Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Трямкин Максим Владимирович

Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

... 2 8 ОКТ 2015

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005563739

Новосибирск — 2015

005563739

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович.

Официальные оппоненты:

Дубинин Владимир Николаевич, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией математического анализа;

Клячин Алексей Александрович, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет», заведующий кафедрой математического анализа и теории функций института математики и информационных технологий.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Защита состоится «10» декабря 2015 г. в 16:40 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан « 16 » 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во второй половине 1960-х гг. Ю. Г. Решетняк заложил основы теории отображений с ограниченным искажением. Монография [1] содержит всестороннее изложение результатов Ю.Г. Решетняка в этой области. Теорию отображений с ограниченным искажением следует рассматривать как естественное обобщение теории аналитических функций на многомерные евклидовы пространства. Напомним точное определение. Пусть П — область в евклидовом пространстве К", п ^ 2. Отображение / = (Л, ■ • • ,/п): О М" класса Соболева И^Лос(Я) называется отображением с ограниченным искажением, если для почти всех а; е П выполняется неравенство |£>/(х)|п < KJ(x,f), где К Е [1,оо) — постоянная, Df{x) = (§£(х))^=1,...,п — матрица Якоби, |£)/(х)| и J{xJ) — её операторная норма и определитель соответственно. В последние десятилетия активно исследуются классы отображений, удовлетворяющие различным обобщениям сформулированного определения. Здесь прослеживаются два направления: с одной стороны, оставаясь в рамках пространства К", можно менять условие регулярности и характеристику искажения, с другой — можно заменить евклидово пространство на метрическую структуру более общей природы и вводить адекватные этой природе аналоги функционального класса и условия искажения. Отметим, что в настоящей работе получены новые результаты в каждом из этих направлений.

Изучение отображений с ограниченным искажением и их обобщений ведётся двумя методами: аналитическим и геометрическим.

Основы аналитического подхода заложены Ю. Г. Решетняком. Этот подход заключается в использовании исчисления внешних дифференциальных форм, теории пространств С. Л. Соболева и аппарата уравнений в частных производных эллиптического типа. Поясним сказанное подробнее. Сначала сформулируем важнейший топологический результат Ю. Г. Решетняка.

Теорема 1 ( [1, гл. 2, § 6]). Пусть О. - область в 1С и /: Г2 М" - отображение с ограниченным искажением, отличное от постоянного. Тогда / непрерывно, открыто и дискретно.

Фундаментальную роль в доказательстве этой теоремы играет свойство мор-физма решений некоторых эллиптических уравнений [1, гл. 2, теорема 5.1]: если /: П —> П' — отображение с ограниченным искажением, где П, Я' суть открытые множества в К", и функция V € С2(П') является решением уравнения сНу(|Уг;(2/)|п-2Уг>(2/)) = 0, то композиция и = V о / служит обобщённым решением уравнения ¿1У^/(х,\'и(х)) = 0, где ¿г/(х£) = {С(ж)£,£)(п-2)/2С0е)£. Здесь угловые скобки обозначают скалярное произведение вГ, аб - это

матричная функция, определённая почти всюду в следующим образом: '(Df{xУDf{x))^J{xJ)2ln, если ^х,/) ф О,

ОД = ,

И, если J(x,f) = 0.

В свою очередь, само свойство морфизма устанавливается на основе того факта, что для дифференциальных форм ш степени п — 1 справедливо соотношение

<1{1*и) = (1)

где внешний дифференциал й понимается в смысле распределений. В евклидовых пространствах равенство (1) доказывается с помощью аппроксимации / гладкими отображениями [1, гл. 2, § 4].

Перейдём к обсуждению аналитического подхода в теории отображений с ограниченным искажением на неевклидовых структурах, на который мы опираемся в главе 3. Ю. Хейнонен и И. Холопайнен [2] исследовали упомянутые отображения на группах Карно, однако определение класса Соболева, которое они использовали, нельзя считать естественным: в [2] требуется, чтобы компоненты отображения имели обобщённые производные вдоль негоризонтальных векторных полей. Н. С. Даирбеков (см., например, [3]) на основе подходе Ю. Г. Решетняка получил основные топологические свойства отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга. В работе [4] показано, что доказательство соотношения (1) на группах Карно ведет к нежелательным последствиям: гладкие отображения, аппроксимирующие /, не сохраняют горизонтальную структуру. В связи с этим возникла необходимость в выработке нового подхода к проверке равенства (1).

В статье [5] С. К. Водопьянов предложил новый подход к доказательству соотношения (1) на двухступенчатых группах Карно. Метод, разработанный в [5], основан на рафинированном использовании формулы замены переменной с топологической степенью и позволяет установить (1), не используя аппроксимацию / гладкими функциями. В настоящей работе мы, опираясь на подход, развитый в [5], показываем, что заключение теоремы 1 справедливо для отображений с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов, которая входит в список трёхмерных групп Ли, наделённых левоин-вариантной субримановой структурой (см. [6]).

Во второй главе диссертации мы пользуемся геометрическим методом в теории отображений с ограниченным искажением в евклидовых пространствах. Этот метод основан на оценках искажения модулей семейств кривых (или, если этого достаточно, ёмкостей конденсаторов). Понятие модуля семейства кривых на плоскости было введено в 1950 г. Л. Альфорсом и А. Бьёрлин-гом [7], а затем распространено на многомерные пространства Б. Фугледе [8]

и Б. В. Шабатом [9]. На языке этого понятия было сформулировано одно из эквивалентных описаний квазиконформных отображений, в связи с чем метод модулей приобрёл важное значение в работе с этим классом отображений, позволив найти альтернативный подход к их изучению. Необходимость в таком подходе была вызвана отсутствием в многомерных пространствах теоремы Римана. Напомним определение. Пусть Г — семейство кривых в К", п ^ 2. Борелевская функция р: К" —» [0,оо] называется допустимой для семейства Г, если для всякой локально спрямляемой кривой 7 е Г имеем > 1.

Через ас!т Г обозначим совокупность всех допустимых для Г функций. Пусть р € [1,оо). р-Модулем семейства кривых Г называется величина

тос!р Г = т£ / (?{х) дх.

р€ас1т Г ] Л"

Впервые метод модулей к исследованию отображений с ограниченным искажением применил Е. А. Полецкий [10] в 1970 г. Опираясь на упомянутые топологические характеристики, Е. А. Полецкии с помощью процедуры поднятия путей установил свойства некоторого специального отображения, известного сегодня как функция Полецкого. Это позволило доказать, что справедлива следующая

Теорема 2 ( [10, теорема 1]). Пусть /: Г2 —> К" — отображение с ограниченным искажением и Г — семейство кривых в области П. Тогда

тос1„/(Г) ^ КЦ)тоАпТ.

Последнее утверждение в наши дни называется неравенством Полецкого. В той же работе [10] получено некоторое улучшение этого неравенства в нормальных областях (см. [10, теорема 2]). Полезная интерпретация последнего была получена Ю. Вяйсяля [11, 3.1] и называется в литературе неравенством Вяйсяля. Немногим ранее О. Мартио [12], а таже О. Мартио, С. Рикман и Ю. Вяйсяля [13] установили аналогичные оценки для ёмкости. Отмстим, однако, что модульные неравенства суть более общие, чем соответствующие ёмкостные (см., например, [14, пример 1]). Оценки для модуля и ёмкости играют ключевую роль в исследовании поведения отображения на границе, в теории распределения значений в духе Неванлинны (теоремы типа Лиувил-ля и Пикара, устранение особенностей) (см. монографию С. Рикмана [15]), в связи дилатации с минимальной кратностью ветвления и др. Отметим также, что метод модулей широко используется для решения задач теории функций на плоскости. В этом отношении следует упомянуть две работы: вышедшую в 2002 г. монографию А. Ю. Васильева [16] и вышедшую в 2009 г. монографию В.Н. Дубинина [17].

Подход, основанный на модульных и ёмкостных оценках, как показывает ряд недавно вышедших работ (см., например, монографии [18,19]), продолжает оставаться основным инструментом в изучении различных обобщений отображений с ограниченным искажением. В 2015 г. вышла статья А. Н. Байкина и С. К. Водопьянова [20], в которой сформулировано естественное обобщение класса отображений, введённых Ю. Г. Решетняком — так называемые отображения с весовым ограниченным (р,д)-искажением. В [20] получены ёмкостные оценки для введённого класса отображений без предположения об условии Лузина которое в предшествующих работах либо постулировалось, либо автоматически выполнялось. Для отображений из нового класса это условие может и не иметь места, поскольку (по определению) они принадлежат классу И^^О), где ц > п — 1. Во второй главе диссертации мы получаем модульные неравенства (например, аналог теоремы 2) для отображений с весовым ограниченным (р,(¡^-искажением без некоторых аналитических предположений, характерных для выводов результатов предшествующих работ, в частности, без ^/К-свойства Лузина. Это оказывается возможным благодаря следующему замечательному факту, установленному С. К. Водопьяновым [20,21]: частные производные функции Полецкого обращаются в нуль почти всюду на образе множества точек ветвления.

Целями данной работы являются:

1) изучение геометрическим методом класса отображений с весовым ограниченным (р,д)-искажением;

2) изучение отображений с ограниченным искажением на одном из модельных примеров пространства Карно — Каратеодори;

3) изучение квазиконформных отображений на пространствах Карно — Каратеодори.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1) для отображений с (0,1)-весовым ограниченным (р,^-искажением получить аналог леммы Полецкого и на его основе установить оценки на искажение модулей семейств кривых;

2) распространить основополагающий топологический результат Ю. Г. Ре-шетняка на модельный пример пространства Карно — Каратеодори — группу поворотов-сдвигов;

3) решить вопрос о свойстве абсолютной непрерывности квазиконформных отображений пространств Карно — Каратеодори на интегральных кривых негоризонтальных векторных полей.

6

Методы исследований. В работе используются методы теории функций вещественного переменного, геометрического анализа, квазиконформного анализа п анализа на метрических пространствах (в том числе на субримановых многообразиях).

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Для отображений с (0,1)-вссовым ограниченным (р,д)-искажением установлен аналог леммы Полецкого.

2) Для отображений с (0,1)-весовым ограниченным (р,д)-нскажением получены модульные неравенства типа Полецкого и Вяйсяля.

3) Установлено свойство морфизма субэллиптических уравнений для отображений с ограниченным искажением, область определения которых лежит в группе поворотов-сдвигов, а область значений — в группе Гейзен-берга. В качестве следствия получено, что всякое непостоянное локально ограниченное отображение с ограниченным искажением, области определения и значений которого лежат в группе поворотов-сдвигов, непрерывно, открыто и дискретно.

4) Доказано, что квазиконформные отображения пространств Карно — Ка-ратеодори абсолютно непрерывны не только на интегральных кривых горизонтальных векторных полей, но н на интегральных линиях векторных полей более высокой степени.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны для специалистов по квазиконформному анализу и геометрической теории функций. Результаты диссертационного исследования могут включаться в спецкурсы для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные результаты работы прошли апробацию на следующих конференциях: школа-конференция по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 2012, 2014); международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова (Новосибирск, 2012); международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем» (Переславль-Залесский, 2013); международная молодёжная конференция «Геометрия и управление» (Москва, 2014); международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске - 2015» (Новосибирск, 2015).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на следующих семинарах: семинар по геометрическому анализу (Институт математики им.

7

С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск; руководитель: д.ф.-м.н., профессор С. К. Водопьянов); семинар лаборатории геометрической теории управления (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск; руководитель: д.ф.-м.н., профессор A.A. Аграчёв); семинар отдела анализа и геометрии (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск; руководитель: академик РАН, д.ф.-м.н., профессор Ю.Г. Решетник).

Диссертационная работа была выполнена при частичной поддержке гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований (договор № 14.В25.31.0029), Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00552), Совета по грантам Президента Российской Федерации (проект № НШ-2263.2014.1).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 9 работах [А1-А9], из них 3 статьи [А1-АЗ] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны содержаться основные научные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Работы [А4-А9] опубликованы в тезисах докладов и материалах конференций.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав (разбитых на параграфы), заключения и списка литературы. Список литературы, за исключением выделенных в отдельную часть работ автора по теме диссертации, содержит 130 наименований и приведён в порядке цитирования. Объём диссертации — 112 страниц.

В главах все утверждения (теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания) пронумерованы тремя числами: первое является номером главы, второе — номером параграфа в главе, третье — порядковым номером утверждения в данном параграфе. Нумерация формул сквозная.

Содержание работы

Далее нумерация предложений, теорем и следствий совпадает с таковой в тексте диссертации.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, а также обзор содержания диссертации.

Глава 1 посвящена предварительным сведениям, которые будут использоваться в дальнейшем.

В главе 2 изучается класс отображений с весовым ограниченным (р,(^-искажением, недавно введённый С. К. Водопьяновым. Определение это-

го класса, который служит естественным обобщением класса отображений в смысле Ю. Г. Решетняка, сформулировано в параграфе 2.1.

Определение. Пусть в,а: Е" [0,оо] — локально суммируемые функции (называемые весовыми) такие, что в > 0, а > 0 почти всюду. Отображение /: О. —¥ К" называется отображением с (в,а)-весовым ограниченным (р,д)-искажением, п — I < д ^ р < оо, если:

1) / непрерывно, открыто и дискретно;

2) / принадлежит классу Соболева

3) ^ 0 для почти всех х € Я;

4) отображение / имеет конечное искажение:

для почти всех х е Г2 равенство J(x,f) = 0 влечёт 0/(х) = 0;

5) функция локального (#,сг)-весового д-искажения

< в\{х)\внх)\ еслн А л ф 0

^0, если J(x,f) = 0,

принадлежит классу где х находится из условия ^ = | — ^ (х = оо

при д = р).

Через обозначим величину | ЬХ(П)||.

Обратим внимание, что в данное определение не входят некоторые предположения, характерные для результатов предшествующих работ. В частности, при д Е (п—1,п) отображение / может и не обладать ^/К-свойством Лузина.

Далее мы исследуем свойства отображений в случае, когда а = 1. В параграфе 2.2 вводится понятие кривой в К" и формулируется важнейшее в главе 2 понятие весового модуля семейства кривых.

Определение. Для весовой функции и: Еп [0,оо] и ре [1,оо) определим ш-весовой р-модулъ семейства кривых Г формулой

тос1р Г = ¡М J рр{х)ш{х)дх,

Е"

где точная нижняя грань берётся по всем борелевским функциям р: М" —> [0,оо] таким, что /7 рйэ ^ 1 для каждой локально спрямляемой кривой 7 £ Г. При пишем просто тос!рГ.

В параграфе 2.3 устанавливается аналог леммы Полецкого для отображений с (#,1)-весовым ограниченным (р,д)-искажением. Эта лемма играет ключевую роль в доказательстве модульных неравенств.

9

Сначала в параграфе 2.3 формулируется понятие абсолютной пред-непрерывности. Предположим, что /: —» Мп — непрерывное открытое дискретное отображение. Пусть /3: Жп — замкнутая спрямляемая кривая, и а: / П — кривая такая, что /оа сДт.с./С /о- Если функция длины дуги : /о —> [ОД/3)] постоянна на некотором интервале 3 С то и отображение /3 постоянно на 3 (см. определение функции длины дуги, например, в [15]). В свою очередь, ввиду дискретности / отображение а также постоянно на 3. Следовательно, существует единственное отображение а*: зр{1) —> П такое, что а = а* о зр]^ Легко видеть, что а* непрерывно и / о а* С /3°. Кривая а* называется /-представителем кривой а (относительно /3), если /3 = / о а. Предположим теперь, что /3 = / о а. Отображение / называется абсолютно преднепрерывным на а, если а* абсолютно непрерывно.

Основным результатом параграфа 2.3 служит следующий аналог леммы Полецкого.

Лемма 2.3.1 ( [АЗ]). Пусть /: П —» К" — отображение с (в,1)-весовым ограниченным (рд)-искажением, п — оо, а весовая функция

ш(х) — (х) локально суммируема. Предположим, что Г — семей-

ство кривых в П такое, что для любой кривой 7 £ Г выполнено следующее: кривая /07 локально спрямляема, и 7 имеет замкнутую подкривую а, на которой / не абсолютно преднепрерывно. Тогда тос!^ /(Г) = 0, где

г/ =_£_

В параграфе 2.4 доказываются модульные неравенства типа Полецкого и Вяйсяля. Основные результаты этого параграфа — это следующие две теоремы.

Теорема 2.4.1 ( [АЗ]). Пусть f: О. Жп — отображение с (в,1)-весовым ограниченным (рд)-искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = 0-«-<»-1> (х) локально суммируема. Если Г — семейство кривых в области Г2, то справедливо неравенство

(то^ДГ))1/"' ^ К^ПГ-^то^Т)1'"',

Теорема 2.4.2 ( [АЗ]). Пусть /: П —»• К" — отображение с (9,1)-весовым ограниченным (р,д)-искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш{х) = «-с»-*) (х) локально суммируема. Пусть Г — семейство кривых в Г2, Г' — семейство кривых в К", ит — положительное целое число. Предположим, что выполняется следующее условие: для каждой кривой /3: / —> К" в Г' существуют кривые ■ ■ ■ ,ат в Г такие, что для всех х £ О. и Ь £ I

ю

равенство aj(t) — х справедливо не более чем для i(x,f) значений индекса j. Тогда

Кв1< f-ОТ"1 (modp/ ГГР' < (mo<, Г)1",

о Лр г! — _2_ п1 — _2_

гаер - р_(„_1), Я - q-(n-i)-

Из последней теоремы вытекает Следствие 2.4.1 ( [A3]) . Пусть /: Í2 Rn — отображение с (в,1)-весовым ограниченным (p,q)-искажением, п — 1 < q ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = (х) локально суммируема. Если D — нормальная область

для /, Г' — семейство кривых в f{D), Г — семейство кривых а в D такое, что / о а £ Г', то

Квл( f-Ш"-1

(modp,ry/*4 (modyr)W.

В главе 3 изучаются отображения с ограниченным искажением на пространствах Карно — Каратеодори (встречающиеся ниже понятия и обозначения соответствуют работам [Al, А2]). В параграфах 3.1-3.3 в качестве модельного примера рассматривается группа поворотов-сдвигов. В параграфе 3.1 приводятся сведения о группе поворотов-сдвигов. Группа поворотов-сдвигов TZT — это совокупность точек в М,! с групповой операцией

(xi,y i А) • (х2 ,У2 А) = (si + х2 cos 9i — ?/2 sin 01,2/1+ х2 sin é>i + у2 cos в i, 4- 02) •

В параграфе 3.2 устанавливается свойство морфизма субэллиптических уравнений для отображений с ограниченным искажением, область определения которых лежит в группе поворотов-сдвигов, а область значений — в группе Гейзенберга. Приведём этот результат.

Теорема 3.2.1 ( [А2]). Пусть / : П —>■ П — отображение с ограниченным искажением области Q С ИТ в открытое множество Ú С Н1. Предположим, что w: Ó —> R — С2-гладкое решение в Г2 уравнения

divA (| Vfcii; (g) I2 Vi,«; (g)) = 0.

Тогда композиция w¡ = w o f есть решение в области Q уравнения

dWhs/(g,Vhwf(g)) = 0,

где горизонтальная дивергенция понимается в смысле распределений, s?/{g£) = а (2 х 2)-матрица G(g) имеет вид

G( = {(d6t Dtt9)Y,2{Dhf{gYDhf{g))-\ если det Df(g) ф 0,

\Id, если det Df(g) = 0.

и

В доказательстве этой теоремы используется следующее утверждение, также сформулированное в параграфе 3.2.

Предложение 3.2.1 ([А2]). Предположим, что f: П —> El1 — отображение класса W4'loc(fi; Н1), Q С 1ZT — область. Пусть U: Н1 —> Ж2 — векторное поле U = (ui,u2) € С1 такое, что diVhU = Ащ + Ви2 ограничено на Н1, и задана горизонтальная дифференциальная форма костепени один

= ui(q) dB Л dC - u2(q) dA Л dC.

Тогда справедливо равенство d(f#u>) = f^dw, где внешний дифференциал d понимается в смысле распределений.

Свойство морфизма позволяет получить следующий основной результат параграфа 3.2.

Теорема 3.2.2 ([А2]). Пусть F: Г2 —» 1ZT — непостоянное локально ограниченное отображение с ограниченным искажением, О. С 7VT — область. Тогда F непрерывно и открыто; оно дискретно на всякой подобласти Г2' <ё fi.

В параграфе 3.3 устанавливается формула замены переменной, благодаря которой удаётся доказать свойство морфизма. Сформулируем основной результат параграфа 3.3 (через М обозначается связная компонента множества где ip б Со°(П)).

Предложение 3.3.3 ( [А2]). Пусть f:Q —» Н1 — отображение класса W^tyH1), fi С ПТ - область. Для почти всех t € отображение

/: М —Н1 обладает следующими свойствами:

(i) отображение /: М —> И1 можно изменить на множестве Камеры нуль так, чтобы оно стало непрерывным;

(ii) /: М —» Н1 обладает jY-свойством Лузина;

(iii) lim Seifig ),/(g)) < ^ ^ля уъ -почти всех точек q € M; S'^g.g'eu dc(g' ,g)

(iv) / дифференцируемо для 1-ßsr-no4mu всех g € M в следующем смысле:

dc(f(g'),Df(g)[g'}) = o(dc(g',g)) при M ntf» э g' -» g;

(v) для V?ST-no4mu всех g 6 M справедливо равенство, где МТ = ВОХ2(£Г,Г) П М:

I det(Pr/(3) fc°Df(g)\TgM)\ = lim- -----

lim

rAo H2e(Pr,

n2e(f(g)(Prk°Df(g))(Mr)).

r^O ПЦМг)

(vi) для Н1г-почти всех g € Л/

и р л xdcf,. ^V((Prfco/)(A/r)) |det(Pr/(g).fcog/(g)|T,Af)|. J(g,Prk°f\M) = lim- :i . .-=-======-,

г ЩЛмг) V^iia) + (g)

(vii) для отображения Prjt of: M —> Hj k справедлива формула замены, переменной:

i u(g)J(g,Pvkof\h[)dni(g) = i f £ u(g) ) дНЦя),

М Км W"1*«) /

где и: M —> R — измеримая функция такая, что u(g) J(g, Рг^ °/\м) интегрируемо на М относительно меры %ZST.

Параграф 3.4 посвягцён решению следующего вопроса: обладает ли квазиконформное отображение пространств Карно — Каратеодори свойством абсолютной непрерывности на интегральных кривых негоризонтальных векторных полей?

Сначала в параграфе 3.4 вводятся адекватные ситуации понятия абсолютной непрерывности и модуля семейства кривых.

Пусть /: М —> М — квазиконформное отображение пространств Карно — Каратеодори хаусдорфовой размерности г/, и expiX(s) — интегральная кривая векторного поля X степени I, выходящая из точки s € М, t 6 (—а,а), М — глубина многообразия М.

Определение. Говорят, что отображение / является l-абсолютно непрерывным (или обладает l-ACL-свойством) на интегральной кривой exptX(s), если для любого е > 0 найдётся 5 > 0 такое, что для всякого набора попарно непересекающихся интервалов (а^Л) С [—а,а], г G N, выполняется условие

Y^iPi -т)<5 влечёт ^(сЦ/(ехра;Х(5)),/(ехрАХ(5)))г < г.

¡6N г€ N

Определение. Пусть и — хаусдорфова размерность пространства М, и Г — семейство интегральных кривых векторного поля степени I. Назовём v/l-модулем этого семейства величину

mod,/, Г = inf J p"/l dHv,

м

где инфимум берётся по всем борелевским функциям р: М —¥ [0,оо] таким, что /„. р сГН.' ^ 1 для любой кривой 7 € Г.

Основной результат параграфа 3.4 составляет следующая

Теорема 3.4.1 ([А1]). Пусть М и М — пространства Карно — Каратеодори хаусдорфовой размерности v, и П С М — компактно вложенное открытое связное множество. Если отображение /: Н —> О! = f(fl) квазиконформно, то оно l-абсолютно непрерывно на mod„ц-почти всех интегральных кривых векторного поля степени М, где М — глубина многообразия М.

Сформулированные в параграфе 3.4 определения и теорема обобщают результаты работы [22].

В заключении приведены основные результаты работы и перспективы дальнейшего развития.

Список литературы

1. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982. - 285 с.

2. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups //J. Gcom. Anal. - 1997. - V. 7, N 1. - P. 109-148.

3. Даирбеков H. С. Свойство морфизма для отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т. 40, № 4. - С. 811-823.

4. Dairbekov N. S. Mappings with bounded distortion of two-step Carnot groups // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. - P. 122-155.

5. Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // Contemporary Mathematics. - 2007. -V. 424. - P. 303-344.

6. Agrachev A., Barilari D. Sub-Riemannian Structures on 3D Lie Groups // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. - V. 18, N 1. - P. 21-44.

7. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets 11 Acta Math. - 1950. - V. 83. - P. 101-129.

8. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. -1957. - V. 98. - P. 171-219.

9. Шабат Б. В. Метод модулей в пространстве // Докл. АН СССР. -1960. - Т. 130. - С. 1210-1213.

10. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. - 1970. - Т. 83 (125), № 2. - С. 261-272.

11. Vaisala J. Modulus and capacity inequalities for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fcnn. Scr. A I. - 1972. - N 509. - P. 1-14.

12. Martio 0. A capacity inequality for quasiregular mappings // Ann. Sc. Fenn. Ser. A I. - 1970. - N 474. - P. 1-18.

13. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sc. Fcnn. Ser. A I. - 1969. - N 448. - P. 5-40.

14. Полецкии E. А. О стирании особенностей квазиконформных отображений // Мат. сб. - 1973. - Т. 92 (134), № 2. - С. 242-256.

15. Rickman S. Quasiregular Mappings. - Springer-Verlag, 1993. - 213 p.

16. Vasil'ev A. Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings. - Springer-Verlag, 2002. - 211+ix p.

17. Дубинин B.H. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного. - Российская акад. наук, Дальневосточное отд-нис, Ин-т прикладной математики, Владивосток : Дальнаука, 2009. - 390+ix с.

18. Martio О., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. - New York, Springer, 2009. - 367 p.

19. Севостьянов E. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. - Киев, Наукова думка, 2014. - 303 с.

20. Байкин А. Н., Водопьянов С. К. Емкостные оценки, теоремы Лиувилля и об устранении особенностей для отображений с ограниченным (p,q)-искажением // Сиб. матем. журн. - 2015. - Т. 56, № 2. - С. 290-321.

21. Водопьянов С. К. О регулярность функции Полецкого при слабых аналитических предположениях исходного отображения // Докл. АН. -2014. - Т. 455, № 2. - С. 130-134.

22. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. матем. журн. - 1995. -Т. 36, № 6. - С. 1317-1327.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Трямкин, М. В. Абсолютная непрерывность квазиконформного отображения пространств Карно-Каратеодори / М. В. Трямкин // Известия вузов. Математика. - 2013. - № 5. - С. 64-68.

А2. Трямкин, М.В. Свойство морфизма субэллиптических уравнений на группе поворотов-сдвигов / М.В. Трямкин // Сибирский математический журнал. - 2015. - Т. 56, № 5. - С. 1171-1194.

A3. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограниченным (p,q)-искажением / М.В. Трямкин // Владикавказский математический журнал. - 2015. - Т. 17, вып. 3. - С. 65-74.

A4. Трямкин, М. В. АСL-свойство квазиконформных отображений пространств Карно-Каратеодори и функции класса ВМО / М. В. Трямкин // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. -Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2012. - С. 56.

А5. Трямкин, М. В. АСL-свойство квазиконформных отображений пространств Карно-Каратеодори и функции класса ВМО [Электронный ресурс] / М. В. Трямкин // Дни геометрии в Новосибирске, 2012: Тезисы международной конференции. Новосибирск. - 2012. - Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/geomtop2012/abstracts/Tryamkin.pdf

A6. Трямкин, M. В. Отображения с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем». Тезисы докладов. - Переславль-Залесский: изд. «Университет города Пе-реславля». - 2013. - С. 40-41.

А7. Tryamkin, М. Analytical Properties ofSobolev Mappings on Roto-Translation Groups / M. Tryamkin // International Youth Conference "Geometry and Control". Abstracts. - Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences. - 2014. - P. 42-43.

A8. Трямкин, M. В. Отображения с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2014. - С. 29 -31.

А9. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограниченным (p,q)-искажением / М.В. Трямкин // Дни геометрии в Новосибирске - 2015: Тезисы международной конференции. - Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН. -2015. - С. 63-64.

Трямкин Максим Владимирович

Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 06.10.2015 г. Офсетная печать. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 285.

Отпечатано в ИП Малыгин А. М. пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090