Однородные модели тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1215 Г Ь •

* 1, **

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

КУДАЙБЕРГЕНОВ Канат Жанзакович

0ДН0Р0ДЩЕ МОДЕЛИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических йаук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Республики Казахстан '

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Зильбер Б.И.;

доктор физико-математических наук Кановей В.Г.;

доктор физико-математических наук Палотин Б.А.

Ведущая организация - Смский государственный университет

Защита состоится " // и иНз-Н^А. 1дс^г. в часов на заседании Специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения РАН по адресу: Р. Новосибирскт90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики рО РАН.

Автореферат разослан " " ¿¿¿ЬЯ 199Д, г.

Ученый секретарь

Специализированного совета П/Л

кандидат физико-математических наук - В.Г.Скооирский

Понятие однородной модели появилось в конце пятидесятых начале шестидесятых годов в работах Вота [20, 21], Йонссо-на [6], Крэйга [10] и с тех пор привлекает неослабевающее внимание специалистов по теории моделей. Однородные модели изучались в работах Морли и Вота [13], Кейслера [7], Кейсле-ра и Морли [8], Шелаха [16] и многих других. В этих работах были доказаны общие теоремы существования и единственности для однородных моделей, развита теория стабильности для класса однородных моделей, изучались теории, все несчетные модели которых однородны, и так далее. Большое число работ посвящено изучению конструктивных однородных моделей. Это работы Гончарова [1], Перетятькина [3], Миллара [12] и другие. Интенсивно изучаются различные варианты понятия однородности, такие, как ультраоднородность и почти однородность (см. работы Лахлана [11], Пиллая [14], Роуза и Вудроу 15] и др.). В перечисленных выше и многих других глубоких исследованиях была выявлена важность понятия однородности и выдвинут ряд естественных гипотез и проблем по однородным моделям.

Целью диссертации является изучение структуры и спектра однородных моделей полных теорий.

Применяются разнообразные теоретико-модельные методы и, в частности, методы теории стабильности.

Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.

1) Решена проблема Кейслера и Морли о числе однородных моделей полной теории,в различных мощностях.

2) Найдены необходимые и достаточные условия, при которых стабильная теория имеет однородные модели сколь угодно больших мощностей с фиксированным семейством реализуемых типов. С помощью этого получены результаты о спектре однородных моделей стабильных теорий.

3) Получено описание однородных, Л-одаородных, сильно ^.-однородных, абсолютно однородных моделей тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий. Это позволило описать спектр таких моделей для а)-стабильных немультиразмер-ностных теорий.

4) Опровергнута гипотеза Шелаха о мощности абсолютно однородных моделей. Это позволило опровергнуть также гипотезу Кейслера и Морли о существовании собственных элементарных расширений А-однородкых моделей с тем же самым семейством реализуемых типов. Получена характеризация абсолютно одно-Р-даых моделей .стабильных теорий.

Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях но теории моделей.

Основные результаты диссертации излагались в пленарных докладах автора на 7-й и 8-й Всесоюзных конференциях по математической логике (Новосибирск, 1984 и Москва., 1986), в сообщении на 8-м Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки (Москва, 1987)", в докладе на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти Л.И. Мальцева (Новосибирск, 1989), в часовом докладе на Советско-французском коллоквиума по теории моделей (Караганда, 1990),

в докладах на отчетных конференциях Института математики и механики АН КазССР, на семинарах в Институте математики СО АН СССР, Московском и Кемеровском университетах, в Университете Парик-7.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22 - 33].

Диссертация состоит из введения, исторического обзора, шести глав и списка литературы. Объем диссертации 249 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации содержит предварительные сведения. Изложение результатов начинается со второй главы.

Прежде чем перейти к точным определениям и формулировкам, приведем некоторые обозначения.

Через Т будем обозначать полную теорию языка первого порядка, имеющую бесконечные модели. Модели теории Т будем обозначать готическими буквами Ш, ЗЛ (возможно, с индексами^, а их основные множества (универсумы^ - соответствующими латинскими М, N. Мощность множества -.А обозначим через |Л|. Через а, р, 7, 6 будем обозначать ординалы, через Л, х, ц - бесконечные кардиналы. Через ыа обозначим а-й бесконечный кардинал, (о=а0. Через В(А) обозначил множество всех тип над о, которые реализуются конечными кортежами элементов из А. Положим Т)(Ш)=0(М).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. 1) Модель $Л называется Л-однородной,

если для любого АсМ мощности I Л|<А и любого а£М любое элементарное отображение ,/:Л—>М можно продолжить до элементарного отображения §:ли{а}—*М.

2) Модель Ш называется однородной, если она \М\-о9н1.^одна. ■ ,

3) Модель Ш называется слабо однородной, если Ш ъстъ объединение элементарюй цепи однородных моделей, М=иа<р где ЩШа)Щт ) и |*в|<Ц| | для всех асус/Э.

Заметим, что в работе Кейслера и Морли [8] однородные модели определялись по-расному для регулярных и сингулярных • мощностей. Приведенное выше определение слабо однородной модели - это определение однородной модели из [8] для сингулярных мощностей.

Одним из основных вопросов в теории моделей является воггрос о спектре (т.е. о числе моделей полной теории. в рг./личных мощностях^ и, в частности, о спектре моделей специального вида. Обозначим через Н%,(к) число, однородных, через Ь.Т( А) число слабо однородных моделей мощности А для теории Т. Ясно, что НТ(\)-1хТ(\) для любого регулярного А. По теореме 1 Нт(ь))>-0 для любой счетной теории Т. Из результатов Морли и Вота [3] следует, что при обобщенной континуум-гипотезе (0КГ7 КГ(Х)>0 для любого А и любой счетной теории Т. В то же время существуют полные счетные теории Г такие, что 11т(А^О для любого-сингулярного А . (даже при ОКП. В работе Кейслера и Морли 18] было доказано для любой полной счетной теории . Т

1) если то Нт(Х)^Пт(о)) для любого А>ш;

2) при ОКГ Ь.Т(Л)£*11Т(Х) для любых А>а?>ш. Естественно возникает вопрос: какой может быть функция /гг?

В работе Кейслера и Морли [8, с. 78] была поставлена следующая

ПРОБЛЕМА. Существуют ли в предположении ОКГ полные счетные теории Т, для которых 7гГ удовлетворяют следующим условиям:

1) а»Пт(с))>ЗПт(а),); . 2) Пт(о))=ш,

3) Пт(ы)^сои 1

4) Пт( (О)^О). Пт(ы1)>Пт(ы2)?

Эта проблема была отмечена также в обзоре Е.А.Палютина ['2, с. 372, проблема 8.17].

ТЕОРЕМА I. Такие теории существуют (при ОКГ). В частности, существуют полные счетные теории Т^п) и Т2(п) для любого СХпссо, Тэ, Т4(т) для любого т^ь), Т5 такие, что

V Ь-т^пу^Н для,всех

2) 1гТ (п)(й))=б+гг, }гт^(п)(\)=2 для всех Л>а>1;

3) {(о)=о), (\)=3 для всех А^ш,;

13 3

4) 1гт (А)=п 'для всех Х^со,;

/ 4

5) пт пт пт к А )=--4 для

5 5 5

всех

Эта теорема является основным результатом второй главы диссертации. Кроме .того, в этой главе изучается следующая задача, имеющая важное значение для описания спектра однородных моделей: для Данной однородной модели найти собстве1..юе элементарное расширение с тем же самым семейством реализуемых типов. Для формулировки результата индукцией по а определим кардиналы @(а,Х) и

P(a,ЛM^в_2Pfв■A', при а>0,

Т0ГА;=А, 7а(ЛМ^а при а>0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть ЗЛ - слабо однородная модель мощности уй(\Т\) для предельного 6. Тогда

1) модель Ш имеет собственное элементарное о -

расширение 32 такое, что П~Ш;

\ 2) модель Ш имеет с/(6)-однороднов элементарное расширение 97 мотости 7в( IГI'/1" гюкое, что £>(??)-ЦШ).

Введен, также один класс моделей (названных Д-насищеншми;, промежуточный между классами всех насыщенных* и всех однородных моделей, для которого задача о расширении модели с сохранением семейства реализуемых типов имеет значительно более простое решение.

В третьей главе диссертации изучаются одноро'дные иоррт стабильных теорий. Изучение этой тематики автор начал с попытки обобщить следующую теорему- Стейихорна.

ТЕОРЕМА 3 (Стейнхорн [19];. Пусть Т счег/гна, суперстабильна и имеет только счетное число типов, £7? - счетная однородная модель теории Т, содержшзря бесконечное неразличимое ххн.охест6о. Тогда

1) модель ЯП имеет счетное собственное элементарное расширение такое, что Ш насыщенна в 910;

2) модель ЯП имеет и-однородное элементарное расширение 91 мощности ы, такое, что ¡01 насыщенна д 91.

Насыщенность 27? в 91 означает, что для любого ЛсМ мощности М|с \М\, любого псы и любого р€51п(Л) из реализуемости р в 91 следует реализуемость р в Ш.

Теорему 3 удалось обобщить следующим образом.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Т стабильна, ЯЛ - однородная модель для Т мощности Л^-ЩТ), содерхащая бесконечное неразличимое множество. Тогда

1) модель ЯЛ имеет собственное элементарное расширение 910 такое, .что 910~Ю1 (и 211 насыщенна б

2) модель 311 имеет Х-однородное элементарное расширение 91 мощности Л+ такое, что Щ 91 )=0( Ш) (и ЯЛ насыщенна в 91).

Здесь ЩТ) - кардинал, точное определение которого можно найти в книге Шелаха [18, с. 100]. ОГметим только, что + для стабильной теории Т и ЩТ)=ю для

суперстабильной T.

Возникает вопрос: можно ли при условиях теоремы 4 доказать, что ЯК имеет элементарное расширение S? мощности >-А+ такое, что D(ïïl)-D(3JÎ)?' Следующая теорема дает отрицательный ответ на этот вопрос.

ТЕОРЕМА 5. Существует счетная суперстабилъная теория Т, счетная однородная модель , 3Ji\=T, содержащая бесконечное неразличимое множество, и опускающиеся в .ЗП типы p,q é S2(0) такие, что M не имеет элементарного расширения, опускающего p,q и имеющего мощность >2W.

Заметим, что теореме 5 посвящен отдельный параграф в главе 6, поскольку теория, построенная в этой теореме, обладает свойствами, дающими отяет (в предположении континуум-гипотезы,) на несколько опубликованных вопросов. 5о-первых, на- вопрос Стейнхорна [19] о существовании эл'ментэрных расширений большой мощности, опускающих данное

v

семейство типов. Во-вторых, ija вопрос Дж.Найт [9] о существовании атомных моделей над множеством мощности сог при условии ПЛОТНОСТИ ГЛ8В1ШХ типов над этим множеством. В-третьих, на вопрос из книги Дж.Балдуина [4] о существовании однородных моделей, не являющихся почти однородными.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия, при которых стабильная теория имеет однородные модели сколь угодно больших мощностей с . фиксированным семейством реализуемых типов. Это позволяет получить

информацию о спектре однородных моделей стабильных теорий. Обозначим через А(Т) наименьший кардинал А такой, что Т А-стабильна. Будем говорить, что. модель Ш

(1),А^-однородна, если она А-однородна и Модель 331

называется д . -однородной, если она однородна и

ТЕОРЕМА 6. Пусть Т стабильна и либо А>|Г|, либо К{Т)<2к. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) для любого х если Т х-стабильна, то существует I)-однородная модель мощности х;

2) существует (Б,Х)-однородная модель мощности >\(Т);

. 3) существуют модели такие, что Ш

(0,А/-однородна и В(У1)=1>;

А) существует (О,А)-однородная модель, .содержащая, бесконечное неразличимое множество.

СЛЕДСТВИЕ 6.1. 1) Если Т К-аюбильна, то НТ(х)=Н^(X) для любого х>\ такого, что Т х-сжибильна. (Н*(К) ' есть число однородных моделей мощности А, содержащих бесконечное неразличимое множество.)

. 2) Если Г суперстабильна, то НТ(х)=Н^(Х(Т)) для мобого а?>А(1у;

3) Если Г ы-апабилъна, то Н^х^Н^ы) для любого

С помощью следствия 6.1 доказана следующая

ТЕОРЕМА 7. Пусть Т (¿-стабильна. Тогда если Нт( \)>ь> для некоторого Л><о,,то НТ(А)=?Ы для любого

ТЕОРЕМА 8. Пусть Т ш-стабильна и для некоторого А все модели для Т лощоспи А являются ш-однородныш. Тогда следующие условия эквивалентны: ■

1) Т категорична в о) или (о,;

2) НТ(х)~-1 для всех

3) Яг(х)<о> для некоторого ге^у.

Кроме того, ее ли ¡¡Т((о) <«, то Т ш-категорична.

Заметим, что в теореме 8 нельзя убрать условие, связанное с А, потому что существует си-стабильная теория Т, для которой выполняется 2), но не выполняется 1).

СЛЕДСТВИЕ 8.1. Пусть Т ы-стабильна и для некоторого А все модели для Т мощности А являются ш-однородники. Тогда выполняется одно из следующих условий: с 1) НТ(х)--1 для всех х>ы;

2) ПТ(х)=о» для всех а?>со;

'' 3) Нт(х)-2^ для. всех

В третьей главе получены также некоторые результаты о существовании насыщенных моделей стабильных теорий в различных мощностях. Кроме того, изучается вопрос о категоричности для класса А-однородных моделей стабильных теорий.

ТЕОРЕМА 9. Пусть Т суперстабильна и либо А>|Т|, либо ЦТ)<2и). Допустим, что существует (В,а;-однородная модель мощности Тогда следующие условия

эквивалентны:

1) класс всех (д,Х)-однородкых моделей теории Т х-катееоринен для любого х>Х(Т);

2) класс всех (й,Х)-однородных моделей теории Т зе-катпегоричен для некоторого ге>Х+Х(Т);

3) некоторое условие (которое ми не будем здесь формулировать, чтобы не вводить новых определений), амиогичное существованию схиъно минимальной недвукарди-нальной формулы для случая со,-категоричных теорий.

СЛЕДСТВИЕ 9.1. Пусть Т сулерстпабильна,

недвукардинальна и либо А>|Т|, либо Х(Т)с2х. Тогда любая Х~однородная атомная модель мощности >А(Т) является однородной.

Будем говорить, что Т - теория ранга 1, если Т стабильна и ранг Ласкара любого типа не превосходит 1.

ТЕОРЕМА 10. Пусть Т - одноразмерностнач теория ранга 1 и либо А>|Г|, либо А(Т)<2^. Тогда любая Х-однородная модель мощности >-А(Т) однородна.

В четвертой главе изучаются однородные модели тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. 1). Модель Ш называется сильно Х-однородной, если для любого Ас'/ мощности \Л\<Х любое элементарное отображение /:А—+М можно продолжить до автоморфизма, модели ¡01.

2) Модель ¡01 называется абсолютно однородной, если она \М\+-однородт.

В четвартой главе описана структура однородных, А-однородных, сильно А-однородных, абсолютно однородных моделей тотально трансцендентных немультиразмерностны>' теорий в терминах размерностей сильно регулярных типов над простой моделью. Это позволило получить полное описание спектра однородных, А-однородных, сильно А-однородных, абсолютно однородных моделей тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий.

ТЕОРЕМА II. Пусть Т тотально транцендентна и немультиразлерностна, ф - каноническая база для Т над простой моделью Ш0, ЗЛ0^ЗП. Тогда

1) Ш А-однородна, если и только если выполняются следующие условия:

(A) если р.цьЧ, р - копия д и й1т(р,Ш)<и>, то йЩц,т)=с11т{р,т);

(Б; если рея и <Ит(р,ХТ1)>и, то йЩр,Ю1)^\;

2) Ш сильно Я-однородна, если и только если выполняются условия (Б) й

(B) если р.деф и р - копия д, то

ат(р,т)=аш( я.зл);

3) Ш абсолютно однородна,, если и только, если выполняются условия (В) и

(Г; б.1т(р,Ш)си> для всех ред.

СЛЕДСТВИЕ 11.1. Пусть Т тотально трансцендентна и I-категорична. Тогда

1) все модели теории Т сильно и-однородни;

2) если. Т тотально категорична, то все модели теории Т однородны, но не абсолютно однородны;

3) если Т не тотально категорична, то Г имеет ровно со абсолюта однородных моделей.

(Теория называется тотально категоричной, если любые две ее модели одинаковой мощности изоморфны.) Для счетных теорий это следствие было доказано Болдуином и Лахланом [5].

Введем следующие обозначения: ■

я£(X) - число абсолютно однородных моделей мощности А для теории Т;

К) - число однородных, но не абсолютно однородных моделей мощности Д.

ТЕОРЕМА 12. Пусть Т со-стабильна и

немулыпиразмерносша. Тогда выполняется од,ю из следущих условий:

1) НТ(Х)-1 для 'всех А^а (это со-натегоричноаш Т),

2) Нт(ы; й), для всех А>й>,

3) Нт(ы)=ы для всех А>0) и либо либо

эквивалентно

4) ит(о)=2(0 для всех и

либо Я+{«/=0, либо Кроме того, для всех А>о>.

,0)

Описаны также функции Н,£(\,х) - число А-однородных и Н%,(Л,х) - число сильно А-однородаых моделей мощности х

для теории Т.

Заметим, что с помощью теоремы 6 можно доказать,- что любая слабо однородная модель (^-стабильной теории Т является однородной и, следовательно, Нт(Х)=Ь.Т{К) для любого А. В главе 3 имеется следующий более общий результат об объединениях элементарных цепей А-однородных моделей.

ТЕОРЕМА 13. Пусть Т стабильна, т=^а<в та объединение элементарной цепи (П,Л)-однородких моделей, с?(6)2*ЩТ) и либо с/(5)2--\Т\, либо Л>-\Т\,либо А(Т)с2к. Тогда ¡71 (Б, А)-однородна.

В пятой главе изучаются абсолютно однородные модели. Напомним, что модель ЯЯ называется абсолютно однородной, если она |И|-однородна (это эквивалентно тому, что в модели 8Я любое элементарное отображение продолжается до автоморфизма,).

В работе Шелаха [17, с. 282] была сформулирована следующая

ГИПОТЕЗА. Если Ш - абсолютно однородная модель . теории Т, то |1П<2|Г| •

Гипотезу Шелаха опровергает следующая

ТЕОРЕМА 14. Для любого х-^ш существует теория мощности х, имеющая абсолютно однородную модель мощности

В той же работе [17, с. 282] приведена следующая

ГИПОТЕЗА (Кейслер и Морли;. Если ЗЛ есть

(2и;+-одиородная модель мощности >2и и \ЩШ), то для любого А>2и> модель Ю1 имеет А+-одаородное элементарное расширэние Э? мощности >А такое, что

ТЕОРЕМА 15. Гипотеза Кейслера и Морли неверна.

Контрпримером к гипотезе Кейслера и Морли служит модель счетного языка, построенная в теореме 14.

Заметим, что гипотезы Шелаха и Кейслера-Морли верны для стабильных теорий.

Следующая теорема дает границу для мощности абсолютно однородных моделей.

ТЕОРЕМА 16. Если ЗП - абсолютно однородная модель, то

Для абсолютно однородных моделей стабильных теорий имеет место следующая характеризоция.

ТЕОРЕМА 17. Пусть Т стабильна и либо А>|Т|, либо Х(Т)<2*~. Пусть Я1\=Т. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ш абсолютно однородна;

2) Ш Х-однородна и не имеет собственного . элементарного расширения 31 такого, что 0( ПШ);

3) ЗЛ Х-однородна и не имеет■ собственного однородного элементарного расширения 37 такого, что

4) 9Л Л-однородна и не содержит бесконечных неразличимых множеств.. .

Заметим, что теорема 17, вообще говоря, неверна при А=|Т|, построен соответствующий пример.

В пятой главе изучается также такое близкое к понятию абсолютной однородности, как гипероднородность. (Модель называется гипероднородной, если любой изоморфизм между ее подсистемами продолжается до автоморфизма.) В частности, дан отрицательный ответ на вопрос поставленный в работе Роуза и Вудроу [15, с. 29]: влечет ли существование гипероднородной модели некоторой теории существовании других гипероднородных моделей этой теории?

Шестая глава диссертации носит вспомогательный характер. Некоторые из результатов этой главы уже упоминались. Результаты этой главы либо дополняют результаты предыдущих глав, либо используются в них, либо как-то связаны с ними. В одном из параграфов главы 6 изучаются модели теории линейного порядка. Получены также некоторые результаты, которые дают ответ на вопрос, заданный автору М.Г.Перетятькиным: является ли понятие однородности абсолютным в теоретико-множественном смысле.

Литература

1. ГОНЧАРОВ С.С. Сильная конструктивизируемость однородных

моделей // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 17, J6 4. - С. 363 - 388.

2. ПАЛЮТИН Е.Л. Спектр и структура моделей полшх теорий // Справочная книга по математической логике. Часть 1. Теория моделей. - М.: Наука, 1982, с. 320 - 387.

3. ПЕРЕТЯТЬКИН М.Г. Критерий сильной конструктивизируемости однородной модели // Алгебра и логика'. - 1978. - Т. 17, # 4. - С. 436 - 454.

4. BALDWIN J.Т. Fundamentals of stability theory. Springer-Verlag, 1988.

5. BALDWIN J.Т., LACHLAN A.H. On strongly minimal sets // J. Symb. logic. - 1971. - V. 36. - P. 79 - 96.

6. JON3SON B.Homogeneous universal relational systems // Math. Scand. - 1960. - V. 8. - P. 137 - 142.

7. KEISLER H.J. Some model-theoretic results for w-logic // Israel J. Math. - 1966. - V. 4. - p; 249 - 261.

8. KEISLER H.J., MORLEY'M.D. On the number of homogeneous models of a given power // Israel J. Math-. - 1967. - V.5, » 2. - P. 7Г - 78.

9. KNIGHT J. Prime and atomic mode]s // J. Symb. Logic. -1978. - V. 43, Ji 3. - P. 385 - 393.

10. CRAIG W. 0-homogeneous relatively universal systems // Notices AMSV - 1961. - 8, 265.

11. LACHLAN A.H. On countable stable structures which are homogeneous for a finite relational language // Israel J. Math. - 1984. - V. 49. - P. 69 - 153.

1?. MILLAR T.S. Homogeneous models and decidability //

Notices AMS. - 1978. - V. 25, A-384.

13. MORLEY M.D., VAUGHT R. Homogeneous universal models // Math. Scand. - 1962. - V. 11, № 1. - P. 37 - 57.

14. PILLAY A. Weakly homogeneous models // Proc. AMS. -1982. - V. 86. - P. 126 - 132.

15. ROSE B.I., W00DR0W R.E. Ultrahomogeneous structures // 1981. - B. 27, it 1. - S. 23 - 30.

16. SHELAH S. finite diagrams stable in power // Ann. Math. Logic. - 1971. - V. 2. - P. 69 - 118.

17. SHELAH S. Stability, the i.e.p. and superstability // Ann. Math. Logic. - 1971. - V. 2. - P. 271 - 362.

18. SHELAH S. Classification theory and the number of non-iisomorphic models. - North-Holland, 1978.

19. 5TEINH0RN C. A new omitting types theorem // Proc. AMS. - 1983. - V. 89, H 3. - P. 480 - 486.

20. VAUGHT R. Prime models and saturated models // Notices MS. - 1958. - 5 , 780.

21. VAUGHT R. Homogeneos universal models оI complete theories // Notices AMS. - 5, 775.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

22. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. О числе однородных моделей // 7-я Всесоюзн. конф. по матем. логике. Тезисы докл. Новосибирск, 1984. - С. 83.

23. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. О вопросах Кейслэра и Морли // Докл.

АН СССР.' 1986. - Т. 291, №2. - С. 292 - 293.

24. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. Об однородных моделях // 8-я Всесоюзн. конф. по матем. логике. Тезисы докл. Москва, 1986. - С. 93.

25. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. Об одной гипотезе Шелаха // Алгебра и логика. - 1987. - Т.26, Л 2. - С. 191 - 203.

26. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. О числе однородных моделей полной теории // Труды Института математики СО АН СССР. - 1988. - Т. 8. - С. 77 - 92.

27. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Я. Элементарные расширения, опускание типов и однородные модели // Алгебра и логика. - 1988. -Т. 27, А 2. - 148 - 171.

28. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж.• Об однородных моделях стабильных теорий // 9-я Всесоюзн. конф. по матем. логике. Тезисы докл. - Ленинград, 1988. - С. 85.

29. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. О расширениях однородных моделей // Алгебра и логика. 1989. - Т. 28, » 1. - С. 61 - 74.

30. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. О числи однородных моделей а>-стабильнгч теорий // Международная конф. по алгебре,

. посвященная памяти Л.И.Мальцева. Тезисы докл. по теории моделей. - Новосибирск, 1989. - С. 66.

31. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. Об однородных моделях тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий // Алгебра

• и логика. - 1991.'

32. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. Однородные модели стабильных теорий // Труды Института математики СО АН СССР. - 1991.

33. КУДАЙБЕРГЕНОВ К.Ж. Об атомных моделях над множествами // Ю--я Всосоюзн. конф. по матем. логике. Тезисы докл. -Алма-Ата, 1990.