Дуальность между квантовыми калибровочными теориями и теорией суперструн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1. Амплитуды Рассеяния в б^К8 Суперсимметричной Сигма-Модели 13 1.1 Свободная б^Ы8 суперсимметричная неабелева сигма-модель

1.2 Асимптотические состояния неабелевой сигма-модели.

1.3 Б-матричный элемент.

1.4 Корреляционные функции.

1.5 Амплитуды рассеяния.

1.6 Кинематические факторы.

1.6.1 вектор+вектор —> фермион+фермион.

1.6.2 вектор+фермион —> вектор+фермион.

1.6.3 фермион+фермион —» фермион+фермион

2. Массивное Симметрическое Тензорное Поле на Пространстве Анти де-Ситтера

2.1 Пространство Анти де-Ситтера.

2.2 Уравнения Движения.

2.3 Двухточечная Функция Грина.

Теория суперструн - это современный вариант единой теории фундаментальных взаимодействий, получившая всеобщее признание в 1984-85 гг., во время первой "суперструнной революции"[1]. Поворотным пунктом в развитии этой науки послужила знаменитая работа Майкла Грина и Джона Шварца 1984 г. о сокращении аномалий для выделенных калибровочных групп -после этой работы теория струн стала серьёзно рассматриваться как кандидат на единую теорию всех взаимодействий элементарных частиц. Вскоре были открыты новые теории суперструн, получившие название гетеротиче-ских струн, в которых присутствовали выделенные калибровочные группы. По окончании первой "суперструнной революции"оказалось, что существует пять суперструнных теорий, каждая из которых определяется в десятимерном пространстве-времени и имеет самосогласованное асимптотическое разложениями в пределе слабой связи.

В последующие годы было открыто много замечательных фактов в теории суперструн, однако особое внимание заслуживает работа Е.Виттена [2], в которой было показано, что некиральная теория замкнутых суперструн (теория НА) на самом деле является одиннадцатимерной, причём одиннадцатое измерение компактифицировано на окружность. Появление дополнительного измерения носит непертурбативный характер, и поскольку вся предыдущая деятельность в теории суперструн основывалась на теории возмущения, то естественно, ранее этот эффект обнаружен не был. Если принять во внимание, что теория струн типа ПА (некиральная) и типа ИВ (киральная) связаны соотношением дуальности, то следовательно в теории ИВ тоже присутствует одиннадцатое измерение. Таким образом возникла гипотеза существования непертурбативной фундаментальной квантовой теории в одиннадцатимерном пространстве-времени, объединяющей все суперструнные теории, и получившей название М-теории [2, 3, 4].

Особое внимание, прикованное к теории суперструн/М-теории в последние несколько лет, связано с открытием глубокой взаимосвязи между квантовыми калибровочными теориями и теориями супергравитаций. Отправным пунктов в понимании описанной взаимосвязи послужило открытие в спектре теории суперструн/М-теории целого класса солитоноподобных объектов, которые получили название Бр-бран [5]. С геометрической точки зрения, Бр-брана представляет собой р-мерный протяжённый объект, эволюционирующий в 9 Н- 1-мерном пространстве-времени. Динамика Бр-бран описывается в терминах открытых суперструн, концы которых могут распространяться только вдоль поверхности браны. Таким образом, на 9 — р из 10 координат, перпендикулярных к поверхности, заметаемой браной в пространстве-времени, накладываются условия Дирихле, что объясняет появление буквы Б (БшсЫе^ в их названии.

Низкоэнергетические теории Бр-бран в плоском пространстве-времени описывается суперсимметричными калибровочными теориями, заданными на их поверхностях. Данное обстоятельство объясняется тем, что безмассовый спектр открытых струн совпадает со спектром максимально суперсимметричной калибровочной теории с группой £/(1) в р + 1 измерении. При этом 9 — р безмассовых скалярных полей в супермультиплете описывают поперечные возбуждения Бр-браны. В случае, когда спектр содержит N параллельных Бр-бран, низкоэнергетическая теория становится неабелевой и описывается максимально суперсимметричной калибровочной теорией с группой и (К) [6]. Таким образом, пространство состояний N Бр-бран можно описывать как в терминах суперсимметричных и(Ы) калибровочных теорий, так и в терминах определённых струнных конфигураций, низкоэнергетическим пределом которых является теория супергравитации.

Двойственное описание Др-бран позволило получить кривую Зайберга

Виттена, задающую непертурбативное низкоэнергетическое действие четырехмерной N=2 теории Янга-Миллса, путём рассмотрения определенных конфигураций бран в теории струн типа ПА [7]. Аналогично, пространство модулей монопольных и инстантонных решений в калибровочных теориях получило интерпретацию в терминах определённых конфигураций 1>р-бран, присутствующих в теории типа ПВ [8]. Отметим, что параметрам калибровочной теории таким как константа связи, вакуумные средние полей Хиггса, сопоставляются параметры конфигураций из 1)р-бран, имеющие чисто геометрический смысл, как например расстояния между .Ор-бранами. В результате, такие явления в калибровочных теориях, как фазовые переходы, спонтанное нарушение симметрии и туннелирование находят геометрическое описание в теории струн.

Возможность интерпретировать состояния Вр-бран в терминах суперсимметричных калибровочных теорий также имеет большое значение и для исследования самой М-теории. Действительно, согласно гипотезе [9] М-теория может быть определена в виде предела N оо суперсимметричной квантовой теории N Х)0-бран (.ОО-частиц). Данное предположение основывалось на том наблюдении, что гильбертово пространство N Х)0-частиц в пределе больших N содержит вторично квантованное пространство Фока М-теории. Поскольку компактификация 1)0-частиц даёт суперсимметричную Л/" = 8 теорию Янга-Миллса в двумерном пространстве-времени [10], то в пределе больших N N — 8 теория Янга-Миллса эквивалентна М-теории, компактифицированной на окружность, т.е. теории суперструн типа ПА [11, 12, 13]. Отметим, что константы связи Л/" = 8 калибровочной теории дум и теории суперструн д3 удовлетворяют соотношению дуальности: ду2м = а'д^ гДе ~ параметр натяжения струны. Основным аргументом в пользу представленной дуальности является то наблюдение, что в инфракрасной точке, то есть в пределе сильной связи, калибровочная теория описывается сигмамоделью, гильбертово пространство которой, как известно [14], включает в пределе больших N пространство Фока свободной вторично квантованной суперструны типа НА. Основываясь на этом наблюдении, было высказано предположение [13], что в первом порядке струнная динамика определяется б^Ы8 неабелевой сигма-моделью, возмущённой вершинным оператором, описывающим элементарные процессы слияния и расщепления струн. С точки зрения калибровочной теории этот оператор отвечает частичному восстановлению и(А/") калибровочной симметрии. Явный вид этого оператора был определён в [13], где было показано, что он воспроизводит картину взаимодействия струн в калибровке светового конуса и сохраняет пространственно-временную суперсимметрию.

Заключение

В заключение еще раз перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Вычислены все четырёх-частичные амплитуды рассеяния безмассового сектора возмущённой SNR8 неабелевой сигма модели и продемонстрировано их совпадение с соответствующим им амплитудами теории суперструн. Получено подтверждение предположение дуальности между суперсимметричной N = 8 теории Янга-Миллса в пределе сильной связи и теорией суперструн в пределе слабой связи. Показано, что амплитуды рассеяния обладают Лоренц инвариантностью в пределе больших N. Использованный формализм может быть применён для вычисления амплитуд рассеяния бозонных, гетеротиче-ских и ИВ струн.

2. Подтверждена гипотеза AdS/CFT соответствия между теорией суперструн и квантовой калибровочной теорией на примере массивного симметрического тензорного поля второго ранга. Вычислено эффективное действие для данного поля в квадратичном приближении в виде функционала от граничного значения поля. Установлено, что найденное действие правильно воспроизводит двухточечную функцию Грина композитного калибровочно- инвариантного оператора спина 2, соответствующего массивному тензорному полю в теории супергравитации. Также найдена связь между массой данного поля и конформной размерностью соответствующего оператора.

Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих основных работах:

1. G. Arutyunov, S. Frolov, and A. Polishchuk, On Lorentz invariance and supersymmetry of four particle scattering amplitudes in SNR8 orbifold sigma model, Phys.Rev. D60 (1999) 066003

2. Aleksey Polishchuk, Massive symmetric tensor field on AdS, JHEP 9907 (1999) 007

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинаре отдела квантовой теории поля Математического института им. В. А. Стеклова РАН, а также были частично представлены на международной научной конференции "Струны '99", Потсдам, Германия, 19-24 июля 1999 г.

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела квантовой теории поля Математического института им. В. А. Стеклова.

Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя А. А. Слав-нова, а также С. А. Фролова и Г. Э. Арутюнова, в соавторстве с которыми получены результаты диссертации.

1. M . Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн. - М.: Мир, 1990

2. E.Witten, Nucl.Phys. В443 (1995) 85.

3. Hull and P. Townsend, Unity of Superstring Dualities, Nucl. Phys. B438(1995) 109, hep-th/9410167

4. J. H. Schwarz, The Power of M Theory, Phys. Lett. B367 (1996) 97, hepth/9510086; J. H. Schwarz, Lectures on Superstring and M Theory Duahties, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 55B (1997) 1, hep-th/9607201.

5. J. Polchinski, String Theory, Cambridge, U K (1998)

6. E. Witten, String Theory Dynamics in Various Dimensions, Nucl. Phys. B443(1995) 85, hep-th/9503124

7. E. Witten, Solutions of Four-dimensional Field Theories via M-theory, Nucl.Phys. B500 (1997) 3

8. Duiliu-Emanuel Diaconescu, D-branes, Monopoles and Nahm Equations,Nucl.Phys. B503 (1997) 220-238

9. T.Banks, W.Fischler, S.H.Shenker, and L.Susskind, Phys. Rev. D55 (1997)5112, hep-th/9610043.

10. W.Taylor, Phys. Lett. B394 (1997) 283, hep-th/9611042.

11. L.Motl, "Proposals on Nonperturbative Superstring Interactions," hepth/9701025.

12. T.Banks and N.Seiberg, Nucl.Phys. В49Г (1997) 41, hep-th/9702187.

13. R.Dijkgraaf, E.Verlinde and H.Verhnde, Nucl.Phys. B500 (1997) 43, hepth/9703030.

14. R.Dijkgraaf, G.Moore, E.Verlinde and H.Verlinde, Comm. Math. Phys. 185(1997) 197, hep-th/9608096.

15. J.H. Schwarz, Phys. Reports 89 (1982) 223.

16. G.Arutyunov and S.Frolov, NucLPhys. B524 (1998) 159-206, hepth/9712061.

17. J. Maldacena, The Large N Limit of Superconformal Field Theories andSupergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231, hep-th/9711200.

18. S. S. Gubser, L R. Klebanov and A . M . Polyakov, Gauge TheoryCorrelators from Non-critical String Theory, Phys. Lett. B428 (1998) 105, hep-th/9802109.

19. E. Witten, Anti De Sitter Space and Holography, Adv. Theor. Math. Phys.2 (1998) 253, hep-th/9802150.

20. L.Dixon, J.A.Harvey, C.Vafa and E.Witten, Nucl.Phys. B261 (1985) 678.

21. L.Dixon, J.A.Harvey, C.Vafa and E.Witten, Nucl.Phys. B274 (1986) 285.

22. A.A.Belavin, A.M.Polyakov and A.B.Zamolodchikov, Nucl.Phys. B241(1984) 333.

23. E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 335.

24. D. Z. Freedman, S. D. Mathur, A . Matusis and L. Rastelh, Correlationfunctions in the CFTd/AdSd+i correspondence, Nucl. Phys. B546 (1999) 96, hep-th/9804058.

26. W. Muck and K. S. Viswanathan, Conformal Field Theory Correlators fromClassical Scalar Field Theory on AdSd+i, Phys. Rev. D58 (1998) 041901, hep-th/9804035.

27. L. Chekhov, A d S / C F T correspondence on torus , hep-th/9811146.

28. G. Chalmers, H. Nastase, K. Schalm and R. Siebelink, R-current correlatorsin A/" = 4 super Yang-Mills theory from anti-de Sitter supergravity, Nucl. Phys. B540 (1999) 247, hep-th/9805105.

29. W. Muck and K. S. Viswanathan, Conformal Field Theory Correlators fromClassical Field Theory on Anti-de Sitter Space II. Vector and Spinor Fields, Phys. Rev. D58

31. P. Matlock and K.S. Viswanathan, The A d S / C F T correspondence forthe massive Rarita-Schwinger field, Phys.Rev. D61 (2000) 026002 hepth/9906077.

32. G. E. Arutyunov and S. A . Frolov, Antisymmetric tensor field on AdS^, Phys.1.tt. B441 (1998) 173, hep-th/9807046.

33. W.S. I 'Yi, Generating functionals of correlation functions of p-form currentsin A d S / C F T correspondence, hep-th/9809132.

34. W.S. I 'Yi, Correlators of currents corresponding to the massive p-form fieldin A d S / C F T correspondence, Phys. Lett. B448 (1999) 218, hep-th/9811097.

35. P. Minces and V . O . Rivelles, Chern-Simons theories in the AdS/CFTcorrespondence, Phys.Lett. B455 (1999) 147, hep-th/9902123.

37. W. Muck and K . S. Viswanathan, The Graviten in the AdS-CFTcorrespondence: Solution via the Dirichlet boundary value problem, hepth/9810151.

38. H. J. Kim, L. J. Romans and P. van Nieuwenhuizen, Mass spectrum of chiralten-dimensional N = 2 supergravity on S^, Phys. Rev. D32 (1985) 389.

39. I.L. Buchbinder, V .A . Krykhtin and V.D. Pershin, On consistent equations ofmotion for massive spin-2 field coupled to gravity in string theory, Phys.Lett. B466 (1999) 216, hep-th/9908028.

40. И. C. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов ипроизведений. - М. Издательство физико-математической литературы, 1962

41. I.M. Gel'fand and G.E. Shilov, Generahzed functions, 1st vol., 1959.

42. G. E. Arutyunov and S. A . Frolov, Quadratic action for type IIB supergravityon AdS5 X S\ JHEP 9908 (1999) 024, hep-th/9811106

43. G. M . Sotkov and R. P. Zaikov, Conformal invariant two and three-pointfunctions for fields with arbitrary spin, Rept. on Math. Phys. 12 (1977) 375.

44. L.Dixon, D.Friedan, E.Martinec and S.Shenker, Nucl.Phys. B282 (1987) 13.

45. D.Friedan, E.Martinec and S.Shenker, Nucl.Phys. B271 (1986) 93.

46. G.Arutyunov and S.Frolov, Theor.Math.Phys. 114 (1) (1998) 56, hepth/9708129.

47. A. Hanany and E. Witten, Type IIB Superstrings, BPS Monopoles, andThree-Dimensional Gauge Dynamics, Nucl. Phys. B492 (1997) 152, hepth/9611230

48. C. Callan and J . Maldacena, D-brane Approach to Black Hole QuantumMechanics, Nucl. Phys. B472 (1996) 591, hep-th/9602043

49. G. T. Horowitz, The Origin of Black Hole Entropy in String Theory, gr-qc/9604051

50. A. Strominger and C. Vafa, Microscopic Origin of the Bekenstein-HawkingEntropy, Phys. Lett. B379 (1996) 99, hep-th/9601029

52. N . Seiberg, E. Witten, Monopole Condensation, And Confinement In N=2Supersymmetric Yang-MiUs Theory, Nucl.Phys. B426 (1994) 19; Erratumibid. B430 (1994) 485, hep-th/9407087

53. N . Seiberg, E. Witten, Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breakingin N=2 Supersymmetric QCD, Nucl.Phys. B431 (1994) 484, hep-th/9408099

54. H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей.- М.: Наука, 1984

55. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей. - М.: Наука, 1988

56. В. Владимиров, Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976

57. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев, Интегралы и ряды,том 3. - М.: Наука, 1985

58. S. J. Gates, М. Т. Grisaru, М. Rocek, W. Siegel Superspace or One Thousandand One Lesson in Supersymmetry, The Benjamin/Cummings PubHshing Company, 1983