Классические решения в моделях некоммутативной теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

Сибиряков Сергей Михайлович

Классические решения в моделях некоммутативной

теории поля

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

-ч

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Направахрукописи

Сибиряков Сергей Михайлович

Классические решения в моделях некоммутативной

теории поля

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Института ядерных исследований Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

академик РАН В. А. Рубаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И. Я. Арефьева

доктор физико-математических наук А. С. Горский

Ведущая организация:

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

Защита диссертации состоится « »_2004 г. в

_час. на заседании Диссертационного совета Д 002.119.01 Института ядерных исследований РАН (117312 Москва, проспект 60-летия Октября, дом 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядерных исследований РАН.

Автореферат разослан « »_2004 г.

Ученый секретарь Совета

кандидат физико-математических наук

Б. А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последнее время теории поля на некоммутативных пространствах привлекли к себе значительный интерес. Этот интерес обусловлен несколькими причинами. Одной из них является уверенность в том, что на малых расстояниях представление о пространстве-времени должно быть заменено некоторой новой концепцией. На это указывает, в частности, невозможность измерения координат частицы в квантовой гравитации с неопределенностью меньше планковской длины: импульс и энергия, которые необходимо было бы передать частице при измерении с большей точностью привели бы к образованию вокруг нее горизонта событий, что сделало бы невозможным само наблюдение. Пространства с нскоммутирующими координатами, впервые предложенные в 1940-х годах в работах Маркова и Снайдера, предоставляют модель такой модификации понятия пространства-времени.

Другой причиной интереса к некоммутативным теориям поля является то, что они по своей природе нелокальны. Более того, в некоммутативных калибровочных теориях группа калибровочных преобразований содержит некоторые диффеоморфизмы. Ожидается, что и не локальность, и инвариантность по отношению к диффеоморфизмам присущи квантовой гравитации, поэтому можно надеяться приобрести некоторое понимание вопросов, связанных с квантовой гравитацией, используя некоммутативные теории в качестве моделей (упомянем, что некоммутативные теории проще в том смысле, что в них нелокальность присутствует уже на классическом уровне). Эта надежда подкрепляется указанной в работах Конна, Дугласа и Шварца, Дугласа и Халла, Шомеруса, Зайберга и Виттена (1998-99 гг.) связью некоммутативных калибровочных теорий с

теорией струн и М-теорией.

Одним из проявлений упомянутой связи является то, что свойства со-литонов в некоммутативных калибровочных теориях совпадают со свойствами D-бран — объектов теории струн, локализующих на своей мировой поверхности концы открытых струн. В некоммутативных теориях этому соответствует локализация калибровочных полей на солитонах. Более точно: последние несут на своей мировой поверхности калибровочную симметрию и(т). Если эта симметрия не нарушена, заряженные относительно нее поля материи и калибровочные поля строго локализованы на солитоне. Благодаря этому свойству некоммутативные солито-ны представляют интерес с точки зрения построения теорий физики частиц, выходящих за рамки Стандартной модели. Одним из направлений в этой области, получивших заметное развитие в последнее время, являются модели, в которых наблюдаемое четырехмерное пространство-время рассматривается как гиперповерхность (брана), погруженная в объемлющее пространство большей размерности. При этом, поля материи предполагаются локализованными на бране, так что размер дополнительных измерений может быть большим или даже бесконечным. Именно такая локализация возникает в некоммутативных калибровочных теориях при рассмотрении в качестве браны некоммутативного солитона. Заметим, что на данный момент это единственная известная теоретико-полевая модель браны, локализующей на своей мировой поверхности неабелевы калибровочные поля в режиме слабой связи.

С другой стороны, общим свойством многих моделей с большими дополнительными измерениями является не полная локализация, а квазилокализация состояний на бране. Частицы могут быть не прикреплены к

бране навсегда, а иметь конечную, хотя и малую, вероятность уйти в дополнительные измерения. Это явление может происходить даже при низких энергиях при условии, что моды, живущие в объеме, имеют непрерывный спектр, начинающийся с нулевой энергии, и существует смешивание между модами, живущими на бране, и непрерывным спектром. Очевидно, такая возможность представляет интерес как для феноменологии, так и для самой теории бран.

Существование квазилокализовапных частиц ставит вопрос о применимости эффективного четырехмерного описания в моделях "мира на бране". Действительно, такое описание не может быть полным: исчезновение частиц с браны приводит к несохранению четырехмерной энергии. Возникает вопрос, как последний процесс выглядит с точки зрения четырехмерного наблюдателя. Решение этого вопроса должно учитывать гравитацию, поскольку именно она непосредственно взаимодействует с энергией-импульсом. К сожалению, на сегодня не известно способа объединить некоммутативные калибровочные теории с гравитацией. Поэтому для решения поставленной проблемы приходится прибегнуть к модельной задаче в контексте сценария, предложенного в 1999 г. Рэндалл и Сандрумом. В этой модели происходит локализация гравитации в следующем смысле: гравитационное взаимодействие частиц, живущих на бране, описывается при низких энергиях эффективной четырехмерной теорией. В связи с этим представляет интерес вопрос о том, применимо ли четырехмерное описание к гравитационному полю частицы, уходящей с браны в объем.

В диссертации изучается квазилокализация состояний на солитонах в некоммутативных калибровочных теориях, и на примере гравитаци-

онного поля частицы, уходящей с браны в объем в модели Рэндалл и Сандрума, исследуется применимость эффективной четырехмерной теории для описания явления квазилокализации.

Нелокальность некоммутативных теорий приводит к тому, что их свойства во многом определяются глобальной топологией пространства, на котором они заданы. Наиболее изученным примером некоммутативной теории ноля является теория на некоммутативной плоскости (в более общем случае, на некоммутативном пространстве Ri/). Для калибровочной теории на некоммутативной плоскости Аганаджичем, Гопакумаром, Минваллой, Стреминджером и параллельно Харви, Краусом и Ларсе-ном в 2000 г. был предложен метод генерации решений, позволяющий получать точные солитонные конфигурации. В этом методе используются операторы частичной изометрии — элементы алгебры Ар функций на некоммутативной плоскости со следующими свойствами:

¿У = 1, = 1 - Р ,

где Р — проектор. На формалыю-алгебраическом языке метод генерации решений тесно связан с наличием изоморфизма между свободным модулем над алгеброй Ар и прямой суммой фоковского модуля

(который суть не что иное, как гильбертово пространство состояний квантового гармонического осциллятора) и свободного модуля.

Другим хорошо изученным примером некоммутативного пространства является некоммутативный тор. В соответствующей калибровочной теории построить солитон в терминах связности на алгебре Ат функций на некоммутативном торе оказывается затруднительно (насколько нам известно, к настоящему времени не построено ни одного явного со-литонного решения). Построить солитон по-прежнему удается, если вос-

принимать его как связность на , прямой сумме фоковского и

свободного модулей. Этот подход позволяет вычислить спектр малых возмущений вокруг солитона, который согласуется со спектром струн на фоне системы D0-D2 бран, компактифицированной на тор. Однако, вследствие того, что и не изоморфны, связность на

не индуцирует связность на свободном модуле , и метод генерации решений не может быть сформулирован.

Промежуточное положение между плоскостью и тором по топологическим характеристикам занимает цилиндр. В этой связи интересен вопрос о возможности формулировки метода генерации решений в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре. Исследованию этого вопроса посвящена одна из частей диссертации.

Гроссом и Некрасовым в 2001 г. было отмечено следующее необычное свойство калибровочной теории на некоммутативной плоскости. Рассмотрим ЩЩ калибровочную теорию с некоторым N. Тогда, для любого натурального /С в этой теории существует вакуум, такой что теория над этим вакуумом совпадает с и(К) калибровочной теорией над тривиальным вакуумом. Следует отметить, что различие калибровочных групп теорий над разными вакуумами не может быть интерпретировано как механизм Хиггса: действие в окрестности ^ого вакуума содержит только калибровочные поля и(Щ) и не содержит дополнительных массивных векторных бозонов или полей Хиггса. В случае некоммутативного тора описанное выше свойство отсутствует.

В диссертации это исследовано, обладает ли этим свойством теория на некоммутативном цилиндре.

Интерпретация описанного свойства, данная Гроссом и Некрасовым

для случая теории Янга - Миллса на плоскости состоит в том, что число цветов N является параметром суперотбора, нумерующим различные сектора в квантовом гильбертовом пространстве некоммутативной калибровочной теории. Возникает вопрос о том, существуют ли теории, в которых вакуумы с различными калибровочными группами определяют разные фазы одной и той же теории. В этом случае должны существовать конфигурации типа доменных стенок, разделяющих разные вакуумы. Исследование таких теорий и, в частности, доменных стенок представляет значительный интерес. Можно надеяться, что оно прольет новый свет на динамику обычных калибровочных теорий, возникающих из различных фаз в коммутативном пределе.

Задачей диссертации является изучение некоммутативных калибровочных теорий, в которых существуют доменные стенки, разделяющих вакуумы с различными калибровочными группами, исследование свойств этих доменных стенок, а также выяснение связи таких теорий с матричной моделью М-теории.

Цель работы состоит в исследовании явления квазилокализации состояний на некоммутативных калибровочных солитонах, в выяснении следствий квазилокализации для сценария "мира на бране", в исследовании классических решений в теории Янга - Миллса на некоммутативном цилиндре, а также в изучении свойств доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с разными калибровочными группами в некоммутативных калибровочных теориях.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые исследовано явление квазилокализации состояний на некоммутативных солитонах. Разработан общий формализм для анализа этого явления. Та-

кой подход позволил сделать предсказания относительно общего характера квазилокализации калибровочной теории на бранс в фазе Хиггса в моделях "мира на бране", основанных на теории струн.

Впервые вычислено гравитационное поле частицы, уходящей с браны в модели Рэндалл и Сандрума. Результаты этого вычисления позволяют сделать вывод о неполноте эффективного четырехмерного описания даже при низких энергиях в моделях "мира на бране" с квазилокализо-ванными полями.

Новым является построение полного набора проекторов й операторов частичной изометрии в алгебре функций на некоммутативном цилиндре. С их помощью сформулирован метод генерации решений в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре. Впервые указано на изоморфизм калибровочных теорий с унитарными группами различного ранга на некоммутативном цилиндре.

Впервые предложены некоммутативные калибровочные теории, в которых существуют стабильные решения в виде доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с разными калибровочными группами. Продемонстрировано, что такие теории возникают из матричной модели М-теории в широком классе внешних полей.

Из существования доменных стенок, разделяющих области с разными калибровочными вакуумами, следует, что некоммутативные калибровочные теории с различными группами могут быть фазами одной и той же теории. В частности, ранг калибровочной группы может динамически изменяться в пространстве и времени. Исследование свойств доменных стенок показало, что взаимодействие между областями по разные стороны стенки не исчезает даже при низких энергиях — в коммутативном

пределе. Конфигурации такого типа являются новыми и могут быть использованы для исследования динамики калибровочных теорий.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах ИЯИ РАН, МИАН, ИТЭФ, DESY, CERN, Института теоретической физики в Лозанне и Мюнхенского университета, на Международном семинаре "Кварки-2002" (Новгород, 2002г.), Международной конференции "Современные тенденции в гравитации, космологии и физике частиц" (Тбилиси, Грузия, 2002г.), Международной школе "Частицы и космология" (Приэльбрусье, 2003г.) и Международной школе по физике частиц и космологии (Каржез, Франция, 2003г.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста и Заключения, содержит 147 страниц машинописного текста, в том числе 9 рисунков и список литературы из 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается связь некоммутативных теорий с теорией струн и М-теорией, дается общее описание локализации полей на некоммутативных калибровочных солитонах, обсуждаются особенности калибровочных теорий на пространствах с различной топологией и изоморфизм между некоммутативными калибровочными теориями с разными унитарными группами. Кратко изложено содержание диссертации.

В Главе 1, носящей вводный характер, изложена общая концепция некоммутативной теории поля и введен используемый в дальнейшем формализм. Подробно рассмотрен пример некоммутативной плоскости, ко-

ординаты которой подчиняются соотношению:

где * обозначает некоммутативное произведение, а в — параметр некоммутативности. Описано соответствие между функциями на плоскости и операторами в гильбертовом пространстве (отображение Вейля), позволяющее переформулировать некоммутативную теорию поля в виде матричной модели. Описан метод генерации решений в калибровочной теории на некоммутативной плоскости.

В Главе 2 исследовано явление квазилокализации полей на некоммутативных солитонах при спонтанном нарушении калибровочной симметрии на мировой поверхности солитона. Рассмотрены примеры такой квазилокализации и развит общий формализм для ее анализа. Исследована проблема неполноты эффективного четырехмерного описания для моделей "мира на бране" с квазилокализованными полями.

В разделе 2.1 рассмотрена калибровочная теория [/(1) с полем Хиггса в фундаментальном представлении в пространстве-времени с (р+1) коммутативными и 2 некоммутативными измерениями. В подразделе 2.1.1 описаны солитоны в этой модели, имеющие вид вихря в плоскости некоммутативных координат. Их свойства зависят от соотношения между параметром некоммутативности и вакуумным средним v поля Хиггса. При ву2 > 1 вихрь может быть получен при помощи метода генерации решений. При этом m-вихревое решение несет на своей мировой поверхности калибровочную теорию Щт). При вуг < 1 вихрь, получающийся методом генерации решений, становится нестабильным. Вместо него возникает другое решение, на мировой поверхности которого калибровочная теория находится в фазе Хиггса. Поля этой теории приобретают

массы порядка Наибольший интерес представ-

ляет режим малых значений параметра , когда масштаб нарушения калибровочной симметрии мал по сравнению с масштабом некоммутативности. Делокализации калибровочных полей и скаляра Хиггса в этом случае не происходит, поскольку моды этих полей, живущие в объеме, имеют спектр масс, отделенный от нуля щелью порядка V, и при низких энергиях могут быть отынтегрированы.

Для введения эффекта квазилокализации в подразделе 2.1.2 в модель добавлено дополнительное скалярное поле / в присоединенном представлении. В поле вихря с ненарушенной калибровочной группой низкоэнергетические моды этого поля распадаются на два сектора: моды, локализованные на солитоне, и моды, распространяющиеся по всему объему; спектр масс последних непрерывен и начинается с нуля. В подразделах 2.1.3, 2.1.4 показано, что при спонтанном нарушении симметрии происходит смешивание мод из этих секторов. В результате состояние, которое раньше было локализовано на солитоне, становится резонансом, погруженным в непрерывный спектр и имеющим ненулевую ширину относительно ухода в дополнительные измерения. В случае одновихревого решения эта ширина равна

Она много меньше массы резонанса ш/у/в, что позволяет говорить о квазилокализации соответствующего состояния. В случае вихря с несколькими намотками происходит дополнительное подавление ширин распада квазилокализованных мод поля , расположенных на диагонали (в матричном представлении квазилокализованного сектора поля , лежа-

щсго в алгебре и{т))\

Гос

ш4/+3

V»'

В разделе 2.2 рассмотрен общий случай некоммутативного калибровочного солитона, близкого в конфигурационном пространстве к со-литону, получающемуся методом генерации решений и локализующему на своей мировой поверхности некоторую калибровочную теорию. Предположено, что на рассматриваемом солитоне калибровочная симметрия спонтанно нарушена. Показано, что при этом возникают различные смешивания между полями па солитоне и модами, способными распространяться в объеме. Если спектр масс последних начинается с нуля, смешивание приводит к квазилокализации полей на солитоне. Отмечено, что если калибровочная группа на солитоне нарушена не полностью, смешивание полей, заряженных относительно ненарушенной симметрии, с модами из объема запрещено: такие поля остаются строго локализованы на солитоне.

Разработанный формализм использован для анализа в разделе 2.3 квазилокализации калибровочных полей на решениях инстантонного типа в некоммутативной теории Янга - Миллса в пространстве-времени с (р+1) коммутативными и 4 некоммутативными измерениями. Эти решения интересны с точки зрения теории струн, так как описывают систему Dp-D(p + 4) бран. В подразделах 2.3.1, 2.3.2 изучен случай одного ин-стантона. Показано, что калибровочная теория Ц/(1) на мировой поверхности инстантона малого, но ненулевого размерар (в единицах масштаба некоммутативности) находится в фазе Хиггса и квазилокализована. Масса и ширина калибровочного поля имеют вид:

ТП

V г _ тгуУ в ' уГв '

В подразделе 2.3.3 анализ распространен на случай двухинстантонного решения, на мировой поверхности которого квазилокализуется неабелева калибровочная теория и(2).

Раздел 2.4 посвящен исследованию применимости эффективного четырехмерного описания в модели Рэндалл и Сандрума для гравитационного поля, порождаемого на бране частицей, уходящей в объем. В подразделе 2.4.1 сформулированы линеаризованные уравнения гравитации для такой ситемы. Решение этих уравнений найдено в подразделе 2.4.2. Оно имеет вид сферической гравитационной волны на бране, расширяющейся со скоростью света. Перед фронтом волны метрика совпадает с метрикой покоящейся частицы, в области же за волной метрика плоская. Такая волна не подчиняется уравнениям четырехмерной гравитации, таким образом к ней неприменимо эффективное четырехмерное описание.

Глава 3 посвящена изучению калибровочной теории на некоммутативном цилиндре: формулировке метода генерации солитонных решений, исследованию свойств этих солитонов и построению изоморфизма между калибровочными теориями с группами различного ранга.

В разделе 3.1 алгебра Ас функций на некоммутативном цилиндре рассматривается как подалгебра алгебры функций на некоммутативной плоскости с координатами х и р, удовлетворяющих условию периодичности по координате х. После отображения Вейля это условие записывается на операторном языке следующим образом:

Ключевым для последующего анализа является построение в подразделе 3.1.1 базиса |п^) в гильбертовом пространстве, нумеруемого двумя

числами п = 0,1,2,..., m = О, ±1, ±2,... и обладающего свойством:

Использование этого базиса позволяет построить полный набор проекторов

Р, = ]Г|г,т)(т,г| (2)

в и операторы частичной изометрии

Я? = ]£|п,го)(т,п + »| • (3)

Существование полного набора проекторов (2) приводит к тому, что все проективные модули над алгеброй Ас (являющиеся некоммутативным аналогом векторных расслоений) распадаюгся в прямую сумму свободных и фоковских модулей. Эти модули и связности на них описаны в подразделе 3.1.2. Свободный модуль состоит просто из элементов алгебры , а фоковский модуль суть гильбертово пространство бра-векторов, натянутое на базис (т, п\, с действием на нем алгебры справа.

На прямой сумме фоковского и свободного модулей суще-

ствует каноническая связность постоянной кривизны, удовлетворяющая уравнениям теории Япга - Миллса на модуле Тс Ф Ас. Этот факг использован в разделе 3.2 для построения в явном виде солитона в теории Янга - Миллса на свободном модуле . Наличие операторов частичной итчстшга (3) позволяет установить изоморфизм между модулями Ас И

Тс® Ас-.

Тогда связность на свободном модуле Ас, соответствующая односоли-

тонному решению, дается формулой:

Этот метод может быть обобщен для нахождения многосолитонных решений.

В разделе 3.3 найден спектр флуктуаций над солитоном (4). Показано, что он совпадает со спектром открытых струн на фоне системы из DO-браны и D2-браны, компактифицированной по одному направлению.

В разделе 3.4 построен изоморфизм между модулями Ас И Ас — прямой суммой N свободных модулей. В случае N = 2 этот изоморфизм имеет вид:

Л : А 1-+ ЕА е О А ,

где

Е = ^Р|п,т)(т,2гг| , О - ]Р|п,т){т,2?г +1| .

т,п т,п

Калибровочная теория на модуле ^л Ас — это теория с группой U(J\T). Существование изоморфизма между Ас и Ас показывает, что все такие теории возникают как терии над разными вакуумами одной и той же теории.

Глава 4 посвящена исследованию теорий на размытом цилиндре и на плоскости, в которых существуют доменные стенки между различными калибровочными вакуумами. Изучены свойства таких доменных стенок, исследована их связь с матричной моделью М-теории.

В разделе 4.1 описана теория поля на размытом цилиндре. В подразделе 4.1.1 алгебра размытого цилиндра вводится изначально на операторном языке и затем описывается ее отображение в пространство

функций на цилиндре. Показано, что размытый цилиндр можно рассматривать как дискретизованную версию некоммутативного цилиндра, изученного в главе 2, с дискретной координатой I вдоль оси цилиндра. В подразделе 4.1.2 дана формулировка скалярной теории на размытом цилиндре и показано, что в коммутативном пределе она переходит в скалярную теорию на обычном цилиндре. Теория Янга - Миллса на размытом цилиндре сформулирована в подразделе 4.1.3. Ее коммутативный предел соответствует обычной теории Янга - Миллса на цилиндре, взаимодействующей со скалярным полем в присоединенном представлении. Это скалярное поле описывает радиальные колебания размытого цилиндра. Здесь же описаны вакуумы, соответствующие калибровочным теориям с группами различного ранга.

В разделе 4.2 обсуждаются топологические свойства конфигураций, интерполирующих между вакуумами с разными калибровочными группами. Показано, что в чистой теории Янга - Миллса такие конфигурации нестабильны. Для их стабилизации мы добавляем в действие калибровочно-инвариантное слагаемое, стабилизирующее радиус цилиндра. Это дает возможность получить ограничение типа БПС на энергию доменной стенки. Решения соответствующих уравнений найдены в явном виде. Их форма допускает наглядную геометрическую интерпретацию: доменная стенка между вакуумами с группами ЩМ1) и Щ^), N < N2 представляется как стопка из N — N2 бран в форме пробирки, вставленных в Я\ цилиндрических бран (см. Рис. 1, на котором изображена стенка между вакуумами Ц/(1) и и(2)). Энергия и ширина доменной стенки зависят от параметров модели таким образом, что в коммутативном пределе энергия стенки расходится в то время, как ее ширина остается постоянной.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация доменной стенки на размытом цилиндре: пробирка, вставленная в цилиндр.

В другом интересном пределе — пределе некоммутативной плоскости — энергия стенки расходится как куб радиуса цилиндра; это означает, что доменная стенка на размытом цилиндре не соответствует стенке конечного натяжения на некоммутативной плоскости.

В разделе 4.3 исследованы свойства простейшей стенки (Щ1) — и(2)) при помощи введения в ее поле пробных частиц. В подразделе 4.3.1 получены следующие результаты относительно спектра скалярного поля в присоединенном представлении во внешнем поле доменной стенки. В области г + имеются четыре моды, образующие присоединеное представление группы и(2). Три из этих мод отражаются от стенки, в то время как одна свободно распространяется в область г - . Замечательно, что последняя мода не отщепляется от других мод в области г + : в обозначениях и(2) она имеет вид (од) и взаимодействует с другими модами через калибровочные поля. Эти результаты могут быть непосредственно обобщены на случай доменной стенки (и(^) - и(М2)),

< М2 В этом случае имеется Л/? мод в присоединенном представлении группы и(Ы), свободно распространяющихся вдоль цилиндра, и (Л^ —Л/?) мод, отражающихся от доменной стенки. Аналогичные результаты получены в подразделе 4.3.2 для спектра пробного фермионного поля в фундаментальном представлении. Кроме того найдено, что домен-

Рис. 2. Геометрическая интерпретация доменной стенки на некоммутативной плоскости

ная стенка локализует киральную фермионную моду. Профиль этой моды калибровочно-инвариантен и может служить характеристикой формы доменной стенки.

В разделе 4.4 обсуждается, какие ингредиенты должны быть добавлены к теории Янга - Миллса на некоммутативной плоскости для того, чтобы в результирующей теории появились решения в виде доменных стенок, интерполирующих между областями с разными калибровочными вакуумами. По аналогии с геометрической интерпретацией доменных стенок на размытом цилиндре предположено, что стенки на плоскости должны иметь вид стопки из плоских Б-бран и Б-бран, сложенных пополам (см. Рис. 2). Отмечено, что вдалеке от вершины складки сложенная Б-брана выглядит, как пара из браны и антибраны. Показано, что для реализации таких конфигураций нужно позволить параметру некоммутативности изменяться в пространстве. Предложено ввести такое изменение посредством неминимальной связи скалярного поля ф в присоединенном представлении с калибровочными полями. В результате такого взаимодействия параметр некоммутативности определяется вакуумным средним скалярного поля. Мы рассматриваем случай, когда поле ф обладает потенциалом с двумя минимумами. Полное действие предложенной

модели в операторной записи имеет вид:

5 = I л ^ ^{¿(ад2+¿(ад2+¡Ш? - ^ (ФСП¿гСдаг.«- - ««- ^ - .

(5)

где X, У — ковариантные координаты. От действия обычной калибровочной теории на некоммутативной плоскости оно отличается лишь зависимостью эффективного параметра некоммутативности вф^ в первом члене второй строчки формулы (5) от поля ф.

Теория с действием (5) обладает набором вакуумов, нумеруемых двумя натуральными числами (Ы,М) и соответствующих стопкам из N бран и М антибран. Теория над (^ М)-вакуумом обладает калибровочной группой и(Ы) х и(М). Помимо калибровочных и скалярных полей, заряженных по каждой из этих групп в отдельности, в теории имеются бифундаментальные поля, заряженные одновременно по обеим группам, с лоренц-неинвариантным дисперсионным соотношением. Спектр энергий этих мод имеет вид спектра Ландау с циклотронной частотой порядка 1/0. В коммутативном пределе эти моды становятся тяжелыми и отщепляются.

В разделе 4.5 получено ограничение типа БПС на плотность энергии доменных стенок в модели (5), и найдены доменные стенки между вакуумами с группами и(М) x и(М) и U(N+K) х ЩМ+К) для произвольных N Ми К. В разделе 4.6 вычислен спектр пробного скалярного поля в присоединенном представлении во внешнем поле доменной стенки {и(1) - и(2) х и(1)). Это вычисление подтверждает геометрическую интерпретацию Рис. 2: в области х +оо спектр мод скалярного поля

совпадает со спектром над вакуумом из двух D-бран и одной антибраны, в то время как в области х — имеется лишь мода, соответствующая вакууму с одной D-браной. Так же, как и в случае доменной стенки на размытом цилиндре, эта мода свободно проникает сквозь стенку в область х + .

В разделе 4.7 показано, что доменные стенки между калибровочными теориями возникают как решения матричной модели М-теории в широком классе внешних полей типа рр-волн 11-мерной супер гравитации. Например, доменные стенки раздела 4.5 возникают в рр-волне, метрика и напряженность поля 3-формы в которой имеют вид:

со следующей функцией Н(х') и формой

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Показано, что поля калибровочных теорий на мировой поверхности не-коммутативных солитонов, соответствующих D-бранам внутри D-бран, делокализуются в фазе Хиггса. Разработан общий подход к анализу такой делокализации. Для скалярного поля на вихре и

калибровочного поля на инстантоне вычислены ширины по отношению к вылету с солитона в некоммутативные измерения. Показано, что при малой величине параметра нарушения калибровочной симметрии эти ширины малы по сравнению с массами полей, что позволяет говорить о квазилокализации последних.

2. Вычислено гравитационное поле частицы, уходящей с браны в объем в модели Рэндалл и Сандр ума. Показано, что оно имеет вид расширяющейся со скоростью света сферической гравитационной волны, оставляющей за собой плоское пространство. Эта волна не подчиняется уравнениям четырехмерной гравитации, что демонстрирует неполноту эффективной четырехмерной теории даже при низких энергиях в моделях "мира на бране" с квазилокализованиы-ми полями.

3. Построены операторы частичной изометрии и полный набор ортогональных проекторов в алгебре функций на некоммутативном цилиндре. Найден изоморфизм между свободным модулем над этой алгеброй и его прямой суммой с фоковским модулем.

4. Метод генерации решений, предложенный изначально для калибровочных теорий на некоммутативной плоскости, обобщен на случай некоммутативного цилиндра. С его помощью в явном виде построен солитон в теории Янга - Миллса на некоммутативном цилиндре и найден спектр малых возмущений над ним.

5. Показано, что калибровочная теория с группой ЩЩ на некоммутативном цилиндре обладает бесконечным набором вакуумов, таких, что теория над вакуумом с номером К эквивалентна теории и(К) над тривиальным вакуумом.

6. Построены доменные стенки в калибровочной теории на размытом цилиндре, разделяющие области с разными калибровочными теориями, отличающимися рангом калибровочной группы. Показано, что взаимодействие между областями по разные стороны стенки не исчезает даже в коммутативном пределе.

7. Предложена некоммутативная калибровочная теория на плоскости с динамически меняющимся параметром некоммутативности, в которой существуют доменные стенки между областями с разными калибровочными группами.

8. Показано, что доменные стенки между калибровочными теориями возникают в качестве решений матричной модели М-теории в широком классе внешних полей, имеющих форму рр-волн 11-мерной супергравитации с неоднородной напряженностью поля 3-формы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. R. Gregory, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Brane worlds: The gravity of escaping matter // -Class. Quant. Grav. -2000. -17. -p.4437-4450.

2. S. L. Dubovsky, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Quasi-localized states on noncommutative solitons // -JHEP. -2002. -01. -p.037.

3. S. L. Dubovsky, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Quasi-localized states on noncommutative solitons // In Proc. 12th International Seminar "Quarks-2002", Novgorod, Russia, June 1-7, 2002. -INR, Moscow. -2004.

4. С. В. Демидов, С. Л. Дубовский, В. А. Рубаков, С. М. Сибиряков. Солитоны в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре // -ТМФ. -2004. -138. -С.319-337.

5. S. L. Dubovsky, S. M. Sibiryakov. Domain walls between gauge theories // -Nucl. Phys. -2003. -B664. -p.407-438.

6. S. L. Dubovsky, S. M. Sibiryakov. Domain walls in noncommutative gauge theories, folded D- branes, and communication with mirror world // принято к печати в Nucl. Phys. B -hep-th/0401046.

Ф-т60x84/8. Уч.-изд.л.1,2 Зак. №21342 ТиражЮОэкз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук

117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Глава 1. Некоммутативная теория поля

Глава 2. Квазилокализация полей на некоммутативных солитонах. Некоторые следствия для сценария "мира на бране".

2.1 Квазилокализация на некоммутативном вихре.

2.1.1 Решения типа вихря.

2.1.2 Скаляр в присоединенном представлении.

2.1.3 Квазилокализация на одиночном вихре.

2.1.4 Случай вихря со многими намотками: иерархия ширин распада

2.2 Анализ по теории возмущений.

2.3 Квазилокализация на некоммутативном инстантоне.

2.3.1 Одноинстантонное решение.

2.3.2 Квазилокализация на одиночном инстантоне.

2.3.3 Случай многоинстантонного решения.

2.4 Мир на бране: гравитационное поле частицы, покидающей брану

2.4.1 Формулировка линеаризованной задачи.

2.4.2 Сферическая гравитационная волна.

Глава 3. Солитоны в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре

3.1 Некоммутативный цилиндр.

3.1.1 Алгебра, проекторы, операторы частичной изометрии.

3.1.2 Модули и эндоморфизмы на некоммутативном цилиндре.

3.2 Метод генерации решений на некоммутативном цилиндре.

3.3 Спектр флуктуаций.

3.4 Универсальность некоммутативной калибровочной теории на цилиндре

Глава 4. Доменные стенки между калибровочными теориями

4.1 Размытый цилиндр

4.1.1 Алгебра функций на размытом цилиндре.

4.1.2 Скалярное поле на размытом цилиндре.

4.1.3 Калибровочная теория на размытом цилиндре.

4.2 Доменная стенка на размытом цилиндре.

4.3 Скаляры и фермионы в поле доменной стенки.

4.3.1 Скаляр в присоединенном представлении.

4.3.2 Фермион в фундаментальном представлении.

4.4 Доменные стенки в некоммутативной калибровочной теории на плоскости: описание модели.

4.5 Решение уравнений: сложенные D-браны.

4.6 Пробные частицы в поле доменной стенки

4.7 Интерпретация доменных стенок в матричной модели.

В последнее время теории поля на некоммутативных пространствах привлекли к себе значительный интерес. Этот интерес обусловлен несколькими причинами. Одной из них является уверенность в том, что на малых расстояниях представление о пространстве-времени должно быть заменено некоторой новой концепцией. На это указывает, в частности, невозможность измерения координат частицы в квантовой гравитации с неопределенностью меньше план-ковской длины: импульс и энергия, которые необходимо было бы передать частице при измерении с большей точностью привели бы к образованию вокруг нее горизонта событий, что сделало бы невозможным само наблюдение [1]. Некоммутативные пространства предоставляют модель такой модификации понятия пространства-времени. При этом некоммутативность координат приводит к невозможности их одновременного измерения.

Другой причиной интереса к некоммутативным теориям поля является то, что они по своей природе нелокальны. Более того, в некоммутативных калибровочных теориях группа калибровочных преобразований содержит некоторые диффеоморфизмы1. Ожидается, что и не локальность, и инвариантность по отношению к диффеоморфизмам присущи квантовой гравитации, поэтому можно надеяться приобрести некоторое понимание вопросов, связанных с квантовой гравитацией, используя некоммутативные теории в качестве моделей (упомянем, что некоммутативные теории проще в том смысле, что в них нелокальность присутствует уже на классическом уровне). Эта надежда подкрепляется тем, что некоммутативные калибровочные теории возникают как эффективное описание теории струн в некотором пределе [2-5] и являются

1 Строго говоря, последнее свойство верно только для полей в присоединенном представлении калибровочной группы. неотъемлемой частью матричного подхода к М-теории [6].

Связь с теорией струн и М-теорией, являющимися на данный момент наиболее разработанными подходами к построению квантовой теории, объединяющей гравитацию с другими взаимодействиями, составляет еще один привлекательный аспект некоммутативных теорий поля (в первую очередь калибровочных). Так, свойства солитонов в некоммутативных калибровочных теориях совпадают со свойствами Б-бран — объектов теории струн, локализующих на своей мировой поверхности концы открытых струн. В некоммутативных теориях этому соответствует локализация калибровочных полей на солитонах. Расширяя аналогию, можно сказать, что полевым конфигурациям некоммутативных калибровочных теорий можно сопоставить различные объекты теории струн и М-теории. С другой стороны, тот факт, что некоммутативные теории во многом схожи с обыкновенными (коммутативными) теориями, делает их доступными для анализа посредством привычных методов теории поля. Таким образом, некоммутативные теории могут играть роль моста, соединяющего теорию струн и М-теорию с теорией поля.

Упомянутое выше свойство локализации калибровочных полей на некоммутативных солитонах делает их интересными с точки зрения построения теорий физики частиц, выходящих за рамки Стандартной модели. Одним из направлений в этой области, получивших заметное развитие в последнее время, являются модели, в которых наблюдаемое четырехмерное пространство-время рассматривается как гиперповерхность (брана), погруженная в объемлющее пространство большей размерности. При этом, поля материи предполагаются локализованными на бране, так что размер дополнительных измерений может быть большим или даже бесконечным. Для реализации такого сценария должен существовать механизм локализации калибровочных полей на бране. Именно такой механизм возникает в некоммутативных калибровочных теориях при рассмотрении в качестве браны некоммутативного солитона. Заметим, что на данный момент это единственная известная теоретико-полевая модель браны, локализующей на своей мировой поверхности неабелевы калибровочные поля в режиме слабой связи.

Наконец, можно надеяться, что исследование некоммутативных калибровочных теорий может пролить свет на динамику обычных калибровочных теорий. Параметр некоммутативности может играть роль регуляризующего параметра, позволяющего интерполировать между теориями с калибровочными группами различного ранга [7-11] (см. главу 4 настоящей диссертации).

Идея о том, что координаты пространства-времени могут не коммутировать между собой, была высказана по крайней мере 60 лет назад [12-15]. В то время она, однако, не получила широкого развития. Позднее была дана математическая формулировка некоммутативной теории поля и, в частности, некоммутативных калибровочных теорий [16]. В работах [2-5] была указана связь последних с теорией струн. Было показано, что некоммутативные калибровочные теории возникают в качестве эффективных теорий на мировой поверхности Б-бран во внешнем Б-поле. Затем последовало обширное исследование классических решений солитонного типа в некоммутативных калибровочных теориях [7, 17-34]. Оно показало, что свойства этих решений аналогичны свойствам Б-бран [20, 21, 26, 35] (см. также обзоры [36-39]). Так, вычисления масс солитонов и спектра флуктуаций поля на их фоне в рамках некоммутативной теории позволяют определить величины натяжения Б-бран и спектр открытых струн в их присутствии.

Проявлением соответствия между Б-бранами и некоммутативными соли-тонами является то, что последние несут на своей мировой поверхности калибровочную симметрию II(т). Если эта калибровочная симметрия не нарушена, заряженные относительно нее поля материи и калибровочные поля строго локализованы на солитоне. Как уже говорилось, благодаря этому свойству некоммутативные солитоны могут играть роль бран в моделях "мира на бране" [40].

С другой стороны, общим свойством многих моделей с большими дополнительными измерениями является не полная локализация, а квазилокализация состояний на бране [41-50]. Частицы могут быть не прикреплены к бране навсегда, а иметь конечную, хотя и малую, вероятность уйти в дополнительные измерения. Это явление может происходить даже при низких энергиях при условии, что моды, живущие в объеме, имеют непрерывный спектр, начинающийся с нулевой энергии, и существует смешивание между модами, живущими на бране, и непрерывным спектром (см., например, обзор [51]). Очевидно, такая возможность представляет интерес как для феноменологии, так и для самой теории бран.

В диссертации изучается квазилокализация состояний на солитонах в некоммутативных калибровочных теориях. Мы рассматриваем широкий класс солитонов, соответствующих "бранам внутри бран" (см., например, [52]). Спектр флуктуаций над такими решениями содержит сектор мод, способных свободно распространяться по всему объему. С точки зрения теории на мировой поверхности солитона эти моды описывают набор полей с непрерывным спектром масс. Мы приходим к выводу, что когда в таких моделях калибровочная теория С/(т) на мировой поверхности солитона находится в хиггсовской фазе, калибровочные поля и поля материи становятся квазило-кализованными. Поля, имеющие безмассовые моды в объеме, уходят в дополнительные измерения даже при низких энергиях; при малом значении параметра нарушения симметрии V (тп) время жизни по отношению к такому процессу велико по сравнению с обратными массами квазилокализованных мод.

В качестве иллюстации рассматриваются два примера. Для того, чтобы максимально прояснить механизм квази локализации, мы рассматриваем сначала простой пример вихревого решения с т намотками в калибровочной теории и( 1) с полем Хиггса в пространстве с двумя некоммутативными и р коммутативными пространственными измерениями [20-23]. Распространяющиеся в объеме моды как калибровочного поля, так и поля Хиггса в этой моделе массивны, поэтому ухода этих полей в некоммутативные измерения при низких энергиях не происходит. Поэтому мы вводим дополнительное скалярное поле в присоединенном представлении, имеющее безмассовые моды в объеме. Мы показываем, что его моды, живущие на вихре, в том числе и низкоэнергетические, становятся квазилокализованными, как только калибровочная теория С/(га) на вихре попадает в хиггсовскую фазу. В этой модели имеется иерархия времен жизни разных квазилокализованных мод. Эта иерархия связана с вращательной симметрией вихревого поля: моды с большим угловым моментом живут на солитоне дольше, поскольку некоторые смешивающие члены для этих мод либо запрещены вращательной симметрией, либо подавлены центробежным барьером.

Другой пример иллюстрирует квазилокализацию собственно калибровочных полей. Это пример инстантона в теории Янга-Миллса с унитарной калибровочной группой в пространстве с четырьмя некоммутативными и р коммутирующими измерениями [17, 26, 32-34]. Такой инстантон соответствует системе Ир — + 4). Анти-самодуальные инстантоны "нулевого размера"2

2На самом деле такие решения несингулярны. с топологическим числом т в теории с анти-самодуальной некоммутативностью [26, 33] несут на своей мировой поверхности ненарушенную, строго локализованную калибровочную теорию £/(т). Когда же размер инстантона не равен нулю, калибровочная теория на его мировой поверхности не только находится в хиггсовской фазе, но еще и квазилокализована. Мы рассматриваем явно случай малого размера инстантона, который соответствует малым массам калибровочных бозонов на солитоне, и показываем, что ширины ква-зилокализованных калибровочных бозонов относительно ухода в некоммутативные измерения опять-таки малы по сравнению с массами этих состояний.

Попутно мы развиваем общий формализм для анализа квазилокализации на некоммутативных солитонах, основанный на разложении по малому параметру нарушения калибровочной симметрии и(т).

По-видимому, квазилокализация низкоэнергетической теории на некоммутативных солитонах является общим свойством моделей, содержащих безмассовые моды в объеме и калибровочные теории в хиггсовской фазе на мировой поверхности солитона. Можно ожидать, что в моделях "мира на бране", базирующихся на теории струн, массивные частицы, нейтральные относительно электрического заряда и цвета, должны быть нестабильны относительно ухода в дополнительные измерения. С другой стороны, частицы, несущие ненарушенные заряды калибровочной теории "мира на бране" и безмассовые калибровочные бозоны этой теории могут быть навсегда привязаны к бране и описываться эффективной четырехмерной теорией. Эта теория, однако, не полна: в столкновениях заряженных частиц могут рождаться нейтральные частицы, исчезновение которых с браны приводит к несохранению четырехмерной энергии. Возникает вопрос, как последний процесс выглядит с точки зрения четырехмерного наблюдателя. Решение этого вопроса должно учитывать гравитацию, поскольку именно она непосредственно взаимодействует с энергией-импульсом.

К сожалению, на сегодня не известно способа объединить некоммутативные калибровочные теории с гравитацией3. Поэтому мы обращаемся к модельной задаче распада гравитационного поля частицы, уходящей с браны в объем в сценарии, предложенном Рэндалл и Сандрумом [53]. Эта модель содержит 3-брану, погруженную в пятимерное пространство-время с отрицательной космологической постоянной. Натяжение браны подобрано таким образом, чтобы внутренняя геометрия браны была плоской. При этом геометрия в объеме описывается метрикой пространства-времени анти-де Ситтера (Ас18). Было показано [53-56], что в этой модели происходит локализация гравитации в следующем смысле: гравитационное взаимодействие частиц, живущих на бране, описывается при низких энергиях эффективной четырехмерной теорией.

Иначе обстоит дело для частиц, уходящих с браны. Их гравитационное поле распадается следующим образом [57] (см. раздел 2.4 настоящей диссертации). На бране образуется сферическая гравитационная волна, расширяющаяся в трехмерном пространстве со скоростью света. Четырехмерное пространство-время, остающееся за этой сферической волной, является плоским, в то время как перед волной четырехмерная метрика имеет форму обычной асимптотической метрики Шварцшильда. Эта сферическая гравитационная волна не подчиняется четырехмерным уравнениям Эйнштейна. Таким образом, гравитационные эффекты, порождаемые движущимися в объеме частицами, даже будучи измерены наблюдателем на бране, имеют существенно многомерный характер4.

3 Определенные надежды на такое объединение связаны с матричным подходом к М-теории [6].

4 Строго говоря, описание можно свести к четырехмерному, однако это требует введения бесконечно

Как уже говорилось, некоммутативные теории нелокальны. Поэтому их свойства во многом определяются глобальной топологией пространства, на котором они заданы. Наиболее изученным примером некоммутативной теории поля является теория на некоммутативной плоскости (в более общем случае, на некоммутативном пространстве Rd). Алгебра функций Ар на некоммутативной плоскости порождается двумя координатами х и у, подчиняющимися следующему коммутационному соотношению: х,у] = гв. (1)

Эта алгебра изоморфна алгебре операторов квантовой механики системы с одной степенью свободы.

В пределе сильной некоммутативности, в —> оо, солитоны в чисто скалярной теории выражаются в терминах проекторов Р в алгебре Ар [63], удовлетворяющих соотношению

Р*Р = Р , где * обозначает умножение в Ар. Для калибровочной теории на некоммутативной плоскости был предложен метод генерации решений [20, 21, 26, 33, 37], позволяющий получать новые точные решения, стартуя с вакуумного. В этом методе используются операторы частичной изометрии — элементы S алгебры Ар со следующими свойствами:

SS+ = 1, S+S = 1 - Р , (2) го числа дополнительных низкоэнергетических степеней свободы. В работе [58] показано, что в рамках соответствия между теорией гравитации в пятимерном пространстве-времени анти-де Ситтера и конформной теорией поля в пространстве-времени четырех измерений (AdS/CFT correspondence) [56, 59-61] гравитационному полю вылетающей в объем частицы, которое мы интерпретировали как сферическую гравитационную волну, не подчиняющуюся четырехмерным уравнениям Эйнштейна, может быть дана новая интерпретация. Оно может быть представлено как поле, порождаемое разлетающейся оболочкой конформной материи; при этом с учетом тензора энергии-импульса этой материи четырехмерные уравнения гравитации выполняются. Тот факт, что оболочка разлетается со скоростью света, находится в согласии с весьма общей теоремой, доказанной в [62]. где Р — проектор. Таким образом, солитоны в некоммутативной калибровочной теории, получающиеся при помощи метода генерации решений, также определяются проекторами в алгебре Ар.

Как показано в [38], метод генерации решений тесно связан с наличием изоморфизма между свободным модулем над алгеброй Ар и прямой суммой Тр ф Ар фоковского модуля Тр (который суть не что иное, как гильбертово пространство состояний гармонического осциллятора) и свободного модуля. В случае некоммутативной плоскости, однако, использование формального алгебраического языка проективных модулей может показаться излишним, так как метод генерации решений в том виде, в котором он был предложен изначально [20, 21, 26, 33, 37], достаточно прозрачен сам по себе.

Следующими по сложности примерами некоммутативных пространств являются некоммутативные цилиндр и тор. Соответствующие алгебры будут обозначаться в дальнейшем Ас и Ат• В случае калибровочной теории на торе построить солитон в терминах связности на Ат оказывается затруднительно (насколько нам известно, к настоящему времени не построено ни одного явного солитонного решения). Построить солитон в некоммутативной калибровочной теории по-прежнему удается, если воспринимать его как связность на Тт®Ат, прямой сумме фоковского и свободного модулей [64]. Этот подход позволяет вычислить спектр малых возмущений вокруг солитона [64], который согласуется со спектром струн на фоне системы Б0-В2 бран, компактифицированной в данном случае на тор. Однако, вследствие того, что Тт Ф Ат и Аг не изоморфны [38], связность на Тт Ф Ат не индуцирует связность на свободном модуле Ат, и метод генерации решений не может быть сформулирован.

В диссертации исследована теория Янга-Миллса на некоммутативном цилиндре, занимающем промежуточное положение между плоскостью и тором. Показано, что структура пространства калибровочных полей на некоммутативном цилиндре допускает существование метода генерации решений [65]. При помощи этого метода найдены и изучены точные классические решения в теории с калибровочной группой 11(1), выражающиеся непосредственно в терминах связности на алгебре Ас (описание скалярных солитонов на некоммутативном цилиндре в пределе большого в приведено в [66]). В отличие от случая некоммутативной плоскости, алгебраический формализм, описанный в [38], оказывается наиболее адекватным для калибровочной теории на некоммутативном цилиндре.

В работе [7] было отмечено следующее необычное свойство калибровочной теории на некоммутативной плоскости. Рассмотрим С/(Л/") калибровочную теорию с некоторым N. Тогда, для любого натурального К, в этой теории существует вакуум, такой что теория над этим вакуумом совпадает с II(/С) калибровочной теорией над тривиальным вакуумом. С технической точки зрения это свойство обусловлено существованием в случае некоммутативной плоскости изоморфизма между суммами свободных модулей ^ Ар и Ар с любыми N и /С. Калибровочные теории на этих суммах являются и(М) и £/(/С)-теориями, соответственно, так что этот изоморфизм порождает связность, соответствующую и(К) вакууму в и(М) калибровочной теории. Следует отметить, что различие калибровочных групп теорий над разными ва-куумами не может быть интерпретировано как механизм Хиггса: действие в окрестности М-ото вакуума содержит только калибровочные поля II (М) и не содержит дополнительных массивных векторных бозонов или полей Хиггса.

В случае некоммутативного тора описанное выше свойство, по-видимому, отсутствует, так как прямые суммы Ат и Ат с разными N и К не изоморфны [38]. Наши результаты показывают, что некоммутативный цилиндр аналогичен в этом смысле некоммутативной плоскости: U(J\f) калибровочные теории с разными N возникают на некоммутативном цилиндре как теории над разными вакуумами в единой калибровочной теории [65] (см. главу 3 настоящей диссертации).

Интерпретация этого свойства, данная в [7] для случая плоскости состоит в том, что число цветов N является параметром суперотбора, нумерующим различные сектора в квантовом гильбертовом пространстве некоммутативной калибровочной теории. По-видимому, так же обстоит дело и для некоммутативного цилиндра. Возникает вопрос о том, существуют ли теории, в которых вакуумы с различными калибровочными группами определяют разные фазы одной и той же теории, как, например, вырожденные вакуумы с различными вакуумными средними значениями скалярного поля в (коммутативных) скалярных теориях. В этом случае должны существовать конфигурации типа доменных стенок, разделяющих разные вакуумы.

Доменные стенки указанного типа существуют в теориях, в которых соотношение (1) обобщено таким образом, что параметр некоммутативности эффективно становится новым динамическим полем [10, 11]. Примером такой теории является калибровочная теория на размытом ("fuzzy") цилиндре, предложенная в [9]. Размытый цилиндр рассматривался также в работах [67, 68]. Его можно интерпретировать как дискретизованную версию непрерывного некоммутативного цилиндра. Так же, как и последний, в коммутативном пределе размытый цилиндр сводится к обычному цилиндру.

Конфигурации с конечной энергией, интерполирующие между различными калибровочными вакуумами в теории Янга - Миллса на размытом цилиндре, были впервые построены в [69], где они были проинтерпретированы на языке теории струн как соединение Б-бран. Предложенные в [69] конфигурации, однако, нестабильны на классическом уровне, что затрудняет изучение их свойств. Причина нестабильности кроется в том, что в формулировке, рассмотренной в [69], радиус цилиндра является точным модулем теории.

В диссертации предлагается добавить к действию теории Янга - Миллса калибровочно-инвариантное слагаемое, стабилизирующее радиус цилиндра. При этом в теории появляется семейство устойчивых решений в виде доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с калибровочными теориями и {к,) и и(лг) для произвольных к и n. Стабильность стенок гарантируется тем, что они насыщают ограничение типа БПС [70, 71], связанное с наличием в теории нетривиального топологического заряда. Мы изучаем свойства стенок, вводя в качестве пробников скаляры и фермионы, заряженные относительно калибровочной группы. Этот анализ показывает, что теории по разные стороны стенки не являются несвязанными даже в режиме низких энергий (наивном коммутативном пределе): если К, < Л/", то моды, заряженные относительно группы II(/С) свободно проникают в область с теорией и{М), где они становятся частью II (Л/-) мультиплета; остальные же поля II(Л!) мультиплета испытывают полное отражение от доменной стенки. Это свойство получает естественную интерпретацию на струнном языке. Доменная стенка с этой точки зрения представляется как конфигурация Б-бран различной формы: стопка из N — /С бран в форме пробирки, вставленная в /С цилиндрических бран. Калибровочные поля теории II(/С) соответствуют возбуждениям струн с обоими концами на цилиндрических бранах; эти струны не чувствуют присутствия бран-пробирок и потому свободно распространяются вдоль всего цилиндра. С другой стороны, струны, соответствующие полям теории и(ЛГ), не входящим в и {К) мультиплет, по крайней мере одним концом прикреплены к бранам-пробиркам, поэтому они не могут проникнуть в область за доменной стенкой.

Дискретная природа размытого цилиндра может показаться его недостатком. Действительно, может возникнуть впечатление, что именно она является ключевым условием существования доменных стенок между разными калибровочными теориями, и последние отсутствуют при рассмотрении непрерывных многообразий. Такой взгляд, казалось бы, подкрепляется еще и тем фактом, что в пределе, когда размытый цилиндр переходит в некоммутативную плоскость, натяжение доменных стенок на размытом цилиндре расходится.

Другой пример, рассмотренный в диссертации, показывает, что эта точка зрения не соответствует действительности. Этот пример — калибровочная теория на некоммутативной плоскости безо всякой решеточной структуры, в которой величина параметра некоммутативности определяется вакуумным средним скалярного поля в присоединенном представлении. В такой теории существуют доменные стенки между областями с калибровочными теориями и {я) х и (м) и и (Л/*+/С) х и (м+к) для любых Л/", м и к. Геометрическая интерпретация этих стенок такова: они представляют из себя конфигурацию из ЛГ плоских Б-бран, Л4 плоских антибран и /С бран, сложенных пополам5. Свойства этих доменных стенок во многом аналогичны свойствам стенок на размытом цилиндре. В частности, остается в силе вывод о том, что даже при низких энергиях существуют заряженные моды, свободно проникающие сквозь стенку. В целом, полученные нами результаты позволяют заключить, что ранг калибровочной группы может быть динамическим параметром в некоммутативной теории.

83аметим, что решения в виде сложенных Б-бран могут рассматриваться сами по себе как явная реализация идеи о "зеркальном мире" [72-75] (см. обзор [76]), получившей в [77] развитие в контексте сценария "мира на бране".

Наконец, мы подкрепляем струнную интерпретацию доменных стенок, производя их вложение в матричную модель М-теории (см. обзор матричной модели, например, в [6]). Последняя представляет из себя суперсимметричную квантовую механику со следующим лагранжианом:

1 = 2ДЪ + Х']2 + (£егшкшз)} ' (3) где Хг (г = 1,., 9) — эрмитовы матрицы N х ТУ", подчиняющиеся связи:

Х\Х1'] = 0.

Исходно [78] эта квантовомеханическая система была предложена в качестве регуляризации теории распространяющейся в 11-мерном пространстве-времени квантовой (супер) мембраны в калибровке светового конуса. Матрицы X* играют роль функций погружения мембраны. Снятие регуляризации соответствует взятию предела N оо. На этом языке Я является натяжением мембраны.

С другой стороны, лагранжиан (3) может рассматриваться как эффективное низкоэнергетическое описание системы N БО-бран в теории струн типа НА в калибровке Ао = 0. В этом случае Я имеет интерпретацию радиуса компактификации 11-мерной М-теории до десяти измерений; в струнных единицах, 18 = 1, этот радиус равен струнной константе связи д3. Согласно предложению БФШС [79] предел большого N в матричной модели (3) описывает полную М-теорию в системе отсчета с бесконечным импульсом. Более того, было сделано утверждение [80, 81], что квантовомеханическая система (3) при конечных N описывает сектор М-теории с N единицами импульса вдоль компактного светоподобного направления.

В диссертации показано, что доменные стенки возникают как решения матричной модели в широком классе фоновых полей, представляющих из себя решения 11-мерной супергравитации, имеющие вид плоских рр-волн с неоднородной напряженностью поля 3-формы.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста и Заключения.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Показано, что поля калибровочных теорий на мировой поверхности некоммутативных солитонов, соответствующих Б-бранам внутри Б-бран, делокализуются в фазе Хиггса. Разработан общий подход к анализу такой делокализации. Для скалярного поля на вихре и калибровочного поля на инстантоне вычислены ширины по отношению к вылету с соли-тона в некоммутативные измерения. Показано, что при малой величине параметра нарушения калибровочной симметрии эти ширины малы по сравнению с массами полей, что позволяет говорить о квазилокализации последних.

Вычислено гравитационное поле частицы, уходящей с браны в объем в модели Рэндалл и Сандрума. Показано, что оно имеет вид расширяющейся со скоростью света сферической гравитационной волны, оставляющей за собой плоское пространство. Эта волна не подчиняется уравнениям четырехмерной гравитации, что демонстрирует неполноту эффективной четырехмерной теории даже при низких энергиях в моделях "мира на бране" с квазилокализованными полями.

Построены операторы частичной изометрии и полный набор ортогональных проекторов в алгебре функций на некоммутативном цилиндре. Найден изоморфизм между свободным модулем над этой алгеброй и его прямой суммой с фоковским модулем.

Метод генерации решений, предложенный изначально для калибровочных теорий на некоммутативной плоскости, обобщен на случай некоммутативного цилиндра. С его помощью в явном виде построен солитон в теории Янга - Миллса на некоммутативном цилиндре и найден спектр малых возмущений над ним.

Показано, что калибровочная теория с группой и (М) на некоммутативном цилиндре обладает бесконечным набором вакуумов, таких, что теория над вакуумом с номером /С эквивалентна теории С/(К) над тривиальным вакуумом.

Построены доменные стенки в калибровочной теории на размытом цилиндре, разделяющие области с разными калибровочными теориями, отличающимися рангом калибровочной группы. Показано, что взаимодействие между областями по разные стороны стенки не исчезает даже в коммутативном пределе.

Предложена некоммутативная калибровочная теория на плоскости с динамически меняющимся параметром некоммутативности, в которой существуют доменные стенки между областями с разными калибровочными группами.

Показано, что доменные стенки между калибровочными теориями возникают в качестве решений матричной модели М-теории в широком классе внешних полей, имеющих форму рр-волн 11-мерной супергравитации с неоднородной напряженностью поля 3-формы.

1. В. DeWitt // 1. L. Witten, editor, Gravitation. -1962. -p. 266-381.

2. A. Connes, M. R. Douglas, A. Schwarz. Noncommutative geometry and matrix theory: Compactification on tori // -JHEP. -1998. -02. -p.003.

3. M. R. Douglas, С. M. Hull: D-branes and the noncommutative torus // -JHEP. -1998. -02. -p.008.

4. V. Schomerus. D-branes and deformation quantization // -JHEP. -1999. -06. -p.030.

5. N. Seiberg, E. Witten. String theory and noncommutative geometry // -JHEP. -1999. -09. -p.032.

6. W. Taylor. The M(atrix) model of M-theory // -hep-th/0002016.

7. D. J. Gross, N. A. Nekrasov. Solitons in noncommutative gauge theory // -JHEP. -2001. -03. -p.044.

8. D. Bak, K.-M. Lee, J.-H. Park. Comments on noncommutative gauge theories // -Phys. Lett. -2001. -B501. -p.305-312.

9. D. Bak, K.-M. Lee. Noncommutative supersymmetric tubes // -Phys. Lett. -2001. -B509. -p.168-174.

10. S. L. Dubovsky, S. M. Sibiryakov. Domain walls between gauge theories // -Nucl. Phys. -2003. -B664. -p.407-438.

11. S. L. Dubovsky, S. M. Sibiryakov. Domain walls in noncommutative gauge theories, folded D- branes, and communication with mirror world // -hep-th/0401046.

12. H. S. Snyder. Quantized space-time // -Phys. Rev. -1947. -71. -p.38-41.

13. M. А. Марков. О "четырехмерно протяженном" электроне в релятивистской квантовой области // -ЖЭТФ. -1940. -10. -С.1311.

14. H. S. Snyder. The electromagnetic field in quantized space-time // -Phys. Rev. -1947. -72. -p.68-71.

15. M. А. Марков. О нелокализуемых полях // -ЖЭТФ. -1950. -21. -С.11.

16. A. Connes, M. A. Rieffel. Yang-Mills for- noncommutative two-tori // -Contemp. Math. -1987. -62. -p.237-266.

17. N. Nekrasov, A. Schwarz. Instantons on noncommutative R4 and (2,0) superconformai six dimensional theory // -Commun. Math. Phys. -1998. -198. -p.689-703.

18. D. J. Gross, N. A. Nekrasov. Monopoles and strings in noncommutative gauge theory // -JHEP. -2000. -07. -p.034.

19. D. J. Gross, N. A. Nekrasov. Dynamics of strings in noncommutative gauge theory // -JHEP. -2000. -10. -p.021.

20. A. P. Polychronakos. Flux tube solutions in noncommutative gauge theories // -Phys. Lett. -2000. -B495. -p.407-412.

21. D. Bak. Exact multi-vortex solutions in noncommutative Abelian- Higgs theory // -Phys. Lett. -2000. -B495. -p.251-255.

22. D. Bak, K.-M. Lee, J.-H. Park. Noncommutative vortex solitons // -Phys. Rev. -2001. -D63. -p.125010.

23. D. P. Jatkar, G. Mandai, S. R. Wadia. Nielsen-Olesen vortices in noncommutative Abelian Higgs model // -JHEP. -2000. -09. -p.018.

24. C. Sochichiu. Noncommutative tachyonic solitons: Interaction with gauge field // -JHEP. -2000. -08. -p.026.

25. A. S. Gorsky, Y. M. Makeenko, K. G. Selivanov. On noncommutative vacua and noncommutative solitons // -Phys. Lett. -2000. -B492. -p.344-348.

26. M. Aganagic, R. Gopakumar, S. Minwalla, A. Strominger. Unstable solitons in noncommutative gauge theory // -JHEP. -2001. -04. -p.001.

27. M. Hamanaka, S. Terashima. On exact noncommutative BPS solitons // -JHEP. -2001. -03. -p.034.

28. K. Hashimoto. Fluxons and exact BPS solitons in non-commutative gauge theory // -JHEP. -2000. -12. -p.023.

29. M. Schnabl. String field theory at large B-field and noncommutative geometry // -JHEP. -2000. -11. -p.031.

30. A. Bergman, O. J. Ganor, J. L. Karczmarek. A note on intersecting and fluctuating solitons in 4d noncommutative field theory // -Phys. Rev. -2001. -D64. -p.065001.

31. L.-S. Tseng. Noncommutative solitons and intersecting D-branes // -Phys. Rev. -2001. -D64. -p.126004.

32. K. Furuuchi. Topological charge of U(l) instantons on noncommutative R4 // -Prog. Theor. Phys. Suppl. -2001. -144. -p.79-91.

33. J. A. Harvey, P. Kraus, F. Larsen. Exact noncommutative solitons // -JHEP. -2000. -12. -p.024.

34. K. Furuuchi. Dp-D(p+4) in noncommutative Yang-Mills // -JHEP. -2001. -03. -p.033.

35. J. A. Harvey, P. Kraus, F. Larsen, E. J. Martinec. D-branes and strings as non-commutative solitons // -JHEP. -2000. -07. -p.042.

36. N. A. Nekrasov. Trieste lectures on solitons in noncommutative gauge theories // -hep-th/0011095.

37. J. A. Harvey. Komaba lectures on noncommutative solitons and D-branes // -hep-th/0102076.

38. A. Konechny, A. Schwarz. Introduction to M(atrix) theory and noncommutative geometry // -Phys. Rept. -2002. -360. -p.353-465.

39. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. A. Giryavets, A. S. Koshelev, P. B. Medvedev. Noncommutative field theories and (super) string field theories // -hep-th/0111208.

40. L. Pilo, A. Riotto. The non-commutative brane world // -JHEP. -2001. -03. -p.015.

41. C. Charmousis, R. Gregory, V. A. Rubakov. Wave function of the radion in a brane world // -Phys. Rev. -2000. -D62. -p.067505.

42. R. Gregory, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Opening up extra dimensions at ultra-large scales // -Phys. Rev. Lett. -2000. -84. -p.5928-5931.

43. C. Csaki, J. Erlich, T. J. Hollowood. Quasi-localization of gravity by resonant modes // -Phys. Rev. Lett. -2000. -84. -p.5932-5935.

44. G. R. Dvali, G. Gabadadze, M. Porrati. Metastable gravitons and infinite volume extra dimensions // -Phys. Lett. -2000. -B484. -p.112-118.

45. G. R. Dvali, G. Gabadadze, M. Porrati. 4d gravity on a brane in 5d Minkowski space // -Phys. Lett. -2000. -B485. -p.208-214.

46. G. R. Dvali, G. Gabadadze, M. A. Shifman. (Quasi)localized gauge field on a brane: Dissipating cosmic radiation to extra dimensions? // rPhys. Lett. -2001. -B497. -p.271-280.

47. S. L. Dubovsky, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Brane world: Disappearing massive matter // -Phys. Rev. -2000. -D62. -p. 105011.

48. S. L. Dubovsky. Tunneling into extra dimension and high-energy violation of Lorentz invariance // -JHEP. -2002. -01. -p.012.

49. В. А. Рубаков. Большие и бесконечные дополнительные измерения // -УФН -2001. -171. -С.913-938.

50. М. R. Douglas. Branes within branes // -hep-th/9512077.

51. L. Randall, R. Sundrum. An alternative to compactification // -Phys. Rev. Lett. -1999. -83. -p.4690-4693.

52. J. Lykken, L. Randall. The shape of gravity // -JHEP. -2000. -06. -p.014.

53. J. Garriga, T. Tanaka. Gravity in the brane-world // -Phys. Rev. Lett. -2000. -84. -p.2778-2781.

54. S. B. Giddings, E. Katz, L. Randall. Linearized gravity in brane backgrounds // -JHEP. -2000. -03. -p.023.

55. R. Gregory, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Brane worlds: The gravity of escaping matter // -Class. Quant. Grav. -2000. -17. -p.4437-4450.

56. S. B. Giddings, E. Katz. Effective theories and black hole production in warped compactifications // -J. Math. Phys. -2001. -42. -p.3082-3102.

57. J. M. Maldacena. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // -Adv. Theor. Math. Phys. -1998. -2. -p.231-252.

58. H. Verlinde. Holography and compactification // -Nucl. Phys. -2000. -B580. -p.264-274.

59. S. Hawking, J. M. Maldacena, A. Strominger. DeSitter entropy, quantum entanglement and AdS/CFT // -JHEP. -2001. -05. -p.001.

60. S. R. Coleman, L. Smarr. Are there geon analogs in sourceless gauge field theories? // -Commun. Math. Phys. -1977. -56. -p.l.

61. R. Gopakumar, S. Minwalla, A. Strominger. Noncommutative solitons // -JHEP. -2000. -05. -p.020.

62. A. Konechny. Unstable solitons on noncommutative tori and D-branes // -JHEP. -2002. -03. -p.035.

63. С. В. Демидов, С. JI. Дубовский, В. А. Рубаков, С. М. Сибиряков. Соли-тоны в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре // -ТМФ. -2004. -138. -С.319-337.

64. R. Gopakumar, М. Headrick, М. Spradlin. On noncommutative multi-solitons // -Commun. Math. Phys. -2003. -233. -p.355-381.

65. M. Chaichian, A. Demichev, P. Presnajder, A. Tureanu. Space-time noncommutativity, discreteness of time and unitarity // -Eur. Phys. J. -2001. -C20. -p.767-772.

66. M. Chaichian, A. Demichev, P. Presnajder, M. M. Sheikh-Jabbari, A. Tureanu. Quantum theories on noncommutative spaces with nontrivial topology: Aharonov-Bohm and Casimir effects // -Nucl. Phys. -2001. -B611. -p.383-402.

67. D. Bak, S.-W. Kim. Junctions of supersymmetric tubes // -Nucl. Phys. -2002. -B622. -p.95-114.

68. M. K. Prasad, С. M. Sommerfield. An exact classical solution for the 't Hooft monopole and the Julia-Zee dyon // -Phys. Rev. Lett. -1975. -35. -p.760-762.

69. E. Б. Богомольный. Устойчивость классических решений // -ЯФ. -1976. -24. -С.861-872.

70. Т. D. Lee, C.-N. Yang. Question of parity conservation in weak interactions // -Phys. Rev. -1956. -104. -p.254-258.

71. И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь, И. Я. Померанчук. О возможности экспериментального обнаружения зеркальных частиц // -ЯФ, -1966. -3. -С.1154.

72. M. Pavsic. External inversion, internal inversion, and reflection invariance 11 -Int. J. Theor. Phys. -1974. -9. -p.229-244.

73. С. И. Блинников, M. Ю. Хлопов. О возможных проявлениях зеркальных частиц // -ЯФ. -1982. -36. -С.809-811.

74. Z. Berezhiani. Mirror world and its cosmological consequences // -hep-ph/0312335.

75. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. R. Dvali, N. Kaloper. Manyfold universe // -JHEP. -2000. -12. -p.010.

76. B. de Wit, J. Hoppe, H. Nicolai. On the quantum mechanics of supermembranes // -Nucl. Phys. -1988. -B305. -p.545.

77. T. Banks, W. Fischler, S. H. Shenker, L. Susskind. M theory as a matrix model: A conjecture // -Phys. Rev. -1997. -D55. -p.5112-5128.

78. A. Sen. DO branes on T(n) and matrix theory // -Adv. Theor. Math. Phys. -1998.-2. -p.51-59.

79. N. Seiberg. Why is the matrix model correct? // -Phys. Rev. Lett. -1997. -79. -p.3577-3580.

80. S. L. Dubovsky, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Quasi-localized states on noncommutative solitons // -JHEP. -2002. -01. -p.037.

81. S. L. Dubovsky, V. A. Rubakov, S. M. Sibiryakov. Quasi-localized states on noncommutative solitons //In Proc. 12th International Seminar "Quarks-2002", Novgorod, Russia, June 1-7, 2002. -INR, Moscow. -2004.

82. L. Bonora, M. Schnabl, M. M. Sheikh-Jabbari, A. Tomasiello. Noncommutative SO(n) and Sp(n) gauge theories // -Nucl. Phys. -2000. -B589. -p.461-474.

83. I. Bars, M. M. Sheikh-Jabbari, M. A. Vasiliev. Noncommutative o*(N) and usp*(2iV) algebras and the corresponding gauge field theories // -Phys. Rev. -2001. -D64. -p.086004.

84. B. Jurco, S. Schraml, P. Schupp, J. Wess. Enveloping algebra valued gauge transformations for non- Abelian gauge groups on non-commutative spaces // -Eur. Phys. J. -2000. -C17. -p.521-526.

85. B. Jurco, L. Moller, S. Schraml, P. Schupp, J. Wess. Construction of non-Abelian gauge theories on noncommutative spaces // -Eur. Phys. J. -2001. -C21. -p.383-388.

86. T. Filk. Divergencies in a field theory on quantum space // -Phys. Lett. -1996. -B376. -p.53-58.

87. S. Minwalla, M. Van Raamsdonk, N. Seiberg. Noncommutative perturbative dynamics // -JHEP. -2000. -02. -p.020.

88. A. Matusis, L. Susskind, N. Toumbas. The IR/UV connection in the noncommutative gauge theories // -JHEP. -2000. -12. -p.002.

89. A. Armoni. Comments on perturbative dynamics of non-commutative Yang-Mills theory // -Nucl. Phys. -2001. -B593. -p.229-242.

90. A. A. Slavnov. Consistent noncommutative quantum gauge theories? // -Phys. Lett. -2003. -B565. -p.246-252.

91. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov, A. S. Koshelev. Two-loop diagrams in noncommutative (pi theory // -Phys. Lett. -2000. -B476. -p.431-436.

92. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev, O. A. Rychkov. Renormalizability and UV/IR mixing in noncommutative theories with scalar fields // -Phys. Lett. -2000. -B487. -p.357-365.

93. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev. A note on UV/IR for noncommutative complex scalar field // -hep-th/0001215.

94. L. Griguolo, M. Pietroni. Wilsonian renormalization group and the non-commutative IR/UV connection // -JHEP. -2001. -05. -p.032.

95. D. Zanon. Noncommutative N = 1,2 super U(N) Yang-Mills: UV/IR mixing and effective action results at one loop // -Phys. Lett. -2001. -B502. -p.265-273.

96. V. V. Khoze, G. Travaglini. Wilsonian effective actions and the IR/UV mixing in noncommutative gauge theories // -JHEP. -2001. -01. -p.026.

97. I. Jack, D. R. T. Jones. Ultra-violet finiteness in noncommutative supersymmetric theories // -New J. Phys. -2001. -3. -p.19.

98. C.-S. Chu, V. V. Khoze, G. Travaglini. Dynamical breaking of supersymmetry in noncommutative gauge theories // -Phys. Lett. -2001. -B513. -p.200-206.

99. M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Y. I. Manin. Construction of instantons // -Phys. Lett. -1978. -A65. -p.185-187.

100. H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. -4-е издание. -М.: Наука, 1984.

101. М. R. Douglas, N. A. Nekrasov. Noncommutative field theory // -Rev. Mod. Phys. -2001. -73. -p.977-1029.

102. D. Bak, A. Karch. Supersymmetric brane-antibrane configurations // -Nucl. Phys. -2002. -B626. -p.165-182.

103. D. Bak, N. Ohta, M. M. Sheikh-Jabbari. Supersymmetric brane anti-brane systems: Matrix model description, stability and decoupling limits // -JHEP. -2002. -09. -p.048.

104. M. M. Sheikh-Jabbari. Discrete symmetries (C,P,T) in noncommutative field theories // -Phys. Rev. Lett. -2000. -84. -p.5265-5268.

105. D. Bak, N. Ohta. Supersymmetric D2 anti-D2 strings // -Phys. Lett. -2002. -B527. -p.131-141.

106. M. M. Sheikh-Jabbari. Open strings in a B-field background as electric dipoles // -Phys. Lett. -1999. -B455. -p.129-134.

107. D. Bigatti, L. Susskind. Magnetic fields, branes and noncommutative geometry // -Phys. Rev. -2000. -D62. -p.066004.

108. M. R. Douglas. D-branes and matrix theory in curved space // -Nucl. Phys. Proc. Suppl. -1998. -68. -p.381-393.

109. W. Taylor, M. Van Raamsdonk. Multiple DO-branes in weakly curved backgrounds // -Nucl. Phys. -1999. -B558. -p.63-95.

110. C. M. Hull. Exact pp wave solutions of 11-dimensional supergravity // -Phys. Lett. -1984. -B139. -p.39.

111. D. Berenstein, J. M. Maldacena, H. Nastase. Strings in flat space and pp waves from N = 4 super Yang Mills // -JHEP. -2002. -04. -p.013.

112. G. Bonelli. Matrix string models for exact (2,2) string theories in R-R backgrounds // -Nucl. Phys. -2003. -B649. -p. 130-142.

113. J. G. Russo, A. A. Tseytlin. A class of exact pp-wave string models with interacting light-cone gauge actions // -JHEP. -2002. -09. -p.035.