Теоретико-модельные свойства частично упорядоченных полигонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

4-

На правах рукописи

ПЕРВУХИН Михаил Александрович

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛИГОНОВ

01.01.Об. — математическая логика алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2010

004603769

Работа выполнена в Дальневосточном государственном университете.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Степанова Алёна Андреевна

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент Судоплатов Сергей Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Больбот Александр Дмитриевич

Ведущая организация

Восточно-Сибирская государственная академия образования

Защита состоится 17 июня 2010 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан < » мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических паук / ^^ А.Н. Ряскин

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-мОдельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота и категоричность.

Понятие частично упорядоченного полигона возникло при изучении S. Blyth и M.F. Janowitz [1] отображений между частично упорядоченными множествами. В некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигон ом над моноидом 5 или, просто, полигоном называется множество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если S - частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном над ЧУ-моноидом S или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом S, на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигоны исследовались такими авторами, как S.M. Fakhruddin, X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming и др..

Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-полигонов послужили работы в области теории моделей полигонов Т.Г. Мустафина, S. Bulman-Fleming, V. Gould, J.B. Fountain, В. Poizat, A.A. Степановой, E.B. Овчинниковой, A.A. Иванова. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидом и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности. Аналогичные вопросы для ЧУ-полигонов исследуются в

данной работе. , , . * ; ' • '

Основное содержание диссертации.

В 1980-х годах S.M. Fakhruddin публикует две работы [3, 4], посвященные тензорным произведениям и плоскостным свойствам в контексте ЧУ-моноидов, действующих на частично упорядоченных множествах. В частности, в этих работах вводится понятия плоского ЧУ-полигона. Позднее X. Shi [8] были рассмотрены сильно плоские и слабо плоские ЧУ-полигоны. Сильно плоский ЧУ-полигон можно определить как ЧУ-полигон, удовлетворяющий условиям (Р<) и {Е<), которые являются аналогами условий (Р) и (Е) для полигонов. V. Gould и S. Bulman-Fleming в работах [10, 2, 5, 6} дали описание моноидов с аксиоматизируемыми классами сильно плоских, слабо плоских, плоских полигонов и полигонов, удовлетворяющих условию (Р) и условию (Е). Подобные результаты для ЧУ-полигонов были получены нами в данной работе (теоремы 1.33, 1.26, 1.27, 1.29, 1.31). V. Gould и L. Shaheen в [7] изучались аксиоматизируемые классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих некоторым более слабым, чем (Р<) и (Е<) условиям. A.A. Степановой [12] рассматривались вопросы полноты и модельной полноты класса сильно плоских полигонов. В данной работе нами показано (теорема 1.30), что для коммутативных ЧУ-моноидов полнота (модельная полнота, категоричность) класса сильно плоских ЧУ-полигонов эквивалентна тому, что ЧУ-моноид является частично упорядоченной абелевой группой. Также нами исследована полнота (модельная полнота, категоричность) классов ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Е<) и условию (Р<) (теоремы 1.34, 1.35).

Обобщением понятий плоского, слабо плоского и сильно плоского ЧУ-полигонов является понятие проективного ЧУ-полигона, которое впервые появилось в работе S.M. Fakhruddin [4]. Позднее в своей совместной работе X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming [9] дали алгебраическую характеризацию проективных ЧУ-полигонов. Описание моноидов с аксиоматизируемыми (полными, модельно полными и категоричными) классами проективных полигонов получено A.A.

Степановой в [12]. В данной работе сформулированы соответствующие результаты для ЧУ-полигонов (теоремы 2.13, 2.17).

Известно, что любой проективный ЧУ-полигон является свободным над множеством. Свободные над множествами ЧУ-полигоны впервые были рассмотрены в работе X. Shi и др. [9] Здесь же были исследованы их свойства. S.M. Fakhruddin ввел понятие свободного над ЧУ-множеством ЧУ-полигона [4]. Описание моноидов с аксиоматизируемым классом свободных полигонов было получено A.A. Степановой [12] для некоторых специальных моноидов и V. Gould [10] в общем случае. Нами получено описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемыми классами свободных над множествами'!! над ЧУ-множествами ЧУ-полигонов (теоремы 2.13, 2.14, 2.16 - 2.19). A.A. Степановой [12] доказано, что аксиоматизируемый класс свободных полигонов является категоричным, полным и модельно полным. Нами показано, что аналогичный результат справедлив и для свободных над множеством ЧУ-полигонов (теорема 2.22). Кроме того доказано (теорема 2.23), что не существует ЧУ-моноида S такого, что аксиоматизируемый класс свободных над ЧУ-множеством ЧУ-полигонов полон (модельно полон, категоричен).

В 2005 году в в работе X. Shi и др. [9] было введено понятие регулярного ЧУ-полигона и изучены некоторые его свойства. A.A. Степановой в [13] получена характеризация моноидов с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов и исследованы вопросы модельной полноты регулярных полигонов. Для некоторых частных случаев Е.В.Овчинниковой [11] были исследованы полные классы регулярных полигонов. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым. В данной работе описаны ЧУ-моноиды с аксиоматизируемым классом регулярных ЧУ-полигонов (теорема 3.6) и доказано, что не существует ЧУ-моноида над которым аксиоматизируемый класс регулярных ЧУ-полигонов был бы полон или модельно полон (теоремы 3.7, 3.8).

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер.

Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Всероссийская конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск,

2007), Дальневосточная математическая школа - семинар им. ак. Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2007), XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва,

2008), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы 1) в работах [21, 20] из журналов, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, 2) в работе [22]. Две работы [21, 22] выполнены в соавторстве, где A.A. Степановой принадлежит постановка задач и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ЖЩХ. Общий объем диссертации 92 страницы. Библиография включает 60 наименований.

Содержание работы

Приведем некоторые определения, которые нам понадобятся для формулировки основных результатов работы.

ЧУ-полигон 5Л называется слабо плоским (плоским, сильно плоским), если функтор — <8> из категории правых ЧУ-полигонов в категорию частично упорядоченных множеств сохраняет вложения правых идеалов 5 в Б (вложения правых ЧУ-полигонов, универсальные квадраты). .

ЧУ-полигон ■ ,5Л является проективным, если он изоморфен ко произведению ЧУ-полигонов вида ^ 5'е, где е = е2 € 5.

ЧУ-полигон $ А является свободным над (Ч У-) множеств ом X, если он изоморфен копроизведению Цхе.\' б^х, где ¿'Зх - копии ЧУ-полигона дй, причем для любых £ Б и х,у € X

^ ^у ^ ^ и а; ^ у) з ^ 4 и х = у,

где - копии элементов «,( 6 5 в Бх и Зу соответственно.

ЧУ-полигон является регулярным, если все его циклические подполигоны изоморфны ЧУ-полигонам вида зБе, где е = е2 Е Б.

Для произвольного ЧУ-моноида 5 введем следующие обозначения: Т< - класс всех плоских ЧУ-полигонов,

- класс всех слабо плоских ЧУ-полигонов, БТ(ЗТ<) - класс всех сильно плоских полигонов (ЧУ-полигонов), Р(Р<) - класс всех проективных полигонов (ЧУ-полигонов), Тг{?г<) - класс всех свободных полигонов (свободных над множеством ЧУ-полигонов),

Тг^ - класс всех свободных над ЧУ-множеством ЧУ-полигонов, Жк - класс всех регулярных ЧУ-полигонов. Заметим, что имеют место следующие включения:

Тг< С Т>< С С С 'УУТ*, Тг< С ^г«.

Перейдем к изложению результатов данной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся необходимые для дальнейшего сведения из теории моделей и теории ЧУ-полигонов. Также в первом параграфе изучаются совершенные ЧУ-моноиды.

Напомним определение совершенного слева ЧУ-моноида. ЧУ-полигон SB называется оболочкой ЧУ-полигона sA если существует эпиморфизм / : sB —» 5Л такой, что для всякого ЧУ-подполигона sC ЧУ-полигона sB ограничение / на 5 С не является эпиморфизмом. Оболочка sB ЧУ-полигона 5Л называется проективной оболочкой sA, если sB - проективный ЧУ-подполигон. ЧУ-моноид S называется совершенным слева, если всякий ЧУ-полигон имеет проективную оболочку.

Совершенные ЧУ-моноиды играют заметную роль в теории ЧУ-полигонов. V. Gould и L. Shaheen найдены несколько условий, эквивалентных совершенности ЧУ-моноида. В частности, доказано, что S - совершенный слева ЧУ-моноид тогда и только тогда, когда S -совершенный слева моноид.

Во втором параграфе даются описания моноидов с аксиоматизируемыми классами слабо плоских и плоских ЧУ-полигонов. Доказательства этих результатов близки к доказательствам соответствующих результатов для полигонов.

Теорема 1.26. Следующие условия для ЧУ-моноида S эквивалентны:

(1) класс WjF< аксиоматизируем;

(2) класс WJ7< замкнут относительно улътрапроизведений;

(3) для всякого двойного остова S над S и а, а' £ S существует конечное число двойных остовов S\, ...,<Sr над S таких, что для всякого слабо плоского ЧУ-полигона $В, если пары (a,b), (a',b') £ Sx В связаны двойной ЧУ-схемой Т над Ss и sB с двойным остовом S, то пары (а, Ъ) и (а', Ь') связаны двойной ЧУ-схемой Т' над (aS U a'S)s и sB так, что S(T') = Sk для некоторого k G {1, ...,?■}.

Теорема 1.27. Следующие условия для ЧУ-моноида 5 эквивалентны:

(1) класс Т< • аксиоматизируем;

(2) класс Т< замкнут относительно ультрапроизведений;

(3) для всякого двойного остова 5 над 5 существует конечное число двойных остовов ..., ¿V' над 5 таких, что для всякого правого ЧУ-полигона Лд и любого плоского левого ЧУ-полигона я В , если пары (а,Ь),(а',Ь') 6 Ах В связаны двойной ЧУ-схемой Т над Лд и 5В с двойным остовом <5, то пары (а,Ь) и (а',Ь') связаны двойной ЧУ-схемой Т' над {а.З и а'Б)я и ¿-В так, что 5(Т') = для некоторого к £ {1,

В этом же параграфе рассматривается класс сильно плоских ЧУ-полигонов. Как было отмечено выше, ЧУ-полигон является сильно плоским тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условиям (Р<) и (Е<). Условия (Р<) п (Е<) представляют самостоятельный интерес при изучении ЧУ-полигонов. Они определяются по аналогии с условиями (Р) и (Е) для полигонов:

(Р<) если х,у € А и в, 4 € 5 такие, что эх ^ ty, то существует элемент г & А и элементы э'€ 5 такие, что х = я'г,у = Ь'г и яв' < и';

(Е<) если х £ А и € 5 такие, что вх ^ tx, то существуют г € А и й' £ 5 такие, что х = в'г и ее' ^ .

Для произвольных £ 5 определим следующие множества

= {и е 5 | ей < ¿и}, Я<(в,*) = {(и, и) е 5 х 5 | ей <

Теорема 1.29. Следующие условия для ЧУ-моноида 5 эквивалентны:

(1) класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Е<), аксиоматизируем;

(2) любая улътрастепень ЧУ-полигона удовлетворяет условию

(Е< );

(3) для любых € 5 множество гк{з,Ь) либо пусто, либо конечно порождено как правый идеал 5 .

Теорема 1.31. Следующие условия для ЧУ-моноида 5 эквивалентны:

(1) класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (), аксиоматизируелч

(2) любая улътрастепенъ ЧУ-полигона ^б1 удовлетворяет условию

(Р<);

(3) для любых 5,4.6.5 множество Л<(5,4) либо пусто, либо конечно порождено как подполигон правого полигона (5 х 5)5 .

Следующая теорема является комбинацией теорем 1.29, 1.31 и дает описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемым классом сильно плоских ЧУ-полигонов. Этот результат является аналогом соответствующего результата для класса сильно плоских полигонов.

Теорема 1.33. Следующие условия для ЧУ-моноида 5 эквивалентны:

(1) класс аксиоматизируем;

(2) любая улътрастепенъ ЧУ-полигона $5 является сильно плоским ЧУ-полигоном;

(3) для любых € 5 множество г<(в,4) либо пусто, либо конечно порождено как правый идеал 5, и множество либо пусто, либо конечно порождено как подполигон правого полигона (5 х

5)3.

В третьем параграфе первой главы исследуются полные, модельно полные и категоричные классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условиям {Е<) и {Р<), а также полные, модельно полные и категоричные классы сильно плоских ЧУ-полигонов.

Теорема 1.34. Не существует ЧУ-моноида 5 такого, что аксиоматизируемый класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Е<), полон (люделъно полон, категоричен).

Теорема 1.35. Пусть 5 - коммутативный ЧУ-моноид и класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Р<), аксиоматизируем.

Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Р<), полон;

(2) класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию (Р<), моделъно полон;

(3) класс ЧУ-полигонов, удовлетворяющих условию {Рк), категоричен;

(4) всякий ЧУ-полигон, удовлетворяющий условию (Рк), является свободным над множеством ЧУ-полигоном;

(5) Б - частично упорядоченная абелева группа без одноэлементных подгрупп Т таких, что ЧУ-полигон з^/Т удовлетворяет условию (Р<).

Теорема 1.36. Пусть Э - колшутативный ЧУ-моноид и класс аксиоматизируем. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) класс полон;

(2) класс людельно полон;

(3) класс 5^г< категоричен;

(4) БТ< = Тг< ;

(5) Б - частично упорядоченная абелева группа.

Заметим, что вопрос описания некоммутативных ЧУ-моноидов с полным (модельно полным, категоричным) классом сильно плоских ЧУ-полигонов, а также ЧУ-полигонов, удовлетворяющих' условию (Р<), остается открытым.

Во второй главе рассматриваются проективные и свободные ЧУ-полигоны. Необходимые ■ определения и предварительные результаты приводятся в первом параграфе. Во втором параграфе рассматриваются аксиоматизируемые классы проективные и свободных ЧУ-полигонов.

Теорема 2.13. Для ЧУ-моноида 5" следующие условия эквивалентны:

(1) класс 'Р< аксиоматизируем;

(2) каждая ультрастепень ЧУ-полигонов проективна;

(3) класс аксиоматизируем и 5 - совершенный слева ЧУ-моноид.

Для формулировки критерия аксиоматизируемости класса свободных над множеством ЧУ-полигонов нам понадобится новое понятие. Пусть е е Е и я,I 6 5. Будем говорить, что в — ху является е -хорошей факторизацией по х, если у $ гиБ для любого и> такого, что е = хт и Би) — Бе.

Теорема 2.14. Класс Тг< аксиоматизируем тогда и только тогда, когда класс Т)< аксиоматизируем и Б удовлетворяет условию (*): для любого е € Е \ {1} существует конечное множество Т С Б такое, что любой я € Б имеет е -хорошую факторизацию по х для некоторого х € Т .

Пусть 5 - ЧУ-моноид и в, 4 € 5, г € Н\- Через обозначен класс отношения Грина Н с представителем 1, т.е. множество всех обратимых элементов ЧУ-моноида 5. Для формулировки следующей теоремы определим множества:

{х,у) € ¿1(3,4) х—максимальный элемент ЧУ-множества Б такой, что ях ^ 4у;

(х,у) € ¿2(5,4) х—максимальный элемент ЧУ-множества 5 такой, что вх < Ьу и либо вх £ 45, либо 4у $ я5;

(х,у) Е Ьз(г) у фгу и х — максимальный элемент ЧУ-множества 5 такой, что х ^ гу и х ^ у.

Теорема 2.16. Пусть Б - ЧУ-моноид. Тогда класс Тг4*- аксиоматизируем, в том и только том случае, когда

1) класс Тг аксиоматизируем;

2) ЧУ-множество Б не содержит бесконечно возрастающих и бесконечно убывающих цепей;

3) для любого р € Б х Б множество гк(р) пусто или конечно порождено как правый идеал Б;

4) для любого г 6 {1,2} и р 6 5 х 5 множество Ь{(р) пусто или существует конечное множество Ьгр С ¿¿(р) такое, что Ь^{р) С 11 {х>у)щ(х,у)3-,

5) для любого в € множество Ьз(з) пусто или существует конечное множество Ь^ С Ь^{з) такое, что Ьз(в) С у^еЬз(х,у)Б.

В третьем параграфе рассматриваются вопросы полноты (модельной полноты, категоричности) классов проективных и свободных ЧУ-полигонов.

Теорема 2.17. Пусть S - ЧУ-мопоид такой, что класс V< аксиоматизируем. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) класс V< полон;

(2) класс Т>< моделъно полон;

(3) класс Т>< категоричен;

(4) V< = Тг< ;

(5) S - частично упорядоченная группа.

Следующая теорема показывает, что полные, моделыю полные и категоричные классы свободных над множествами ЧУ-полигонов совпадают.

Теорема 2.18. Пусть S - ЧУ-люноид такой, что класс Тг< аксиоматизируем. Тогда класс полон, моделъно полон и

категоричен.

Для свободных над ЧУ-множествами ЧУ-полигонов получен следующий результат.

Теорема 2.19. Не существует ЧУ-люноида S такого, что аксиоматизируемый класс Tr^ полон (.моделъно полон, категоричен).

Исследованию теоретико-модельных свойств регулярных ЧУ-полигонов посвящена третья глава данной работы. В первом параграфе третьей главы вводятся необходимые для дальнейшего определения и предварительные результаты. Вопросы аксиоматизируемости класса регулярных ЧУ-полигонов рассматриваются во втором параграфе главы.

Теорема 3.6. Класс Ti< аксиоматизируем тогда и только тогда, когда

1) полугруппа R удовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов, порожденные иделтотенталш;

2) для любых п > 1, Si,ti Е 5 (1 ^ г ^ п) множество {х €

п

R | Д SiX ^ Ux} пусто или конечно-порождено как правый идеал

¿=1

полугруппы R.

В третьем параграфе доказывается, что не существует моноида над которым аксиоматизируемый класс регулярных ЧУ-полигонов был бы полон или модельно полон (теоремы 3.7, 3.8).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. A.A. Степановой за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы

[1] Blyth S., Janowitz M.F. Residuation Theory. Pergamon: Oxford. 1972.

[2] Bulman-Fleming S., Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective acts // Communications in Algebra. 2002. V. 30. P. 55755593.

[3] Fakhruddin S.M. Absolute flatness and amalgams in pomonoids // Semigroup Forum. 1986. V. 33. P. 15-22.

[4] Fakhruddin S.M. On the category of S-posets // Acta Sci. Math. (Szeged). 1988. V. 52. P. 85-92.

[5] Gould V. Axiomatisability problems for S -systems //J. London Math. Soc. 1987. V. 35. P. 193-201.

[6] Gould V. Axiomatisability of free, projective and flat S-acts // Semigroup forum, (в печати)

[7] Gould V., Shaheen L. Axiomatisability problems for S-posets // Semigroup forum, (в печати)

[8] Shi X. Strongly flat and po-flat S-posets // Comm. Algebra. 2005. V. 33. P. 4515-4531.

[9] Shi X., Liu Z., Wang F., Bulman-Fleming S. Indecomposable, projective and flat S-posets // Comm. Algebra. 2005. V.33. P. 235-251.

[10] Гоулд В., Михалев А.В., Палютин Е.А., Степанова А.А. Теоретико-модельные свойства свободных, проективных и плоских S -полигонов // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т.14. №1. С. 63-110.

[11] Овчинникова Е.В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов // Сиб. мат. журн. 1995. Т.36. № 2. С.381-384.

Степанова A.A., Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов S -полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т.З. № 5. С.583-594.

Степанова A.A. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. журн. 1994. Т-35. №1. С.181-193.

Список работ автора по теме исследования

Первухин М.А. Аксиоматизируемость некоторых классов частично упорядоченных полигонов // Дальневосточная конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по мат, моделированию. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука. 2007. С. 3

Первухин М.А. Аксиоматизируемость классов плоских частично упорядоченных полигонов // Дальнев. матем. школа - семинар им. ак. Е.В. Золотова. Владивосток, Изд-во Дальневосточный ун-т. 2007. С.12.

Первухин М.А., Степанова A.A. Аксиоматизируемые и полные классы свободных частично упорядоченных полигонов / / Материалы всероссийской конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2007.

Первухин М.А. Аксиоматизируемость класса регулярных чу-полигонов // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов": Математика и механика / Отв. ред. И. А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. [Электронный ресурс] - М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ. 2008. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM) [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonosov-msu.ru/2008/]

Первухин М.А. Неполнота класса регулярных частично упорядоченных полигонов / / Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем". Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2008. С. 20.

Первухин М.А. Аксиоматизируемость класса свободных частично упорядоченных полигонов // Материалы Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по

теоретической и прикладной математике. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 2009. С. 19

Первухин М.А. О регулярных частично упорядоченных полигонах // Новосибирск: Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. вып. 4. С. 71-76

Первухин М.А., Степанова A.A. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов частично упорядоченных полигонов / / Новосибирск: Алгебра и логика. 2009. Т.48. №1. С. 90-121.

Первухин М.А., Степанова A.A. Аксиоматизируемость класса свободных частично упорядоченных полигонов // М.: Фундаментальная и прикладная математика, 2009, Т. 15. №1. С. 99-115. [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.math.msu.su/ fpm/rus/k09/k091/k09107h.htm]

Михаил Александрович ПЕРВУХИН

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛИГОНОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 26.04.2010 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,19. Уч .-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 60

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио,7

Введение

1 Теоретико-модельные свойства плоских ЧУ-полигонов

1.1 Необходимые определения и предварительные сведения

1.1.1 Сведения из теории ЧУ-полигонов и теории моделей полигонов.

1.1.2 Совершенные слева ЧУ-моноиды.

1.2 Аксиоматизируемость классов плоских ЧУ-полигонов.

1.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов плоских ЧУ-полигонов.

2 Теоретико-модельные свойства проективных и свободных ЧУ-полигонов

2.1 Необходимые определения и предварительные сведения

2.2 Аксиоматизируемость классов проективных и свободных ЧУ-полигонов.

2.3 Полнота, модельная полнота и категоричность классов проективных и свободных ЧУ-полигонов.

3 Теоретико-модельные свойства регулярных ЧУ-полигонов

3.1 Необходимые определения и предварительные сведения

3.2 Аксиоматизируемость класса регулярных ЧУ-полигонов

3.3 Полнота и модельная полнота класса регулярных ЧУ-полигонов

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, категоричность.

Пон51Тие частично упорядоченного полигона возникло при изучении отображений между частично упорядоченными множествами (см. [18]). В некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигоном над моноидом S или, просто, полигоном называется множество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если S - частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом S1, на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигопы исследовались такими авторами, как S.M. Fakhrud-din [27, 28], X. Shi [47, 48], Z. Liu [48], F. Wang [48], S. Bulman-Fleming [19, 20, 25, 26, 48], V. Gould, L. Shaheen [35, 36], A. Golchin and P. Rezaei [31], S. Tajnia [50] и др.

Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-полигопов послужили работы в области теории моделей полигонов Т.Г. Мустафина [1, 9, 10, 46], S. Bulman-Fleming [22], V. Gould [22, 30, 33, 32], J.В. Fountain [29, 30], В. Poizat [46], A.A. Степановой [15, 16, 17], E.B. Овчинниковой [12], М. Kilp [6, 39, 42], U. Knauer [40, 43, 44, 45], А.Н. Ряскипа [13], A.A. Иванова [38], П. Нормака [11], J1.A. Скорнякова [14], L.H. Tran [51] и др. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидами и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности. Аналогичные вопросы для ЧУ-полпгонов исследуются в данной работе.

В 1980-х годах S.M. Fakhruddin публикует две работы [27, 28], посвященные тензорным произведениям и плоскостным свойствам в контексте ЧУ-моноидов, действующих на частично упорядоченных множествах. В частности, в этих работах вводится понятия плоского ЧУ-полигона. Позднее X. Shi в [47] были рассмотрены сильно плоские ft слабо плоские ЧУ-полигоны. Сильно плоский ЧУ-полигон можно определить как ЧУ-полигон, удовлетворяющий условиям (Р<) и (-Е1<), которые являются аналогами условий (Р) и (Е) для полигонов. V. Gould и S. Bulman-Fleming в работах [3, 22, 33, 34] дали описание моноидов с аксиоматизируемыми классами сильно плоских, слабо плоских, плоских полигонов и полигонов, удовлетворяющих условию (Р) и условию (Е). Подобные результаты для ЧУ-полигонов были получены нами (теоремы 1.33, 1.2G, 1.27, 1.29, 1.31). V. Gould и L. Shaheen в [35] изучались аксиоматизируемые классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих некоторым более слабым, чем (Р<) и (Ек) условиям. A.A. Степановой в [15] рассматривались вопросы полноты п модельной полноты класса сильно плоских полигонов. В данной работе нами показано (теорема 1.36), что для коммутативных ЧУ-моноидов полнота (модельная полнота, категоричность) класса сильно плоских ЧУ-полигопов эквивалентна тому, что ЧУ-монопд является частично упорядоченной абелевой группой. Также нами исследована полнота (модельная полнота, категоричность) классов ЧУ-полигоиов, удовлетворяющих условию (Е<) и условию (Р<) (теоремы 1.34, 1.35).

Обобщением понятий плоского, слабо плоского и сильно плоского ЧУ-полигонов является понятие проективного ЧУ-полигона, которое впервые появилось в работе S.M. Fakhruddin |28]. Позднее в своей совместной работе X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming [48] дали алгебраическую характеризацию проективных ЧУ-полигонов. Описание моноидов с аксиоматизируемыми (полными, модельно полными и категоричными) классами проективных ЧУ-полигонов получено A.A. Степановой в jl5]. В данной работе сформулированы соответствующие результаты для ЧУ-полигоиов (теоремы 2.13, 2.17).

Известно, что любой проективный ЧУ-полигон является свободным над множеством. Свободные над множествами ЧУ-полигоньг впервые были рассмотрены в работе X. Shi и др. [48]. Здесь же были исследованы их свойства. S.M. Fakhruddin ввел понятие свободного над ЧУ-множеством ЧУ-полигона [28]. Описание моноидов с аксиоматизируемым классом свободных полигонов было получено A.A. Степановой для некоторых специальных моноидов [15] и V. Gould [3] в общем случае. Нами получено описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемыми классами свободных над множествами и над ЧУ-множествами ЧУ-полигонов (теоремы 2.13, 2.14, 2.1G, 2.17, 2.18, 2.19).

В 2005 году в работе X. Shi и др. [48] было введено понятие регулярного ЧУ-полигона и изучены некоторые его свойства. A.A. Степановой в [16] получена характеризация моноидов с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов и исследованы вопросы модельной полноты регулярных полигонов. Для некоторых частных случаев

Е.В.Овчинниковой были исследованы полные классы регулярных полигонов [12]. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым. В данной работе описаны ЧУ-моноиды с аксиоматизируемым классом регулярных ЧУ-полигонов (теорема З.б) и доказано, что не существует ЧУ-моноида, над которым аксиоматизируемый класс регулярных ЧУ-полигонов был бы полон или модельно полон (теоремы 3.7, 3.8)

Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Всероссийская конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2007), Дальневосточная математическая школа - семинар им. ак. Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2007), XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2008), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [58, 59, 60].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии.

1. Богомолов B.C., Мустафин Т.Г. Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны а;-стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т.28. т. С.371-381.

2. Ершов Ю.Л., Палютип Е.А. Математическая логика. М.: Наука. 1987.

3. Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей, М.: Мир. 1977.

4. Кильп М. К гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. № 3. С.578-586.

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир. 1972.

6. Михалев A.B., Овчинникова Е.В., Палютин Е.А., Степанова A.A. Теоретико-модельные свойства регулярных S-полигонов// Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. №4. С. 107-157.

7. Мустафин Т.Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. - (Тр.АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики; Т.8), С.92-107.

8. Мустафин Т.Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют а;-стабильную теорию // Алгебра и логика. 1990. Т.29. №6. С.675-695.

9. Нормак П. О нетеровых и конечно связанных полигонах // Уч. записки Тартуского университета. 1977. № 431. С.37-45.

10. Овчинникова Е.В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемиотентов // Сиб. мат. журн. 1995. Т.36. № 2. С.381-384.

11. Ряскин А.Н. Структура моделей полных теорий унаров: Автореферат дис. канд. физ. мат. наук: 01.01.06. Н-ск. 1989.

12. Скорняков Л.А. Характеризация категории полигонов // Мат. сб. 1969. Т.80. Ш. С.492-502.

13. Степанова А.А., Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов 5-полигонов // Алгебра и логика. "1991. Т.З. № 5. С.583-594.

14. Степанова А.А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. жури. 1994. Т.35. №1. С.181-193.

15. Степанова А.А. Моноиды со стабильными теориями регулярных полигонов //Алгебра и логика. 2001. Т.40. №4. С.430-457.

16. Blyth S., Janowitz M.F. Residuation Theory. Pergamon: Oxford. 1972.

17. Bulman-Fleming S. Flat and strongly flat S-systems // Commun. of Algebra. 1992. V.20. P.2553-2567.

18. Bulman-Fleming S. Flatness properties of S-posets: an overview // International Conference on Semigroups, Acts and Categories, with Applications to Graphs, Estonian Mathematical Society, Tartu. 2008. P. 28-40.

19. Bulman-Fleming S., Normak P. Monoids over which all flat cyclic right acts are strongly flat // Semigroup Forum. 1995. V.50. P.233-241.

20. Bulman-Fleming S., Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective acts // Communications in Algebra. 2002. V. 30. P. 5575-5593.

21. Bulman-Fleming S., Laan V. Lazard's theorem for S -posets // Math. Nachr. 2005. V. 278. P. 1743-1755.

22. Bulman-Fleming S., Gutermuth D., Gilmour A. Flatness properties of S-posets // Comm. Algebra, (в печати)

23. Bulman-Fleming S., Mahmoudi M. The category of S-posets // Semigroup Forum. 2005. V.71. P. 443-461

24. Bulman-Fleming S., Gilmour A., Gutermuth D. and Kilp M. Flatness properties of S-posets // Comm. Alg. 2006. V.34. P. 1291-1317.

25. Fakhruddin S.M. Absolute flatness and amalgams in pomonoids // Semigroup Forum. 1986. V. 33. P. 15-22.

26. Fakhruddin S.M. On the category of S-posets // Acta Sci. Math. (Szeged). 1988. V. 52. P. 85-92.

27. Fountain J.B. Perfect semigroups // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1976. V. 20. P. 87-93.

28. Fountain J .B., Gould V. Stability of the theory of existentially closed S-acts over a right coherent monoid // Advances in algebra and combinatorics. 2008. P. 129-155.

29. Golchin A. and Rezaei P., Subpullbacks and flatness properties of S-posets // Communications in Algebra, (в печати)

30. Gould V. The characterization on monoids by properties of their S-systems // Semigroup forum. 1985. V.32. P.251-265.

31. Gould V. Axiomatisability problems for S-systems // J. London Math. Soc. 1987. V. 35. P. 193-201.

32. Gould V. Axiomatisability of free, projective and flat S-acts // Semigroup forum, (в печати)

33. Gould V., Shaheen L. Axiomatisability problems for S-posets // Semigroup forum, (в печати)36| Gould V., Shaheen L. Perfection for pomonoids // Semigroup forum, (в печати)

34. Isbell J.R. Perfect monoids // Semigroup forum. 1971. № 2. P.95-118.

35. Ivanov A. A. Structure problems for model companions of varieties of polygons // Siberian Math. J. 1992. V. 33. № 2. P. 194-201

36. Kilp M., Knauer U. On free, projective and strongly flat acts // Ach. Math. 1986. V.47. P. 17-23.

37. Kilp M., Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Alg. 1987. V.2. №35. P.193-201.

38. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, Acts and Categories // Walter De Gruyter, Berlin New York. 2000.