Некоторые аспекты дуальности между квантовыми калибровочными теориями и теорией суперструн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Гравитационные гипербранные решения

1.1 Одиночные гипербраны.

1.2 Составные гипербранные решения: алгебраический метод построения

1.3 Примеры гипербранных решений.

1.3.1 Одиннадцатимерная гравитация, взаимодействующая с ^-формой.

1.3.2 Десятимерная гравитация, взаимодействующая с биформами.

1.3.3 Гравитация в 18 измерениях, взаимодействующая с d-формой

1.4 "Зависимые"гипербраны.

2 AdS/CFT соответствие

2.1 Основные положения AdS/CFT соответствия.

2.2 Пространство Анти-де Ситтера.

2.3 Поле Рариты-Швингера на пространстве Анти-де Ситтера

2.4 Построение конформных корреляторов для полей спина 3/2 через AdS/CFT соответствие.

3 Перенормируемость некоммутативных теорий поля

3.1 Основные положения некоммутативной квантовой теории поля

3.2 Некоммутативное комплексное скалярное поле.

3.3 Скалярная электродинамика.

3.4 Некоммутативная JV = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса.

Одной из важнейших проблем современной теоретической физики является проблема построения единой теории, которая могла бы описать все фундаментальные взаимодействия, существующие в природе. Основным препятствием при построении такой теории является проблема согласования базовых принципов квантовой теории поля и общей теории относительности, то есть проблема квантования гравитации. В настоящее время наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий является теория суперструн [3].

Одним из значительных достижений теории суперструн стало понимание глубокой взаимосвязи между квантовыми калибровочными теориями и теориями супергравитации. Однако до последнего времени основное внимание уделялось изучению гравитационных аспектов теории струн, а именно вопросу нахождения различных поправок к классическим супергравитациям, исследованию квантовых свойств гравитационных объектов. И лишь недавно было осознано, что существующие связи между гравитацией и калибровочными теориями позволяют не только продвинуться в понимании гравитации, но и, наоборот, использовать гравитацию для более глубокого изучения свойств квантовых калибровочных теорий. Некоторым аспектам такого подхода и посвящена данная диссертация.

Исходной точкой для изучения описанных взаимосвязей стало осознание того факта, что помимо обычных струн спектр всех суперструнных теорий содержит целый класс солитоноподобных объектов, которые были названы Dp-гипербранами (Dp-branes в англоязычной литературе) [82]. Бр-гипербрана представляет из себя (р+1)-мерную гиперплоскость в 9 + 1-мерном пространстве-времени. Возбуждения гипербраны описываются с помощью открытых струн, концы которых закреплены на гипербране. Таким образом, по р + 1 продольным координатам концы струны удовлетворяют обычным (неймановским) граничным условиям, тогда как по 9 — р перпендикулярным к гипербране координатам накладываются условия Дирихле (это объясняет появление буквы D в их названии).

Dp-гипербраны допускают двоякое описание (и это наиболее важно для установления связей между калибровочными теориями и супергравитациями). С одной стороны, в низкоэнергетическом пределе они описываются калибровочными теориями, заданными на их поверхности. Действительно, безмассовый спектр открытых струн совпадает со спектром максимально суперсимметричной калибровочной теории с группой U{1) в р + 1 измерении. 9— р безмассовых скалярных полей в этом супермультиплете как раз и описывают трансверсальные возбуждения Dp-гипербраны. Если рассмотреть N параллельных совпадающих Бр-гипербран, то тогда в их описании будет участвовать N2 различных типов открытых струн (струна может начинаться на одной гипербране и заканчиваться на другой). N2 - это размерность присоединенного представления U(N), то есть такая конфигурация гипербран описывается максимально суперсимметричной калибровочной теорией с группой U(N) [103]. С другой стороны, Бр-гипербрана, будучи достаточно тяжелым объектом (ее масса обратно пропорциональна струнной константе связи), сама по себе искривляет пространство-время, то есть допускает супергравитационное описание с помощью стандартной метрики, а также р-форм, входящих в спектр супергравитаций. Таким образом, мы имеем два абсолютно различных описания совокупности из N Бр-гипербран: одно в терминах суперсимметричной калибровочной теории с группой U(N), другое в терминах классических супергравитационных решений. Связь между этими двумя описаниями и лежит в основании тех дуальностей, о которых пойдет речь ниже.

Одним из первых достижений такого дуального подхода стало обнаружение того факта, что известную кривую Зайберга-Виттена, описывающую низкоэнергетическое эффективное действие для четырехмерной N=2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, можно получить из рассмотрения определенной конфигурации гипербран, являющейся решением десятимерной IIA супергравитации [102]. Аналогично, динамику трехмерной суперсимметричной калибровочной теории с N=4 суперсимметриями можно описать с помощью конфигурации трех- и пятимерных гипербран десятимерной IIB супер гравитации [55]. При этом параметрам калибровочной теории (например, константам связи, вакуумным средним полей) соответствуют геометрические параметры конфигурации гипербран (такие, как расстояния между гипербранами). На языке гипербран геометрическое объяснение находят такие явления в калибровочных теориях, как фазовые переходы, зеркальная симметрия между кулоновской и хигсовской фазами различных теорий. Однако для того, чтобы пользоваться дуальным подходом, необходимо иметь в своем распоряжении как можно более полный список супергравитационных гипербранных решений. Построению таких решений посвящена глава 1 данной диссертации.

Отметим, что появившиеся в нашем рассмотрении гипербранные решения играют чрезвычайно важную роль не только с позиции их применения к анализу свойств калибровочных теорий, но и с других точек зрения. Это определяется тем, что они являются супергравитационным проявлением непертурбативных гипербранных объектов в теории суперструн [103]. Будучи обычными классическими решениями в супергравитациях, они могут быть изучены классическими методами, то есть они позволяют с помощью классических методов получать непертурбативную информацию о теории суперструн. Также построение гипербранных решений важно для изучения дуальностей между различными теориями суперструн. Именно существование таких дуальностей подтверждает предположение о том, что пять известных теорий суперструн являются различными проявлениями (разными точками пространства модулей) единой теории, называемой М-теорией [60, 84]. Используя связи между различными гипербранными решениями, можно проверить дуальности на классическом уровне. Сложно переоценить ту роль, какую играют гипербранные решения в физике черных дыр. Одним из наиболее важных достижений в этой области является микроскопическое объяснение энтропии черных дыр [29, 59, 92]. Черные дыры рассматриваются как компактифицированные конфигурации гипер-бран, причем подсчет числа микросостояний таких гипербран позволяет вывести известную формулу энтропии Бекенштейна-Хоукинга.

Еще одним замечательным достижением дуального подхода явилось выдвижение гипотезы о так называемом AdS/CFT соответствии [50, 69, 101]. Это соответствие открывает путь к изучению калибровочных теорий с группой SU(N) в пределе больших N через анализ супергравитации на пространстве Анти-де Ситтера (AdS). Наиболее важным и наиболее изученным примером здесь является соответствие между четырехмерной N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса и ИВ супергравитацией на пространстве AdSs х S5. Замечательной особенностью AdS/CFT соответствия является то, что оно позволяет получать информацию о поведении калибровочной теории в пределе сильной связи, где не применимы стандартные методы теории возмущения.

Рассмотрим чуть более подробно те соображения, которые свидетельствуют в пользу справедливости AdS/CFT соответствия. Как уже отмечалось, теория струн типа IIB содержит два типа объектов - обычные замкнутые струны (представляющие из себя возбуждения тривиального вакуума теории) и D-браны, возбуждения которых описываются с помощью дирихле-струн. В теории имеется два параметра - параметр натяжения струны а и струнная константа связи gs. В низкоэнергетическом пределе а —» 0 возбужденными могут быть только безмассовые струнные состояния. Такими состояниями пертурбативных замкнутых струн являются состояния из гравитационного мультиплета десятимерной IIB супергравитации. Открытые дирихле-струны в низкоэнергетическом пределе описываются векторным супермультиплетом J\f = 4, D = 4 теории Янга-Миллса. До перехода к низкоэнергетическому пределу описанные безмассовые муль-типлеты взаимодействуют между собой (это происходит, очевидно, за счет взаимодействия между замкнутыми струнами и дирихле-струнами). Однако, как впервые было замечено в [69], в пределе а —> 0 это взаимодействие исчезает, в результате чего остается свободная супергравитация и самовзаимодействующая теория Янга-Миллса. С другой стороны, как уже отмечалось, конфигурация струн и D-бран допускает рассмотрение с другой, супергравитационной точки зрения. Можно считать, что замкнутые струны взаимодействуют не с открытыми дирихле-струнами, а с искривленным, за счет присутствия D-браны, гравитационным фоном. Этот фон описывается с помощью стандартной метрики, причем эта метрика представляет из себя гипербранное решение уравнений супергравитации. Как было показано в [69], низкоэнергетический предел эквивалентен переходу в область горизонта супергравитационного решения, где рассматриваемый гравитационный фон имеет структуру AdSs х S5 (здесь AdS$ обозначает пятимерное пространство Анти-де Ситтера, S5 - пятимерная сфера). Таким образом, из эквивалентности двух различных описаний низкоэнергетического предела следует, что теория супергравитации на пространстве AdS$ х S5 эквивалентна конформной N — 4, D — 4 теории Янга-Миллса. Это и есть базовое утверждение AdS/CFT соответствия. К сожалению, пока не существует строгого доказательства справедливости этого соответствия, хотя большое количество обнаруженных совпадений свидетельствует о том, что соответствие действительно имеет место. Одной из проверок AdS/CFT соответствия посвящена глава 2 данной диссертации.

Как было обнаружено совсем недавно, в теории струн естественно возникают не только обычные калибровочные теории, но также и калибровочные теории, определенные на некоммутативном пространстве. Интерес к подобного рода обобщениям возникал в связи с надеждой создания на основе некоммутативности квантовой теории поля без расходимостей, а также в контексте построения калибровочных теорий с квантовыми группами [7, 61]. Ключевым моментом в появлении некоммутативности в теории струн является тот факт, что координаты открытых струн, закрепленные на гипербране, в присутствии ненулевого В-поля 2-формы из NS-NS сектоpa перестают коммутировать друг с другом [87]. В результате низкоэнергетическое действие для гипербраны становится ничем иным, как действием некоммутативной теории поля, в частности, действием некоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса [85, 87]. Однако, как и при изучении квантовых теорий поля на коммутативном пространстве, встает вопрос о том, насколько такая теория хорошо определена, то есть является ли она внутренне согласованной на квантовом уровне (перенормируемой и унитарной). С этой точки зрения исследование некоммутативных теорий весьма нетривиально, поскольку с одной стороны, все такие теории являются нелокальными (их действие содержит производные сколь угодно высокого порядка), а с другой стороны, содержат новый размерный параметр - параметр некоммутативности вмг,. Каждое из этих обстоятельств может разрушить как перенормируемость, так и унитарность некоммутативного аналога хорошо определенной коммутативной квантовой теории. Действительно, как было показано в работах [48, 86] пространственно-временная некоммутативность (вог ф 0) приводит к неунитарным теориям, в то время как некоммутативность только пространственных координат сохраняет унитарность. Перенормируемость некоммутативных теорий требует отдельного анализа.

Ответ на вопрос, является ли данная некоммутативная теория перенормируемой или нет, главным образом зависит от того, обобщением какой коммутативной теории она является. По аналогии с обычными теориями поля можно построить некоммутативные аналоги теории скалярного поля, калибровочного векторного поля, поля Дирака, а также различные теории взаимодействия этих полей. Теория некоммутативного скалярного поля с взаимодействием Ф4 рассматривалась в работах [8, 31, 42, 83]. В работе [9] было показано, что на двухпетлевом уровне эта теория является перенормируемой, а параметр некоммутативности 9 в этом порядке не получает квантовых поправок. Однако, за счет некоммутативности, в этой теории возникает эффект смешивания ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей, что, по всей видимости, свидетельствует об отсутствии внутренней согласованности этой теории. Аналогично некоммутативной теории скалярного поля, была рассмотрена чистая калибровочная теория с группой U(N) и было показано, что такая теория перенормируема на уровне одной петли [18, 49, 57]. Добавление фермионов к некоммутативной U(l) теории было изучено в [41, 88, 89]. В главе 3 данной диссертации содержится однопетлевой анализ некоммутативной теории комплексного скалярного поля, а также некоммутативной скалярной электродинамики и некоммутативной N — 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Диссертационная работа имеет следующую структуру.

Заключение между супергравитациями на пространстве Анти-де Ситтера и конформными теориями поля, определенными на его границе. Для этого было рассмотрено поле Рариты-Швингера, соответствующее конформным полям спина-3/2. В диссертации установлено, что супергравитационное действие с определенными граничными членами, вычисленное на решении уравнений движения поля Рариты-Швингера, действительно воспроизводит производящий функционал для конформных полей спина-3/2. Также найдена связь между массой поля Рариты-Швингера и конформными размерностями соответствующих ему операторов.

3. В диссертации рассмотрен целый ряд некоммутативных теорий поля, таких как теория некоммутативного комплексного поля, некоммутативная скалярная электродинамика, некоммутативная N = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса. Было показано, что эти теории перенормируемы в одной петле, что, однако, в теории одного скалярного поля и в скалярной электродинамике требует введения различных констант связи перед различными скалярными структурами. Более того, эти теории страдают от неинтегрируемых инфракрасных сингулярностей, которые возникают в результате UV/IR смешивания. Все эти проблемы отсутствуют в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих основных работах:

1. О. А. Рычков, Пересекающиеся экстремальные р-браны: их построение и свойства, Труды первой открытой научной конференции УНЦ ОИЯИ, Дубна, Россия (1997)

2. I. Ya. Aref'eva and О. A. Rytchkov, Incidence Matrix Description of Intersecting p-brane Solutions, Amer. Math. Soc. Transl. 201 (2000) 19

3. A. S. Koshelev and O. A. Rytchkov, Note on the Massive Rarita-Schwinger field in the AdS/CFT correspondence, Phys. Lett. В 450 (1999) 368, hep-th/9812238

4.1. Ya. Aref'eva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and O. A. Rytchkov, Renorma-lizability and UV/IR Mixing in Noncommutative Theories with Scalar Fields, Phys. Lett. B487 (2000) 357, а также частично представлены в следующих публикациях

1.1. Ya. Aref'eva, М. G. Ivanov, О. A. Rytchkov, Properties of Intersecting p-branes in Various Dimensions, Proceedings of the International Seminar "Super-symmetry and Quantum Field Theory", dedicated to D. V. Volkov, Kharkov, Ukraine (1997) in Lecture Notes in Physics, Springer, 1998

2. D. V. Gal'tsov, 0. A. Rytchkov, Harmonic non-supersymmetric branes, Proceedings of the Second International Conference "Quantum field theory and gravity", Tomsk, Russia (1997)

3. I. Ya. Aref eva, P. B. Medvedev, O. A. Rytchkov and I. V. Volovich, Chaos in DO-brane Dynamics, Banach Center Publications, Vol.43, p.41 (1998)

4.1. Ya. Aref eva, P. B. Medvedev, O. A. Rytchkov and I. V. Volovich, Chaos in M(atrix) Theory, Chaos, Solitons к Fractals, Vol.10 (1999) pp. 213-223

5. D. V. Gal'tsov, O. A. Rytchkov, Generating branes via sigma models, Phys. Rev. D58 122001 (1998)

6. I. Ya. Aref'eva, M. G. Ivanov, O. A. Rytchkov and I. V. Volovich, Non-extremal localized branes and vacuum solutions in M-theory, Class. Quant. Grav. 15 (1998) 2923

7. О. А. Рычков, Хаотическое поведение динамических систем в М-теории Труды Второй Открытой Научной Конференции УНЦ ОИЯИ, Дубна, Россия (1998)

8. О. A. Rytchkov, Localised p-branes in Supergravities and M-Theory, Proceedings of the 10th International Seminar "Quarks-98", Suzdal, Russia (1998)

9. 0. A. Rytchkov, Massive Rarita-Schwinger Field in the AdS/CFT corres pondence, Proceedings of the 14th International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Издательство МГУ, Москва (1999).

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела квантовой теории поля Математического института им. В. А. Стеклова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, а также на следующих научных конференциях:

1. Первая открытая научная конференция молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 24-26 февраля 1997 г.

2. Вторая открытая научная конференция молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 2-6 марта 1998 г.

3. Конференция по суперпятибранам и физике в 5+1 измерении, Триест, Италия, 1-3 апреля 1998 г.

4. Международный семинар "Кварки-98", Россия, 18-24 мая 1998 г.

5. XI Международная конференция "Проблемы квантовой теории поля", Россия, 13-17 июля 1998 г.

6. Третья открытая научная конференция молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 15-19 февраля 1999 г.

7. XIV Международный семинар по физике высоких энергий и квантовой теории поля, Россия, 27 мая - 2 июня 1999 г.

8. Международный семинар "Кварки-2000", Россия, 15-22 мая 2000 г.

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела квантовой теории поля Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения.

Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя И. Я. Арефьеву за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, П. Б. Медведева за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, а также А. С. Кошелева и Д. М. Белова, в соавторстве с которыми получен ряд результатов диссертации.