Новичкова [27], С. А. Амбарцумяна [7], A.B. Кармишина, А.И. Жукова и др. [59], К.З. Галимова, В.Н. Паймушина [35], Л.Ю. Коссовича [69] и других авторов.

Существующие способы понижения размерности задачи в теории оболочек можно разделить на три группы: 1) метод гипотез [5,143,124,137-139], 2) асимптотический метод [39,58,69,100,128,133], 3) метод разложения перемещений и напряжений в ряды по нормальной координате [2,61,85,89,142].

Действие интенсивных нагрузок может приводить к большим перемещениям тонкостенных элементов конструкций, не описываемым линейной теорией. Большой вклад в развитие геометрически нелинейной теории оболочек внесли работы В.З. Власова, A.C. Вольмира, К.З. Галимова, Х.М. Муштари, И.Г. Терегулова, В.Г. Баженова, В.И. Дрёсвянникова и др. [32,33,34,83,84,10,47].

Для описания упруго пластического поведения материала применяют соотношения теории пластичности. Общие уравнения связи между напряжениями и деформациями для траекторий произвольной кривизны сформулированы A.A. Ильюшиным в работе [53]. Однако трудоемкость этой методики и отсутствие экспериментальных данных ограничивает ее применение.; На практике наибольшее распространение получили деформационная теория пластичности и теория течения.

Деформационнь1е модели устанавливают связь между конечными значениями тензоров деформаций и напряжений. Наиболее распространенной среди теорий этого , направления: является теория малых упругопластических деформаций А.А.Ильюшина [54]. Основными достоинствами этой модели являются ее математическая обоснованность, относительная простота и приемлемая точность результатов для процессов простого нагружения. Однако при непропорциональных знакопеременных нагружениях в задачах нестационарной динамики теория малых упругопластических деформаций неприемлема. В теории течения рассматривается связь между скоростями или приращениями деформаций и напряжений. Подробный обзор теорий течения и их приложений приведен в [62,97]. Для решения многих исследовательских и. прикладных задач применялись соотношения упругопластического течения Прандтля-Рейса (модель упруго-идеальнопластического тела). Обобщением этих теорий на упрочняющиеся материалы являются дифференциальные теории пластичности. В основе дифференциальных теорий лежит ассоциированный закон течения, согласно которому в точке нагружения направление вектора скорости пластических деформаций совпадает с нормалью к поверхности, текучести (для регулярных точек). Поверхность текучести в процессе деформирования может смещаться пространстве напряжений, менять форму и размеры. Для изотропных материалов начальная поверхность -текучести хорошо описывается уравнением Мизеса. Среди дифференциальных теорий широкое распространение получили теории, основанные на концепции кинематического и изотропного упрочнения. Эти теории имеют более широкую область применимости и более удобны в численной реализации, чем теории деформационного типа. " Большой вклад в развитие дифференциальных моделей теории пластичности внесли работы P.A. Арутюняна и A.A. Вакуленко [8], АЛО. Ишпинского [56], Ю.Г. Коротких [68], В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича [57], В.Н.Кукуджанова [72] и др. В задачах нестационарного деформирования, для которых характерно знакопеременное нагружение, теории течения, вследствии их- высокой - алгоритмичности обладают некоторыми преимуществами по сравнению с деформационной теорией.

Исследованию динамических процессов в трубопроводах с жидкостью посвящены работы Жуковского Н.Е., Болотина В.В., Ильгамова М.А., Вольмира A.C., Светлицкого В.А., Кондрашова Н.С., Белостоцкого A.M., Трояновского И.Е., Пашкова И.А., Духовного И.А., Овчинникова В.Ф., Смирнова JI.B., Самарина A.A., Куликова Ю.А., Кочеткова A.B., Wiggert D.S., Hatfield F.J., Stukenbruck S., Wilkinson D.H., Walker J.S., Philips J.W. и других авторов.

Анализу малых нелинейных колебаний трубопроводов посвящены работы [44,115,116]. Особую роль в колебательных процессах криволинейных трубопроводов играет начальное статическое напряженное состояние, возникающее за счет движущейся под давлением жидкости [91,115,116]. В работах [26,30] исследуются динамические свойства некоторых трубопроводных систем, АЭС. Трубопроводы моделируются криволинейным пространственным стержнем, внутренний поток жидкости учитывается в виде присоединенной массы. В работах [45,46,64,117] влияние одномерного потока. жидкости, заменяется распределенной - по трубопроводу нагрузкой.

Важным моментом в анализе колебаний криволинейных трубопроводов является учет взаимного влияния процессов в жидкости и в трубопроводе. Это влияние существенно в том случае, когда собственная частота колебаний жидкости в гидросистеме близка к собственной частоте трубопровода. Если эти частоты сильно различаются, то влиянием трубопровода на поток жидкости можно пренебречь [28]. Исследования [92,93] посвящены построению математической модели одномерных ' колебаний тонкостенного трубопровода с учетом внутреннего потока идеальной несжимаемой жидкости и исходного напряженно - деформированного состояния. Уравнения колебаний трубы получены без учета геометрической и физической нелинейности.

В рамках одномерных моделей (модели тонких криволинейных, стержней с одномерным потоком жидкости) решены многие задачи свободных, вынужденных и параметрических колебаний трубопроводов. Достаточно полный обзор публикаций на эту тему содержится в [94, 95].

Особое место в задачах динамического поведения трубопроводов с жидкостью занимают исследования взаимосвязанных процессов в трубопроводных системах при гидроударе, вызванных быстрым переключением потоков, высоких параметров, а так же при разрыве трубопроводов по полному сечению. Значительный интерес к этим задачам объясняется необходимостью оценки траектории движения трубопровода для прогноза возможных силовых воздействий на окружающие трубопровод системы. В [24,98] разработана ; математическая модель и проведены численные исследования движения трубопровода при разрыве в поперечном сечении с учетом деформации: поперечного сечения. Математическая модель движения трубопровода основана на теории криволинейных стержней с учетом больших перемещений и.физической нелинейности. Учет пластических деформаций производится на основе билинейной диаграммы растяжения без разгрузки. Решение задачи осуществляется итерационно-разностным методом.

В [75] рассмотрены упругие колебания и напряженное состояние трубопроводов, вызванные гидравлическим ударом. Распространение ударных волн в жидкости описывается на основе линеаризованных уравнений Навье Стокса, решение которых строится методом характеристик. Трубопровод рассматривается как связанная оболочёчно-стержневая; , систша;.^ При интегрировании уравнений движения трубопровода используется метод конечных элементов и неявная схема Ньюмарка. Проанализировано влияние скорости гидроудара на амплитуды параметров напряженно-деформированное состояния (НДС) трубопровода. Показано, что при быстрых переключениях потоков высоких параметров достоверную оценку НДС трубопровода можно получить лишь при помощи динамических моделей.

В [76] представлены результаты расчетно-экспериментального исследования гидроупругого процесса в образце полиамидного трубопровода, заполненного жидкостью при действии ударной нагрузки. Распространение малых возмущений в жидкости рассматривается в акустическом приближении на основе волновых уравнений. Для интегрирования волновых уравнений применяется метод характеристик и "двухслойная разностная схема. Задача об упругом деформировании трубопровода решается методом конечных элементов и разностным методом Ныомарка. НДС трубопровода определяется в виде суперпозиции быстрых стержневых и медленных оболочечных форм движения. При расчетах производится учет начальных неправильностей формы поперечного сечения трубопровода не его криволинейных участках. Получено удовлетворительное соответствие расчетных и опытных данных.

В [122] разработана математическая модель для анализа гидравлических переходных процессов в трубопроводах в предположении линейно-упругого поведения материала трубы. Считается, что скорости жидкости малы по сравнению со скоростью распространения акустических волн. С помощью метода характеристик построен .математический аппарат для расчета динамических явлений в жидкости и напряженно-деформированного состояния в стенках трубопровода.

Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [9]. Там же построена одномерная математическая модель гидравлического удара в и проведен расчет методом характеристик.

Анализ основных положений теории гидравлического удара приведен в [60].

Математическая модель и методика численного решения геометрически и физически нелинейных задач нестационарной динамики плоско - криволинейных трубопроводов с жидкостью разработаны в работе [12]. В основу модели положены волновые уравнения динамики стержней типа Тимошенко. Упругопластическое деформирование стержня описывается уравнениями теории пластического течения с линейным кинематическим упрочнением. Движение жидкости описывается модифицированными уравнениями акустики. Уравнения движения стержня интегрируются вариационно-разностным методом с использованием явной схемы "крест". Интегрирование уравнений гидродинамики основано на явной схеме . Годунова. Разработанная методика позволила смоделировать разрыв трубопровода^ высокого давления, провести численные исследования влияния нестационарности потока жидкости, связанности деформационных и гидродинамических процессов.

Анализ аварийного движения плети трубопровода после поперечного отрыва приведен .в работах [129,130]. Исследование процесса опирается на концепцию пластических шарниров в идеальных жесткопластических системах, квадратичный критерий несущей способности стержневой системы при сложном нагружении и принцип Даламбера. Дан пример численного расчета основных силовых и кинематических параметров динамического процесса.

В работе [111] рассматривается проблема диагностики изменения формы профиля подземного трубопровода при воздействии внутреннего потока жидкости. Математическая модель распространения гидроупругих волн в трубопроводе построена на основе уравнений движения оболочки и жидкости. Движение трубопровода описывается уравнениями упругого тела, движение жидкости - уравнениями Эйлера с учетом сил трения. Предложен метод перехода к двумерным уравнениям, получены асимптотические формулы для их решения. Поведены численные расчеты модельной задачи и сравнение с данными других авторов.

При различных переключениях насосов, гидродинамических ударах и внешних ударных нагрузках возникают пульсации скорости перемещений и давлений, которые приводят к переходным процессам. Влияние потока жидкости на динамику трубопровода в этом случае значительно возрастает. В аварийных ситуациях (разрыв трубопровода высокого давления) необходимо учитывать большие перемещения и формоизменения трубопровода, а также взаимное влияние деформационных и гидродинамических процессов. При исследовании таких процессов существующие в настоящее время модели, основанные на упрощающих проблему предположениях, могут стать неприемлемыми. .

Нестационарное взаимодействие трубопроводов с грунтовой средой значительно усложняет задачу. Это объясняется, прежде всего, большим разнообразием свойств реальных грунтов и соответственно многообразием и сложностью математических моделей. Так, например, для неводонасыщенных грунтов получили развитие модели учитывающие сопротивление среды сдвиговым напряжениям. В задачах динамики водонасыщенных грунтов, а также для неводонасыщенных сред при больших давлениях, можно пренебречь сдвиговыми напряжениями и деформациями среды. При малых нагрузках удовлетворительные результаты дают модели грунта, линейно или нелинейно-упругой среды. Повышение уровня нагрузок вызывает появление пластических свойств, поэтому в этих случаях используются более сложные модели.

Развитию моделей грунтовых сред посвящены работы Компанейца

A.C. [63], Н.В .Зволи некого [49], Л.Мал верна [136], Г.М.Ляхова [80,81],

B.А.Котляревского, Р.А.Румянцевой, А.Г. : Чистова [70], В.Н.Николаевского [86,87]. и др. Краткий обзор моделей динамического деформирования грунтовых сред приведен в [71].

Широкое применение при решении задач динамики грунтовых сред нашла модель С.С.Григоряна [42,43]. В ней учтены основные свойства грунтов, существенные при кратковременных волновых процессах нелинейность и необратимость диаграммы объемного сжатия с участком упругих деформаций при малых давлениях, упругопластический сдвиг, зависимость предела упругости при сдвиге от давления. Сдвиговая деформируемость в допредельном состоянии соответствует линейно упругой среде, а в предельном - схеме Прандтля-Рейсса с условием пластичности Мизеса-Шлейхера.

Наибольшее количество аналитических и численных результатов по проблеме динамического взаимодействия оболочек с грунтовыми средами получено для грунтов, моделируемых линейно упругими или линейно вязкоупругими средами [31, 41,55,88, 141 и др.]. В работе В.Г. Баженова, A.B. Кочеткова и др. [22] предложена численная методика решения двумерных нестационарных задач взаимодействия физически и геометрически нелинейных тонкостенных конструкций с грунтовыми средами, динамика которых описывается моделью пластической сжимаемой жидкости. Решены задачи дифракции ударных волн в грунте на цилиндрической оболочке и удара сферической оболочки с дополнительной массой о поверхность грунтовой среды. Анализируются волновые процессы в средах и конструкциях.

В случае отсутствия интенсивных локальных, воздействий грунт можно .моделировать как упругое основание. Развитию моделей упругого основания посвящены работы Попова Г.Я., Штаермана И.Я., Галина Л.А, Воровича И.И., Александрова В.М, Бабешко В.А., Рвачева В.Л., Проценко B.C., Горбунова-Посадова М.Н., Маликоврй Т.В., Корнеева Б.Г., Коренева Б.Г., Шевченко Ф.Л., Петросяна Л.Г., Александрова В.М., Абрамова В.М., Зюкина Ю.П., Радиолло М.В., Клубина Б.Г., Данович В.Д. и других авторов.

Работы Г[1,6,36,48,65,79,118,127] и др.,; посвящены контактной задаче теории упругости при наличии круговой области контакта. В них рассматривался случай вдавливания упругого тела в упругое основание, представляющее собой либо полупространство с постоянным или переменным по степенному закону по глубине модулем упругости (решения точные), либо упругий однородный слой (решения приближенные). В работе Коренева Б.Г. [67] задача о вдавливании круглого в.плане штампа в упругое основание общего типа сведена.к парным интегральным уравнениям для некоторой вспомогательной функции.

В работах Попова Г.Я. [101,102] эта задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого, рода непосредственно для контактного напряжения. При этом рассматривается упругое основание общего типа, частными случаями которого являются упругие основания, указанные в работах [36,65,79,6,48,67]. Для некоторых типов упругих оснований, в частности для -однородного упругого полупространства,, названное интегральное уравнение, простым преобразованием переводится в уравнение Винера-Хопфа, допускающее точное решение. Показывается, что предлагаемый способ позволяет в некоторых случаях получить точное решение осесимметричной контактной задачи с учетом поверхностной структуры контактируемых тел. , " '

Задачи об .изгибе балок и плит на упругом неоднородном полупространстве рассмотрены в работе [103]. Упругое основание с односторонними связями рассматривалось в [106].

Все вышеперечисленные модели упругих оснований обладают определенными механическими недостатками, так как на краевых участках конструкции они имеют особенности - неограниченно возрастающие напряжения, что в некоторых случая затрудняет расчет. По этим причинам долгое время не была решена задача о деформировании двух балок или плит, лежащих свободно на поверхности основания (задача о неизолированных конструкциях на упругом основании). В работе [99] излагается модель упругого основания, позволяющая решать такие задачи. Введением двух дополнительных параметров учитывается неоднородность по глубине, и сглаживаются особенности, возникающие в краевых сечениях конструкции. Предлагаемая модель вводится в соответствии с подходами, принятыми в монографии Попова Г.Я. [105], в которой излагается математическое описание механических свойств линейно-деформируемого основания общего типа с помощью матриц - ядер. Применительно к такой общей модели основания в [105] дана постановка и математическая формализация обширного класса контактных задач. Для их решения использован метод ортогональных многочленов, а для построения точных решений с полубесконечными областями контакта - метод факторизации (Винера-Хопфа). Предложена нестандартная схема метода факторизации, удобная для численной реализации. Приводятся примеры матриц - ядер для различных типов упругих оснований таких как, винклеровское,. линейно-однородное, линейно-неоднородное, линейно-комбинированное и др.

Обзор различных теорий линейно-деформируемых оснований приведен в [104].

- Примеры расчета балок и плит для различных типов упругих оснований даны в работах [40,66,51,131,140,144 и др.].

Решение . задачи о колебаниях упругих балок на упругом основании приведено в [120]. :

ВЫВОДЫ ИЗ ОБЗОРА. ЦЕЛИ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Как показал анализ литературы по теме диссертации, в настоящее время существуют отдельные вычислительные модели и методы, .позволяющие - исследовать динамику трубопровода, взаимодействующего с окружающей/заполняющей средой. Однако их применение ограничивается либо возможностями вычислительной техники (трехмерные модели), либо гипотезами, на которых они основаны (одномерные модели). В связи с этим представляется актуальным при решении данного класса* задач развивать комплексный подход, позволяющий на основе гибридных моделей сочетать различные по. точности и трудоемкости методы для описания динамики трубопровода, жидкости и грунта.

На основе сделанных выводов формулируются цели диссертационной работы:

- разработка оболочечно-стержневой модели нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов с протекающей в них жидкостью,

• взаимодействующих с грунтами при действии ударных и импульсных нагрузок;

- развитие конечно-элементной методики решения трехмерных нелинейных задач динамики трубопроводов и ее программная реализация в рамках вычислительного комплекса "Динамика-3";

- проведение тестовых расчетов, численное исследование точности и

- устойчивости. разработанной методики решения задач динамики пространственных трубопроводов;

- . ' г . ■ ■ <

- решение новых исследовательских и прикладных задач

Научная новизна. 1. Разработана квазиодномерная математическая модель нестационарного упругопластического деформирования .пространственных трубопроводов с протекающей в них жидкостью, взаимодействующих с грунтами при импульсных и ударных воздействиях. Предлагаемая модель, учитывает большие перемещения осевой линии и необратимые деформации трубопровода, взаимосвязанность деформационных процессов в трубопроводе и гидродинамических процессов в жидкости; нелинейные волновые процессы в жидкости. 'V 2.,; Развита гибридная оболочечно-стержневая модель динамики трубопровода, позволяющая исследовать '" нестационарное упругопластическое деформирование л протяженных трубопроводов в широком диапазоне изменения параметров нагружения. V'; :

3. На ряде тестовых задач проанализирована точность предлагаемой методики, исследована роль нелинейных, эффектов и область . применимости упрощенных моделей.

Достоверность полученных результатов подтверждается решением тестовых задач, а также сопоставлением результатов расчетов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность.

Разработанная методика, алгоритмы и программное обеспечение использовались на этапе проектирования для оценки прочности водоводов системы охлаждения ответственных потребителей проектируемых АЭС. .Применение предлагаемой методик и программного обеспечения в. расчетах на прочность трубопроводов повышает уровень обоснованности их безопасности. Диссертационная работа выполнена в соответствии научно-техническими программами Министерства общего и профессионального образования "Университеты России" . и - "Динамика'.',.- НТП Минатома РФ "Безопасная ядерная энергетика", ФЦП "Интеграция" (РУНЦ ММК), Программой поддержки ведущих школ России (гранты РФФИ 96-15-98156, 00-15-99029), грантом РФФИ N99-01-00132.

На защиту выносятся:

1. гибридная оболочечно-стержневая модель и конечно-элементная, методика численного решения трехмерных задач нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов . , с протекающей в них жидкостью, взаимодействующих с грунтами при действии ударных и импульсных нагрузок. --•-•.

2. обоснование -достоверности разработанных методик, решение тестовых задач.

3. результаты решения ' исследовательских и прикладных задач нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов с жидкостью в грунтовой среде.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: VI Международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 2000; XVIII Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов", С.Петербург , 2000; XIV Международная научно-техническая конференция 1пгушепа 5'го(1о\у1зка V/ екзр1оа1ас]1 котр1екзо' шо]зкош1сЬ, раг'сЫегшка, 2000;

Международная научно-техническая'" ^конференция "Испытания материалов и конструкций", Н.Новгород, 2000;; Международная конференция аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-21 веку", Иваново, 2001; Вторая научная конференция по механики и прочности конструкций, посвященной 80-летию академика Е.А. Негина", Саров, 2001; Международная конференция посвященная 100 летию со дня рождения А.А. Андронова "Progress in nonlinear science", Nizhny Novgorod, 2001; 7-ая международная сессия молодых ученых, Саров,-2002; XX международная конференция "Теория пластин и оболочек", Н.Новгород, 2002; IX международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Москва, МАИ, 2003.

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1-11].

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, 'заключения, списка литературы. Основной печатный текст составляет 109 страниц, 69 рисунков, 13 страниц - список цитируемой литературы (144 наименования).

Основные результаты и выводы диссертационной работы формулируются следующим образом.

1. Разработана вычислительная модель нестационарного упругопластического деформирования пространственных трубопроводов с протекающей в них жидкостью, взаимодействующих с грунтами. Определяющая система уравнений формулируется в переменных Лагранжа. В качестве уравнений состояния используются соотношения теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением. Уравнения движения выводятся из вариационного принципа Журдена. Динамические процессы в жидкости описываются модифицированным уравнением акустики, учитывающим влияние деформаций в трубопроводе на давление в жидкости. Грунт рассматривается как упругое основание и его реакция на перемещение трубопровода определяется исходя из уравнения Фредгольма первого рюда. Решение задачи основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест». При дискретизации уравнений динамики трубопровода и жидкости применяются 2-х узловые конечные элементы,. Для аппроксимации деформации и напряжений вводятся гипотезы, принятые в теории стержней. При дискретизации уравнения Фредгольма для применяемого конечного элемента трубопровода получается модель упругого основания Винклера. ^

2. Гибридная оболочечно-стержневая модель и конечно-элементная методика численного решения трехмерных задач динамики трубопроводов реализована в рамках вычислительной системы "Динамика-3". На ряде модельных задач проанализирована точность модифицированной методики и исследована область применимости ; упрощенных моделей. Сопоставление с результатами решения задач в трехмерной постановке подтвердили эффективность совместной оболочечно-стержневой модели трубопровода: затраты времени на проведение одного расчета сократилось более чем в два раза без существенной потери точности решения. 3. Решена задача о динамическом деформировании циркуляционного трубопровода с жидкостью при его разрыве. Исследовано влияние гидродинамического процесса на изгибные колебания трубопровода. По . результатам исследования было установлено, что:

- во всех рассмотренных вариантах задачи преобладали смещения трубопровода направленные вдоль оси навстречу потоку жидкости; амплитуда колебаний трубопровода в этом направлении возрастает с увеличением расстояния между витками и количества витков;

- амплитуда колебаний циркуляционного трубопровода по высоте в большей степени зависит от расстояния между витками;

- в вариантах расчетных схем, где отношение высоты трубопровода к : радиусу его витков больше 0.7, происходит наложение низкочастотных изгибных колебаний трубопровода в осевом направлении на высокочастотные колебания по высоте. 4. Рассмотрена задача о падении самолета на трассу трубопроводов системы охлаждения ответственных потребителей атомной электростанции, заглубленных в грунт. Задача рассмотрена в двух постановках: удар самолета непосредственно о грунт и удар самолета через защитную железобетонную плиту. Проведенные расчеты показали, что падение самолета непосредственно на грунт приводит к значительным формоизменениям поперечных сечений трубопроводов в зоне падения и сильному изгибу их осевых линий. В результате многовариантных расчетов были подобраны размеры плит, при которых уменьшение площади пропускного сечения трубопроводов не превышает допустимой величины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамов В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство.—Докл. АН СССР,. 1939, т. 23, № 3.

2. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Исследование упругопластических процессов деформирования пластин и оболочек вращения при импульсном нагружении в неклассической постановке. Прикл. механика. 1985, №1.

3. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Исследование динамического деформирования упруго-пластических сферических оболочек при тепловом ударе//Изв. АН СССР. МТТ, 1978. № 1. С. 139-143.

4. Абузяров М.Х., Баженов В.Г., Котов В.Л. и др. Метод распада• разрывов в динамике упругопластических сред. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 40. № 6. 2000. С. 940-953.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.

6. Арутгонян P.A., Вакуленко A.A. О многократном нагружении упругопластической среды // Изв. АН СССР. Механика. 1965 № 4. С.53.61. "■

7. Аскеляин A.B. Моделирование гидравлического удара в жидкости при колебаниях трубопровода//Теплофиз. Аспекты безопасности ВВЭР: Тр. Международной конф. Обнинск, 21-24 ноября. 1995г. Обнинск: Физ.-энерг. ин-т, 1995 Т.2 С 222-231.

8. Баженов В.Г» Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях//Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. Сб. / Горыс. ун-т. 1981. Вып. 18. С. 57-66.

9. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных * задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов//Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 52-59 .

10. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Расчет нестационарного упругопластического деформирования пространственных стержней// Прикл. пробл. прочности и пластичности: Межвуз. Сб. / М.: ТНИ КМК. 1998. Вып.58. С.122-128.

11. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Самыгин А.Н. Численное решение трехмерных нелинейных задач нестационарного деформирования тонкостенных конструкций," включающих стержневые элементы //Изв. РАН. МТТ. 2002. №4. С. 145-151.

12. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек/ Н.Новгород: Изд во Нижегород. ун - та. 1992.

13. Белостоцкий A.M., Духовный И.А., Пашков И.А., Трояновский И.Е. Движение трубопровода АЭС при обрыве в поперечном сечении // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. №1. С. 80-85.

14. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Изд-во научно-технической литературы, 1953.1. У/' 100 г

15. Богомолов С.И., Журавлева A.M., Ингульцев C.B. Расчет вынужденных колебаний пространственных трубопроводных систем. Динамика и прочность машин. Респ. межвед. Тем. сб., 1979, вып.30.

16. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М., Машиностроение, 1980, 375 с.

17. Босняцкий Г.П. Усилия в длинном отводе, содержащем пульсирующий поток. // Вибрация технологических трубопроводов на нефтеперерабатывающих и нефтехимических предприятиях. М.: ЦНИИТЭ нефтехимия, 1970, С. 99- 103.

18. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных задач " Астра". М., 1988. 63 с. (Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР; № 326,

19. Вереземский В.Г., Грудев И.Д., Корнеева С.И. Свободные колебания теплообменной петли первого контура ВВЭР-1000. //Динамические деформации в энергетическом оборудовании. М.: Наука, 1978.

20. Вестяк A.B., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой// Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела/ М.: ВИНИТИ. 1983 Т. 15. С.69-148.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек. M.- JI.: 1949. 785 с.

22. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.:Наука. 1972. 432 с.

23. ГалимовК.З. Осноиы нелинейной теории тонких оболочек. Казань;: Изд-во КГУ. 1975.

24. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. (Геометрические вопросы теории оболочек). Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 164 с.

25. Галин JI. А. Контактные задачи теории упругости.— М., Гостехтеориздат, 1953.

26. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир. 1984.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

28. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. ПММ, 1963, т. 27, вып. 4, с. 593-608.

29. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.В. Расчет конструкций на упругом основании.— М.: Стройиздат, 1973. 626с.

30. Горшков А.Г. Динамическое взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами//Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №4. С. 177-189.

31. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов//ПММ. 1960. Т.24. Вып.6. С. 1057-1072.

32. Григорян С.С. К решению задачи о подземном взрыве в мягких грунтах//ПММ. 1964. Т.28. Вып.6.

33. Доценко П.Д. О постановке задач устойчивости и колебаний трубопроводов с жидкостью. // Динамика систем, несущих подвижную, распределенную нагрузку. Тем. сб. научных трудов, ХАИ, 1978, вып. 1.

34. Доценко П.Д. Об уравнениях движения одномерных систем, несущих подвижную распределенную нагрузку. Машиноведение, 1979. №3.

35. Доценко П.Д. Об уравнениях малых колебаний криволинейного трубопровода. Изд. АН СССР, МТТ, 1974. №5,

36. Дресвянников В.И. О численной реализации нелинейных уравнений динамики упруго пластических оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. Горький, 1976. Вып. 3. С. 82-90.

37. Егоров К.Е. Контактная задача для упругого слоя при действии внецентренной вертикальной силы на круглый штамп. ДАН СССР, 1960,т. 133,№4. Л;;

38. Зволинский Н.В. Об излучении упругой волны при сферическом взрыве в грунте//ПММ. 1960. Т.24. Вып. 1. С. 126-130. .

39. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с. ' •'"■•

40. Зюкин Ю.П Об изгибе балки конечной длины на двухслойном основании //Изв. высш. учеб. заведений. Строительство и архитектура, 1973, № 3, С. 52—58.4v;V ' 102' , .^^Л:' V

41. Зюкин Ю.П., Радиолло M.B. Об изгибе балочной плиты переменной жесткости на линейно-деформируемом основании общего типа.— •лЧ Прикл. мех., 1970, т. 6, вып. 8.

42. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.:Изд-во АН СССР, 1963.

43. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

44. Ильюшин A.A., Рашидов Т.Р. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод// Изв. АН УзССР.Сер. техн. наук. 1971. №1. C.3-1J.,.

45. Ишлинский АЛО. Общая теория пластичности с линейным упрочнением// Украинский математический журнал. 1954. № 6. С. 314-325. -.

46. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера // ДАН СССР. 1957. Т. 117, вып. 4. С. 586-588. •■;: w.^:.,:.,

47. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович JI.IO. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // Прикладная математика и механика, 1993. Т. 57. Вып. 1. С 83-91.

48. Кармишин A.B., Жуков А.И. и др. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1990.

49. Картвелишвйли Л.И. Гидравлический удар: основные положения исовременное состояние теории // Гидротех. Стр-во. 1994.№9. С.49-54.

50. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек, ч.1. Киев,. Изд-во АН УССР, 1963.

51. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зииатне, 1971. 147 с.

52. Компанеец A.C. Ударные волны в пластической уплотняющейся среде//ДАН СССР. 1956.Т. 109. №1. С.68-76.

53. Кондрашев Н.С., Лашкова Л.А. О взаимодействий трубопровода с ф протекающим по нему потоку.//Проектирование и доводкаавиационных газотурбинных двигателей, Межвуз. Сб., КуАИ, 1979.

54. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности.—М.: Физматгиз, 1960.

55. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. — М.: Госстройиздат, 1954.- 232 с. .-■■-■/:.<■■•.

56. Коренев Б.Г. Штамп, лежащей на упругом полупространстве, модуль упругости которого является степенной функцией глубины. ДАН, 1957, т. 112, №5.

57. Коротких Ю.Г. О некоторых проблемах численного исследования упругопластических волн в твердых телах. // Методы решения задач упругости и пластичности: Учен. зап. / Горьк. ун-т. 1971. Вып. 134(4). Сер. механика. С. 69-90.

58. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986.

59. Котляревский В.А., Румянцева P.A., Чистов А.Г. Расчеты удара штампа по грунтовому массиву с использованием различных моделей упругопластических сред в условиях плоской деформации//Изв. АН СССР. МТТ. 1977. №5. С.132-146.

60. Красников Н.Д. Динамические свойства грунтов и методы их определения//М.: Стройиздат, 1970.

61. Кукуджанов В.Н. Микроскопическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформаций/ТИзв. РАН, МТТ. №5, 1999. ;

62. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. // Успехи- механики. Т. 8. № 4. 1985. С. 21-65.

63. Кукуджанов В.I I., Кондауров В.Й. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела.//Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975. С.39-85.

64. Куликов Ю.А. Напряженно деформированное состояние трубопровода при гидравлических ударах. // Проблемы машиностроения и надежности машин, №3, 1999.

65. Куликов Ю.А., Лоскутов Ю.В., Максимов M:AV, Зданович Ю.К.

66. Расчетно-экспериментальное исследование упругого деформирования ' V трубопровода из полимерной пленки при действии ударной нагрузки //

67. Прикладная'механика и техническая физика, 2001. Т. 42. №2. С. 122- 128- ; ""л 7 ' "

68. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука. 1982.

69. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгофа-Лява. ПММ, 1947, т. 11, № 5, с. 517-520.

70. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек./Казань. Таткнигоиздат, 1957.

71. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек среднейтолщины//Докл. АН СССР, 1959. Т.123, № 6. С. 1144-1147. " v

72. Нигул У.К. Асимптотическая теория статики и динамики упругих " круговых цилиндрических оболочек. ПММ, 1962, т. 26, вып. 5, с.923.930. '."■:;г ■":•.■ "

73. Николаевский В.И. О связях объемных и сдвиговых пластических деформаций и об ударных волнах в грунтах//ДАН СССР. 1967. Т. 177. №3. С.542-545.

74. Николаевский В.И. Современные проблемы динамики грунтов// Определяющие законы механики грунтов: сб. перев./М.: Мир.1975.с.210-229. ^; ,.1. V.' 105 .

75. Новичков Ю:Н., Култанов Б.К. Расчет подземных трубопроводов на поперечное нестационарное воздействие//Расчет сооружений взаимодействующих с окружающей средой: Сб. научн. тр./Моск.. гидромелиорат. ин-т. 1984. С.3-14. :

76. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней. Прикладная математика и механика, 1965, т. 29, № 2, с. 261-281.

77. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлеро-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 128-184.

78. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Особенности влияния параметров внутреннего потока жидкости на свободные колебания пространственных трубопроводов.//Прикладные проблемы прочности и пластичности, Всесоюз. Межвуз. Сб., 1978, вып.8.

79. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерные уравнения деформации тонкостенных труб, изогнутой в пространстве. -М.: Машиноведение, 1988, №3. ■

80. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерные уравнения колебаний тонкостенной пространственной трубы с внутренним потоком жидкости.// Проблемы машиностроения и Надежности машин, №4, 1991.

81. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Колебания трубопроводов с нестационарным потоком жидкости. // Вопросы атомной науки и техники. Серия физика и техника ядерных реакторов, 1985, в. 2.

82. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Динамические свойства трубопровода с движущейся жидкостью. // Вопросы атомной науки и техники. Серия физика и техника ядерных реакторов, 1981, в. 6. С. 616.''yf.'.'r'''• V-'V' ■ ' '

83. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.464 с.

84. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964.

85. Пашков И.А., Рогов A.A., Трояновский И.Е. Влияние эффекта Кармана на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечении. МИЭМ, 1991. ' ^ :

86. Петросян Л.Г. Об одной модели упругого основания. Строит, мех. и расчет сооружений, 1988, Лг» 5.С.7-11.

87. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Московского Ун-та, 1981. 343 с.

88. Попов Г.Я. Об одном способе решения контактной задачи теории упругости,—Прикл. мат. и мех., 1961, т. 25, вып. 1. С.76-85.

89. Попов Г.Я. Контактная задача теории упругости при наличии круговой области контакта,— Прикл. мат. и мех, 1962, т. 26, вып. 2.; С. 152 -164. .;•.

90. Попов Г.Я. К теории изгиба балок и плит на упругом неоднородном полупространстве. Изв. Вузов, Строительство и архитектура, 1959, №11. -"■■. . v.:.

91. Попов Г.Я. К теории линейно-деформируемых оснований.—- В кн.: Исслед. по теории сооружений. М. : Стройиздат. 1977, вып. 23.

92. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого ; основания. Киев - Одесса: Вища школа, 1982. — 168с.

93. Попов Г.Я., Радиолло М.В. Изгиб балки переменной жесткости на упругом основании при односторонней связи и нескольких участках контакта.— Строит, мех. и расчет сооружений, 1976, № 3.

94. Развитие теории контактных задач в СССР / Под редакцией Л. А. Галина.-М.: Наука, 1976.

95. Раскатов В.М., Чуенков B.C., Бессонова Н.Ф., Вейс Д.А. Машиностроительные материалы: Краткий справочник. М.: . Машиностроение, 1980.

96. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988.

97. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. 2-е изд., переработанное и доп. М.: Наука, 1978.

98. Рукавишников A.B., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе//Прикладная механика и техническая физика, 2000. Т. 41. №6. С. 161-169.

99. Садырин А.И. Конечно-разностная аппроксимация граничных условий в динамической контактной задаче.// Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горький. Горьк. унт. 1979.

100. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

101. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.

102. Светлицкии В.А. Малые колебания пространственно-криволинейных трубопроводов. // Прикладная механика, 1978, т. XIV, №8.

103. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения и малые колебания стержней, заполненных движущейся жидкостью. Изд. АН СССР, МТТ, 1977, №1.

104. Светлицкий В.А. Механика гибких Стержней и нитей. // Машиностроение. 1978.

105. Серебряный Р. В. Об изгибе тонкой полубесконечной плиты, опирающейся на упругий слой конечной толщины.—Докл. АН СССР, 1959, т. 125, №4.

106. Сертификат соответствия Госстандарта России № РОСС RU.ME20.H00338 .

107. Тимошенко С.П., Лиг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

108. Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Рузанов А.И. О численных методах и результатах решения нестационарных задач теории упругости и пластичности // Численные методы механики сплошной среды./ СО АН СССР. Т. 16. № 4. Новосибирск. 1985. С. 129-149.

109. Уиггерт Д.С., Хатфилд Ф.Дж., Штукенбрук С. Анализ гидравлических и упругих переходных процессов в трубопроводах методом характеристик //Теоретические основы инженерных расчетов. 1988. №1.С. 260-267.

110. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.212-263.

111. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ, 1948, т. 12, вып. 3, с. 287-300.

112. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. Киев.: Буд1вельник, 1982. 280 с.

113. Цветкова И.Н. Численное моделирование нестационарного контактного взаимодействия составных упругопластических конструкций в трехмерной постановке // автореферат диссертации на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Н.Новгород. 1996.

114. Штаерман И.Я Контактная задача теории упругости. М. — Л., Гостехтеоритиздат, 1949.

115. Штаерман И.Я. О применении метода асимптотического интегрирования к расчету упругих оболочек. Изв. КПИ, 1924, т.1, -вып.2. • . '■■• .;•.•■-:'-—- .'•':■

116. Щеглов Б.А., Шарый Н.В. Алгоритм анализа динамики аварийных движений стержневых систем и трубопроводов // Проблемы машиностроения и надежности машин, №5,2002. С. 111-115.

117. Щеглов Б.А., Шарый Н.В. Динамика аварийного движения трубопровода // Проблемы машиностроения и надежности машин, №6, 2002. С.106-112.

118. DasGupta S. AxialJy constrained beams on elastic foundation. // Int. J. Mech. Sci.», 1974, № 5, p.305—310. '

119. Epstein P.S. On the theory of elastic vibration in plates and shells. J. Math, and Phys;, 1942, v. 21, № 3, p. 198-209. '

120. Fridrichs K.O., Dressier R.F. A boundaryiayer theory for elastic bendplates. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, X» 1, p. 1-33.

121. Herrman W., Bertolf L.D., Thompson S.I. Computational methods for stress wavee propagation in nonlinear solid mechanics //Lect. Notees Math. 1975. V. 461. P. 91-127.

122. MacCormack R. W. Current status of numerical solution of the Navier-Stokes equations//AIAA Pap. 1985. V. 85. P. 1-12.

123. Malvern L. The propagation of longitudinal waves of plastic deformation in a bar of material exhiliting a strain rate effect // J. Appl. Mech. 1951.№18. :.v '

124. Mindlin R.D. Influence of rotatoiy inertia and shecor on flexural motions ofisotropie elastic plates. J. Appl. Mech., 1951, v. 18, № 1, p. 31-38.

125. Morgan G.W., Lin T.C. A study of axisymmetric vibrations of cylindrical shells as affected by rotary inertia and transverse shear // Paper Amer. Soc. Mech. Engrs. 1955. NA-59. J. Appl. Mech. 1956. V. 23. № 2. P. 255-261.

126. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells // Quart. Appl. Math. 1957.

127. Niyog A. K. Bending ofaxially constrained beams on elastic foundation.// Int. J. Mech. Sci., 1973, № 10, p.781—787;

128. Peralta L., Carrier G., Mow C. An approximate procedure for the solution of a class of transient-wave diffraction problems//Trans. ASME Ser. E. J. of APPL. Mech. 1966. Vol.33.№l. P.168-172.

129. Poisson S.D. Mémoire sur V Equilibre et le Mouvement des Corps Elastiques //Mémoires de PAcademie des Sciences. 1989. V. 8. Ser. 2. P.- , 357-570. :

130. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibration of prismatic bars.//Phil. Mag. 1921. V. 41. P. 744' 746.

131. Wang C. M., Lam K. Y., He X. Q. Exact solutions for Timoshenko beams on elastic foundations using Green's functions // Mech. Struct, and Mach— .1998.— 26,№ 1— p.101-113,