Структурные свойства и полнота класса регулярных полигонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

1 ОД

2*3 ОПТ 2003 ^

ОВЧИННИКОВА Елена Викторовна

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА И ПОЛНОТА КЛАССА РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Палютин Евгений Андреевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Пальчунов Дмитрий Евгеньевич,

Защита состоится 9 ноября 2000 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан " £ " о^-^Щ^ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совет»

кандидат физико-математических наук, доцент

Больбот Александр Дмитриевич.

Ведущая организация: Дальневосточный государственный

университет.

д.ф.-м.н,, профессор

Романьков

Важным направлением современной теории моделей является описание структурных свойств классических алгебраических систем (таких, как группы, кольца, поля, модули, линейные алгебры и др.), обладающих теми или иными теоретико-модельными свойствами.

Понятие полигона было введено Л.А. Скорняковым [6] и относится к фундаментальным в таких областях как теория представлений, теория автоматов и др. Полигонная структура присутствует как обеднение в теоретико-модельном смысле в модулях и линейных алгебрах.

Теоретико-модельные свойства полигонов и различных их классов исследовались в работах Т.Г. Мустафина [1, 3, 4, 15], В. Пуазы [15], В. Гоулд [13], A.A. Степановой [7-11], B.C. Богомолова [1]. Изучению унаров, которые являются обеднениями полигонов, посвящены работы Ю.Е. Шишма-рева [12], JI. Маркуса [14], A.A. Иванова [2], А.Н. Ряскина 15].

Одним из интереснейших классов полигонов является класс регулярных полигонов. Понятие регулярного полигона ввел Трап Лем Хеч [16]. Оно аналогично понятию регулярного модуля, данного Зельмановичем [17]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой регулярный моноид как полигон над собой.

Алгебраическим свойствам класса регулярных полигонов посвящены работы М. Кильпа, У. Кнауэра, A.B. Михалева, а такие их теоретико-модельные свойства как стабильность, аксиоматизируемость и модельная полнота изучены в работах A.A. Степановой [8, 9].

В диссертации описывается строение класса регулярных полигонов, рассматриваются вопросы порождения класса всех полигонов и изучаются полные классы регулярных полигонов.

Диссертация содержит 91 страницу машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, включающего 41 название.

Все основные результаты диссертации .являются новыми. Они опубликованы в 11 работах автора и докладывались на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Московского государственного университета, Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях, коллоквиумах и школах-семинарах: "Третий казахско-французский коллоквиум по теории моделей" (Алма-Ата, 1994); "Летняя школа по теории моделей и универсальной алгебре" (Эр-лагол, 1995); "Международная конференция по математической логике, посвященная 90-летию со дня рождения Л.И. Мальцева" (Новосибирск, 1999).

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Во введении приводится краткий исторический обзор, обосновывается важность и актуальность рассматриваемых вопросов и дается краткое перечисление основных результатов.

В первой главе изучаются структурные свойства класса всех полигонов и класса регулярных полигонов.

Первый параграф содержит необходимые определения и предварительные замечания.

Во втором параграфе рассматривается вопрос о порождении класса всех полигонов.

Для произвольного класса алгебр К обозначим через

S(K) класс всех алгебр, изоморфных подалгебрам из К,

H(iif) — класс всех алгебр, изоморфных гомоморфным образам алгебр из К,

P(if) — класс всех алгебр, изоморфных декартовым произведениям алгебр из К.

Так как класс всех S-полигонов S-Act является многообразием и все операции в S-Act одноместны, то

S-Act = HSP(s^(2)),

где SF{2) — свободный двухпорожденный ¿¡"-полигон. Свободным однопорожденным ^-полигоном является полигон

.Доказал критерий порождения класса Б-Ас1. полигоном

Теорема 1.2.3. Выполнимо соотношение

Б-Аа = НвР^)

тогда и только тогда, когда л*оноид Я не содержит левого нуля.

В третьем параграфе определены два типа конгруэнций на полигонах.

Пусть ~ — конгруэнция связности на полигоне ¡А. Конгруэнцию 0 € Соп(5Л) назовем конгруэнцией 1-го типа, если в П ~ = 05у4. Конгруэнцию 9 € Соп(уЛ) назовем конгруэнцией 2-го типа, если в <

Л л л произвольного класса ^-полигонов К обозначим через класс всех полигонов, изоморфных фактор-полигонам полигонов из К по конгруэнциям г-го типа, где а' 6 {1,2}.

Теорема 1.3.11. Для любого класса Б-полигонов К выполняется равенство

Н(ЛГ) = Н1Н2(^).

В четвертом параграфе показана тесная связь конгруэнций 1-го типа с амальгамами полигонов.

Теорема 1.4.4. Пуст» 5А — амалъгама полигонов { € I, == и 5В; П = 0 для всех 1,3 € I, г ф 3. Тогда

-Ы/

для некоторой конгруэнции 1-го типа в.

Теорема 1.4.6. Если в — конгруэнция 1-го типа на полигоне 5А, то фактор-полигон 5Л / 9 является амальгамой неразложимых полигонов.

В пятом параграфе исследуется строение класса регулярных полигонов.

Левый ¿'-полигон 5Л называется регулярным, если для любого а € А существует гомоморфизм / : —► такой, что /(а)а = а.

Обозначим для произвольного класса полигонов К через И(Л') класс всех полигонов, изоморфных дизъюнктным объединениям полигонов из К.

Теорема 1.5.4. Для любого моноида Б класс всех регулярных Б-полигонов совпадает со следующими классами:

Н&йкТ), внН^О^Г).

Вторая глава посвящена изучению полных классов регулярных полигонов. Первые три параграфа посят вспомогательный характер. В них приводятся необходимые определения, факты и доказывается ряд утверждений, используемых в дальнейшем.

В четвертом параграфе описываются полные классы регулярных полигонов с условием формульной определимости.

Если для элементов а € 5Л и 6 € 5-В существует изоморфизм / : $Ба —► 55"6 такой, что /(а) = Ь, то этот факт обозначается через цБа ¡^БЬ.

Класс удовлетворяет условию формульной определимости изоморфных орбит, если для каждого идемпотента е € Т существует формула Фе(х) такая, что для любого регулярного полигона 5А и любого а € 5-4

5 А (= Фе(а) 5-¿а ^ ^е.

Если существуют регулярные полигоны над моноидом Б, т.е. .98? ф 0, то объединение всех регулярных подполигонов полигона ^5 образует наибольший подполигон полигона 56', который обозначается через 3Т. При этом носитель Т образует подполугруппу моноида ¿>, которая обозначается через

Т(Б).

Объединение всех минимальных левых идеалов полугруппы Б называется ядром и обозначается через К {Б).

Коли полугруппа 5 является прямоугольной связкой групп £¿7, » € у € то через /(51) обозначается множество /, через ./(¿>) — множество ./.

Теорема 2.4.4. Следующие условия эквивалентны:

1) аксиоматизируемый класс ¿-З? моделъно полон и удовлетворяет условию формуль?юй определилюсти изоморфных орбит-,

2) аксиоматизируемый класс 5?)? полон и удовлетворяет условию формульно-И определимости изоморфных орбит;

3) полугруппа Т является прямоугольной связкой бесконечных групп, а множество /('/') конечно.

Показано, что условию формульной определимости удовлетворяют классы регулярных полигонов над моноидами с конечным числом идемпотентов, а также коммутативные моноиды. Доказаны три следствия.

Следствие 2.4.5. Если полугруппа Т содержит конечное число идемпотентов, то следующие условия эквивалентны:

1) класс моделъно полон;

2) класс 53? полон;

3) полугруппа Т является прямоугольной связкой конечного числа бесконечных групп.

Следствие 2.4.в. Если полугруппа Т содержит единственный идемпотент, то следующие условия эквивалентны:

1) класс моделъно полон;

2) класс полон;

3) Т — бесконечная группа. О

Следствие 2.4.7. Если Б коммутативный моноид, то следующие условия эквивалентны:

1) класс уЭ? моделъно полон;

2) класс полон;

3) Т -— бесконечная абелева группа.

Пятый параграф посвящен изучению полных классов регулярных полигонов над линейно упорядоченными моноидами глубины 2.

Глубиной полугруппы S называется наибольшая длина депи главных левых идеалов, если она существует и конечна, и символ оо в противном случае.

Полугруппа S называется линейно упорядоченной, если для любого Ь € S множество {Sa | Sa С Sb} линейно упорядочено по включению.

Теорема 2.5.5. Если S — линейно упорядоченный моноид глубины 2 и — непустой аксиоматизируемый класс, то следующие условия эквивалентны:

1) класс ¿•Si модельно полон;

2) класс sdt полон;

3) полугруппа JC(S) является прямоугольной связкой бесконечного числа бесконечных групп.

В третьей главе построены примеры моноидов, над которыми класс регулярных полигонов полон, но не модельно полон. При доказательстве теорем второй главы используются критерии аксиоматизируемости и модельной полноты аксиоматизируемого класса регулярных полигонов, полученные A.A. Степановой [8]. Необходимыми условиями модельной полноты класса к является линейная упорядоченность полугруппы Se для каждого идемпотепта е € T(S) и бесконечность множества идемпотентов, порождающих главный идеал Sa С T(S) такой, что Sa С Se для некоторого идемпотента е € T(S).

Первый пример показывает, что линейная упорядоченность полугруппы Se для идемпотента е € 'l'(S) не является необходимым условием полноты класса s3f.

Теорема 3.1.10. Существует не линейно упорядоченный моноид глубины 2, над которым класс всех регулярных полигонов полон и не модельно полон.

Второй пример показывает, что условие бесконечности множества идемпотентов, порождающих главный идеал

Sa С T(S) такой, что Sa С Se для некоторого илемпотента е € Т(5), также не является необходимым условием полноты класса 5-3?.

Теорема 3.2.1. Существует линейно упорядоченный моноид глубины 3, над которым класс всех регулярных полигонов полон, но не моделъно поло71.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Е.А. Палютину, а также A.A. Степановой за внимание к работе и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов B.C., Мустафин Т. Г. Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны ы-стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. С. 371-381.

2. Иванов A.A. Полные теории унаров // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, №1. С. 48-73.

3. Мустафин Т. Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики; Т.8) — С. 92-107.

4. Мустафин Т. Г. К описанию моноидов, над которыми все. полигоны имеют иьстабилъные теории // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. С. 675-696.

5. Ряскин А. Н. Число моделей полных теорий унаров. // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики; Т.8) — С. 162-182.

6. Скорняков JJ.A. О гомологической классификации моноидов // Сиб. матем. журн. 1969. Т. 10, N 5. С. 1139-1143.

7. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов 5-полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т.ЗО, №5. С. 583-594.

8. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, №1. С. 181-193.

9. Степанова А. А. Стабильность класса регулярных полигонов // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. — С. 95-102.

10. Степанова А. А. Моноиды с разрешимыми и неразрешимыми классами полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №3.

11. Степанова А. А. Модельные компаньоны квазммиого-образий полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №5.

12. Шишмарев Ю.Е. О категоричных теориях одной функции // Мат. заметки. 1972. Т.11, №1. С. 89-98.

13. Gould V. Axiomatisability problems for S-systems // J. London Math. Soc. 1987. V. 35, №2. P. 193-201.

14. Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function // Fund. Math. 1980. V. 108. P. 171-181.

15. Mustafm T.G., Poizai B. Polygones // Math. Log. Quart. 1995. V. 41. P. 93-110.

16. Tran Lam Hack. Characterization of monoids by regular acts // Period. Math. Hungar. 1985. V. 16 . P.273-279.

17. Zelmanowiiz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 163. P. 341-355.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМИ ЛИ СОЕ РТА НИ И

1. Овчинникова Е. В. О полных классах регулярных полигонов // Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова. Тез. докл. Красноярск: изд-во КрГУ, 1993. — С. 244.

2. Ovchinnikova Е. V. Complete classes of regular acts with finite number of idempotents // Третья Суслинская конф. Научные математические чтения. Тез. докл. Саратов: изд-во СГПИ, 1994. — С. 49.

3. Ovchinnikova Е. V. A Non-Linear Ordered Monoid over which the Class of all Regular Acts is Complete but not Model Complete // Междунар. конф. по мат. логике, посвященная 85-летию со дня рождения Л.И. Мальцева. Новосибирск: изд-во МИОО Новосибирского госуниверситета, 1994. — С. 75-76.

4. Овчинникова Е. В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, N 2. С. 381-384.

5. Овчинникова Е. В. Строение класса регулярных полигонов // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. Караганда: изд-во КарГУ/^С. 84-86.

6. Ovchinnikova Е. V. Monoid over which the class of all regular acts is complete but not model complete // Comptes-rendus au 3-eme colloque qazaqo-frangais de théorie des modeles (Almaty, 27 juin - 1 juillet 1994). Institute of Informatics and Control Problems. Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. Almaty, 1996. — P. 16.

7. Ovchinnikova E. V. On complete classes of regular acts // Abstracts. KORUS '97. The first Korea-Russian International Symposium of Science and Technology. September 29 — October 3, 1997. University of Ulsan, Republic of Korea.

P. 135.

8. Овчинникова. Е. Б. Моноид, над которым класс регулярных полигонов полон, не модельно полон // Сиб. матем. журн. 1997. Т.38, N 5. С. 1110-114.

9. Ovchinnikova Е. V. Complete classes of regular S-acts over monoids og height 2 // Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвященной 90-летию со дня рождения А.И. Мальцева. Новосибирск: изд-во ИДМИ, 1999. — С. 103-104.

10. Овчинникова Е. В. О порождениях классов полигонов // Междунар. семинар "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А. Скорнякова. Волгоград: изд-во "Перемена", 1999. — С. 49-50.

11. Овчинникова Е. В. О порождениях класса всех полигонов // Алгебра и теория моделей 2. Сборник трудов. Новосибирск: изд-во НГТУ, 1999. — С. 88-93.

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА КЛАССА ВСЕХ ПОЛИГОНОВ

И КЛАССА РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ.

1.1. Предварительные замечания.

1.2. Порождения класса всех полигонов.

1.3. Два типа конгруэнции полигонов.

1.4. Амальгамы и конгруэнции 1-го типа.

1.5. Регулярные полигоны.

2. ПОЛНЫЕ КЛАССЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ.

2.1. Сведения из теории моделей.

2.2. Сведения и вспомогательные результаты из теории полугрупп.

2.3. Свойства полных и аксиоматизируемых классов 5-полигонов.

2.4. Полные классы регулярных полигонов с условием формульной определимости.

2.5. Полные классы регулярных полигонов над моноидами глубины 2.

3. ПРИМЕРЫ МОНОИДОВ, НАД КОТОРЫМИ КЛАСС РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ ПОЛОН,

НО НЕ МОДЕЛЬНО ПОЛОН.

3.1. Не линейно упорядоченный моноид, над которым класс регулярных полигонов полон, но не модельно полон.

3.2. Линейно упорядоченный моноид глубины 3, над которым класс регулярных полигонов полон, но не модельно полон.

Важным направлением современной теории моделей является описание структурных свойств классических алгебраических систем (таких, как группы, кольца, поля, модули, линейные алгебры и др.), обладающих теми или иными теоретико-модельными свойствами.

Понятие полигона было введено JI.A. Скорняковым [21] и относится к фундаментальным в таких областях как теория представлений, теория автоматов и др. Полигонная структура присутствует как обеднение в теоретико-модельном смысле в модулях и линейных алгебрах.

Изучению алгебраических свойств полигонов и различных их классов посвящены работы JI.A. Скорнякова [21, 22], М. Кильпа [5, 32, 33], У. Кнауэра [32-37], A.B. Михалева [35-37] и др.

Теоретико-модельные свойства полигонов и различных их классов исследовались в работах Т.Г. Мустафина [1, 7, 8, 39], Б. Пуазы [39], В. Гоулд [30], A.A. Степановой [23-27], B.C. Богомолова [1]. Изучению унаров, которые являются обеднениями полигонов, посвящены работы Ю.Е. Шишмарева [29], JI. Маркуса [38], A.A. Иванова [3], А.Н. Ряскина [20].

Одним из интереснейших классов полигонов является класс регулярных полигонов. Понятие регулярного полигона ввел Трэн Лэм Хэч [40]. Оно аналогично понятию регулярного модуля, данного Зельмановичем [41]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой проективный полигон и любой регулярный моноид как полигон над собой.

Алгебраическим свойствам класса регулярных полигонов посвящены работы М. Кильпа, У. Кнауэра, A.B. Михалева [5, 32—37], а такие их теоретико-модельные свойства как стабильность, аксиоматизируемость и модельная полнота изучены в работах A.A. Степановой [24, 25].

В диссертации описывается строение класса регулярных полигонов, рассматриваются вопросы порождения класса всех полигонов, изучаются полные классы регулярных полигонов, исследуется взаимосвязь полноты и модельной полноты класса регулярных полигонов, строятся примеры моноидов, классы регулярных полигонов над которыми являются полными, но не модельно полными.

В диссертации используются аппарат теории моделей, универсальной алгебры и теории полугрупп.

Диссертация содержит 91 страницу машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, включающего 41 название.

1. Богомолов В. С., Муетафин Т. Г. Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны (¿-стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. С. 371-381.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987.

3. Иванов A.A. Полные теории унаров // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, №1. С. 48-73.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.

5. Килъп М. О гомологической классификации моноидов // Сиб. ма-тем. журн. 1972. Т. 13. С. 396-401.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. — M.s Мир, 1972.

7. Муетафин Т. Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математики; Т.8) — С. 92-107.

8. Муетафин Т. Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют ш-стабильные теории // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. С. 675-695.

9. Овчинникова Е.В. О полных классах регулярных полигонов // Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова. Тез. докл. — Красноярск: изд-во КрГУ, 1993, — С. 244.

10. Овчинникова Е.В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, №2. С. 381-384.

11. Овчинникова Е.В. Строение класса регулярных полигонов // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. — С. 84-86.

12. Ovchinnikova E. V. On complete classes of regular acts // Abstracts. KORUS '97. The first Korea-Russian International Symposium of Science and Technology. September 29 October 3,1997. — University of Ulsan, Republic of Korea, 1997. — P. 135.

13. Овчинникова Е.В. Моноид, над которым класс регулярных полигонов полон, не моделью полон // Сиб. матем. журн, 1997. Т.38, №5. С. 110-114.

14. Ovchinnikova Е. V. Complete classes of regular S-acts over monoids of height 2// Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвященной 90-летию со дня рождения А.И. Мальцева. — Новосибирск: изд-во ИДМИ, 1999. — С. 103-104.

15. Овчинникова Е.В. О порождениях классов полигонов // Междунар. семинар "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти J1.A. Скорнякова. — Волгоград: изд-во "Перемена", 1999. — С. 49-50.

16. Овчинникова Е.В. О порождениях класса всех полигонов // Алгебра и теория моделей 2. Сборник трудов. — Новосибирск: изд-во НГТУ, 1999. С. 88-93.

17. Pjtckuh А. Е. Число моделей полных теорий унаров // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математики; Т.8) — С. 162-182.

18. Скорняков Л. А. О гомологической классификации моноидов // Сиб. матем. журн. 1969. Т. 10, №5. С. 1139-1143.

19. Скорняков Л. А. Обобщения модулей // Модули HI. Препринт. — Новосибирск, 1973. — С. 22-27.

20. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов S-полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т.ЗО, №5. С. 583-594.

21. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, №1. С. 181-193.

22. Степанова А, А, Стабильность класса регулярных полигонов / Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. — С. 95-102.

23. Степанова А. А. Моноиды с разрешимыми и неразрешимыми кл ассами полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №3.

24. Степанова А. А. Модельные компаньоны квазимногообразий полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №5.

25. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. — Харьков; Киев: Гос. науч.-техн. изд-во Укр., 1937.

26. Шишмарев Ю.Е. О категоричных теориях одной функции // Мат. заметки. 1972. Т.11,№1. С. 89-98.

27. Gould V, Axiomatisability problems for S-systems //J. Loudon Math. Soc. 1987. V. 35, №2. P. 193-201.

28. Gratzer G. Universal algebra. — Springer-Verlag New York Inc. 1979.

29. Kilp M., Knauer U. On free, projective and strongly flat acts // Arch. Math. 1986. V. 47. P. 17-23.

30. Kilp M.t Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Algebra. 1987. V. 46. P. 217-231.

31. Knauer U. Projectivity of acts and Morita equivalence of monoids // Semigroup Forum. 1972. V. 3. P. 359-370.

32. Knauer V., Mikhalev A. V, Endomorphism monoids of acts over monoids // Semigroup Forum. 1973. V. 6. P. 50-58.

33. Knauer U., Mikhalev A. V. En.domorph.ism monoids of free acts and 0-wreath products of monoids. II. Regularity. // Semigroup Forum. 1980. V. 19. P. 189-198.

34. Knauer U., Mikhalev A.V. Wreath products of acts over monoids: I, Regular and inverse acts //J. of Pare and Applied Algebra. 1988. V. 51. P. 251-260.

35. Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function // Fund. Math. 1980. V. 108. P. 171-181.

36. Mustajin T.G., Poizat B. Polygones // Math. Log. Quart. 1995. V. 41. P. 93-110.

37. Tran Lam Hack Characterization of monoids by regular acts // Period. Math. Hungax. 1985. V. 16 . P.273-279.

38. Zelmanowitz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 163. P. 341-355.