Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода - построение математических моделей и приближенное решение их уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ткаченко Олег Павлович

ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ИЗОГНУТОГО ТРУБОПРОВОДА: ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИХ УРАВНЕНИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 3 [¿АР т

Хабаровск - 2012

005020647

005020647

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительном центре Дальневосточного отделения Российской академии наук (ВЦ ДВО РАН)

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Рукавишников Виктор Анатольевич

Официальные Шашкин Александр Иванович,

оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Балтийский государственный технический

университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Защита состоится 27 апреля 2012 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, Владивосток, ул. Радио, 5. E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан " марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор, Воронежский государственный университет, факультет прикладной математики, информатики и механики, декан

Груздков Алексей Андреевич, доктор физико-математических наук, Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), доцент

Одинокое Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор, Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения РАН, директор

кандидат физ.-мат. наук

Дудко Ольга Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный ¡алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным.

Актуальность проблемы. В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы — практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.

Проблемы исследования движения жидкости в трубах и труб под воздействием жидкости являются классическими задачами механики, всегда привлекавшими внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский1, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, А.С. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев. W.R. Dean и другие известные специалисты.

В.И. Феодосьев математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода2. Неустойчивость является одной из причин опасного изменения профиля. Сейсмическая активность с точки зрения влияния на трубопроводы проанализирована в книге I. Towhata3. Поведение подводных трубопроводов исследуется научной школой В.А. Светлицкого в рамках теории гибких стержней. В таких задачах о движении трубы во внешней среде характерно проведение исследований в рамках теории стержней.

'Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. - М.-Л.: Гос. изд. техя.-теорет. лит., 1949 - 104 с.

'Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. - 1951. - Т.10. - С. 169-170.

3Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. - Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. - 684 p.

Для диагностики состояния трубопровода предлагалось использование различных гидроупругих волн, вплоть до гидравлического удара, параметры которых должны отражать форму профиля. Вопросами распространения гидроупругих колебаний в трубе, заполненной жидкостью, занимались JI. Эйлер, Д. Бернулли, Н.Е. Жуковский и другие известные ученые. Исторический обзор исследований гидравлического удара сделан Г.Т. Алдошиным4, в этом обзоре отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, от гемодинамики до волн в металлических трубах. Теория гидравлического удара и колебаний в прямых трубах5 хорошо разработана, но одномерность математических моделей не позволяет изучать влияние изгиба профиля трубопровода на распространение волн давления, кроме случая поворота профиля вокруг точки на угол 7г/2. A.C. Вольмир исследовал взаимодействие цилиндрических оболочек с потоком жидкости, используя уравнения полной теории гидроупругости, но такой подход эффективен только для труб средней длины.

В монографии В.З. Власова6 изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Там же описано построение линейной теории полубезмоментных оболочек, хорошо описывающей поведение труб средней длины, для которых

*<„.!, (1)

•ПО щ

где h - толщина, L - длина, Rq - радиус поперечного сечения, ро - радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. В диссертации удалось учесть в рамках применимости условия (1) конечность продольных деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.

В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпирических формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибеля, Н.Е. Кочина, Л.Г. Лойцянского, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nusselt, L. Prandtl, Т.Е. Stanton и других. Эксперименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе7 приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского8. В основу описания дви-

4Алдоппш Г.Т. К истории гидроупругости от Эйлера до наших дней // Механика твердого тела. -2007. - Вып. 27. - С. 184-191.

'Адцошин Г.Т. Внутренние сопряженные задачи аэрогидроупругости // Модели механики сплошной среды: Сб. докл. и лекций XIV Междунар. школы по моделям механики сплошной среды (17-24 августа 1997, Жуковский, Россия). - М.: 1997. - С. 4-15.

бВласов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. - Власов В.З. Избранные труды. -Т.1. - Москва: Издательство АН СССР, 1962. - С. 15-439.

7Nikuradse I. Gesetzmässigkeiten der turbulent Strömung in glatten Röhren. - VDI, Forschungsheft, 1932, Bd. 356. Русский перевод: Проблемы турбулентности. - M.: ОНТИ, 1938. - С.75-150.

8Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

жения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения жидкости Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями Никурадзе-Лойцянского для плотности силы сопротивления потоку.

з

На основе обобщения мирового опыта в книге I. изложен под-

ход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода.

С.П. Тимошенко создал теорию конечного изгиба арки9, идейно повлиявшую на методику учета нелинейности изгиба оболочки автором диссертации.

Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе крупномасштабных гидроупругих волн.

Следовательно, развитый в диссертации подход к исследованию трубопровода как протяженной оболочки кольцевого поперечного сечения с изогнутой образующей, нагруженной внутренним потоком и внешней средой, актуален. Этот подход позволяет преодолеть вышеупомянутые трудности, а новый алгоритм преобразования решений редуцирует задачу к одномерной системе уравнений.

Комплекс математических моделей, представленный в данной работе, позволяет решить и прикладные задачи: спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении, определить параметрические зависимости распространяющихся внутренних волн и выбрать методику дистанционного контроля.

Целью работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.

Научные результаты, выносимые на защиту.

• Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним пото-

9Тимошевко С.П. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // В кн.: Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука. - 1971. - С.662-669.

ком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

• Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, наг груженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

• Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

• Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения как внешней, так и внутренней задачи. На его основе для этих задач выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную.

• Показано, что предложенные математические модели обладают ббльшей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

• Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

Научная новизна. В уравнениях технической оболочки для внешней задачи учтены нелинейные слагаемые, описывающие зависимость деформации растяжения от изгиба осевой линии трубы. Эти уравнения получены как результат последовательного упрощения уравнений движения трехмерного твердого тела, которое находится под действием сил трения и давления

со стороны внутреннего потока жидкости, давления и сопротивления внешней среды. Учет совокупности этих сил в такой постановке задачи также является новым.

Численным экспериментом показано, что поперечные сечения протяженной изогнутой трубы под действием внутреннего потока испытывают де-планацию. Искажение формы поперечного сечения цилиндрической полубез-моментной оболочки (при условии (1)) под действием бимоментной нагрузки в натурном эксперименте описано В.З. Власовым10. Но, как правило, в приложениях при построении математических моделей трубопроводов используется гипотеза плоских сечений.

Для внутренней задачи получены общие трехмерные уравнения совместного движения трубопровода и потока сжимаемой жидкости с учетом влияния внешней среды в специальных ортогональных криволинейных координатах, что является обобщением существующих подходов и позволяет в дальнейшем строить цепочки математических моделей на основе полных уравнений, с учтенной единым образом геометрией механической системы.

Создан обобщенный алгоритм снижения размерности задачи на единицу, основанный только на геометрических параметрах трубопровода и не зависящий от вида задачи, внешней или внутренней.

Новым является математическое описание нелинейных волн в трубопроводе, заполненном несжимаемой жидкостью. Ранее такой подход применялся только к гравитационным волнам, здесь он стал возможен благодаря найденным асимптотическим разложениям и заменам переменных.

Практическая ценность. Математическая модель движения трубопровода позволяет спрогнозировать положение профиля при заданном начальном отклонении. Поскольку характерные параметры модели соответствуют параметрам промышленных трубопроводов, то на основе расчета возможно провести планирование экспериментальных исследований.

Математическая модель внутренней задачи о распространении гидроупругих колебаний позволяет получать действительные значения давлений в случае возникновения гидравлических ударов, и спроектировать корректные режимы остановки и запуска перекачки жидкости по трубопроводу.

На основе полученных формул можно анализировать зависимость характера распространения волны давления в подземном трубопроводе от кривизны его оси. Это дает возможность для разработки системы контроля состояния трубопровода путем зондирования акустическим сигналом.

Созданный комплекс программ позволяет численно анализировать процесс распространения гидроупругих колебаний в трубопроводах с различным профилем и прогнозировать динамику деформирования трубы.

10Власов В.З. Принципы построения общей технической теории оболочек. - Власов В.З. Избранные труды. - Т.2. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - С. 467-503.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах ИАПУ ДВО РАН, проводившихся под руководством академика В.П. Мясникова (1991-2002), на III Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абрау-Дюрсо, 1991), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Находка, 1992, 1994; Владивосток, 1998, 2001, 2002, 2004, 2007, 2010; Хабаровск, 2005, 2009), на III Межреспубликанском совещании по математическому моделированию природных и антропогенных катастрофических явлений (Новосибирск, 1995), на Far-Eastern School-Seminar on Mathematical Modeling and Numerical Analysis (Находка, 1999, 2001), на Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004), на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2006), на 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки (Хабаровск, 2007), на Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, Казахстан, 2008), на Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение», приуроченной к 90-летию академика JI.B. Овсянникова (Новосибирск, 2009), на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2009), на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих периодических изданиях [1]-[13] и материалах международных и всероссийских конференций [14]—[19]. Прочие публикации приведены в списке литературы в тексте диссертации, всего 40 печатных работ.

Личный вклад автора. В работах, написанных в соавторстве, автором построены и теоретически обоснованы математические модели, проведен асимптотический анализ их уравнений, выполнены расчеты на компьютере. Создан алгоритм редукции уравнений к задачам меньшей размерности. В текст диссертации включены только те результаты, которые получил автор.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объем работы составляет 332 страницы, включая 60 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 181 наименование.

Выражаю признательность своему Учителю, ныне покойному, академику РАН, лауреату Государственной премии РСФСР (1988) и ряда других правительственных и научных наград, заслуженному профессору МГУ Вениа-

мину Петровичу Мясникову. Вениамину Петровичу принадлежит формулировка научной проблемы, исследованию которой посвящена диссертация.

Благодарю своего научного консультанта, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Анатольевича Рукавишникова за многие полезные советы, которые способствовали написанию диссертации и подготовке ее к защите.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и основные задачи исследования, сделан обзор литературы по теме диссертации, отражающий современное состояние рассматриваемой проблемы. Приведен обзор результатов диссертации по главам. Сформулированы основные научные результаты, представленные к защите.

В главе 1 определены основные понятия для изучения движения трубопровода, проложенного неидеально во внешней среде. Введены необходимые системы координат и приближения для построения математических моделей, обоснованы исходные предположения о поведении трубопровода под действием имеющих место нагрузок. Построена математическая модель деформирования стенки трубопровода как трехмерного упругого тела, представляющая собой нелинейную краевую задачу.

В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, введены основные системы координат и проанализирована геометрия механической системы.

В подпункте 1.1.1 приведены основные предположения при построении математической модели и сформулирована физическая задача. В подпункте 1.1.2, согласно общей методике геометрического анализа задач механики сплошных сред11, введены три системы координат: глобальная система отсчета, начальная лагранжева система координат и сопутствующая лагранже-ва система координат. Последние две системы координат являются новыми и специальными для геометрии изогнутого трубопровода, впервые опубликованными в [2]. Похожие криволинейные координаты опубликованы в 12, основаны на работе 13, и обладают меньшей общностью.

Геометрия трубопровода и системы координат изображены на рисунке 1. Начало лагранжевой системы координат выбрано в той же точке О, что и декартовой системы отсчета. Пусть длина дуги осевой линии трубопровода в его начальном ненапряженном состоянии определяется заданной функцией s = s(x,y). В каждой точке О' осевой линии Г проведена плоскость, перпендикулярная касательной к этой линии. В этой плоскости построена

"Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. - Т. 1. СПб.: Лань, 2004. - 528 с.

"Sasic R., Sasic S. А new approach to the velocity field investigation in case of the entry flow in curved pipes with circular cross section // Acta Mechanica, Springer-Verlag. - 2000. - V.140. - P.103-117.

"Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Phil. Mag. - 1927. - Vol. 4. - P. 208-223.

Рисунок 1. Геометрия трубопровода и системы координат

полярная система координат {О'-, в, й}, рис. 1. Три числа {s, 9, R} и начало координат О однозначно определяют точку стенки трубы до деформации, если выполнено условие R < min |/9o(s)|, где p0(s) - радиус кривизны осевой линии трубопровода в начальном состоянии.

В подпункте 1.1.3 выведены геометрические соотношения для начальной лагранжевой ортогональной системы координат (О; s, в, R), необходимые для выполнения операций ковариантного дифференцирования и записи основных операторов математического анализа:

Здесь 9и - компоненты метрического тензора, - коэффициенты Ламе, к° - главные кривизны срединной поверхности трубы.

В подпункте 1.1.4 сопутствующая лагранжева система координат заменена близкой к ней "актуальной" ортогональной системой координат, указаны пределы применимости этого приближения. Эта замена основана на

(2)

sin б 0 _ 1

po{s) + Ro sin в'

о

о

том, что перемещение сечения трубы как целого в поперечном направлении намного больше, чем изменение ее радиуса и продольное перемещение.Для этих координат найдены геометрические соотношения, необходимые для выполнения операций дифференцирования и других действий математического анализа. Эти соотношения идентичны (2) без индексов 0, кроме Щ. В этом случае р{Ь, в) - текущая кривизна осевой линии.

В пункте 1.2 рассматривается связь перемещения стенок трубы и вызванного им изменения положения осевой линии и векторов базиса сопутствующей системы координат. Введены физические компоненты вектора перемещений и перемещение срединной поверхности трубы, найдена связь перемещений в начальной и актуальной конфигурациях.

В подпункте 1.2.3 анализируется кинематика перемещения осевой линии трубы. Введен важный для всей работы малый параметр

Л = . « 1, (3)

характеризующий малость начального изгиба профиля трубопровода.

В подпункте 1.2.4 получены кинематические соотношения, связывающие физические компоненты вектора перемещений срединной поверхности трубы в начальных и актуальных координатах:

и (л ди Л V ди о к . „ и = — ( А - -т--уксоэ^ — -=--=т— ги и-гвшб;

Л0\ Зв ) До дв А

о /, 1 дь ги \ и (ду Л о V

о и (ды .Л V (дт \ а также формулы, определяющие текущее положение осевой линии трубы:

2ж 2я-

хМ = ®о(в) + I и М + у (?, С05в+ и, вш*) с1д;

о о

2тг 2тг

=!»(») + ¿Л / 4 . - / (« „»Ь й *,») «

О О

. $у(&г\~х

Здесь обозначено: к - текущая кривизна осевой линии; перемещения

срединной поверхности в актуальных координатах относительно направлений 5, 9, Я соответственно; и,у,у)- перемещения в начальных координатах; ^о(з), Уо(в) - декартовы координаты начального положения осевой линии Г; Ф, у(в, ¿) - координаты текущего положения Г.

В пункте 1.3 выписаны уравнения движения трубопровода как трехмерного упругого тела с учетом конечности деформаций. Выведены краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубы.

В подпункте 1.3.1 зафиксированы общие уравнения движения стенки трубы как трехмерного упругого тела в инвариантном относительно выбора системы координат виде, известные в других обозначениях6. В подпунктах 1.3.2, 1.3.5 получены некоторые технически необходимые формулы. В подпункте 1.3.3 выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубы. Величины внешнего давления ре и скорости обтекания Ув на границе труба-внешняя среда для использования в краевых условиях найдены в подпункте 1.3.4. Метод их вычисления основан на известном решении задачи обтекания бесконечного цилиндра вязкой жидкостью14.

Подпункт 1.3.7 посвящен окончательной формулировке математической модели движения трубопровода как трехмерного упругого тела специальной геометрии, нагруженного изнутри потоком жидкости, а снаружи - давлением и сопротивлением трения сильно вязкой внешней среды:

| и - *.++1А .

,9ра а 1 д

дз ^Шдв

(9пРав)+7тм

{х/дйЯрлп) - Яра* - у/д: + Ш (\/5йРвя) = Рь^/дПЯ

дЯ

'аз

— у/Ийрве+

(4)

Рас = \1\{е) + 2цеаа\ ра0 = 2цеа0, а ф /?; а,0 = в, в, Я;

- 612 с.

"Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. - М.-Л.: Гостехгодат, 1948.

£зя -

v^IT

dwe l /О— \ 2 /о- N 2п

-5—h аде« cos в + гидк sin в--

ds

A0 =

_ 1 dwe wR dwR

£e9~R-d9+-R' £т = Ж>

1/1 dwe 1 dw„ к \

e°9" 3 аГ"+ д»-cos ^J; (5)

на внутренней поверхности трубы, при Д = До - /г/2:

= ~Ф*Ко)> = 0, pRR = -р;

•, если Re < 2000

0 221

[ 0,0032 + д^237, если Де > 2000;

Re f(s>t) = -A^L-

v} ' JV ' ; maxMs)|'

Р = Ра + (3v2a0(L -s) + Rqk(s, t)pfv2s0 sin (6)

на внешней поверхности трубы, при R = Rq + h/2:

п 2т?и* cos в PsR = 0; peR -----2--- ;

Ло(о,5-1п|^До|) РПЯ = -Ре = -P9rgh0 (l-^cose)--. _

V / Ль(о,5-1п|2£^Ло|)

, dwn 1 Jidv п dw \

u =~m=^J[wcos9 + -8rsiae)d9- О

Математическая модель состоит из системы дифференциальных уравнений в частных производных (4), (5), краевых условий на внутренней поверхности (6) и условий на внешней поверхности (7). Здесь обозначено: ws, we, wR - перемещения точек стенки трубы вдоль в, в, R; ру, - физические компоненты тензоров напряжений и деформаций стенки; Ф - плотность силы сопротивления стационарному потоку; vs0 - физическая скорость стационарного потока вдоль оси s; р - давление жидкости; ре - давление внешней среды; pgr, pf, pt - плотности внешней среды, жидкости и трубы; А, ц -параметры Ламе материала трубы.

В краевые условия (6) вошли упомянутые ранее соотношения Никура-дзе-Лойцянского для коэффициента сопротивления Ад.

В главе 2 рассматривается внешняя задача о медленном движении изогнутого трубопровода как оболочки в вязкой среде. Поставлена нелинейная начально-краевая задача о движении срединной поверхности трубы, проведен ее асимптотический анализ, создан и реализован алгоритм численного решения поставленных задач на ЭВМ. Рассчитаны деформации стенки трубы, установлено, что поперечные сечения трубопровода испытывают депла-нацию даже при малых деформациях.

В результате асимптотического разложения решения и последующего выбора его вида внешняя задача динамики трубопровода редуцирована к одномерной, при сохранении общности расчета трубы как оболочки.

Проведен анализ движения трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде. Найдены приближенные формулы для силы сопротивления, среды, влияние изгиба оси стержня на осевое напряжение, построена математическая модель движения. Найдены численные оценки величины напряжения в стенке трубы.

В пункте 2.2 выполнен переход от уравнений движения трехмерного упругого тела к уравнениям для общей моментной оболочки, затем к уравнениям технической оболочки, затем - к упрощенным уравнениям медленного движения.

В подпункте 2.2.1 получены соотношения между физическими компонентами векторов перемещений срединной поверхности и главными деформациями трубы как оболочки. Выведены уравнения, являющиеся исходными для вывода общих уравнений движения в моментной теории оболочек и записанные в принятых здесь координатах.

В подпункте 2.2.2 получены уравнения для общей моментной оболочки. В подпункте 2.2.3 найдены усилия, возникающие в оболочке от действия сил инерции, их моментов и поверхностных сил на внешней и внутренней поверхностях трубопровода. Итоговая система уравнений описывает процесс деформирования стенки трубы как общей моментной оболочки с учетом геометрической нелинейности в рамках принятых приближений.

В подпунктах 2.2.4, 2.2.5 выполнен переход к уравнениям медленного движения стенки трубопровода как полубезмоментной оболочки.

В подпункте 2.2.6 полученные уравнения упрощаются. В выражениях для сил также отброшены слагаемые, порожденные моментными членами. В результате получена система уравнений, которая, дополненная уравнениями вычисления текущей кривизны и положения осевой линии, является математической моделью медленных движений трубопровода в сильно вязкой среде

при условии конечности перемещений:

1-й' ' ЕЬ*

А/г/ з1п в - о( 1 - Л/ ип в) Х-,

^ + (1 - - хыпеЩ + (1 - - =

-(1 + Л/ 8Ш + (1 - и)аЦ- + (1 - V)А/ зш в - а^ зш в + ь' соз

+А/

/ЗиЛ3 /9и'\:

ы

,/\ 2

+

у 1/л/ ди'\ 1 / ду' . п , \

= 2 {"Ж ~ ~д9) ~ 2 (^«пв + и'со^ :

Ьх - + - + ¿(р -

02г/ 1

-У = -Р1и2Я1— - ~

2щ* соэ 0

2л- / о

2тг

л дп/ . л + 81П0

(8)

Здесь С, г - безразмерные длина дуги и время, и', и', и/ - искомые безразмерные перемещения срединной поверхности.

В пункте 2.3 установлено, что уравнения (8) допускают редукцию к одномерному виду, указаны условия применимости этой редукции и физический смысл коэффициентов асимптотических разложений.

В подпункте 2.3.1 принято ограничение перемещений стенки, а именно, их малость по сравнению с минимальным начальным радиусом кривизны

осевой линии трубопровода, поскольку эта величина, как правило, большая (min |ро| ~ 300 м).

В подпунктах 2.3.2, 2.3.3 выполнено асимптотическое разложение решений полученных уравнений, и выбран вид приближенного решения:

■vi = w0 + Aui + 0(А2), v' = v0 + Aui + 0( А2), w' = w0 + \wi + O{\2), u* = AuJ + 0(A2); (9)

= «t(Ci 7") sin г>1 = üi«,t)cosö, lüi = üJi(C,r)sm0. (10)

В результате получены системы уравнений, неизвестные функции в которых зависят только от одной пространственной переменной:

2д2щ dw0 3dw0d2w0 1 , , .

Wo +

h*2 ( «d2w<\

12

sc2

+ a

idSvo\

дс4;

+ ua

дщ д{

2 V

дщ\2_ dCj ~

1

а

2д2щ

Е*к

1 — v_ i + г/ &Ui

Ра + ¿ßv20 (f - С) - PgrQh^ . (11)

dwi ,

-ил--a-rr— + vot--f- f

1 2 дС dC J

1-й

„ ■)д2щ

+a(l -1/)

dwp

9CJ

з f dw\ d2wo dwo d2w\ \

~a v ас de + dt ос)+

+3o?f dw°d2w° -

1 — v 2d2vi

-a

-vi

ÖC ÖC2 E* 2 wl

ör2'

l + i/ düi _ Ro (0,5 - + + Wl+

.( 3-й du0\ 2dwodwi ptu2I&d2Vi

+/ ^o - — j - а — — = —

( A&^WI od2wi\ düi

W1 +

f. 12

E* дт2 '

+/

2^o + (1 - He^Sl - a2^^ + f^V =

о -r- v d(. j а ^ 2 J\dc)

E*h*

P/Vsof ~

2щ\

йо(о,5-1п|^До|)

Ptuj2 Щд2щ

E* ar2 "

(12)

У«, r) = j/o(C) + - ^^ (t7i + SJi);

K^T)~td(?/ dC Ul-~{&F + ~d7)- (13)

Решения уравнений (11) являются нулевым приближением по А решения внешней задачи, решения уравнений (12), (13) - первым приближением.

В пункте 2.4 найдены формулы, выражающие компоненты тензора деформаций стенки трубы через искомые функции математической модели.

В пункте 2.5 разработаны методы решения уравнений математической модели (11), (12), (13), как численные, так и аналитические. Построены необходимые разностные схемы, изложены алгоритмы решения их уравнений на ЭВМ. Найдены, где это возможно, аналитические решения.

В подпункте 2.5.1 система нулевого приближения (11) линеаризована. Ее решение найдено в системе аналитических вычислений Mathematica.

В подпункте 2.5.2 система дифференциальных уравнений в частных производных (12), (13) дополнена начальными и краевыми условиями. В подпункте 2.5.3 на основе интегро-интерполяционного метода15 и численных методов газовой динамики16 построена трехслойная разностная схема для нахождения численного решения поставленной начально-краевой задачи.

В пункте 2.6 поставлены численные эксперименты, направленные на верификацию математической модели и исследование движения изогнутого трубопровода. Рассмотрено шесть различных профилей трубопровода и обширный набор комбинаций внешних и внутренних условий, а также геометрических параметров для них. На основе выполненных расчетов и анализа деформаций стенки сделаны выводы: (а) построенная математическая модель обоснована и дает адекватное описание медленного движения и деформирования изогнутого трубопровода; (б) существуют точки, в большой окрестности которых деформации стенки трубы не малы; (в) при выполненном условии (1) необходим учет депланации поперечного сечения трубы.

В пункте 2.7 рассматривается медленное движение изогнутого трубопровода как стержня под действием потока жидкости и нелинейного сопротивления внешней среды. При этом перемещения могут быть конечными, но деформации считаются малыми. Новизна работы заключается в том, что при выводе уравнений движения учитывается сила продольного натяжения Т, возникающая в результате поперечного перемещения трубопровода, учтено

"Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

"Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1992. - 424 с.

вязкое сопротивление среды. Численный эксперимент показал, что величина растягивающих напряжений в стенке трубопровода может иметь порядок предела прочности стали.

В главе 3 решена внутренняя задача о гидроупругих колебаниях в изогнутом трубопроводе, погруженном во внешнюю среду. Выведены уравнения движения трубопровода и жидкости, проведен асимптотический анализ этих уравнений. На основании этого анализа построена одномерная математическая модель изучаемого механического процесса, получены новые формулы связи давления в жидкости и перемещения стенки трубы.

Алгоритм редукции уравнений математической модели к одномерному виду является аналогичным алгоритму главы 2. Эта общность обусловлена геометрией исследуемой механической системы.

В пункте 3.1 дана физическая постановка задачи, изложены основные предположения, принятые для ее решения. Главные из этих предположений: малость деформаций стенки трубы, малость параметров А и а = Щ/1, пренебрежение трением в колебательных процессах в жидкости, линеаризация уравнений движения жидкости в окрестности стационарного течения.

В пункте 3.2 выведены уравнения движения трубопровода как оболочки, нагруженной внутренним нестационарным потоком сжимаемой жидкости и реакциями внешней среды.

Метод вывода уравнений полубезмоментной оболочки идентичен6, но применен к длинной изогнутой трубе с учетом ее специальной геометрии. В результате получены оригинальные уравнения теории оболочек, ориентированные на задачи о протяженных трубопроводах и охватывающие более широкий класс задач, чем обычные стержневые математические модели.

Базовые уравнения движения трехмерного упругого тела и замыкающие их соотношения приведены в подпункте 3.2.1 и соответствуют (4), (2). В (5) опущены нелинейные члены. В подпункте 3.2.2 из общих соотношений на границе среды выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубопровода. В подпункте 3.2.3 выведены уравнения движения стенки трубы как оболочки, нагруженной внутренними колебаниями потока жидкости и вязкоупругим сопротивлением внешней среды. В подпункте 3.2.4 накладываются два различных вида краевых условий на торцах трубы: естественные условия и условия жесткой заделки.

В пункте 3.3 из уравнений гидродинамики Эйлера, с учетом силы сопротивления стационарному потоку, получены системы уравнений стационарного и нестационарного движения жидкости с тремя пространственными переменными. Как стационарные, так и нестационарные уравнения допускают выбор приближенного решения, при котором число независимых переменных уменьшается на единицу. После этой редукции найдено приближенное решение стационарной задачи, нестационарная задача сведена к одномерной.

В подпункте 3.3.1 из уравнений движения жидкости получены две системы уравнений: система для нахождения стационарного движения и система, описывающая колебательные процессы в жидкости. Для замыкания уравнений принят закон сопротивления стационарному потоку для шероховатых труб (см. Лойцянский Л.Г. ) и линейное уравнение состояния сжимаемой жидкости.

В подпункте 3.3.2 введены безразмерные переменные и функции:

С - */,, Г = ед,,=0«; - Ь, _ „„ = Ь, „„< = а.

оЛ' "-Ш1' 'д'" -^ЗР-

Уравнения стационарного и нестационарного движения жидкости приведены к безразмерному виду, наложены краевые условия:

<о_,ду> ь'во дг/ю ь'г0 8у>0 А /(С) ,/, , . 1

у/9п дС Р} 1

у/зй дС аг 50 а дг а у/Ш'(зо) аг ~ ж'Ж'

^£4.^2 Ш ( М2 "й- ^ ЭР°'

\/5п ас аг 50 а ' 5г аг а' д/Эп

у/дп аг дв а дг аг

• (<4> соз в + у'го вш б) = 0; (14)

<о(0,в,г) = ь0, |/п,(С,0|1) = О| р0'{С,6,г) = 1; (15)

дт д/^ГГ * ЗС

А/К)

, -«о --.,»4, 9у,У'то 0«, , А/(0 ( . , .Л,

+ ' я^ + ~ ' "32" +--лГ + "«о--7= ' соэ 0 + иг вт 0 +

^ аг а» а <Эг во а^/^п \ )

-^/йп ^С аг дв а дг 10 а^/рЦ 19

аг ar аг дв ^ + + dvr v'ro dvr Л/(С) . л

у'воув _ а2 др' ar а дг'

\дт VSTT дС аг дв а дг) y/gü'дС аг' дв

ldvr , vr А /(С) / \

+ ^ + ^оовв + ^dnflj =0; (16)

^1^(0, в, г, т) + /12р'(0, в, г, т) = Т0{т), р'{£, в, г, г) = 0,

УгЫ1,т) = а.^-(САг). (17)

В подпункте 3.3.3 изложен асимптотический анализ краевой задачи о стационарном движении жидкости (14), (15). Прямое разложение в степенной ряд по малому параметру А привело к решению нулевого приближения и системе уравнений первого приближения. Вид стационарного решения:

«ío(C, 0, г) =ьл (С. г) + A г) sin в + A t$(C, г) eos в + 0(А2),

v'eo(C,0,r) —Що (С,г) + At$(C,r) sin0 +Atfifor) cos<? + 0(А2),

v'ro(Ce,r) =¿ro (С,Г) + A^(C,r) 8infl +Av^(c,r) cos0 + O(A2),

PÓ(C,r) =Po (C,r) + Xp[o]{C,г) 8\пв + \р®(С,Г) COS0 + 0(A2). Найдено решение уравнений стационарного движения жидкости:

0 о о „ о 18 1,

vs0= v0 ; ve0=vr0= 0; Р0= 1 + -ьЦС- С).

р/а2 4 '

В подпункте 3.3.4 предложен вид приближенных решений уравнений движения стенки трубы и жидкости:

и' (С, г) + A ¿ (С, т) sin 0 + А и (С, т) cos 0 + О (А2),

=*> (С, г) + A ¿ (С, т) sin в + А Ь (С, т) cos 0 + 0 (А2), w' =w (С, т) + А А (С, г) sin в + A w (С, т) cos 0 + 0 (А2); (19) v3(r, С, г) =v3 (г, С, г) + А- V, (т, С, г) sin в + X-v, (г, С, г) cos 0 + 0(А2), ^(т, С, б, г) =ü<? (г, С, г) + А- щ (г, С, г) sin 0 + А- щ (г, С, г) cos 0 + 0(А2), tv(r, С, б, О =5Г (т, С, г) + A- vr (т, С, г) sin 0 + A- vr (т, С, г) cos 0 + О (А2),

Р'(т, С, в, г) =Р (г, С, г) + А- Р (г, С, г) sin в + А- р (г, С, г) cos 0 + О (А2). (20)

На основе этих разложений и предположений о пренебрежении моментами инерции стенки и медленном изменении кривизны оси трубы получены упрощенные уравнения движения стенки, зависящие только от одной пространственной переменной:

a h*

+ 2(1 + уК1~1/ =0; (21а)

(1-^рЛ л; h* Е ^ 2

а

du 2 h*2 2д2 ( «d2w i\ ( 0 h*2 w

ü ec ■- * +ña wAa W~ w )+ f л

>ô2

a'W+QU~dc+ 2

9iu l + i> dv 1 — и s

-aôC~ 2

u= —

l-v2 L

E

X,

1-1/ /¿ 1 + 1/ öu I 2 \-v2 ~ du г h*2 2д2 f 2d2W Л 1 _ í/2 1

u; 4-af--f- V H--a—- { a—-— w 1--Z— 0:

dÇ 12 ÔÇ2 \ dÇ2 ) E

h o2 2ö2U 1 Л\. n Г 0 д ( 2 Х= -ptRW-g^ - £г(1 + [Ре^«-

V

Л*аЗиЛ г Д'/о Ä'aöwM

'•wJJ'

- ¿(1 + h^kpaUjRo ре ¿ [(1 + у) I ¿

,1

2,

,2 ^ . Ра

Z= +

h\ , i . .w i V h*

дт2 h*

2 'v c ' 2

1, /, h\ о д Г,, Л\ 2 h* i +-А;р0и;Я0(1 + y) pe + -)v-—w

a, „ f„ ft\Ô[. 9Л h*adw h*a, dw\

- 2 Í1 + т)* l * * (tt ~вс

1 ö/o Л*адиЛ1 jfo ö/o Л*а0ш\"П Л* , .

+Дu~всл ~ 'щ А * Г)]/+та/

од2

и)

+у)

г

1л . л* >

. д ( 2

к*ади\ г а/о Л'аЗиЛЦ

-—ЖГРед-т{и-—1к).Г (21Ь)

В подпункте 3.3.5 путем подстановки в задачу о нестационарном движении жидкости (16), (17) решений (20) получены системы уравнений, не содержащие угловой координаты в. Разложением решений полученных уравнений в степенные асимптотические ряды по малому параметру а получены упрощенные уравнения нулевого по А приближения:

дУер

дт

, дь81

= -а# +

([¿Ао + №Ро)

<=о

= Ро(т)\ Ро

= 0; %0

= Р0

т=0

= 0.

(22)

В подпункте 3.3.6 анализируется задача первого приближения по А, состоящая из системы уравнений движения трубы (21Ь) с однородными краевыми условиями, и системы уравнений движения жидкости с входящими в нее краевыми условиями, при однородных начальных условиях. Решения начально-краевой задачи движения жидкости разложены в ряд по а, полученные уравнения решены при условии, что перемещения стенки известны.

В результате найдены формулы для поправок первого приближения к давлению жидкости:

1 1>о

Р2= г-4

ГЛ* Ш [ 1 д Гдги дгЬ\ 1 ,

. (3/+ 7,}'"О Я*"53? ('«Г+"'к )+ з(г'3№' О

1 2 ггм ^ , 1

1

Рг=

д ги\

Р= а2 Р2 . (23)

_ г д /дт и. 2 а? дг\дт У°

Все слагаемые из (20) выражены через известные из предыдущего материала функции и поправки первого порядка к радиальному смещению стенки трубопровода ш, т. Задачи поиска давления в жидкости и движения стенки разделяются. После нахождения го, ги и подстановки их величин в (23) динамика давления в жидкости определена полностью.

В главе 4 решаются задачи об анализе малых колебаний внутри потока жидкости, заключенного в гибкую упругую трубу, поставленные в главе

3. Исследуется как отклонение стенок трубы под влиянием стационарного потока жидкости, так и распространение нестационарных внутренних волн. Построены разностные схемы для численного анализа стационарных и нестационарных решений уравнений математической модели. Проведена верификация математической модели на основе литературных данных.

В пункте 4.1 ставится и решается задача о перемещениях стенки трубы под действием стационарного потока жидкости, определенного формулами (18). Это необходимо для постановки начальных условий в задаче о нестационарных колебаниях трубопровода.

В пункте 4.2 сначала ставится и решается начально-краевая задача нулевого приближения по Л на основании соотношений (21а), (22), затем — начально-краевая задача первого приближения на основании формул для давления в жидкости (23) и уравнений колебаний стенки трубы (2lb).

В подпункте 4.2.1 начально-краевые задачи нулевого приближения преобразованы к виду, удобному для численного решения. Полученные начально-краевые задачи аппроксимированы разностными схемами, аналогичными главе 2.

В подпункте 4.2.2 упрощаются уравнения и соотношения (21b), и ставится задача поиска волновой динамики в первом приближении. Для численного решения этой задачи в подпункте 4.2.3 построена разностная схема. В подпункте 4.2.4 решен тестовый пример, установлена качественная согласованность решения с известными результатами механики.

В пункте 4.3 предложенная математическая модель верифицирована на основании сравнения с литературными источниками теоретического вывода ее уравнений и результатов численных экспериментов. Рассмотрены задачи о гидравлическом ударе в полимерной изогнутой трубе, об акустических колебаниях коленообразного трубопровода, о гидравлическом ударе в трубопроводе с коленами.

Перечислим источники численных экспериментальных данных, с которыми сравнивались результаты расчета по построенной математической модели. В подпункте 4.3.2 расчет проводился по данным17 о гидравлическом ударе в полимерном трубопроводе. В подпункте 4.3.3 сравнивались данные18 по малым акустическим колебаниям криволинейного трубопровода. В подпункте 4.3.4 рассчитывался трубопровод с коленом, в соответствии с данными19. В подпункте 4.3.5 анализируются параметры реальных трубопровод-

17Kulikov Yu.A., Loskutov Yu.V., Maksimov M.A., Zdanovich Yu.K. Numerical-experimental investigation of the elastic deformation of a polymeric pipeline under impact // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2001. - Vol. 42. - № 2. - P.294-299.

"Миронова Т.Б., Прокофьев A.B., Шахматов E.B. Разработка конечноэлементной модели виброакустических процессов в трубопроводе с пульсирующим потоком рабочей жидкости // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. Авиационная и ракетно-космическая техника. - 2008. - № 3. - С.157-162.

19Wiggert D.C., Otwell R.S., Hatfield F.J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal

ных систем20.

По данным расчетов сделан вывод о согласованности математической модели распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе с известными результатами вычислительной механики. В то же время, предложенная модель охватывает все перечисленные частные случаи, а значит, является более общей, чем модели из использованных источников.

В главе 5 на основе модели несжимаемой жидкости, движущейся в полностью заполненной трубе, построены математические модели распространения внутренних нелинейных гидроупругих волн. Для волн в прямой трубе выведено уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Показано, что поправка к потенциалу скорости в изогнутой трубе подчиняется уравнению Клейна-Гордона-Фока. Доказана достаточность этого уравнения для описания волн первого приближения по кривизне в изогнутой трубе. Дано обобщение метода учета геометрии изогнутого трубопровода, позволяющее свести задачу к одномерной по пространству. .

Пункт 5.1 посвящен построению и анализу математической модели распространения нелинейных волн в прямолинейном трубопроводе.

Главным результатом подпункта 5.1.1 является математическая модель распространения нелинейных волн:

Яо 1 ж ,

</? ----ргФ - безразмерный потенциал;

а и>1

Д2 , а

£ = -гг -С 1, /х = — 1 - малые параметры; « Ло

ги = — - прогиб стенки трубы; о - амплитуда начального прогиба; „ г ^ Я

С = 7> ? = уг, т = - координаты и время;

I Но

д\ 1д(р _ £дС2 + д? + £ д£ ~ 5 дш

^ = 0 при £ = 0; дги . дшды \дц> , „

of Fluids Engineering. - Vol. 107, 1985. - P. 402-406.

20Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. - М.: Стройиздат. - 1969. - 240 с.

В подпункте 5.1.2 получено асимптотическое разложение потенциала скорости жидкости:

из уравнений (24) выведены уравнения мелкой воды.

В подпункте 5.1.3 получено уравнение, описывающее движение жидкости с волнами, бегущими в двух направлениях:

д^ро_1^ро = /1 дУо дрр д2<рр 1 д<р0 д2щ 1 ЭУ(Л дт1 2 д? 6 \4дт2дС2 д{ дтд( 2 дт д<? 16 д{4) '

Далее серией замен переменных выведено уравнение КдВ:

^дх\ Эх^ ^

В подпункте 5.1.4 приведены частные решения КдВ и показано, как из них найти потенциал скорости жидкости. В подпункте 5.1.5 анализируется нелинейная волна, образуемая срединной поверхностью трубы, изучается скорость этой волны и сравнивается со скоростью гидравлического удара. Доказано, что нелинейная волна опережает гидравлический удар.

В подпункте 5.1.6 изучается поведение механической системы при различных соотношениях между малыми параметрами в уравнениях (24). Рассмотрены два предельных случая

е < ц; е » ц.

Особое внимание уделено первому случаю, так как для него выполнены уравнения мелкой воды. Проведено сравнение с данными натурного эксперимента, научная значимость этого сравнения в том, что некоторые волновые явления в трубах могут быть теоретически исследованы без привлечения математических моделей сложных физических процессов, таких как кавитация и течение газожидкостной смеси.

В пункте 5.2 изучается случай, когда осевая линия трубы слабо изогнута, что вносит в задачу асимметрию. Определено такое приближенное решение для случая малой кривизны оси, при котором из уравнений исчезает угловая координата. Установлено, что в нулевом по кривизне оси приближении, по аналогии с п. 5.1, волновая динамика трубопровода описывается уравнением КдВ. После замены неизвестной функции в первом приближении получено известное в математической физике уравнение Клейна-Гордона-Фока, как следствие только геометрии трубы, и показана его достаточность в рамках принятой точности. Найдено его численное решение для исследуемой задачи, дана физическая интерпретация искомых функций.

В подпункте 5.2.1 построена математическая модель распространения нелинейных волн в идеальной несжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода:

d2ip f дра е\ / sin в dtp gn d2tp 9? Po 9C у/Ш &C+ +

+ 9пд± + flA/cos^ + fi (1 + 2£A/sin*) | - 0;

dw 2¡i dtpdw Q^&pdw _ld<p (25)

дт {1 + £\/ппв)2дСдС+7ёШ~д9~Щ'

(26)

2 (1 + £А/ sin 0)

В подпункте 5.2.2 найден вид приближенного решения уравнений (25), позволивший упростить их:

V = <Р°(т, С, О + AVx(t, С, о sin 0 + О (А2), tu = и>°(т> С) + Awi(r, С) sin в + О (А2).

Из уравнений нулевого приближения для <р°, w° при условии

М = £ al2 = В$ (27)

получается уравнение КдВ. Соотношение (27) является условием существования уединенной волны в цилиндрическом трубопроводе.

Далее найдена замена неизвестной функции (28), позволившая после асимптотического разложения (29) свести уравнения первого приближения к неоднородному уравнению Клейна-Гордона-Фока (30):

z =

Í1 V

<Pi = $-z; (28)

z = 2o(TC) + {2£f_d^+5 М) (diz0

(29)

^ - 15 aygfaCi)

В подпункте 5.2.3 доказана достаточность (30) для решения исследуемой задачи в рамках принятых приближений. В подпункте 5.2.4 сформулирована начально-краевая задача для полученного уравнения Клейна-Гордона-Фока. Эта задача решена численно для двух тестовых профилей трубопровода. В подпункте 5.2.5 изложен физический смысл результатов.

В пункте 5.3 установлено, что метод упрощения математической модели внутренних волн в трубопроводе, использованный в данной диссертации, может быть применен только благодаря геометрии трубы, а именно: труба является изогнутым каким-либо образом цилиндром. При этом сечение трубы плоскостью, перпендикулярной осевой линии, имеет форму кольца. Вследствие этого существует такая криволинейная система координат, конструктивно построенная в главе 1, в которой уравнения движения трубы и жидкости имеют вид, допускающий редукцию задачи к одномерной.

Основные научные результаты

• Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним потоком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

• Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

• Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

• Для всех рассмотренных моделей найден общий метод редукции уравнений к задачам меньшей размерности:

— для модели медленного движения (8) найден вид решений (9), (10), вследствие чего получены уравнения (11)—(13);

— для квазилинейных уравнений распространения гидроупругих колебаний найден вид решений (19), (20), который привел к уравнениям (21)—(23);

— для уравнений распространения нелинейных волн (25) найден вид решений (26), позволивший уменьшить размерность задачи.

• Показано, что предложенные математические модели обладают большей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

• Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

• Установлено, что примененный в данной работе алгоритм редукции задачи к одномерной обусловлен только геометрией механической системы и поэтому является универсальным для механики трубопроводов.

Основные публикации по теме диссертации

1. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе // Вычислительные технологии. - Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 1993. - Т.2, № б. - С. 112-122.

2. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. - 1996. - Т.1, № 3. - С. 78-86.

3. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика. - 2000. -Т. 41, № 6. - С. 161-169.

4. Ткаченко О.П. Движение подземного трубопровода с учетом конечности его перемещений // Вычислительные технологии. - 2001. - Т.6, ч.2. -Спец. выпуск: 1ШАММ-2001. - С. 628-631.

5. Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения подземного трубопровода // Вычислительные технологии. - Т.7. - Вестник КазНУ им. Аль-Фараби, Серия математика, механика, информатика - № 4(32). - Совместный выпуск. - Алматы-Новосибирск. - 2002. - Часть 4. - С. 188-195.

6. Ткаченко О.П. Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8, № 4. - С. 97-107.

7. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т.44, № 4.

- С. 144-150.

8. Ткаченко О.П. Асимптотическое представление и численный расчет конечных деформаций криволинейного подземного трубопровода // Вычислительные технологии. - 2006. - Т.11, № 1. - С. 95-105.

9. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т.48, № 1. - С. 146-153.

10. Ткаченко О.П. Процессы конечного деформирования и нелинейная волновая динамика трубопровода // Вычислительные технологии. -Т. 13. - Вестник КазНУ им. Аль-Фараби, Серия математика, механика, информатика - № 4(59). - Совместный выпуск. - Алматы-Новосибирск.

- 2008. - Т.З. - С. 243-248.

11. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Влияние изгиба профиля трубопровода на распространение внутренних гидроупругих волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т.50, № 11. - С. 1988-1997.

12. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010. - Т.13, № 4(44). - С. 97-108.

13. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численный анализ математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Математическое моделирование. - 2011. - Т.23, № 1. - С. 51-64.

14. Ткаченко О.П. Влияние изгиба оси трубопровода на распространение уединенной волны // Математическое моделирование и краевые задачи.

- Труды V Всероссийской научной конференции с международным участием. - Самарский технический университет, Самара, 29-31 мая 2008.

- Часть 1. - Самара: СамГТУ, 2008. - С. 321-323.

15. Ткаченко О.П. О математическом моделировании гидравлического удара в изогнутом трубопроводе // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2010. - С. 281-284.

16. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // The Far-Eastern School-Seminar on Mathem. Modeling and Numerical Analysis. - Khabarovsk: Publishing of FESTU. - 1999. -P. 144-154.

17. Ткаченко О.П. Движение изогнутого трубопровода в вязкой среде // Proceedings and Abstracts of 2001 Far-Eastern School-Seminar on Mathem. Modeling and Numerical Analysis. - Khabarovsk: Publishing of FESTU. -2001. - P. 195-200.

18. Rukavishnikov V.A., Tkachenko O.P. The numerical modeling of a thin-walled curved underground pipeline by finite strains // Международная конференция по вычислительной математике. Труды: часть 2. - Новосибирск, 2004. - С. 922-926.

19. Ткаченко О.П. Внешняя и внутренняя задачи динамики трубопровода // Международный симпозиум "Образование, наука и производство: проблемы, достижения и перспективы": материалы Всероссийской конференции "Школа по фундаментальным основам моделирования обработки материалов" и научно-технической конференции "Математическое, вычислительное и информационное обеспечение технологических процессов и систем". - Т.4. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУ ВПО КнАГ-ТУ, 2010. - С. 147-150.

<1 I

ТКАЧЕНКО ОЛЕГ ПАВЛОВИЧ

Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода: построение математических моделей и приближенное решение их уравнений

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 25.01.2012 Объем 2 пл., 2,08 уч.-изд.л.

Формат бумаги 60 х 90 1 х 16 Тираж 100 экз.

Издано ВЦ ДВО РАН. Хабаровск, ул.Ким-Ю-Чена, 65.

Отпечатано в Вычислительном центре Дальневосточного отделения РАН

680000, Хабаровск, ул.Ким-Ю-Чена, 65.

Введение.

Глава 1. Задача геометрически нелинейного деформирования трубопровода.

1.1. Физическая постановка задачи об изгибании трубопровода. Геометрия системы.

1.1.1. Физическая постановка задачи.

1.1.2. Системы координат

1.1.3. Начальная лагранжева система координат.

1.1.4. Сопутствующая лагранжева система координат

1.2. Кинематика движения трубопровода.

1.2.1. Единичные векторы базиса и физические компоненты векторов.

1.2.2. Перемещения срединной поверхности трубы и гипотеза прямых нормалей.

1.2.3. Перемещение осевой линии трубопровода.

1.2.4. Матрица перехода между базисами и перемещение стенок трубопровода.

1.3. Уравнения движения трубопровода как трехмерного деформируемого тела.

1.3.1. Уравнения движения в напряжениях.

1.3.2. Деформации трубопровода.

1.3.3. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода.

1.3.4. Сопротивление внешней среды.

1.3.5. Скорость сдвига поперечного сечения трубопровода

1.3.6. Закон Гука для трубы.

1.3.7. Формулировка замкнутой начально-краевой задачи о движении трубопровода.

Глава 2. Математическое моделирование трубопровода, нагруженного потоком жидкости и сопротивлением внешней среды.

2.1. Необходимые соотношения теории оболочек.

2.1.1. Линейное кручение стенки

2.1.2. Следствия гипотез теории оболочек.

2.2. Переход к уравнениям движения оболочки.

2.2.1. Связь деформаций трехмерного упругого тела и оболочки

2.2.2. Интегрирование по толщине стенки для перехода к уравнениям оболочки

2.2.3. Силы, действующие на оболочку со стороны потока жидкости и внешней среды.

2.2.4. Переход к технической оболочке.

2.2.5. Построение математической модели движения стенки трубы как технической оболочки.

2.2.6. Упрощение математической модели.

2.3. Редукция уравнений оболочки к одномерному виду.

2.3.1. Исходное приближение для асимптотического анализа

2.3.2. Асимптотическое разложение решений в ряд по малому параметру Л.

2.3.3. Редукция уравнений к одномерному виду.

2.3.4. Физический смысл коэффициентов рядов.

2.4. Деформации и перемещения стенки трубопровода.

2.4.1. Поперечное перемещение осевой линии

2.4.2. Деформации стенки трубы.

2.4.3. Критерий несущей способности трубопровода.

2.5. Методы и алгоритмы решения уравнений математической модели

2.5.1. Решение уравнений нулевого приближения.

2.5.2. Постановка начально-краевой задачи для уравнений первого приближения.

2.5.3. Построение разностной схемы для задачи первого приближения

2.5.4. Алгоритм численного решения задачи первого приближения

2.6. Результаты численных расчетов движения осевой линии и деформаций стенок трубопровода.

2.6.1. Физические и геометрические параметры механической системы.

2.6.2. Результаты расчета тестовых задач

2.6.3. Численный анализ медленного движения длинномерных трубопроводов

2.6.4. Особенности процесса деформирования трубопровода с профилем в виде цепной линии.

2.6.5. Реакция трубопровода на медленное изменение внутреннего давления.

2.7. Движение трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде.

2.7.1. Физическая постановка задачи. Учет сопротивления внешней среды.

2.7.2. Вывод уравнений движения и постановка начально-краевых задач

2.7.3. Разностная схема и алгоритм численного решения

2.7.4. Результаты численного анализа. Оценка напряжений в стенке трубы.

Глава 3. Математическое моделирование распространения гидроупругих колебаний внутри изогнутого трубопровода

3.1. Физическая постановка задачи, исходные предположения и системы координат.

3.2. Уравнения движения трубопровода при условии малости деформаций

3.2.1. Уравнения движения стенки трубы в напряжениях

3.2.2. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода

3.2.3. Переход к уравнениям движения оболочки.

3.2.4. Краевые условия на торцах трубопровода.

3.3. Математическое моделирование движения жидкости

3.3.1. Уравнения движения жидкости, разделение стационарного и нестационарного процессов.

3.3.2. Приведение задачи к безразмерному виду и наложение краевых условий.

3.3.3. Асимптотический анализ задачи о стационарном движении жидкости.

3.3.4. Метод редукции задачи гидроупругости.

3.3.5. Асимптотический анализ уравнений колебательного движения жидкости.

3.3.6. Анализ уравнений движения жидкости в первом приближении по Л методом малого параметра.

Глава 4. Численные и аналитические решения задачи о малых гидроупругих колебаниях в изогнутом трубопроводе

4.1. Перемещения стенок трубы под влиянием стационарного внутреннего потока.

4.1.1. Постановка краевой задачи равновесия трубопровода

4.1.2. Некоторые точные решения стационарной задачи

4.1.3. Сеточное решение уравнений равновесия в первом приближении

4.1.4. Численное решение тестового примера.

4.2. Численный анализ задачи о нестационарных гидроупругих колебаниях трубопровода

4.2.1. Волновая динамика в нулевом приближении.

4.2.2. Постановка задачи о волновой динамике в первом приближении

4.2.3. Алгоритм численного анализа уравнений волновой динамики

4.2.4. Результаты численного решения системы уравнений первого приближения.

4.3. Сравнение расчетов с результатами других авторов.

4.3.1. Теоретическое построение математической модели

4.3.2. Гидравлический удар в эластичной изогнутой трубе

4.3.3. Акустические колебания в трубопроводе.

4.3.4. Гидравлический удар в сильно изогнутом трубопроводе

4.3.5. Геометрические параметры трубопроводных систем

Глава 5. Нелинейные внутренние волны в трубопроводе

5.1. Нелинейные волны в цилиндрическом трубопроводе.

5.1.1. Построение исходной математической модели.

5.1.2. Асимптотическое разложение потенциала скорости. Уравнения мелкой воды.

5.1.3. Вывод разрешающего уравнения Кортевега-де Вриза. Двухволновые уравнения.

5.1.4. Частное решение уравнений распространения возмущения скорости жидкости в виде уединенной волны

5.1.5. Перемещение стенки трубы.

5.1.6. Движение трубы при различных соотношениях между параметрами.

5.2. Нелинейные волны в изогнутом трубопроводе

5.2.1. Построение исходной математической модели.

5.2.2. Анализ уравнений математической модели.

5.2.3. О достаточности уравнения Клейна-Гордона-Фока

5.2.4. Решение уравнения для потенциала скорости жидкости

5.2.5. Физический смысл результатов.

5.3. О геометрическом обобщении математических моделей внутренних волн в изогнутом трубопроводе.

5.3.1. Построенные математические модели движения и колебаний изогнутого трубопровода.

5.3.2. Метод редукции к одномерным задачам. Внутренняя связь поставленных задач.

В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным. Результаты диссертации опубликованы в [77]-[87], [101]-[127], [163], [174].

В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения [175]. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы — практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.

Проблема исследования совместного движения труб и жидкости охватывает множество классических задач механики, всегда привлекавших внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, A.C. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, W.R. Dean и другие известные специалисты. В.И. Феодосьев, по-видимому, впервые математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода [130], позднее упрощенный вариант задачи использован в учебной литературе [131], решение которой совпадает с решением задачи Ж.А.Ш. Бресса о движении по мосту распределенной нагрузки [63]. Впоследствии вопросы сохранения проектного профиля стали предметом специальных технических исследований [11], [45] и нормативных документов [96], [97]. Итак, несомненна актуальность задач о совместном движении трубопровода и заполняющей его жидкости в различных постановках, ввиду большой прикладной ценности и теоретической важности.

Изменение формы профиля трубопровода должно быть своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля предложено пропускание через поток жидкости импульса давления или акустической волны. Большое теоретическое и практическое значение имеет также задача прогноза изменения профиля трубопровода как при потере устойчивости, так и при неидеальности прямолинейной укладки его трассы.

Таким образом, есть две задачи: внутренняя задача о распространении волн в изогнутом трубопроводе и внешняя задача о движении трубопровода в сопротивляющейся среде.

Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Вопросами взаимодействия упругой трубы и заполняющей ее жидкости занимались Л. Эйлер [147], Д. Бернулли [9], Н.Е. Жуковский [35] и другие известные ученые. Исторический обзор исследований по этой тематике сделан Г.Т. Алдошиным [6], в нем изложено развитие постановок задач и их решений от Эйлера до наших дней. Отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, а именно, гемодинамики [181] и волн внутри металлических труб.

Исторической вехой в теории гидравлического удара является работа Н.Е. Жуковского [35]. В основу теории положены уравнения движения идеальной жидкости, а деформация стенок трубы рассмотрена как квазистационарная деформация упругого кольца [6]. Сопротивление трубы в теории гидравлического удара определяется через эмпирический коэффициент [13].

Для теории и приложений большое значение имеет статья Г. Т. Алдо-шина [4], в которой решена задача о распространении гидравлического удара в системе двух соосных цилиндров, с заполненным жидкостью промежутком между ними и заполненным газом внутренним цилиндром, долгое время не поддававшаяся теоретическому анализу. Продвижение в ее решении достигнуто благодаря введению скачка площади сечения внутреннего цилиндра и записи на этом скачке законов сохранения, как при анализе ударных волн.

Необходимо упомянуть о значительном вкладе в развитие теории гидравлического удара и внутренних течений жидкости в трубах научной школы И.П. Гинзбурга (БГТУ "Военмех"). И.П. Гинзбург получил аналитическое решение задачи о неустановившемся течении жидкости в длинном трубопроводе переменного диаметра, в рамках классической теории гидравлического удара [24]. Подробное изложение научной биографии И.П. Гинзбурга можно найти в [2], [3]. Примерами актуальных и практически важных работ школы являются статьи [34], [19].

Обстоятельный обзор теории гидравлического удара по состоянию на 1996 год дан в [5]. Упомянем также об обзорах [41] и [23]. В [41] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара: инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учитывается; неустановившееся движение рассматривается как одномерное; деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя сечениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец. С другой стороны, в [42] уравнения для тонкостенных прямолинейных цилиндрических труб выведены из безмоментной теории оболочек. В [23] дан обзор исследований течения газожидкостной смеси в прямых трубах.

В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой линии. Этот подход важен для диагностики и контроля современных трубопроводных систем с тонкостенными трубами.

Колебания давления в зависимости от условий закрепления конца трубы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки изучались в [128], [176],

166]. В [177], [160] исследовалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [133], [178] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку.

Расширение классической теории гидравлического удара Н.Е. Жуковского, установленное в [166], развито в трудах Tijsseling A.S., Lavooij C.S.W. [173], [155]. Эти результаты, а также некоторые другие, рассматриваются в главе 4.

Одномерное совместное движение трубы с изгибом профиля и заполняющей ее жидкости анализируется в [62], [139], [142], [144], [150], [158], [165],

167], [179] и других публикациях. Проводились экспериментальные исследования пульсаций давления [170]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [139], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе [62]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось.

Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде A.C. Вольмира [21]. Основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидроупругости.

Детальные исследования движения вязкой жидкости в трубах с изгибом профиля начались, по-видимому, с работ [145], [146]. Изучалось движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе с постоянной кривизной оси, установлен эффект, известный как "вихри Дина" (см. [136]). Типичной работой этого направления является [164], в которой изучается ламинарный поток несжимаемой вязкой жидкости через колено трубопровода с прямолинейным входом и выходом.

В статье [157] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Это направление исследований исторически было начальным в изучении движений жидкости (идеальной) совместно с деформациями стенки трубы [6], [9], [147]. Учитывая, что диссертация посвящена динамике металлического трубопровода, упомянем, что обстоятельные обзоры проблематики есть в [142], [143].

Приложения решений задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных "массовая скорость - давление" ярко отражены в работах [23], [30], [41], [54], [69]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. Одномерная постановка задачи и пренебрежение динамикой стенки трубопровода не позволяют исследовать распределение давления в поперечном сечении, изучать влияние изгиба профиля на распространение волн давления.

Линейные задачи о взаимодействии прямой трубы и жидкости рассматриваются в работах Р.Г. Якупова [137], [138] и других. В [137] определяются перемещения и напряжения в бесконечной цилиндрической оболочке, находящейся в упругой среде, под действием осесимметричной волны давления, движущейся вдоль оболочки с постоянной скоростью. В [138] анализируются волновые процессы в полубесконечном стержне, находящемся в упругой среде, при ударной внешней нагрузке.

Помимо вышеупомянутых трудов, задача о нелинейных колебаниях трубопровода решалась в работах [92], [159]. В [92] изучены колебания гибкого металлического рукава, описанного нелинейными уравнениями балки. В [159] развита и проанализирована математическая модель колебаний цилиндрических и тороидальных оболочек, нагруженных внутренним давлением жидкости.

Рассмотрим работы по внешней задаче о движении трубопровода.

Вопросы гидроупругости, четко обрисованные в [21], получили за рубежом название fluid-structure interaction problems (FSI) и выделились в самостоятельное направление вычислительной и прикладной механики [161]. Литература по данному направлению весьма обширна, в связи с прикладным значением этих задач. Коснемся некоторых актуальных областей, особенно задач морских технологий.

Современное состояние исследований внешней задачи о динамике подводного трубопровода отражено в сборниках конференций общества "International Society of Offshore and Polar Engineers" (ISOPE) (см. [171], [172]). В каждом из этих сборников есть разделы, посвященные так называемым "райзерам" (risers). Этот термин обозначает трубопроводную конструкцию, по которой подается нефть или иная жидкость из глубоководной скважины на надводную станцию/платформу.

Основные сведения по механике, использующиеся в трудах данных конференций, изложены в книге В.А. Светлицкого [169]. Общим обзором технических специальных вопросов по тематике райзеров является книга [180].

Типичные вопросы по внешней задаче применительно к райзерам рассматриваются в [141], [140], [156], [152], [168], [148], [151].

В [141] на основе вариационного подхода построена трехмерная математическая модель движения подводного трубопровода, рассматриваемого как стержень при выполненных гипотезах Эйлера-Бернулли [18], [169]. Изучены эффекты от продольного растяжения в трубе, нагруженной внутренним потоком и внешней идеальной жидкостью. Ценность этой работы в том, что в ней детально описывается применение вариационного принципа к райзерам и подводным трубопроводам. В другой работе части того же авторского коллектива [140] изучается влияние транспортируемой жидкости на нелинейную динамику трубы.

Такой же вариационный подход при построении стержневой модели райзера использован в [156] для анализа задачи о динамическом отклике трубы, транспортирующей жидкость, на колебания ее верхнего конца.

Другая группа исследуемых задач - распределенные колебания райзера, погруженного во внешнюю жидкость, под действием вихрей в этой жидкости. Наиболее опасна ситуация, когда частота внешних вихрей совпадает с собственной частотой колебаний райзера [152]. В зарубежной литературе все направление характеризуется термином Vortex-Induced Vibrations (VIV). В [152] нелинейное уравнение колебаний балки, моделирующей трубопровод, решено известным методом Ритца. В идейно близкой работе [168] изложен анализ нелинейного взаимодействия нескольких мод инициированных вихрями колебаний райзера. Другая сторона проблемы затронута в [148]: рассмотрены формы колебаний свободно подвешенного в потоке жидкости трубопровода. Уравнения движения аналогичны [152], но выражения для внутренних и гидродинамических сил оригинальны.

Работа [151] представляет инженерное направление анализа глубоководных трубопроводных систем. Она посвящена экспериментальному и численному анализу трубопроводной системы, подающей воду со дна на поверхность океана. Несмотря на то, что ставится численный эксперимент, уравнений математической модели в работе не представлено. Приведены результаты расчета методом конечных элементов и их сравнение с натурным экспериментом, а именно, зависимость напряжения в стенке трубы от глубины воды и скорости внутреннего потока.

Задача о движении трубопровода как балки на винклеровском основании, с учетом кулоновского закона трения, получила свое развитие в трудах JI.A. Розина с соавторами [75], [76]. Учтена упругая нелинейность грунта, задачи поставлены в вариационной форме. Практический расчет движения надземного газопровода на основе применения современного программного обеспечения выполнен в [50].

Нельзя не коснуться работ об устойчивости и поперечных колебаниях трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода в приближении балки приведено в [135], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [56]. Работа [64] непосредственно опирается на первоисточник

130] и некоторые более поздние статьи, и раскрывает дополнительные математические аспекты проблематики.

Итак, согласно литературе, основной механической моделью трубопровода является нагруженный потоком жидкости и внешними силами стержень. При этом считаются выполненными гипотезы технической теории стержней, в частности, гипотеза плоских сечений. Но при рассмотрении реальных технических характеристик подземных трубопроводов [44] ясно, что соотношение толщины стенки трубы К и радиуса ее поперечного сечения Ло часто не позволяет считать ее классическим стержнем. Конечно, это обстоятельство отражено в литературе (см., например, [21], [29], [16]), но широкая практика научных и инженерных исследований осталась неизменной.

Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе движения волны давления через весь трубопровод.

Целью диссертационной работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.

Для задач, в которых зависимость давления от угловой координаты существенна, а также важно точно проследить влияние условий на внешней и внутренней поверхностях трубопровода, нами в [101] предложена математическая модель трубопровода как оболочки, погруженной в мягкую упругую среду и нагруженную внутренним потоком сжимаемой жидкости. Уравнения и краевые условия разработанных математических моделей записаны в специальной криволинейной системе координат, адаптированной к задачам динамики криволинейного трубопровода. Найден вид приближенного решения уравнений, позволивший редуцировать эти уравнения к одномерным.

Такой новый подход был применен к двум вышеупомянутым классам задач: внутренней задаче о распространении колебаний [77] и внешней задаче о медленном движении трубы [102]. Кроме того, для нелинейных колебаний потока несжимаемой жидкости были установлены расширения области приложений известных уравнений математической физики [79], [80].

Методологической основой диссертации являются следующие фундаментальные труды.

1) В монографии В.З. Власова [16] изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Асимптотический алгоритм такого перехода теоретически изучен в [27], [28]. На основе книг Л.И. Седова [93], [94] получены необходимые соотношения механики деформируемого трубопровода высокой степени общности.

2) В.З. Власов [16] создал линейную теорию полубезмоментных оболочек, хорошо описывающую поведение труб средней длины, для которых выполнено условие где h- толщина стенки, L- длина, Rq- радиус поперечного сечения, радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. Здесь удалось учесть в рамках применимости этого условия конечность деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.

3) В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпирических формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибель, Н.Е. Кочин, Л.Г. Лойцянский, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nusselt, L. Prandtl, Т.Е. Stanton и другие. Тщательно проведенные эксперименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе [60] приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского [53]. В основу описания движения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями Никурадзе-Лойцянского для плотности силы сопротивления потоку. Аналогичный подход применен для одномерного случая в монографии И.А. Чарного [134].

4) На основе обобщения мирового опыта в книге [175] изложен подход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода. Непосредственно сила сопротивления и давление внешней среды найдено в соответствии с решением задачи о движении бесконечного цилиндра в вязкой жидкости [47].

5) Для учета конечности деформаций, вызванных поперечным перемещением трубы, использованы идеи, развитые при построении теории конечного прогиба пологих арок С.П. Тимошенко [99].

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

Заключение

В диссертации рассмотрены проблемы математического моделирования динамики изогнутого трубопровода, проложенного в вязкой среде. Построены математические модели медленного движения трубопровода в сильно вязкой среде; распространения квазилинейных колебаний в потоке сжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода; распространения нелинейных волн в прямолинейном и изогнутом трубопроводах, заполненных несжимаемой идеальной жидкостью. Разработаны методы приближенного решения поставленных начально-краевых задач, созданы алгоритмы численного анализа этих задач на ЭВМ. Установлены классы уравнений математической физики, к которым сводятся уравнения математических моделей нелинейных волн в трубопроводах, обобщены методы редукции задач динамики трубопровода к одномерным. Численным анализом и сравнением с известными результатами установлена адекватность созданных математических моделей и алгоритмов их исследования на ЭВМ.

Ниже перечислены основные результаты диссертации по главам. Глава 1:

1) Построены ортогональные криволинейные системы координат, адаптированные к геометрии трубопровода. В этих координатах получены геометрические соотношения, необходимые для выполнения операций математического анализа.

2) Получены кинематические соотношения, связывающие физические компоненты вектора перемещений срединной поверхности трубы в начальных и актуальных координатах, а также формулы, определяющие текущее положение осевой линии трубы. Найдены формулы для физических компонент тензора деформаций стенки трубы.

3) Построена математическая модель деформирования стенки трубопровода как трехмерного упругого тела, представляющая собой нелинейнук/ краевую задачу (1.78)-(1.81), (1.32)-(1.34).

Глава 2:

1) На основе уравнений главы 1 и нелинейного обобщения уравнений движения оболочки В.З. Власова построена цепочка упрощающихся математических моделей движения стенки трубы (2.36)—>(2.42)—>(2.46).

2) Предложен вид приближенного решения уравнений математической модели трубопровода как оболочки, позволивший уменьшить количество независимых переменных на единицу. Посредством этой редукции построена одномерная математическая модель движения трубопровода в вязкой среде.

3) Построена разностная схема и создан алгоритм для ЭВМ с целью нахождения численного решения уравнений первого приближения. Система уравнений нулевого приближения решена аналитически.

4) Найдено численное решение тестовых задач. На примере труб малой протяженности показана согласованность построенной математической модели с известными результатами механики. Установлено, что поперечные сечения длинных труб испытывают депланацию в большой окрестности критических точек, а также деформации стенки не малы в окрестности этих точек. На примерах расчета трубопровода с профилем в виде цепной линией и со скачком давления подтверждена адекватность математической модели.

5) Построена математическая модель движения трубопровода как стержня в вязкой среде и найдено численное решение тестовой задачи. Дана оценка величины напряжений в стенке трубы.

Глава 3:

1) Построена трехмерная математическая модель распространения гидроупругих колебаний в потоке сжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода, погруженного в вязкоупругую среду.

2) На основе методов [93], [16] осуществлен переход к уравнениям полубез-моментной оболочки, находящейся под воздействием внутреннего давления и трения потока жидкости, и сопротивления внешней среды.

3) Предложен вид (3.65), (3.66) приближенного решения уравнений математической модели, позволивший уменьшить на единицу количество независимых переменных.

4) В результате предложенной редукции и проведения дополнительного асимптотического анализа получены одномерные уравнения и формулы математической модели распространения колебаний в трубопроводе (3.71)—(3.74), (3.82), (3.95), (3.96).

Глава 4:

1) На основе стационарного вида уравнений главы 3 численно проанализировано состояние равновесия трубопровода.

2) На основе построенной в главе 3 математической модели поставлены начально-краевые задачи о волновой динамике трубопровода в нулевом и первом приближении по кривизне.

3) Для численного анализа поставленных задач построены разностные схемы, созданы и протестированы алгоритмы и программы для ЭВМ.

4) Путем сопоставления теоретических выводов и результатов расчетов по предложенной математической модели с литературными источниками установлена большая общность построенной модели по сравнению с существующими. Рассмотрены задачи о гидравлическом ударе в полимерной изогнутой трубе, об акустических колебаниях коленообразного трубопровода, о гидравлическом ударе в трубопроводе с коленами.

Глава 5:

1) Для описания гидроупругих колебаний несжимаемой жидкости и цилиндрической трубы построена математическая модель (5.14)-(5.17).

2) На основе асимптотического разложения потенциала скорости жидкости из уравнений (5.14)—(5.17) выведены уравнения мелкой воды и уравнение Кортевега-де Вриза. Этим установлены условия существования уединенных волн в цилиндрическом трубопроводе. Найдено, что скорость уединенной волны превышает скорость гидравлического удара.

3) Установлено, что в случае применимости к гидроупругим колебаниям приближения мелкой воды результаты расчетов согласованы с экспериментальными данными.

4) Построена математическая модель распространения гидроупругих нелинейных волн в изогнутом трубопровода, заполненном идеальной несжимаемой жидкостью (5.43).

5) Найден вид приближенного решения уравнений (5.43), позволивший упростить их к системе (5.46)-(5.49). Из уравнений нулевого по кривизне оси приближения получается уравнение Кортевега-де Вриза.

6) Найдена замена неизвестной функции, позволившая после асимптотического разложения по радиальной координате свести уравнения первого приближения к неоднородному уравнению Клейна-Гордона-Фока.

7) Доказана достаточность уравнения Клейна-Гордона-Фока для решения исследуемой задачи в рамках принятых приближений. Численно решены тестовы! примеры и показан физический смысл найденных решений.

8) Показано, что примененный в данной работе алгоритм редукции задачи к одномерной обусловлен только геометрией механической системы и поэтому является универсальным для механики трубопроводов.

Научные результаты, выносимые на защиту.

• Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним потоком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения как внешней, так и внутренней задачи. На его основе для этих задач выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную.

Показано, что предложенные математические модели обладают большей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. - 479 с.

2. Акимов Г.А. Развитие теоретической и прикладной газодинамики школой профессора И.П.Гинзбурга / Балтийский гос.техн.ун-т "Военмех" им. Д.Ф.Устинова. СПб.:Изд-во БГТУ, 2002. - 195 с.

3. Акимов Г.А., Максимов В.В. 100 лет со дня рождения И.П. Гинзбурга // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2010. - № 2(8). - С.96-101.

4. Алдошин Г.Т. Гидравлический удар в деформированном трубопроводе // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. механики, математики и астрономии. -1961. В.Ч. - С. 93-102.

5. Алдошин Г.Т. Внутренние сопряженные задачи аэрогидроупругости // Модели механики сплошной среды: Сб. докл. и лекций XIV Между нар. школы по моделям механики сплошной среды (17-24 августа 1997, Жуковский, Россия). М.: 1997. - С. 4-15.

6. Алдошин Г.Т. К истории гидроупругости от Эйлера до наших дней // Механика твердого тела. 2007. - Вып. 27. - С. 184-191.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

8. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Ч. I. М.: Наука, 1968. - 480 с.

9. Бернулли Д. Гидродинамика или записки о силах и движении жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 552 с.

10. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. М.: Машиностроение, 1979. - 702 с.

11. Бородавкин П.П. Подземные магистральные трубопроводы. М.: Недра, 1982. - 287 с.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука. Физматлит, 1980. 976 с.

13. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980. - 688 с.

14. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

15. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. -М.: Физико-математическая литература, 2000. 400 с.

16. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Власов В.З. Избранные труды. - Т.1. - Москва: Издательство АН СССР, 1962. - С. 15-439.

17. Власов В.З. Принципы построения общей технической теории оболочек. Власов В.З. Избранные труды. - Т.2. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. -С. 467-503.

18. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматлит, 1959.— 568 с.

19. Волков К.Н., Денисихин C.B., Емельянов В.Н. Турбулентное течение в цилиндрическом канале с кольцевой выточкой // Инженерно-физический журнал. 2007. - Т.80, № 6. - С. 116-121.

20. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. -879 с.

21. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. - 320 с.

22. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 344 с.

23. Галиев Ш.У., Галиев Т.Ш. Линейные и разрывные вынужденные колебания потока пузырьковой жидкости в деформируемом трубопроводе (обзор) // Проблемы прочности 1994. - №9. - С. 3-29.

24. Гинзбург И.П., Гриб A.A., Качанов JI.M., Поляхов H.H. Основные этапы развития механики на кафедрах Ленинградского университета за 19171967 годы // Вестн. Ленигр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон. 1967. -Вып. 3. - С. 5-20.

25. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. -392 с.

26. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. - 400 с.

27. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. - Т. XXVI. - С. 668-686.

28. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. XXVII, Вып. 4 - С. 593608.

29. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 272 с.

30. Гусейнзаде М.А., Юфин В.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах. М.: Недра, 1981. - 232 с.

31. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.- 334 с.

32. Дубровский И.М., Егоров Б.В., Рябошапка К.П. Справочник по физике.- Киев: Наукова думка, 1986. 558 с.

33. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

34. Емельянов В.Н. Внутренние течения сложной структуры // Внутри-камерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем. -СПб: Изд-во БГТУ, 1998. С. 80-91.

35. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. -M.-J1.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1949 104 с.

36. Завьялов Ю.С., Квасов Б.П., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

37. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368 с.

38. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория со-литонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 319 с.

39. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991. - 200 с.

40. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1979.- 288 с.

41. Картвелишвили Л.Н. Гидравлический удар: основные положения и современное состояние теории //Гидротехническое строительство. 1994.- №9. С. 49-54.

42. Картвелишвили H.A. Динамика напорных трубопроводов. М.: Энергия, 1979. - 224 с.

43. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

44. Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. М.: Стройиздат, 1969. -240 с.

45. Клок Б.А., Стояков В.М., Тимербулатов Г.Н. Прочность и ремонт магистральных трубопроводов в Западной Сибири. М.: Машиностроение, 1994. - 120 с.

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. - 832 с.

47. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 612 с.

48. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. -М.: Наука, 1980. 208 с.

49. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. - 598 с.

50. Лалин В.В., Яваров A.B. Современные технологии расчета магистральных трубопроводов // Инженерно-строительный журнал. 2010. - № 3.- С. 43-47.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика. - М.: Наука. Физматлит, 1988. - 736 с.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учебное пособие. - М.: Наука. Физматлит, 1987. -248 с.

53. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

54. Лурье М.В., Адилова М.Д. Особенности нестационарного течения нестабильных жидкостей в магистральных трубопроводах // Нефт. и газ. пром-ть. Сер. защита от коррозии и охрана окружающей среды. 1993.- №6. С.10-13.

55. Макарьянц Г.М., Прокофьев A.B., Шахматов Е.В. Моделирование виброакустических характеристик трубопровода с использованием метода конечных элементов // Известия Самарского научного центра РАН. Механика и машиностроение. 2002. - Т.4, № 2. - С. 327-333.

56. Минеева О.М. Об устойчивости решения одной краевой задачи гидродинамики //Мат. заметки. 1996. - Т. 59, № 5. - С. 774-776.

57. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

58. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 360 с.

59. Никурадзе И. Закономерности турбулентного течения в гладких трубах // Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1938. - С.75-150.

60. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. - 326 с.

61. Овчинников В.Ф. Численное моделирование динамики пространственных трубопроводных систем при гидравлическом ударе //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Междунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2. Обнинск, 1995. - С. 174-183.

62. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. - 352 с.

63. Пивоварчик В.Н. Необходимые условия гироскопической стабилизации в одной задаче механики // Математические заметки. 1993. - Т. 53. -Вып. 6. - С. 89-96.

64. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наук, думка, 1988. - 736 с.

65. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 412 с.

66. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука. Физматлит, 1967. - 280 с.

67. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

68. Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. М.: Машиностроение, 1982. - 239 с.

69. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.

70. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ, пособие для вузов. М.: Высш. шк, 1991. - 160 с.

71. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск: ЗАО ИПП "ОФСЕТ 2003.- 373 с.

72. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 439 с.

73. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

74. Розин Л.А., Ловцов А.Д., Смирнов М.С. Продольная деформация многопролетной балки с трением и податливостью опор // Известия вузов. Строительство. 2004. - № 8. - С. 17-22.

75. Розин Л.А., Ловцов А.Д. Изгиб балки-трубопровода, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием, при учете трения Кулона // Науч.-техн. вед. СПбГПУ. 2005. - № 41. - С. 132-142.

76. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика. 2000. -Т. 41, № 6. - С. 161-169.

77. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. 2003. - Т.44, № 4. -С. 144-150.

78. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т.48, № 1. - С. 146-153.

79. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Влияние изгиба профиля трубопровода на распространение внутренних гидроупругих волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. - Т.50, № И. - С. 1988-1997.

80. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. - Т. 13, № 4(44). - С. 97-108.

81. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численный анализ математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Математическое моделирование. 2011. - Т.23, Я2 1. - С. 51-64.

82. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Одномерная математическая модель гидроупругих колебаний в трубопроводе с изгибом профиля // Численные методы механики сплошной среды. Красноярск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1991. - С. 97-98.

83. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное исследование медленных поперечных движений длинного трубопровода // XXX Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова: тезисы докладов. Хабаровск: Издательство ДВГУПС, 2005. - С. 168-169.

84. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

85. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 591 с.

86. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 424 с.

87. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. школа, 1982. - 264 с.

88. Саченков A.B., Гутин С.Я. Нелинейные колебания гибких металлических трубопроводов // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Т. 14. -Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 1979. - С. 191-196.

89. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. СПб.: Лань, 2004. -528 с.

90. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 2. СПб.: Лань, 2004. -560 с.

91. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том второй. — М.: Наука. Физ-матлит, 1967. 656 с.

92. СНиП 2.05.06-85 Магистральные трубопроводы. М.: Госстрой СССР, 1985. - 52 с.

93. СП 107-34-96 Балластировка, обеспечение устойчивости положения газопровода на проектных отметках. М.: Госстрой России, 1996. - 85 с.

94. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

95. Тимошенко С.П. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // В кн.: Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С.662-669.

96. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635 с.

97. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. 1996. - Т. 1, № 3. - С. 78-86.

98. Ткаченко О.П. Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 4. - С. 97-107.

99. Ткаченко О.П. Асимптотическое представление и численный расчет конечных деформаций криволинейного подземного трубопровода // Вычислительные технологии. 2006. - Т. 11, Я2 1. - С. 95-105.

100. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе // Вычислительные технологии. Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 1993. - Т.2, № 6. - С. 112-122.

101. Ткаченко О.П. Движение подземного трубопровода с учетом конечности его перемещений // Вычислительные технологии. 2001. - Т.6, ч.2. -Спец. выпуск: RDAMM-2001. - С. 628-631.

102. Ткаченко О.П. К теории распространения волн давления в длинной изогнутой трубе // Методы численного анализа. Владивосток: "Дальнау-ка 1993. - С. 91-112.

103. Ткаченко О.П. Движение изогнутого трубопровода в вязкой среде // Proceedings and Abstracts of 2001 Far-Eastern School-Seminar on Mathem. Modeling and Numerical Analysis. Khabarovsk: Publishing of FESTU. -2001. - P. 195-200.

104. Ткаченко О.П. Численное исследование движения трубопровода в вязкой среде с учетом конечности перемещений // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука. - 2001. - С. 64.

105. Ткаченко О.П. Конечные перемещения заполненной жидкостью цилиндрической оболочки в вязкой среде // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. - С. 90-91.

106. Ткаченко О.П. Конечные деформации и условия прочности подземного изогнутого трубопровода // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: ДВГУ. - 2004. -С. 113-114.

107. Ткаченко О.П. Уединенная волна в тороидальном трубопроводе // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар им. ак. Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2007. -С. 147-148.

108. Ткаченко О.П. Нелинейные задачи механики трубопроводов // Успехи механики сплошных сред. Тезисы Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука, 2009. - С. 17-18.

109. Ткаченко О.П. Обобщение математических моделей внутренних волн в трубопроводе // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: сб. докладов. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. - С. 675-679.

110. Ткаченко О.П. О математическом моделировании гидравлического удара в изогнутом трубопроводе // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». СПб.: Наука, 2010. - С. 281-284.

111. Торли Дж. Нестационарные давления в гидравлических трубопроводах // Теоретические основы инженерных расчетов. 1969, № 3. - С. 131-139.

112. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

113. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. 1951. - Т.10. - С. 169-170.

114. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. - 376 с.

115. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. - 512 с.

116. Хатфилд Р., Уиггерт Д., Отуэлл Р. Анализ гидроупругого взаимодействия в трубопроводах с помощью поэлементного синтеза // Теоретические основы инженерных расчетов. 1982, № 3. - С. 138-146.

117. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. - 296 с.

118. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости //Изв.АН СССР, сер. Механика твердого тела. 1984. - № 5. - С. 170-174.

119. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712 с.

120. Якупов Р.Г. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Известия АН СССР. Сер. Механика твердого тела. -1979. № 3. - С. 152-157.

121. Якупов Р.Г. Волны в стержне при действии импульсной нагрузки // Прикладная механика и техническая физика. 2008. - Т. 49, № 2. -С. 178-184.

122. Яскеляин A.B. Моделирование гидравлического удара в жидкости при колебаниях трубопровода //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Меж-дунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2. Обнинск, 1995. - С.222-231.

123. Berger S.A., Talbot L., Yao L.S. Flow in curved pipes //Ann. Rev. Fluid Mech. Vol.15, 1983. - P. 461-512.

124. Clarke R.J., Denier J.P. The decay of suddenly blocked flow in a curved pipe // J. Eng. Math. 2009. - Vol. 63. - P. 241-257.

125. Collins W.M., Dennis S.C.R. The steady motion of a viscous fluid in a curved tube //Q. J. Mech. Appl. Maths. 1975. - Vol. 28. - P. 133-156.

126. Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Phil. Mag. -1927. Vol. 4. - P. 208-223.

127. Dean W. R. The streamline motion of fluid in a curved pipe // Philos. Mag. 1928. - Vol. 5. - P. 673-695.

128. Euleri L. Principia pro motu sanguines per arteria determinando // Opera Postuma mathematica et physica Anno MD CCC XLIV DETECTA. -Petropoli, 1862. P. 814-823.

129. Furnes G.K., Sorensen K. Flow Induced Vibrations Modeled by Coupled Non-linear Oscillators // Proceedings of the Sixteenth (2007) International Offshore and Polar Engineering Conference. Lisbon, Portugal, July 1-6, 2007. - P. 2781-2787.

130. Goto S.-I. Amplitude equations for a linear wave equation in a weakly curved pipe // arXiv:0910.0549vl nlin.PS. 2009. -http://arxiv.org/abs/0910.0549vl

131. Ishigaki H. Analogy between laminar flows in curved pipes and ortogonally rotating pipes //J. Fluid Mech. vol.268, 1994. - P. 133-145.

132. Keber M., Wiercigroch M. A Reduced Order Model for Vortex-Induced Vibration of a Vertical Offshore Riser in Lock-in // IUTAM Symposium on Fluid-Structure Interaction in Ocean Engineering. Vol. 8. - 2008. -P. 155-166.

133. Kwon H.J. Computer Simulations of Transient Flow in a Real City Water Distribution System // KSCE Journal of Civil Engineering. 2007. Vol. 11, N.l. - P.43-49.

134. Lavooij C.S.W., Tijsseling A.S. Fluid-structure interaction in liquid-filled piping systems // Journal of Fluids and Structures. 1991. - Vol. 5. - № 5. - P.573-595.

135. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples //J. Fluid Mech. Vol. 323. - 1996. - P. 237-265.

136. Makrides Gr. Path to chaos for flow-induced vibrations in tubes conveying fluid // J. Theor. and Appl. Mech. 1994. - Vol. 25. - № 3. - P. 62-69.

137. Orynyak I. V., Radchenko S.A., Batura A.S. Calculation of natural and forced vibrations of a piping system. Part 2. Dynamic stiffness of a pipe bend // Strength of Materials. Vol. 39, No. 2, 2007. - P. 144-158.

138. Otwell R.S. The effect of elbow translations on pressure transient analysis of piping systems // Fluid Transients and Fluid-Structure Interaction, ASME PVP. Vol.64, 1982. - P. 127-136.

139. Paidoussis M.P. Fluid-structure interactions. Slender structures and axial flow. San Diego, London: Academic Press, 1998. - 574 p.

140. Russel J.S. Report on waves // Rept. Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Sciences. John Murray: London, 1844.- P. 311-390.

141. Rukavishnikov V.A., Tkachenko O.P. The numerical modeling of a thin-walled curved underground pipeline by finite strains // Международная конференция по вычислительной математике. Труды: часть 2. Новосибирск, 2004. - С. 922-926.

142. Sasic R., Sasic S. A new approach to the velocity field investigation in case of the entry flow in curved pipes with circular cross section // Acta Mechanica, Springer-Verlag. 2000. - V.140. - P.103-117.

143. Singh M.P. Entry flow in a curved pipe // J. Fluid Mech. 1974. - Vol.65.- P.517-539.

144. Skalak R. An extension of the theory of water hammer // TRANS. ASME.- 1956. Vol. 78, № 1. - P. 105-116.

145. Smith F.T. Pulsatile flow in curved pipes // J. Fluid Mech. 1975. - Vol.71.- P. 15-42.

146. Svetlitsky V.A. Dynamics of Rods // Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 448 p.

147. Swanson C.J., Stalp S.R., Donnelly R.J. Experimental investigation of periodic flow in curved pipes //J. Fluid Mech. — Vol. 256, 1993. — P.69-83.

148. The Proceedings of The Nineteenth (2009) International Offshore and Polar Engineering Conference // Osaka, Japan, June 21-26, 2009. Vol. 1-4. -844 p.

149. The Proceedings of The Eighth (2008) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium (PACOMS-2008) // Bangkok, Thailand November 10-14, 2008. 315 p.

150. Tijsseling A.S., Lavooij C.S.W. Waterhammer with fluid-structure interaction // Applied Scientific Research. 1990. - Vol. 47. - P.273-285.

151. Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. - 684 p.

152. Walker J.S., Phillips J.W. Pulse Propagation in Fluid-Filled Tubes // Journal of Applied Mechanics. — March, 1977. — P.31-35.

153. Wiggert D.C., Otwell R.S., Hatfield F.J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal of Fluids Engineering. Vol. 107, 1985. -P. 402-406.

154. Williams D.J. Waterhammer in non-rigid pipes: Precursor waves and mechanical damping // Journal of Mechanical Engineering Science. — 1977. Vol. 19, N6. - P. 237-242.

155. Yao L.S., Berger S.A. Entry flow in a curved pipe //J. Fluid Mech. -1975. -Vol.67.-P.177-196.

156. Yong Bai. Pipelines and risers // Amsterdam London - New York - Oxford - Paris - Shannon - Tokyo: ELSEVIER Science Ltd., 2003. - 500 p.

157. Young T. Hydraulic investigation subservient to an intended Gronian Lecture on the motion of the blood // Phil. Trans. Roy. Soc. of London. 1808. -Vol. 98. - P.164-186.