Векторный подход к задачам упругих волн в подкрепленных пластинах и оболочках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ.

§ I. Матрица волновых сопротивлений среды.

§ 2. Матрица импедансов препятствия.

§ 3. Преобразование волн на одиночном препятствии.

§ 4. Преобразование волн на системе препятствий.

§ 5. Закон сохранения энергии.

ГЛАВА П. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ПЛАСТИНЕ НА РЕБРАХ

ЖЕСТКОСТИ.

§ I. Упругие колебания тонких пластин.

§ 2. Матрица волнового сопротивления пластины.

§ 3. Матрица импедансов прямолинейного ребра.

§ 4. Контактные условия.

§ 5. Преобразование волн на одиночном ребре.

§ 6. Энергетические соотношения.

§ 7. Преобразование волн на системе ребер.

§ 8. О волнах, распространяющихся вдоль ребра.

ГЛАВА Ш. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ НА СИСТЕМЕ КОЛЬЦЕВЫХ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ.

§ I. Упругие колебания тонкой цилиндрической оболочки. Потоки энергии, переносимые отдельными нормальными волнами.

§ 2. Волновые числа нормальных волн.

§ 3. Матрица волнового сопротивления оболочки.

§ 4. Матрица импедансов кольцевого ребра.

§ 5. Преобразование волн на системе ребер.

НИТЕРАТУРА.

В настоящее время в литературе уделяется большое внимание вопросам распространения упругих волн в тонкостенных конструкциях, составленных из плоских или кривых пластин (оболочек) и их излучению в окружающую среду. Актуальность этих задач объясняется их большой практической важностью в авиационной fil строительной [31,50 ] и физической [ 37,82,97 ] акустике, гидроакустике [i 10 ] и судостроении [26,28,46,54,78,89] , акустической динамике макин и механизмов [4,12, 17 j и др. С другой стороны, решение подобных задач приводит к интересным задачам математической физики и вычислительной математики, имеющим и самостоятельный теоретический интерес.

По этим вопросам имеется обширная библиография, краткий обзор которой (не претендующий на полноту) приведен ниже.

Прежде всего отметим работы, связанные с выбором механической модели, т.е. выводом уравнений движения тонких пластин и оболочек. Такие уравнения могут быть получены из общих уравнений трехмерной теории упругости [2,30,73,74,82,102-105 ] при некоторых упрощающих предположениях относительно характеристик упругого слоя. Наиболее употребительна, повидимому, гипотеза "прямых нормалей" Кирхгофа-Лява: предполагается, что прямолинейные волокна пластины (оболочки), перпендикулярные к срединной ее поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и перпендикулярными к ее изогнутой срединной поверхности, сохраняя свою длину; кроме того, предполагается, что нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно (по сравнению с прочими напряжениями) пренебречь. Принятие указанных предположений равносильно сведению задат о колебаниях трехмерной пластины (оболочки) к исследованию колебаний ее срединной поверхности. Напряженное состояние пла-зтины (оболочки) определяется шестью функциями перемещения срезной поверхности и соотношениями упругости, выражающими усилия и моменты через функции перемещения. Преимущество гипотезы Кирх-гофа-Лява перед остальными теориями заключается в том, что она наглядна, имеет ясный физический смысл и очевидную преемственность от хорошо проверенной опытом теории балок.

Полученные приближенные уравнения движения пластины позволяют учесть все основные типы колебаний, т.е. продольную, сдвиговую, изгибную и неоднородную (затухающую) изгибную волны. Уравнения, описывающие продольно-сдвиговые (симметричные) движения пластины называются уравнениями обобщенного плоского напряженного состояния [7з], а уравнение изгибных (антисимметричных) колебаний - уравнением Софи Жермен-Лагранжа-Кирхгофа [73,104,105]. Оправдание этих приближенных уравнений движения тонкого слоя (пластины, оболочки) можно найти, например, в [93,94,85] , где имеется также обзор и других работ этого направления. Вывод уравнений движения тонких пластин и оболочек можно найти также и в [89,78,2,85,99,5,104].

В рамках этой классической модели удается изучить и колебания бесконечной однородной пластины и пластины конечных размеров. При этом требуется знание дополнительных грантздых условий, вывод которых можно найти, например, в монографиях [73,105,2,85, 99,5] .

Более точным уравнением изгибных колебаний пластины является уравнение типа Тимошенко, учитывающее инерцию вращения нормалей и их сдвиг. Это уравнение является аналогом уравнения изгибных колебаний одномерного стержня [ 102 ] . Вывод его можно найти в монографиях [24,96,102,103,/.

Ко второй группе мы условно отнесем работы, в которых изучались нормальные волны в пластинах, стержнях и балках, составленных из однородных стержней-полос. (Полосой мы называем бесконечную тонкую пластину конечной ширины, толщина которой во много раз меньше ее ширины.)

Большое число задач о возбуждении изгибных волн в конечных стержнях и пластинах при различных граничных условиях содержится в [99,5,98,104] .

Колебания стержней-полос (уголок, тавр, двутавр,.) рассчитываются с помощью инженерных теорий [38,103], которые являются существенно низкочастотными (длина сдвиговой волны в материале стержня много больше его характерных поперечных размеров). Поправочные коэффициенты, предложенные в [20^ немного расширяют область применимости этих расчетов.

Существенное продвижение в область высоких частот при расчете изгибных колебаний стержня-полосы сделано в [59-61] , а для продольных колебаний (в плоскости полосы) - в работах [16,18,19] Результаты получены в предположении, что длина сдвиговой волны в материале много больше толщины полосы. Итоговая статья [21 ] содержит и обширную библиографию по данному вопросу.

В работе [ 23 ] изучаются корни дисперсионного уравнения для изгибных нормальных волн, в [ 62,3bJ исследуются потоки энергии, переносимые отдельными нормальными волнами в тонкой полосе.

В работах [ 3,25 ] получёны дисперсионные уравнения для различных типов нормальных волн в стержнях типа уголок, тавр, швеллер, двутавр с одинаковыми полками и короб, исследованы общие свойства полученных уравнений. Исследования проведены методом линейных динамических жесткостей, впервые примененным его авторами, повидимому, в [11,12], Метод подробно описан в работах [17,15,з].

В [22] исследованы корни дисперсионных уравнений для двутаврового стержня с одинаковыми полками. Как и для стержня-полосы, результаты применимы в предположении, что длина сдвиговой волны в материале много больше толщины полос. В |П4] исследовалось распространение изгибных волн в тонкой бесконечной полосе, подкрепленной по краям одинаковыми ребрами жесткости. Ребра моделировались стержнями двутаврового сечения. Учтены крутильные и из-гибные колебания ребер (по элементарной теории,[38,103]). Изучен спектр изгибных нормальных волн, распространяющихся вдоль такой конструкции; при подсчете потока энергии, переносимой этими волнами, не полностью учтен внеинтегральный член, наличие которого отмечалось в [б2]. В [121] исследовался спектр волн, распространяющихся вдоль параллельных ребер жесткости, периодически подкрепляющих тонкую бесконечную пластину. Ребра моделированы стержнями таврового сечения (без учета их крутильных колебаний). Задача сводилась к рассмотрению волновых процессов в одном периоде такой модели.

Для исследования волновых полей в тонкостенных пластинных конструкциях часто применяется и энергетический метод, основанный на гипотезе о диффузности рассматриваемых полей. Обзор работ этого направления содержится, например, в монографиях [89, 26,55,78,98,ИЗ].

К третьей группе работ мы отнесем работы, в которых рассматривались задачи о прохождении пластинных волн через различного рода препятствия. Эти задачи рассматривались многими авторами в различной постановке и решались различными методами, как теоретическими, так и экспериментальными.

В работах [107,108 ] методом теории возмущений решается задача о распространении и отражении изгибных волн в бесконечной шастине, параметры которой являются медленно меняющимися функциями одной координаты.

Часто применяется и, так называемый, импедансный метод или метод "внутренних импедансов". Суть его заключается в том, что рассматриваемая конструкция мысленно расчленяется на простейшие составные элементы, концы которых считаются нагруженными импеда-нсами (сопротивлениями) и внешними усилиями, характеризующими влияние отброшенной части конструкции. Нахождение искомых элементов поля при этом сводится к численному решению линейных систем алгебраических уравнений.

Первой работой этого направления следует считать, по-видимому, [ 29 ] , где изучалось нормальное падение плоской изгибной волны на бесконечное тонкое прямолинейное препятствие. Влияние препятствия учитывалось с помощью заданных импедансов перерезывающей силы и изгибающего момента. Впоследствии метод применялся в большом количестве работ, авторы которых рассматривали различные обобщения указанной задачи. Например, в [70 1 изучалось нормальное падение изгибной волны на ребро жесткости, наклоненное к несущей пластине под постоянным углом, причем в модели ребра учитывались и продольные движения. В [53 ] исследовалось влияние волновых процессов в ребре на величину виброизоляции с учетом преобразования падающей изгибной волны в продольную. В [ 54 ^ рассматривалась виброизоляция двумя параллельными ребрами жесткости изгибных волн в бесконечной пластине, распространяющихся в направлении, перпендикулярном линиям крепления ребер (сдвиговые движения ребра не учитывались); численно исследованы виброизолирующие свойства и конечного набора таких параллельных ребер.

С обзором работ этого направления можно ознакомиться, например, по монографиям [89,26,55,78,98,113] . При этом, напомним, что случай нормального прохождения изгибной волны в бесконечной пластине через параллельные ребра жесткости математически эквивалентен задаче о распространении изгибной волны в стержне с периодически расположенными нагрузками [п,12,17,119,12о]. Кроме того, решение задачи об отражении изгибных волн в бесконечной пластине от прямолинейных ребер жесткости, с помощью некоторого интегрального соотношения взаимности [75 ] , можно связать с решением задачи о возбуждении изгибных колебаний в такой пластине внешними силами и моментами, приложенными к ребрам.

И, наконец, упомянем еще один, матричный метод. Он был предложен в [12б,Пб] при исследовании прохождения волн через систему упругих слоев. Суть этого метода заключается в том, что, зная некоторые матрицы, задающие свойства поля на входе в систему, можно, не решая систем уравнений, найти в матричной форме связь между элементами поля на выходе системы. Достоинства матричного метода очевидны - ясность, простота, физическая наглядность результата, алгоритмизованный язык, хорошо приспособленный для программирования. Современное состояние теории применительно к задачам прохождения волн через слоистые среды описано в обзорной статье [851.

В задачах о распространении упругих волн в стержневых и пластинных системах матричный метод был применен впервые, по-видимому, в [43] и затем в ряде работ. Однако очень широкого распространения он не получил, т.к. эти задачи оказались существенно более сложными. Например, в слоистых средах на границе раздела двух соседних слоев имеет место непрерывность и смещений и напряжений. Поэтому кинематическое и динамическое состояния системы удобно описывать единым вектором и целью исследований является нахождение связей между компонентами этого вектора на входе и выходе системы. В стержневых и пластинных конструкциях интерес представляют ситуации, когда в одной точке (по одной линии) сочленяются несколько стержней (пластин) и векторы напряжений и скоростей участвуют в качественно различных соотношениях (их роли в этих соотношениях аналогична роли силы тока и напряжения в законах Кирхгофа для электрических цепей). Поэтому объединение кинематических и динамических величин в одном векторе часто оказывается нецелесообразным. Кроме того, наличие угловых соединений стержней и пластин требует введения специальных дополнительных матриц, задающих пространственную ориентацию различных элементов модели. Далее, учет в модели неоднородных волн (которые экспоненциально растут или убывают) приводил к потере точности вычислений из-за появления малой разности близких величин или переполнению ячейки памяти ЭВМ из-за наличия гиперболических функций. И таким образом, казались более выигрышными другие методы.

Подводя итоги этого краткого обзора, хочется отметить следующее. Обилие работ по данной тематике свидетельствует, с одной стороны, о постоянном интересе к данным задачам, а, с другой стороны, указывает на отсутствие единого общего подхода к их решению. Все традиционные методы так или иначе предполагают решение систем линейных уравнений, которые описывают кинематический и динамический режимы на линии состыковки ребра с пластиной. Число и сложность этих уравнений растут по мере усложнения физической модели явления. Необходимость упрощения этих систем неизбежно приводит к упрощению модели - либо в несущей пластине и ребре жесткости учитываются не все виды движений (изгибная модель, стержневые конструкции и т.п.), либо рассматривается лишь случай нормального падения возбуждающей волны на ребро. Упрощенные системы решаются численно на ЭВМ и по полученным данным строятся интересующие нас угловые или частотные зависимости элементов вибрационного поля. При этом их аналитическая структура (за исключением простейших случаев [ 78,ПО]) остается невыясненной и, кроме того, при внесении в модель тех или иных уточнений (учет неоднородных или продольных волн, изменение условий закрепления и т.д.) каждую задачу приходится ставить и решать заново. Дри получении же каких-либо приближенных аналитических формул необходимо заранее знать какими величинами и в каких частотных диапазонах можно пренебречь, чтобы рассматриваемая модель сохраняла бы основные черты реального волнового процесса.

Вместе с тем ясно, что аналитическая структура рассматриваемых векторных полей должна быть достаточно простой, не зависимо от выбора конкретной модели (т.е. уравнений движения) несущей пластины, модели препятствия, типа скрепления пластины и препятствием, конкретного значения угла падения возбуждающей волны; кроме того она должна отражать и взаимную трансформацию всех типов бегущих волн друг в друга.

Подобные формулы могут быть получены при наличии единого векторного подхода ко всему классу рассматриваемых задач. Предлагаемая работа и представляет собой попытку такого рода. Она состоит из введения и трех глав.

В первой главе строится общая теория преобразования произвольного волнового процесса, зависящего от одной пространственной и одной временной координаты, на полупрозрачном несжимаемом препятствии и системе таких препятствий. Парциальные волны, участвующие в волновом процессе, описываются ъл. -мерными векторами обобщенных скоростей VI и обобщенных сил ( 5 - номер волны). Число и. таких волн определяется выбором модели.

Пусть на пластине*5^ имеется препятствие и на него набегает, для определенности, слева волна, состав которой определяется вектором X . Преобразуясь на препятствии, она частично отражается, частично проходит, трансформируясь в волны других типов. В составе прошедшего ^ и отраженного ^ от препятствия полей присутствуют таким образом все парциальные волны. Матрицы *Т и & определенные равенствами характеризуют составы этих полей и называются матрицами коэффициентов преобразования.

В работе показано, что искомые и- X п матрицы Т и К. определяются достаточно простыми соотношениями, имеющими ясный физический смысл: где через У обозначена матрица, столбцами которой являются обобщенные векторы скоростей парциальных волн ~У3 , распространяющихся или затухающих в направлении возрастания продольной (перпендикулярной препятствию) координаты ос , матрица V аналогичным образом описывает волны, распространяющиеся или затухающие в противоположном направлении; /3 - матрица импедан-ов (нормальных волновых сопротивлений) препятствия, З-о - матрица собственных волновых сопротивлений несущей пластины. ^словом "пластина" мы для краткости называем несущую конструкцию; это может быть стержень, плоская пластина, кривая пластина (т.е. оболочка) различной формы, упругий слой.

Матрица волновых сопротивлений несущей пластины определяется формулой (2) где столбцами матриц Р и Р являются векторы обобщенных сил для каждой из участвующих парциальных волн.

Полученные формулы вполне аналогичны известным формулам Кирхгофа описывающим прохождение акустических волн через импедансное препятствие ( £ - импеданс экрана, ^ и ^ - волновые сопротивления среды слева и справа от экрана) и непосредственно преобразуются в них при переходе от векторной задачи к скалярной.

Матрица волновых сопротивлений несущей пластины характеризует полное (двустороннее) ее сопротивление волнам, распространяющимся или затухающим в направлении возрастания координаты х (первое слагаемое) и волнам, распространяющимся или затухающим в противоположном направлении (второе слагаемое). Мы называем ее матрицей собственных импедансов (в скалярном случае импеданс есть отношение силы к скорости). Во многих случаях матрица 2.о имеет гораздо более простую структуру, чем каждое слагаемое, входящее в формулу (2).

Матрица Ъ из (I) представляет собой полную матрицу импедансов препятствия и характеризует его реакцию на волновые процессы в несущей пластине.

Обычно влияние препятствия учитывается приближенно, например, путем замены его распределенными массами и моментами инерции, стержневой модели и т.п. При этом импедансы препятствия оказыватся решениями некоторых специальных систем уравнений, которые эазные авторы вводят по разному. При таком подходе для каждого юнкретного примера препятствия задачу о вычислении импедансов 1риходится решать заново, а необходимость упрощения расчетов приводит к тому, что в литературе под импедансами понимают чаще все-ро не матрицы, а скаляры - их диагональные элементы. Между тем расчеты показывают, что недиагональные члены имеют тот же порядок, что и главные импедансы и их влиянием пренебрегать, по-видимому, не следует.

В данной работе введено общее математическое понятие матрицы импедансов и разработаны способы ее нахождения.

Матрицей импедансов препятствия называется такая матрица, что для любой волны в нем, удовлетворяющей условию ю) = 2-ТО на его нагруженной (х = о) кромке, вторая (х^Н ) кромка свободна от напряжений, т.е.

Показано, что если препятствие однородно относительно X , то его матрица импедансов определяется соотношением где И - высота препятствия, П- - число всех парциальных волн, участвующих в процессе, ^ - их волновые числа.

В общем случае показано, что матрица импедансов препятствия полностью определяется только системой уравнений движения препятствия и граничными условиями, описывающими режим его скрепления с несущей пластиной. Для этой общей ситуации разработан метод, позволяющий, не решая граничной задачи, строить разложение матрицы в ряд Тейлора по степеням Н . Члены искомого ряда определяются рекуррентным образом, что является весьма удобным при проведении расчетов.

Приведенная обобщенная постановка задачи об импедансах и разработанные методы позволяют решать практически все задачи о вычислении импедансных матриц препятствий различной геометрической формы при любых условиях скрепления с несущей пластиной (жесткий задел, шарнирное соединение, свободно опертый край и т.д.). Эти методы проиллюстрированы вычислением полных импедансных матриц прямоугольной полосы (глава П) и кольца (глава Ш) с учетом их симметричных и антисимметричных форм колебаний.

Знание полных импедансных матриц препятствий помогает точнее описать волновые процессы в подкрепленных конструкциях.

Рассуждения, аналогичные тем, которые приводят к (I), позволяют получить явные формулы и для случая нескольких препятствий. Чтобы не загромождать текст новыми обозначениями, приведем здесь эти формулы для случая, когда на пластине имеется га одинаковых препятствий с импедансной матрицей , расположенных на равном расстоянии к друг от друга. Вектор Т , описывающий состав прошедшего через все препятствия поля и вектор И , описывающий состав отраженного от всей системы поля, связан с падаю? щим полем х равенствами

Г = Т1«Х-1. (4) где а матрица В имеет вид е+У-^У г^'гу* \

Зная Т и ^ , легко найти соответствующие матрицы коэффициентов преобразования в промежутках между ребрами.

В случае, когда все црепятствия различны и расстояния между ними неодинаковы, т -ая степень матриц в равенстве (5) заменяется произведением матриц аналогичной структуры, но различающимися друг от друга параметрами, характеризующими механические и геометрические свойства препятствий и пролетов, а также набег фазы по трассе движения.

Далее, в этой же главе показано, что волновые процессы в подкрепленной пластине удовлетворяют закону сохранения энергии в форме для одиночного препятствия ( - энергия падающей волны, 21^ и - соответственно энергии отраженной и прошедшей волн. Для системы препятствий энергия падающей волны равна сумме энергий отраженного от всей системы поля и прошедшего всю систему поля и поток энергии между препятствиями системы не зависит от продольной координаты X .

Таким образом в главе I в векторной форме найдено и исследовано аналитическое решение задачи о преобразовании волн на системе импедансных препятствий при условии, что волновые процессы вписываются одной пространственной и одной временной координат рами.

Однако это ограничение не является существенным, поскольку, хотя распространение волн в пластинах и оболочках описывается вообще говоря несколькими пространственными координатами, во многих случаях тем не менее произвольный волновой процесс раскладывается в сумму волн, зависящих лишь от одной пространственной координаты, т.к. зависимость от других пространственных координат носит стандартный характер. Например, при отражении плоской гармонической волны в пластине от прямолинейного ребра жесткости возникший набор плоских и неоднородных волн имеет ту же зависимость от координаты, направленной вдоль ребра, что и падающая волна. Зависимость от координаты, перпендикулярной ребру, у каждой из прошедших и отраженной волн определяется дисперсионными уравнениями, которые следуют из выбранных уравнений движения. Аналогичная ситуация имеет место и при падении нормальной волны в цилиндрической оболочке на кольцевое ребро жесткости. Здесь также можно выделить стандартную зависимость от угловой координаты (определяемую номером моды) во всех парциальных волнах, возникших в результате преобразования на ребре. Это дает возможность применить результаты, полученные в главе I и к обеим упомянутым задачам и их различным обобщениям, что и делается в следующих главах диссертации.

Отметим еще следующее обстоятельство. Разные типы колебаний при одинаковой амплитуде процесса переносят разное количество энергии. Поэтому, на наш взгляд целесообразно вводить энергетическую нормировку векторов обобщенных скоростей парциальных волн. Гогда квадраты модулей элементов матриц т и К определяет энергетический вклад каждой из участвующих парциальных волн в об-цее поле. Возможны два способа такой нормировки. При одном способе учитывается модуль вектора потока энергии, т.е. рассматривается энергия, распространяющаяся в направлении движения волны. При втором способе учитывается лишь нормальная по отношению к препятствию составляющая вектора потока энергии. Если исключить из матриц Т и И строки и столбцы, соответствующие неоднородным

Л/ волнам и обозначить оставшиеся матрицы через Т и Я , то при таком способе нормировки матрица при отсутствии потерь будет унитарной. Она является аналогом матрицы рассеяния в квантовой механике. При первом же способе нормировки квадраты модулей элементов матриц Т и £ показывают доли энергии, переносимые каждой парциальной волной в направлении своего распространения. Именно этот способ нормировки и принят ниже.

В главе П изучается преобразование плоских волн в тонкой упругой бесконечной пластине, жестко подкрепленной системой ребер Ребро жесткости моделировано тонкой упругой полосой постоянной ширины. Как в ребре, так и в несущей пластине учтены все основные типы волн - продольная, сдвиговая, изгибная и неоднородная изгибная.

Методами, разработанными в главе I, найдены и исследованы выражения для матрицы Х0 собственных импедансов несущей пластины, матрицы Z импедансов ребра-полосы. Получены аналитические выражения для коэффициентов преобразования продольной, сдвиговой и изгибной волн на ребре.

Численные расчеты проводились для стального ребра жесткости подкрепляющего стальную пластину той же толщины при различных соотношениях между высотой ребра, толщиной пластины и длиной пролетов между ребрами. Исследовались случаи нормального и косого падения продольной, сдвиговой и изгибной волн на одиночное ребро и на систему ребер. Расчетный диапазон углов ограничен углом полного внутреннего отражения для продольной волны, т.е. рассматривались те углы падения, при которых возможна трансформация всех типов бегущих волн друг в друга.

Приведены частотные и угловые зависимости элементов импедан-сной матрицы ^ , показаны доли энергии, переносимой каждой парциальной волной в направлении своего распространения для всех указанных выше случаев.

Анализ приведенных зависимостей показывает, что волновые свойства ребра и взаимная трансформация различных типов волн друг в друга играют очень важную роль. Особенно это сказывается вблизи частот изгибных антирезонансов ребра, где "наведенные" волны переносят около половины всей энергии процесса. Обращает на себя внимание, в частности, и обменный эффект между сдвиговой и изгибной волнами (при нормальном падении сдвиговая волна с другими типами волн не взаимодействует). Расчеты, проведенные в окрестности первого сдвигового антирезонанса ребра показали, напротив, слабую взаимную трансформацию сдвиговых и изгибных волн при значительном обменном эффекте между сдвиговыми и продольными волнами.

В целом результаты согласуются с [ 70 ], однако учет сдвиговых волн в ребре и пластине приводит к тому, что области наибольшей трансформации смешаются в сторону более низких частот. При сравнении результатов следует иметь ввиду, что в [ 70] рассматривалось более массивное и, стало быть, менее прозрачное для нехарактерных частот ребро.

При наличии системы ребер наибольшая трансформация наблюдается по-прежнему в окрестности антирезонансов ребра на тех же час-готах, но волновая картина усложняется за счет появления пролетных резонансов несущей пластины.

В литературе отмечалось, например [78] , наличие полос частот полного прохождения и полного запирания падающей волны. По-видимому, этот факт связан с тем, что в ребре и несущей пластине учитывались не все виды движений, т.е. не все каналы переноса энергии. Расчеты показывают, что для пластины с одним ребром для углов, меньших угла полного внутреннего отражения продольной волны, происходит значительная тренсформация всех типов волн друг в друга, и, если энергия не может бежать по одному из каналов, то она перераспределяется и уносится "наведенными" волнами. Наличие полос полного прохождения и полного запирания возможно лишь для тех углов падения, когда распространяющейся является только самая медленная, изгибная волна.

Далее, известно, что вдоль кромки бесконечной пластины может распространяться изгибная волна Рэлеевского типа [59]. Естественно ожидать, что подобные волны возможны и в более сложных конструкциях, составленных из сочлененных пластин. Вопрос о наличии вещественных (или близких к вещественным) корней дисперсионного уравнения имеет большое значение при исследовании вынужденных волновых процессов в модели. В последнем параграфе главы П показано, что по пластине, подкрепленной ребром жесткости, вдоль ребра может распространяться незатухающая волна, локализованная в его окрестности. Приведены частотные зависимости волновых чисел таких волн для высокого стального ребра, подкрепляющего стальную пластину, при указанных выше значениях геометрических и механических параметров.

В главе Ш показано, что разработанные методы позволяют решить и задачу о преобразовании нормальных волн в тонкой цилиндрической оболочке на системе кольцевых ребер жесткости. Колебательный процесс в оболочке мы описываем уравнениями В.В.Новожилова

9Е], выведенными на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Как уже отмечалось, аналитическая структура изучаемых векторных полей не зависит от выбора модели, но для сравнения результатов глав П и Ш естественно выбрать согласованные уравнения движений пластины и оболочки.

Нормальные волны в оболочке - это решения системы уравнений движения вида где л:^ 1, номер моды, - круговая частота, ^ полярный угол, а - волновые числа, определяемые соответствующим дисперсионным уравнением.

В нашем случае дисперсионное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение восьмой степени относительно , содержащее малый параметр при старших степенях. Это уравнение решено численно на ЭВМ и исследованы зависимости его корней от частоты. Кроме того, построены простые и точные приближенные аналитические формулы для всех вещественных и комплексных корней , пригодные во всем частотном диапазоне, за исключением малой окрестности С — 10 Гц) некоторой критической частоты, соответствующей вырождению одного из коэффициентов дисперсионного уравнения. В этом случае приближенные формулы для написать тоже можно Г 68] , но разумнее всего искать эти корни численным решением дисперсионного уравнения на ЭВМ, т.к. поведение их в указанной окрестности критической частоты весьма сложно.

Задача о преобразовании волн в оболочке на одном ребре или системе ребер будет решена, если удастся построить матрицы обобщенных скоростей V , обобщающих сил Р »собственных импедансов оболочки 20 и матрицы импедансов кольцевого ребра 2 . Сделать это труднее, чем в случае оребренной пластины, потому что коэффициенты уравнений движения оболочки, кольцевого ребра, а также силы и смещения, переменны, т.е. зависят от пространственной (радиальной) координаты г . Формально точные выражения для векторов скоростей парциальных волн V (У^) (а, зр^ачит, и матриц V, ^ построить можно; они достаточно сложным образом выражаются через функции Бесселя, Неймана, модифицированные функции Бесселя (или функции Макдональда) и их производные [49]. Однако а практике удобно иметь хотя и приближенные, но более простые налитические формулы для элементов указанных матриц.

Методами, разработанными в главе I, такие формулы получены в главеШ. В §2 явно построены матрицы V и Р для нулевой моды; элементы этих матриц выражены через симметрические функции от волновых чисел . В §3 построена матрица импедансов кольцевого ребра, которое моделировано тонкой упругой пластиной, способной совершать продольные, сдвиговые и изгибные движения. Для произвольной моды выписаны приближенные формулы элементов импедансной матрицы в виде рядов по степеням Н ( Н - высота ребра). Для нулевой моды кроме того приведены частотные зависимости элементов матрицы 2- , обсуждены их сходство и различие с соответствующими импедансами ребра-полосы, влияние кривизны и замкнутости оболочки, пределы применимости приближенных формул. В §4 обсуждены контактные условия на линии стыка кольца с оболочкой и указан алгоритм вычисления искомых матриц преобразования волн на одиночном ребре и системе ребер.

Во всех рассмотренных задачах предполагалось, что в несущей конструкции (дластине, оболочке) и ребрах жесткости отсутствует поглощение. Если же в пластине (оболочке) или ребре есть поглощение, то его можно учесть, как обычно, введением мнимой добавки в соответствующий модуль Юнга. Как легко видеть, эта операция не изменит общих аналитических формул, полученных в работе.

Все аналитические и численные исследования проведены для самого сложного случая скрепления пластины (оболочки) с ребрами -жесткого задела. Общая постановка задач и алгоритмизованный язык позволяют легко адаптировать полученные результаты к любым другим моделям пластин (оболочек), препятствий, режимам их скрепления, а также к векторным полям другой физической природы.

Основные результаты работы докладывались на Ленинградском акустическом семинаре Научного совета по акустике АН СССР при кораблестроительном институте (1982 г.), на выездных научных совещаниях Объединенного научного совета по комплексной проблеме "Физическая и техническая акустика" АН СССР (Ленинград-Репино, 1977 и 1983 гг.), на X Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1983 г.). Результаты работы вошли составной частью в НИР кафедры высшей математики и математической физики ЛГУ им. А.А.Жданова (1976-1978 гг.). Кроме того, содержание диссертации было полностью доложено на семинарах ЛОМИ АН им.В.А.Стеклова по математическим вопросам теории распространения волн и на семинарах кафедры высшей математики и математической физики Л1У им.А.А.Жданова по вопросам дифракции и распространения волн в пластинах и оболочках.

Основные результаты диссертации изложены в работах [9,49,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Предложен векторный подход к задачам о преобразовании полей упругих волн на препятствиях. Решены задачи о преобразовании волн в пластине на системе прямолинейных ребер жесткости и волн в цилиндрической оболочке на системе кольцевых ребер жесткости. Показано, что по пластине, подкрепленной ребром, вдоль ребра может распространяться незатухающая поверхностная волна, локализованная в его окрестности. Все аналитические и численные расчеты проведены для самого сложного случая, когда в пластине и оболочке учитываются все основные типы движений.

Общая постановка задач и алгоритмизованный язык позволяют легко адаптировать полученные результаты к любым моделям пластин и оболочек, режимам их скрепления с ребрами, а также к векторным полям другой физической природы.

1. Авиационная акустика (под ред.Мунина А.Г. и Квитко В.Е.), М., Машиностроение, 1973, 448с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Внешня школа, 1971.272с.

3. Артоболевский И.И.,Бобровницкий Ю.И.,Генкин М.Д. Колебания однородных структур из тонких полос. ДАН СССР, 1974, т.219, № 5, с.1083-1084.

4. Артоболевский И.И.»Бобровницкий Ю.И.,Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М., Наука, 1979. 295с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М., Наука, 1968. 559с.

6. Белинский Б.П.,Вешев В.А.,Клюкин И.И.,Коузов Д.П. О влиянии ребер на распространение изгибных волн в пластине конечной ширины. Изв.АН СССР, МГТ, 1977, № :, с.166-170.

7. Белинский Б.П.,Вешев В.А.,Клюкин И.И.,Коузов Д.П. О влиянии потерь на распространение колебаний в оребренной пластине конечной ширины. Акуст.ж.АН СССР, 1978, т.24, вып.I,с.29-33.

8. Белинский Б.П.,Вешев В.А.,Клюкин И.И.,Коузов Д.П. О возбуждении колебаний в оребренной пластине конечной ширины. Изв. АН СССР, МТТ, 1978,М, с.149-155.

9. Белинский Б.П.,Вешев В.А.,Коузов Д.П.,Кравцова Т.С. Распространение волн в тонкостенных балках различной формы. Акуст. ж., 1978, т.24, вып.З, с.436-437.

10. Бобровницкий Ю.И. Об акустической модели колеблющегося стерж-ня Акуст.ж., 1960, т.6, вып.I, с.57-64.

11. Бобровницкий Ю.И.,Маслов В.П. Распространение изгибных волн по стержню с периодически сосредоточенной нагрузкой. Акуст. ж. АН СССР, 1966, т.12, вып.2, с.167-172.

12. Бобровницкий Ю.И.,Мальцев К.И. Вынужденные колебания стержня1. М.,Наука, 1975, 132с.

13. Бобровницкий Ю.И. Нормальные волны в двутавровом стержне. -Акуст.ж., 1977, т.23, вып.2, с.205-215.

14. Бобровницкий Ю.И. Дисперсия изгибных нормальных волн в тонкой полосе. Акуст.ж., 1977, т.23, вып.1, с.34-40.

15. Бобровницкий Ю.И. О приближенных теориях изгибных колебаний стержней. В кн.: Виброизолирующие системы в машинах и механизмах. - М.,Наука, 1977. 154с.

16. Бобровницкий Ю.И.,Генкин М.Д. Распространение волн по тонкостенным стержням. В кн.: Виброизолирующие системы в шА шинах и механизмах. - М., Наука, 1977, с.32-48.

17. Боголенов И.И.,Авферонок Э.И. Звукоизоляция на судах. Л.» Судостроение, 1970. 192с.

18. Борисов Л.П.,Тартаковский Б.Д. Распространение изгибных волн по пластине с тонкими препятствиями. Акуст.ж., 1965, т.II, вып.З, с.306-313.

19. Бородицкий Л.С.»Спиридонов В.М. Снижение структурного шума в судовых помещениях. Л., Судостроение, 1974. 223с.

20. Бреховских Л.М. Распространение волн изгиба по пластинкам.-Ю, 1944, т.14, вып.9, с.568-576.

21. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.,Наука, 1973. 531с.

22. Борьба с шумом (под ред.Е.Я.Юдина). М., Стройиздат, 1964. 703с.

23. Будрин С.В.,Маслов В.Г1.,Никифоров A.C. Распространение упругих волн с периодическими неоднородностями. В кн.:Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций. - М.,Наука, 1975, с.116-118.

24. Вейцман Р.И.,Генкин М.Д.,Дейнеко П.П.»Тарханов Г.В. Реакцияцилиндрической оболочки на воздействие примыкающих элементов. В кн.: Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях. - М., Наука, 1974. 132с.

25. Вешев В.А.,Коузов Д.П. О возбуждении волн в балке коробчатого профиля. Материалы Всесоюзн.конф. "Смешанные задачи по механике деформируемого тела" (Ростов-на-Дону), 1977, ч.2, с.137-138.

26. Вешев В.А.,Клюкин И.И.,Коузов Д.П.»Лукьянов В.Д. О распространении колебательной энергии в тонкой упругой пластине постоянной ширины. Акуст.ж.,1977, т.23, вып.2, с.228-233.

27. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М., Наука, 1966. 168с.

28. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.,Физматгиз, 1959. 497с.

29. Власов В.З. Избранные труды, т.2. М., Наука, 1963. 507с.

30. Вовк А.Е.,Гудков В.В. К вопросу о нормальных волнах в плоском твердом слое. Акуст.ж.,1972, т.18, вып.1, с.23-30.

31. Вовк А.Е.Дютекин В.В. Возбуждение нормальных волн в плоском упругом волноводе силами, заданными в его поперечном сечении. В кн.: Труды Акуст.инст., 1969, вып.2, с.5-26.

32. Генкин М.Д.,Маслов В.П. Переход вибраций через звуковой мостик. В кн.: Динамика и акустика машин. - М., Наука, 1971, с.28-34.

33. Генкин М.Д.,Маслов В.П. Прохождение плоских волн через соединения пластин. В кн.: Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях. - М., Наука, 1971. 132с.

34. Генкин М.Д.,Маслов В.П. Виброизоляция высокого ребра жесткости. В кн.: Акустическая динамика машин и конструкций. -М., Наука, 1973, Шс.

35. Генкин М.Д.,Маслов В.П. Отражение наклонно падающей изгибнойволны от углового шарнирного соединения пластин. В кн.: Акустическая динамика машин и конструкций. - М.,Наука, 1973. Шс.

36. Генкин М.Д.»Яблонский В.В. Использование активной и реактивной мощности на входе пассивного ¡-f -полюсника для оценкиего сопротивления. В кн.: Виброакустическая активность механизмов с зубчатыми передачами. - М.,Наука, 1971, с.176-179.

37. Гладких П.А. Борьба с шумом и вибрацией в судостроении. -Л., Судостроение, 1971. 176с.

38. Глушков В.В.,Кузьмичев М.Н. Прохождение изгибных волн через коническую систему параллельных ребер. Акуст.ж., 1980,т.24, вып.З, с.377-382.

39. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Наука, 1976. 512с.

40. ГУсев A.B.»Калашников A.B.»Кравцова Т.С. Вычисление механических импедансов кольцевого ребра жесткости. Акуст.ж., 1977, т.23, вып.6, с.878-883.

41. Заборов В.И. Теория звукоизоляции ограждающих конструкций.-М., Стройиздат, 1969.

42. Зильберглейт А.С.,Суслова И.Б. Контактные волны изгиба в тонких пластинах. Акуст.ж.,1983, т.29, вып.2, с.186-191.

43. Исакович М.А. Общая акустика. М.,Наука,1973. 496с.

44. Кирпичников В.Ю.,Кузьмичев М.Н. Виброизоляция упругого ребра по отношению к изгибным и продольным колебаниям. Акуст. ж., 1975, т.21, вып.2, с.215-221.

45. Кирпичников В.Ю. ,.^узьмичев М.Н. Об увеличении виброизоляции изгибных волн в пластине варьированием фильтрующих свойств элементов подкрепляющего н абора. Акуст.ж., 1977, т.23, вып.З, с.397-403.

46. Клгакин И.И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. -Л., Судостроение, 1971. 416с.

47. Ковинская С.И.»Никифоров А.С. Поля изгибных волн в бесконечных пластинах, подкрепленных ребрами жесткости, при точечном возбуждении конструкции. Акуст.ж.,1973, т.19, вып.1, с.47-52.

48. Ковинская С.И.»Никифоров А.С. Податливость конечного ребра соединенного с бесконечной пластиной. Акуст.ж., 1976,т.22, вып.З, с.362-365.

49. Коненков Ю.К.»Михайлов Р.Н. О нормальных волнах в полосе с поперечной кривизной. Акуст.ж., 1968, т.14, вып.1,

50. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластинки. Акуст.ж., 1960, т.6, вып.1, с.57-64.

51. Коненков Ю.К. К расчету фазовых скоростей нормальных волн при изгибных колебаниях упругой полосы. Акуст.ж., 1962, т.8, вып.2, с.241-242.

52. Коненков Ю.К.,Наумкина Н.И.»Тартаковский Б.Д. Исследование вынужденных изгибных колебаний упругой полосы. Акуст.ж., 1965, т.II, вып.З, с.341-350.

53. Коузов Д.П.»Лукьянов В.Д. О векторе потока энергии для изгибных колебаний пластины. ПММ, 1976» т.40» вып.6» с.1131-1135.

54. Коузов Д.П.»Кравцова Т.С. О преобразовании вибрационных волн в пластине на ребре жесткости. Акуст.ж.» 1983» т.29» вып.2, с.204-211.

55. Коузов Д.П.»Кравцова Т.С. Матричный метод определения коэффициентов преобразования вибрационных волн на подкрепляющих структурах. В кн.: Труды X Всесоюзной акуст.конф. - М.» 1983» Л-1У, с.7-10.

56. Коузов Д.П.»Кравцова Т.С. О волнах, распространяющихся вдольребра жесткости, подкрепляющего упругую тонкую пластину. -Акуст.ж., 1984, т.00, вып.00, с.00-00.

57. Кравцова Т.С. О преобразовании вибрационных волн в пластинах на ребрах жесткости. В кн.: Прикладная механика в приборостроении (Межвуз.сб.). - Л., 1978, вып. 123, с. 152-156.

58. Кравцова Т.О. Алгоритм вычисления механических импедансов ребер жесткости различной формы. В кн.: Зап.науч.семинаров ЛОМИ, 1978, т.78, с.95-111.

59. Кравцова Т.С. Матричный алгоритм вычисления коэффициентов преобразования волн на ребре жесткости. В кн.: Зап.науч. семинаров ЛОМИ, 1979, т.89, с.134-151.

60. Кравцова Т.О. Преобразование волн в пластинах с несколькими ребрами жесткости. В кн.: Акустоэлектронные и радиоэлектронные устройства обработки сигналов.: Межвуз.сб. - ЛИАП, 1982, вып.155, с.121-126.

61. Кудисова Л.Я.»Тартаковский Б.Д. О прохождении звука через подкрепленную пластину. Акуст.ж., 1974, т.20, вып.1,с.55-61.

62. Кузьмичев М.Н. Влияние наклона ребра на его виброизолирующие свойства. В кн.: Труды УШ Всесоюзной акуст.конф.: М., 1973, с.135-138.

63. Кузьмичев М.Н.,Глушков В.В. Применение уравнений в конечных разностях для исследования прохождения упругих волн по периодически подкрепленным конструкциям. В кн.: Труды X Всесоюзной акуст.конф., М., 1983, секция Л., с.11-14.

64. Ландау Л.Д.,Ли<|шиц Е.М. Теоретическая физика, т.УП. Теория упругости. М.,Наука, 1965. 204с.

65. Ляв А. Математическая теория упругости. М.,Л: ОНТИ, 1935. 674с.

66. Лямшев Л.М. К теории колебаний неоднородных упругих пластин.

67. Акуст.ж., 1964, т.10, вып.1, с.81-87.

68. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинками и оболочками в жидкости. М., Изд.АН СССР, 1955. 73с.

69. Ляпунов В.Т. О распространении изгибных волн в пластине с периодическими препятствиями. Акуст.ж., 1972, т.18, вып.2, с.227-281.

70. Ляпунов В.Т.,Никифоров A.C. Виброизоляция в судовых конструкциях. -Л., Судостроение, 1975.

71. Маслов В.П. Косое падение изгибной волна на узкое препятствие. -Акуст.ж., 1967, т.13,вып.2, с.406-410.

72. Маслов В.П. Отражение изгибной волны от углового соединения пластин. Акуст.ж., 1968, т.14, вып.4, с.577-581.

73. Маслов В.П.»Римский-Корсаков A.B. Нормальные волны в пластине с параллельными ребрами жесткости. М.,Наука, 1969,с.29-34.

74. Микер Т.,Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах. В кн.: Физическая акустика (под ред.У.Мезона), т.1, ч.А. - М., Мир, 1966. 592 с.

75. Михайлов Р.Н. К вопросу о распространении и затухании нормальных волн в замкнутой цилиндрической оболочке. В кн.: Вибрации и шумы. - М., Наука, 1969, 171с.

76. Михлиг С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Наука, 1970. 512с.

77. Молотков Л.А. О приложениях матричного метода к исследованию процессов распространения волн в слоистых средах.

78. В кн.: Вычислительные методы в геофизике. М., Радио и связь, с.91-101.

79. Нигул У.К. О применимости приближенных методов при переходных процессах деформации упругих плит и оболочек. Дисс.на соискание уч.степ.доктора техн.наук, Таллин, 1966.

80. Никифоров A.C. О виброизоляции одиночного ребра жесткости.-Акуст.ж., 1969, т.15, вып.4, с.623-624.

81. Никифоров A.C. О прохождении изгибных волн через виброзадер-живающую массу Изв.ЛЭТИ им.В.И.Ульянова (Ленина), 1968,63, с.249.

82. Никифоров А.С.,Будрин C.B. Распространение и поглощение звуко вой вибрации на судах. Л., Судостроение, 1968. 216с.

83. Никифоров A.C. 0 возбуждении ребристой бесконечной пластины поперечной силой. Акуст.ж., 1976, т.22, вып.2, с.307-309.

84. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., изд.иностр. литер., 1962, 280с.

85. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962. 430с.

86. Петрашень Г.И. К теории тонких пластин. Уч.зап.ЛГУ, 1951, № 149, сер.матем.наук, вып.24, с.172-249.

87. Петрашень Г.И.»Молотков Л.А. 0 колебаниях однородных и слоистых пластин. В кн.: Труды Х1У Всесоюзн.конф.по теории пластин и оболочек. - Ереван, Изд.АН Арм.ССР, 1964, с.788-794.

88. Рыбак С.А.,Тартаковский Б.Д. Об импедансах симметричных и антисимметричных колебаний слоистых пластин с потерями. -Акуст.ж., 1961, т.7, вып.4, с.475-481.

89. Рыбак С,А.Дартаковский Б.Д. 0 колебаниях тонких пластин. -Акуст.ж., 1963, т.9, вып.1, с.66-71.

90. Скучик Е. Основы акустики.т.1-2. М., Мир, 1976. 950с.

91. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. -М.,Мир, 1971.567с.

92. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука, т.1. М., Гостехиз-дат, 1955. 504с.

93. Стретт Дж.В.(лорд Рэлей). Теория звука, т.2. - М., Гостех-издат, 1955. 476с.

94. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.»Наука, 1967. 444с.

95. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев. Наукова думка, 1972. 501с.

96. Тимошенко С.П. Теория изгиба, кручения и устойчивости тонкостенных стержней открытого поперечного сечения. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., Наука, 1971, 603с.

97. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М., Наука, 1966. 597с

98. Тимошенко С.П.,Войновский-Кригер С.П. Пластинки и оболочки. М., Наука, 1966. 636с.

99. Тютекин В.В. Отражение и преломление изгибных волн на границе раздела двух пластин. - Акуст.ж., 1962, т.8, вып.2, с.233-237.

100. Тютекин В.В.,Шкварников А.П. Отражение изгибных волн от промежуточного стержня переменной толщины. Акуст.ж., 1967, т.13, вып.4, с.604-609.

101. Тютекин В.В.»Шкварников А.П. Распространение изгибных волн по неоднородной пластине с плавноменяющимися параметрами.-Акуст.ж., 1964, т.10, вып.4, с.470-475.

102. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ, 1948, т.12, вып.З, с.287-300.

103. ПО. Шендоров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л., Судостроение, 1972. 348с.

104. Beskoe D.E., Oates J.B, pinamic analysis of ring stiffened circular cylindrical shells. - J. Sound and Vibr., 1981, v. 75, N 1, p.I-15.- 171112, Cremer L.,Heckl 1,1. Korpershall. Berlin. Springer-Verlag, 1967,

105. Cremer L.^Heckl K. ,Ungar E.E. Structure-borne Sound«' -Ber,lin, New-York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1973,

106. Pahy P.J.,Lindqvist E. Ware Propagation in Damped, Stiffened Structures Characteristic of Ship Construction. -J. Sound Vibr., 1976, vol.45, N i, p.II5-I38.

107. Greenspon G.E. Vibration of Thick-Walled Cylindrical Shells-Comparison of the Exact Theory with Approximate Theories.-J.Acoust.Soc.Amer., I960, v.32, N 5, p.571-578.

108. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multiplayed media. ¿ull.Seism.Soc.Am., 1953, v.43, N I, p.17-34.

109. Lamb H. On (Y/aves in an Elastic Plate Proceedings of the Royal Society of London (Proc.Roy.Soc.), Ser.A, 1917, v.93, N A-648, p.114-128.

110. Lord Rayleigh. On the Pree Vibrations of an lufinite Plate of Homogeneous Isotropic Elastic Matter. Proc.of the London Math,Society, 1889, v.10, p.225-234.

111. Mead D.Jt. Pree Wave Propagation in Periodically Supported,1.finite Beams. Journal of Sound and Vibration (JSV),1970, vol * II, N2, p. 181-197.

112. Mead D.J., Pujara K.K. Spaee Harmonic Analysis of Periodically-Supported Beams: Response to Convected Random Loading, JSV, 1971, vol. 14, if 4, p.525-541.

113. Hilsson A.C. Ware Propagation in Simple Hull-Prame Structures of Ships. J,Sound.Vibr., 1976, v.44, 13, p.393-405.

114. Sen Gupta G. natural Eleuxural Waves and the Normal Modes of Periodically-Supported Beams and Plates. J.Sound.Vibr., 1970, v.3, N I, p.89-101.

115. Sen-Gupta G. On the relation between the propagation constant and the transfer matrix used in the analyses of periodically stiffened structures. J.Sound.Vibr., 1970,1. N 14, p.483-485.

116. Sen-Gupta G. Propagation of Flexural Waves in double Periodic Structures. J.Sound.Vibr., 1972, v.20, N I, p.39-49.

117. Mindlin R.D. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motion of Isotropic Elastic Plates. J. of Appl.Mech., 1951, v.18, N1, p.3I~38.

118. Thomson W.T. Transmission of Elastic Waves Through a stratified solid material. J.Appl.Phys.m 1950, v.21, N 2,p.89-93.

119. Ungar E.E. Steady-State Responses of One-Dimensional Periodic Flexural Systems. J.Acoust.Soc.Amer., 1966, v.39,1.5(1), p.887-894.

120. Ungar E.E. Transmission of Plate Flexural Waves through Reinforsing Beams. J.Acoust.Soc.Amer.,1961, v.33» N 5, p.633-639.

121. Wan T. Flexural vibrations of ring-stiffened cylindrical shells. JSV, 1966, v.3, N3, p.242-251.