Дифференциальные включения, содержащие малый параметр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИЗМЕРИМОЙ

ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ.

§ I. Вспомогательные сведения.

§ 2. Принцип усреднения для дифференциальных включений с измеримой правой частью.II

§ 3. Теорема о непрерывности решений дифференциальных включений по параметру и начальным данным.

Глава 2. УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЧАСТОТНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

§ I. Кратные интегралы многозначного отображения и их свойства.

§ 2. Схемы усреднения управляемых систем с быстрыми фазами.

Глава 3. УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ СО СКАЛЯРНОЙ ФАЗОЙ.

§ I. Усреднение уравнений управляемого движения.

§ 2. Усреднение в задачах с фиксированным временем.

§ 3. Усреднение в задачах с нефиксированным временем.

I. Актуальность темы работы.

Теория оптимального управления является сегодня интенсивно развивающимся разделом современной математики,интерес к которому обусловлен его прикладным характером и потребностями современной техники.

На практике реальные управляемые процессы исследуются на основе идеализированных математических моделей,нередко описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами. В частности,появление малых параметров может быть вызвано наличием в системе управления элементов,инерционные свойства которых отличаются на один или несколько порядков.

Для приближённого решения дифференциальных уравнений с малым параметром используются различные асимптотические методы [7,16,24, среди которых одним из самых распространённых и разработанных является метод усреднения.Этот метод широко применяется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными^,6,7,17,19,20,22,30,32,49, 53,55; ^j,часто встречающихся в приложениях:теория колебаний,вращение твёрдого тела,динамика космических полётов и т.д.

Актуальность исследований,выполненных в данной работе,определяется тем,что во многих задачах механики и техники,описываемых системами дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными, возникает необходимость в управлении процессом.При этом большой интерес представляет собой разработка различных схем ус -реднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, так как применение этих схем позволяет свести решение исходной задачи оптимального управления к интегрированию усреднённой системы, которая существенно проще /например,содержит меньшее число уравнений и переменных/.

Тема диссертации входит в комплексную тему "Асимптотические методы исследования задач оптимального управления" /номер государст -венной регистрации 01820068762/ разработкой которой занимается коллектив кафедры оптимального управления Одесского университета в соответствии с Республиканским планом важнейших работ в области естественных наук АН УССР на I98I-I985 гг.

2. Существующие подходы к усреднению управляемых систем с быстрыми фазами. Цель работы.

Впервые применение метода усреднения к исследованию управляемых систем с быстрыми фазами было рассмотрено в работе [32]] в предположении о медленном изменении функции управления.Для случая же,когда управление считается произвольным,наметились следующие две методики применения метода усреднения:

1. С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина исходная задача управления системой с медленными и быстрыми переменными сводится к краевой задаче,для решения которой применяется метод усреднения.

В работах р,22,55] с помощью этого подхода исследуются управляемые системы со скалярной фазой или системы,сводящиеся к такому типу.В данной работе подобная методика применяется в §§2,3 главы З.При этом,как и в вышеперечисленных работах исследован случай системы со скалярной фазой,но по сравнению с [55] предложен алгоритм усреднения, позволяющий избежать неединственности решения краевой задачи принципа максимума для процессов с нефиксированным временем.

2. На основе аппарата дифференциальных включений усредняются непосредственно уравнения управляемого движения,и решается задача оптимального управления для более простой усреднённой системы. Этот подход для систем стаццартного вида с медленными переменными был впервые рассмотрен в работах [34 - 3?] .В данной работе предложен алгоритм усреднения уравнений управляемого движения для систем с быстрыми фазами,и дано его обоснование в случае скалярной фазы.

Таким образом,целью данной работы является: построение и обо -снование схем усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными,базирующихся на применении дифференциальных включений,а также получение некоторых результатов по теории многозначных отображений,лежащих в основе этр1х схем.

3. Научная новизна и практическая ценность работы.

Основные научные результаты работы состоят в следующем: I/ получено обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью; 2/ доказана теорема о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным решений дифференциального включения,правая часть которого удовлетворяет условиям Каратеодори; 3/ на основе теории кратного интеграла многозначного отображения предложена схема усреднения управляемых систем с быстрыми фазами; 4/ обоснована схема частичного усреднения в системах со скалярной фазой;

5/ предложена и обоснована схема усреднения уравнений управляемого движения,описываемого системой со скалярной фазой; б/ доказана близость решений исходной и усреднённой краевых задач принципа максимума Л.С.Понтрягина для управляемых квазилинейных систем со скалярной фазой в задачах как с фиксированной,так и с нефиксированной продолжительностью процесса.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные и обоснованные в ней схемы усреднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными позволяют значительно упростить решение задач оптимального управления для таких систем.

4.Объём и структура работы.

Работа объёмом 110 страниц состоит из трёх глав. В первой главе помещены теоремы об усреднении на конечном промежутке и о непрерывной зависимости по параметру и начальным данным для дифференциальных включений с измеримой правой частью, а также некоторые вспомогательные сведения. Результаты этой главы служат теоретическим фундаментом для последующих глав.

Во второй главе вводится понятие кратного интеграла многозначного отображения и строится его теория. На базе этой теории предлагаются схемы усреднения управляемых систем с несколькими быстрыми фазами, которые иллюстрируются на модельных примерах.

Третья глава посвящена усреднению управляемых систем со скалярной фазой. Обосновываются схемы усреднения как непосредственно. уравнений управляемого движения/предложенные во второй главе^ так и краевых задач принципа максимума JI.C. Понтрягина. Рассматриваются случаи фиксированной и нефиксированной продолжительности процесса. С помощью предложенных схем решаются конкретные задачи из теории колебаний.

Внутри глав параграфы имеют самостоятельную нумерацию. Теоремы и формулы в пределах параграфа имеют одинарную нумерацию. При ссылках на результаты другого параграфа данной главы применяется двойная нумерация с указанием номера параграфа и теоремы /формулы/. Если ссылка делается на результаты другой главы, то используется тройная нумерация: номер главы, номер параграфа, номер теоремы /формулы/.

5.Общая методика исследования.

Основным аппаратом исследования в данной работе является метод усреднения ^6,7,17,19,20,25,30 - 32,34 - 40,49, 53, 5б] в сочетании с некоторыми результатами теории многозначных отображений [2 - 5,8,23,26,28,29,41,48,50 - 52,54,60,63 - 8б] . Кроме того, в третьей главе существенно используется методика усреднения краевых задач принципа максимума Л.С. Понтрягина, изложенная в работах [34,55] . о.Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на: Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1982/, Третьей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно - техническом прогрессе" /Канев, 1982/, Всесоюзной школе - семинаре "Методы малого параметра и их применение" /Минск, 1982/, Четвёртой Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах /Москва, 1982/, республиканском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям при Киевском государственном университете.

7. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 работ \l0 - 15, 38,39]. В опубликованных в соавторстве работах [J4,15,38,39] лично автору диссертации принадлежат следующие результаты:

14. Исследование схем усреднения нелинейных управляемых систем с медленными и быстрыми переменными.

15. Исследование многочастотной управляемой системы специального вида с помощью метода усреднения.

38. Обоснование метода усреднения на конечном промежутке для дифференциальных включений с измеримой правой частью.

39. Введение понятия кратного интеграла многозначного отображения и изучение его свойств,рассмотрение схем усреднения управляемых систем с быстрыми фазами на модельных примерах.

1. Акуленко Л.Д. Асимптотическое решение двухточечных краевых задач.- ГОШ,1980,т.44,№ 4,с.632-639.

2. Аркин В.И.,Левин В.Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи.- УМН, 1972,т.27,вып.3,с.21-77.

3. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений.Часть I,- М.:Изд-во МГУ,1979.-89 с.

4. Боголюбов Н.Н.,Зубарев Д.Н. Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле.- УМЖ,1955,т.7,Р I, с.5-17.

5. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,- М.:Физматгиз,1963.-410 с.

6. Борисович 10.Г.,Гельман Б.Д.,Мышкис А.Д. ,0буховский В.В. Многозначные отображения.- Математический анализ.Т.19

7. Итоги науки и техники.ВИНИТИ АН СССР /.- М.,198I,с.127-231.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.- М.:Наука,1977.-624 с.

9. Васильев А.Б. Обоснование одной схемы усреднения уравнений одночастотной управляемой системы.-Межобластная научнопрактическая конференция молодых учёных,посвящённая 60-й годовщине образования C00P.Тезисы докладов,Одесса,1983,с.43-45.

10. Васильев А.Б. О непрерывной зависимости по параметру решений дифференциальных включений.- УМЗК, 1983,т.35,Р 5,с.607-611.

11. Васильев А.Б. О непрерывности по параметру решений дифференциальных включений.-III Республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям.Тезисы докладов,Одесса,1982, с.68-69.

12. Васильев А.Б. Усреднение уравнений управляемого движения в системах с быстрыми фазами.-Всесоюзная школа-семинар "Методы малого параметра и их применение'.'Тезисы докладов, Минск, 1982, с. 75.

13. Васильев А.Б.,Плотников В.А.,Смирнова Н.А. Усреднение уравнений движения в задачах управления нелинейными колебаниями.-Четвёртая Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах.Тезисы докладов,Москва,1982,с.41.

14. Васильев А.Б.,Плотников В.А.,Смирнова Н.А. Усреднение уравнений движения при решении задач управления.-III Республиканская конференция "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе'.'Тезисы докладов,Киев, 1982,с. 164-165.

15. Васильева А.Б.,Бутузов в.ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений.- М.:Наука,1973.-272 с.

16. Волосов В.М.,Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.- М.:Изд-во МГУ,1971.-507 с.

17. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н.Боголюбова.- УМЖ,1952, т.4,№ 2,с.215-219.

18. Гребеников Е.А.,Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.- М.:Наука,1979.-431 с.20,21,22