Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости

Саталкина, Любовь Владимировна

Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Саталкина, Любовь Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Липецк МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости»

Автореферат диссертации на тему "Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости"

004607158

На правах рукописи

Саталкина Любовь Владимировна

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ И ТЕРМОУПРУГОСТИ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ?ою

Тула 2010

004607158

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет»

Научный доктор физико-математических наук, профессор,

руководитель: Пеньков Виктор Борисович

Официальные доктор физико-математических наук, доцент

оппоненты: Лавит Игорь Михайлович

доктор физико-математических наук Петрова Вера Евгеньевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Защита диссертации состоится5.0? 2010 г. в УА*^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, Тула, пр. Ленина, 92 (12-303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан У.#£2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^Ч^) Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке общего численно - аналитического метода решения неоднородных задач теории упругости.

Актуальность. Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих подчас в критических термомеханических условиях. Это требует создания новых методов расчета, адекватно учитывающих реальные свойства материала. Это обстоятельство привлекает внимание исследователей к задачам теории упругости (ТУ) неоднородных тел, задачам нелинейной теории упругости, задачам термоупругости.

Общим вопросам неоднородной ТУ посвящен ряд работ П. Чоудхури (1957), М.А. Садовского, М.А. Голдберга (1958), JI. Н. Тер-Мкртчяна (1961), В. Олзака, Дж. Ричлевского (1961), H.A. Ростовцева (1964), Б. Клозовича (1968), В.П. Плевако (1971,1973), В.М. Панферова, Э.А. Леонова (1975). Значительные результаты получены в задачах частных классов. Плоскими задачами неоднородной ТУ занимались С.Г. Лехницкий (1962), П. Мазилу (1969), А.И. Александрович (1973), И. А. Спришевская (1973), В. Олзак, Дж. Ричлев-ский (1965). Задаче Сен-Венана, кручению, частным случаям деформирования цилиндрических тел уделили внимание Е. Сус (1963), Р. Д. Шайль, Р.Л. Сиераковский (1964, 1965), М.М. Плотников (1967), С.Г. Лехницкий (1967, 1971, 1972), Г. И. Назаров, A.A. Пучков (1972). Расчету неоднородных элементов конструкций посвящена работа Г.Б. Колчина (1971). Развитие метода малого параметра в приложении к неоднородным средам выполнили В. А. Ломакин, В. И. Шейнин (1970, 1972). Серия работ посвящена микронеоднородным средам (В. А. Ломакин (1965,1966,1970 и др.).

Многие нелинейные задачи теории упругости после линеаризации приводятся к соотношениям теории упругости для неоднородных тел. Предпосылки нелинейной ТУ возникли в 19 веке (в работах Коши, Дж. Грина, Г. Кирхгофа, и др.). Основы нелинейной ТУ заложены к первой половине 20 века рядом ученых (Н.В. Зволинский, Ф.Д. Мурнаган, П.М. Риз, М.А. Био, P.C. Ривлин, Д.Ю. Панов, Р. Хилл, A.A. Грин). В.В. Новожилов классифицировал задачи по "геометрическим" и "физическим" признакам. Современное состояние теория обрела благодаря трудам А.А.Ильюшина, А.И. Лурье, Л.А.Толоконникова, К.Ф. Черных, Х.М. Муштари, К.З. Галимова, И.Г. Тере-гулова. Разноплановые исследования проводятся и в настоящее время (A.A. Маркин, М.Ю. Соколова, А.И. Александрович и др.).

уравнения термоупругости на основе классической термодинамики. Все большее значение приобретает теория конечных термоупругих деформаций.

Наибольшую практическую ценность имела задача термоупругости в квазистатической постановке. Ее общее решение предложил П.Ф. Папкович (1932-1937). A.A. Лыковым, Карслоу, Евгером и др. изложен первый этап решения задачи: определение температурного поля методами теории теплопроводности. Методы решения отдельных задач изложены в монографиях

A.Н. Динника, H.H. Лебедева, В.М. Майзеля, Мелана и Паркуса, Боли и Уэй-нера и Новацкого. В монографиях А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова и др. представлены результаты изотермической теории оболочек.

B.И Даниловская (1950) исследовала методами операционного исчисления динамическую задачу термоупругости. Обобщение эта задача нашла в работах Стеренберга и Чакроворти (1959), Муки и Брейера (1962), Дилона (1965). Исследования связанных динамических задач термоупругости нашло свое развитие в работах Дересевича (1957), Чедвика и Снеддона (1958), Я.С. Под-стригача (1960), Новацкого (1962). Современные исследования ведутся по разным направлениям В.Е. Петровой, В.Н. Кобзарем и др.

Строгое решение нелинейных задач ТУ удается построить редко. Основными способами решения нелинейных задач являются: а) прямая дискретизация соотношений (неоднородной, нелинейной, термоупругой среды); б) предварительное проведение линеаризации с использованием метода возмущений. Первый способ приводит к нелинейным системам уравнений. Их решения формирует ошибки, обусловленные: а) численными процедурами, имеющий массовый характер; б) итерационным процессом. Второй способ можно использовать в сочетании с любым методом. Он приводит: а) к инструментальным ошибкам используемого на каждом шаге метода; б) к ошибке сходимости асимптотического разложения.

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях: а) снижение уровня инструментальной ошибки, б) построение аналитического решения, поскольку в этом состоит современная тенденция развития современных вычислительных средств. Современным методом, отвечающим этим требованиям, является метод граничных состояний (МГС). Первоначально он был предложен в качестве эффективного средства решения линейных задач механики сплошных сред Пеньковым В.В и Пеньковым В.Б (1998). Идеология МГС ориентирована на символьное представление промежуточных и финишных результатов счета. Для многих прикладных задач заявленные к вычислению квадратуры берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует еще одну причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с численным характером промежуточного счета.

Сочетание МГС и метода возмущений (МГСВ) обещает быть надежным методом решения нелинейных задач, поскольку он сохраняет все достоинства МГС и экономит ресурсы: наиболее трудоемкие вычислительные процедуры выполняются один раз, а именно, - в задаче основного приближения и далее используются по назначению в задаче каждого приближения.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного метода решения задач МДТТ для неоднородной среды, основанного на сочетании метода возмущений и метода граничных состояний.

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

1) разработка МГСВ для задач упругого неоднородного тела;

2) разработка МГСВ для решения нелинейных задач термостатики и задач термоупругости;

3) разработка эффективных приемов и алгоритмов, поддерживающих компьютерную технологию МТС.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

1) разработан МГСВ и приспособлен для решения задач ТУ для неоднородного тела;

2) МГСВ применен для решения задач стационарной неоднородной теплопроводности и статической термоупругости;

3) исследованы эффекты, связанные с концентраторами в геометрии тела: особенностями типа "ребро" и "коническая точка".

Теоретическая ценность:

1) обоснована эффективность сочетания МГС и метода возмущений в задачах ТУ для неоднородного тела и термоупругости (МГСВ);

2) обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для термомеханических полей, опирающаяся на МГСВ;

3) предложенная методика альтернативного разложения при постановке краевых задач позволяет выписывать разрешающую бесконечную систему уравнений (БСУ) без промежуточных выкладок.

Практическая ценность:

1) подтверждена эффективность МГС в части решения задач для областей с произвольной геометрической конфигурацией;

2) сочетание метода возмущений и МГС привело к высокоэффективным алгоритмам в процедурных решениях различных классов задач (в том числе и нелинейных): базис пространств состояний является единым для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;

3) методика альтернативного разложения позволяет существенно снизить ресурсозатратность при вычислении коэффициентов БСУ за счет использования исходного базиса вместо ортонормированного и свойства косой симметрии в "скелете" задачи;

4) серьезную практическую ценность составляет алгоритм ортого-нализации, основанный на предварительном вычислении матрицы Грама. Его значимость усиливается рекурсивным подходом к организации вычислительного процесса, поскольку позволяет планировать использование вычислительных ресурсов (время, память);

5) система жестких тестов гарантирует подлинность результатов;

6) решен ряд различных физических задач для областей, содержащих особенности типа "ребро" и "коническая точка", как-то: нелинейная термостатика, неоднородная упругость, нелинейная термоупругость. Сделаны качественные выводы о влиянии таких концентраторов (и фактов нелинейности или неоднородности среды) на качественные изменения в картинах температурных и механических полей.

Достоверность обусловлена:

1) использованием классических моделей МДТТ;

2) применением фундаментальных математических основ при построении МГСВ и решением конкретных задач;

3) жестким тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие постановке задачи, промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями; насыщение суммы Бесселя), результирующего решения неоднородной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, верификация сравнением с решением, построенным иными методами).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 2009, 2010 гг.), на IX всероссийской научно-технической конференции и школе молодых ученых, аспирантов и студентов (г. Воронеж, г. Москва, 29 мая 2008 г.), на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (г. Воронеж, 2009 г.), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (г. Тула, ТулГУ, 2010 г.), на региональных совещаниях по теоретической механике (г. Новочеркасск, 2008 г., 2009 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 15 статей. Две работы опубликованы в издании рекомендованном ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 107 страниц, включая 57 рисунков, 5 таблиц и 1 приложения. Список литературы содержит 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи работы, установлены ее научная новизна и практическая ценность. Кратко сформулированы основные положения диссертации.

В первом разделе представлено теоретическое и алгоритмическое обоснование МГСВ. Рассматриваются общие положения МГС и метода возмущений в контексте МГС, описываются эффективные алгоритмы.

Достоинствами рекурсивного матричного алгоритма ортогонализации являются: надежность результатов ортогонализации; возможность пополнения ортонормированного базиса; возможность «заказывать» величину приращения базиса, исходя из доступного времени счета.

В алгоритме формирования разрешающей бесконечной системы уравнений для основных краевых задач МДТТ используются следующие термины: лапидарный набор у - набор характеристик среды атрибутов состояния, напрямую участвующий в скалярном произведении пространства состояний; актуальный набор у - совокупность атрибутов лапидарного набора, напрямую участвующих в граничных условиях (ГУ) задачи; альтернативный набор у дополняет актуальный набор до лапидарного. Например, в случае основной смешанной задачи актуальный и альтернативный наборы суть (и,р -векторы перемещений и деформаций дУ = 8и и8р,8и п= 0):

_ Ги.хеБц ~_|Р>х€^и У |р,хе8р'У |и,х еБр

Постановка задач в терминах МТС приводит к разрешающей БСУ относительно коэффициентов Фурье вида Ос = ц, где 0- «скелет» задачи (матрица коэффициентов); в случаях первой и второй основных задач О = Е, с = {със2>— >ск>—) - коэффициенты Фурье; (\- вектор правых частей. Пусть

Г0 = ("/о^) > Г0 = (у®), Г0 = (Уок)) - вектор-строки из ортонормированных лапидарных, актуальных, альтернативных наборов соответственно, организованных в столбцы (лапидарный, актуальный, альтернативный базисные наборы). Разрешающая БСУ для актуальной задачи такова:

Ос = я, я= |Г0Тус18, 0= }Г^ Г0 аБ . (1)

дУ ЗУ

Работа с исходным базисом существенно менее энергозатратна, чем с орто-нормированным. БСУ (1) можно также переписать через исходный базис:

— г _

ОцН с = qu. Полезным результатом является то, что атрибуты БСУ можно непосредственно выписать расшифровкой выражений (1). Симметрия "скелетной" матрицы позволяет существенно сократить вычислительные ресурсы. Для задач Дирихле и Неймана в уравнениях теплопроводности, первой и второй задачах ТУ "скелет" задачи О представляет собой единичную матрицу. Смешанная задача теплопроводности, основные контактная и смешанная задача ТУ обладают свойством косой симметрии.

Выстроена и органически "вплетена" в расчетные схемы система тестов, обеспечивающая достоверность численно - аналитических расчетов.

Второй раздел диссертации посвящен обоснованию МГС для решения задач неоднородной линейной упругости. В п. 2.1 приводятся основные положения теории пространств линейно - упругих состояний. Линейную упругость определяют уравнение равновесия, соотношения Коши и обобщенный закон Гука:

=0> еи +и.ы)' +2це^, 9 = екк,

где ст| j, j - напряжения и деформации, 8; j - символ Кронекера, Б; - объемные силы. В силу зависимости параметров Ламе от координат общее решение неоднородной задачи ТУ не построено.

В п. 2.2, 2.3 проводится декомпозиция методом возмущений: линейная задача приводится к последовательности таковых, но с постоянными коэффициентами. Далее становится возмодным использование общих решений (Папковича - Нейбера, Аржаных - Слободянского).

Представляя параметры упругой среды (функции координат х;) рядами по малому параметру (3 0 > И 0 >у 0" константы):

{А.,Ц,V} = 0 ,Ц0 ,V0 }+ £ {^к(х1),Цк(х;)^к(х;))(Зк, к=1

ищем упругостатическое поле в виде асимптотических рядов.

Представим искомое поле напряжений в виде суммы о^ = бК + Б К* . Задача каждого приближения есть задача ТУ при наличии объемных сил

= °' 4 Ч)' 8$ »к8] + X?-V?

она эквивалентна системе Ламе ц д и^ + (^о + + Х?С =0, и уместно

решение Аржаных - Слободянского:

и^а-УоА + х^у-х^+Хд, (2)

„к-- 1-2у0 гтк ук _ пк

I р

В декомпозиции и. , второе слагаемое есть частное решение

р г

уравнения Пуассона ^ =Хд> а первое и = 4(1-Уо)В;ч^Ву-х;В^

строится МТС как результат решения краевой задачи.

В п. 2.4 изложен МТС решения задач однородной теории упругости. Внутреннее и граничное состояния могут быть представлены в виде рядов Фурье по элементам ортонормированных базисов

к к к к

(к) (к)

где ск =(£,,£ )- = {у,у )г - коэффициенты Фурье. Пространства внутренних и граничных состояний изоморфны в смысле Гильберта. Под внутренним состоянием £, упругой среды понимается набор = , под граничным состоянием - набор у = {и;, р;}.

Решение первой и второй основных задачи сводится к отысканию коэффициентов Фурье через квадратуры

Ь„(к)

ск = 1р.ч>

дУ

<1Б,

Ьп(к)

ск = / и. Р>

ау '

ёБ

(4)

В п. 2.5 выполнена верификация^ МГСВ. Метод тестировался на задачах, решения которых были построены способами. В тесте 1 рассматривалось неоднородное одноосное состояние. Одномерный стержень протяженностью 1 с параметрами Ламе гладко меняющимися вдоль координаты г,

закреплен при г = 0. Сечение ъ = 1 получило перемещение ид. В случае

2 2 квадратичной неоднородности Х(г) = Хо + г , ц(г) = цо+Рщг строгое

решение задачи есть:

и(г) = и,

ага£(к г)

к =

р(Х1+2щ)

(5)

агс1Е(к1) у Х,0+2|10 Для верификации МГСВ было выбрано тело цилиндрической формы радиуса II, высотой 1 и назначены ГУ, обладающие свойством неоднородности по координате г, в соответствии со строгим решением, а именно: и|81 ={0,0,0}, и|8г ={0, 0, и(г)}, и|8з ={0, 0, и0}.

Во втором тесте использовано центрально - симметричное плоское состояние. План тела есть круг радиуса И.. Параметры Ламе и перемещение зависят от г. Уравнение равновесия имеет вид

и"(г) + а1(г)и'(г) + а2(г)и = 0, (6)

, ч г [Цг) + 2ц(г)]' + X + 2ц , ^ гГ(г) - X - 2ц а1(г) =- V ч -,а2(г) = -

(X + 2ц) г

(X + 2ц) г"2

9 9

Решение и(г) строилось численно при л(г) = ¡Ц + рл^г , ц(г) = Цо + Рц^г и далее апроксимировалось. Для верификации МГСВ выбирался цилиндр описанной выше геометрической конфигурации с ГУ:

и| =и|§3 ={С(г)С03ф, и(г)БШ ф, О}, ц|д2 = {ио СОБф.ио Бтф.О}.

Сопоставление строгого решения (6) и последовательностей частичных сумм приведены на рис. В расчетах использовались безразмерные

параметры: ц(х,у) = 1 + 1/10(х2 + у2), А,(х,у) = 2/3 + 28/45(х2 + у2), у0 =1/5, V! =1/10, Х0 =2/3, Х\ =280/45, ц0 =1, щ =1.

Рис. 1. Верификация МГСВ

а) с осевой неоднородностью: Р = 0,3 (---строгое решение);

б) с осевой симметрией: р = 0,2 (■■■- строгое решение ) Проведенная верификация дала основание заключить о корректности МГСВ.

В п. 2.6 решается задача упругости для нетрадиционного тела: цилиндра, накрытого конусом («гвоздь»). Поверхность разбита на три участка границы. Рассматриваются две механические постановки: 1) поверхность нагружена распределенным усилием р| ={0,0,р }, р] ={0,0,0},

р| =р0 (-3 + Зг)Д/2р {сое<р,втер,1}; 2) точки поверхности перемещаются: и| ={0,0,ц }, и! ={0,0,-и г}, и| = {0,0,0}. В первой задаче в приближениях качественные отличия есть только для радиальных перемещений, хотя количественные отличия налицо.

На рис. 2 представлены графики зависимостей радиальных перемещений в первой основной задаче, построенный по суммам начальных асимптотик (0 -тонкая сплошная, 0+1 - толстая, 0+1+2 - точечная). Распределения построены на луче, исходящем из начала координат в направлении {1,0,-1}. Характер ° он " 1 зависимостей свидетельствует о достаточности двух

Рис. 2. Радиальные асимптотических приближений для описания перемещения состояния тела.

На рис. 3. а), б) представлены перемещения

Рис. 3. Радиальные и осевые перемещения результирующего поля а) первой, б) второй основных задач В задаче о смятии "гвоздя" налицо качественные отличия в приближениях в полях напряжений.

Третий раздел посвящен применению МГС для решения нелинейных задач статической термоупругости.

В п. 3.1 сведены основные соотношения изотропной упругой равновесной среды при наличии температурных воздействий:

ачЛ+р1 =°; =Х(иУ + ир);сгУ =^95у + 2ц5у -(ЗХ. + 2ц)аТ8у ;

Т,Н+%С> = 0, (7)

где к = к(Т) - коэффициент температуропроводности, Г-температура.

Температурные и механические факторы могут быть «завязаны» на границе и внутреннее состояние термоупругой среды должно содержать информацию как о тех, так и других. Возможны два подхода к решению не связанной по ГУ задачи. Первый основан на решении нелинейной задачи термостатики; после этого задача сводится к решению задачи ТУ неоднородного тела. Второй подход заключается в линеаризации задачи термоупругости методом Пуанкаре на начальном этапе, и задача термоупругости сводится к последовательности линейных задач. Этот подход уместен также в случае, когда характеристики температурного и упругого поля "завязаны" в ГУ.

В п. 3.2 в контексте первого подхода решается нелинейная задача термостатики. Постулируем непрерывную зависимость k = kq + Pkj Т+... и ищем решение уравнения (7) в виде асимптотических рядов:

{T,Q}= IPk{Tk,Qk}. Уравнение (7) приводится к последовательности к=0

уравнений: Т0-.=-— Qq, Tj ■■ =--Qi.T2ii=--Q2vQo=Qo-

K0 ,u к0 к0

Ql =Ql+ Ki To T0jii, Q2 = Q2 + Ki To TUi + (к2 TI + Kl Tj )T0>ii,...

В последовательности задач структура уравнений одинакова. Задача каждого приближения решается средствами МГС. Общее решение уравнения

LP р

Пуассона при к = const представим в виде суммы Т = Т + Т , где Т

любое частное решение уравнение Пуассона (7), Т - решение краевой задачи для уравнения Лапласа Т^ = 0. В ГУ вносится поправка от частного решения.

Под внутренним состоянием термостатической среды понимается

набор £ = {Т, Т.}, а под граничным - набор у =|т,—

[ SnJ

Решение задачи Дирихле и Неймана сводится к вычислению коэффи-

t 1

циентов Фурье = j T SV

к . (к) L

Т п. dS, с = Г Т T

; 1 к J ;

SV ' 5V

п. ей. В каче-1

ЗУ

стве примера решалась задача об осесимметричном шаровом секторе, находящемся в стационарном температурном поле и равномерно по объему излучающем энергию (С? = ~2к0); на поверхности выполняется условие Дирихле: Т| =1 + г2 соэ29 . Тело содержит внутреннюю коническую точку.

Материал среды характеризуется коэффициентом температуропроводности, зависящим от температуры (в безразмерном виде к = 12 - 3 Т, данные получены обработкой эксперимента для стали). Определено температурное поле по заданной на границе температуре (рис. 4).

Рис. 4. Результаты решения задачи термостатики: а) поле температуры, б) поле градиента температуры

В п. 3.3 реализован второй подход к решению задач термоупругости. Результатом линеаризация явилось расслоение на последовательность задач линейной термостатики при наличии объемных сил.

В 3.4 заявлен МГС для задач статической термоупругости. В случае потенциальных объемных и температурных сил

xi =-Пд, Ф .

■v0

l-v0

а0Т

имеет место общее решение Аржаных - Слободянского

u. =4(l-v0)Bj + XjBjj -XjBjj +Ф . +%. ,

1 -2v

2цо(!-уо)

-П

(В)

Представим решение (8) в виде суммы и. = и + и , где и = Ф . + X

1 i i i J

■ из-

вестная часть, а

и = 4(1 - v)B. + х . В.. - х. В .. строится МГС. i 1 j i.j i j,i

В п. 3.5 приводится решение задач термоупругости для шарового сектора в случае отсутствия или наличия конической точки. Тело находится в стационарном температурном поле, равномерно по объему излучает энергию (плотность теплоисточника Qfl = —2к fj); на поверхности выполняется условие Дирихле: Т = 1 + г cos 20 . Рассматриваются две механические поста-sv

новки задачи: 1) поверхность сектора свободна от усилий р. = 0; 2) по-

11 av

верхность тела защемлена и. = 0. Материал среды характеризуется тер-

11 sv

момеханическими параметрами, зависящими от температуры (в безразмерном виде X, = 1.5-0.005Т, р. = 1- 0.01Т, а = 0.0045 + 0.0001Т). Задача решается в трех вариантах формы тела: полушар, шаровые секторы с внешней и внутренней коническими точками. Для сравнения приведены линии уровня наибольших касательных напряжений.

Рис. 5. Линии уровня полей наибольших касательных напряжений для полушара: а) 1-ая задача, б) 2-ая задача

В первой основной задаче уровень наибольших касательных напряжений повышается по мере приближения к сингулярностям границы, во второй задаче наибольшие касательные напряжения заметны вблизи сферической поверхности, а также в линзе, расположенной у оси симметрии ближе к основанию полушара.

Рис. 6. Линии уровня полей наибольших касательных напряжений для шарового сектора с внутренней конической точкой: а) 1-ая задача, б) 2-ая задача

Наличие внешней конической точки существенно не повлияло на концентрацию напряжений, в т. ч. и наибольших касательных напряжений.

б)

Рис. 7. Линии уровня полей наибольших касательных напряжений для шарового сектора с внешней конической точкой: а) 1-ая задача, б) 2-ая задача

Существенное влияние оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной границей.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1) выполнено асимптотическое разложение соотношений линейной изотропной теории упругости неоднородного тела на последовательность соотношений однородной упругости. Показана эффективность применения МГС для построения решения задачи каждого приближения;

2) решены основные задачи теории упругости для тела неклассической формы ("гвоздь"), что свидетельствует о возможности применения МГС в задачах неоднородной теории упругости для тел произвольной геометрической конфигурации и выполнены качественные выводы и количественные оценки НДС как в окрестности регулярных точек границы, так и вблизи сингулярно-стей типа "ребро" и "коническая" точка;

3) выполнено сравнение двух подходов к декомпозиции и решению изначально нелинейной задачи термоупругости, основанных на сочетании метода возмущений и МГС: 1) превентивное выделение температурного поля; 2) линеаризация задачи термоупругости. Второй подход является более общим, позволяет эффективно строить решения краевых задач, в которых температурные и механические характеристики" завязываются" в ГУ;

4) теоретическая ценность МГСВ состоит в обусловленной возможности получения решения нелинейных задач термостатики и нелинейной термоупругости в аналитической форме, что облегчает интерпретацию результатов; практическая польза от сочетания метода Пуанкаре и МГС состоит в высокой эффективности: базис пространств состояний являются общими для задач всех приближений, и все относительно трудоемкие операции (конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;

5) выполнена постановка линейных задач термостатики в терминах МГС, в том числе: выполнены постановки задач Дирихле и Неймана для которых процедура решения МГС сводится к рутинному расчету коэффициентов;

6) решена задача термостатики для шарового сектора с внутренней конической точкой. В нелинейной задаче термостатики в окрестности конической точки реализуется более "мягкое" температурное поле, чем в линейной задаче;

7) выполнены решения серии осесимметричных задач для шарового сектора в случае отсутствия или наличия конической точки. Сделан ряд качественно важных выводов, полезных для практики: в задаче со свободной границей зависимости параметров среды от температуры существенны, в задачах стесненного деформирования качественных поправок за счет приближений не наблюдается; в задаче с защемленной границей осевые и окружные напряжения сжимающие во всем теле независимо от наличия или отсутствия конической точки. Характер радиальных напряжений одинаков при любых конических точках; существенное влияние на концентрацию напряжений оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня окружные напряжения в задаче со свободной границей и наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной грани-

цей. Напряжения сдвига вблизи конической точки не выражены в обеих задачах.

8) эффективен алгоритм ортогонализации, основанный на предварительном вычислении матрицы Грама. Практическая значимость усиливается ре-курсивностью вычислительного процесса, поскольку позволяет планировать использование вычислительных ресурсов (время, память);

9) методика альтернативного разложения при рассмотрении краевых задач позволяет выписывать разрешающую БСУ без промежуточных выкладок (теоретическая ценность), существенно снизить ресурсозатратность при вычислении коэффициентов БСУ за счет использования исходного базиса вместо ортонормированного (практическая ценность) и свойства косой симметрии в"скелете" задачи;

10) разработана система жесткого тестирования в процессе решения задач: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи; промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями, насыщение суммы Бесселя); результирующего решения нелинейной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, верификация сравнения с известными решениями).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Саталкина, JI.B. Метод граничных состояний в задачах термоэласто-статики со связанными граничными условиями [Текст] / Д.В. Викторов, В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Теория и практика листового проката: Сб. научн. трудов. 4.2. - Липецк, ЛГТУ.2008. - С.280-284.

2. Саталкина, Л.В. Метод граничных состояний в задаче нелинейной тер-моэластостатики [Текст] / В. Б. Пеньков, Л.В. Саталкина И Сборник докладов совещания - семинара заведующих кафедрами теоретической механики южного федерального округа 22-26 апреля 2009. - С. 60-63.

3. Саталкина, Л.В. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Научно-методический семинар преподавателей теоретической механики вузов России: тезисы докладов (5-9 октября 2009 г.) / Юж.-Рос. гос. техн. Ун-т. - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. - С. 29-31.

4. Саталкина, Л.В. Альтернативное разложение в методе граничных состояний [электронный ресурс) / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // В мире научных открытий. ISSN 2072-0831.2010. - №3(09).Часть 1.-С.21-25.

5. Саталкина, Л.В. Метод граничных состояний в задачах термоупругости с участием объемных сил [Текст] / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина, Д.В. Викторов. // Вестник Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. - Тула, 2008 - Вып.4. Т. 2. - С.107-117.

6. Саталкина, Л.В. Нелинейное моделирование термоэластостатических состояний [Текст]/ В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания. - Липецк: ЛГПУ, 2009.- С.125-127.

7. Саталкина, JI.B. Нелинейные термоупругие состояния областей с коническими точками [Текст] / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2009, - С.251-252.

8. Саталкина, Л.В. Применение метода граничных состояний в нелинейной термоупругости [Текст]/ В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. 4.2: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. - С. 108-111.

9. Саталкина, Л.В. Применение метода граничных состояний для расчета преднапряженных тел [Текст] / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Т. 14. - Вып. 2. Механика. - Тула: ТулГУ, 2008.-С. 135-143.

30. Саталкина, Л.В. Развитие метода граничных состояний на класс задач термоупругости [Текст] / В.Б. Пеньков, Д.В. Викторов, Л.В. Саталкина// Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 17-21 ноября 2008 г.), - Тула: ТулГУ, 2008.-С. 274-277.

11. Саталкина, Л.В. Состояния равномерно вращающегося изотропно-упругого шара при различных граничных условиях [Текст] / В.Б. Пеньков, Д.В. Викторов, Л.В. Саталкина. // Вестник ТулГУ. Серия. Актуальные вопросы механики. Вып.З. Механика,- Тула: ТулГУ, 2007. - С. 176-183

12. Саталкина, Л.В. Стационарная задача тсрмоупругости со связанными граничными условиями [Текст] / В.Б. Пеньков, Д.В. Викторов, Л.В.Саталкина //Авиакосмические технологии «АКТ - 2008»: труды IX Всерос. научн. - техн. конференции и школы молодых ученых, аспирантов ir студентов Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет». 2008. С. 173 -177.

13. Саталкина, Л.В Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей [Текст]/ Л.В. Саталкина // Вестник ТулГУ. Серия "Актуальные вопросы механики" -2009. - Вып.5. - Тула: Изд-во ТулГУ. С.157-160.

14. Саталкина, Л.В. Внутреннее и граничное состояния упругого шара [Текст]/ Л.В. Саталкина //Современные проблемы математики и механики глазами студентов. Вып.З доклады студентов на Второй научно-технической региональной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. - С.44-48.

15. Саталкина, Л.В. Метод граничиых состояний с возмущениями в линейных задачах для неоднородных сред [Текст]/ JI.B. Саталкина //Перспективы науки, 2010, №3(05). - Тамбов: Изд-во ООО "Тамбовиринт". -С.48-51.

Подписано в печать 01.06.2010 . Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 537 Полиграфическое подразделение Издательства Липецкого государственного технического университета. 398600 Липецк, ул.Московская, 30.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Саталкина, Любовь Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И АЛГОРИТМЕЧИСКОЕ.

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ С.

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

1.1. Основные положения метода граничных состояний.

1.1.1. Апробация метода граничных состояний.

1.1.2. Основы метода граничных состояний.

1.2. Основные положения метода возмущений в контексте метода граничных состояний.

1.3. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний.

1.3.1. Ортогонализация базиса.

1.3.2. Рекурсивный матричный алгоритм пополнения ортонормированного базиса.

1.3.3. Алгоритмы формирования разрешающей бесконечной системы уравнений для основных краевых задач механики деформируемого твердого тела.

1.3.4. Использование свойств симметрии при построения «скелета» для серии классических задач.

1.4. Обеспечение достоверности численно-аналитических расчетов.

1.5. Выводы по разделу.

РАЗДЕЛ 2. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ.

СОСТОЯНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ.

УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА.

2.1. Определяющие соотношения линейной теории упругого. равновесия неоднородного тела.

2.2. Декомпозиция определяющих соотношений методом Пуанкаре.

2.3. Декомпозиция решения задачи А;-го приближения.

2.4. Метод граничных состояний для решения задач теории упругости однородного тела.

2.4.1. Состояния упругой среды.

2.4.2. Изоморфизм гильбертовых пространств упругих состояний.

2.4.3. Постановка задач теории упругости и их решение методом граничных состояний.

2.5. Верификация метода граничных состояний с возмущениями.

2.6. Задачи упругости для неоднородного «гвоздя».

2.7. Выводы по разделу.

РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ.

СОСТОЯНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ.

ТЕРМОУПРУГОСТИ.

3.1. Определяющие соотношения термоупругости.

3.2. Решение нелинейной задачи термостатики методом возмущений.

3.2.1. Метод граничных состояний в задачах линейной термостатики.

3.2.2. Задача термостатики с синуглярностью границы. конического типа.

3.3. Линеаризация задачи термоупругости методом Пуанкаре.

3.4.Метод граничных состояний для задач статической термоупругости

3.5. Решение задач термоупругости для шарового сектора. в случае отсутствия или наличия конической точки.

3.5.1. Постановка серии осесимметричных задач для шарового сектора

3.5.1.1. Задачи термоупругости для полушара.

3.5.1.2. Задачи термоупругости для шарового сектора с внутренней конической точкой.

3.5.1.3. Задачи термоупругости для шарового сектора с внешней конической точкой.

3.6. Выводы по разделу.

Введение диссертация по механике, на тему "Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости"

Диссертация посвящена разработке общего численно — аналитического метода решения задач теории упругости неоднородного тела.

Актуальность. Проектирование современной техники и современных технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих подчас в критических термомеханических условиях. Это приводит к созданию новых методов расчета, адекватно учитывающих реальные свойства материала. Это обстоятельство привлекает внимание исследователей к задачам теории упругости (ТУ) неоднородных тел, задачам нелинейной теории упругости, задачам термоупругости.

Актуальность темы исследования заключается в ряде аспектов.

Общим вопросам ТУ неоднородного тела посвящен ряд работ П. Чо-удхури (1957) [95], М.А. Садовского, М.А. Голдберга (1958) [102], Л. Н. Тер-Мкртчяна (1961), [83], В. Олзака, Дж. Ричлевского (1961) [98], H.A. Ростовцева (1964)[77], Б. Клозовича (1968) [96], В.П. Плевако (1971, 1973) [71], [70], В.М. Панферова, Э.А. Леонова (1975) [36]. Значительные результаты получены в задачах частных классов. Плоскими задачами неоднородной ТУ занимались С. Г. Лехницкий (1962)[16], П. Мазилу (1969) [97], А.И. Александрович (1973) [1], И. А. Спришевская (1973) [82], В. Олзак, Дж. Ричлев-ский (1965) [99]. Задаче Сен-Венана, кручению, частным случаям деформирования цилиндрических тел уделили внимание Е. Сус (1963) [105], Р. Д. Шайль, Р.Л. Сиераковский (1964, 1965) [103, 104], М.М. Плотников (1967) [72], С.Г. Лехницкий (1967, 1971, 1972) [14, 15, 17], Г. И. Назаров, A.A. Пучков (1972) [29]. Расчету неоднородных элементов конструкций посвящена работа Г.Б. Колчина (1971) [11]. Развитие метода малого параметра в приложении к неоднородным средам выполнили В. А. Ломакин, В. И. Шейнин (1972) [21]. Серия работ посвящена микронеоднородным средам (В. А. Ломакин (1965,1966, 1970)[18, 19, 20], В. А. Ломакин, В.И. Шейнин (1970) [22] и

ДР-)

Многие нелинейные задачи теории упругости после линеаризации приводятся к соотношениям теории упругости неоднородной среды. Предпосылки нелинейной ТУ возникли еще в 19 веке (в работах Коши, Дж. Грина, Г. Кирхгофа, И. Фингера, Э. Трефтца, А. Синьорини). Основы нелинейной ТУ заложены к первой половине 20 века рядом ученых (Н.В. Зволинский, Ф.Д. Мурнаган, П. М. Риз, М.А. Био, Р. С. Ривлин, Д.Ю. Панов, Р. Хилл, А. А. Грин). В.В. Новожилов классифицировал задачи нелинейной ТУ по "геометрическим" и "физическим" признакам. Современное состояние теория обрела благодаря трудам A.A. Ильюшина, А.И. Лурье, Л.А.Толоконникова, К.Ф. Черных, X. М. Муштари, К. 3. Галимова, И.Г. Терегулова. Разноплановые исследования в данной области проводятся и в настоящее время (A.A. Маркин [24], Д.В. Христич, М. Ю. Соколова [25] А.И. Александрович, М.О. Глаголева др).

Стимулом исследований по термоупругости явились задачи о термоупругих напряжениях в элементах конструкций, проводившиеся на основе теории Дюамеля и Неймана (1841). Томсон (1855) применил законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Развитие термоупругости определили работы Гиббса (1875-1878), Шиллера (1897-1901), Каратеодори (1909), Афанасьевой - Эренфест (1925-1928), Био (1956), Боли и Уэйнера (1960), Чедвика (1960). Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (1953) и др. получили связанные уравнения термоупругости с помощью методов классической термодинамики. В середине 20 века все большее значение приобретает теория конечных термоупругих деформаций. Л.И. Седов (1962) разработал термодинамические основы нелинейной теории упругости при конечных деформациях.

Наибольшую практическую ценность имела задача термоупругости в квазистатической постановке. Представление общего решения такой задачи предложил П.Ф. Папкович (1932-1937). В монографиях (A.A. Лыков, Карс-лоу, Евгер и др.) изложен первый этап решения квазистатических задач термоупругости: определение температурного поля методами теории теплопроводности. Методы решения отдельных квазистатических задач изложены в монографиях А. Н. Динника, H.H. Лебедева, В.М. Майзеля, Мелана и Парку-са, Боли и Уэйнера и др. Новацкий рассматривал решения более сложных квазистатических задач термоупругости. В монографиях А. JI. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова и др. представлены результаты изотермической теории оболочек, которые использовались при разработке теории тепловых напряжений в тонких оболочках. В.И Даниловская (1950) исследовала методами операционного исчисления динамическую задачу термоупругости. Обобщение эта задача нашла в работах Стеренберга и Чакроворти (1959), Муки и Брейера (1962), Дилона (1965). Исследования динамических задач термоупругости с учетом связаннностей полей деформаций и температуры нашло свое развитие в работах Дересевича (1957), Чедвика и Снеддона (1958). Я.С. Подстригач (1960) и Новацкий (1962) развили общие представления о решении связанных задач термоупругости. Современные исследования ведутся по разным направлениям В.Е. Петровой [35, 100, 101], М. Г. Ор-дяном [35], В.Н. Кобзарем, С.Л. Гладким, Б.В. Нерубайло, Л.Г. Смирновым, O.A. Струковым [34], С. Е. Железовским [6], Д.А. Высоковским, В.И. Шумейко [94], А. Ю. Родионовым [76].

Строгое решение нелинейных задач ТУ удается построить редко [93]. Основными способами решения нелинейных задач являются: а) прямая дискретизация соотношений (неоднородной, нелинейной, термоупругой среды); б) предварительное проведение линеаризации с использованием метода возмущений. Первый способ приводит к нелинейным системам уравнений. Их решения формирует ошибки, обусловленные: а) численными процедурами, имеющий массовый характер [32]; б) итерационным процессом. Второй способ можно использовать в сочетании с любым методом. Он приводит к: а) инструментальным ошибкам используемого на каждом шаге метода; б) ошибке сходимости асимптотического разложения.

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях: а) снижение уровня инструментальной ошибки, б) построение аналитического решения, поскольку в этом состоит современная тенденция развития современных вычислительных средств. Современным методом, отвечающим этим требованиям, является метод граничных состояний (МГС). Первоначально он был предложен в качестве эффективного средства решения линейных задач механики сплошных сред Пеньковым В.В и Пеньковым В.Б. [42]. Идеология МГС ориентирована на символическое представление промежуточных и финишных результатов счета. Это отвечает современному уровню развития вычислительных средств, все более ориентирующихся на компьютерную алгебру. Для многих прикладных задач заявленные к вычислению квадратуры берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует еще одну причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с промежуточным характером численного счета.

Сочетание МГС и метода возмущений (МГСВ) обещает быть надежным методом решения нелинейных задач, поскольку он сохраняет все достоинства МГС и экономит ресурсы: наиболее трудоемкие вычислительные процедуры выполняются один раз, а именно — в задаче основного приближения и далее используются по назначению в задаче каждого приближения.

Все это обусловливает актуальность темы диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного метода решения нелинейных задач МДТТ, основанного на сочетании метода возмущений и метода граничных состояний.

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

1) разработка МГСВ для решения задач теории упругости неоднородного тела;

2) разработка МГСВ для решения нелинейных задач термостатики и задач термоупругости;

3) разработка эффективных приемов и алгоритмов, поддерживающих компьютерную технологию МГС.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

1) МГСВ приспособлен для решения задач МДТТ неоднородных тел;

Теоретическая ценность:

1) обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей, описывающих НДС и температуру, опирающаяся на МГСВ;

2) предложенная методика альтернативного разложения при постановке краевых задач позволяет выписывать разрешающую БСУ, минуя промежуточные выкладки;

3) обоснована эффективность сочетания МТС и метода возмущений в задачах ТУ неоднородных тел и термоупругости.

Практическая ценность:

1) подтверждена эффективность МТС в части решения задач для областей с произвольной геометрической конфигурацией;

2) сочетание метода возмущений и МТС привело к высокоэффективным алгоритмам в процедурных решениях различных классов задач (в том числе и нелинейных): базис пространств состояний являются едиными для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;

5) система жесткого тестирования гарантирует подлинность результатов;

6) решен ряд различных физических задач для областей, содержащих особенности типа "ребер" и "конических точек", как-то: нелинейная термостатика, неоднородная упругость, нелинейная термоупругость. Сделаны качественные выводы о влиянии таких концентраторов (и фактов нелинейности или неоднородности среды) на качественные изменения в картинах температурных и механических полей.

Достоверность обусловлена

1) использованием хорошо зарекомендованных себя классических моделей в МДТТ,

2) применением фундаментальных математических основ при построении МГСВ и решением конкретных задач,

3) жестким тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи, промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями; насыщение суммы Бесселя), результирующее решение неоднородной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, верификация сравнением с решением, построенным иными методами).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 2008, 2009 гг.), на IX всероссийской научно-технической конференции и школе молодых ученых, аспирантов и студентов г. Воронеж, г. Москва, 29 мая 2008 г.), на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (г. Воронеж, 2009 г.), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (г. Тула, ТулГУ, 2010 г.), на региональных совещаниях по теоретической механике (г. Новочеркасск, 2008 г., 2009 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 15 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, содержащего основные результаты и выводы, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 106 страниц, включая 57 рисунков, 5 таблиц и 1 приложения. Список литературы содержит 105 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

3.6. Выводы по разделу

1) выполнено сравнение двух подходов к декомпозиции и решению изначально нелинейной задачи термоупругости, основанных на сочетании метода возмущений и МГС: 1) превентивное выделение температурного поля (нелинейная задача термостатики в асимптотическом разложении сводится к последовательности линейных, решаемых эффективно методом ГС) и последующее решение задачи теории упругости неоднородного тела (также решается сочетанием указанных способов); 2) линеаризация задачи термоупругости, приводящая к последовательности линейных задач термоупругости (задача каждого приближения решается методом ГС). Второй подход является более общим, поскольку позволяет эффективно строить решения краевых задач, в которых температурные и механические характеристики "завязываются" в ГУ;

2) теоретическая ценность методики состоит в обусловленной воз--можности получения решения задач нелинейной термостатики и нелинейной термоупругости в аналитической форме, что облегчает интерпретацию результатов. Практическая польза от сочетания метода Пуанкаре и МГС состоит в высокой эффективности: базис пространств состояний являются едиными для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;

3) классическая постановка линейных задач термостатики реализована в терминах МГС: определены понятия внутреннего и граничного состояния термостатической среды, установлен изоморфизм между соответствующими гильбертовыми пространствами; выполнены постановки задач Дирихле (определение термостатического поля по заданному граничному рас

88 пределению температуры) и Неймана (на границе распределен нормальный градиент температуры); установлено, что для основных задач термостатики (задачи Дирихле, Неймана) процедура решения МГС сводится к рутинному расчету коэффициентов Фурье в разложении решения по ортонормирован-ным базисам пространств граничных состояний;

4) решена задача термостатики для шарового сектора с внутренней конической точкой, результаты решения приведены в графической форме. Сделаны выводы о том, что в нелинейной задаче термостатики в окрестности внутренней конической точки реализуется более "мягкое" температурное поле, чем в линейной задаче;

5) выполнены постановки и проведены решения серии осесиммет-ричных задач для шарового сектора, равномерно по объему излучающего энергию, в случае отсутствия или наличия конической точки. На поверхности тела выполняется условие Дирихле. Рассматривались две механические постановки задачи, когда поверхность сектора свободна от усилий и поверхность тела защемлена. Результаты решения каждой задачи представлены в графической форме и сделан ряд качественно важных выводов, полезных для практики: а) в задаче со свободной границей для шара обнаружено качественное изменение полей напряжений, вносимое приближениями, что свидетельствует о важности учета зависимости параметров среды от температуры, в то время как в задаче с защемленной границей качественных поправок за счет приближений по малому параметру не наблюдается, следовательно, в задачах стесненного деформирования можно пренебрегать зависимостью параметров среды от температуры. б) в задаче с защемленной границей осевые и окружные напряжения сжимающие во всем теле независимо от наличия или отсутствия конической точки. Их наибольший уровень наблюдается в точках, наиболее удаленных от оси. Характер радиальных напряжений одинаков при любых конических точках; в) существенное влияние на концентрацию напряжений оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня окружные напряжения в задаче со свободной границей и наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной границей. Напряжения сдвига вблизи конической точки не выражены в обеих задачах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам изложенного в диссертации можно сделать выводы:

1) выполнено асимптотическое разложение соотношений линейной изотропной ТУ неоднородного тела на последовательность соотношений ТУ для однородного тела. Показана эффективность применения МГС для построения решения задачи каждого приближения;

2) решены основные задачи теории упругости для тела неклассической формы ("гвоздь"), что свидетельствует о возможности применения МГС в задачах ТУ для неоднородных тел произвольной геометрической конфигурации и выполнены качественные выводы и количественные оценки НДС как в окрестности регулярных точек тела и границы, так и вблизи сингулярно-стей типа "ребро" и "конические" точки;

4) теоретическая ценность МГСВ состоит в обусловленной возможности получения решения нелинейных задач термостатики и нелинейной термоупругости в аналитической форме, что облегчает интерпретацию результатов; практическая польза от сочетания метода Пуанкаре и МГС состоит в высокой эффективности: базис пространств состояний являются едиными для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;

6) решена задача термостатики для шарового сектора с внутренней конической точкой. Сделан вывод о том, что в нелинейной задаче термостатики в окрестности внутренней конической точки реализуется более "мягкое" температурное поле, чем в линейной задаче;

7) выполнены решения серии осесимметричных задач для шарового сектора в случае отсутствия или наличия конической точки. Сделан ряд качественно важных выводов, полезных для практики: в задаче со свободной границей зависимости параметров среды от температуры существенны, в то время как в задачах стесненного деформирования качественных поправок за счет приближений по малому параметру не наблюдается; в задаче с защемленной границей осевые и окружные напряжения сжимающие во всем теле независимо от наличия или отсутствия конической точки. Характер радиальных напряжений одинаков при любых конических точках; существенное влияние на концентрацию напряжений оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня окружные напряжения в задаче со свободной границей и наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной границей. Напряжения сдвига вблизи конической точки не выражены в обеих задачах;

8) заслуживает внимания алгоритм ортогонализации, основанный на предварительном вычислении матрицы Грама. Его практическая значимость усиливается рекурсивным подходом к организации вычислительного процесса, поскольку позволяет планировать использование вычислительных ресурсов (время, память);

9) методика альтернативного разложения при рассмотрении краевых задач, позволяет: выписывать разрешающую БСУ, минуя промежуточные выкладки (теоретическая ценность); существенно снизить ресурсозатратность при вычислении коэффициентов БСУ за счет использования исходного базиса вместо ортонормированного (практическая ценность) и свойства косой симметрии в "скелете" задачи;

10) разработана система жесткого тестирования в процессе решения задач: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи; промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями; насыщение суммы Бесселя); результирующего решения нелинейной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, верификация посредством сравнения с решениями, построенными иными методами).

Обоснование методики МГСВ открывает определенные перспективы для решения задач нелинейной теории упругости, выписывания приближенно - аналитических решений для задач линейной теории упругости, содержащих в символьной форме все параметры среды, и др.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Саталкина, Любовь Владимировна, Липецк

1. Александрович, А.И. Плоская неоднородная задача теории упругости Текст. / А.И. Александрович // Вестн. Моск. Уни-та, матем, мех. -№ 15 1973.

2. Блехман, Н.И. Метод малого параметра Текст. / Н.И. Блехман. //Механика. -1957.-№2(42).

3. Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций Текст. / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов.-М.: Наука, 1978.-208 с.

4. Каюк, Я.Ф. Некоторые вопросы разложения по параметру Текст. /Я. Ф. Каюк.- Киев: Наукова Думка, 1980.

5. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости Текст. / А.Д. Коваленко. — Киев: «Наукова Думка», 1970. — 308 с.

6. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.571 с.

7. Колчин, Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов Текст. / Г.Б. Колчин// Кишинев, 1971.

8. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики Текст. / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: «Высшая школа»,1970.-712 с.

9. Купрадзе, В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости Текст. / В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелия, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бур-чуладзе. -М.: «Наука», 1976. 664 с.

10. Лехницкий, С.Г. Задача Сен-Венана для непрерывно неоднородного анизотропного бруса Текст. / С.Г. Лехницкий // Сб. "Механика сплошной среды и родственные проблему анализа". М : -Наука, 1972.

11. Лехницкий, С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней Текст. / С.Г. Лехницкий // М : -Наука, 1971

12. Лехницкий, С.Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости Текст. / С.Г. Лехницкий // Прикладная математика и механика. —Т. 26, вып. 1, 1962.

13. Лехницкий, С.Г. Элементарные решения двух частных задач о равновесии неоднородного цилиндра Текст. / С.Г. Лехницкий // Сб "Исследования по упругости и пластичности".Изд-во Ленингр. ун-та-Вып. 6,1967.

14. Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных упругих тел Текст. / В. А. Ломакин// Прикладная математика и механика. — Т. 29, вып. 5, 1965.

15. Ломакин В.А. Плоская задача теории упругости для тел с быст-роосциллирующими упругими свойствами Текст. / В.А. Ломакин// Механика твердого тела. № 6, 1966.

16. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел Текст. / В. А. Ломакин// М.:- Наука -1970.

17. Ломакин, В. А. О применимости метода малого параметра для оценки напряжений в неоднородных упругих средах Текст. / В. А. Ломакин, В. И. Шейнин //Механика твердого тела. №3, 1972.

18. Ломакин, В. А. Статистические характеристики полей напряжений в случае неоднородной упругой плоскости Текст. / В. А. Ломакин, В. И. Шейнин //Механика твердого тела. №4, 1970.

19. Лурье, А.И. Теория упругости Текст./ А.И. Лурье. — М.: «Наука», 1970. — 940 с.

20. Маркин, A.A. Нелинейная теория упругости Текст. / А. А. Маркин // Учеб. пособие. Тул.гос.ун-т.-Тула, 2001. 72 с.

21. Минаева, Н.В. Метод возмущений в механике деформируемых тел Текст. / Н.В. Минаева. М.: Научная книга, 2002.-156с.

22. Минаева, Н.В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел Текст. / Н.В. Минаева / / Изв. РАН. МТТ. -2008.-№1. С.37-39.

23. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Текст./ Н.И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

24. Назаров, Г. И. К задаче о кручении неоднородного тела вращения с переменными модулями сдвига Текст. / Г. И.Назаров, A.A. Пучков. // "Прикладная математика и механика". Т. 9, Вып. 3, 1973.

25. Найфе, А. Введение в методы возмущений Текст. / А. Найфе.-М.: Мир, 1984.- 526 с.

26. Найфе, А. Метод возмущений Текст. / А. Найфе.- М.: Мир, 1976.- 455 с.

27. Немиш, Ю.Н. Метод возмущений формы границы в пространственных задачах механики деформируемых сред Текст. / Ю.Н. Немиш. / / Изв. АНСССР, МТТ. 1975.-№1.-С.17-26.

28. Нерубайло, Б.В. К решению задачи термоупругости конических оболочек Текст. / Б.В. Нерубайло, Л.Г. Смирнов, O.A. Струкова // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. Изд-во Академиздат-центр "Наука" РАН. №4, 2008.

29. Панферов В.М., К решению задач термоупругости с переменными модулями Текст. / В.М. Панферов, Э.А. Леонова // Проблемы прочности. -№ 6, 1975.

30. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости Текст. / В. Б. Пеньков, А. Н. Рожков // Известия97

31. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т.П. Вып.2. Механика.-Тула: ТулГУ, 2005. С. 101-106.

32. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для основной смешанной задачи линейного континуума Текст. / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Всероссийская конференция. Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 2000. — С.108-110.

33. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики. Текст. / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. — 2001. — Т.2, №2. — С. 115-137.

34. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики Текст. / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти A.A. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001. — с.363.

35. Пеньков, В. Б. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума. Текст. / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков / Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2000. — Т.6. — Вып.2. — С. 124-127.

36. Пеньков, В. Б. Пространства состояний в задачах механики континуума Текст. / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

37. Пеньков, В. В. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний Текст. / В. В. Пеньков, А. Н. Рожков // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара.Ч.2. Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 134-141.

38. Пеньков, В.Б. Альтернативное разложение в методе граничных состояний электронный ресурс. / В.Б. Пеньков, JI.B. Саталкина // В мире научных открытий. ISSN 2072-0831. №3(09).Часть 1. С.21-26.

39. Пеньков, В.Б. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний Текст. / В.Б. Пеньков, A.A. Харитоненко // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. — Вып.2. Тула: ТулГУ, 2006. - С. 167-175.

40. Пеньков, В.Б. Нелинейное моделирование термоэластостатиче-ских состояний Текст./ В.Б. Пеньков, JI.B. Саталкина // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания. — Липецк: ЛГПУ, 2009 — С. 125127.

41. Пеньков, В.Б. Применение метода граничных состояний для расчета преднапряженных тел Текст. / В.Б. Пеньков, JI.B. Саталкина // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — Т. 14. — Вып. 2. Механика. -Тула: ТулГУ, 2008. С.135-143.

42. Пеньков, В.Б. Теорема взаимности для квазистатической ньютоновской среды Текст. / В. Б. Пеньков // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. — С. 10-11.

43. Пеньков, В.В. Асимптотики параллелепипеда Текст. / В. В. Пеньков // Юбилейная научно-практическая конференция "Прикладная математика — 99" (Тула, 03—05.05.99). Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 1999. — С. 92-93.

44. Пеньков, В.В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики Текст. / В. В. Пеньков // дисс. канд. физ.- мат. наук. — Тула, 2002. 100 с.

45. Пенысов, В.В. Метод граничных состояний для ньютоновской среды Текст. / В. В. Пеньков // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. —С. 11-12.

46. Пеньков, В.В. Метод граничных состояний для упругого параллелепипеда Текст. / В. В. Пеньков // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25—31. 01.99). Тезисы докладов. — Пермь: 1999. — С.250.

47. Пеньков, В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды Текст. / В. В. Пеньков // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т.4. — Вып.2. — С.128-134. . ; •

48. Плевако, В.П. Деформация неоднородного полупространства под действием поверхностной нагрузки Текст. / В.П. Плевако.// Прикладная механика. -Т. 9, вып. 6, 1973.

49. Плевако, В.П. К теории упругости неоднородных сред Текст. / В.П. Плевако.// Прикладная математика и механика. —Т. 35, вып. 5,1971.

50. Плотников, М.М. О напряжениях в одной задаче неоднородно-аанизотропного цилиндра Текст. / М.М. Плотников. // "Изв. вузов", Машиностроение. № 8, 1967.

51. Проскуряков, А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний Текст. /А. П. Проскуряков.-М.: Наука, 1977. 256с.

52. Пункаре, А. Новые методы небесной механики. Избранные труды в 3-х томахТекст. / А. Пункаре.-Т.1.-М.: Наука, 1971.-772 с.

53. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела Текст./ Ю.Н. Работнов М.: «Наука», 1979. — 744 с.

54. Родионов, А. Ю. Точные решения уравнений термоупругости Текст. / А. Ю. Родионов // Владикавказский математический журнал.- Изд-во Институт прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН.-Т. 11, №1, 2009, С. 54-62

55. Ростовцев, Н.А. К теории упругости неоднородной среды сред Текст. / Н.А. Ростовцев.// Прикладная математика и механика. —Т. 28, вып. 4, 1964.

56. Саталкина, Л.В Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей Текст./ В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Вестник ТулГУ. Серия "Актуальные вопросы механики" -2009. Вып.5. — Тула: Изд-во ТулГУ. С.157-160.

57. Саталкина, Л.В. Метод граничных состояний с возмущениями в линейных задачах для неоднородных сред Текст./ Л.В. Саталкина //Перспективы науки, 2010, №3(05). Тамбов: Изд-во ООО "Тамбовпринт". -С.48-51.

58. Спришевская, И. А. Деформация упругой неоднородной полуплоскости Текст. /И. А. Спришевская// Механика твердого тела- №1, 1973.

59. Тер-Мкртчян, Л.Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред Текст. / Л.Н. Тер-Мкртчян // Прикладная математика и механика. -Т. 25, вып. 6, 1961.

60. Тихонов, А.И. Уравнения математической физики Текст. / А.И. Тихонов, A.A. Самарский — М.: «Наука», 1972. — 763 с.

61. Трещев A.A. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации. Текст. / A.A. Трещев, В. В. Пеньков // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2000. — Т.6. — Вып.2. — С.153-159.

62. Харитоненко, A.A. Моделирование состояний гармонических сред разработка метода распознавания состояний Текст. / A.A. Харитоненко // дисс. канд. физ.- мат. наук. — Липецк, 2006. 100 с.

63. Черных, К.Ф. Точные решения краевых задач нелинейной теории упругости Текст. / К.Ф. Черных, С. А. Кабриц, Е.П. колпак, Л. В. Слепнева // НИИ вычислительной математики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

64. Choudhury, P. Stresses in an elastic layer with varying modulus of elasticity. Text. / P. Choudhury // Bull. Calcutta Math. Soc. №2, 1957.

65. Klosovicz, B. The non homogenesus spherical pressure vessel of maximum rigidity. I. Theoretical approach. II. Practocal applications Text. / B. Klosovicz // Bull. Acad. Polon. Sei., ser Tehniques -Vol. 16- № 7, 1968.

66. Mazilu, P. Sur un probleme plan de la theorie de Г elasticite des milieux heterenes Text. / P. Mazilu // Comptes Rendus. Des Seances de 1'academie des sciences. Vol. 268. Ser. A. B, № 14, 1969.

67. Olszak, W. Nichthomogenitats-Probleme in elastishen und vorplastischen Bereich Text. / W. Olszak, J Rychlewski // Österreichisches Ingenieur -Archiv-Vol. 15, 1961.

68. Olszak, W. On plane States of equilibrium in homogeneous elastic and plastic media Text. / W. Olszak, J Rychlewski // Приложение теорий функций в механике сплошной среды. — М.: Наука Т.1, 1965.

69. Petrova V. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects Text. / V. Petrova, K. Herrmann // International Journal of Fracture. 2004. - V. 128. - P. 49-63.

70. Petrova, V. Thermal crack for a bimaterial with an interface crack Text. / V. Petrova, K. Herrmann // Proc. Int. Conf. New Challenges in Meso-mech., Denmark, Aug. 2002. - P. 591-597.

71. Sadowsky, M.A. Non-Homogeneous Elasticity Text. / M.A. Sa-dowsky, M.A. Goldberg // N.Y., 1958.

72. Schile, R. D. On Saint Vencent problem for a nonhomogeneous elastic material Text. / R. D. Schile, R.L. Sierakowski // "Quarterly of applied math. "-Vol. 23-№ 1, 1965.

73. Schile, R. D. On the axially symmetric deformation of a nonhomogeneous elastic material Text. / R. D. Schile, R.L. Sierakowski //"J. Franklin inst" -Vol. 278-№5, 1964.

74. Soos, E. Sur le probleme de Saint -Venan dans le cas de barres heterogenes avec anisotropic cylindrique Text. / E. Soos // Bull. Math. Sei. Math. et. Phes. PRP. Vol. 7- № 1-2, 1963.