Свойства суперстабильных теорий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Ранг формул и типов.

§1. Предварительные сведения.

§2. Обобщенные ранговые функции.

ГЛАВА П. Определимые и нерасщепимые расширения типов.

§3. Единственность вполне определимого расширения.

Нерасщепимые расширения.

ГЛАВА Ш. Свойство спектральных функций.

§5. Теории с базой.

§6. О спектре квазитрансцендентных теорий.

§7. О спектре -однородных моделей.

Интенсивное развитие теории моделей, одного из разделов математической логики, где изучаются связи мевду формальным языком и алгебраическими системами (моделями), приходится на последние два десятилетия. Основателями теории моделей были советский академик А.И.Мальцев и американский профессор А.Тарский.За этот период теория обогатилась новыми идеями,методами и конструкциями. Её методы нашли применение в алгебре,геометрии,топологии,теории множеств. Одним из методологических аспектов теории моделей является классификация алгебраических систем с точностью до элементарной эквивалентности. Начиная со второй половины шестидесятых годов, центральное место в теории моделей занимают исследования по счетным полным теориям первого порядка.Вопросы, которые охватывались при изучении были разнообразны:, классификация полных теорий, вопросы категоричности, спектральных функций,разрешимости теорий, существования специальных моделей,конструктивизируе-мости моделей, конечной аксиоматизируемости, приложения теории моделей к изучению конкретных классов алгебраических систем и многие другие.

Классификация полных теорий является одной из основных задач общей теории моделей.Особый успех здесь имела идея Морли-класси-фикация полных теорий по отношению мощности модели к мощности стоуновского пространства этой модели. Полную теорию Т называют А -стабильной, если для любой её модели М мощности , имеет место *гДе -стоуновское пространство модели М , а /£(М)1 -мощность Теория Т называется стабильной теорией, если существует кардинал А такой,что Т А -стабильна. Теория Т называется суперстабильной теорией, если Т~ Л -стабильна для всех А ^ •

Одним из достоинств идеи Морли было введение ординально-знач-ной ранговой функции с тем,чтобы, используя трансфинитную индукцию по рангу,получать интересные результаты,касающиеся структуры моделей стабильных теорий. Этот подход состоит в следующем. Рассматривается некоторая функция Я ,которая каждой формуле теории Т ставит в соответствие, некоторое ординальное число (/или . Такие функции называют ординальнозначными ранговыми функциями или ранговыми функциями. Если для любой формулы теории ~Г , ^(тС^о^-оС Ф <*> то говорят, что Т /( -р а н г о б а н а, Например, если рассматривается ранговая функция Морли Ям ,и для любой УСх^) теории то говорят, что т г -рангована или по Морли[*.*} / тотально трансцендентна. Важность такого подхода в исследованиях по теории моделей является общепризнанной. При решении различных задач Болдуин, Лахлан, Шелах,Мустафин,Ласкар и ряд других авторов вводили новые ранговые функции. Так,например, были введены Я^^ед, -ранговые функции Шелаха, /£л-ранговая функция Лахлана, ранговая функция Болдуина, Бласса,ранговая функция «Яаскара. Более того в работах [&]>[¿¿3 были сформулированы в виде аксиом наиболее существенные^ применениях, свойства некоторых известных ранговых функций, что позволило определить новые классы теорий и решить некоторые вопросы об ординальнозначных ранговых функциях.

В 1965 году Морли [лоЗ подтвердил для счетных теорий гипотезу Лося [Ц] .

Теорема1. Если теория Т~ категорична в некоторой мощности >/Г/ ,то 7" категорична во всех мощностях > ¡Т1 .

Таким образом, для счетного языка имеется лишь две возможности -категоричность и ^ -категоричность. Теорема I позднее была доказана для несчетных теорий Шелахом/зз7 .

В дальнейшем Т обозначает полную счетную теорию первого порядка, имеющую бесконечные модели.

Метод Морли, примененный в доказательстве теоремы I, являлся однако слишком общим, чтобы получить более сильные результаты о структуре моделей несчетно категоричных теорий. Основные структурные результаты здесь были получены методом минимальных множеств. Формула ^(^о.) теории Т называется алгебраической, если существует модель М теории / такая, что аеМ, /у{Мл&)1 <- оЪ .Формула теории Т называется сильно минимальной, если она неалгебраическая, но для любой формулы УУх,/) теории Т одна из формул

УГ&1) алгебраическая. Теория Г называется сильно минимальной, если формула х-=х теории 7~ сильно минимальна. Марш/доказал, что любая сильно минимальная теория категорична в несчетной мощности. Класс сильно минимальных теорий играет фундаментальную роль в изучении структуры моделей несчетно категоричных теорий. Палютиным [к&] и независимо Гиван-том [б] было получено полное описание категоричных квазимногообразий.

Формулу теории / называют недвукардинальной формуло й,если для любых моделей М теории 7", содержащих 5 , либо ,шйь\х?(Мои)\~1м\. Теорию Т называют недвукардинальной теорией, если все формулы теории Т недвукардинальные. Лахла-ном и Болдвиным была доказана следующая теорема .

Теорема2. Если Т иЬ -стабильная и недвукардинальная теория, то Т несчетно категоричная.

Из результатов Мор ли /г о 7 и Воота [л] вытекает, что несчетная категоричность теории ~Г влечет и) -стабильность и недву-кардинальность теории 7~. Также Морли доказал [ло] , что любая несчетная модель несчетно категоричной теории Т является насыщенной.

В работе Белеградек использует метод минимальных множеств для более широкого класса теорий, чем класс несчетно категоричных теорий. Теория Т называется почти катего-р и ч н о й, если существует главное несущественное расширение Г'теории Т и сильно минимальные в 7"'формулы <=■ ¿', для которых формула ^(х)^-*%(х) недвукардинальная. В работе содержатся структурные результаты о моделях таких теорий,обобщающие соответствующие результаты для несчетно категоричных теорий.

Как уже отмечалось,Морли в своей работе [ю] выделил класс тотально трансцендентных теорий и показал, что этот класс совпадает с классом и) -стабильных теорий. Класс и) -стабильных теорий удовлетворяет хорошим свойством относительно простых модельных расширений.

Теорема 3. (Морли [м7 ).Если 7 -стабильная теория, то над каждым множеством А теории Т существует простая, атомная над А модель теории 7".

В работе Мустафин, используя существование простой атомной модели над любым множеством теории, и обобщая метод минимальных множеств, выделяет новый класс теорий,который называет классом квазитрансцендентных теорий с сильной базой,Теория Тназывается квазитрансцендентной,если для любого множества Л теории Т существует простая атомная над А модель теории 7~ . Класс квазитрансцендентных теорий содержит в себе класс -стабильных теорий, но существует пример [¿з] квазитрансцендентной теории, которая не является и> -стабильной. Класс квазитрансцендентных теорий с сильной базой, является подклассом класса суперстабильных теорий и содержит в себе класс почти категоричных теорий. В работе [2.ъ] Мустафина также содержатся структурные результаты о моделях квазитрансцендентных теорий с сильной базой.

Выделяя класс суперстабильных теорий,Шелах доказал следующую теорему о ранговой функции .

Теорема 4. ¿3*1 Пусть Т стабильная теория. Тогда Т суперстабильна тогда и только тогда,когда Т -рангована.

Следующая теорема о равенстве ранговых функций ^ и Ъ*^ для категоричных теорий доказана Лахланоми независимо Омаро-вым [2.7].

Т е о р е и а 5. Если Т стабильная категоричная в бесконечной мощности теория, то для любой формулы У(х,а.) теории / имеет место Я" (ч>(*,*))- Ъу (*(*&))

Шелахом [ъх] , а затем Ласкаром были введены понятия определимых и нерасщепимых типов над множеством теории.Эти понятия играют фундаментальную роль в изучении стабильных теорий. В частности Шелахом были доказаны следующие теоремы.

Теорема 6./¿¿7 Теория Т стабильна тогда и только тогда, когда для любого множества А теории Т и любого типа />е$(А) /> определим над А .

Т е о р е м а Теория ~Т~ суперстабильна тогда и только тогда,когда для любого множества А теории 7~ и любого типа существует^/! , что/в/*^ и р сильно нерасщепим над & .

Теория Т называется ^-определимой, если для любого множества А теории Г и любого типа />е существует 3 с-А , что/81 ^сЬ и р определим над & . Мустафиным в статье ] доказана следующая теорема.

Теорема 8. Любая <дЭ -стабильная теория ~Т будет -определимой, а кавдая оЬ -определимая теория суперстабильна. Одним из основных направлений развития теории моделей является изучение свойств спектральных функций произвольных и специального вида моделей для различных классов теорий. В последние десять лет в этом направлении были получены глубокие результаты. Приведем некоторые из них.

Теорема 9.(Шелах [?] ). Если 7" не ^ -стабильная теория, то для каждого Хы ,а для а > тт

Теорема Ю.(Шелах [31] ).Если Т не ¿^-категоричная, ^-стабильная теория, тогда 1г(и)в() ¡¿-и / для всех/.

Таким образом, из последней теоремы и теоремы I вытекает следующая теорема.

Т е о р е м а II. Если Т -стабильная теория,тогда выполняется одно из следующих условий:

1) Тт / для всех

2) Хт >¡<¿ + 4! Для всех оС

В 1971 году Шелах в работе Iсформулировал следующее предположение.

Гипотеза (Шелах). Для любой теории

Г выполняется одно из следующих условий: . ей

1) 1Г I1, для всех оС

2) Для всех

В работе [лб]иустафина было получено следующее усиление теоремы II.

Т е о р е м а 12. Если теория

Т имеет двукардинальную формулу, тогда ) Ъ- Дс + у/ для всех о< .

В 1982 году Шелах анонсировал справедливость своей гипотезы /35-7 .Ранее, в 1974 году, им было доказано более сильное утверждение для несуперстабильных теорий.

Т е о р е м а 13. Если теория Т несуперстабильная, то Для всех

Таким образом, несуперстабильность теории является достаточным условием максимальности несчетного спектра теории.Интересно, что в следующей теореме не е«>г -категоричность полного многообразия является достаточным условием максимальности всего спектра.

Теорема 14.(Палютин )Если К полное многообразие и /< не ^-категорично, то ^ бА*) = для всех ^ .

В дальнейшем , будут означать число попарно неизоморфных соответственно ^ -насыщенных, ^-однородных моделей мощности сД, ,

Теорема 15.(Морли,Воот [х*] ) Для любой теории Т и любого Л существует Л -насыщенная модель теории 7~ .

Теорема 16. (Морли,Воот£а7 ) Каждая Л -насыщенная модель Л+-универсальна и Л -однородна. Если А>и) , то Л -универсальная и Л -однородная модель является А -насыщенной.

Кейслером и Морли в [и~] были доказаны следующие теоремы.

Теорема 17. Пусть /Ч и Л/ однородные модели теории 7", в которых реализуются для каждого одни и те же и- -типы и ¡М1-/л/1 . Тогда М и /1/ изоморфны.

Из теоремы 17 вытекает, что для любой теории Т >¿>¿1-X

Теорема 18/*Ч/. При ОКР имеет место при ¿ъ/Ы для любой теории Т .

Шелахом доказана следующая теорема об однородных моделях.

Теорема 19/?7. Пусть Т теория, А .Если каждая модель теории Т мощности / является однородной, тогда каждая модель теории ~Г мощности >£Л является однородной.

Ъ I. 71 имеется теорема о для суперстабильных теорий. Приведем упрощенный вариант этой теоремы.

Теорема 20.(Шелах £зл] ).Пусть Г суперстабильная теория, ^ -ординал,тогда выполняется одно из следующих условий:

1) дЛя всех сХ^ъл?

2) БгС^у^) не ограничена.

Для нестабильных теорий Шелах доказал следующую теорему.

Теорема 21.//7 . Если Т нестабильная теория, к регулярный, А ^А =А »тогда существует попарно неизоморфных к -однородных моделей мощности А теории Т ,и если Ш $>и(с$) ±Х,то они также к-насыщенны.

Целью диссертации является изучение свойств суперстабильных счетных полных теорий языка первого порядка и спектральных функций произвольных и специального вида моделей для этих теорий.

Все результаты диссертации являются новыми. В доказательствах основных положений диссертации используются теоретико-модельные методы ранговых функций и минимальных множеств.

По теме диссертации опубликовано 9 работ. Результаты диссертации содержатся в работах - [ЧН], докладывались на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория моделей" в Новосибирском государственном университете и ИМ СО АН СССР, У1 всесоюзной конференции по математической логике в 1982 году в Тбилиси, на УТ и УП Всеказахстанской межвузовской конференции в 1977 году в Алма-Ата и 1981 году в Караганде, а также на семинарах по теории моделей в ИММ АН Каз ССР, в Казахском государственном университете и в Карагандинском государственном университете.

Диссертация содержит &0 страниц машинописного текста и состоит из введения и трех глав. Библиография содержит наименований литературных источников.

1.Ершов Ю.Л.,Палютин Е.А. Математическая логика.-Москва,Наука1979.

2. Кейслер Г.,Чэн Ч.Ч. Теория моделей.-Москва, Мир, 1977.

3. Мальцев А.И. Алгебраические системы.-Москва,Наука, 1970.

4. Мустафин Т.Г. Стабильные теории.-Караганда,КарГУ,I981.

5. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей.-Москва,Мир, 1976.

6. Справочная книга по математической логике,часть I, Теория моделей, -Москва, Наука, 1982.

7. Sh&êaA S. C£o,<AL<ficjcdLoh, cu^L tkb МлпЛел. о/ Мъ-'Ъокюъpkit J4ooLdi. JmÂzn,oLam,, л/oni - Holtos^oL ? 1978.

8. VcuA^tâ R. ^uvMwvoaê'tz, truDcUfk &f Ун, :bbfi^tùn SHtikaoU. : Р^сипо/г, 1961, .303-321.

9. Ке1л1ьг H.J.jMoï&yM. (Jh, Ike- /ииууиёт. &{, ftf)ttvo(fWLuU)i tft>ook£*of £b ^¿vesv pQWirkvMÎÏflfoÂk., 5,12, .73-78. ХЗ.Уае-А^а^/\.Н. A ръореъЬу o-f ;>icU£e, ¿Алоъсьь.РшъсСолъ. trucdA. y 1972,77, .9-20.

10. J. Фи- ¿к, ронял, ol zfiunestiarw ol&du£tlve. •sattwi (ъиЛ 1л£сХ^сСMxtk. f 1966.

11. JfcrrfwMto. Cojt^iix^i^ ¿и, ро&гЪ.- Тъам.Soc114,1965, .514-538.21. МоъС&у M7). Tu oouu<iMtXeguc,., 1970, 35, .14-18.

12. МЫмМй., VcluaU t HonvoQzwou*uJooi/^ioX /booted. -JUaik. Szjq^CL., 1962, II, .37-57-.

13. Мустафин Т.Г. '0 сильной базе элементарных типов теорий.-Сибирский математический журнал,1977,18,£6, с.1356-1366.

14. Мустафин Т,Г0 0 числе моделей счетных полных теорий.-В кн:Тезисы У Всесоюзной конференции по математической логике.Новосибирск,1979,с.105.

15. Мустафин Т.Г. Об определимых типах.-Исследования по современным вопросам алгебры и анализа.Карагавда., 1978, с.62-69.

16. Мустафин Т.Г. 0 ранговых функциях в стабильных теориях.-Сибирский математический журнал,1980,21,£6, с.84-95.27.0маров Б. 0 рангах Морли и Шелаха в стабильных теориях.Депонирована в ВИНИТИ за И323-82 Д.от 25/ХП, 1981.

17. Палютин Е«А» Описание категоричных квазимногообразий.-Алгебра и логика, 1975,14,£2, с. 145-185.

18. S. Fiuiib cLío^klí^ iíoüt ¿n, рох/^Ъ. Ди,и,оЛ*>, (Afojék*.1970, 2.

19. SkbioJi, £ Sí&ii&éyéhz' :iÁjicn¿£¿bpLoptiíuL^ ^о-ьноиЛЬ!) ibu ékz, -¿i^yt оъоОгл, -¿Аеоъу, ЛиидМ <mí-h,, 1971, 3.PzOQ. . (kjt Toflbh¿Já 3 S-fypcyO , PuSiZ,1974, 25, .187-204.

20. Síz&aA S. (Ib, Т/ьеяЪиы cxxi^aobjxb^ ¿u, / Ti.J. *kcg¿<* . , 1970, 35, .73-82.

21. ShdaA S. У/Uf QsHi, J J&dbcx&U J/J4S1982, 3, .282.

22. Бекенов М.И. Класс теорий трансцендентных относительно рангаШелаха.-В кн.:Тезисы докладов У1 Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1977, с.131.

23. Иьчдл U,,Be.jUhX>\х/ М.Л ъычолк VMitfiHiuXf О,^/^ajoM^juL fífotfay-WMÁrPwpzLuk ¿М- Wu¿¡uir¡>tka('b<H, cLn, ^УЬИihditut /¿г Múékntcíbí aU Af&s/l^h^A . ь 1979, .1-13.

24. Бекенов М.И.,Мустафин Т.Г. О ранговых функциях определимых инерасщепимых типах в стабильных теориях.-ДАН СССР, 1979, 245, М, с.777-780.

25. Бекенов М.И.,Мустафин Т.Г. Свойства нерасщепимых типов в стабильных теориях.-Сибирский математический журнал, 1981, 22, Ж, с.27-34.

26. Бекенов М.И. О спектре квазитрансцендентных теорий.-Депонирована в ВИНИТИ 1595-81, Деп.6.I.I98I, представлена редколлегией Сибирского математического журнала.

27. Бекенов М.И. О спектре одного класса теорий.-В сб.¡Вопросытеории алгебраических систем. Караганда, 1981, с.3-7 -В кн:Тезисы докладов УП Казахстанской межвузовской научной конференции.Караганда,!981.

28. Бекенов М.И. О теориях с базой.«В сб.:Теория моделей и еёприменения. Алма-Ата, 1980, с.45-47.

29. Бекенов М.И. О спектре квазитрансцендентных теорий.-Алгебраи логика, 1982, 21, Я, с.3-12.

30. Бекенов М.И. О числе Л-однородных моделей для некоторогокласса теорий.-В кн.:Тезисы докладов У1 Всесоюзной конференции по математической логике. Тбилиси, 1982, с.15.