О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ярцева Наталия Алексеевна

I

О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением

• 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Авторефереат

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Костин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Литвинов Григорий Лазаревич, доктор физико-математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич

Ведущая организация: Московский государственнй университет

Защита состоится 14 июня 2005 года в 15.40 на заседании диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан « ii » мая 2005 года.

Ученый секретарь < ув-^Г

диссертационного совета l/Aw^/^ Гликлих Ю F

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы общей теории уравнений в частных производных с переменными коэффициентами являются основными в тех случаях, когда тип уравнения меняется в рассматриваемой области. К настоящему времени этому направлению посвящены многочисленные работы.

Так, в известной работе М.И.Келдыша «О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области» впервые рассматривается задача Дирихле для одного уравнения второго порядка эллиптического типа, выраждающегося в уравнение параболического типа на части границы, являющейся характеристическим многообразием для этого уравнения. В дальнейшем, основополагающие исследования по изучению вырождающихся уравнений были получены Ф.Трикоми, В.Феллером, С.Г.Михлиным, М.М.Смирновым, А.Д.Вентцелем, М.И.Вишиком и др.

Фундаментальные результаты в этом направлении были получены воронежскими математиками, где основное место занимают работы В.П.Глушко и его учеников О.М.Смелянского, Ю.Б.Савченко, А.В.Глушака, А.Д. Баева и др.

Одним из главных направлений в теории уравнений с частными производными, является сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Эти методы были применены и для вырождающихся дифференциальных уравнений. С этой точки зрения, сингулярные дифференциальные уравнения разного типа исследовались во многих работах как в нашей стране, так и за рубежом. Так, работа В.П.Глушко «О гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве» (ДАН СССР, 1971 г) посвящена изучению гладкости решений вырождающихся дифференциальных У^^^'ЙХ^Знлд ьн

а(Ои'(/) + В(г)и(0 = /(0 , 0<1/<Г ,в*МИОТЕКА

I

* О» тТиг

ш

с непрерывным при всех ге[0,Г] оператором В(г), действующим в банаховом пространстве Е.

Аналогичный вопрос изучался им для уравнения теплопроводности с вырождением в пространствах Гельдера и Соболева- Слободецкого. Различные результаты, полученные при исследовании вырождающихся дифференциальных уравнений содержатся в обзорной работе В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко « Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка-пространства, операторы, граничные задачи (Итоги науки и техники, 1985 г.)».

При исследовании вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве особое значение имеет изучение коэрцитивной разрешимости соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач. Исследованию таких вопросов посвящены работы С.Г.Крейна и его учеников, а также П.Е.Соболевского, Ю.Т.Сильченко и др. Отметим также работы В.П.Глушко и О.М.Смелянского, в которых устанавливаются коэрцитивные оценки решений вырождающихся дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Настоящая диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости начально-краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов с вырождающимися коэффициентами.

В этих исследованиях важную роль играют спектральные свойства операторов, в частности характер убывая нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Эти результаты позволяют при исследовании параболических уравнений вида

и'(0 = Аи(1) + т

использовать хорошо развитый аппарат теории полугрупп, где основную роль играют позитивные, сильно позитивные операторы А, а также производящие операторы сильно непрерывных полугрупп.

Цель работы. Получение критериев корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с вырождающимся коэффициентом.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результеты являются новыми:

1. Выделены классы К, и К дифференциальных операторов, задающихся дифференциальным выражением

1м = а(х) + и"{х) + Ь(х)и'(х) + с(х)и(х), где х > 0 и коэффициенты а(х)>0,Ь(х), могут обращаться в ноль или бесконечность на концах интервала (0,°о), которые являются производящими операторами полугрупп класса С0 с классическими граничными (дополнительными) условиями типа Сш(0) + /Щ0) = 0 , а2+р2Ф 0.

2. Для и е 1и е й[0,}, где В- пространство непрерывных и ограниченных функций и(х), имеющих предел Ьш и(х), получены оценки вида

\и\(х)1<2Щи\в+У(к)\Ьи\е, где к любое положительное число, а функция У(к) строится по коэффициентам а(х) и Ь{х). Из этой оценки, в частности для I со степенными коэффициентами а(х) = х" и Ь(х) = Ьхр следует неравенство типа «неравенства моментов»

3. Используя полученные результаты, доказана равномерно корректная разрешимость в пространствах непрерывных и ограниченных функций задачи Коши для параболического уравнения вида

— ~ Аи{1), и(0) = % , где оператор А задается дифференциальным А

выражением Ь и соответствующими граничными условиями.

4. Получены оценки на производные решения задачи Коши вида

,а ди дх

5. В эллиптическом случае получена корректная разрешимость в классе L,, 2я- - периодических по у е Я"-1 функций и(г,у) задачи

L[~,a(f)~^{t,y)-= f(f,y);

lim u(t, у) = lim u{t, y) = 0,

где Ц — ,a(t)— I оператор с однородным степени m эллиптическим 8t)

символом е R"~\t е R^.

Весовая функция a(t)> 0 непрерывно дифференцируема (т-1) раз и такая

что, уб1,[0,оо) А - комплексный параметр.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации содержат некоторую новую методику исследования корректной разрешимости начально-краевых задач для эволюционных уравнений и оценки гладкости их решений. Они могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и уравнений с частными производными

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции «Современные методы теории краевых задач», «Понтрягинские чтения - X», Воронеж, ВГУ, 1999; на «Воронежской зимней математической школе», Воронеж, ВГУ, 2002; на конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений», Воронеж, ВГУ, 2003; на конференции «Современные методы теории краевых задач», «Понтрягинские чтения - XV», Воронеж, ВГУ, 2004; на конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных

уравнений», Воронеж, ВГУ, 2003; а также на семинарах кафедры математического моделирования ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [5]. Из совместных работ [1], в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 32 источника. Общий объем диссертации 78 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава содержит необходимые сведения из теории уравнений с частными производными, а также абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Во второй главе с помощью аппарата теории полугрупп исследуется задача Копта для параболического уравнения с вырождающимися коэффициентами . При этом получены достаточные условия, при которых соответствующая задача Коши равномерно корректно разрешима с граничными условиями классического типа. Получены оценки производных для соответствующих решений.

В связи с этим здесь вводятся некоторые характеристики V, и V. операторов Ьи = а(х)и"(х) + Ь(х)и'(х~), где а(х) >0,хе [0,°о).

Определение 2 1.1. Дифференциальное выражение I имеет тип (X е К ) или У_ (X € V ) , если существуют функции

КД*)= вир }ехр| УЛк)= гар/ехр

ИЛИ

соответственно, где

вк . «М '

ск

Ф)

(1) (2)

Г+ (к4) = Щх) + Ь(х), если Ш > * > _<*, а(х)

Т (к,= ка{х)-Ь(х), если <к,, < +оо.

а{х)

Достаточным условием существования функций У_(к) является

отличие от тождественного нуля функций

ГД*)= [ка(х) + Ь(х)], если I € К

Г (Л) = ^(х) - ¿О)], если I е .

Через В[0„) обозначим пространство непрерывных, ограниченных функций

/(х), имеющих конечный предел при *-><», ||/|| = вир |/(х)|.

(¡2 с/

Для дифференциального оператора I = а(х)— +ь{х)~г г,=0,г2=», в

ах ах

диссертации получены следующие теоремы:

Теорема 2 3.1. Если X е К , Г (Л) # 0, то уравнение

Ьы-Ли = / (3)

при любом Л> 0 и / е 5(0 имеет однопараметрическое семейство решений » е В, и для того, чтобы какое-либо из них удовлетворяло неравенствам

М,^ , (4)

(5)

необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялось условие

|«(0)|<;йк

Теорема 2.3.2. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то при любом к >0 имеет место неравенство

+ {к)Щв .

Теорема 2.3.3. Если и е £[0л }(х0 €(0,°о)), то уравнение (3) имеет

единственное решение иеВ' и для него справедливы неравенства (4) и (5)

Теорема 2.3.4. Пусть Ят - область значений функции —-— , тогда если в

К(к)

условиях теоремы 2.3.3. —— е /_[0.,, то уравнение (3) имеет

а(х)

однопараметрическое семейство решений «е Я1 , причем для решений с начальными данными , удовлетворяющими условию

- Яи(0)\ ^ ||/||я,

справедливы оценки

21/»..

где

а) Я> О, если 0 < 8 < М Яг

б) Я > (б), если 3 е Ят.

/7 с1

Пусть Х = в(х)—Т + Ь(х)—, 0<х<со, г > О, А6 - оператор, определяемый с!х сЬс

дифференциальным выражением X и областью определения ЩАг), состоящей из функций ¿(х) , обладающих свойствами

Ьг е В , е € В, Ьт[££ - <%'(*)] = 0, (6 = сопи).

/>(ЛД) плотно в В при любом д. Результаты, полученные для стационарного уравнения, применим к исследованию решения задачи

(6)

<и

и(0, *) = *(*), (веЩЛ,). (7)

Теорема 2.4 1 Если ЛеГ , Ц. .х, ^еДА), то задача (6)-(7) имеет

а(х) 1

единственное решение U(t)g(x) со следующими свойствами:

а) и - сильно непрерывная полугруппа операторов;

б) 8ир„м|и(/,х)|<ехр(в*)||£|| ;

sup «(o.«)i

du{t,x)

dx

¿|еХр(а*)[|ММ4!> (g)

о

где

imax((St,0), еслиО < S < inf RT; co = {

{бТ-\б),еслп6 RT

Теорема ?.4.2 Если в условиях теоремы 2.4.1. то задача Коши

(6)-(7) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию limu'(t,x) = 0 и для его производной справедлива оценка

И» (9)

Пример Применим полученные результаты к исследованию задачи Коши

^ = Au(t), (10)

at

m=g, (")

где t > 0 , оператор А задается дифференциальным выражением

L = xa ~ + bx-f — ,хе[0,оа) dx dx

и областью определения£>(Л) = {и • и е B^,Lu е s const, 0<а <1 , /3 е R',

g<=D{A).

Определение 2 12 Решением задачи (10)-(11) будем называть функцию и(г,т) такую, что при каждом t > 0 u(t,x)eD(A) , непрерывно дифференцируемую по г , удовлетворяющую уравнению (10) и такую, что

lim||i/(/,*)-gW||s =0.

Очевидно, что если > 0 , Ъ> 0 ,то , если же /3 > 0 , 6 < 0 , то I <= V

При этом К (А) = , К = , где

ТЛк)

Т.(к)

\Ъ\*

а+р I ■ к"*'.

а" ■ р*

Теорема 2.5 1. Если 6>0, />0 и а + /3>\, то задача (10)-(11) имеет

.1

10.)

Ф41;Х)

единственное решение «О,*) е В1 , при каждом (>0 и справедлива оценка

dx

(12)

Теорема 2.5.2. Если в условиях теоремы 2.5.1. Ь <0 и ал р <Л , то для решения задачи справедлива оценка

dx

S С (а,

1-а

■IML'

где

a

С(а,/3) = sup |ехр[жь

"|0.«)о

lífa

Пример о точности полученных оценок.

X. Брезисом, В. Розенкранцем и Б. Зингером в случае оператора

I. - х + Ь~ , А > о для производной —решение задачи (10) - (11) получена сЫ <& <&

оценка

II Л 1л й

В этом случае I е , причем К (0) = —5—= | и, следовательно, из (12) имеем

Гд0) Ь

неравенство

du

dt

(13)

Оказьшается, что константа в неравенстве (13) точная.

В третьей главе изучается эллиптическая задача г/. 5 3 , 8 , . .д?. Й , , д2у

d2v

п-1

£ akm(t.y)-

k т-1

vL=vL=°

— qv = f(t, у)

(И) (15)

в области Gn={(t,y)-Q<t«x>,y = (yx,y2, ,j>Jeß„_,}, где

¡2„_i = {-я-<у <л,j = \,2,...,п-\)- ограниченная область в Е"'}, функция vf t,y) периодическая по у о периодом In, q -комплексный параметр. Предполагается, что коэффициенты оператора L удовлетворяют следующим условиям.

Условие I. Коэффициенты akm(t,y)e.Ci((Q,<x)xQll__lJ,(l<k, rn<nj

удовлетворяют условиям:

Нт апп(t,y) = 0; lim \xm(t,y\ = оо. (-»+0 /-»+00

Условие II. При всех t е (0,оо), у е и любых комплексных £ = ( существует такое v0 > 0, что квадратичная форма

к,т= 1

удовлетворяет условию

где

Reg(t,y,4)>v0|<ff ,

актО'У)

У km

\акк(^'У) | \атт

(\<к,т<п).

Условие 1П. Существует функция а(1),1 & (0, со) положительная при всех ? > 0, а^еС2^,1»^ удовлетворяющая условию

"с Ж

-<00,

¿«г*;

причем при всех у е

\апп01у)\ = сс20)(\ + о«,у)), где о(1,у) 0 при г —> О равномерно по у е (¿„^.

Условие IV. Существуют константы к0 >0, к{> 0, такие что для всех / е С0,<х>) и для всех у е выполняются следующие неравенства: \апп(1,у)\>к0а2(1), \акк(1,у)\>к0, =

п-1

S

*=!

I

т=1

öank(t,y)

dajjt.y)

\aJt,y)\, J = \,n-\

Теорема 3 2.1 Пусть актО,у;е.С{((0,«>)х(2п_1), \<к,т<п, выполнены условия 1-1У, /(¡,у)е Ь2((0,со)хдп ]). Тогда при

д^\д\е'в, 0<в<~, В.ец > > 0, для любого решения задачи (14)-(15) справедлива оценка

ау|!2

ar-

dí

h(0„) г

Y —

+ Цду

h(G„) v 0 0 ^

l/ll

2

В § 3.3 рассматривается линейный дифференциальный оператор д д д д , Т. 8 д

дУг fyn-\ dt & dt в области Gn = Tq~x х R+, где Т^ = е R"~\\y j\< я;, j = \,п -1}, = f0,+°oj,

с однородным степени ш эллиптическим символом tjJ, f ей""', tjgR+. Весовая функция а(t) удовлетворяет следующим условиям

а^/;бС°~У0,+ооЛ а^;>0при/>0. (16)

В точках f = +0 и i = +oo функция af/y может стремиться к нулю или бесконечности, однако при этом функция \/a(t) имеет интегрируемую особенность в нуле и существует конечный предел

J(оо; = lim J(t); J(t ) = \-dS

¥ V _1_лл » У

¿a(s)-

Рассмотрим функцию yn(t) = yJ(t) = y f ^ ,

¿a(s)

удовлетворяет условию

yj( <я) = я.

(17)

где постоянная

У

Изучается задача с комплексньм параметром Л еС в классе

периодических (с периодом 2к) по у е R"'1 решений уравнения

L(~,a(t)ÍL)u-Xu = f(t,y), (í,y)eGn ay at

при условиях

hm u(t,y)= lim u(t,y) = 0, yeT¿

t—>+0 /->+c0

n-1

(18) (19)

Преобразуем задачу к виду

U^-,Da,p)ua -Xua =fa(t,y), (t,y)eGn ду

при условиях

lim awp(t)uai't,y)= lim ax/p(t)ua(t,y)~Q, (21)

где

Dayp^aVp'(t)~a'/pft), (\<p<n,\/p + \/p' = \), ua=a-Up(t)u(y,t), * dt

fa=au"(t)f(y,t).

Определение 33 1 Через L*p(T"'x ® R+) (\< р<ж) будем обозначать пространство 2л - периодических по у е R"~x функций ua(y,t), интегрируемых по модулю в степени р (\ < р < ао) на любом множестве Т"~] ® R+ C.R", где

Т"~] = {у \yj -öj <a,j = \,n-\).

В качестве нормы в Üp(T"'x <8>R+) можно взять

Kll„=j] hJy.t^dyd)^ . (22)

Наряду с пространством Ü (Т"~х ®R+) введем весовое пространство Ь'ра(Т"~] ® R+

) функций u(y,tj, таких что иа = а p(t)и(y,t) принадлежит L*p(T"'x ®R+J. Норму в L"pa(Tn~] ® R+) определим равенством

Hpa=VVpO)u\r\\ua\\p.

Будем обозначать через Gap и G'a 'р операторы

GaJu(y,t)] = aVp(t)u(y,tj\ = v(y,yn),

l t—t( y„)

G->p[v(y,y„)J =cc-Wp(t)v(y,y„(t)) = ua(y,t), где t = t(yn) - функция, обратная функции y„=y„(t), 1 <р<ж.

Оператор Ga осуществляет изоморфизм пространств L'p(T"~] ® R. J и rp(T"'®(0,7cj). Очевидно, что

Ga.PlDi^uah[r-^ GaJua\ у' = 1,2,. .,

После применения оператора Ga р и простых преобразований задача (20)-(21) сводится к задаче

д Л

L(-^,r^-)v'Äv = g(y,yn), уеТп-\0<уп<я (23)

ду ду„

lim v(y,yn)= lim v(y,yn) = 0 . (24)

Обозначим через Ъ(у,уп) нечетное продолжение по уп функции у, уп) на интервал уе(-ж,0) и аналогичное продолжение функции у,у„ ) обозначим §(у,у„). Тогда задача (23)-(24) может быть сведена к нахождению периодического (с периодом 2ж ) по переменным (у,уп) решения уравнения

Ц~.г~)1-Ж = ё(у,уп), У.УяеТ\ (25)

ду ду„

Решение задачи (25) будем искать в виде

у(у.у„)=

(И»)

где 1у = + 12у2 + Для функции §(у,у„) е Ьр(Т" ) используется

аналогичное представление. Тогда для выполнения (25) достаточно потребовать, чтобы

(ЦПЛА ) - 1п =!„__. |/„| >0, V, 0 = |,>0 = О . (26)

Разрешимость (26) основана на выполнении следующего требования

Условие А. При любых и Я = ре,(0+тп/2>, р>0,

\в\ < п - е, е > 0, многочлен Т]) — X не обращается в нуль при

|£|2 + 772 + р2/т >0.

Утверждение 1. Пусть выполнено условие А. Если для всех

Ф(1,1„,Л) вьтолняется неравенство

.зсг ^/в)

({,?])eR",AeC для функции (4,Т],А) = ~

при любых а = {а1,а2,. ,а„ ¡.«„}, где а] =0 или 1,7 = 1,п, тогда для любого тора Т" при |сг| + а„ < т справедлива оценка

( т-\сг[-ап)/т

-Т

ду)

ду„

<KpC„„Jg\\

WL/T") '

ILP(T")

где постоянная К > 0 зависит от р.

Теорема 3,3.1 Пусть 1<р<к> и для a(t) выполнены условия (16)-(17). Тогда при выполнении условия А для любой функции

/(y,t) е L* (Т""1 ® R+) существует единственное решение и(ул) задачи (18)-(19), причем справедлива оценка:

у m-jir'-cr^ )! m ¡ai+cr„im

где X = ре"влтп'г>, p> О, \в\ <n-e, £>0. Постоянная C>0 зависит от т,п,р,в.

Публикации по теме диссертации

1. Ярцева H.A. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp / Глушко В.П., H.A. Ярцева. - Мат. заметки т.63, вып. 4, 1998. с.628-632.

2. Ярцева H.A. О спектральных свойствах граничной задачи для одного класса эллиптических уравнений второго порядка с вырождением / H.A. Ярцева. - Тезисы докладов конференции «Понтрягинские чтения -X» -Воронеж, ВГУ, 1999. с.274.

3. Ярцева H.A. Об одном вырождающемся дифференциальном уравнении в гильбертовом пространстве / H.A. Ярцева. - Тезисы докладов конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках».-Воронеж, ВГУ, 2000. с.239.

4. Ярцева H.A. О гладкости решений обратного уравнения Колмогорова с оператором Феллера / H.A. Ярцева. - Труды Воронежской зимней математической школы - 2004, Воронеж, ВГУ, 2004. с. 199-205.

5. Ярцева H.A. О гладкости решения задачи Коши для уравнения Колмогорова с оператором Феллера / H.A. Ярцева. - Материалы Воронежской зимней математической школы. 2005, Воронеж, ВГУ, 2005. с.259-260.

Заказ Ш5&5 от 40.S~ 2005г Тираж-^й7 экч Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

РНБ Русский фонд

2006-4 7733

г

Оглавление

Введение

Глава I. Элементы теории эволюционных уравнений.

§1.1. Основные обозначения и определения

§1.2. Эллиптические операторы

§1.3. Оператор-функции и полугруппы.

§1.4. Позитивные операторы и неравенства.

§1.5. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Глава II. Уравнение параболического типа с оператором Келдыша - Феллера.

§2.1. Некоторые характеристики оператора L.

§2.2. Интегральные тождества

§2.3. Исследование решений стационарного уравнения на полуоси —

§2.4. Применение к эволюционному уравнению.

§2.5. Примеры

Глава III. Эллиптическая периодическая задача с вырождением

§3.1. Пространства периодических функций.

§3.2. Эллиптический оператор с вырождением по одной переменной. Оценка первых производных решений

§3.3. Об одной эллиптической задаче с вырождением в Lp.

§3.4. Решение периодической задачи.

§3.5. Существование решения задачи (3.3.4),(3.3.5).

Вопросы общей теории уравнений в частных производных с переменными коэффициентами являются основными в случае, когда тип изучаемого уравнения меняется в рассматриваемой области. И этому направлению посвящены многочисленные работы.

Так, в известной работе М.В.Келдыша [10] впервые рассматривается задача Дирихле для уравнения второго порядка эллиптического типа, вырождающегося в уравнение параболического типа на части границы, являющейся характеристическим многообразием для этого уравнения.

Основополагающие исследования по изучению вырождающихся уравнений проведены Ф.Трикоми, В.Феллером, В.И.Смирновым, С.Г.Михли-ным, М.И.Вишиком и др.

Фундаментальные результаты в этом направлении получены воронежскими математиками, где основное место занимают работы В.П.Глушко и его учеников О.М.Смелянского, А.В.Глушака, Ю.Б.Савченко и др.

Развивая одно из главных направлений в теории уравнений с частными производными, такое, как сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, были применены эти методы и для изучения вырождающихся уравнений. Здесь весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве.

С этой точки зрения сингулярные дифференциальные уравнения исследовались во многих работах как в нашей стране, так и за рубежом.

Так, работы В.П.Глушко посвящены изучению гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений вида с непрерывным при всех t Е [О, Т] оператором B(t), действующим в банаховом пространстве Е.

Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко [8].

В используемой методике особое значение имеет коэрцитивная разрешимость соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач, а также позволяет исследовать нелинейные задачи и задачи с возмущением.

Исследованию этих вопросов посвящены работы С.Г.Крейна и его учеников, а также работы П.Е.Соболевского, В.П.Орлова, В.П.Глушко, О.М.Смелянского и др.

В этих исследованиях важную роль играют спектральные свойства операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Эти результаты позволяют при исследовании, например, уравнений параболического типа вида использовать хорошо развитый аппарат теории полугрупп, где основную роль играют позитивные, сильно позитивные операторы, а также произa(t)u\t) + B(t)u(t) = f(t), 0 < t < Т,

0.1) u'(t) = Lu{t) + f(t)

0.2) водящие операторы сильно непрерывных полугрупп.

Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости начально-краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов с вырождающимися коэффициентами.

Работа состоит из введения и трех глав.

• Первая глава содержит необходимые сведения из теории уравнений с частными производными, а также абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Основные результаты содержатся во второй и третьей главах.

Во второй главе с помощью аппарата теории полугрупп исследуется задача Коши для параболического уравнения вида

Чг1=+"M^tr1+^ = ^ и(:с,0) = д{х), (—оо < ri < х < Г2 < +оо). (0.4)

Как известно, в связи с этим уравнением В.Феллером и А.Д.Вентцелем дано полно описание всех дополнительных (граничных) условий, совместно с которыми оператор, заданный дифференциальным выражением L из (0.3), является генератором полугруппы класса Со в пространствах непрерывных и ограниченных на интервале —oo<ri<x<r2< +со функций и(х) с нормой

11/11= sup |/(*)|. хе(гьг2)

При этом выяснилось, что эти условия могут носить нелокальный характер, и, следовательно, классические условия вида аци'(п) + Аи(г<) = 0, (г = 1, 2) (0.5) могут не иметь смысла.

В [27], [28] рассматриваются частные случаи оператора L вида

L\u = т(х)[(х — а){(3 — х)и"х) + Ь(х)и'(х)],

0.6) и'(х) ,

0.7) где гп(х), Ъ(х) - действительные положительные функции на ограниченном отрезке [а,/3]. Кроме того, функция Ь(х) удовлетворяет условию Гельдера на концах отрезка [а,(3].

В этих работах исследовался вопрос о поведении решения задачи Ко-ши в окрестности границы. Однако вопрос об оценке производных решения сответствующей задачи Коши в них не рассматривался.

Для весьма частного случая а(х) — х, Ь(х) = 6 = const > 0 в [26] получена оценка на производные решения задачи Коши вида

В диссертации вводятся некоторые характеристики V+ и VL операторов Lu = а(х)и"(х) + Ь(х)и'(х), где а(х) >0,жб [0, оо).

Определение 2.1.1. Дифференциальное выражение L имеет тип V+, (L G V+) или VL, (L G V), если существуют функции

0.8)

0.9) или

0.10) Ч соответственно, где Т+(к,х) = ка(х) + Ь(х), если ^^ > ко > — оо, и T(fc, ж) = ка(х) - 6(х), если ^ < ко < оо.

Достаточным условием существования функций V+(k), V-(k) является отличие от тождественного нуля функций:

Т+{к)= inf [ка{х) + b[x)], если L G V+, х€(0,оо)

Т-(к) = inf [ка{х) - Ь(х)], если LeV1. х€(0,оо)

Для дифференциального оператора L = а(х)-£з + ri = О, Г2 = оо, в диссертации получены следующие теоремы:

Теорема 2.3.1. Если L е VI, Т-(к) ^ 0, то уравнение

Lu — \и = f (0.11) при любом Л > 0 и / Е23[о,оо) имееет однопараметрическое семейство решений и £23, и для того, чтобы какое-либо из них удовлетворяло неравенствам

IMIb < Ц^, (0.12)

II»'»» < 2[ЛГ-Л(Л)1"||/1к (0.13) необходимо и достаточно, чтобы для него

Ц0)| < М» л

Теорема 2.3.2. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то при любом к > 0 имеет место неравенство

IKII® < 2&||и||<в + V-(k)\\Lu\\<s- (0.14)

Теорема 2.3.3. Если L G V+ и £ [о,х0]> ( хо £ (0» )> то уравнение (0.11) имеет единственное решение и еЯЗ1 и для него справедливы неравенства (0.12) и (0.13).

Теорема 2.3.4. Пусть Rt - область значений функции уцщ, тогда, если в условиях теоремы 2.3.3 6 £ [0, жо], то уравнение (0.11) имеет однопараметрическое семейство решений и G031 , причем для решений с начальными данными, удовлетворяющими условию

5иЩ - Л«(0)| < и/Ню, справедливы оценки

11 л® м»< Л

91

WW* <

2Ц/11» где а) Л > 0, если 0 < 5 < inf Rt; б) Л > 8Т^(6), если S е RT;

Для дифференциального уравнения ди ,

Yt = А**, (0-15) и(Ъ,х)=д(х), (0.16) где As - оператор, определенный дифференциальным выражением Lu = Г1 = 0, Г2 = оо, и областью определения D(A$), состоящей из функций д{х) таких, что

ЬдеЪ, \im[Lg-5g'{x)}'=0.

Справедлива

Теорема 2.4.1. Если L 6 |} ££[0,я0], 9 е D(AS), то задача (0.15),(0.16) имеет единственное решение u(t) = U(t)g со следующими свойствами: а) U(t) - сильно непрерывная полугруппа операторов; б) suPx6[0,oo) < sup х€[0,оо) du{t, x) дх -exp{ut)[\\Lg\\<B + и\\д\\ъ].

Теорема 2.4.2. Если в условиях теоремы 2.4.1. е£[0,ссо], то задача (0.15)^(0.16) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию Иго^о u'x(t, х) = 0, и для его производной выполняется оценка ди дх т£[2%||в + ^+(А:)||Ь«||»]. g fc>l)

В § 2.5 расматриваются некоторые конкретные примеры приложения полученных результатов.

Пусть оператор А задается дифференциальным выражением L — хаШ> + х £ [0) и областью определения

D(A) = {и: и €.©[o|0o)j Lu g ©[о|0о), Ь = const, 0 < а < 1, 0 е R\g е D{A).}

Рассматривается задача Коши du(t) Au{t).

2.5.1)

2.5.2) dt

0) = g.

Определение 2.5.1. Решением задачи (2.5.1)- (2.5.2) будем называть функцию u(t, х) такую, что при каждом t > 0 u(t, х) G D[A) непрерывно дифференцируема по t, удовлетворяющую уравнению (2.5.1) и такую, что lim ||u(£, ж) -0(я)||в = 0.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Если Ь>0и/3>0на + {3> 1, то задача (2.5.1)-(2.5.2) имеет единственное решение u(t, х) gSSjqJx,) при каждом t > 0 и справедлива оценки du(t, ж) дх а+0 а+20 c(a,l3)\\9\m\Lg\\%

Теорема 2.5.2. Если в условиях теоремы 2.5.1. /3<Оиа + /3<1, то для решения задачи (2.5.1)-(2.5.2) справедлива оценка du(t, х) дх

1-а

05 с{а}Р)Ь^\\Ьд\\ъ где с(а,/3) = suPse[0iOo) f exp [xl~^a - s1"^]

В [26] в случае оператора L = х-^ + b-^, b > 0 для производной решения задачи (2.5.1)-(2.5.2) получена оценка ди du(t, х) дх

2\\Lu\\ в

Ш Ь

Из результатов, полученных в диссертации, в этом случае следует оценка du(t, х) дх Lu\

03

93 и показывается, что константа 1/6 точная.

В третьей главе рассматривается эллиптическое уравнение с существенно переменным коэффициентом по одной переменной t € (0,оо), стоящим при производных по этой переменой. Предполагается, что этот коэффициент положителен при всех t £ (0, оо), слабо вырождается при t -> 0+ и достаточно быстро стремится к оо при t —> +00. По остальным переменным у = (2/1, •••2/n-i) £ Rn~l предполагается периодичность с периодом 2-7Г.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть у) G С*((0, 00) х Qn~i), 1 < к,т < п, выполнены условия (3.2.5)-(3.2.9), f{t,y) G .^((О, 00) х Qn-i). Тогда при q = \q\el9, 0 < \9\ < 7г/2, Req > qo > 0, для любого решения задачи (3.2.10)-(3.2.11) справедлива оценка а dv dt п-1 £ i=i dv dyj (Req)2\\v\\2 < 2 +

3.2.12)

Теорема 3.5.1. Пусть 1 < p < 00 и a(t) удовлетворяет (3.3.1). Тогда при выполнении условия А для любой f{y,t) 6 L*pa{Gn) существует единственное решение u(y,t) задачи (3.3.4),(3.3.5), причем справедлива оценка

Е р

М+сгп<т т-\а\-ап)/т

JT My. а ( д\°п ( г) д\ НУ и^<Сь(-МЬ)Ш)и-Хи

3.5.1) где Л = ре1(0+тп/2\ р > 0, |0| < -к — е. Постоянная С > 0 зависит лишь ОТ 771, п,р и в.

Условие А в теореме 3.5.1 имеет вид

При любых К, 77) £ Rn И А = р^+ттг/^ р > О, |6>| < 7Г - £ > 0 многочлен L{j~,r)) — Л не обращается в ноль при |£| 2 + г]2 + р2/т > 0.

1. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. - М. : Мир, 1965. -276 с.

2. Вентцель А.Д. Полугруппы операторов, соответствующие обобщенному дифференциальному оператору 2-го порядка / А.Д. Вентцель. ДАН СССР. -№1Ц, 1956, С. 269 -272.

3. Вентцель А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А.Д. Вентцель // Теория вероятностей и ее приложения. Т. 4, вып. 2,1959.-С. 172-185.

4. Глушко В.П. Линейные дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. -Воронеж : ВГУ, 1972. 193 с.

5. Глушко В.П. О вырождающихся линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве / В.П. Глушко, С.Г. Крейн. ДАН СССР. -181, №4, 1968.-С. 784-787.

6. Глушко В.П. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp / В.П. Глушко, Н.А. Ярцева. Матем. заметки, Т. 63,вып. 4, апрель 1998, С. 628 - 632.

7. Глушко В.П. / В.П. Глушко, О.П. Малютина. Тр. матем. ф-та № 1.Воронеж : ВГУ, 1997. С. 29 -34.

8. Глушко В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи / В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко. Итоги науки и техн. Матем. анализ. - Т. 23. М. : ВИНИТИ, 1985.-С. 125-218.

9. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972. - 496 с.

10. З.Костин В.А. О гладкости решений некоторых уравнений параболического типа /В. А Костин. -Диф. уравнения. -Т.ХН,№ 8, 1976.-С. 1495- 1506.

11. Костин В.А. Об одном эволюционном уравнении с вырождением / В.А. Костин.-Диф. уравнения.-Т.Х,№ 9, 1974.-С. 1607- 1615.

12. Костин В.А. О равномерно корректной разрешимости краевых задач для абстрактных уравнений с оператором Келдыша Феллера / В.А. Костин. - Диф. уравнения. -Т. 7, 31, № 8. - С. 1419 - 1425.

13. Костин В.А. К теореме Соломяка Иосиды для аналитических полугрупп / В.А. Костин. - Алгебра и анализ.- Т. 11, вып. 1, 1999. - С. 118 -140.

14. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский и др. М. : Наука, 1966. -499 с.

15. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

16. Люстерник А.А. Элементы функционального анализа/ А.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Наука, 1965.-517 с.

17. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин. -Вестник ЛГУ.- №8,1954. С.19 - 48.

18. Орлов В.П. Сингулярно вырождающиеся дифференциальные операторы высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом / В.П. Орлов. Диф. уравнения. - Т. XII, № 2, 1978. - С. 272 - 280.

19. Феллер В. Параболические дифференциальные уравнения и соответствующие им полугруппы преобразований / В. Феллер. -Математика, 1:4, 1957.-С. 105- 153.

20. Функциональный анализ / под ред. С.Г. Крейна. М.:Наука, 1979. - 418 с.

21. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 829 с.

22. Brezis Н. On a degenerate elliptie-paraboli equation occuring in the theorery of probability / H. Brezis, W. Rosenkratz and B. Singer Comm.on pur appl., math., Vd. 24, 395-416, 1971.

23. Metafiine G. Analyticity for sume degenerate one dimen - sional evolution equations / G. Metafune, Studia mathematica, 127 (3) (1998), p. 251 - 276.

24. Campiti M. One Dimensional Feller Semigroups with Reflecting Barriers / M. Campiti, G. Metafune and Pallara D. Journ of Mathem. Analysis and Applic. ООО 1 - 18 (2000).

25. Ярцева H.A. О спектральных свойствах граничной задачи для одного класса эллиптических уравнений второго порядка с вырождением / Н.А. Ярцева. Сб. «Понтрягинские чтения — X», тез. докл. - Воронеж : ВГУ, 1999.-С. 274.

26. Ярцева Н.А. Об одном вырождающемся дифференциальном уравнении в гильбертовом пространстве / Н.А. Ярцева. Сб. «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках», тез. докл. -Воронеж : ВГУ, 2000. - С. 239.

27. Ярцева Н.А. О гладкости решений обратного уравнения Колмогорова с оператором Феллера / Н.А. Ярцева. Труды Воронежской зимней математической школы - 2004. - Воронеж : ВГУ, 2004. - С. 199 -205.

28. Ярцева Н.А. О гладкости решения задачи Коши для уравнений Колмогорова с оператором Феллера / Н.А. Ярцева. Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж: ВГУ, 2005. -С. 259-269.