Многочастотные колебания в связанных системах нелинейных автогенераторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ 3 Г Л А В А I:

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГЕНЕРАТОРА

§1. Построение математической модели трехконтурного автогенератора

§2. Введение малого параметра 32 Г Л А В А II:

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГЕНЕРАТОРА

§3. Метод усреднения

§4. Условия существования трехчастотных колебаний в линейной системе

§5. Приведение системы уравнений (2.1) к стандартному виду

§6. Нахождение усредненной системы дифференциальных уравнений

§7. Особые точки усредненной системы уравнений для амплитуд колебаний

§8. Условия устойчивости

§9. Условия неустойчивости нулевого решения

§10. Взаимная зависимость устойчивости особых точек

ГЛАВА III:

РАСЧЕТЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ

§11. Методика исследования колебаний в автогенераторе

§12.Пример модели автогенератора с устойчивыми одночастотными в первом приближении колебаниями

§13.Пример модели автогенератора с устойчивыми двухчастотными в первом приближении колебаниями

§14.Пример модели автогенератора с устойчивыми грехчастотными колебаниями

Изучение нелинейных колебательных систем занимает важное место во многих разделах физики и техники. Особую актуальность исследования в этом направлении приобрели в 20 веке, с быстрым развитие радиотехники, в связи с появлением таких нелинейных элементов как электронная лампа, полупроводниковый триод, т.к. такие проблемы, как устойчивость колебаний, изменение частоты колебаний с течением времени и т.д. появляются только в нелинейных системах. Наиболее удобными для изучения являются системы с малой нелинейностью, т.е. такие системы, которые близки к линейным системам. С этим связано, например, большое количество методов исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части, т.е. систем достаточно близких к линейным, так что при нулевом значении параметра система вырождается в линейную [2, 3, 12, 24, 31, 33, 34, 46]. Исследование систем с большой нелинейностью требует индивидуального подхода к каждой конкретной системе и представляет с математической точки зрения довольно трудную задачу.

Среди нелинейных систем особый интерес представляют автоколебательные системы, т.е. системы, которые преобразуют энергию постоянного источника в энергию колебаний. Примером автоколебательной системы может служить радиотехнический автогенератор. В системах с одной степенью свободы, стационарные автоколебания всегда являются периодическими [3, 19, 27, 28]. Если же число степеней свободы больше одной, то периодичность вообще говоря, может не иметь места. Таким образом, при исследовании автоколебательных систем определился круг задач, связанных с нахождением условий существования асимтотически устойчивых установившихся колебаний в нелинейных радиотехнических генераторах [3, 4, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 23, 27, 28, 48, 51]. Наиболее исследованными в этом отношении являются генераторы с одним и двумя связанными контурами [3,19,27, 28,48, 51]. Данная работа посвящена исследованию колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами, математическая модель которого предложена Непринцевым В.И.

Lf^ и^ и

Vr-Tjfc--тпгл[ |глтпj | «w j

Мз +

Xt

Ы Ri Cl Xj

Хл Кг Сг эв; т т т

L3 Вз Сз

Колебания в данной системе могут быть описаны системой шести нелинейных дифференциальных уравнений. х[ = ж2,

2~ 1 I VLlCi 12 3 VhGi

Х^ — 3/4 ((Mmi-M2)Si \ 72^4 = -721^1+ ^---21 ~ 21 / 3:2 ~ 721)^3-^4 + r (721M1 - M2) {2S2Xl - 353a?;.)jC2 4 = a?6, /Ш*) -M, ГтзА ^ . \ . -ft. fa + т»)*, ^ + )(25зЖ1 35зх?)ж2)

72 72 V^iCi где ari, Ж3, Ж5- описывают изменение напряжения в контурах с течением времени, а коэффициенты выражаются через параметры элементов, входящих в данную схему.

Целью данной диссертационной работы является:

- Приближенное нахождение многочастотных режимов автоколебаний в автогенераторе;

- Разработка методов приведения систем к стандартному виду метода усреднения, позволяющих применять для этой цели вычислительные машины;

- Нахождение условий асимптотической устойчивости, одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний;

- Выяснение типов асимптотически устойчивых колебаний при заданных параметрах автогенератора, которые могут зависеть от начальных условий;

- Разработка методики подбора параметров автогенератора с заданными характеристиками колебаний.

Как правило, системы дифференциальных уравнений, описывающие нелинейные автоколебательные системы не поддаются точному решению. Для решения таких задач применяются различного рода приближения, комбинируя аналитические и численные методы. Среди аналитических методов мощным инструментом являются методы возмущений (асимптотических разложений) по малым значениям параметра или координаты [2, 3, 12, 24, 31, 33, 34, 35, 36, 46], которые основаны на идее разложения искомого решения в ряд по степеням малого параметра. Обычно такие степенные ряды являются расходящимися, однако приближенное решение, которое получается путем обрыва степенного ряда, на п-м члене, дает хорошее приближение точного решения. Заметим, что построенные таким образом приближенные решения стремятся к соответствующим точным решениям не с увеличением числа п, а при фиксированном п и стремлении к нулю малого параметра.

В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, интенсивно развиваются численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Однако, эти два различных направления не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Асимптотические методы, в отличие от численных, позволяют исследовать качественную картину поведения решений. Кроме того, при численном интегрировании уравнения удобно в качестве начального приближения использовать приближенные решения, полученные асимптотическими методами.

Рассмотрим некоторые методы для систем с малым параметром при нелинейных членах.

Одним из первых таких методов явился метод Ван-дер-Поля (или метод медленно меняющихся амплитуд) [3,48]. В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассмотрел уравнение вида d2x 0 dxч с малым положительным параметром е. При этом обычно полагалось (уравнение Ван-дер-Поля):

Для получения первого приближения Ван-дер-Поль предложил метод "медленно меняющихся "коэффициентов: он представил истинное решение в виде функции, выражающей гармонические колебания х = acos(cjt + ф) с медленно меняющимися амплитудой а и фазой ф. Эти величины находятся из дифференциальных уравнений с разделенными переменными da , Нф где А (а), 5 (о)-некоторые функции амплитуды, просто определяемые через заданное выражение /(ж,

Метод Ван-дер-Поля оказывается удобным, когда для решения задачи достаточно ограничиться первым приближением по малым параметрам. Метод не дает рецептов для построения высших приближений.

Еще один метод - метод малого параметра[3, 27, 35, 36]. Основная идея этого метода основана на том, что периодическое решение автоколебательной системы должно быть близко к одному из периодических решений соответствующей консервативной системы. Последнее решение в методе малого параметра называется порождающим. Основная задача метода в большинстве случаев состоит в нахождении этого порождающего решения и определении малых поправок к нему.

Рассмотрим теперь метод, который применяется в данной работе -метод усреднения Крылова-Боголюбова [3, 6, 8, 10, 12, 19, 28, 32, 35, 43, 45, 47, 49, 51].

Этот метод применяется к так называемым уравнениям в стандартной форме, т.е. уравнениям вида dx '

При помощи соответствующей замены переменных многие задачи об исследовании автоколебаний в квазиконсервативных системах в принципе могут быть сведены к решению уравнений в стандартной форме. Основная теорема этого метода приводится в §3. Данный метод и различные его модификации очень часто используется при исследовании разнообразных систем нелинейных дифференциальных уравнений, например при исследовании уравнений математической физики [21, 24, 33, 38], нелинейных систем со случайными параметрами [7, 22, 27, 37], систем дифференциальных уравнений с запаздыванием [6, 26, 40, 42] и т.д. [25, 46]

Заметим, что все изложенные здесь методы расчета автоколебаний основаны на близости рассматриваемой системы к линейной и поэтому, естественно, дают одинаковые результаты в первом приближении по малому параметру. Поэтому для получения первого приближения можно использовать любой из этих методов с одинаковым успехом. Отметим, что кроме приведенных здесь методов, существует еще целый ряд методов расчета колебаний в нелинейных системах [3, 4, 14, 27, 35,36, 48].

Итак перейдем к изложению основных результатов работы.

Рассматривается автогенератор на трех связанных контурах.

В первой главе приводится постановка задачи, подробно рассматриваются законы управляющие работой электрических цепей, выводится математическая модель колебаний в автогенераторе на трех связанных контурах. Затем полученная система приводится к виду с малым параметром. В первой главе показано, что математическая модель колебаний напряжения в контурах автогенератора имеет вид системы шести дифференциальных уравнений с кубической нелинейностью. х\ = х2, ( Mi.Si , \ , Mi(

- -Ж1 + ■— - Лх I - Жз Ч--.--—, rr2

W^iCi / y/L\C\ хъ — X/^j f(Mij2i-M2)Si . . V . ■ . , 72^4 = ~721®1+ -^J^Q--h ~ "^1721J Я2- (1 + 721)^3-^4 + Ы1М1 - M2)(2S2Xl - 353®?)®2

5 +

VLlCi

4 = хъ

M2(^)-M3)Sl /732Ч I 732 (72 + 732)^5 + Щ^{232Х1 ^

12 72 y/l>\C\ где r = t[\JL\Ci, t € R-время, x' — dx(r)/dT, Aj = RiCi/y/L^C[,

Aij = RiCj/y/ЦСг, = LfCi/CLiCO, 7*; - 2/iC,-/(2,iCi).

В таком виде система уравнений плохо подходит для исследования. Большинство методов исследования нелинейных систем разработано для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части, вида: х' = Ах + ef(x), т.е. систем достаточно близких к линейным, так что при нулевом значении е, система вырождается в линейную. При этом предполагается, что параметр е является "малым", в том смысле, что он может принимать лишь достаточно малые по абсолютной величине значения. Исходя из этого система уравнений приводится к виду с малым параметром. Пусть 0 < £±приращение к величине Si, и е = £ij\fLr\C\ - малый параметр. Вводя обозначения:

К22 = J^L - Л„ к41 =

42 = -72

Si

4з г) (^1721 - м2) - А1721 + А21 j ,

721 + 1

44 =

45 =

72

А2

72

72'

62 =

7з

21— + Л31 72 ез

64 =

- 732 7372'

732 А-32

7з72 7з 7з 72

66

7з' 252 02 =-, 1

З53 о 3 = —, ei мы получаем, что система уравнений в векторной форме принимает вид: х' = Ax + ef{x), (2.1) с постоянной матрицей А: А

0 1 0 0 0 0

-1 #22 -1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

41 #42 #43 #44 #45 0

0 0 0 0 0 1

0 #62 #63 #64 #65 #66

2.2) и векторной функцией = где F21 = Mi, F41 = ~(М1721 - М2), F61 = ~ М3).

72 7з 72

Таким образом, система дифференциальных уравнений описывающая изменение напряжений в автогенераторе записана в виде (2.1) с малым параметром е. Отметим, что нас интересует, прежде всего, изменение напряжения с течением времени в первом контуре х\ (т).

Во второй главе с помощью разработанной методики, система дифференциальных уравнений приводится к стандартному виду метода усреднения. Приводится основная теорема метода усреднения. При помощи метода усреднения получена усредненная система уравнений, найдены особые точки усредненной системы уравнений, получены критерии существования одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний в автогенераторе, получены критерии асимтотической устойчивости данных колебаний, доказано, что нулевое решение системы, при Mi > 0, является неустойчивым. Доказана теорема о взаимосвязи устойчивости одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний при заданных параметрах автогенератора. Большинство аналитических преобразований и усреднение системы дифференциальных уравнений проведены при помощи пакета программ Maple [9]. Перейдем к рассмотрению результатов, полученных во второй главе.

При исследовании колебаний в автогенераторе нас, прежде всего, интересуют квазипериодические решения, исходя из этого для матрицы А доказывается следующая теорема. Пусть - вещественные чис о

F2i(1 + 52®I 0

4l(l + fal 0 и(1 + S2X1

S3xf))x2 Ssxl))x2

2.3) ла. Приведем условия, при которых вырожденная система х' — Ах имеет только квазипериодические решения.

Теорема 2. Пусть матрица А имеет, вид (2.2), тогда условия

43^65 - КА1Кьь ~ ^45^63 - Ь\ь\ь\ = 0, (4.1)

44-^66 — #43 + Кц — KqqK42 — #43 #66 #22 ~ #65 + #43#65+

Х64#22#45 - #44#65#22 - KmK4s - Ь\Ь\ - (Ь\ + Ь1)Ь\ = 0, (4.2) Х44#66 - #4з + 1 ~ #65 + КтК22 + КмК22 -bl-bl-bl = 0, (4.3)

44#65 ~ К66К41 — #64#45 — #43#65#22 + #45#62 ~ #65#42+

43#66 + #ез#22#45 = О, (4.4)

-#64#45 - КиКтК22 - #44 + К43к22 + КиК65 + #42 + #65#22~

-#бб + #43#бб = 0, (4.5)

22 + #44 + #66 = О (4.6) необходимы и достаточны для того, чтобы общее вещественное решение однородной системы х' — Ах имело вид х(т) = C\Re{eiblT h{) + C2/m(e*blT/n) + C3Re(eib2T h2) + C4/m(ei62T/i2)+

C5Re(eihTh3) + C6Im(eib3Th), (4.7) где Ci, C2, C3, C4, C5, Сб, - произвольные вещественные постоянные,^, h2, hs - линейно независимые собственные векторы, отвечающие соответственно собственным значениям ibi,ib2,ib% матрицы А.

Уравнения, для которых применяется метод усреднения, должны быть приведены к стандартному виду, т.е. к виду у'(т) = е¥(т,у).

Для системы (2.1) такое приведение возможно с помощью замены переменной х = (ехрАт)у, где у - новая неизвестная векторная функция. Однако, для этого нужно находить ехрАт, или вещественную фундаментальную матрицу линейной системы х' = Ах. В целях упрощения вычислений, система (2.1) сначала сводится к одному дифференциальному уравнению шестого порядка, т.к. при этом легко выписывается общее решение такого уравнения, а затем с помощью замены переменных, учитывая условия (4.1)-(4.6), приводится к стандартному виду метода усреднения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.1). Положим

5.1)

Х2 = Х'ь xz = -Хх + К22Х2 + eF2i(l + S2xi - S3xl))x2 - х2,

Х4 = #3, хь — -^[K^xi + К42х2 + К4$х3 + + eF4i(l + S2xi - Szx\))x2 - S4], х'6 = Kq2x2 + #63^3 + KQ4X4 + К65х5 + К66хб + eFq 1(1 + S2X1 - Ssxj))x2. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Система дифференциальных уравнений (2.1) с помощью замены переменных (5.1) сводится к уравнению шестого порядка относительно х\

5.2) xf] - {Ки + К22 + K66)xf] - (#63#45 + К65К41 - К65К43)Х1 (—Кб6#43 - #62#45 + #64#45 + #65#42 — #65#44 - #63К22#45-f

66#4i + К65К43К22)х'1 - (К65 - КтК44 - 1 + #43 - К44К22

-КтК22)х^ - (К65#44#22 + #43 + #65 - #65#43 ~ #64#22#45+ +#66#42 " #бб#44 - #41 + #66#43#22 + К^КАЪ)х'{ - (-#65#44 + #44--#42 + #66 + #64#45 " #66#43 " #65#22 + #66#44#22 ~ К4зК22)х{^ =

12 е[((-2 К66Ки + 2#б5 + 2 K43)F21 + 2 Яц)5зК)3 + (((-2 #65#44+ +2 #64#45 - 2 K66K43)F2i - 2 Ke^SzXi + ((12 + 12 K%Q)F21X'[~

-20F2143))S3 + ((#65#44 + #66#43 " K6iK45)F21 + #66#41)52)И)2+ + (((-#65#43 + #63#45)*21 + ^б!#45 - #65F4l)53(*i)2+

-6 #66#44 + 6 #65 + 6 #43)^21 + 6 F41)x'i + (-10 xf] + (8 #66+

8 #44)43V2l)S3 + ((#65#43 - #63#45)*21 + #65*41 - F6i#45)S2)si

-30 F21(x'tfSz + (((3 #66#44 - з #65 - 3 #43)F21 - 3 + (5 + (-4 K44 - 4 #бб)^Р)^21)52 + (#65#43 - #63#45)#21 + #65#41~ — ■^61 #45)^1 + ((( #66#43 ~ #65#44 + #64#45)*21 ~ #66^41 К + ((#66+ +#44)Ж[4) + (#43 + #65 ~ #66#44)^f> - 45)№l + #4l43))^3(^l)2+ +(((6 #44 + 6X66)i^lK)2 - 20 x'lF2lxf})S3 + (((X65#44+ #66#43~ -#64#45)#21 + K66F4l)x'l + ((-#44 " #66^^ + ("#43 ~ #65 + #66#44)^Р+

5))F21 - f4i43))s2)®I + (( 3#44 - 3#66)#2iW)2 + IO<#2I43))^2+ ((#65#44 + #66#43 ~ KUK4b)F2l + #66^41)^?+ + ((-#44 - #66)^[4) + (-#43 - #65 + #66#44)43) + 45))*21 ~ F^}.

Таким образом система (2.1) приведена к одному дифференциальному уравнению шестого порядка. Введем следующую замену переменных з xi = ]ГС}(т) соф jT + Dj(r)), i=i dr i=i 3 -£ ^(т)6*сов(Ьут + 1Э,-(г)) fix 1 3 dr3

QW^sinfer + ^T)), fix 1 i=i з dr4

QWbJcos^r + ^W), i=i з drb

J^C^sm^T + DjiT))

5.3) где Ci, C2, C3, Di, D2, - новые неизвестные функции переменного

Напомним, что средним значением почти-периодического по переменной t € R отображения /(£, ж), где t € 1, ж £ называется [29]

G(b) = bAF21 + 62(^43F2i - KmKuFn + K6bF21 + F4i) - F61K45+ (6.1)

21 {KQ5K4S - + K65F41,

W(b) = b2F21(K66 + Ku) + KeeFu + KmKizF2l + K65K44F21 - K64F21K4b,

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполняются условия (4-1)-(4-6), тогда замена переменных (5.3), где bi ф bj для i,j = 1.3, сводит уравнение шестого порядка (5.2) к системе шести дифференциальных уравнений первого порядка стандартного вида относительно неизвестных функций С\, С2, С3, Di, D2, а соответствующая усредненная система дифференциальных уравнений имеет вид теш.

Введем обозначения с; = -eCiG(bi)

С2 = -eC2G(b2)

S3(Cf + 2Ci+2Cj) -4) 8(bl-bim-Щ) '

S3(C? + 2C? + 2C|) -4)

6.2)

6.3) т-чт-ъ\)

С - гг rih /g3(^ + 2Cj + 2Cg)-4) jy2 = eWfe)

S3(C| + 2С? + 2С|) - 4)

С целью изучения фазового пространства усредненных уравнений для амплитуд Ci, С2, Сз (6.2)-(6.4), в следующей теореме найдены особые точки усредненной системы уравнений.

Теорема 5. Правые части усредненной системы уравнений для амплитуд (6.2)-(6-4) обращаются в нуль в следующих восьми точках

1.Ci = 0,C2 = 0,C3 = 0,

2.С\ = 0,С2 = О, С\ —

4 Ss

3.Ci = 0, Cf = =-, Сз — О,

4.С? = ^,С2 = 0,С3 = 0,

4 4

5.Ci = 0, Со : — , Со = —=-,

2 З53 3 З53

6.С? = -=-. С2 = 0, Со = —=-, 1 З53 3 35з

7 .С? = — , Со = — . Сз = О,

1 З53 З53 оГ2 4 4 2 4

O.O-i — — •', vvo — — , Оо — — .

1 553 553 3 553

В следующей теореме выясняется какого рода колебания в автогенераторе соответствуют полученным в теореме 5 особым точкам усредненной системы.

Теорема 6. Пусть Ь{ ф 0 - линейно независимы над полем рациональных чисел, т.е. не существует соотношения вида ^щЬ% — 0, где щ рациональны и хотя бы одно щ ф 0. Справедливы следующие утверждения: а) Особым точкам 2),3),4) соответствуют в первом приближении одно-частотные колебания в автогенераторе; б) Особым точкам 5), 6), 7) соответствуют в первом приближении двух-частотные колебания в автогенераторе; в) Особой точке 8) соответствуют трехчастотные колебания в автогенераторе.

В следующей теореме приводятся достаточные условия асимптотической устойчивости особых точек усредненной системы (6.2)-(6.4) (см. теорему 5). Введем обозначения:

G(bip3(3C? + 2C|+ 2Cg)-4] zi =

G2 a3 = т-ьж-ь i)

2(Ь2р3(2С? + 3Cf + 2Cj) - 4] т-чт-ь\)

G(b3)[33(2C? + 2C\ + 3CD - 4]

Теорема 7. Пусть выполнены условия (4-1)- (4-6) и в соответствующей особой точке (см. теорему 5) выполнены условия аг -f- а2 + аз > 0,

ClCjGib^G^S? , ах^з + а\а2 + <22^3

ClCiG(b2)G(h)S32 ClClG{h)G(ib)Sz

1" ii-i1) i0\O/i«) iO\fi') ie>\ ^

4 (bf - i>D(b! - ьш - Ч)>т 4(4 - bim - ьш - bi) ClClGlh'jGib^S^ai CfCfGffrQGfe^V , ,/,0 »0w»9 1 9\ /1 9 JOIN-)""'

4(6? - тч - чт - ч) - ът - щщ - щу 3

4(ь? - ъ\т - ът - щ) А(Ь\ - щт - цт - + 12 3 ■ , , U , J. (%(%G{h)G(h)S? ai + «2 + «3) + + «2«3

CiClG(h)G(b3)S32 C12C|Q(i»1)G(62)S32 ,

Afu2 гЛЛО.П.Ъ l2\/I2 i,2\J >

4(Ь\-Ц)(Щ-Ь1)(Щ-ЫУ Щ-ЩПЬ1-Щ)(Ы-ЩУ ClClG(b1)G(b3)S32a2 + С|С|С(62)С(63)532Й1 щ-biM-bim-bi) 4(Ц-Ш-Ч№-%>*

C12CfG(61)G(62)S32o3 C!ClClG(h)G(h)G(h)S33 :

-t

4{Ъ\ - Ъ\Ш - Ь1)(Щ - 61) 4(6? - ЬЩЬ1 - ЬЩЩ -тогда такая точка асимптотически устойчива по Ляпунову, следовательно, решение х\(т) системы (2.1), соответствующее этой особой точке, асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Исходя из этой теоремы получена следующая теорема о неустойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2.1).

Теорема 8.Пусть Mi > О и выполнены условия (4.1)-(4-6), тогда при достаточно малых е > 0 нулевое решение системы (2.1) неустойчиво по Ляпунову.

Рассмотрим подробнее условия устойчивости особых точек из теоремы 5. Возможно ли чтобы особые точки соответствующие одно-,двух-, трехчастотным колебаниям в исходной системе были одновременно устойчивы, при заданных параметрах автогенератора? Справедлива следующая теорема.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (4-1)~(4-6)- Для особых точек системы дифференциальных уравнений (6.2)-(6.4)(см. теорему 5) справедливы следующие утверждения: а) Если хотя бы одна из особых точек 2),3),4) удовлетворяет условиям теоремы 7, следовательно, асимптотически устойчива по Ляпунову, то неустойчивы все точки 5), 6), 7). И наоборот, если хотя бы одна из особых точек 5),6), 7) удовлетворяет условиям теоремы 7, следовательно, асимптотически устойчива по Ляпунову, то неустойчивы все точки

2),3),4)б) Если хотя бы одна из особых точек 5),б), 7) удовлетворяет условиям теоремы 7, следовательно, асимптотически устойчива по Ляпунову, то неустойчива точка 8). И наоборот, если особая точка 8) удовлетворяет условиям теоремы 7, следовательно, асимптотически устойчива по Ляпунову, то неустойчивы все точки 5),6),7).

Завершая рассмотрение результатов полученных во второй главе, отметим, что большинство аналитических преобразований, выполненных в данной главе, включая усреднение системы дифференциальных уравнений, выполнено на компьютере в среде Maple, с помощью программы приведенной в приложении.

В третьей главе разработана методика подбора параметров автогенератора с заданными характеристиками колебаний, приводится схема исследования колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами. Данная методика основана на результатах, полученных во второй главе. Излагается метод подбора параметров автогенератора, методика нахождения приближенного вида одно-, двух-, трехчастотных колебаний в автогенераторе и исследования их на асимптотическую устойчивость. Методика исследования колебаний в автогенераторе разбивается на три части: подбор параметров автогенератора в соответствии с условиями теоремы 2, нахождение первого приближения для решения £\(т) системы (2.1), исследование решений системы (2.1) на асимптотическую устойчивость.

Указанная методика применяется в третьей главе при построении и исследовании математических моделей автогенераторов, с существующими в них устойчивыми одно-, двух-, и трехчастотными в первом приближении колебаниями. Для данных моделей автогенераторов проведены численные эксперименты на ЭВМ , результаты полученные в данной работе сравниваются с решениями построенными методом Рунге - Кутта, приводятся фазовые портреты для усредненных систем.

В приложении приводится текст программы на языке пакета Maple, с помощью которой в данной работе было проведено преобразование исходной системы дифференциальных уравнений, полученной в первой главе, к стандартному виду и последующее усреднение полученной системы дифференциальных уравнений.

В данной работе проведено исследование колебаний в трехконтур-ном автогенераторе, получены кретерии существования и асимптотической устойчивости, одно-, двух-, трехчастотных колебаний, приведены примеры систем в которых существуют установившиеся одно-, двух-, трехчастотные колебания. Доказано, что нулевое решение системы при > 0 является неустойчивым. Получен общий вид установившихся колебаний. Причем указанная методика может быть применена для исследование автогенератора с произвольным количеством контуров. Разработана методика подбора параметров автогенератора с заданными характеристиками колебаний, приводится схема исследования колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами. Проведены численные эксперименты на ЭВМ, результаты которых соответствуют результатам, полученным в данной работе.

Рассмотрим некоторые публикации на данную тему.

В книге Боголюбова Н.Н. и Мигропольского Ю.А. "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний "[3] подробно рассматриваются асимптотические методы используемые для приближенного решения систем с малым параметром. Приводится методика и обоснование применяемого в данной работе метода усреднения. Также в этой книге подробно рассматриваются одночастотные колебания в нелинейных системах со многими степенями свободы.

В книге Ланды П.С. "Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы" [27] излагаются основные методы исселедования автоколебательных систем. Рассматриваются динамические и статические процессы, происходящие в автоколебательных системах со многими степенями свободы. В этой книге большое внимание уделено автоколебательным системам, находящимся под воздействием случайных возмущений. Исследуется явление синхронизации в случае N связанных генераторов.

Книга Конторовича М.И. "Нелинейные колебания в радиотехнике (автоколебательные системы) "[19] посвящена теории автоколебательных систем. В ней рассматриваются основы теории, связанной с процессами генерирования колебаний, деления частоты, в частности, параметрического возбуждения и усиления колебаний. Рассматриваются как автономные так и неавтономные колебательные системы. В книге широко применяется метод медленно меняющихся амплитуд. Подробно изучены колебания в двухконтурном автогенераторе.

В книге Гребенникова Е.А. "Метод усреднения в прикладных задачах" [12] излагается совокупность математических методов, получившая в литературе название "метод усреднения", позволяющих исследовать сложные нелинейные колебательные системы. Автор приводит большое число примеров применения метода усреднения для исследования различных нелинейных систем. Метод усреднения применяется для достаточно общих математических моделей, построенных на основе конкретных задач. Большое внимание уделяется построению алгоритмов исследования различных нелинейных систем для реализации их на ЭВМ.

Работа состоит из введения, трех глав, приложения и библиографического списка, включающего [57] наименований источников.

Результаты работы опубликованы в 6 работах [52-57]. В совместных работах Задорожний В.Г. и Непринцев В.И. поставили задачу и дали идеи решения, остальное осуществлено Поповым А.В.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физ-матгиз, 1959.

2. Анашкин О.В. Асимптотические методы в теории устойчивости. Симферополь. СГУ, 1983. -49с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.,Наука, 1974.-503с.

4. Бутенин. Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М., Наука, 197б.-384с.

5. Бутенин. Н.В. Теория колебаний. М., Высшая школа, 1963.-187с.

6. Бигун Я.И., Самойленко A.M. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения, 1999, №1, с.8-14.

7. Башкирцева И.А., Исакова М.Г., Ришко Л.Б., Асимптотическое разложение квазипотенциала для стохастически возмущенного нелинейного осцилятора. // Дифференциальные уравнения, 1999, №10, с.1319-1324.

8. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М., изд-во Моск. ун-та, 1971, 507с.

9. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М., Мир, 1997.-208 с.

10. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А. Метод усреднения в исследовании резонансных систем. М., Наука. 1992.-224с.

11. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М., Янус-К. 1999.-301с.

12. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М., Наука. 1986.-256с.

13. Гребеников Е.А. Введение в теорию резонансных систем. М., йзд-во МГУ. 1987.-174с.

14. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М., Наука. 1979.-431с.

15. Горохов С.Ф. Генерирование колебаний в цепях с нелинейными реак-тивностями. М. 1968. -65с.

16. Горохов С.Ф. Автоколебательные цепи. Лекции по курсу "Теория нелинейных электричеких цепей". М. 1974. -148с.

17. Дворников А.А., Уткин Г.М. Автогенераторы в радиотехнике. М. Радио и связь. 1991. -221с.

18. Камбулов В.Ф., Куликов А.Н. Автоколебательные системы. Ярославль, Изд-во ЯГУ, 1986.-74с.

19. Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике (автоколебательные системы). М., Сов. радио, 1973.-320с.

20. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М., Сов. радио, 1975.-320с.

21. Коновалова Н.Р. Стационарные решения нелинейного телеграфного уравнения. // Некоторые вопросы теории асимптотических методов нелинейной механики: Сб.науч.тр.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. -с. 118-128.

22. Коломиец В.Г. Об усреднении стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. // Применение асимптотических методов в теории нелинейных дифференциальных уравнений: Сб.науч.тр.-Киев: Ин-т математики, 1987.-С.44-49.

23. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоколебания в RCLG линии с малыми искажениями. // Дифференциальные уравнения, 1998, №11, с.1559-1561.

24. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений. РАН. -М. Наука: МАИК Наука. 1998. -191с.

25. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экономики. М. Наука. 1993.

26. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс, MOKCJIAC, 1979. -146с.

27. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.,Наука, 1980.-359с.

28. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.,Наука, 1983.-320с.

29. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978. -205с.

30. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975. 247с.

31. Миторопольский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. Киев, Наук, думка, 1983. 215с.

32. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев: Наук, думка, 1971.

33. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных.-Киев: Вища школа, 1976.

34. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике. М.: Наука, 1969.

35. Найфэ А., Введение в методы возмущений. М., Мир., 1984.-535с.

36. Найфэ А., Методы возмущений. М., Мир., 1976.

37. Неймарк Ю.И.,Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М., Наука, 1987. -422с.

38. Олейник О.А., Шапошникова Т.А. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой. // Дифференциальные уравнения, 1998, №5, с.647-661.

39. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974.-331 с.

40. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М., Наука. 1987. -301с.

41. Самойленко A.M., Шпакович A.M. Существование ограниченных решений импульсных систем с запаздыванием. // Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений: Сб.науч.тр.-Киев: Ин-т математики, 1985.-С.145-149.

42. Стрижак Т.Г. Методы усреднения в задачах механики. Киев: Донецк.: Вища школа, 1982. 254с.

43. Филатов О.П. К задаче о построении усредненных дифференциальных включений. // Дифференциальные уравнения, 1999, №6, с.764-771.

44. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М. Изд-во МГУ. 1998. -159с.

45. Филатов А.Н., Шершков В.В. Асимптотические методы в атмосферных моделях. JI. Гидрометеоиздат. 1988. 269с.

46. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегральных уравнениях. Ташкент. "Фан". 1971. 279с.

47. Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах. М., Мир, 1966.-229с.

48. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости: исследование резонансных многочастотных систем. М., Наука, 1986. -190с.

49. Шпакович В.П., Мутанян В.И. Исследование некоторых резонансных систем нелинейной механики. // Применение асимптотических методов в теории нелинейных дифференциальных уравнений: Сб.науч.тр.-Киев: Ин-т математики, 1987.-е. 109-115.

50. V. Neprintsev, V. Zadorozhnij, S. Lobanov. Realization of asynchronous two-frequency auto-oscillations in two-contour Van der Poles scheme.//2nd European Nonlinear Oscillatious Conference. Prague, September 9-13,1996.

51. Задорожний В.Г., Попов A.B. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля. // Дифференциальные уравнения, 1999, №11, с. 1580.

52. Задорожний В.Г., Непринцев В.И., Попов А.В. Усреднение уравнений колебаний напряжения в автогенераторе с тремя связанными контурами. // Известия РАЕН серия МММИУ, 2000, Т.4, №3.-с.69-80.

53. Попов А.В. О достаточных условиях асимптотической устойчивости установившихся колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами.//Труды молодых ученых ВГУ. Выпуск 2. Сб.науч.тр.- Воронеж, ВГУ, 2001. с. 62.

54. Попов А.В. Многочастотные колебания в автогенераторе на трех связанных контурах// Воронеж, ун-т. Воронеж, 2000. 28 с. Библиогр.: 6 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 15.01.01, № 103 - В2001.