Теоретико-модельные свойства полигонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Сведения из теории моделей. ф 1.2. Сведения из теории полигонов

1.3. Сведения из теории моделей полигонов.

Глава 2. Классы Т плоских, V проективных и Тт свободных полигонов

2.1. Строение плоских полигонов.

2.2. Аксиоматизируемость классов V и Тт.

2.3. Полнота классов V и Т. 2.4. ^-*г)-суперстабилизатор.

2.5. ^гг)-о;-стабилизаторы.

2.6. Примеры.

Глава 3. Класс ТТ полигонов без кручения

3.1. Некоторые свойства класса ТТ.

3.2. Стабильность класса ТТ.

3.3. Примеры.

Глава 4. Класс 71 регулярных полигонов

4.1. Аксиоматизируемость класса 11.

4.2. Модельная полнота класса

4.3. 7^-стабилизатор.

4.4. 7^-суперстабилизатор.

4.5. 7Z — w-стабилизатор.

4.5. Коммутативный 1Z — w-стабилизатор

Глава 5. Квазимногообразие полигонов со свойствами амальгамируемости и расширения конгруэн

5.1. Предварительные результаты.•.

5.2. Аксиоматизируемость класса Abs(7i).

5.3. Модельный компаньон класса %.\

Глава 6. Класс S — Act всех 5-полигонов

6.1. (¿-стабилизатор.

6.2. Конечные моноиды S с разрешимым классом S—

6.3. Моноиды S с разрешимым классом S — Act . . . 186 6.3. Моноиды S с наследственно неразрешимым классом S - Act.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, стабильности, различные теоретико-модельные конструкции (например, 'ультрапроизведения), изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, стабильность.

Толчком к развитию теории моделей полигонов послужили работы В.Гоулд ([46], 1987 г.) и Т.Г.Мустафина ([8], 1988 г.). К этому времени была уже в достаточной мере развита теория моделей модулей, некоторые задачи которой легко переносились на теорию моделей полигонов. Аппаратом для решения этих задач служили теория полугрупп и теория полигонов с уже накопленными результатами. Для того, чтобы понять причины такой связи между теорией моделей модулей и полигонов, начнем с понятия полигона.

Под левым полигоном 5 А над моноидом 5 или просто полигоном (в качестве синонимов используются термины операнд, 5-множество, 5-система, 5-действие) понимается множество А, на котором определено действие элементов из 5, причем единица действует на А тождественно. Понятие полигона относится к фундаментальным в таких областях, как теория представлений, алгебраическая теория динамических систем и др. Большое количество работ по теории полигонов посвящено гомологической классификации полигонов, а именно, характеризации моноидов с помощью категорных свойств полигонов, таких как проективность, инъективность, плоскость. Это работы Л.А.Скорнякова [14,15], М.Кильпа [6, 49, 50, 52], У.Кнауэра [49, 51, 53, 54, 57], А.В.Михалева [51,54], П.Нормака [39, 60], В.Лаана [52], М.Петриха [57], Б.Стенстрёма [63], С.Валмэн-Флеминга [37-39], В.Гоулд [38, 45] и др. Вопросы, связанные со свойством регулярности полигонов, рассмотрены такими математиками, как М.Кильп [50], У.Кнауэр [50, 55, 56], А.В.Михалев [55, 58], Л.Х.Трэна [64].

Как видно из определения полигона, полигон является унарной алгеброй, в которой сигнатурные операции образуют моноид. С другой стороны, любая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом с сигнатурными операциями в качестве свободных порождающих. В частности, унар можно рассматривать как полигон над циклическим моноидом. В этом смысле работы, посвященные теоретико-модельным свойствам теорий унаров, можно отнести к работам по теории моделей полигонов. Это работы А.А.Иванова [4], А.Н.-Ряскина [12] и др.

На полигон над моноидом можно также смотреть как на обобщение понятия модуля над кольцом. Именно поэтому многие задачи в теорию моделей полигонов пришли из теории моделей модулей. Одной из стандартных задач теории моделей модулей является задача описания колец, над которыми некоторый класс модулей обладал бы свойством Р, где под Р может пониматься аксиоматизируемость, или полнота, или стабильность и др.

П.Эклоф и Г.Саббах в [40] дали характеризацию колец, над которыми класс всех плоских (проективных, свободных) модулей аксиоматизируем. Аналогичные вопросы для полигонов решались в [18, 46, 38]. В теории полигонов существует понятия слабо плоского, плоского и сильно плоского полигона, соответствующие аналоги которых в категории левых модулей над кольцом совпадают с понятием плоского модуля. В.Гоулд в [46] описала моноиды с аксиоматизируемым классом сильно плоских полигонов и моноиды, удовлетворяющие условию обрыва возрастающих цепей главных левых идеалов, с аксиоматизируемым классом проективных полигонов. Автору в [18] удалось получить полное описание моноидов с аксиоматизируемым классом проективных полигонов (теорема 2.2), а также описание моноидов с конечным числом различных правых идеалов, класс всех свободных полигонов над которыми аксиоматизируем (теорема 2.3). С.Балмэн-Флеминг и В.Гоулд в [38] передоказали теорему 2.2, кроме этого сформулировали необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять моноид, чтобы класс плоских (слабо плоских) полигонов был аксиоматизируем. В дальнейшем, как и в работах [18, 46], под словами "плоский полигон"будем понимать сильно плоский полигон. В [18] автором рассмотрены вопросы полноты и модельной полноты классов плоских и проективных полигонов. А именно, доказывается, что для моноидов, являющихся группой, и только для них, класс проективных полигонов полон (модельно полон) (теорема 2.5), а в случае коммутативных моноидов полнота (модельная полнота) класса плоских полигонов эквивалентна тому, что моноид является абелевой группой (теорема 2.4). *

Вопрос характеризации колец, над которыми класс всех инъективных модулей аксиматизируем, рассматривался П.Эк-лофом и Г.Саббахам в [41]. В этой же работе, а также в статьях Э.Боускарен [35, 36] решался вопрос о существовании модельного компаньона для класса всех модулей над кольцом. Соответствующие вопросы для полигонов были рассмотрены В.Гоулд в [47]. В.Х.Вилер в [65] сформулировал необходимое и достаточное условие существования модельного компаньона для универсальной теории с конечным представлением, с не более чем одной константой в сигнатуре и со свойством амаль-гамируемости, что явилось обощением результатов П.Эклофа, Г.Саббаха. Из теоремы В.Х.Вилера следует, что универсальный хорнов класс модулей со свойством амальгамируемости имеет модельный компаньон в том и только в том случае, когда этот класс когерентен. Кроме того, М.Прест в [61] доказал, что универсальный хорнов класс % модулей со свойством амальгамируемости имеет модельный компаньон тогда и только тогда, когда класс всех абсолютно чистых в % модулей аксиоматизируем. Аналогичные результаты для полигонов были получены автором в [27], а именно, доказано, что для квазимногообразия % полигонов со свойством амальгамируемости и свойством расширения конгруэнций существование модельного компаньона для % эквивалентно когерентности класса % и эквивалентно аксиоматизируемости класса абсолютно чистых в % полигонов (теоремы 5.1 и 5.2). Отсюда, в частности, следует теорема В.Гоулд о существовании модельного компаньона для класса всех полигонов над моноидом [47].

В теории модулей есть несколько различных определений регулярного модуля. В теории полигонов аналог регулярного по Зельмановичу модуля [66] ввел Л.Х.Трэн [64]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой регулярный моноид как полигон над собой. М.Кильп и У.Кнауэр в [50] анализируют моноиды, над которыми каждый плоский (проективный, свободный) полигон является регуляр^ ным и, наоборот, каждый регулярный полигон является плоским (проективным, свободным). Естественно было поставить вопрос об описании моноидов с аксиоматизируемым (полным, модельно полным) классом регулярных полигонов. Для аксиоматизируемых и модельно полных классов регулярных полигонов ответ на этот вопрос был получен автором в [24] (теоремы 4.1 и 4.2). Для полных классов регулярных полигонов над коммутативными моноидами, над моноидами с конечным числом идемпотентов и над линейно упорядоченными моноидами глубины 2 этот вопрос решила Е.В.Овчинникова в [11]. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым.

Если, как отмечено выше, между многими результатами в теории моделей модулей и теории моделей полигонов, касающихся вопросов аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, можно провести параллель, то, что касается стабильности, то здесь есть существенные отличия, например, любая полная теория модулей стабильна [34, 42], тогда как существуют полигоны с нестабильной теорией [8, 30, 31, 44]. В связи с этим естественно поставить вопрос: какими свойствами должен обладать моноид 5, чтобы теория Тк{зА) была стабильна (суперстабильна, си-стабильна) для любого полигона 5Л. Для стабильных и суперстабильных теорий этот вопрос был решен Т.Г.Мустафиным в [8]. Будем называть полигон стабильным (суперстабильным, ¿¿-стабильным), если его теория стабильна (суперстабильна, си-стабильна соответственно). В этой же работе [8] Т.Г.Мустафин ввел термины стабилизатора, суперстабилизатора и си-стабилизатора - моноида, над которым все полигоны стабильны, суперстабильны и си-стабильны соответственно, и доказал, что стабилизаторы - это в точности линейно упорядоченные моноиды; суперстабилизаторы - это в точности вполне упорядоченные моноиды. Здесь же доказано, что группа является си-стабилизатором тогда и только тогда, когда число ее подгрупп не более, чем счетно. Коммутативные си-стабилизаторы были описаны В.С.Богомоловым и Т.Г.Мустафиным в [1], конечные си-стабилизаторы были описаны Т.Г.Мустафиным в [9]. Кроме того, в [9] доказано, что в си-стабилизаторе существует не более одного собственного левого идеала. В этой же работе был поставлен вопрос об описании си-стабилизаторов. Поскольку моноид, не содержащий собственных левых идеалов, является группой, то для полного решения этого вопроса оставалось решить вопрос об описании моноидов, имеющих ровно один собственный левый идеал и являющийся си-стабилизатором. Для случая регулярного полигона такое описание было получено Т.Г.Мустафиным и

Б.Пуаза в [59]. Здесь же была выдвинута гипотеза о том, что не существует нерегулярного ^-стабилизатора. В работе [33] эту гипотезу автору удалось подтвердить (теорема 6.1). Таким образом, вопрос об описании ¿¿-стабилизаторов решен полностью.

Классы свободных, проективных, плоских, регулярных полигонов, рассматриваемые выше, а также классы полигонов без кручения, содержащие класс проективных полигонов, естественно, как и класс всех полигонов, изучать с точки зрения стабильности. Вопросам стабильности этих классов посвящены работы автора [25, 30-32], где, в частности, описаны моноиды, удовлетворяющие условию обрыва возрастающих цепей подполигонов для всех плоских полигонов, аксиоматизируемые классы плоских полигонов над которыми суперстабилены и;-стабилены при условии не более, чем счетности моноидов) теорема 2.8, следствие 2.3); доказано, что аксиоматизируемые классы проективных и свободных полигонов суперстабильны (ш-стабильны при условии не более, чем счетности моноидов) (следствия 2.4, 2.5, 2.8, 2.9); найдены необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на моноид, чтобы все полигоны без кручения над ним были стабильны (теорема 3.1); при условии представимости регулярной части Я моноидов в виде объединения конечного числа правых идеалов Л, - чтобы все регулярные полигоны над ними были стабильны (суперстабильны) (теоремы 4.3, 4.4), для счетных коммутативных моноидов найден критерий ^-стабильности всех регулярных полигонов над ними (теорема 4.6).

В книге М.Преста [61] приводится ряд результатов, касающихся вопроса: над какими кольцами теория всех модулей разрешима? Аналогичный вопрос можно сформулировать для полигонов. Этому вопросу посвящена работа автора [26]. Класс полигонов будем называть разрешимым (неразрешимым, наследственно неразрешимым), если теория этого класса разрешима (неразрешима, наследственно неразрешима соответственно). Характеризация конечных моноидов, для которых класс всех полигонов разрешим (утверждение 6.1) легко получается из результатов Р.Маккензи и М.Валериота [58]. Получены некоторые достаточные условия наследственной неразрешимости класса всех полигонов (теоремы 6.2-6.4), а также необходимые и достаточные условия разрешимости класса всех полигонов над группой (теорема 6.5).

Результаты диссертации являются новыми и имеют теоре тический характер. Они используются и могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного госуниверситета, а также на следующих международных конференциях, коллоквиумах и школах-семинарах: Международная конференция по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991), XI Международная конференция по математической логике (Казань, 1992), Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 1993), Третья Суслинская конференция (Саратов, 1994), Международная конференция по математической логике, посвященная 85-летию со дня рождения А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994), Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения А.И.Мальцева (Новосибирск, 1999), Международная конференция, посвященная 60-летию академика Ю.Л.Ершова (Новосибирск, 2000), Международная конференция "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2001).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16-33].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, 6-ти глав и библиографии.

1. Богомолов B.C., Мустафин Т.Г.' Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны w-стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т.28. Ш. С.371-381.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 1987.

3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.

4. Иванов A.A. Полные теории унаров // Алгебра и логика. 1984. Т.23. т. С.48-73.

5. Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.

6. Кильп М. К гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1972. Т.13. №3. С.578-586.

7. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. 4

8. Мустафин Т.Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. (Тр.АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики; Т.8), С.92-107.

9. Мустафин Т.Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют ¿¿-стабильную теорию // Алгебра и логика. 1990. Т.29. №6. С.675-695.

10. Нормак П. О нетеровых и конечно связанных полигонах // Уч. записки Тартуского университета. 1977. №431. С.37-45.

11. Овчинникова Е.В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов // Сиб. мат. журн. 1995.Т.36. №2. С.381-384.

12. Ряскин А.Н. Структура моделей полных теорий унаров: Автореферат дис. . канд. физ. мат. наук: 01.01.06. Н-ск.1989.

13. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. М.: Мир, 1976.

14. Скорняков JI.A. Характеризация категории полигонов // Мат. сб. 1969. Т.80. т. С.492-502.

15. Скорняков JI.A. О гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1969. Т.10. №5. С.1139-1143.

16. Степанова A.A. О коммутативных моноидах, над которыми все полигоны почти категоричны // Советско-Французского коллоквиума по теории моделей. Тез.докл. Караганда: изд-во КарГУ, 1990. - С.44.

17. Степанова A.A., Кремер Е.М. Моноиды с аксиоматизируемым классом сильно плоских полигонов // X Всесоюзная конф.по мат. логике. Тез.докл. Алма-Ата: изд-во КазГУ,1990. С.86.

18. Степанова A.A. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов 5-полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т.З. №5. С.583-594.

19. Степанова A.A. Моноиды с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов // Междунар.конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул). Тез.докл. Новосибирск: изд-во ИМ СО АН СССР, 1991. - С.141.

20. Степанова A.A. О стабильности класса регулярных полигонов //XI Межреспубликанской конф. по мат. логике. Тез. докл. Казань: изд-во КГУ, 1992. - С. 133.

21. Степанова A.A. Неразрешимые теории полигонов // Третья Междунар.конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова. Тез. докл. Красноярск: изд-во КрГУ, 1993. - С.318.

22. Stepanova A.A. Decidable classes of polygons // Третья Суслинская конф. Научные математические чтения. Тез.докл.- Саратов: изд-во СГПИ, 1994. С.318.

23. Степанова A.A. Когерентность универсальных хорно-вых классов полигонов // Междунар.конф. по мат. логике, посвященная 85-летию со дня рождения А.И.Мальцева. Тез.докл.- Новосибирск: изд-во МИОО Новосибирского госуниверситета, 1994. С.94-95.

24. Степанова A.A. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35. т. С.181-193.

25. Степанова A.A. Стабильность класса регулярных полиNгонов // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. Караганда: изд-во КарГУ, 1995. - С.95-102.

26. Степанова A.A. Моноиды с разрешимыми и неразрешимыми классами полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39. №3. С.625-632.

27. Степанова A.A. Модельные компаньоны квазимногообразий полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39. №5. С.1165-1174.

28. Степанова A.A. О стабильных теориях регулярных полигонов // Материалы Междунар.конф. по мат. логике, посвященной 90-летию со дня рождения А.И.Мальцева. Тез.докл.Новосибирск: изд-во ИДМИ, 1999. С.55-56.

29. Степанова А.А. О моноидах с суперстабильными плоскими полигонами // Междунар.конф., посвященной 60-летию академика Ю.Л.Ершова. Тез.докл. Новосибирск: изд-во ИДМИ, 2000. - С.96.

30. Степанова А.А. Моноиды со стабильными теориями регулярных полигонов //Алгебра и логика. 2001.' Т.40. №4. С.430-457.

31. Степанова А.А. Моноиды со стабильными плоскими полигонами // Алгебра и логика, в печати.

32. Степанова А.А. Моноиды со стабильными полигонами без кручения // Алгебра и логика, в печати.

33. Степанова А.А. Моноиды, все полигоны над которыми си-стабильны (доказательство гипотезы Мустафина-Пуаза) //Алгебра и логика, в печати.

34. Baur W. Ko-categorical modules // J. of Symbolic Logic. 1975. V.40. №2. P.213-220.

35. Bouscaren E. Existentially closed moules: types and prime models // doctoral thesis. Université VII. 1979.

36. Bouscaren E. Existentially closed modules: types and prime models // Model Theory of Algebra and Arithmetic. Lecture Notes in Math. 1980. V.834.

37. Bulman-Fleming S. Flat and strongly flat S-systems // Commun, of Algebra. 1992. V.20. P.2553-2567.

38. Bulman-Fleming S., Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective S-acts // Preprint.

39. Bulman-Fleming S., Normak P. Monoids over which all flatcyclic right acts are strongly flat // Semigroup Forum. 1995. V.50. P.233-241.

40. Eklof P., Sabbagh G. Definability problems for modules and rings // J. of Symbolic Logic. 1971. V.36. P.623-649.

41. Eklof P., Sabbagh G. Model-completions and modules // Ann. Math. Logic. 1971. V.2. №3. P.251-25.

42. Fisher E. Abelian Structures // Yale University.'1974/1975.

43. Fountain J.B. Perfect semigroups // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1976. V.20. P.87-93.

44. Fountain J.B., Gould V. Stability of S-sets // Preprint.

45. Gould V. The characterization on monoids by properties of their S-systems // Semigroup forum. 1985. V.32. P.251-265.

46. Gould V. Axiomatisability problems for 5-systems //J. London Math. Soc. 1987. V.35. №2. P.193-201.

47. Gould V. Model companions of S-systems // Quart. J. Math. Oxford. 1987. V.38. №2. P.189-211. 49. Isbell J.R. Perfect monoids // Semigroup forum. 1971. №2. P.95-118.

48. Isbell J.R. Perfect monoids // Semigroup forum. 1971. №2. P.95-118.

49. Kilp M., Knauer U. On free, projective and strongly flat acts // Ach. Math. 1986. V.47. P.17-23.

50. Kilp M., Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Alg. 1987. V.2. №35. P.193-201.

51. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. Walter de Gruyter. Berlin, 2000.

52. Kilp M., Laan V. On flatness properties of cyclic acts // Comm. Algebra. 2000. V.28. №6. P.2919-2926.

53. Knauer U. Projectivity of acts and Morita equivalence of monoids // Semigroup Forum. 1972. V.3. P.359-370.

54. Knauer U., Mihalev A.V. Endomophism monoids of acts over monoids // Semigroup Forum. 1973. V.6. P.50-58.

55. Knauer U., Mihalev A.V. Endomophism monoids of free acts and 0-wreath products of monoids. II. Regularity // Semigroup Forum. 1980. V.19. P.189-198.

56. Knauer U., Mihalev A.V. Wreath products of acts over monoids: I. Regular and inverse acts // J. of Pure and Applied Algebra. 1988. V.51. P.251-260.

57. Knauer U., Petrich M. Characterization of monoids by torsion-free, flat, projective and free acts // Arch. Math. 1981. V.36. P.289-294.

58. McKenzie R., Valeriote M. The structure of decidable locally finite varieties. Birkhauser Boston, 1989.

59. Mustafin T.G., Poizat B. Polygones // Math. Log. Quart. 1995. V.41. P.93-110.

60. Normak P. Purity in the category of M-sets // Semigroup Forum. 1980. V.20. P.157-170.

61. Prest M. Model theory and modules. Lect. Notes Math. V.130, 1988.

62. Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. Amsterdam a.o.: North-Holland, 1978.

63. Stenstrom B. Flatness and localization over monoids // Math. Nachr. 1971. V.48. P.315-334.

64. Tran L.H. Characterization of monoid by regular acts // Period. Math. Hungar. 1985. V.16. P.273-279.

65. Wheeler W.H. Model-companions and definability in exi-stentially complete structures // Israel J. Math. 1976. V.25. P.305-330.

66. Zelmanowitz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V.163. P.341-355.