Стабильные теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСЕ17Т МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Л 002.23.01

На правах рукописи

1Г/СТА&11Н бленды Гарлфозяч

УДК 610.67:512.577

СТАШЬНЬЕ ТЕ0КД1

01.01.06 - ыате'латичвская логика,

алгебра я теорий чисел. .

Автореферат

диосертащш на соискание ученой степени доктора физико-математических стук

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Кврагашдаекслг гocyдEJ отвенном ушшэрситете ,

Официальные оппоненты:

Ведущоэ предприятие -

доагор' физико-математических наук Арсланов 1.1. М,;

доктор физико-математических наук Зилъбер Б.И.;

доктор физико-математических наук Ремесленников В.Н.

Институт математики с ВЦ АН МССР.

Защита состоятся " " 1990 г. в часов

ка заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу: г.Новосибирск-90, Ушаверситетокий проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разоолан " " 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Е.А.Палютнн

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Переломным моментом в развитии сб::;ей тег чи мод ело" - науки, возникшей в 30-40-х годах на стыке алгебры и математической логики в работах А.И.Мальцева,К.Геделя,Л.ЛеленгеЯ.\.. , Т.Скулема, Л.Тарского- явилась работа М.Морди ([27],iL'65 г.). Идеи,методы и результаты этой работы легли в основу целого направления - теории стабильнос'ш,ставшего вскоре одним из центральных в теории моделей.Среди веских причин,вызвавших особый интерес многочисленных специалистов к стабильным теориям,отметим следующие.

Во-первых,ряд важных теоретико - модельных понятий,как семантических, так и синтаксических,приводит к тому или иному £пду стаОлльнисти или ее отрицание. Например,несчетная категоричность (М.Морлл [27^ ),немаксимальность спек roa моделей (С.Ыелахр^З ),формульная невыразимость отношения порядка (С.Шелах [32} ) влекут стабильность теории.После примера М.Г.Неретятькина [О-) несчетно категоричной конечно аксиоматизируемой теории Ь.Л.Ьильбер доказал,что конечная аксиоматизируемость влечет отрицание тотальной категоричности теории.Таким образом,изучение стабильных теорий иногда становится необходимостью длл решения ряда проблем теория моделей.

Во-вторых,за сравнительно короткое время с момента опубликования работы М.Морли í.27^ в теории стабильности создав мощная техника .исследований,позволяющая лолучи- глубокие результаты в различных направлениях.в частности классифика-циотше и структур|ше теоремы (Ь.И.^лльбер [4"] .А.Лахлак [18-20], С.Шелах [34] и т.д.).

Наконец,что очень важно с общематематической точки зрения, этот богатый арсенал понятий и методов теории стабильности начал проникать в другие области матекатикя и работать плодотворно в сочетании с их собственной ид^югией и техникой (К.Вуд [36] , Л.Елнм [i4"] .С.Шелах [зз] использовали теорию стабильности длл доказательства существования к единственности дифференциального замыкания длл дифференциальных полей,

3

Е.А.Палюиш - в исследованиях спектра и структур моде-

лей многообразий,квазимногообразий и хорновых классов.Работы А.Макинтайра[22,2'зЛ положили начало новой ветви теории стабильности - теоретико-модельной алгебре,изучающей классы ста-бильн t групп,колец,полей,модулей к других классических ач-гебраических систем). В свою очередь эт*: специальные (по отношению к общей теорчи стабильности) теории,выделяемые естественные алгебраическими и синтаксическими усло-ышм, стали оказывать обратное влияние не только на понимание природы категоричное™- и стабильности,но и на формирование новых понятии,идей и гипотез в общей теории стабильности.Здесь следует отметить идею "геометризации" в стабильных теориях,впервые появившуюся у М»Марша ^26*] и получившую сильный импульс после результатов Б.И.Зильбера ,

Целью диссертационной работы являются развитие теории типов в стабильных теориях,исследование на этой базе глобаль -ных свойств теорий,построение основ классификации теорий по их глобальные семантическим и синтаксическим свойствам и применение изучаемых понятий и полученных результатов к йснсо-новским теориям и полным теориям полигонов.

Методика исследования основана на современном арсенале теории стабильности (ранговые функции,определимость,ответв-- лйемость,ортогог "ьность) и на использовании оператора замыкания, инвариантного относительно группы всех автоморфизмов монстр - модели. .

Результаты диссертации являются новыми и имеют теорети -ческий характер. Они излагались автором в пленарных докладах на 5-й, 7-й Всесоюзных конференциях по математической логике (Новосибирск,1979 г.,1984 г.),в секционных докладах на 6-й, 7-й, 9-й Республиканских меадузовских конференциях по математике и механике (Алма-Ата, 1977 г.,Караганда 1981 г.,Алма-Ата,1989 г.),да 18-й Всесоюзной алгебраической конференции 'Кишинев,1985 г.), на 3-ы Всесоюзном симпозиуме со теории групп (Свердловск,1988 г. , на 9-й Всесоюзной конференции по математической лох.же (Ленинград, 1988 г.),на 8-м Мевду-

народном конгрессе по логике»философии и методологии наук (Москва,1987 г.),на Международной конференции по алгебре,посвященной памяти академика А.И.Мальцева (Новосибирск,х989 г.), в докладах на семинарах Института математики СОАН CCCF Иркутского ВЦ СОАН СССР, Казахского,Карагандинского,Кемеровского, Латвийского,Новосибирского,Уральского университетов.

Результаты диссертации опубл: :ованы в работах [37-65^ .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения,шести глав,разбитых на 25 параграфов,библиографии и указателя определений и обозначений. Объем диссертации 27-1 страниц.Библиография содержит 117 кайме новаций. Нумерация утверждений отпяжяи? р?.сполсг/.с;и:о ах относительно параграфов.

Глав)шм объектом исследования в первой главе (§§ 1-5Являются ранговые функции в теориях.

С помощью подходящих ранге:ых функций М.Морли определил класс со - стабильных теорий, С.Шелах fo,32Ji- классы стабильных и суперстабильных теорий,Т.А.Нурмагамбетов [б"} -класс почти оо - стабильных теорий.

Ранговув функции R. назовем нормальной,если ее значение сохраняется при переходе от типа над моделью к его наследницу. В работах [l7,2l] доказывалась нормальность ряда важных ранговых функций. Поиск достаточного условия для нормальности привел автора [41] к следующему понятию. Рангов о функцию назовем вполне нормальной,если при ,;!зкоторых кардиналах Я, "Jt. для любого мнокества Д , любого типа р над А выполняются условия:

б) существует такое ß>£ Д , что и

ТЕОРЕМА I.I. Кяудая вполне нормально1 ранговая функция кориалька.

Будем говорить,что ранговая функция R, согласована с ответвляемостью, если из того.что ^»eSCA) ,ЪиА s$

следует , где /эЛВ означает,что

тйв р не ответвляется над Ь в смысле С.Шелаха [34^ . В' книге [34"] была г,оказана согласованность с ответвляемо-стыз ряда конкретных ранговых функций. Следующая теорема докаь^на автором совместно с Т.А.Нурмагамбетовым £47^ .

ТЕОРЕМА 3,1. Если Т - стабильная теория,то ранговая функция Р. тогда и только тогда согласована с ответвляемо-стыо,когда вполне нормальна.

После этого автору ^48,50"] удалось дать, аксиоматическое определение 1. 11ятия ответвляекостк,являющегося одним из центральных в теории стабильности.

Пусть ¿Р - класс всех полных типов, - класс всех подмножеств моделей теории Т , - такое произволь-

ное бинарное отношение,что Ср,А) € О. влечет /\sdofnCp).

. Тогда имеет место

'ТЕОРеМА 3.2. Если I - стабильная теория,то следующие условия экви1 дентны:

б) @ удовлетворяет следующим условиям I) - 5), где:

1) если 'У-р), ¿(А))<С1 для любого влемо тарного мономорфизма £ ;

2) если ^ сЛотСр) , то

(рЛ)сО рГЬ,А)€0->

3) если Д с.аоУг Чр}<= Ь, С»то найдется 1а-кое что"¡Ьсо , ¿/отС<р = Е> и С

4) существует такой кардинален ,что если А Ь,

то с(огпС>.(<?,3 } IV«' >

5) если то Ср,А)еО..

В § 4 вводится один общий топологический способ 3' ;ания ранговых функций,снабаениых четверками бесконечных кардиналов и доказывается,что:

I) все ранговые функции.получаемые этим споообоы.являют-ся вполне норыалышми ординадь но а кач шшл ранговыми функциям

(короче,в.н.о.р.ф.) (георема 4.1);

2) данный способ является универсальным в том смысле,что варьируя четверку,можно получить кардуй из звестиых '"„и.о. р.ф. (предложение 4.1.);

3) нет новых классов счетных теорий,определяемых с ьомоуьо таких ранговых функций,но отличных от си - стабильных,почти

со - стабильных и суперстаби" 'шх теорий (теорема 4.2.).

Во второй главе (§§ 6-У) изучается влияние свойств тех или иных множеств типов на такие глобальные свойства теории,как Я- стабильность,структура и спектр ее моделей.

В 1971 г. Да.Болдуин и А.Лахлан [Д2; доказали,что со - стабильная теория с недвукардинальной сильно мшшмальной форму -лей с«., - категорична. 1Тозке„в 1975 г. А.Лахлан £19] пока зал со - стабильность любой теории с нодвукарлниплчт?* с:'Л1::о минимальной формулой. В том г.е 1975 г. М.М.Еримбетов [ I] доказал более сильное утвергдение: если теория имеет с^- стабиль ну к недвукардинальнуя формулу,то ока сама с^ - стабильна. 3 своей книге С.Шелах ['М-} такке получает аналогичный результат. А а 1985 г. М.М.Еригдбетоп [21 установил стабильность теории„имевшей стабильную недвукардинальнуо формулу.

Из основной теоремы работы [40] автора (теоремы 6.1)„полученной в 1976 г. и опубликованной в 1980 г.,как заметил автор в процессе работи над текстом данной диссертации,вытекает, как нетрудное следствие,не только все высеотмпчешше результат М.М.Еримбетова, А.Лахлана и С.Шелаха, но и более сильное утвервдекие,носящее уке окончательный л рактер,

ТЕОРЕМА 6.2. Если Т - счетная толкая теория, 1р(рс) - ке-двукардинальная формула теории Т" , Я"^ со 9 то Т является Л - стабильной точно тогда,когда формула 'р(Ь:) является Я - стабильной.

В § 7 развивается аналог теории Марша для так называемых квазитрансцеедентнях теорий с сильной базой. Интересно отметить,что результаты этого параграфа бы. опубликованы в [37] в 1977 г. Позне введешше в книге С.Шелаха [341 понятия регулярного типа,ортогональной регулярной базы и немультираз-г/.ерной суперстабильной теории обобщает, соотвэтственно.

понятия сильного типа,сильной базы и квазитра'^цевдентной теории с сильной базой.

Модель /Л назовем - богатой,если существует такое

собственное элементарное расширение N , что Ч>(/И)=<р(//-).

Сл-чуюцдя теорема «вляется усилением известной теоремы А,Лахлака [18 "1 » _

ТЕОРЕМА 8.1. Если Т" - счетная стабильная теория, Ai-Ч7(х> бсгатая модель Т , то существует на более чем счетное под-мнокество Л sЛД такое,что какдая модель тесрииTh((Al является tyO"*) - богатой. Если при этсмТ -> - стабильна, то А можно считать конечным.

В качестве применения теоремы 8.1 доказана

TEOPErlA 8.2. Для любой счетной теории I с двукардиналь-ной формулой,любого ординала <А иглеег место КчЛ") М-Н | , (где 1С-/П - число попарно неизморфннх моделей Т мощности и)^ ) .

Из теорема S.2 вытекает как следствие следующая теорема С.Шелаха из wJl], передоказаннач Дх.Розенталем [2S*] : если со- стабильная теория не - категорична, то 1 (<*,T) Ии) для всех .

Третья и четвертая главы несут в себе методологическую и чисто.'теоретй'шгг.'.одельнув нагрузки .которые существенно используется в пят*** и шестой главах соответственно.

При изучении любого класса математических объектов естественно возникает потребность в ло:итии подобия,позволяющем отождествить различные объекты. Подобные объекты считаются одинаково устроенными в смысле предмета данного изучения. Обратно,если точно определен предмет изучения и рассматриваемых- объектах, то,как правило,естественно возникает соответствующее- понятие подобия.

В классической теории моделей кандой сигнатуре G? ставится в соответствие два объекта различной природы: L - язык "■•ервого порядка и К - класс всех алгебраических систем данной сигнатуры <э . Кандой одной теории Те- L взаимно однозначно соответствует СТ)€ К класс всех моделей Т.

Разумеется мокно изучать в отдельности 1 (как максимальное непротиворечивое множество предложений из ' ) и MoJ.CT) (как минимальный аксиоматизируемый подкласс класса К ).Ко в теории моделей, где Т и Л1оЛ(Т) изучаются и пера. ,бной связи, б паре, представляют интерес не всякие свойства Т , а только те, которые отражаются в свойствах и взаимоотноа ях систем из HodCT) ;и обра^о, особо интересны линь такие свойства ModCT) , которые так или иначе связаны с языком L , поведением Т Bxiyrpii L . Поэтому для изуче-шш Л1о<КТ.)вакен объект adCT)'> . ~ У » свойства которого наиболее полно характеризуются тройкой C^&.J/) , названной нами семантической тройкой "У , где "2 - универ-суум монстр - модели И теории Т , G - группа n-»v аыо.хир^пзмов u , if/ - класс всех подмножеств множества -С , являющихся универсуумами подходявдх элементарных подмоделей И . С другой стороны естественно предподогшть (и это подтверждается практикой), что все синтаксические свойства объекта Aloci (Т) » V заложены в объекте

Си^&.Э.ЬрУ

Если принять во внимание все вышесказанное, то оправданными являются названия "семантическое" и "синтаксическое"для приводимых нане отношений подобия между полными теориями.

Далее,для классификации объектов по тем или иным признакам, кроме отношения подобия,потребуются отношения,виракаюдае "близость" одного объекта к другому. Нами вводятся -ри таких отношения для полных тео.-.ий. Одно из них, квазиподоб;»е, связано с гомоморфизмом семантических троек \ орий; другое,допустямость одной теории в другой,является семантическим обобщением интерпретируемости и связано с парата вида Q ) тг.к называемыми чистыми парами теорий;а третье,оболочка (почти оболочка).связанное как с синтаксическим,так и семантическим подобиями, служит усиленном, интерпретируемости од'">й теории в другой.

Найдена характеристика теорий,квазиподобных подходящим теориям одноместных предикатов; доказано, что кавдая теория имеет в качестве оболочки или почти оболочки соответствую -

У

щую теорию полигонов; установлен ряд ваших с. Зств теорий, допускающих оператор замыкания.Все это позволяет считать,что в главах Ы и 1У созданы основы нового направления в классификации теорий,отличного от шелаховского и зильберовского,

Да^.ьМ точные формулировки основных определений и результатов третьей и четвертой глав.

ПаруСА}0 > следуя [ю} , назовем чистой парой (короче, ч.п.), если А ~ непустое множество, G - некоторая группа биекций А . Тройку СА/'.- . Л" } назовем сема"ти«еской тройкой (короче,с ..),если С/ ,G)- ч.п., JV - такой класс подскоке с тв множества А ,что если&е^^ёС, то § С £> ) s. JV Если СA,G) и (В,К) - ч.п.,У: - биекция, то .на-

зовем изоморфизмом, если H - .

Если на А задано отношение эквивалентности ,то назовем конгруэнцией на ч.п.СА/а;, если инвариантно относительно G . Если ^A,C-,rv) , (ё. Ч^О -биекция, то "V' назовем точным подобием, если: I) "у является изоморфизмом ч.п. (Л, G . и СЬ, : ! > ;

2) Ce): Г ' . Отношение эквива-

лентности "-J- на Д назовем конгруэнцией на с. т. С4,G,JV) , если: I) оно является конгруэнцией на ч.п.^А-.G) ; 2) для любых c.rc А из того, что а г. £ и о , следует ieE . Если СА, } » С £> > H J - ч.п., то будем писать:

1) СЬ,Ю 5 iA,G) , если ЬеД , H = --geG > ,

2) CE»,H)l>,*3C/l,G} . еслц Ь=А , H - подгруппа G ;

3) (Ь, H) A,G 5 » если существует такая ч.п. (С, F) , изоморфная СH > , что CC,F) C^.G} .

Если п. ч 1 , то через CA*1, обозначим ч.п. с индуцнро-

ванной группой на />Л . Будем говорить, что ч.п. CAG)

доминирует над ч.п,СС,Г} » если существуют »г-ссо , -инвариантное отношение эквивалентности на АС" , ч.п. Cfi>, Н) такие, что 'АН) <£ и Съ^З (C,F).

Если ОС - матема чческая структура, заданная на множестве А , для которой осмыслены понятия автоморфизма и подст-

руктуры, то ей мокно сопоставить и .т.

CA.G,«^) , где & - группа всех автоморфизмов, Ж - класс всех подструктур меньшей мощности структуры 01 , которые соответственно назовем чис ой парой .'Мантаческой тройкой структуры 01 .

Если зафиксировать некоторый кедостиглмый кардинал « ,го, как известно,кавдой полной теории Т мокно поставить в однозначное соответствие (с точностью до изоморфизма)насы:цвн-ную Т - мса-ль £ мощности К- , чазы""*емую монстр - моделью Т . Изучение свойств моделей Т сводится к изучении соответствующих свойств класса элементарных подмоделей I I от факт, широко эксплуатируемый в теории моделей,замечателен еще и гегл.чт^ позволяет яаядой теории Т .-оставить в ct гвегствие единственную чистую пару (с точностью до изоморфизма} и елинптпе»:^':; сс;,:апхическуа тройку (по модули точного подобия) монстр - модели С , которые назовем ч.п, Т и с.т. .

Т соответственно.

Будем говорить, что теория т допускает (относительно допускает) структуру Ob , если ч.п.Т С-^ 3 ч.п. Ol (если ч.п.Т - доминирует над ч.п. OL , соответственно). ; ,

ЧЖ>ВШк II.I. Лолная теория Т мощности неотабиль-на тогда и только тогда,когда Т относительно допускает такое множество С с бинарным отношением р , что суще- „ <■■■' ствуит кардинал А. , подмножества Р-й Q. S С такир, что IPS IQI и d является линейной цеяьо

относительно р с плотный подмножеством Р .

Эта георека, являющаяся ""емангичеошш* вари;-,.том теоремы С.Иелаха и ¿штерэснач сама по себе,подсказывает, что изучение овойс^ч структура,допускаемых (или относительно допускаемых) данной теорией,mosot дать существенную информацию о самой теории. Эту мысль подтезрздаюг реаул гатн § 12.

Одним из ва&ных математических структур является множество с оператором замыкания. Для удобства будем rcsopai-ь, что. . теория Т допускает оператор замыкания J , если Т допускает множество с оператором замыкания J , где Q -

- ' ; 11 V > : ■ '.:,..

универсуум монстр - модели С . Кая отмечалось вше,в связи с известными результатами Б.И.Зильбера [4возрос интерес к вопросам теории моделей,связанным с лрсдгесметриями на опре-делиу",л (с помощью формул или типов) множествах,задапаемнми при помощи алгебраического замыкания. С другой стороны, развитие теоретико - модельной алгебры такт.е стимулирует изучение операторов заикания (не только алгебраических), тесно связанных с ответвляемостью. § 12 посвящен изучению теорий, допускающих оператор замыкания.Пусть всюду ни э Л обозначает произвольна оператор замыкания, допускаемый теорией Т . Если а., В 'С'" Е> , то . означает, что су-

ществуют и последовательность элементов

из -е^ Ь такие, что &а = <х г е т ,

или Ьч для всех п. . СьСЛ;^и{С^&Ь-.леА }.

Если /А цТ, , тоа-Ь;«& означает

: для всех } ,

если такой кардинал существует; в противном случае положим

= . &- и{асе>: .

В виде аксиом запишем условия, налагаемые на допустимый оператор ^ , _

АКСИОМ I. Ее л: /ЧИ_Т , то 71= Л1 .

АКСИОМА 2, Если £>=Ь , а. , 1 '- кортежи элементов из

СЬС«) лСьс!) = 0 , то 5.^1 .

АКСИОМА 3. Если Ь- £> » , £ - кортежи элементов из , ТО С&С«-> пСйС6)= (25 .

АКСИОМ.' 4. Если , СО,

§ (а-} - 6 , Вп О^О) ^ = , то с: зствует

такое Не Аи*Ь(Л. СЕ > , что С«-) -3?С&(.л> .

АКСИОМ 5. у "

Т

< оо .

Результаты § 12 обьеди, ;ш в следующей теореме ТЕОРЕМ 12.0. I) Если 3 удовлетворяет аксиомам 1,4,5, го *Т* стабильна;

2) если Т стабильна, то аксиома 4 влечет аксиому 2.

3) если Т стабильна, то из аксиом I и 5 следует аксиома 3.

4) если Т стабильна, 3 удовлетворяет аксиомам 1,2, то С^Са^АС^Са) для всех /Ч )-Т, сс е 4 Л1 , де

АС^Са^ С а.) при Jra.ce .

5) если '"Г стабильна, 3 удовлетворяет аксиомам I,

ссеЛ^М , то: а) Л\-< Ми С/УЛС^СЯО") ¿/V 1

6) ГЛ4 //Ч/УлС„Са)}.<Л/ .

Полные теории Т., , Т^ назовем семантически точно по-добными.еслд их семантические тройки точно подобны.

Ня с.т. любой тео^кй еле,дующее отношение £ является конгруэнцией, где

/С--I, если

\ а.сС(а.)-= а.с£СЛ> , в противном случае. Теории т, и т назовем: I) £ - подобными,если фактор.''; их с.т. по £ точно подобны?

2, .• азиподобнымл,если существуют такие ^Т, ,что

ТКССМь'ч^лО и ТКтеМд,^ £ — подобны.

Одной из основных является

ТКОРКЛА 15.3. Следующие условия эквивалентны:

1) Теория Т квазиподобна некоторой теории сдноместны> предикатов;

2) Т* - стабильная теория огра:шченной размерности,допускающая оператор замыкания,удовлетв зющий аксиомам 1,2,5.

СЛВДСТтк. Теория унароь - категорична тогда и

только тогда,когда она квазиподобна теории бесконечных мно-кеств (без какой-либо структуры).

В связи с последнем следствием необходимо отмстить следующее. для описания некоторого класса конкретных алгебраических систем,определенного на теоретико-модельном языке,может не существовать характеристики на соответствующем алгебраическом

языке.Например,¡О.Е.Шишарэв в [II] дал характеристику -категоричных укаров на сломом смешанном (теорет -чо-модель- ' ном с алгебраический) языке. Но до сих пор не найдена под-хо-ящая характеристика ка чистом алг 1раическом языке. ' В таких ситуациях,как показывает вышеуказанное следствие, язык квазиподобия мохет оказаться полезным и понятным. •

Главны.^ понятиями четвертой главы (§§ 16-18) являются Синтаксическое подобие теорий,полусистема,оболочка и почти Оболочка теорий. " '

Теории Т| и IX назовем синтаксически подобными,если существует такая биекцня 5 : I" СТ^, что I) 5 Г Гц СТ) ^ является изоморфизмом булевых алгебр .

РХО «ОТ); 2) ¿(3^) = Эх^Сч»,

где ГСТ^и^СО:"^.

Подусистемой назовем пару вида (Л1,У)еесди А - непустое повеет, где .¡РОО обозначает многество всех -одоножесгв мн^-ества X . Если {Л, и полу-

системы, то биекцию 5 А назовем изоморфизмом, если 5*) . Запись'А € РС^ означает,чго существуя! п.« а форадла й Г (Т.^- такие,что

А = € -б? : 1= > }.

Будем пдс£гь Ас ТУ(С , если существует такое л<со , что: _ - - . _ ■ „

1) А - инШриантное относительно подмнок "вол.;

2) для лобых -иГ. осли существует такое сех.¡, ,что

то найдется ДеМ такое.чго <{и.ДС .„ы,...,еп>.

ТЕОРЕМА. 16,1. Следившие условия зквизалентш:

1) Т, и Т^ синтаксически подобны;

2) Полу системы ОС^^С а изоморфны. ТЕОРША 16.2. Следующие у ювия эквивалентны:

1) и Т^ семантически подобны;

2) Подусистеш и С'С.Л'^О-л)) изоморфны.

14

Примечательно,что синтаксическое и семантическое подобия■ могут быть определен на общея языке,а имень~:ка языке иолу-систем. Не трудно понять,что синтаксическая подобность тег -ца влечет лх семантическую подсбность.О/ -ако обратное утверждение неверно.

Еолв О^СТ) , ТО 'ДО-) г ,

где ,. если ^СП-, .

Ноглавный тип р^СТ) казовек- нейтральным,если:

ПМЯЬЯ^Т. где ^ *г > ( .

2)р(МУ-А кз^ата-чимо над А для всех Дг'¡\ А \ . Теория назовем сс'глочксй (прчта оболочке;:} тегппд Т. ; еслд существует О'-ЩЛУ С,- £5«&ралькыа тип ) та-

кой (такие),что: • ^

1) Т синтаксически подобна" ?

2) для любогЬ существуем такой .-что

3) А1-4сеСР(/^>) для всех.

Т. <РЕ£А 18.1. Дня каждой теория Т существует такая теория полигонов Тп ,что: I) если сигнатура Т конечна, то Тп является оболочкой Т ; 2) если сигнатура Т беек, .¿ч-нае то является ..очта обол, кой Т .

Понятия оболочки и почти оболочки являются понят ма о благости теорий. В частности,об этом свидетельствует .. СЕЕДСТШЕ 18.1. 1)Т Л - стабильна точно т.,а,когдаТ}!,

Я - стабильна;

2) если сигнатура Т конечна,то = К^Т) , <■<

3) если сигнатура Т "есконе'чна,то

Отсюда ясно,что многие проблемы теории моделей;,в частности проблема Воота о числа счетных моделей,точно сводятся к аналогичным проблем: о полигонах.

Глава У (§§ 19-21) посвящена йоцссговскям теориям. Г.Кейслер 1 выделяет два исторически слоившихся направле-¡'.ия $ теории моделей. - западное и восточное, Пра этой оше-

'¡.г.йтся.чю восточная теория моделей преимущественно изучает йоксонсвскиз, а западная - полные теории- Являясь противоположны:.^. крайними случаями общего понятия oí - Яоксоновсксй тсергя < О í-o'.í <*> ), они, разумеется, имеют своеобразные пеня"'т и методы. Как показывает история,эти направления разбивались г.с -разному, и несмотря на наличие некоторой тра-дп^енкой паралгеди.це сразу и не всегда удавлюсь найти

идоснову для переноса результатов из одного нап-релл^ная а другсо. Особые трудности вызывают переносы из западного направления («¿-со) в eocTi ное t «¿^ ° ) .Например, метод констант Генкина разработан в 194у г. \_I5l , а его восточный вариант - конеч:ый форсинг Робинсона - лишь в 1Ь70г [l3"j ; теорема Воота, Генкина.Ори об опускании типов была доказана в 1у54-60 годах [.35,16,281 , а ее восточный аналог -теорема Макичтайра - в Ib72 г. [241 . Одним из препятствий для переноса результатов из западного направлена в восточное было,на наш взгляд,отсутствие адекватного аналога понятия полного типа. Зга проблема снимается, теорс й I'j.I,которая создает идейную основу для нахождения ; восточных вариантов классических теорем Воота о счетных моделях. Это является новым применением идеи семантического подхода к изучении теорий,которая обличает,по всей видимости, значительными потенциальными возможностями.

Здесь сформулируем в виде теоремы 20.0 лиаь часть резуль-татов,касасдусся простых и атомных моделей.

THCPiJiA 20,0. Пусть Т является П«ц.д, - аксиоматизируемой П* - пол: счетной теорией. Тогда:

1) следующие условия эквивалентны:

а) Т имеет ( , ) - атомнуо модель;

б) в Т кагдая 21 ^^ -формула - пополкима;

в) Т имеет счетную ( >) ~ атомную иодель.

2) для модели Л\ t="T следующие условия эквивалентны:

а) Al с<+1 _ проста;

б) /Л счетна и ( 21 ^ ) - атомна.

16

3) л'-сбне две ъО-1 - простые модели ~~Г ::?c;.'.opti--ij.

Из OTiis утьерадегшй при о<» о лс^учас:.: зостс«.«*^ тч тес. •*. Воота (нолучаег.:ы..,в своя очередь,г.ра ).

Последняя,шестая глава (§§ 22-^5) посал^сн. теор;:.: стабильности полигонов.

Моноид S назовем стабилизатором (суперетабилизатсрс..:, со - стабилиг торец), если lliCA^ стабильна (cynepcia-билька, со - стабильна соответственно, ¿ал лабого полусна Л над S . Если S , 70

Моноид S иг^овем А У - !.:о.чоздсм ( ЬУ -моноиде:,;.),

если ^S;^ У является линейно упорядоченным (вполне упорядоченным,соответственно) множеством. Уяг ^л-здуг; лс '¡.-^ j , С.Щслах ¿¿метил,что циклические консиды является суперсхаои-лизаторами.

Основными в этой гла»е являются следующие результат.-; ■.

XEGEaHA. 22.1, Моневд S ялпяггпя стабилизаторе:; тогда и тол- -о тогда,когда S является -Л V - моноидом.

ТЕОРЕМА 23.1. и!оновд S является суяерстабклдзагорсм тогда и только тогда.когда S является ЬУ - моноидом.

ТЕОРЕМА. 25.1. S является - стабилизатором, то Ic, i: Л. .

Замечание I. Л тогда и только тогда,когда S -группа.

TEQPEaIA "1.1.Счетная груг i S является - стабилизатором тогда и только тогда,когда число ее подгру.г. не более чс счетно.

Замечание 2. Ц = тегда и только тогда,когда S .-.х-гено представить в виде S^G^J" , где J - единственный собственный левый идеал S , Cr~ J к G - группа,

ТЕОРЕМА 25.2. Пусть ls~ Л. и S=Gu J . Тогда:

1) если 1S1 , го S является oj - стабилизатором;

2) если Ъ -со_ стабилизатор и |G|<cok хо iSI<c>J

3) если 2 - ^ - стабилизатор и Су - абелева группа, то 1 ^ I < со .

СЛВДСХШЕ. Конечный коноид 5 является ' - стабилизатором тогда и только тогда,когда либо Б - группа, либо имеет единственный собственный левый идеал.

»-»гор всегда чувствовал подцеркку АД.Тайманова, за что выражает е;цу искреннюю признательность.

ЛИТЕРАТУРА

1.Еримбе^ов М.М. О полных теориях с Х- кц. дииадьныки фор-ц>.;аш //Алгебра и логика,-1У75.-Т,Х4,й 3,- С.245-257,

2.Его ае. Связь мощностей формульных подацогесув со стабильностью формул //Алгебра в логика.-1985.-1.24, # 6.

-С.627-630.

З.Зальбер Б.К< 0 иройлеме конечной аксиоматизируемости для теорий.кауегоричатл: во веек мощностях //Исследования по теоретического програмщрованио.-Ах г-Ата,19Ь^.-С.6Э-75.

4.Его. ез. Несытно категоричные теории: Автореферат дис.... докт.фкз.мат-наук: 01.01.06,- Ленинград,1936.

5. Кейс л ер дДл.ь Основы теории моделей //Справочная книга ..по мат.логике Игр.с ацгд.-М.:Наука,1У82,-Часть Х.Теория моделей.- С.55-108.

б^рмагомбетоа Т.А. О почти - стабильных теориях , //Изв.АН КазССГ,иер.фаз.шт.й^'К.-1Э8Х.-ТЛ02,й 5.- г:.47-5Х.

7,Палвтиа ЕД, Спектр и структура моделей полных теория //Справочная

книга по мат.логике«Пер«с англ.—М.¡Наука,1982. - Часть I Дворня ыодолей.-С.320-387. '

8.Его ке.Ссектр а структура модель^ хорновых теорий:

-.у, Автореферат дЕСс-«,* докт-физ.маг.наук: 01.01.05.-Новосибирск, 1586.

3.Перетятькин М.Г. Пример ^ - категоричной подлой конечно аксиоматизируемой теория //Алгебра и логика.-Х980.-Т.Х9.Й 3.- С.314-347в - .

, ХО.Пдоткин Б.Ио Группд автоморфизмов алгебраических слстец -М. ¡Наука, Х966. тв

11.UIsrdapeB iO.E. 0 KaTerop-iiHMX reopna:: ostiOii fonxwa //IiaT.sa-veTKii.- 1972,-T. 23, j? I.-C.Sb-öS.

12. 3.T., Lacht i A.H. On tongly minimal Sets // J. Syml. Lo«;c.~ 1311 .-V.3G,//1.- R ?3-S(>.

13. Ba-ziVi-se J., Ro&inson A. Computing iheoiiei Sy $otx i.nc> /Mnn. Math. Logic.-/970. - V. Xtf/X.~F>. HS-tti.

14. L. Ocmzali^ed Atgegxa.lc Thcozies : Thais.-, 19G8 .

15. HeriKin L.T^C ¿ompicitn-tSS tke $Lzst-ozJct

16. IJem . ^enexa.Ci.3o.tton oj t/ie coice^t »j* co-co«. Sisie-Kc^ // J.S n&.L'^c-ISSt.-V.lS.-R 13l-19i>.

17. LaxnCcm /\.H. Ihe tzanicendontc.i «.

Pa.Cf.jic J. M*ih.- '37i.-V.37j "J.-R HS-152.

18. Idem. A p-coptzty oj staSfe theoxies //Fund. Ma.th.-197J.-V.7?J/V1.-'P. 3-10.

Iü. ]dem. T/ieoxöes wltii a 5Liute lumSez o-f rnodeii <■>"-a. ancotoiiaßge fowct ate catchtIMdhrl3ll:VÄ1r?fc-Kl.

20. SyDecf-a oj co-sZsiCe iheoUti /(Zeiisck. /f<*iÄ. Loj.v. und Giund.-13?2.-V.i%//JL.- P.U3-H3 .

21. Lct^t^t RanKS «.nd Je{ina.£it:tj Ln iuf>tuia.Mt tbaHei//

]st.J.M<xth.-i37(>.-V.Z5,/Vj.-R 53-37.

22. Al<xci.n.ty*e A. On ¡f^categoiicctH theoxies «>/ aße-lictn. cjiou.ps //Fund. /1aiA.-/97/.-V.?0.-£

23. leJem. On jf^ca.iegozLcal ihe»lies of faidi// FunJ. • /Ma.il,. - 19h.- V. 71,-Fi 1-AS.

24. Idem. Onitting <jMa«£ift"et-;fiee ty/>ts in $en<:xtt UzuUuzts, //j.Syrr,£.Lo3ic.~13U.-V.3?.-P. SU-^o.

25. Alaxcuj L.. The numgez. countafcfe wo^s fckiox^ oi onc. unaty 5uMCtior> // Fund. Math.- 153Q.-

V. 1öS,A'£.-&'rii-iSi .

26. Ala/tsi) W.E. On «.nol n.o£

i/ieotCcs : 7/iebCsЪсаЫо^к , 19 . ¿7. fioztîg Ai. Ca_izqbxic.il^ in. ¡20WCX //Тг^-n-S. AmZX.McdL So-. - 13&S\-V. R 514-528.

¿6. Or.e.3 S. On. cu-oon.sLstzn.c2 <f-n<H ze.êaied ргорсtdi.es// J. S^mê. Lyic.- i3Sb.-V.i.i . - Я Z4L-3.SX. y,:-'. RûSzKika.1 O.w. A px^oj / o. tkn9iC.ni Skdcdi // J-Sy-mè. Lc^c- l3iZ.~V. Ъ1.-Р. пъ-пч.

30. S/tt^o./. S. âétt&t tUoUa// h?. J', Мв4М.,г-19(>Зг V. ?. - P. 1J7-J.OA .

31. Ic^ovn . Ftn.i.ie c(iagtar»z staite. // 4"» ■ Aio-U . Lo^e..- 13?0.-V.3.,#i.- P. 69

32. Ыещ. ît<xULly, tkc f.c./>. ¿иf

mcdct-ikcozztCc ptoptitits of jotmu.l.a.js fi&i-fiificz

tktc ; // Mcbtk. Logic.- I97i.-V.3j M3-P.

33. Wtm. bifscxtutlaety. ctoitd fieUï//jfiK.&jH«ii.-Î973.-V./G.-P. 3/V-3AS.

34. Idem. Cla.iiiiica.tion. theoig ^nd t&Ç- 0/ h.- isomoxphi'c modcii. - Amslexdatn j/pith -

HoiUnd, /9*?.

35. VcucgXt Я • £>enumeta.Ê£e morie-iç .^^fiî.fcte ¿JttoiCes //lai' -«¡iiic

36. WooeJ С.Итлще «оЛ? extciùo«.î fVt di^t-vt^ilal •fi-eWs о/ cKataeitriitic

Работы автора по теме днссергацни

37. Мустафин Т.Г. О сильной базе элементарных типов теорий // Сиб.мат.курн.-1^77.-Т.18,й 6.-C.I356-I366.

38. ¿го же, 0 числе моделей счетных полных теорий // 5-я

Есесоюз.конф.по мат.логике,г-..вящ.70-лет;н> акзд. А..'¿альцола, Новосибирск,сент.1979г.:Тез.докл.- Новосибирск,1^7^ С.Юо,

Зу.&екенов М.И.»Мустафин Т.Г. О ранг'•'их фунхцлях, огфед.:-.-;. мих и раскепимых типах в стабильных теориях // Дскл.АН СС'^Р,

- I97y.-T.245.Jj 4.-С.777-780.

40.Мустафин Т.Г. О недвукардинальном множество стабильных типов // Мат.заметки.-1980.-Т.27, 4.-С.515-525.

41.Его ке. Г ранговых функциях в стабильных теориях // Снб. мат.курн.- 1980.-Т.21,Уг 6.-С.84-95.

42.Его ке. О теориях с двукардинальной формулой // Ал: .бра и 'огика.-1980.- ТЛУ.К 6.- С.679-682.

43.Бекенов М.И..Мустафин Т.Г. Свойства нсрасщепкмых типов в стабильных теор.лх /,■ Злб.мат.курн.- 1281.-Т.22,;» 1.-С.27-34.

44.шуста$ин Т.Г. Принципы нормализации ¿ормул // Сиб.кр.т. яурн.-1У81.-Т.22, И 2.- С.158-16У.

45.Его ке, 0 числе счетных моделей полкой теории //Алгебра и логика.-1981.-Т.20,I.-С.69-91.

46.Его же. Стабильные теории.-Караганда: Изд.КарГУ,1981.

47.ц,стафин Т.! ..Ьурмагамбетов Т.А. Разделимые типы к ранговые функции в стабильных теориях // Алгебра и логика.-1982.

- Т.21.Й 2.- С.204-?*Ч,

48.Мустафин Т.Г. Число моделей теории.-Караганда:Изд.КарГУ, 1983.

•¿У.Его яе. О мере зависимости в суперстабилышх теориях // 7-я Всесоюз.конф.по мат.лпгкке,посвяд.75-лети'э акад.А.И. Мальцева,Новосибирск,сект.19и4 г.:Тез.дом.-Новосибирск,1984. -С.116

50.Его же. Аксиоматическое определение форкпнга // 8-я Респ.меавуз.конф.по математика а мохаш!ке, Ал:*л-Ата, сент. 1984 г.:Тез.докл,- Часть I.-Алма-Ата,1984.-С.189.

51.Его г.е. О классификации суперстабильных теорий по ранговым функциям // Алгебра и логика.-1985.-Т. 24,I.-С.42-64.

52.Его не. Мера зависимости мезду элементами в суперста-

сильных теориях //Теория алгебраических структур.-Караганда, 1УВ5.- С.БУ-У1.

ñj.Kro v.e, К тесротико - модельной классифккаци полигонов // 18-я BoecOv3.a-.rcСр.¿coííj.,Кишинев,сект.1У85г.:Тез.до»сл.-Час. ¿.-Кишинев,Ivfcó.-C.51.

54.¿го ;->:« 0 некоторых теоретико - модельных свойствах действен / ун-т.-Караганда, 1У85.-32 с.-Библиогр. :5 назв. -Де::..ч I3.03.b5,.* Btí4-Ka.

йэ.лто se. О стаб:1льных злсмзктнг фгокинг - транзитивных теориях полигонов / :Сарагацд.ун-т.-Караганда, 1У85.-21с.-Биб-лисг?.:7 назв.-Доп.в КазК'ИНП; 2y.0I.66,.* 1173-Ка.

56.¿го же.восточные варианты теорем Воота о счетных моделях // &-;: Ьсесосз.кокф.по мат.логике,посвящ.85-летио акад.П.С. Новикова,.'г'осква,сект. It'tíSr. :Тез.докл.-Москва,1У86,- С.УЗ.

57. ,4 astada Т. G. О a some JaxopextLe-S stellt tWOcs Of acts // VjTJ Ktti-^t. Cov^ttsi oj Lo^ic,Mc.tk.cmd Phil. Science г /íoscow, Ш?. : И gsttacts V. 1 -/Wo*/ 1МЧ,- Р.ЮЧ-ЮГ.

58.Богомолов B.C..Мустафин Т.Г. Описание коммутативных моноадов, все полигоны над которыми», со - стабильны // 19-я Бсесосз.алгебр.конф.,Львов,сент.1987г.*фез.докл. -Львов,1У87. -С.33.

59.Мустафин Т.Г..Нурмлгамбетов Т.А. Введение в прикладнуо теории моделей.-Караганда: Изд.КарГУ,1У87.

60.Мустафин Т.Г. О стабильностной теории полигонов // Тр. Ин-та .математики / АН СССР.Снб.огд-кие.-1УШ.~ Т.8:Теория моделей а ее прнме,..нил.-С.92-108.

61.Его не. О недвукардинальном ынохестве типов в стабильных теориях // У-я Всесоюз.конф.по мат.логике,посвяд.85-летио чл.-корр.A.A.Маркова,Ленинград,сент.1988г.:Тез.докл. -Ленинград, ЬШ. -С. 109.

62.Кто ке. О полигонной оболочке алгебраической системы // Мевдунар.конф. по а-.ге бре,п освящ.ЬО-летис акад.Л.И.Мальцева, Новосибирск,авг.1У8У г.:Тез.докл.-Т.Теория моделей и алгебраических систем.- Новосибирск, 1989.-С.82.

22

63.Его но. Описание ¿о _ стабилизаторов //9-я Респ.ь:е£-вуз.конф.по математике и механике. Алма-Ата,сентЛ9-Л г.: 0 Гез.дскл,- Часть 1,-Алма-А. 1,1989.-0.162.

64.^о ¡т.е. Об операторах замыкания на колеях стабильных теории //Теоретико-модельная алгебра.-Алма-Ата,1989.-С.БЬ-89.

65.Богомолов В.С.,Цустафин Т.Г. Описание коммутативных (лоноидов,все полигоны над которыми - стабильны //Алгебра я логика,- 1989.-Т.29,й 4.- С.