Нестационарные течения жидкости и газа в опорах скольжения с учетом колебаний поверхностей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ЗАВЬЯЛОВ Олег Геннадьевич

Нестационарные течения жидкости и газа в опорах скольжения с учетом колебаний поверхностей

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск-2011

2 4 МДР 2011

4841169

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Матвеев Сергей Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куропатенко Валентин Федорович

доктор технических наук,

профессор Алдошин Геннадий Тихонович

доктор физико-математических наук, профессор Шрагер Геннадий Рафаилович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиа-новича Сибирского отделения РАН

Защита состоится «15» апреля 2011 г. в / 7 часов на заседании совета Д 212.267.13 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан «Д/ »

СрЛэ^ОлАЛ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, ст. научный сотрудник , У/^ Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена изучению нестационарного течения вязкого слоя жидкости или газа в опорах скольжения, формирования тонкого слоя между двумя поверхностями, взаимодействия поверхностей в опорах с учетом смазочного слоя, а также динамики роторов в опорах скольжения.

Актуальность темы

Впервые работа вала в опорах скольжения с несжимаемой смазкой была исследована во второй половине XIX века в работах Н.П. Петрова, Тауэра, О. Рейнольдса. Основное уравнение для определения давления смазки в подшипнике скольжения, полученное из системы уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности на основе гипотез гидродинамической теории смазки с учетом малости толщины смазочного слоя по сравнению с характерными размерами подшипника и условиями прилипания смазки на поверхностях подшипника, называется уравнением Рейнольдса.

Важный вклад в развитие гидродинамической теории смазки внесли А. Зоммерфельд, Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, Ш. Дуф-финг, А. Камерон, М.В. Коровчинский, H.A. Слёзкин, С.М. Тарг, И .Я. Токарь, Э.Л. Позняк.

В ряде работ рассмотрено влияние сил инерции жидкости на характеристики гидродинамического слоя. Метод осреднения инерционных сил по толщине смазочного слоя, предложенный H.A. Слёз-киным и С.М. Таргом, применен в исследованиях А.Т. Полецкого, А.Г. Бургвица, К.П. Андрейченко, Bourgin Patrick, Tichy John.

Одной из основных гипотез гидродинамической теории смазки является пренебрежимо малое изменение свойств жидкости и давления смазки по толщине масляного слоя. В основной массе подшипников скольжения в несущем слое смазки имеет место ламинарное течение.

При вращении вала в подшипнике процессы выделения теплоты вследствие вязкой диссипации и теплообмена с поверхностями подшипника приводят к большим изменениям температуры смазочной пленки. Поэтому с ростом скорости вращения ротора вязкость несжимаемой смазки снижается, в результате чего несущая способность подшипника падает. Для большинства условий работы подшипников^

з ./

скольжения тепловые эффекты могут быть оценены при использовании изотермической модели. При этом температура смазки принимается постоянной.

Для исследования динамики роторов в подшипниках скольжения и моделирования течения смазки в подшипнике необходимо определять значение и направление подъемной силы в подшипнике, коэффициенты матриц жесткости и демпфирования подшипника скольжения. Расчёт подъемной силы возможен при решении уравнения Рейнольдса в стандартной форме. Определение коэффициентов жесткости и демпфирования (динамических коэффициентов) подшипника скольжения и решение уравнения Рейнольдса методом численного интегрирования уравнений в частных производных выполнены в работах Э.Л. Позняка.

В машиностроении применяют различные виды подшипников, где конструктивные решения позволяют изменить динамические характеристики опоры и избежать нежелательных динамических явлений при работе ротора (потери устойчивости, вибраций).

В группе устойчивых в работе подшипников можно выделить категорию подшипников, где изменение динамических характеристик опоры достигается путем модификации геометрии поверхностей скольжения, введения погрешностей от идеальной цилиндрической формы, что учитывается в уравнении Рейнольдса изменением функции толщины слоя смазки. Так, в качестве опор применяются подшипники с канавками различной конфигурации и размеров. Среди работ по этому направлению следует отметить работы Г.А. Завьялова, В.А. Биушкина, С.Г. Дадаева, Г.А. Левиной.

Развитие гидродинамической теории смазки тесным образом связано с исследованием динамики валов в опорах скольжения, в том числе вопросов устойчивости равновесного положения или периодического Движения вала. Проблеме устойчивости валов машин на масляном слое подшипников посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Общими вопросами исследования колебаний роторов в нашей стране занимались Д.М. Диментберг, В.В. Болотин, В.Л. Бидерман, В.А. Светлицкий, Я.Г. Пановко,

A.Н. Филиппов, Д.В. Хронин, C.B. Аринчев, Н.Д. Заблоцкий, М.С. Бурков, А.Г. Бургвиц, Г.А. Завьялов. Согласно представлениям

B. Оравски, неустойчивость вращения ротора может возникать из-за автоколебаний, которые могут вызываться жидкостной смазкой в подшипниках или трением в системе ротора.

Автоколебания и неустойчивые режимы, обусловленные наличием смазки в подшипниках скольжения, исследовались многими из цитируемых авторов. Первая работа в данном направлении принадлежала А. Стодоле (1925), который рассматривал движение вала на слое смазки. Последующие работы, посвященные динамике роторов в опорах скольжения, условно можно разделить на две группы. К первой относятся работы, в которых рассматривается движение вала на слое смазки, что позволяет более точно учитывать особенности жесткости и демпфирования смазочного слоя для подшипника конечной длины и произвольной формы. Ко второй относятся работы, в которых между двумя одинаковыми подшипниками на гибкий вал посередине насажен один диск. В силу симметрии задача аналогична первой, но необходимо учитывать дополнительные силы, вызванные упругостью вала, где один подшипник представляет собой упругую линейную опору, а второй - подшипник скольжения.

В работах первой группы исследование динамики вала в подшипнике скольжения изучалось путем прямого интегрирования уравнений движения. В работах второй группы в уравнениях движения диска заложены помимо характеристик смазки также упругие параметры вала.

Кроме математического исследования автоколебательных режимов в нелинейных системах с различными параметрами следует проводить качественный анализ влияния различных нелинейных факторов на автоколебания роторных систем. Например, в монографии А.Тондла исследовано влияние дополнительного внешнего демпфирования, нелинейности восстанавливающей силы, дисбаланса ротора, статической составляющей нагрузки. В монографии А.Г. Бургвица, Г.А. Завьялова приводится графоаналитический метод расчета устойчивости валов с учетом нестационарного движения слоя жидкостной смазки. Описаны причины возникновения и способы устранения опасных колебаний валов быстроходных машин, вызванных действием масляной пленки в подшипниках конечной длины.

Непрерывный рост скоростей в машиностроении и приборостроении потребовал не только дальнейшего развития гидродинамической теории смазки, в первую очередь нестационарных процессов в смазочном слое, но также замены масляной смазки на газовую.

Возможность использования воздуха в качестве смазочного вещества была обоснована Хирном, Кинсбери, Гаррисоном, а более полное исследование цилиндрических опор скольжения с газовой

смазкой было проведено С.А. Шейнбергом в 1953 году. Главной причиной исследований в области газовой смазки явилась возможность широкого применения газовых опор в различных областях техники благодаря их быстроходности, долговечности, экономичности и способности работать в условиях низкотемпературных и радиационных сред. Сегодня газовые опоры используются в турбомашинах; криогенных и высокотемпературных космических, наземных, транспортных и глубоководных установках; компрессорах атомных реакторов; в особо точных и надёжных гироскопах и приборах со скоростью вращения до 500 ООО об/мин.

Цели и задачи работы

Цель работы состоит в развитии теоретических методов исследования нестационарного течения жидкостей и газов в тонком слое между двумя поверхностями; решении задачи применения вязких жидкостей и газов в качестве смазывающего вещества в машиностроении, приборостроении и других областях техники с учетом наличия дополнительных факторов (упругие свойства поверхностей, силовые воздействия на границы, вращательные и колебательные движения поверхностей, изменение формы поверхностей, ограничивающих смазочный слой).

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1) Рассмотрены вопросы формирования тонкого слоя между двумя поверхностями.

2) Решена задача пространственного нестационарного течения тонкого слоя вязкой жидкости между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями и вопросы устойчивости равновесного положения в опорах скольжения. Исследованы вопросы стабилизации центрального положения вала с учетом упругих сил слоя вязкой жидкости, а также влияния гироскопических сил и внешнего демпфирования.

3) Выполнены теоретические исследования пространственного нестационарного течения тонкого газового слоя между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями. Установлены формы реакций слоя при числах Маха, приближающихся к критическим, и исследованы проблемы работы опор скольжения с газовой смазкой при числах Маха, превосходящих критические значения.

4) Получено решение задачи нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя колеблющимися параллельными бесконечными стенками, а также между двумя дисками. В результате показано, что для несжимаемой жидкости также применим третий принцип создания повышенного давления в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости (эффект периодически колеблющейся стенки), аналогично эффекту колеблющейся поверхности для газового слоя.

5) Поставлена и решена задача движения вязкой несжимаемой жидкости между иглой или клином и бесконечной упругой поверхностью с учетом смазочного слоя.

6) Получено решение задачи качения нагруженного шара по поверхности с учетом смазочного слоя и деформаций поверхности качения. Получены значения реакций со стороны смазочного слоя на шар и поверхность качения.

Научная новизна работы

Все основные результаты являются новыми. Наиболее важные из них следующие:

1) Разработан математический аппарат образования тонкого слоя между двумя произвольными поверхностями, сформулирована и доказана теорема о формировании тонкого слоя.

2) Решена задача пространственного нестационарного течения тонкого слоя вязкой жидкости между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями и устойчивость равновесного положения вала в опорах скольжения. На основе полученных результатов сформулированы методы стабилизации центрального положения вала с учетом упругих сил слоя вязкой жидкости, влияния гироскопических сил и внешнего демпфирования, а также влияние геометрии поверхностей, геометрии тонкого смазочного слоя и размеров вала.

3) Исследовано пространственное нестационарное течение тонкого слоя газа между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями и решены вопросы устойчивости равновесного положения в опорах скольжения. Установлены формы реакций газового слоя при числах Маха, приближающихся к критическим, и доказана возможность работы опор скольжения с газовой смазкой при числах Маха, превосходящих критические значения.

4) Решена задача нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя колеблющимися параллельными бесконечными стенками, а также между двумя дисками. По результатам численного решения задачи было показано, что для несжимаемой жидкости также применим третий принцип создания повышенного давления в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости (эффект периодически колеблющейся стенки), аналогично эффекту колеблющейся поверхности для газового слоя.

5) Поставлена и решена задача движения вязкой несжимаемой жидкости между иглой или клином и бесконечной упругой плоскостью. Игла (или клин) входит в плоскость свободно, а напряжения возникают от внедрения иглы. Выяснено, что в процессе движения иглы или клина по упругой плоскости подшипника смазочное вещество должно попадать под иглу или клин. В результате этого движение будет происходить не непосредственно по плоскости, а по смазочному слою. Определены условия уменьшения сопротивления внедрению клина и иглы в поверхность в условиях гидродинамической и контактно гидродинамической задачи.

6) Решена задача качения тяжелонагруженного шара по поверхности с учетом смазочного слоя и деформаций поверхности качения. Получены значения реакций со стороны смазочного слоя, действующие на шар и поверхность качения. Для тяжелонагруженного шара вязкость в смазочном слое зависит от давления. В окрестности точки соприкосновения шара с поверхностью качения существует пленка масла, однако толщина слоя смазочного материала близка к предельной. Обнаружено, что увеличение нагрузок приводит к необходимости учета деформаций поверхности качения и неголономности модели. Показано, что в подшипнике качения, благодаря существованию смазочного слоя, давление в месте контакта распределяется на большую площадь, чем при статической нагрузке, поэтому при качении напряжения в зоне контакта с поверхностью значительно уменьшаются.

Основные результаты, выносимые на защиту

1) Математический аппарат построения тонкого слоя смазки в криволинейных координатах около подвижных поверхностей. Доказательство теоремы о формировании тонкого слоя смазки между двумя поверхностями.

2) Решение задачи нестационарного течения смазки в тонком слое между двумя произвольно движущимися твёрдыми стенками. Исследование устойчивости равновесного положения вала на слое смазки.

3) Определение формы реакций слоя газа в стационарном режиме в опорах при числах Маха, превышающих критические.

4) Решение вариационной задачи о профиле подшипника скольжения, обеспечивающем наименьшее трение на скользящей поверхности.

5) Решение задачи о нестационарном течении тонкого слоя вязкой жидкости между колеблющимися параллельными поверхностями, позволяющее дать количественную оценку эффекта колеблющейся стенки для жидкостной смазки.

6) Решение контактно-гидродинамической задачи о поведении смазки при воздействии опоры в виде иглы или клина на деформируемую поверхность.

Практическая и теоретическая значимость

Результаты теоретических и численных исследований, полученные и приведенные в диссертационной работе, предназначены для практического использования при проектировании узлов трения и опор скольжения в приборостроении и машиностроении.

Достоверность

Достоверность полученных аналитических решений и численных расчетов обосновывается теоретически с помощью применения известных методов исследования систем уравнений и путем сравнения теоретических результатов с результатами экспериментальных исследований других авторов. Так, например, точность решения задачи нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости между бесконечными поверхностями или двумя дисками с учетом периодических колебаний одной из поверхностей методом матричной прогонки с итерациями по нелинейности оценивается с помощью корректного использования основных положений вычислительной математики и теоретической гидромеханики.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались:

S XXXII Уральский семинар "Механика и процессы управления". Екатеринбург : Уральское отделение проблем машиностроения, механики и процессов управления РАН, Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2002. С. 134-145.

S Российская школа "Наука и технологии". "К 70-летию Г.П. Вятки-на". М. : РАН, Мин-во обороны РФ, Мин-во образования и науки РФ, ВАК РФ, Межрегиональный Совет по науке и технологиям, 2005. С.338.

S Международная конференция по механике "Четвертые Поляхов-ские чтения". СПб. : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. С. 125.

J XXVI Российская школа по проблемам науки и технологий (27-29 июня 2006 года, г. Миасс). Екатеринбург: РАН, Мин-во обороны РФ, Федеральное космическое агентство, Федеральное агентство по промышленности, Мин-во образования и науки РФ, Высшая аттестационная комиссия, Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2006. С. 83-85.

S Всероссийская научная конференция, посвященная 30-летию Челябинского государственного университета (19-22 сентября 2006 года, г. Челябинск), "Математика. Механика. Информатика". Челябинск : Изд-во ЧелГУ, 2006. С. 4.

S XXVI Российская школа "Наука и технологии" (декабрь 2006 г., Миасс). М. : РАН, Мин-во обороны РФ, Федеральное космическое агентство, Федеральное агентство по промышленности, Мин-во образования и науки РФ, Высшая аттестационная комиссия, Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2006. Т.1. - С. 192-196.

S International Conference 3d December 2006 / The Yorker International university, Milan, Italy.

S XXXVI Уральский семинар "Механика и процессы управления" (23-25 декабря 2006 г.). Екатеринбург : РАН, Мин-во обороны РФ, Федеральное космическое агентство, Федеральное агентство по промышленности, Мин-во образования и науки РФ, Высшая аттестационная комиссия, Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2006. Т. 1. С. 199-203.

S "Понтрягинские чтения " XXI Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач". Воро-

неж : Воронежский государственный университет, Московский государственный университет, математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 3-9 мая, 2007.

✓ IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск : Мин-во образования и науки РФ, Сибирское отделение РАН, Российский национальный комитет по автоматическому управлению, Международная федерация по обработке информации, 12-16 июня, 2007. Т. 4. - С. 93-95.

S XXXVII Российская школа "Наука и технологии", посвященная 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. Академика

B.П. Макеева" (26-28 июня 2007 г., г. Миасс). Секция Б2 «Аэрогидродинамика и тепломассообмен». Екатеринбург : РАН, Мин-во обороны РФ, Федеральное космическое агентство, Федеральное агентство по промышленности, Мин-во образования и науки РФ, Высшая аттестационная комиссия, Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2007. С. 21-27.

S International Congress "Nonlinear Dynamical Analysis-2007" June 4-8,2007 / Saint-Petersburg, Russia, 2007, p. 139.

S II Международный Конгресс "Нелинейный динамический анализ-2007" к 150-летию академика A.M. Ляпунова 4-8 июня 2007 г. СПб. : Санкт-Петербургский государственный университет, 2007.

C. 139.

S Всероссийская XIV школа-коллоквиум по стохастическим методам и VIII симпозиум по прикладной и практической математике 4-7 октября 2007 г. Секция Б9 "Математические модели в теории оболочек". Сочи, 2007.

/ Вторая международная научно-техническая конференция "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" 22-24 ноября 2007 г. Секция "Прикладные вопросы математического моделирования". Екатеринбург : Уральский государственный технический университет - УПИ, 2007. С. 27-29.

S Всероссийская XIV школа-коллоквиум по стохастическим методам и VIII симпозиум по прикладной и практической математике. Сочи, 19-22 июня 2008 г.

S XXVIII Российская школа "Наука и технологии". Секция 2 "Аэродинамика и тепломассообмен" (24-26 июня 2008 года, г. Миасс). Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2008. С. 64-65.

п

■S Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения JI.C. Понтря-гина. Секция "Дифференциальные уравнения". 17-22 июня 2008. М. :МГУ, 2008. С. 158-159. S Всероссийский семинар по аэрогидродинамике, посвященный 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера, 5-7 февраля 2008 г. СПб. : Санкт-Петербургский государственный университет, 2008. С. 77. S Международная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения". СПб. : Санкт-Петербургский государственный университет, 3-6 февраля 2009 г. ^Тематические семинары в Санкт-Петербургском государственном университете и Челябинском государственном университете (Челябинск, Миасс).

Публикации

Список публикаций по теме диссертации содержит 30 наименований, в том числе 3 монографии, 7 статей в рекомендованном ВАК списке реферируемых изданий [1-7]. Список публикаций приведен в конце автореферата.

В работах [1-3, 7, 9, 11, 12, 23, 27] О.Г. Завьялову принадлежит теоретическая часть, формулировка теорем и их доказательство, основные результаты. В работе [10] О.Г. Завьяловым подготовлена первая часть монографии по геометрии тонкого слоя. Идеи разработки вопросов геометрии тонкого слоя, влияния инерции смазки, необходимость учета деформаций поверхностей качения при увеличении нагрузок и неголономность модели были предложены Завьяловым Геннадием Алексеевичем (1936-1985). Эти предложения были воплощены Завьяловым О.Г. в работах [1, 3, 7, 11, 12].

В работах [2, 4, 18, 25] совместно с С.К. Матвеевым рассматривались вопросы нестационарного течения несжимаемой смазки с учетом колебаний поверхностей. С.К. Матвееву принадлежит выполнение расчетов.

Объём и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав с выводами, списка литературы. Общий объём диссертации 398 страниц основ-

ного текста, включая рисунки и список литературы из 235 наименований.

Основное содержание работы

Глава 1. ФОРМИРОВАНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОВЕРХНОСТЯМИ

В 1 главе рассмотрены вопросы геометрии тонкого слоя около неподвижной и подвижной поверхностей. Приведены основные допущения в геометрии тонкого слоя.

Дан способ формирования тонкого слоя между двумя поверхностями и основные соотношения в геометрии тонкого слоя. Отмечены локальные свойства тонкого слоя между двумя поверхностями.

Сформулирован и доказан признак формирования тонкого слоя между двумя поверхностями. Если точка А на поверхности и нормальным вектором п принадлежит эллиптической поверхности, то такой же должна быть вторая поверхность с принадлежащей точкой В и нормалью Ы=п. Если же первая поверхность с точкой А и нормальным вектором я эллиптическая, а другая поверхность с точкой В и нормалью гиперболическая, то отношение гауссовых кривизн

поверхностей будет отрицательным и условие формирования

слоя не будет выполняться.

Для поверхности вращения всегда можно сформировать тонкий слой между двумя поверхностями при условии, если отношение гауссовых кривизн обеих поверхностей положительно.

Глава 2. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Во 2 главе приведены результаты определения нестационарного поля давлений в слое жидкости между двумя произвольно движущимися твёрдыми стенками, также приведены результаты исследований динамики роторов в опорах скольжения, в том числе исследование устойчивости равновесного положения или периодического движения шипа на слое смазки.

Не применяя метода усреднения инерционных членов по толщине слоя, в данной работе дано интегрирование уравнений пространственного нестационарного течения вязкой жидкости в линейной постановке задачи.

Решение такой задачи позволяет:

а) обосновать и указать область применимости решений уравнений пространственного нестационарного течения вязкой жидкости, полученных с помощью приближённого метода, основанного на усреднении инерционных членов по толщине слоя жидкости. Показано, что в задачах гидродинамической теории смазки этот метод применим; б) дать приближённый и удобный при решении более сложных задач гидродинамической теории смазки метод учёта торцевого истечения жидкости при определении поля давлений.

Интегрирование уравнений пространственного нестационарного течения тонкого слоя вязкой жидкости между двумя произвольно движущимися твёрдыми стенками с граничными условиями прили-паемости смазки к поверхности рассматривается в данной работе. Показано, что традиционное допущение в теории смазки, что можно пренебречь инерцией смазочного слоя, не представляется бесспорным.

Определение градиента давления в слое вязкой жидкости является конечным этапом интегрирования уравнений Прандтля (с учетом инерционных слагаемых). Давление в слое жидкости определено интегрированием уравнения по переменной х.

Сравнивая результат с результатами других методов, полученных без усреднения инерционных членов, можно отметить, что градиенты давлений близки. Из сравнения результатов следует, что метод усреднения квадратичных инерционных членов в уравнениях Прандтля даёт достаточную точность при определении поля давления в тонком слое вязкой жидкости.

Приведённое выражение для определения поля давлений может быть принято в качестве основной рабочей формулы в гидродинамической теории смазки. Поле скоростей, полученное точным или приближённым интегрированием с применением метода осреднения инерционных членов по толщине слоя в уравнениях нестационарного движения жидкости по истечении достаточно большого промежутка времени стремится к полю скоростей при стационарном течении жидкости.

Хорошо известен факт, связанный с потерей устойчивости равновесного положения вала в подшипнике. Вал приходит в движение, при котором линия центров вращается относительно центра подшипника с угловой скоростью, равной половине угловой скорости вращения вала. Этот результат точно соответствует многочисленным опыт-

ным данным при испытании горизонтально расположенных быстроходных и легко нагруженных, а также вертикально расположенных валов.

При решении гидродинамической задачи смазки опор скольжения и исследовании устойчивости движения вала следует придерживаться следующих положений, предложенных в диссертационной работе. Положение 1. Всякая гидродинамическая задача для опор скольжения начинается с выяснения расходов смазки. Положение 2. Определив гидродинамическое давление, следует определить главный вектор сил, действующий на твердое тело со стороны смазки. С этой целью сначала необходимо определить напряженное состояние в каждой точке тонкого вязкого слоя. Положение 3. Определив напряженное состояние в каждой точке среды, можно перейти к вычислению главного вектора сил, действующих на твердые тела. Вектор нормали Я является вектором нормали к двум цилиндрам 1 и 2 (1 - внешний цилиндр, 2 - внутренний цилиндр). Матрица, составленная из компонент сил

( о -*л(1+пХд Ъ-Ьт,,)) лА{ 1+пХл&-л$,) 0 у

является квазигироскопической. Эта сила перпендикулярна к вектору смещения тел и впервые была обнаружена Зоммерфельдом. Матрица, составленная из компонент сил {- 2п л(Д£2 - Д<£,) О

О -2тг А{Аъ-Ап1)у

является диссипативной.

В теории смазки обнаруживаются силы, линейно зависящие от ускорений движения твердых тел

\ о

Компоненты сил, образующие матрицу

( Яе ^

О (1 + а^Ащ-Аъ)

Чо у

определяют гироскопическую силу, перпендикулярную к вектору скорости. Одновременно эта сила с приведенными компонентами является подъёмной силой Н.Е. Жуковского. Компоненты сил, образующие матрицу

(

*ЛП-^(Д£-Д«*) О

6

определяют упругую силу. Такую силу впервые обнаружили Н.Т. По-лецкий и А.К. Никитин, рассматривая более полные уравнения, чем уравнения Рейнольдса.

Помимо этих основных сил, появляются дополнительные силы с матрицами

( 0 -л Аг(Аг;г -ПДт/,)

я-лДд^-пд^) О

О -я-лДД^-Дй)

Две матрицы появились из-за учета сдавливающих эффектов в смазочном слое. Таким образом, учет инерционных членов в уравнениях движения позволяет обнаружить дополнительные силы в смазочном слое. Причем учет инерционных эффектов более важен в газовых, чем в жидкостных опорах.

с

Уменьшая относительный зазор ^ = - и массу ротора т , увели-

т

чивая радиус г и длину опоры (, можно сделать равновесное положение ротора в цилиндрических опорах устойчивым.

Условие устойчивости идеально отбалансированного вала является одновременно условием устойчивости неуравновешенного вала. Этот результат относится как к абсолютно жестким, так и гибким роторам в цилиндрических опорах скольжения. Для осуществления гироскопической стабилизации во многих случаях применяют опоры с канавками вместо обычных гладких цилиндрических опор.

Если применяются опоры, работающие на эффекте внешнего нагнетания смазки, то для торцевых опор условие устойчивости сводится к требованию положительности жесткости слоя смазки. Из числа торцевых опор особого внимания заслуживает опора с внешним нагнетанием смазки через рестриктор типа «щель». Такая опора имеет жесткость слоя, не зависящую от свойств жидкости и всегда устойчива.

Глава 3. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА МЕЖДУ ДВУМЯ ПОВЕРХНОСТЯМИ И ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ РОТОРА В ОПОРАХ С ГАЗОВОЙ СМАЗКОЙ

В данной главе рассмотрены основные вопросы нестационарного движения газа в цилиндрической опоре скольжения и предварительно некоторые вопросы устойчивости центрального равновесного положения ротора в опоре с газовой смазкой.

Для тонкого слоя вязкого сжимаемого газа при плоском течении между двумя твердыми стенками основной системой является система уравнений, которая включает в себя уравнения Прандтля, аналогичные уравнениям пограничного слоя, уравнение неразрывности и уравнение притока тепла. Интегрирование основной системы уравнений плоского течения вязкого газа между двумя твердыми стенками наталкивается на значительные трудности, поэтому приходится применять приближенные методы интегрирования этих уравнений. Одним их таких методов является метод осреднения инерционных членов по толщине смазочного слоя, который был предложен проф. С.М. Таргом и Н.А. Слезкиным.

Рассмотрены вопросы устойчивости центрального равновесного положения шипа в цилиндрической опоре.

Основным параметром сжимаемости газового слоя является число Маха м, то есть сжимаемость газа учитывается также, как это принято в газовой динамике. Число аш в современной теории газовой смазки принято считать параметром сжимаемости (или параметром опоры). В газовой смазке реакции слоя газа от параметра Ли зависят нелинейно, в то время как в гидродинамической теории смазки эта зависимость линейная.

При малых числах л7«1 и л„<1 условие устойчивости центрального равновесного положения шипа в цилиндрической опоре с газовой смазкой полностью совпадает с условием устойчивости центрального равновесного положения вала в опоре с несжимаемой смазкой.

Результаты по исследованию устойчивости равновесного положения шипа, методы стабилизации равновесного положения и другие вопросы для несжимаемой смазки полностью переносятся для опор с газовой смазкой при малых числах м и ла газового слоя. Для того чтобы показать, что с ростом чисел м ил, характеристики опоры и динамика ротора в опорах скольжения с газовой смазкой существенно изменяются, рассмотрены вопросы динамики неуравновешенного ротора в опорах скольжения с газовой смазкой и показано, что траектория центра вала неуравновешенного вала нелинейно зависит от чисел м и ла, причем при малых числах м «1 и л„ <1 траектория центра вала определяется тем же выражением, что при движении его в опоре с несжимаемой смазкой.

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ТВЁРДЫМИ СТЕНКАМИ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ КОЛЕБЛЕТСЯ С БОЛЬШОЙ ЧАСТОТОЙ

В 4 главе рассмотрены вопросы влияния смазки на реакции смазочного слоя опор скольжения, работающих на разных принципах смазки. В качестве основных уравнений в диссертационной работе взяты уравнения Прандтля для тонкого вязкого слоя газа, а не уравнения Рейнольдса. При интегрировании этого уравнения учитывались граничные и начальные условия, процесс в газовом слое принимался термодинамическим.

В теории газовой смазки существует три принципа создания избыточного давления в газовом слое опор, названные принципами газовой смазки: 1) эффект клина; 2) эффект внешнего нагнетания смазки; 3) эффект колеблющейся стенки. Наличие трех принципов значительно расширяет область применимости опор скольжения с газовой смазкой. Наложение этих принципов приводит к гибридным опорам, образованным, например, таким способом: а) внешнее нагнетание плюс эффект клина; б) колеблющаяся стенка плюс эффект клина.

Наиболее часто вариационные задачи характеризуются одним и тем же типом функционала - подъемной силой смазочного слоя. Наряду с этим следует учесть другой тип функционала. В данной главе рассматривается одномерная вариационная задача о профиле, обеспечивающем наименьшее трение на скользящей поверхности. Решение вариационной задачи о максимуме функционала где F - не-

сущая способность профиля, - величина силы трения, приводит к результату, что оптимальный зазор опоры, работающей на принципе нагнетания смазки в зазор под избыточным давлением рх > р2, будет описан кусочно-непрерывной функцией с промежуточным изменением толщины слоя.

Оптимальный профиль смазочного слоя в данном случае отличается от кусочно-непрерывного профиля Рэлея появлением промежуточного участка. С учетом теоремы о формировании тонкого слоя и существовании нормального вектора в каждой точке поверхности эта поверхность должна быть задана функцией:

Я, при 0<3с<^!; Н(х) = • (р(х) при х, < х < Зс2; Нг при х2 2 х < 1.

Такому решению соответствует газостатическая опора с "карманом". Для такой опоры жесткость будет отлична от нуля.

В теории газовой динамики учет сжимаемости газа произведен с помощью безразмерного параметра, известного в литературе под названием числа Маха М. Аналогично в теории газовой смазки учет сжимаемости газового слоя также должен производиться с помощью числа М.

Реакции газового слоя зависят не только от числа М, но также нелинейно от параметра опоры Л„, в то время как реакции слоя жидкости от параметра зависят линейно и не зависят от числа М .

Исследование опоры, работающей на эффекте клина с учетом сжимаемости газа, показывает, что течения газового слоя существенно различны при м<мк и м>мк, где под Мк понимается критическое число Маха. При малых числах Маха М « Мк реакции опор с газовой смазкой можно определить, интегрируя поле давлений, определенное с помощью уравнений Рейнольдса.

При условии м>мк для создания избыточного давления в опорах, работающих на эффекте клина, смазка должна поступать в расширяющийся клиновидный зазор. Этот результат согласуется с общими положениями газовой динамики.

Рассмотрено движение газа между двумя параллельными твердыми стенками, одна из которых свободна и вынужденно колеблется с большой частотой. Показано, что при квазистатическом течении газовой смазки на стенку действует реакция, зависящая от безразмерной амплитуды колебаний, а газовый слой обладает жесткостью. То есть две параллельные стенки, разделенные слоем газа, одна из которых колеблется с большой частотой, удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к опорам. На рис. 1 приведены зависимости безразмерных угловой жесткости (линия 1), главного вектора сил давления (несущей способности) (2) и момента сопротивления торцевой опоры в виде двух дисков от безразмерной амплитуды вибрации одного из дисков. Из рисунков видно, что момент сопротивления мало зависит от вибрации диска. В то же время жесткость и несущая способность существенно увеличивается с ростом амплитуды колебаний.

Н1

Рис. 1

Обнаружен также эффект колеблющейся поверхности для несжимаемой жидкости, аналогичный эффекту с вибрирующей поверхностью для газового слоя. Опора, состоящая из двух дисков конечного диаметра и несжимаемой жидкостью между ними, может нести нагрузку, подобно виброопоре, где в качестве смазывающего вещества используется газ.

Ось х направлена параллельно пластинам (х=0 соответствует линии растекания на середине длины пластин в плоском случае или оси симметрии), а г - перпендикулярна им (2=0 соответствует середине зазора). В приближении тонкого слоя систему уравнений, описывающих движение, можно записать в виде

9(гг>у) .ди.би ди ди 1 др дги да „ дг дх д! дх & р дх &&

где у = о или у = 1 в плоском и осесимметричном случаях.

Половина длины (или радиус) пластин обозначена ь, а половина расстояния между пластинами н, граничные условия имеют вид: и = 0 прих = 0; р = ра= сот1 при х = Ь;

и< = 0, ~ = 0 при г = 0; и = 0, ™ = при г = Н(0, а начальные в виде и = \г = о, н = н0(г) при г = 0.

Уравнения имеют автомодельное решение такое, что поперечная компонента скорости не зависит от продольной координаты, то есть и-==н.(г,о. При этом вследствие первого из уравнений продольная компонента скорости пропорциональна х. Такое течение может реализоваться вдали от краев пластин, где пренебрежимы краевые эффекты.

Таким образом, при гармонических колебаниях зазора распределение скорости в нем зависит только от параметра с.= — (т = 1/(.) и

н.

безразмерной амплитуды колебаний а0, а третий параметр

рь

на распределение скорости не влияет и важен только при определении размерного давления по безразмерному значению р(, а также при определении силы, действующей на пластину.

На рис. 2-3 показано распределение скорости м(г/) в моменты времени г = 1.00, 1.17, 1.34, 1.51, 1.68, 1.85 соответственно осесим-метричной задачи при амплитуде колебаний а0 = 0.5. Показано также изменение во времени я{(т)И л(т-). На этих кривых кружками отмечены значения в моменты времени, соответствующие приведенным распределениям скорости. Давление квадратично зависит от про-

рт— р р

дольной координаты: -Л = р = 1—Ц1-£г). Среднее по поверхно-

о£ р. 2 р,

сти избыточное давление определится интегрированием по поверхно-

Р,

сти пластины: рср = -^~у~' а среднее за период - интегрированием по времени: р =———, где к = [/>,</>• Зависимость Т от с. приведена

" (3 + Г)р. { >

на рисунке 4. По приближению Слезкина-Тарга ¥ от с. не зависит, вычисленные в этом приближении значения нанесены на рисунках кружками. Видно, что возможная нагрузка в этом приближении определяется с заметной погрешностью.

Рис. 4. Зависимость F (с.) при у = 1

Физическая картина в опоре с несжимаемой жидкостью несколько отличается от процессов в опоре, где в качестве смазывающего вещества используется газ. Несжимаемая жидкость вытекает за края опоры при уменьшении зазора между пластинами и втекает извне при увеличении зазора. Появление несущей способности опоры связано с силами трения и инерции внутри жидкости.

ГЛАВА 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СРЕД ПРИ НАЛИЧИИ ТОНКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ НИМИ

В 5 главе рассмотрен вопрос о роли смазки при качении нагруженного шара по деформируемой поверхности, а также в опорах в виде иглы или клина. В данной главе показано, что масляная прослойка весьма существенно влияет на процесс качения шара, а также

на взаимодействие опоры в виде клина или иглы с поверхностью. Такая прослойка не только предотвращает непосредственный контакт шарика, иглы или клина с поверхностью, таким образом предотвращая их слипание, уменьшая износ. Также прослойка существенно влияет на уменьшение напряжения металла в месте контакта. Как известно, в современных подшипниках качения для напряжений в зоне контакта допускаются очень большие значения. Возникновение таких напряжений объясняется тем, что площадь соприкосновения между шариком, иглой или клином и поверхностью очень мала, что приводит к большим концентрациям сил. Такие напряжения могут лежать за пределами упругих деформаций и, казалось, должны неизбежно приводить к быстрому разрушению поверхности качения. Как показано в данной главе, присутствие масляной прослойки в месте контакта приводит к увеличению площади соприкосновения и более равномерному распределению давления. В результате значительно снижаются величины напряжений в поверхности качения. Таким образом, в действительности при качении шарика, воздействии иглы или клина на поверхность напряжение меньше рассчитанного статически.

Это обстоятельство указывает на исключительно важное значение смазки и на понимание физической картины процесса образования масляного слоя под шариком, иглой или клином и поверхностью. В отличие от стандартной гидродинамической задачи смазки, в данной задаче появляются усложнения, связанные с тем, что масляный слой находится под значительным давлением. Причем для качения шара оказывается возможным найти полное решение задачи.

При изучении движения вязкой несжимаемой жидкости исходной системой уравнений является система уравнений пространственного нестационарного течения вязкой жидкости и уравнение неразрывности. Основной задачей интегрирования уравнений для тонкого слоя жидкости является определение поля давлений и компонент скоростей частиц жидкости.

Граничные условия для компонент скоростей выбраны на основе условий прилипаемости к поверхности, а для давления - из условия заданного давления на контуре, ограничивающем смазочный слой. Толщина слоя И намного меньше других размеров опоры. Процесс вязкого трения принят изотермическим, коэффициент вязкости принимается не зависящим от координат и температуры. Распределение давления получено на основе уравнения Рейнольдса.

При постановке контактно-гидродинамической задачи рассмотрено взаимодействие сред при наличии тонкого слоя жидкости между ними. На границе раздела двух сред, то есть жидкости и твердого деформируемого тела, должно выполняться условие:

д п = ,

где а - тензор напряжений для жидкости; ах - тензор напряжений для твердого тела. Условие верно как при 2=Л(, так и при г=Л2. Является условием непрерывности тензора напряжений при переходе через границу раздела сред.

По заданным граничным условиям определены напряжения в

твердом теле и затем найдены компоненты деформаций Ли' и Ли_? и компоненты скоростей для поверхностей 5] и 52. В зоне контакта твердого тела и жидкости примем гипотезу, что коэффициент вязкости экспоненциально зависит от гидродинамического давления:

а р

Уравнение для распределения давления примет вид:

£ ёх

/и и^ЗП

д +—

Эу

,, , чэ 5П ду

=бМя-^[(иг+иж-н1)]+

ду

1 42 р

ду ду

где функция П =—е°р удовлетворяет краевым условиям,

а

р - гидродинамическое давление. Гидродинамическое давление в тонком слое найдено с помощью функции П:

/> = --1п(-аП). а

Для того чтобы составить замкнутую систему уравнений, нужно приложить к твердому телу силу Р. При составлении уравнений движения твердого тела поставленные задачи имеют вид задач него-лономной механики.

В 5 главе рассмотрена важная роль перехода от контактно-гидродинамической теории смазки к чисто гидродинамической. Наблюдая в ходе решения контактно-гидродинамической задачи за величиной толщины слоя и уменьшением зависимости вязкости от давления, можем заменить переход от функции П к гидродинамическому давлению, то есть когда а р « о. В этом случае можно пренебречь деформациями сред ^ и

В данной главе рассматривалось влияние и природа сил, приложенных к поверхности. Сила Р = Р-п, приложенная к твердому телу, может быть любой, и действие этой силы может вызвать сколько угодно большие контактные напряжения, в том числе компоненты тензора напряжений. Значительными могут быть как нормальные напряжения, так и касательные.

Сила Рг=Р-т в отличие от силы Р ограничена |Рг|<|Яг«р|, где Ртпр - предельная касательная сила. Предельная сила Ргпр определяется прежде всего силами трения, возникающими на границе двух сред. По своим свойствам Рхпр может быть близка к силе сухого трения. С увеличением толщины масляного слоя она приближается к силе жидкостного вязкого трения и значительно меньше силы сухого или граничного трения. Поэтому увеличение силы рг не может вызвать значительного увеличения касательных напряжений, а тело на смазочном слое приходит в движение. Таким образом, сила рг связана с движением твердого тела без учета деформаций, порожденных этой силой. Одновременно при учете деформаций становится справедливым в зоне контакта равенство Р„ ~ Рпп; Р„т » в, что является подтверждением гипотезы об экспоненциальной зависимости коэффициента вязкости от гидродинамического давления ц = цнеа р.

Перемещения в полупространстве определены с помощью закона Гука и найдены компоненты тензора деформаций. В результате получен следующий вывод, что игла входит в сплошную среду свободно, а напряжения возникают от внедрения абсолютно твердой иглы. Уменьшение сопротивлений внедрению клина и иглы можно произвести, если для клина и иглы обеспечить смазку в условиях гидродинамической или контактно-гидродинамической задачи в зависимости от геометрии поверхностей.

Приведено обобщение решения для качения шара по недефор-мирующейся поверхности с учетом скольжения и изменения углов Эйлера. С этой целью рассмотрено уравнение для распределения давления в смазочном слое. Определены реакции слоя смазочного материала, после чего исследовано движение шара на основе приведенных уравнений. При выяснении условий чистого качения шара потребовалось уточнение модели тонкого слоя смазочного материала. В результате обнаружено, что увеличение нагрузок приводит к необходимости учета деформаций поверхности качения и неголономности модели.

Заключение

1) Получены условия формирования тонкого слоя между двумя произвольными поверхностями, сформулирована и доказана теорема о формировании тонкого слоя. Дан способ формирования тонкого слоя между двумя поверхностями, определены основные соотношения в геометрии тонкого слоя. Отмечены локальные свойства тонкого слоя между двумя поверхностями. С учетом того факта, что на практике гидродинамическую задачу приходится решать для опор скольжения, которые имеют цилиндрическую, сферическую или конусную формы, построена геометрия тонкого слоя поверхностей вращения без учета и с учетом перекоса осей вращения.

2) Получено решение пространственного нестационарного течения тонкого слоя вязкой жидкости между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями и определена устойчивость равновесного положения и периодического движения вала в опорах скольжения. Учет инерционных членов в уравнениях движения позволил обнаружить дополнительные силы в смазочном слое. Сформулированы методы стабилизации центрального положения вала с учетом упругих сил слоя вязкой жидкости, влияния гироскопических сил и внешнего демпфирования, а также влияние геометрии поверхностей, геометрии тонкого смазочного слоя и размеров вала.

3) Решена задача пространственного нестационарного течения тонкого слоя газа между двумя произвольно движущимися твёрдыми поверхностями и вопросы устойчивости равновесного положения вала в опорах скольжения. Получены выражения для реакции газового слоя при числах Маха, приближающихся к критическим, и доказана возможность работы опор скольжения с газовой смазкой при числах Маха, превосходящих критические значения.

4) Решена задача нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя колеблющимися параллельными пластинами, а также между двумя дисками. По результатам численного решения задачи было показано, что для несжимаемой жидкости также применим третий принцип создания повышенного давления в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости (эффект периодически колеблющейся стенки), аналогично эффекту колеблющейся поверхности для газового слоя.

5) Решена задача качения нагруженного шара по поверхности с учетом смазочного слоя и деформации поверхности качения и шара. Определены реакции со стороны смазочного слоя, действующие на шар и поверхность качения. Учтена неголономность модели.

6) Поставлена и решена задача движения вязкой несжимаемой жидкости между иглой (или клином) и бесконечной плоскостью. Сформулированы принципы уменьшения сопротивления внедрению клина и иглы в деформируемую поверхность в условиях контактно гидродинамической задачи.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Завьялов О. Г. Исследование динамики качения шара, контактирующего с поверхностью, с учетом нестационарного слоя вязкой жидкости / О. Г. Завьялов, Ю. Г. Марков // Трение и износ. Международный журнал / Ин-т металлополимерных систем. - Гомель, 2002. -Т. 23.-№2.-С. 120-129.

2. Матвеев С. К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между колеблющимися параллельными плоскостями / С. К. Матвеев, О. Г. Завьялов // Трение и износ. Международный журнал / Ин-т металлополимерных систем. - Гомель, 2007. -Т. 28. -№6. -С. 547-552.

3. Завьялов О. Г. Доказательство необходимого признака существования тонкого слоя между двумя поверхностями / О. Г. Завьялов, Ю. В. Павлова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия / ЮУрГУ. - Челябинск, 2007.-Вып. 9.-№ 19 (91).-С. 16-21.

4. Матвеев С. К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между колеблющимися параллельными плоскостями / С. К. Матвеев, О. Г. Завьялов // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал / Ин-т машиноведения. - М., 2007.-№3,-С. 65-69.

5. Завьялов О. Г. Условия существования тонкого слоя между двумя произвольными поверхностями / О. Г. Завьялов // Обозрение прикладной и промышленной математики / Ин-т проблем информатики РАН. - М., 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 294-295.

6. Завьялов О. Г. Воздействие смазочного слоя на устойчивость ротора в опорах скольжения / О. Г. Завьялов // Трение и износ. Между-

народный журнал / Ин-т металлополимерных систем. - Гомель, 2009.-№4.-С. 437-446.

7. Завьялов О. Г. Динамика качения шара, контактирующего с поверхностью, с учетом нестационарного слоя вязкой жидкости / О. Г. Завьялов, Ю. Г. Марков // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал / Ин-т машиноведения. - М., 2003. -№4.-С. 44-49.

8. Завьялов О. Г. Динамика ротора в опорах скольжения с учетом структуры сил смазочного слоя / О. Г. Завьялов // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал / Ин-т машиноведения. - М., 2009. - №2. - С. 20-31.

9. Завьялов О. Г. Условия существования тонкого слоя между двумя произвольными поверхностями / О. Г. Завьялов, О. С. Савченко-ва // Обозрение прикладной и промышленной математики / Ин-т проблем информатики РАН. - М., 2007. - Т. 14. - Вып. 5-6. - С. 815.

10. Завьялов Г. А. Основы механики сплошных сред и геометрии тонкого слоя : монография / Г. А. Завьялов, Е. А. Мартынова, О. Г. Завьялов. - Челябинск : Изд-во Южно-Уральского государственного университета, 2007. - 290 с. - ISBN 978-5-93441-124-5.

11. Завьялов Г. А. Основы геометрии тонкого слоя : монография / Г. А. Завьялов, О. Г. Завьялов, Ю. В. Павлова. - Челябинск : Изд-во Южно-Уральского государственного университета, 2003. - 120 с. -ISBN 5-94288-010-7.

12. Завьялов Г. А. Динамика качения шара с учетом нестационарного слоя вязкой жидкости / Г. А. Завьялов, О. Г. Завьялов // Известия Челябинского научного центра. Секция Электроника и приборостроение. - Челябинск, 2004. - Вып. 4 (26).

13. Zavyalov О. G. Directions and problems of development at the hy-drodynamical theory of lubricant, sliding support with gas lubricant / O. G. Zavyalov // Научное обозрение / Наука, филиал ЗАО AJIKOP. -M., 2005. - № 5. - С. 2-4 (англ.).

14. Завьялов О. Г. Оптимизация характеристик торцевой опоры с канавками / О. Г. Завьялов // Наука и технологии. Избранные труды Российской школы "К 70-летию Г.П. Вяткина" / РАН. - М., 2005. -С. 338.

15. Завьялов О. Г. Формирование тонкого слоя между двумя поверхностями вращения / О. Г. Завьялов // Труды XXVI Российской школы "Наука и технологии" / РАН. - М., 2006. Т. 1. - С. 197-198.

16. Завьялов О. Г. Формирование тонкого слоя между двумя поверхностями вращения / О. Г. Завьялов // "Наукоемкие технологии". Труды XXVI Российской школы / РАН. - М., 2006. - Т. 1. -С. 197-198.

17. Завьялов О. Г. Стационарное сверхзвуковое течение газового слоя в опоре / О. Г. Завьялов // "Механика и процессы управления". Труды XXXVI Уральского семинара. - Екатеринбург, 2006. - Т. 1. -С. 192-198.

18. Матвеев С. К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между параллельными поверхностями / С. К. Матвеев, О. Г. Завьялов // XXVI Российская школа по проблемам науки и технологий (27-29 июня 2006 года, г. Миасс). - Екатеринбург, 2006. -С. 83-85.

19. Завьялов О. Г. Устойчивость работы вала в подшипниках скольжения с учетом структуры сил газового слоя смазки / О. Г. Завьялов // "Понтрягинские чтения-XVIII" XXI весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач" 3-9 мая 2007 / Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2007.

20. Завьялов О. Г. К вопросу устойчивости движения ротора в цилиндрическом подшипнике конечной длины / О. Г. Завьялов // IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 12-16 июня. - Иркутск, 2007. - Т. 4. - С. 93-95.

21. Завьялов О. Г. К вопросу о гидродинамической теории смазки подшипников скольжения / О. Г. Завьялов // II Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ 2007" к 150-летию академика A.M. Ляпунова 4-8 июня 2007 г. / Санкт-Петербургский государственный университет. - СПб., 2007. - С. 139. // International Congress "Nonlinear Dynamical Analysis-2007" June 4-8, 2007 / Saint-Petersburg, Russia, 2007. P. 139. (англ.)

22. Завьялов О. Г. Вопросы формирования тонкого слоя и устойчивость работы опор скольжения / О. Г. Завьялов, О. С. Савченкова // Вторая международная научно-техническая конференция "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании". Секция "Прикладные вопросы математического моделирования". 22-24 ноября 2007 г. / Уральский государственный технический университет - УПИ. - Екатеринбург, 2007. - С. 27-29.

23. Завьялов Г. А. Взаимодействие тонкого слоя с веществом : монография / Г. А. Завьялов, О. Г. Завьялов, Г. О. Завьялов // Избранные труды Российской школы по проблемам науки и технологий. - М. : РАН, 2007. - 97 с. - ISBN 978-5-283-00008425.

24. Zavyalov О. G. Researching of a hanger with gas greasing at intensive vibration of the basis (статья) // Научное обозрение. - M. : Наука, филиал ЗАО АЛКОР, 2005. - №6. - С. 64 - 66. (англ.)

25. Матвеев С. К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между параллельными поверхностями / С. К. Матвеев, О. Г. Завьялов // "Наука и технологии". Секция Б2 «Аэрогидродинамика и тепломассообмен». Краткие сообщения XXXVII Российской школы, посвященной 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. Академика В.П. Макеева" (26-28 июня 2007 г., г. Миасс). - Екатеринбург, 2007. - С. 21-27.

26. Завьялов О. Г. Движение вязкой несжимаемой жидкости между иглой и бесконечной поверхностью / О. Г. Завьялов // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике, посвященный 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера 5-7 февраля 2008 г. / Санкт-Петербургский государственный университет. - СПб., 2008. - С. 77.

27. Завьялов О. Г. Решение вариационной задачи о толщине смазочного слоя в опорах скольжения / О. Г. Завьялов, О. С. Савченко-ва // "Наука и технологии". Секция 2 "Аэродинамика и тепломассообмен". Краткие сообщения XXVIII Российской школы (24-26 июня 2008 года, г. Миасс). - Екатеринбург, 2008. - С. 64-65.

28. Завьялов О. Г. Решение системы уравнений при нестационарном течении тонкого слоя вязкой жидкости между параллельными плоскостями с учетом колебаний одной из плоскостей / О. Г. Завьялов // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию Л.С. Понтрягина (17-22 июня 2008 г.) / Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. - М., 2008. -№6.~ С. 158-159.

29. Завьялов О. Г. Структура сил, действующих на ротор цилиндрической опоры скольжения с учетом смазочного слоя / О. Г. Завьялов // Обозрение прикладной и промышленной математики / Ин-т проблем информатики РАН. - М., 2009. - Т. 16. - С. 522-523.

30. Завьялов О. Г. Задача качения шара с учетом деформации поверхности качения / О. Г. Завьялов // Международная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения" 3-6 февраля 2009 г. / Санкт-Петербургский государственный университет. - СПб., 2009. - С. 120.

Подписано в печать 24.01.2011. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 2,0. Заказ №/8. Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский отдел ЧГАА г. Челябинск, пр. Ленина, 75.

УОПЧГАА