Колебания трехслойной пластины с сотовым заполнителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

сдат-питургскиа государственный университет

На правах рукописи

Быкова Татьяна Ивановна

КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С СОТОВЫМ ЗАПОЛНИТЕЛИ!

Специальность: 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1932

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственной университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Товстик П.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Прокопов В.К., кандидат физико-математических наук Ков&левскив М.А.

Ведущая организация - Морской технический университет Санкт-Петербурга.

Защита диссертации состоится "CtHTfl^pA 1992 г. в М Ч часов на заседании специализированного совета К 063.57.13 по присуждению ученой степени кандидата физи-ко-ыатематических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904-Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, дом 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 'iJti" tbU'l^lTh 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

М.А.Нарбут

ОБк'ДЯ ХАРАКТЕНЙТИКА РАБОТЫ

Актуальность проб лет. Трехслойные пластины с сотовый заполнителем находят широкое применение в таких областях народного хозяйства, как строительство, авиа и кораблестроение, электроакустика (корпуса ракет, кораблей, вагонов, фюзеляжи и крылья самолетов, кузова автомобилей.диафрагмы громкоговорителей и так далее). Трехслойные конструкции обладают целим рядом достоинств, ватнейпгсз! из которых являются высокие характеристики устойчивости внешних слоев и значительная жесткость конструкции на изгиб при малом весе.

Литература, посвященная,расчету трехслойных конструкций, обширна. В последние годы особенно интенсивно развиваются различного рода числзнные методы расчета шогослойных конструкций. Однако разработанные методы приводят, как правило, к достаточно сложным алгоритмам и програгуам. Это затрудняет их использование в инженерной практике. Имеющиеся в литературе результаты по расчету трехслойных конструкций предполагают, что характеристики среднего слоя - сотового заполнителя - уже изгестны. Однако в литературе отсутствует расчет коэффициентов гесткости на изгиб. Кроме того геометрические особенности и конструктивная ортотропия технического сотового заполнителя требует более детального рассмотрения его осредненных характеристик.

В последние десятилетия в отечественной и зарубежной практике получил распространение новый класс громкоговорителей - громкоговорители с плоскими сотовыми диафрагмами. Для расчета таких диафрагм (пластин) аналитические методы расчета оказались недостаточно разработанным. В отличие от задач авиастроения (расчеты на прочность и устойчивость) в электроакустике ставится задача создания такой диафрагмы, которая обеспе'швала бы стабильность уровня звукового давления на амплитудно - частотной характеристике, то есть собственные частоты которой не попадали бы в рабочий диапазон громкоговорителя. Таким образом актуальной задачей является получение аналитических формул для приведенных параметров упругости и спектра частот трехслойных пластин с сотовым заполнителем.

Целью работы является разработка аналитических методов расчета приведенных параметров упругости трехслойных пластин с сотовым заполнителем, а так же получение количественных оценок влияния ортотропии на форыу и частоту колебаний и на первую кольцевую узловую линию пластины.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются асимптотические методы малого параметра; вариационные метода теории упругости; метод осреднений, развитый Г.И.Пшеничновш для сетчатых оболочек и распространенный П.Е. Товстикои на трехслойные конструкции; метод разложения решений плоской контактной задачи в ряды Фурье и представления решений через ортогональную систему функций П.Ф.Папковича; численные метода.

Научная новизна. Основше результаты, выносимые на защиту состоят в следующем:

1. Разработан па основе континуальной модели метод расчета приведенных параметров упругости на растяжение, изгиб и сдвиг трехслойных пластин с сотовым заполнителем.

2. Решена плоская контактная задача теории упругости о контакте плоскости с подвешенными полубесконечными полосами. На ее основе сделан вывод о границе применимости приближенного метода.

3. Получены количественные оценки влияния ортотропии на форыу, частоту и кольцевую узловую линию пластины.

Практическая ценность. Полученные уравнения и формулы позволяют достаточно быстро рассчитывать приведенные параметры упругости, спектры частот и формы колебаний трехслойных пластин с сотовым заполнителем.

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались на 1У Межвузовской конференции молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований" (Ленинград, 1966), на XXI и ХХП Всесоюзных научно-технических конференциях "Перспективы развития техники радиовещательного приема, радиовещания, звукоусиления и акустики. С Ленинград 1985 и

Ленинград 1988 г.). Работа в целом обсуждалась на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликована работы 1-4 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 133 страницы машинописного текста, 20 рисунков и графиков, 13 таблиц. Библиографический список включает Пб названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор работ по теме диссертации, сформулирована цель работы, перечислены результаты, выносимые на згициту.

В первой главе на основе подхода Григолвка Э.И. - Чуйкова П.П. построена математическая модель трехслойной пластины с реберным заполнителем рис.1, в частности сотовым, рис.2

Рис.1. Рис.2.

Для расчета заполнителя используется подход, развитый Пшенич-новым Г.И. для тонких упругих сетчатых оболочек и распространенный Товстиком П.Е. на случай' трехслойных пластин. В основу положена континуальная модель.

В параграфе 1.1 вводятся следующие гипотезы: считаем, что внешние слои I и 2 (рис.2) деформируются в соответствии с гипотезой прямой нормали Кирхгоба-Лява, а средний слой в соответствии с гипотезой Тшошенко С.П. Пр:! расчете реберного ■ заполнителя считаем, что пластинки, состаляющие сотовый

заполнитель, находятся в условиях плоского напряженного состояния.

Используя принцип минимума потенциальной энергии получены уравнения равновесия трехслойных пластин с реберный заполнителем, которые имеют тот же вид, что и для однослойных пластин. Входящие в систему усилия и моменты вычисляются по формулам

/рЛ

Qs К«* ¿л + К <1 г

>

Для трехслойных пластин с сотовым заполнителем, симметричных относительно срединной плоскости заполнителя имеем следующие значения ненулевых коэффициентов

, Cj.ceiJJ ,

* ** г *

a«t- аи - ъ>,ь, * ¡\е». * в> cj s2 , • a«-sf , ,

Q-w * ♦ %U-V.) + ftjjE Ay Sj с? ,

* 'I fa +

+ »»,2.'V cv 7 ' * 3f7^*j '

«4*- f< - f Л a-7 * ,

- 7 -

* & Ь(W-V;)] * ^0,1 5/ ,

í ÍW< yV *' ^ **

ctl= i efe. <v*/ y

г. ¿v cE (2)

Для технического сотового заполнителя с двойной толпршой сот в одном из направлений (рис.2) имеем

лг-з , У,- f , V ,

Приведен пример расчета коэффициентов яесткости для диафраг-мн головни громкоговорителя 35 ГД-I. Проведено сравнение коэффициентов жесткости Q.;j заполнителя, полученных по предложенной модели, с ¡плеюр^шися в литературе.

В параграфе 1.2 рассмотрены изгибно-сдвиговые колебания конструктивно изотропных пластин. Показано, что система 5 уравнений равновесия для изотропных пластин распадается на две подсистемы: дга уравнения соответствуют деформациям в плоскости пластины, а три оставшихся - пзгибно сдвиговым колебаниям пластины. Далее путей преобразований получена система уравнения изгибно-сдвиговых колебаний относительно прогиба W и оператора сдвига А. * +

( С„ - -f,« ДV. "О ,

1 (с«й +т„и1х)А<, - Лй W* т.и?*'*

х (3)

* т^ъ со Л w -о

которая сводится к одному разрешавцеиу уравнению относительно W . Отмечается, что разделение уравнений в системе (3) полностью гюобще говоря не происходит. Связь остается в граничных условиях.

В параграфе 1.3. рассмотрен вопрос внраЕшгаания коэЖи-циентов жесткости заполнителя путем варьирования формы сотовой ячейки (параметры Л, 6 , У , рис.3).

рис.4

Показано, что конструктивная изотропия достигается, если в техническом сотовом заполнителе Л» 2 6 ( У = ^/ъ . Такой заполнитель изображен на рис.4.

В параграфе 1.4 приведен пример вычисления спектра частот колебаний квадратной трехслойной пластины с конструктивно изотропным заполнителем в случае, когда граничные условия разделяются (условия свободного спирания). Сравниваются частоты, полученные по уравнению учитывающему сдвиги в заполнителе

+ д*V/ (1 + + а, к\у/ - к* и/ = о

и по Эталонному" уравнения

полученному из уравнения (4), отбрасывание;.; малых членов. Отмечено, что относительная погрешность вычисления частот растет с номером частоты от 1,6555 для и К^ до 165» для

(4)

(5)

частот /сД

и К.

4* '

причем уравнение (5) дает завшенное

значение частоты.

Во второй главе для уточнения расчета упругих коэффициентов трехслойных пластин с сотовым заполнителем решена модельная задача контакта плоскости с периодической системой подвешенных полубесконечных полос, образутацих сотовую структуру-

В параграфе 2.1. дана постановка плоской контактной задачи. Задача уточнения математической модели, полученной в разделе I, разбита на 3 этапа:

1 этап. Решение плоской контактной задачи сопряжения плоскости с периодической систеиой подвешенных полубесконечных полос (рис.5 а,в; рис.6).

2 этап. Вращением тензоров деформации и напряжения на углы ^ и задача о растяжении плоскости с периодической системой полуполос сводится к задаче о растяжении плоскости с полуполосами, образующими соты (рис.£в,г,д).

3 этап. Учтека жесткость сцепления полуполос друг с другом. Найдено, при какой высоте заполнителя целесообразно 'использовать математическую модель раздела I.

В параграфе 2.2 задача I этапа разбита на две части: растяжение плоскости I и растяжение полуполос 2 (рис.6,7). При растяжении плоскости I предполагается, что в местах соединения полуполос на плоскость действует касательная нагрузка ^

, ...

V ' ' (6)

где ¿7*) - дельта функция Дирака. Условия сопряжения поверхностей I и 2 шеют вид

г/ -г/ , г ~ > '¿г (7)

Уравнения равновесия для плоскости I имеют вид

ж? + igg "

9л Ч * ' (8)

>

Для перехода к перемещениям использован закон Гуна. Переметения искались в виде

Vго = f £ иsingles ÏZfJi +6ч,

я-я Mч 6 о

V<° - f f +Zx*ïu, (9>

nT, %ГсО __ _ » о '

где , , A. ê A+ 6 - подлежащие определению постоянные.

- : - _— / / /

: z X - ~ — л /' / / / п '/ /'/ л

а у .S* И S) í è)

V

V

—V

г) la

Рис.5

Рис.6

S

Ь

с, К

—

® К,

Г----

2

Рис.7

В задаче о равновесии полуполосы 2 приняты следующие граничные условия: при х= ± £ края свободны от напряжений 3 О) .при 2 »0, -£<*<£ - граничные условия контакта (7). Бигармоническая функция Зйри взята в виде ряда по полной ортогональной системе функций Папковича П.5. ^ (X) :

Кж 1 '

рк(х) = (10)

При удовлетворении граничных условий на краях свободных от напряжений получено уравнение для нахоздения

51<г(5кг) +Б кг*0. (Ш

Найдены первые 40 комплексных кортей Эк*" - к. + <!/Ьк уравнения для ¿кУО . ¡.спользовакие условий ортогональности функций Папковича и удовлетворение условиям контакта (.7) приведет к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для нахождения комплексных коэффициентов (Хк

=-*Д % , (12) ■

гле , % ,

-»/7а- ^

(А*- {^//[ЬГ ~ Т

А тЬ:, ' 9 'Гл ^ '

А - т» (-) -

Приводятся решения системы для следующих значений параметров

ки) и' А'4-гл.'".

Система решалась методом усечений для подсистем размера

10 х 10, 20 х 20, ....... 60 х 80.

В параграфе 2.3 получены аналитические форлулы для средних значений напряжений

В таблице I показано, каким кривым какие отношения параметров соответствуют. Графики кривых 1-10 практически совпадают на промежутке реального изменения параметров az¿^%. 4 0.6. сто позволяет на практике для приближенного определения Д пользоваться результирующим графиком II,не решая бесконечную систему уравнений (12).

В параграфе 2.4 путем вращения тензоров деяор/адий и напряжений получены значения вклада в напряжения в случае когда система подвешенных полуиолсс образует сотовую структуру. При этом получены следующие результирущие формулы для коэффициентов ау •

. с.(к) а»*гак[1+?сЛ)Ц

б; = Й: (А(0+гб"') [и-д] +1Х

>

(13)

~ р.

где £ = 2 —> p« ,

1 /Чг,

2 j. -та же суша, но вычисленная для решений системы (12) при двойной толщине подвешенных полуполос, то есть

Таблица I

Jf кривом 1 г г А S с ? г 9 /о 4-i.

1 1 1 1 2 2 2 г

аЛ ■г Z 3 ч 1 /Г1 2 3 4

В параграфе 2.5 учтено взаимодействие под/полос друг с другом. Рассмотрен структурный элемент сотовой решетки в предположении, что стенки сот работают как стержни с шарнирными соединениями в узлах. Получеки добавки ЛСЦ к коэффициентам СЦ' , учитывающие взаимодействие стенок сот друг с другом. Результаты сравнения значений коэффициентов, вычисленных по различным моделям приведены в таблице 2.

Таблица 2

Наимено- Значение По форму- По уточненным По модели

вание по приб- лах (14) формулам (14) Александро-

коэффи- лиженным без учета . с учетом ва А.Я.

циента формулам взаимо- взаимодейст-

а,у в н/м (2) кон- действия вия полос

тинуальной модели полос друг с другом

1.173 0.992 1.115 ' 0.067

а«. 0.921 0.787 0.910 0.902 .

0.317 0.222 0.345 0.429

а13 0.305 0.214 0.214 0.301

Показано, что эффективная высота распространения деформаций вглубь заполнителя мала а/= 0,66 г . Указано, какие зменения следует внести в формулы (2) для корректировки полученных в главе I результатов.

В главе 3 рассмотрены свободные колебания ортотропной круглой пластины.

В параграфе 3.1 выведены уравнения колебания ортотропной круглой пластины и граничные условия свободного края в полярной системе координат. Малый параметр £ введен по формулам

где - коэффициенты жесткости на изгиб,

6; с, - постоянные .

В параграфе 3.2 найдено решение уразнения колебаний в нулевом приближении (S-0) . Найдены численно корни трансцендентного частотного уравнения для различных значений коэффициента Пуассона v . Найден радиус первой узловой ок-ругности г„а а. о.б!0?5 , где - радиус пластины. ■

В параграфе 3.3 найдены методой возмущений значения поправки к частоте, отвечающей форме колебаний с одной узловой снружносттт.

В параграфе 3.4 найдена поправка к фор.;е колебаний и к кольцевой узловой линии колебаний круглой пластины при переходе от изотропии к ортотропии.

3 параграфе 3.5 приведен пример расчета поправки к первой узловой окружности. Показано, что узловая окружность переходит в овал, вытянутый в направлении максимальной жесткости пластины. Показано, что частота колебаний пластины, у которой жесткость в одном из направлений уменьшилась на I0?á, уменьшается на 0,4/í по сравнению о частотой пластины с. изгибной жесткостью .

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. ШС02А Т.И. Свободные колебания круглой ортотропной пластинки // Вестник ЗХУ. Сер.1,1987. Вып.2 (КВ), с.102-104.

2. ELLÍ03A Т.К., ТОВСТИК П.Е. Расчет плоской трехслойной диафрагмы с сотовым заполнителем // техника средств связи. Радиоприем и акустика. И. Д., 1987, с.73-90.

3. БЫКОВА Т.И., ТОВСТИК П.Е. Исследование колебаний громкоговорителей с плоской сотовой диафрагмой // XXI Всесоюзная научно-техническая конференция. Перспективы развития аппаратуры радиовещательного приема, радиовещания, звукоусиления и акустики. Тезисы докладов.-Л., 1985, с.78.

4. БЫКОВА Т.Н., РОЗАНОВА Т.П. Метод расчета подвижных систем динамических головок с плоскими сотовыми диафрагмами // ХХП Всесоюзная научно-техническая конференция. Перспективы развития техники радиовещательного приема, радиовещания, звукоусиления и акустики. Тезисы докладов. -JI. 1988, с.74.