Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Балабаева Наталья Петровна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ МЕТОДОМ УСРЕДНЕНИЯ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2005

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Филатов Олег Павлович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Хапаев Михаил Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич.

Ведущая организация - Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева.

Защита состоится 10 января 2006 года в 15 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Е.Гликлих

"У

2IS OffSI

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Основы теории устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены в конце XIX века A.M. Ляпуновым.

В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения. При исследовании устойчивости систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными используется, в частности, метод усреднения. В этом случае, при выполнении определенных условий, об устойчивости по медленным переменным таких систем можно судить по свойствам усредненной системы с медленными переменными.

Для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений обобщение второго метода Ляпунова, основанное на идеях усреднения, было разработано М.М. Хапаевым.

Дифференциальные включения с быстрыми и медленными переменными используются при описании многих математических моделей. При этом для эволюционных задач в экономике и экологии естественным является требование неотрицательности решения. Такие ситуации встречаются также при использовании векторных функций Ляпунова. В частности, в работе В.М. Матросова при исследовании устойчивости систем дифференциальных уравнений с использованием теорем сравнения возникла задача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важевского. В работе О.П.Филатова установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром ¡л (0 < ju С 1) и системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости.

В данной диссертации рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым

з

проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе предполагаются неотрицательными.

Большое практическое значение имеет задача об устойчивости по отношению к части переменных. Действительно, во многих практических задачах для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость только по части переменных. Этот вопрос весьма полно освещен в книге В.В. Румянцева и A.C. Озиранера. Результаты, полученные в этой области для обыкновенных дифференциальных уравнений, могут быть применены для исследования дифференциальных уравнений с управлением. В работе Г. Граммеля и И. Майзурны, опубликованной в 2004 году, расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом правая часть исходной системы предполагалась лишпицевой. В настоящем диссертационном исследовании для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения, и ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицевой правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне лип-шицево.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является определение условий, при которых свойство устойчивости усредненного дифференциального включения с медленными переменными на асимптотически большом или бесконечном промежутках наследуется возмущенной системой, содержащей как медленные, так и быстрые переменные.

Методы исследования. В работе используется теория дифференциальных уравнений и включений, математическая теория устойчивости, метод усреднения, а также теория анализа многозначных отображений.

Научная новизна. В результате проведенного исследования с помощью метода усреднения доказаны теоремы об устойчивости на асимптотически большом отрезке и на бесконечном промежутке системы дифференциальных неравенств и включений, а также теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. Все результаты диссертации являются но-

выми.

Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследования. Все основные результаты диссертации доказаны.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертационной работе результаты носят теоретический характер и могут найти применение в теории устойчивости дифференциальных включений и в прикладных исследованиях.

На защиту выносятся:

— доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке;

— доказательство теоремы об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений;

— доказательство теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинаре "Нелинейное моделирование и управление" Второго Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Самара, июль 2001 г.), на Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, октябрь 2004 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, январь 2005г.), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XVI" (Воронеж, май 2005 г.), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, июнь 2005 г.), на Всероссийской конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июль 2005 г.), на 55-ой, 56-ой и 58-ой межвузовских научных конференциях СамГПУ (Самара, 2001, 2002 и 2004 гг.), научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Филатова О.П. (Самара, 2000-2005 гг.)

Личный вклад автора. Все новые результаты получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, объединяющих в общей сложности 11 параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 99 страниц. Библиография содержит 92 наименования.

Содержание диссертационной работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор исследований по ее тематике, изложено содержание и сведения об апробации работы.

Приводится список основных обозначений: К(Rm) — класс непустых компактных множеств из Rm; Kv{Rm) — класс непустых компактных выпуклых множеств из Rm; К— класс непрерывных строго монотонных функций, определенных на R+ и равных 0 в точке 0; К+ = [0, +оо); ("i') i II' II — скалярное произведение и норма в пространствах К™ и Rm; Bn(r0) = {i £ R" : ||з;|| < r0} —шар в пространстве R" с радиусом г0 > 0;

В" (г0) = {х 6 R" : |М| < г0, х > 0}; h0{A, В) = sup inf ||а - Ь|| — повел ЬеВ

луотклонение множества А С R" от множества В С R"; h(A,B) = max{fto(A, B),hg(B, Л)} — отклонение множества А от множества В; T(to, fi) = [to, ta + /х-1] — асимптотически большой промежуток при

ÍI-+0.

Первая глава посвящена исследованию систем дифференциальных включений на асимптотически большом промежутке T(to,/j,), t0 £ Ж+, fi-> 0.

Первые три параграфа носят вспомогательный характер. В них содержатся сведения из многозначного анализа и теории дифференциальных включений, необходимые для дальнейшего изложения. Приводятся также некоторые сведения из теории дифференциальных неравенств.

Определение 1 Совокупность всех измеримых отображений Fq : Dq — •Kv(Rn), где Dq = R+ х Р, Р С R", образует класс Lo (и, D0), если любая функция Fo G Lq(ti,Do) удовлетворяет условиям:

1) отображение Ft¡(t,x) равномерно ограничено почти Vi;

2) функция Fo(t, х) удовлетворяет условию Липшица по переменной х с общей постоянной почти Vi.

В четвертом параграфе приведена постановка задачи, исследуемой в данной главе диссертации, и сформулированы основные предположения. Рассмотрим систему дифференциальных неравенств и включений вида

Здесь х = (xi,..., хп) — вектор из нормированного пространства Ж"; t € R+; / = (/i,..., /„) — векторнозначная функция, / : R+ х B"(ro) х Кт х [0, ц,] —► R"; G : R+ х Ira х [0, ц») —► Kv(Rm); Л : R+ х B"(r0) х Rm х [0, ц,] —У Kv(TSLm)-, ц — малый параметр, 0 < /х < /i,, ц, > 0.

Знак "<" в (1) понимается в смысле покоординатной частичной упорядоченности векторов из К". Под решением системы (1) с начальными условиями x(t0) = хо > 0, у (to) = у0 £ Кт будем понимать абсолютно непрерывную функцию w(t) = {x(t),y(t)), x(t) > 0, удовлетворяющую системе (1) почти при всех t > 0 из промежутка определения То, который допускается и конечным.

Определение 2 Систему (1) будем называть х,ц - устойчивой, если V £ > 0 3 fio > 0 3 S > 0; для любых начальных условий (to,wo) £ R+ х В" (6) х Mm, Vfi е (0, fio], Vie То, для любого решения системы (1) выполняется неравенство ||я(£)|| < £■ Если последнее неравенство выполняется только в промежутке То П + А'-1], то систему (1) будем называть х, ц-устойчивой на асимптотически большом отрезке.

Рассмотрим вопрос об х, ц - устойчивости системы (1) на асимптотически большом отрезке T(t0,n) = [¿о, ¿o + А*-1], t0 е —> 0, установив связь со свойствами решений системы дифференциальных включений, полученной методом усреднения. Предположим, что выполняются условия:

a) отображение / измеримо по £;

b) функция / ограничена почти при всех t: ||/|| < с, с — постоянная;

c) функция / удовлетворяет условию

||/(Mi,I/i,aO - /(Ma,У2,0)|| < I||xi - хг|| +<7i(||yi - 1/2II) +

где I — постоянная; , сг2 £ К;

(I) отображение б ограничено почти при всех то есть \С(Ь,у,ц)\ = — зир{||р|1 : д е <3(4, у, р)} < с, с— постоянная;

( х< nf(t,x,y,n), \ У € G(t,y, ц) + fi.

), г (í0) = х0,

fiR(t,x,y,(i), y(tQ) = yo.

(1)

е) отображение (7 удовлетворяет условию Липшица по переменной у, то есть < Ц\У1 ~ 2/2К почти при всех £ и Vу,ц;

5) функция у, ц) равномерно непрерывна по ц в точке ц = 0 почти то есть Уг > 0 Э^о > 0 такое, что при 0 < ц < цо и любом у почти всюду по £ выполняется неравенство < е;

§) отображение Л : 11+ х Вп(г0) хГх [0, /1.] —► Кь( Кт) измеримо по ограничено почти при всех £ и удовлетворяет условию Липшица по переменным аг и у.

Системе (1) поставим в соответствие систему дифференциальных включений

Г г = г, V, ц), г(*о) = «о, ^

Усредняя систему (2), получим дифференциальное включение

£(*<>) = 6> = *о. (3)

Основным условием, которое нужно наложить на отображение Р0, является соотношение

(«о+Д <о+Д \

и т / /(«, *(<),«(«)./ *о(«,«о)Я| =0, (4) (М>е»Ь /0 Й /

которое должно выполняться равномерно по начальным условиям

(^,хо,уо) ей+х В+(£) х Жт. Здесь И^сь х0, у0) — множество всех решений «(£)) порождающей задачи (при /I = 0).

В пятом параграфе сформулирована и доказана теорема об устойчивости на асимптотически большом отрезке. Предварительно доказывается лемма, которая существенно используется при доказательстве этой теоремы.

Лемма 1 Пусть выполняются условия (а)-(д). Система (1) х, ц-устой-чива на асимптотически большом отрезке тогда и только тогда, когда система (2) г, /х-устойчива на асимптотически большом отрезке.

Теорема 1 Пусть выполняются условия (а)-(д) и соотношение (4) для € 1ч)("> А))- Если усредненная система (3) является ¡¿-устойчивой на асимптотически большом отрезке, то система (1) также является х, /¿-устойчивой на асимптотически большом отрезке.

В теореме 1 используется устойчивость усредненной системы дифференциальных включений на асимптотически большом отрезке. Исследовать систему дифференциальных включений на устойчивость можно, например, с помощью следующего достаточного условия.

Лемма 2 Пусть правая часть дифференциального включения (3) удовлетворяет условиям 1) отображение Fo £ Lo(n, Dq), ,gjF0(i,0) = {0}, Vi€K+.

Тогда система (3) ^.-устойчива на асимптотически большом отрезке.

Отметим, что в теореме 1 не требуется, чтобы функция f(t,x,y, ц) по переменным хну удовлетворяла условию Важевского. Однако оказывается существенным то, что в системе (1) слабая связь между медленными и быстрыми переменными, то есть многозначное отображение G не зависит от основных переменных, по которым проводится исследование на устойчивость. В шестом параграфе данной главы рассмотрен пример, показывающий, что на системы с сильной связью быстрых и медленных переменных вида

( х< nf(t,x,y,fi), \ у е G(t,x,y,fi),

теорема 1 не обобщается.

Кроме того, приведен пример, показывающий существенность требования равномерности в соотношении (4).

В последнем параграфе рассматривается вопрос о х, //-неустойчивости системы (1), которую будем понимать, как отсутствие х, /¿-устойчивости.

Определение 3 Систему (1) будем называть х,ц- неустойчивой, если Эе > 0 такое, что V/<o > 0 Э/i G (0, /¿о], существуют начальные условия (to,xo,yo) G R+. х В" (го) х Rm, 3<i > to,ti € То и такое решение x(t) > О системы (1), что ||a;(ii)]| > е. Если при этом t\ 6 То П [¿о, ¿о + /¿-1], систему (1) будем называть x.ji-неустойчивой на асимптотически большом отрезке.

Пусть в процессе усреднения системы (2) получена система вида (3), где для отображения Fo(i. £) £ Lo(n, Dq) равномерно по начальным условиям выполняется соотношение

(¿о+А io+Д \

F0(t,x0)dt, и 1/ /(M(i),e(i),0)<ft)J =0. (5)

to (i,»)€Wo tb J

Теорема 2 Пусть выполнены условия (а)-(д) и соотношение (5) для .Fo(i,£) € Lo(n, Do). Если усредненная система (3) является Ç, ц -неустойчивой на асимптотически большом отрезке, то система (1) также х, ^-неустойчива на асимптотически большом отрезке.

Во второй главе проводится исследование устойчивости дифференциальных включений на бесконечном промежутке.

В первом параграфе ставится задача об устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными. Если дополнительно к условиям теоремы 1 потребовать, чтобы точка £ = 0 была /i-устойчивой или даже асимптотически ^-устойчивой для системы (3), то оценку ||ж(£)|| < £, вообще говоря, нельзя распространить на весь промежуток определения Тр. В работе приведен соответствующий пример.

Второй параграф посвящен доказательству теоремы, которая представляет достаточное условие х, /z-устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений. Здесь, так же, как и в первой главе, рассматриваются такие решения системы (1), для которых x(t) > 0.

Теорема 3 Пусть выполняются условия (а)-(д) и существует функция Ляпунова и : B£(r0) -> R+, и 6 C\V«(z) > 0 \/z е ®"(r0), ||Vm|| < Cl» Xi(INI) < и(г) < ЫМ), € К, производная которой в силу

системы (S) допускает оценку ù(t,z,v,n) < —/х\:з(||г||), где хз £ К. Тогда система (1) х, ц-устойчива.

В третьем и четвертом параграфах рассматривается вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением. Доказываются теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением для случаев лишпицевой и нелишпицевой правой части.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в R" вида

~ хЛ*о) = (б)

Здесь векторнозначная функция / : R+ х I" х йт Г, у : R+ Мт. у(-) 6 Y, где Y — подмножество множества всех измеримых функций, ц — малый параметр,0 < ц < /î,, /х, > 0.

Под решением системы (6) с начальным условием ^(io) = io £ будем понимать абсолютно непрерывную функцию x^t), удовлетворяющую системе (6) почти при всех t > îq и для всех функций у(-) £ Y.

Определение 4 (равномерная экспоненциальная устойчивость) Положение равновесия 0 6 Ж" системы (6) будем называть равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют такие постоянные А > 0, а > 0 и цо > 0, что для всех параметров возмущения Ц (Е (0,^о], начальных условий (¿о,*о) € К+ х К", времени £ > ¿о и всех функций у(') £ У, соответствующие траектории (6) удовлетворяют оценке

Наряду с этой задачей рассмотрим усредненную задачу Копш, которая, в общем случае, описывается неавтономным дифференциальным включением

&(*) € £„(*)), {„(*>) = хо- (7)

Здесь отображение -Р: К+хГч Предположим, что выполняются условия:

I) отображение /(£,х,у(£)) измеримо по £ на Ух € К™, У?/(-) 6 У;

II) функция / удовлетворяет условию Липшица по переменной х, то есть

III) = о V« е и+, Щ-) е У;

IV) отображение Р измеримо по £ на М+ У£ € К";

V) отображение Р удовлетворяет условию Липшица по переменной £, то есть V* € К+, У6,6 € К": < ¿1||6 - 6||;

VII) Уе > 0 ЭД(е) такое, что У(*0,*о) К", Ух € К", УД > Д(е):

(«о+Д «о+Д \

у! [ /(«,*,»(«))*, 1 [ < ||х0|| е,

» «0 /о /

где объединение производится по всем функциям у{-) £ У.

Теорема 4 Пусть выполняются предположены (1)-(УП). Если усредненная система (7) равномерно экспоненциально устойчива, то исходная система (6) также равномерно экспоненциально устойчива.

Рассмотрим теперь достаточное условие равномерной экспоненциальной устойчивости, в котором условие липшицевости правой части дифференциального включения (7) заменяется на более слабое условие односторонней липшицевости, а от функции / из задачи (6) не требуется даже этого условия, но предполагается существование решения.

Определение 5 (односторонняя липшицевостъ) Многозначное отображение Р : [0, +оо) х К" —» /<Г(МП) будем называть односторонне липши-цевьгм по х, если найдется локально интегрируемая в [0,+оо) (по Лебегу) функция Ь : К+ -+ Е+ такая, что Ух, у £ К", V* е Ж+, Уг> 6 х) существует такой вектор ш £ Р(Ь, у), что

(х-у,ь-и))<Щ\\х-у\\\

Для компенсации отсутствия липшицевости на отображения / и ^ из задач (6) и (7) накладывается условие линейного роста и, кроме того, определенные требования, обеспечивающие для отображения /Хо =

•Л—¡г/(£, ||жо||г, г/(<)) равномерную непрерывность по переменной г, а для

Н^оН

многозначного отображения Fa;o = -г—||жо||С) — равномерную по-

РоН

лунепрерывность сверху по фазовой переменной, равномерную по I на Н+.

Пусть система (6) имеет хотя бы одно решение на Н+. Предположим, что выполняются условия:

A) отображение /(£,х, у{Ь)) измеримо по t на К+ Ух е К", Vу(-) 6 У;

B) существует постоянная с > 0 такая, что

\\№,х,Ут\ < с||х|| Ух е Ж", Уу(-) € Г;

C) Уе > О такое, что Ух0,х1,х2 € К", Уу(-) 6 У:

||х! - х2|| < ||хо||<5 ||/(МъУ(*)) - /(£,Х2,г/(*))|| < ||х0|к;

Б) отображение Р измеримо по £ на Ж+ У£ € Ж"; Е) существует постоянная с\ > 0 такая, что

1№0!1<С11К11 € Ж+, У£ 6 К"; Г) Уе > 0 35{е) такое, что Ух0,6,6 € Ж":

116 - Ы\ < =» < \Ы\е;

С) отображение Р односторонне липшицево с локально интегрируемой на Ж+ функцией Ьр : Е+ -4 Ж+ такой, что при всех Д > Г функция <о+Д

т(Д) = / Ьр{в)<18 < ¿'А {<!', V—некоторые числа); <0

H) Ve > 0 ЗД(е) такое, что V(io,zo) G R+ х Ж", Vx е К", VA > А(е):

(<о+Д <о+Д \

и X / f(t,x,y(t))dt, ^ J F{t,x)dt \ < ||а;о|| е,

" io <0 /

где объединение производится по всем функциям у(-) £ Y.

Теорема 5 Пусть выполняются предположения (А)-(Н). Если усредненная система (7) равномерно экспоненциально устойчива, то исходная система (6) также равномерно экспоненциально устойчива.

Заключение

В ходе исследований, выполненное в диссертационной работе, получены следующие основные результаты.

1. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости по медленным переменным на асимптотически большом отрезке неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений (теорема 1). Приведен пример, доказывающий невозможность обобщения этой теоремы на случай сильной связи быстрых и медленных переменных.

2. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости по медленным переменным неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений (теорема 3).

3. Сформулирована и доказана теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных уравнений с управлением для случая неавтономной системы сравнения (теорема 4).

4. Сформулирована и доказана теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости нелишпицевых дифференциальных уравнений с управлением (теорема 5).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Балабаева И.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2001. — С. 7-13.

хз

[2] Балабаева ff.IT. Устойчивость системы дифференциальных неравенств и включений с сильной связью быстрых и медленных переменных // Научные доклады ежегодной межвузовской 56-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2002. — С. 3-6.

[3] Балабаева ff.Il. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т.11.Вып.4. — С. 752-753.

[4] Балабаева ff.II. О неустойчивости систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2004. — С. 3-7.

[5] Балабаева Н.П. Пример применения систем дифференциальных неравенств и включений в математическом моделировании // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2004. — С. 7-9.

[6] Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2004. — Второй специальный выпуск. — С. 25-35.

[7] Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж: ВГУ, 2005. — С. 24-25.

[8] Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2005. — С. 65-70.

[9] Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения—XVI". — Воронеж: ВГУ, 2005. — С.23-24.

[10] Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г., г.Самара), часть 3. — Самара: СамГТУ, 2005. — С. 31-33.

[11] Валабаева Н.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость не-литпицевых дифференциальных уравнений с управлением // СамДифф-2005: Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", тезисы докладов. — Самара: Издательство "Универс-групп", 2005. — С. 16-18.

Заказ Х°<£7 ат&ГМ 2005г. Тираж Жэкз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

»24913

РНБ Русский фонд

2006-4 27344

Введение

Глава 1 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке

1.1 Основные понятия и классы отображений.

1.2 Аппроксимация дифференциальных включений.

1.3 Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского.

1.4 Постановка задачи и основные предположения.

1.5 Основная теорема.

1.6 Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений.

1.7 Теоремы о неустойчивости.

Глава 2 Устойчивость систем дифференциальных включений

2.1 Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке.

2.2 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений

2.3 Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью.

2.4 Равномерная экспоненциальная устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением

Вопросы устойчивости имеют огромное теоретическое и практическое значение. Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века A.M. Ляпуновым в его знаменитой диссертации "Общая задача об устойчивости движения" [48].

Дальнейшему развитию теории устойчивости были посвящены известные монографии А.И. Лурье [47], Н.Г. Четаева [87], И.Г. Малкина [49], Н.Н. Красовского [45], В.И. Зубова [40], Н.П. Еругина [37, 38].

Основными методами теории устойчивости являются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод делает заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости на основе изучения системы линейного приближения с постоянными коэффициентами. Обзор работ по применению первого метода Ляпунова дан в [31, 39].

Второй (прямой) метод предполагает известной функцию Ляпунова — функцию координат, имеющую смысл обобщенного расстояния до стационарного состояния. В этом случае заключение об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости делается по свойствам производной, вычисленной в силу уравнений системы. Второй метод Ляпунова, в том числе метод вектор-функций Ляпунова, получил развитие в работах В.М. Матросова [50, 51, 52], М.М. Хапаева [81, 82, 83], А.А. Воронова [30, 32], Б.В. Воскресенского [33, 34, 35], О.В.Анашкина

3, 4, 5] и др.

Начиная с середины сороковых годов XX века стали появляться работы, посвященные задачам об асимптотической устойчивости, когда область начальных возмущений нельзя считать малой. В значительной степени эти исследования были вызваны задачами, возникшими в теории автоматического регулирования. Эта теория была развита в разных направлениях многими авторами [2, 22, 30, 32, 44, 45, 49, 57, 59].

В начале шестидесятых годов возникла идея объединить методы дифференциальных неравенств С.А. Чаплыгина [86] с возможностью использования совокупности нескольких функций Ляпунова. В работе [50] на основе объединения этих концепций были разработаны методы определения условий устойчивости на базе векторных функций Ляпунова и развит принцип сравнения. Эти обобщения основаны на работе Т.Важевс-кого [92] о дифференциальных неравенствах. Наиболее полное математическое обоснование принципа дано в [52]. Метод конкретизирован для систем с распределенными параметрами [42, 65], а также для динамики систем процессов и динамики абстрактных систем [54], где используется принцип сравнения с несколькими векторными функциями Ляпунова и системами сравнения. Обзор результатов, полученных при помощи метода сравнения, дан в серии статей В.М. Матросова [53].

В это же время интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных. Такая задача возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость лишь по части переменных. Исследования в этой области отражены в работах [8, 63, 81] и наиболее полно систематизированы в работе [62].

В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения.

Важные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений) были представлены в работах А.Ф. Филиппова [77, 78, 80], где также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Достаточно обширная библиография таких работ содержится в [25, 27, 76]. Используемый в данной работе математический аппарат (теория опорных функций, элементы выпуклого анализа и теории многозначных отображений) изложен в [23, 24, 27, 69].

Характерной чертой описания многих реальных динамических систем является разномасштабность скоростей изменения различных групп фазовых переменных. Эффективное средство исследования подобных систем (систем с раделяющимися движениями) — метод усреднения. Вопросы обоснования и развития метода усреднения изучались в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [26, 46, 55]. Обширная библиография по вопросам усреднения содержится в [56].

Первые результаты по усреднению дифференциальных включений были получены В.А. Плотниковым [60, 61]. Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы об аппроксимации по медленным переменным доказаны в работах О.П. Филатова и М.М. Хапаева [72, 73, 74, 75].

Задача устойчивости систем дифференциальных включений решалась различными методами [2, 9, 36, 66, 84, 85]. Также как и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, весьма эффективным средством исследования устойчивости дифференциальных включений является метод усреднения. Это направление получило развитие в работах [67, 68, 70, 71,76, 80, 81,83, 91,90].

В работе М.М. Хапаева [83] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на многочастотные системы, содержащие резонансные гармоники. Для таких систем строится обобщенная функция Ляпунова. Правые части исследуемых систем периодические по быстрым переменным и удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Для оценки резонансных частот предложен метод, основанный на учете свойств частот в окрестности точки, исследуемой на устойчивость (в частности, требуется равномерное увеличение резонансной частоты по абсолютной величине при удалении от точки резонанса). В этой работе представлен ряд теорем об устойчивости на бесконечном промежутке времени. Для многочастотных систем устойчивость точки резонанса достигается за счет асимптотической устойчивости в этой точке усредненной системы. Теоремы об устойчивости на асимптотически большом отрезке T(fi) = [0,1///] (ц — малый параметр, 0 < // <С 1) доказаны при значительном ослаблении накладываемых условий. В частности, рассмотрен случай, когда точка резонанса xq является устойчивым положением равновесия усредненной системы, то есть когда нет асимптотической устойчивости. Устойчивость обеспечивается существованием положительно определенной функции Ляпунова vq(x), производная которой в силу усредненной системы неположительна. При таких предположениях определяется длина отрезка времени Т(/г), на котором решение исходной системы по переменной х не выйдет из ^-окрестности точки, исследуемой на устойчивость. Введенное здесь понятие устойчивости по части переменных и параметру — (х, fi)-устойчивости, — использовалось в работах [8, 70].

В работах О.В. Анашкина и М.М. Хапаева [6] для исследования устойчивости системы дифференциальных уравнений с малым параметром // в случае, когда система без возмущений имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение, был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения [26]. В работах О.В. Анашкина [3, 4] для получения теорем об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений используется подход, основанный на оценке поведения функции Ляпунова с помощью усреднения ее полной производной вдоль решения некоторой достаточно простой системы, которая хорошо аппроксимирует изучаемую систему. Этот метод впервые был предложен М.М. Ха-паевым в [82] и применялся в [7, 8] для исследования на //-устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром fi (0 < /i < 1), возникающих в теории нелинейных колебаний. Этот метод оказался очень эффективным средством при изучении устойчивости решений нелинейных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений также и в смысле классических определений А.М.Ляпунова [5]. В работах М.И. Каменского [10, 41] метод усреднения используется для исследования устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений нейтрального типа и систем квазилинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравне4 ний или включений с использованием теорем сравнения [50] возникает задача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важевского. Исследованию систем дифференциальных неравенств посвящены работы А.И. Перова [58], Н.В. Азбелева[1], А.А.Воронова [30] и др. В статье О.П.Филатова [70] установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром /г (0 < /( < 1) н системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости на асимптотически большом и на бесконечном промежутке времени. В настоящей работе рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе, как и в [70], предполагаются неотрицательными.

В 2001 году была опубликована статья Г. Граммеля (G.Grammel) [90], где расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом правая

часть исходной системы предполагалась периодической по быстрой переменной. В статье [91], опубликованной в 2004 году, тот же вопрос рассмотрен для систем с липшицевой правой частью. В работе О.П.Филатова [71] приводится критерий равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных включений с медленными переменными на основании дифференциального включения сравнения, которое, в частности, может быть получено при помощи частичного усреднения исходной задачи. В настоящей работе, в отличие от [90, 91], для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения. Кроме того, ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицсвой правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне липшицево (OSL). При доказательстве теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением существенно используется критерий устойчивости дифференциальных включений О.П. Филатова [71].

Содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Заключение

Усреднение — эффективный метод исследования устойчивости систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными. При выполнении определенных условий об устойчивости по медленным переменным таких систем можно судить по свойствам усредненной системы, содержащей только медленные переменные.

В данной работе приведены достаточные условия устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными.

Переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, неотрицательные. Такие ситуации встречаются при моделировании эволюционных задач в экологии, экономике. Кроме того, подобные задачи встречаются при использовании векторных функций Ляпунова.

Условие, которое накладывается на знак переменных, наличие малого параметра в системе, позволяет воспользоваться методом усреднения при доказательстве основного результата — теоремы об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

Представленная теорема устанавливает связь между устойчивостью усредненной системы и устойчивостью по медленным переменным исходной системы на асимптотически большом отрезке [to, to + /г-1] , to G —> 0. Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.6 не обобщается ни на случай сильной связи быстрых и медленных переменных, ни на бесконечный промежуток времени.

Теорема об устойчивости по медленным переменным системы дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке (теорема 2.1) доказана при предположении существования функций Ляпунова с определенными свойствами. В этом случае вывод об устойчивости по части переменных получен для неотрицательных решений благодаря сведению исходной системы к более простой, в которой дифференциальные неравенства заменяются на дифференциальные уравнения.

В данной работе также рассмотрен вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциального включения сравнения. Доказаны теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением в случаях липшицевой и нелипшицевой правой части (теоремы 2.3 и 2.4), где в качестве системы сравнения выбирается неавтономное дифференциальное включение, полученное методом усреднения. Приведен пример, показывающий, что полученный в теоремах 2.3 и 2.4 результат нельзя обобщить на задачу об асимптотической устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением.

Основными результатами диссертации являются:

1. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

2. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений (теорема 2.1).

3. Теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипши-цевых дифференциальных уравнений с управлением (теорема 2.4).

1. Азбелев Н.В. О приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка на основе метода С.А. Чаплыгина // ДАН СССР. — 1952. — Т.83. — С. 517-519.

2. Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автоматика и телемеханика. — 1961. — Т.22. №7. — С. 817-830.

3. Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т.34. т. — С.867-875.

4. Анашкин О.В. Метод усреднения в теории устойчивости функционально- дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.ЗЗ. №4. — С. 448-457.

5. Анашкин О.В. Об асимптотической устойчивости в нелинейных системах // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т.14. №8. — С.1490-1493.

6. Анашкин О.В., Хапаев М.М. Метод сравнения и исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений,содержащих возмущения I-II // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т.22. №9. — С. 1604-1606; — 1989. — Т.25. №2. — С. 187-192.

7. Анашкин О.В., Хапаев М.М. Об устойчивости нелинейных систем с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т.29. №8. — С. 1301-1307.

8. Анашкин О.В., Хапаев М.М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т.31. №3. — С. 371-381.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — 568с.

10. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. —- Новосибирск: Наука, 1986. — 265с.

11. Балабаева П.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2001. —- С. 7-13.

12. Балабаева Н.П. Устойчивость системы дифференциальных неравенств и включений с сильной связью быстрых и медленных переменных // Научные доклады ежегодной межвузовской 56-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2002. — С. 3-6.

13. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т.11, вып.4. — С. 752-753.

14. Балабаева Н.П. О неустойчивости систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2004. — С. 3-7.

15. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж, 2005. — С. 24-25.

16. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2005. — С. 65-70.

17. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения—XVI". — Воронеж, 2005. — С.23-24.

18. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г., г.Самара), часть 3. — Самара, 2005. — С. 31-33.

19. Балабаева Н.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость не-липшицевых дифференциальных уравнений с управлением // СамДифф-2005: Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", тезисы докладов. — Самара, 2005. — С. 16-18.

20. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.

21. Благодатских В.И. Оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001. — 239 с.

22. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. — М.: Издательство МГУ, 1979. — 89 с.

23. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института АН СССР. — 1985. — Т.169. —С. 194-252.

24. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Издательство АН СССР, 1963. — 410 с.

25. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. — Воронеж: Издательство ВГУ, 1986. — 104 с.

26. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. — 1962. — Т.17. №6. — С. 66-72.

27. Волосов В.М., Моргунов В. О. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Издательство МГУ, 1971. — 508с.

28. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем.1. М.: Наука, 1985. — 315 с.

29. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1982. — №5. — С. 5-28.

30. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. — 335 с.

31. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2000. — 300 с.

32. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Издательство Саратовского ун-та, 1990. — 224 с.

33. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. — 2003. — №4 (491).1. С. 17-26.

34. Гайцгори В. Г.Управление системами с быстрыми и медленными движениями. — М.: Наука, 1991. — 223 с.

35. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // Прикладная математика и механика. — 1950. — Т.14, вып. 5. — С. 459-512.

36. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // Прикладная математика и механика. — 1955. —Т. 19, вып.5. — С. 599616.

37. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова. — В сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т.1. — М.: Наука, 1968. — С. 67-86.

38. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. — Л.: Издательство ЛГУ, 1957. — 241 с.

39. Каменский М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве // Доклады Академии наук. — 1997. — Т.353. № — С. 13-16.

40. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производной // Прикладная математика и механика.1961. — Т. 25. т. — С. 680-694.

41. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи математических наук. — 1955. — Т.10. №3. — С. 147-152.

42. Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости // ДАН СССР. — 1977. — Т.233. №3. — С. 293-296.

43. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.

44. М.: Физматгиз, 1959. —211 с.

45. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Издательство АН УССР, 1937. — 363 с.

46. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1950. — 471 с.

48. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 532 с.

49. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т.26, вып.6. — С. 992-1002.

50. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I—11 // Дифференциальные уравнения. — 1967. — Т.З. №3. — С. 395-409; — 1967. — Т.З. №5. — С. 839-848.

51. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем. I—II // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т.10. №9. — С. 1547-1559; — 1975. — Т.Н. т. — С. 403-417.

52. Матросов В.М. . Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т.4. №8. — С. 1374-1386; — 1968. — Т.4. №10. — С. 1739-1752; — 1969. — Т.5. №7.

53. С. 1171-1185; — 1969. — Т.5. №12. — С. 2129-2143.

54. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Я. Метод сравнения в математической теории систем. — Новосибирск: Наука, 1980.480 с.

55. Митрополъский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971. — 440 с.

56. Митрополъский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. — Киев: Наукова думка, 1983. — 215 с.

57. Пакшин П.В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1980. — №2. — С.65-71.

58. Перов А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Известия вузов. Математика. — 1965. — №4 (47). — С. 104-112.

59. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1969. — №12. — С. 5-11.

60. Плотников В.А. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения // Известия АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. — 1984. — №4. — С. 30-37.

61. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. №8. — С. 1427-1433.

62. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 253с.

63. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 300 с.

64. G4. Соколовская Е.В. Об аппроксимации сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2002. №2. С. 39-47.

65. G5. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распеделенными параметрами. — Новосибирск: Наука, 1987. — 232 с.

66. Смирнов Г.В. Слабая асимптотическая устойчивость дифференциальных включений по первому приближению. — М.: ВЦ АН СССР, 1989. — 44 с.

67. Фалин А.И. Об исследовании на устойчивость слабо неавтономных систем методом усреднения. // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16. т. — С. 252-257.

68. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро- дифференциальных уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.

69. Филатов О.П. Лекции по многозначному анализу и дифференциальным включениям. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2000. — 116 с.

70. Филатов О.П. О дифференциальных неравенствах в теории устойчивости.1// Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26. №12. — С. 2077-2084.

71. Филатов О.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных включений. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2004. — Второй специальный выпуск. — С. 17-24.

72. Филатов О.П. Усреднение дифференциальных включений с управлением // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.33. №6. — С. 782-785.

73. Филатов О.П., Хапаев М.М. О взаимной ^-аппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. 5. — С. 127-134.

74. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение дифференциальных включений с "быстрыми" и "медленными" переменными. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. б. — С. 102-109.

75. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. — М.: Издательство МГУ, 1998. — 160 с.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

77. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. — 1967. — №3.

78. Филиппов А.Ф. Приложение теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью к нелинейным задачам автоматического регулирования. — М.: Издательство АН СССР, 1965. — 7 с.

79. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Математические заметки. — 1980. — Т.27. т. — С.255-266.

80. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. №6. — С. 1018-1027.

81. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. — М.: Высшая школа, 1988. — 183 с.

82. Хапаев М.М. Об одной теореме типа Ляпунова // Доклады АН СССР. — 1967. —Т. 176. №6. — С. 1262-1265.

83. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости: Исследование резонансных многочастотных систем. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 192 с.

84. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник, Киев. — 1980. — Вып.28. — С. 34-40.

85. Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т.16. Ш. — С. 258-263.

86. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1950. — 102 с.

87. Четаев Н.Г. Устойчивость движения: Учебное руководство. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1990. — 176 с.

88. Donchev Т., Farkhi Е. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions. // SIAM J. Control OPTIM. — 1998. — V. 36. №. 2. — P. 780-796.

89. Donchev Т., Slavov I. Averaging method for one-sided Lipschitz differential inclusions with generalized solutions // SIAM J. Control OPTIM.1999. — V. 37. №. 5. — P. 1600-1613.

90. Grammel G. Exponential stability via the averaged system // J. Dynamical Control Systems. — 2001. — V. 7. — P. 327-338.

91. Grammel G., Maizurna I. A sufficient condition for the uniform exponential stability of time-varying systems with noise. // Nonlinear Analysis.2004. — V. 56. — P. 951-960.

92. Wazewski T. Systemes des equations et des inegalites differentielles ordi-naires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications. // Ann. Polonaise Math. — 1950. — V. 23. — P. 112-166.