Сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи УДК 517.9

Л/-

003464990

Скрябин Максим Александрович

СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва—2009

003464990

Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения и математическая физика» Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Скубачевский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Власов,

Защита диссертации состоится 14 апреля 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая,

доктор физико-математических наук, профессор Б. Ю. Стернин.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

д. 6.

Автореферат разослан

марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Г. А. Калябин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

В диссертации изучаются сильно эллиптические функционалыго-диф-ференциальные уравнения и их применение к исследованию нелокальных краевых задач.

Нелокальные эллиптические краевые задачи возникают в теории многомерных диффузионных процессов123'156, теории плазмы7, стохастической теории управления8 и т. д. Решения этих задач могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения границы91011. Поэтому естественно рассматривать такие задачи в весовых пространствах. Вышеупомянутые пространства были введены для исследования эллиптических задач в областях с угловыми точками и ребрами12. Если преобразование переменных в нелокальных членах порождает конечную группу на множестве точек сопряжения (условие Карлемана), то специальное разбиение единицы позволяет свести нелокальную эллиптическую краевую задачу в ограниченной области Q с R", n ^ 3, к нелокальной эллиптической задаче в двуграшюм угле.

Для исследования нелокальных краевых задач может использоваться теория сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Если некоторая функция удовлетворяет условиям Дирихле, то после применения функционального оператора соответствующая функция будет удовлетворять нелокальным краевым условиям и наоборот (если этот

1Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations// Ann. Math. - 1952. - T. 55. - С. -168-519.

2Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теория вероятн. и ее примен. - 1959. - Т. 4. - С. 172-185.

3Sato К., Ueno Т. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. - 1965. - T. 4. - C. 529-605.

4Скубачевский A. Jl. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. — 1989. - Т. 307, № 2. ~ С. 287-291.

5Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. - 1995. - T. 3, № 3. - C. 327-360.

6Galakhov E.. Skubachevskii A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integro-difierential boundary conditions// J. Differ. Equations. — 2001. — T. 176. — C. 315-355.

7Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. - 1969. - Т. 185. - С. 739-740.

sBensoussan A., Lions J.-L. Impulse control and quasi-variational inequalities. — Paris: Gauthier-Villars, 1984.

9Скубачевский A. JI. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. — 1986. -Т. 129(Г. 171), № 2. - С. 279-302.

10Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. - 1990. - Т. 26. - С. 119-131.

11Скубачевский А. Л, О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. — 1991. - Т. 27. - С. 128-139.

12Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или

угловыми точками// Тр. ММО. - 1967. - Т. 16. — С. 209-292.

функциональный оператор обратим). Таким способом исследуется однозначная разрешимость нелокальных краевых задач в двугранных углах, которые возникают в качестве модельных задач в теории нелокальных краевых задач.

Первый результат о сильной эллиптичности для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был получен М. И. Ви-шиком13. Для получения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами Л. Гординг14 использовал разбиение единицы и «замораживание» коэффициентов.

Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы рассматривались А. Л. Скубачевским15. Для дифференциально-разностных уравнений А. Л. Скубачевский взял выполнение неравенства типа Гордин-га в качестве определения сильной эллиптичности. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений оказалось непростой задачей. Им было показано, что неотрицательность символа дифференциально-разностного оператора не влечет за собой выполнение неравенства Гординга (как в случае дифференциальных операторов в частных производных). Это связано, в частности, с тем, что преобразование сдвига не отображает ограниченную область на себя. В случае соизмеримых сдвигов А. Л. Скубачевский получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений в терминах положительной определенности некоторых матриц.

Используя теорию банаховых алгебр, Л. Е. Россовский16 получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для функционально-дифференциальных операторов с преобразованиями растяжения и сжатия аргумента. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованиями, отображающими область на себя, рассматривались А. Б. Антоневичем17.

viBuiUUK М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. со. — 1951. — Т. 29 (71), № 3. - С. 615-676.

uGäräing L. Dirichlet's problem Tor linear elliptic partial differential equations// Math. Scand. — 1953. — T. 1. - C. 55-72.

10Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1997.

16Россовский Л. E. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. — 1996. - Т. 59, № 1. - С. 103-113.

17Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. — Минск: Университетское, 1988.

Цель работы

Целью работы является изучение следующих вопросов:

1. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности для достаточно широкого класса функционально-дифференциальных уравнений с произвольными преобразованиями аргумента.

2. Исследование разрешимости сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений.

3. Применение теории сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений для исследования нелокальных эллиптических краевых задач.

Основные результаты. Научная новизна

1. Построено специальное разбиение единицы и доказана теорема о «локализации», которые позволяют исследовать сильную эллиптичность функционально-дифференциальных уравнений, используя вспомогательные (модельные) задачи с «замороженными» коэффициентами.

2. В случае, когда группа преобразований не содержит преобразований (за исключением тождественного), имеющих неподвижные точки в области, и орбиты точек конечны, получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, которые записываются в виде положительной определенности некоторых матриц.

3. Если группа преобразований имеет неподвижную точки в области и конечна, получены достаточные условия сильной эллиптичности. Если, кроме того, группа преобразований топологически свободна, то найденные достаточные условия являются и необходимыми.

4. Исследована однозначная разрешимость нелокальной задачи в двугранном угле с помощью ее сведения к функционально-дифференциальному уравнению с оператором поворота.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях линейных нелокальных эллиптических и параболических задач и краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на. семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (ТУ) под руководством профессоров А. А. Амосова и Ю. А. Дубинского, на семинаре кафедры

математического анализа МГУ под руководством профессоров В. В. Власова, А. Г. Костгоченко, К. А. Мирзоева, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ под руководством профессоров В. В. Жико-ва, А. С. Шамаева и Т. А. Шапошниковой, на семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ под руководством профессора В. Г. Звягина, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДЫ под руководством профессора А. Л. Ску-бачевского. Результаты диссертации докладывались также на Четвертой и Пятой Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2005, 2008; Воронежской зимней математической школе, Воронеж, 2004; Крымских осенних математических школах-симпозиумах, Симферополь, 2004, 2008; Х1Л1, ХЫН и XL.IV Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 2006, 2007, 2008.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 2 статьи в научных журналах и 6 тезисов докладов на международных конференциях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (46 наименований). Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

В главе 1 диссертации изучаются функциональные операторы в ограниченных областях. Так как функциональные операторы, вообще говоря, нелокальные, то нельзя рассматривать функционально-дифференциальные уравнения в окрестности какой-либо одной точки области. Необходимо рассматривать их также в окрестностях точек, связанных с исходной точкой отношением эквивалентности 71 (которое строится в работе). Данное отношение эквивалентности позволяет ввести специальную топологию, играющую важную роль при исследовании функционально-дифференциальных уравнений.

В главе 2 диссертации исследуются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов, а также свойства решений краевых задач для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов. Строится разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов и доказывается теорема о «локализации», которая позволяет исследовать сильную эллиптичность для вспомогательных (модельных) задач. Рассматривается две вспомогательные задаче: одна — без неподвижных точек, другая—для неподвижной точки. Для модельных задач получены необхо-

димые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. Вводится определение обобщенного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения и изучается вопрос о разрешимости и спектре такой задачи.

В главе 3 диссертации исследуются нелокальные краевые задачи с помощью сведения к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. Изучается вопрос о возможности сведения такой нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению, Получены необходимые и достаточные условия возможности такого сведения. Рассматриваются формально сопряженные задачи для нелокальных краевых задач и исследуется вопрос о связи формально сопряженных задач и функционально-дифференциальных уравнений. Получены достаточные условия однозначной разрешимости нелокальных краевых задач в двугранных углах.

Глава 1. Функциональные операторы в ограниченных областях

В главе 1 диссертации изучаются функциональные операторы в ограниченных областях.

Пусть б — некоторая группа бесконечно дифференцируемых преобразований 1йп. Группа 0 не предполагается коммутативной и конечной.

Пусть С} — ограниченная область в К". Обозначим через £2(<Э) ПР°~ странство комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу.

Для каждого преобразования д € 5 введем оператор сдвига Тд: Ьг(<Э) —► Ь2(<2), действующий по формуле

При определении оператора Тд необходимо учитывать, что, вообще говоря, преобразование д(х) не отображает область ф на себя, и поэтому мы продолжили функцию и(х) нулем вне <3. Введем также алгебру (ограниченных) операторов, порожденных множеством операторов {Тд}<)еб' ^ обозначим ее через Т. Рассмотрим множество

си<Э) = £Мд,к) = {1гес(д,к) = [<М = о чфы}, (1.1)

Через [-,'■] мы обозначили коммутатор двух операторов из Б(£2(<3)) (здесь и далее функцию из С{С2,Щ и ограниченный в 1^(<Э) оператор умноже-

Содержание работы

д{х) £ <Э,

ния на эту функцию мы будем обозначать одним символом). Множество СУ(<3) является замкнутой подалгеброй алгебры С(<2, М).

Введем на х СЦ следующее отношение 11:

[х,у)е П <=*■ Ут?еСЖ>) Г1(х)=т1{у), т. е. (х, у) € К справедливо тогда и только тогда, когда алгебра СУ(<2) не различает точки а; и у. Легко видеть, что отношение Л является отношением эквивалентности и поэтому порождает разбиение множества <5 на классы эквивалентности. Через И{х] будем обозначать класс эквивалентности, в который входит точка х £ <3, а через ЩМ], где М С (5, будем обозначать множество точек из ф, которые К-эквивалентны точкам из М, т. е. П[М] = {г е О : Э у еМ (х, у) € К}.

Теорема 1.1. Существует взаимно однозначное соответствие между максимальными идеалами алгебры Ср{0) и элементами фактор-пространства <5/7£ = {Щх\}каждый максимальный идеал алгебры СУ(<3) может быть записан в виде

1м = {»? е Сг@) : ф) =0,х е.М} (1.2)

для некоторого М € (¿/11.

Теорема 1.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между фактор-пространством СЦИ и пространством максимальных идеалов алгебры С?{0). Это взаимно однозначное соответствие является гомеоморфизмом, если на фактор-пространстве К введена фактор-топология, а на пространстве максимальных идеалов — топология Гельфанда (обозначим ее через 7).

Введем на (2 топологию Т следующим образом: и 6 Т тогда и только тогда, когда 7Z[U] е 7 (таким способом мы переносим топологию 7 из (¡/И на <2). Полученная топология Т компактна, но в случае СУ((2) ф С [О] нехаусдорфова.

Так как пространство максимальных идеалов является хаусдорфовым и компактным, то для него справедлива лемма Урысона. С ее помощью строится специальное разбиение единицы, которое позволяет использовать теорему о «локализации» (см. главу 2).

Глава 2. Краевые задачи для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов

В главе 2 диссертации исследуются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов, а также свойства решений краевых задач для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений.

Пусть <2 — ограниченная область с достаточно гладкой границей. Через будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых функций с носителем, компактным в <2.

Обозначим через \¥т((2) пространство Соболева порядка т с нормой

1М1и-"Ю) = ( Е / ■ (2.1)

Здесь а = {а\,...,ап) — мультииндекс, причем |а| = а1+ ...+«„, а

ЯМ

Vа = (-г)1"1-^--д-й^. Через И""(<2) обозначим пополнение С0°°((5) по

норме (2.1).

Рассмотрим функционально-дифференциальный оператор А, действующий в пространстве распределений (Сд°(0))' по формуле

(Аи){х) = ]Г ЪаФа^и(х) (гед). (2.2)

|а|,|/?Кт

Здесь а и — мультииндексы и функциональные операторы Фар имеют вид

Фари{х) = ^ аа^(х){Тди){х),

где аар,д 6 С°°((Э) — комплекснозначные функции, 5йп С б — конечное подмножество группы 0.

Введем также полуторалинейную форму а: 1Лгт((Э) х 1У"1(<Э) —> С, соответствующую оператору Л, по формуле

Определение 2.1. Оператор А называется сильно эллиптическим в если для всех и е Сд°((3) справедливо следующее неравенство

Леа(и,и) > с^иИ^д) - с2||м||^(д), (2.4)

где константы сг > О, С2 > 0 не зависят от и(х).

Замечание 2.1. Вообще говоря, в теории дифференциальных уравнений определение сильной эллиптичности записывается с помощью алгебраических условий. В работах М.И. Вишика и Л. Гординга показано, что выполнении этих условий эквивалентно выполнению неравенства (2.4) (которое называется неравенством Гординга). Но в то же время, для

дифференциально-разностных уравнений А. Л. Скубачевский показал, что выполнение алгебраического условия (неотрицательность символа дифференциально-разностного уравнения) не является необходимым условием для выполнения неравенства (2.4). Поэтому мы в качестве определения сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных уравнений было принято выполнение неравенства (2.4). Далее мы найдем необходимые и достаточные условия (в алгебраической форме) выполнения неравенства (2.4) для некоторых функционально-дифференциальных уравнений.

Доказана следующая теорема о «локализации». Она позволяет нам получить сильную эллиптичность в (2 оператора А, доказав его сильную эллиптичность в окрестностях множеств М £ <2/К.

Теорема 2.1 (о «локализации»). Оператор А сильно эллиптический в <2 тогда и только тогда, когда существует покрытие {иа}а^, где 11а £ Т, <2 С и иа, такое, что оператор А сильно эллиптический

_ аеЯ

в и а, а € 21.

В теореме 2.1 покрытие состоит из множеств, принадлежащих топологии Т. Такое требование на покрытие является естественным, так как функциональные операторы, вообще говоря, являются нелокальными.

Замечание 2.2. Если <2/7?. = {<2}, то Т = {0, ф}. В этом случае покрытие может состоять только из множеств иа = (2. Теорема о «локализации» в данном случае неприменима. Такая ситуация возникает, например, в функционально-дифференциальных уравнениях с растяжением и сжатием аргумента.

Теорема 2.1 позволяет рассматривать модельные задачи во множествах, принадлежащих топологии Т, для получения условий сильной эллиптичности в <2 для оператора А.

1. Модельная задача при отсутствии неподвижных точек.

Пусть х0 € С? и множество Щхй) - {х0,х1,... конечно. Требование конечности множества Л[хо] является некоторым аналогом условий соизмеримости, которые часто возникают в теории функционально-дифференциальных уравнениях. Будем считать также, что группа удовлетворяет следующему условию.

Условие 2.1. В группе 0 отсутствуют преобразования (за исключением тождественного), имеющие неподвижную точку в Л[хо}, т. е.

для любой точки х е Щх-о] и любого преобразования д е б, д ф е, справедливо д(х) ф х.

Если условие 2.1 выполнено, то существуют единственные преобразования с/; € б, I = О,...,ЛГ, такие, что д^х0) = Х[ (см. рис. 2.1). Введем

N

множество Ог(хо) = и д1(Вг(хо)). При выполнении выше приведенных (=0 _ условий, справедливо Ог(х0) Г)<2 €Т.

вг(ха) д,(Вг(ха)) д2(Вт(х0)) дк(Вг(х0))

Рис. 2.1. Преобразования д; и множество Ог(х0) (серым цветом)

Необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для функционально-дифференциального оператора записываются в виде положительной определенности некоторых матриц. Введем их.

Для каждого оператора Фаз построим матрицы Фаз,ха = ||^а/з,ы||у=о. элементы которой вычисляются по формуле

= ГОа^Ыяо)) (д = Яы), (2

[о (д#дй „).

Кроме того, введем следующие матрицы:

Сра = (С^д)"1 • . . . • (СРп!„)а",

¿\в\ = а1а5{1 ^ЗоЫ!, • ■ •, I ^5дг(а--о)|} :

(2.6)

Ы=|3|=т

где д-^х) = ((зг-1)1(а:),...,(зг"1)п(а;))г, д[(х) - матрица Якоби преобразования д^х), I — 0,..., Л^, а,{3,р,д — мультииндексы.

Теорема 2.2 (необходимые условия сильной эллиптичности). Пусть оператор А является сильно эллиптическим в С}.

Тогда для любой точки 6 Q, такой, что TZ[xq] п 8Q — 0 и для

любого вектора ( £ R", ( / 0, матрицы J2 +

|p|=|<?|=m

положительно определены.

Теорема 2.3 (достаточные условия сильной эллиптичности). Пусть для точки го Q и для любого вектора £ 6 ®Ln, ^ 0, матрицы £ Й§|^'п + положительно определены.

\p\—\ri\—m

Тогда существует такое г, что оператор А является сильно эллиптическим в Ог(хо) п Q.

В том случае, когда для каждой точки х0 е Q множество TI[xq] конечно и выполнено условие 2.1, применяя теоремы 2.1 и 2.3, мы получаем для оператора А условия сильной эллиптичности в Q. Полученные результаты обобщают случай дифференциально-разностных операторов с соизмеримыми сдвигами, рассмотренных ранее A. J1. Скубачевским.

2. Модельная задача в случае неподвижной точки.

Пусть Щх0] = {.то}. Будем считать, что группа Q удовлетворяет следующим условиям.

Условие 2.2. Для всех преобразований из группы Q точка х0 является неподвижной, т. е. для любого преобразования g S Q справедливо д(х0) = ю-

Условие 2.3. Группа Q конечна, т.е. Q = {е = 50,31,.. •, <Mr-i}-

Так как Щх^ = {xq}, то существует сколь угодно малая окрестность С, такая, что ЩО\ — О (поэтому всякое преобразование д е Q переводит О в себя). Учитывая малость окрестности О можно считать, что все коэффициенты «заморожены» в точке х0.

В случае, когда группа Q конечна и отображает множество О на себя, задачу исследования сильной эллиптичности можно свести к такой, которая не содержит операторов сдвига (по группе Q) в старшей части. Для функциональных операторов данный метод использовался А. Б. Антоне-вичем18.

Оператор А можно переписать в следующей форме: Аи= J2 Vgu+Aiu.

дед

Здесь Vgu = ~Dao.apgHgV^u, оператор Ai содержит производные по-

рядка ниже, чем 2т, Нд: Ь2{0) —> L%(0), (Нди)(х) — detд'(х)\{Тди)(х).

1еАнтоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. — Минск: Унизерси-тетское, 1988. — глава i, раздел 4.

Оператор Нд обладает следующим свойством: Я* = Я"1. Мы считаем, что аард е С (в противном случае, коэффициенты можно было бы «заморозить» в точке х'о).

Составим матричный оператор А = ||Хг||£г=о. где — операторы, действующие по формуле Asr = HgriV 7¡Hgr. Легко показать, что если U = (u,Hg¡u,...,Hg,^u) — вектор-функция, то (AU,U} = Na(u,u). Поэтому для сильной эллиптичности оператора А достаточно, чтобы оператор А был сильно эллиптическим (как матричный оператор).

Но операторы Аег не содержат функциональных операторов при старших производных

А„= Y, Wf^W + A^u

W=|?|=m

где Asrд — операторы, содержащие производные порядка ниже, чем 2т, а коэффициенты cg! находятся по формуле cf^ = ^ dspCtaa^g g-idrp,

\a\=¡e\=rn

dspa = (dspJai •... • (dl¡n)adj,,- = (ср. с (2.6)). Поэтому из ко-

эффициентов cfr составим матрицы Сп — Цс^Ц^ц. Тогда достаточные условия сильной эллиптичности для оператора А записываются в следующем виде: если при всех £ € R", £ ф 0 матрицы

£ + (2.7)

|p| = |,;|=m

положительны определены. Это условие является также и достаточным условием для сильной эллиптичности оператора А.

Вообще говоря, без дополнительных предположений необходимые условия могут отличаться от достаточных условий, так как координаты в вектор-функции U связаны между собой.

Теорема 2.4 (необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в случае неподвижной точки).

1. Пусть при всех £ е R", £ ф 0, матрицы ^ {Cpq + C*q)ip+q положи-

ipní l=m

тельны определены. Тогда оператор А является сильно эллиптическим в О.

2. Пусть оператор А является сильно эллиптическим в О и группа Q топологически свободна. Тогда при всех £ е R", £ ф 0, матрицы

+ С*я)£р+'1 положительны определены.

\р\=\ч\—т

Если группа 0 топологически свободна и (по условию 2.3) конечна, то можно применить теорему 2.2. Необходимые условия из теоремы 2.2 эквивалентны необходимым условиям из теоремы 2.4.

С помощью неравенства (2.4) доказывается, что задача Дирихле для оператора А является фредгольмово разрешимой, а также, что спектр оператора А дискретный и имеет секториальную структуру.

Глава 3. Применение к нелокальным краевым задачам

В главе 3 диссертации исследуются нелокальные краевые задачи с помощью сведения к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения.

Положим (для п ^ 3)

О = {х - {у, г) : г > 0, 0 < ¡¿> < {Ы + в)Н, г е К"-2} , Тф = {х = (у, г) : г > 0, = 6 К""2} (ф = 0, (Я + вЩ, М={х= (0, г) : г е Г"2} .

Здесь х = (у, г) € К", у € М2; г е Мп-2; г, — полярные координаты точки у\ 0 < (./V + 0)11 <2ж, N — натуральное число и 0 < в < 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

-:ДИ = /( х) (х€9) (3.1)

• с нелокальными краевыми условиями ЛГ

Ц0, г, г) - 1кЩкк, г, г) = д^х) (х е Т0), к—1

N ' ■

и((Ы + в)Н, Г, г) - £ + в - г, г) = (72^) (а: £ Т(№+т).

*: I

(3.2)

Здесь К((р, г, г) — функция Ы{х), записанная в цилиндрических координатах; 7ц, 72А; — вещественные числа, /, дь — комплекснозначные функции.

Для простоты изложения будем считать, что 0 = 1 (в диссертации рассмотрен также случай 0 < 0, < 1).

. Введем пространство 9) как пополнение Со°(Э \ М) по норме \Н\щ(В) = ( Е /т2(а-8+1а»1СХх)|2сгх)1/2, где С§°(9\М) - множество

бесконечно дифференцируемых функций в 6 с компактным носителем,

принадлежащим 0 \ Л/, « е 1. s ) (I - целое. Через Н',"1/2(Т) (для s > 1) обозначим пространство следов на луче Т С 9 с нормой

1М1яГ"2(т) = iuf IMItf,;(0) (и' 6 Я*(е) : ic\r = V).

Сначала рассматривается вспомогательная задача в плоском угле. Показано П. Л. Гуревичем19, что если эта вспомогательная задача имеет единственное решение, то задача (3.1), (3.2) также имеет единственное решение.

Для п — 2 положим

К = {у : г > 0, 0 < ip < (N + l)/i}, K{ipi, V2) = {j/ : r > 0, -¿ч < <p < p2} (0 < < ф2 < (Ar + l)/i), £0 = {j/ : r>0. v = <(ЛГ+1)Л).

Также введем пространство Е&а{К) как пополнение множества С0-(/?\{0}) по норме |Н|Е;(К) = ( £ /^(rW-J + iJlz?«^)^)172.

Через E„~lf2(£) (для s ^ 1) обозначим пространство следов на луче i с К с нормой

¡i«||£r,/2(i) = mf|!^!U;(K) (шевд :

Запишем соответствующую однородную задачу в плоском угле К:

2

-Ли + м = - %„,;(у) + и{у) =0 (у G А'). (3.3)

¡=1

л'

и(0, г) - ¿Tifcu(fc/i, г) = 0 (у 6 «о),

^ (3.4)

u((N + 1)/г, г) - £ 72^((iV + 1 - k)h. г) = 0 (у £ £(.v+1)/l). д-=1

Введем оператор £д-: Еу(К) —> ЕЧ(К) х х £j'2(i(jY+1)/i) по формуле

л'

= ^ - Ли + и. и(0, г) - 7'), х

u((N + 1 )Л, r) - ^72fci/((Ar+ 1 - fc)ft, г)).

19Gurevich P. L. Nonloca! problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// Mitt. Math. Semin. Giessen. - 2001 - T. 247. - C. 1-74.

Оператор Ск будет фредгольмов, если выполнены некоторые условия, которые зависят от распределения собственных чисел соответствующей задачи с параметром.

Введем функциональный оператор И: ¿2 (К.2) —> ЬгО^2) по формуле

(Пи) (у) = X) Ь^ + кЬ, г),

где г) — функция ги(у), записанная в полярных координатах; Ьк € М. Пусть /к". Ьг{К) -* Ь2(К2) — оператор продолжения нулем вне К\ Рк■ Ь2(К2) —у Ь2(К) — оператор сужения на К. Введем оператор Пк ~- Ь2{К) -> Ь2(К) по формуле Пк = РкШк-

Введем матрицу Г порядка {2Ы + 1) х (2N + 1) по формуле

/-1 7п О ••.

Г =

О О

\0

Ък О

-1 7п •••

О -1 7и

72лг

721

-1

7 ш О

721

О \

71лг О О -1/

• о -У2Я

Теорема 3.1. Пусть сМГ Тогда существует единственный (с точностью до умножения на константу) оператор 71к, который удовлетворяет следующим свойствам:

1. Оператор 71к обратим.

2. Для любой функции ги € С^°(К"\{0}) функция и = 71кю удовлетворяет условиям (3.4).

Если же с^ Г = 0, то обратимого оператора %к, для которого выполнено свойство 2, не существует.

Теорема 3.1 позволяет свести нелокальную краевую задачу к следующему функционально-дифференциальному уравнению

—АНцт + Пяти = 0 (уеК), (3.5)

= 0 (з/е*0), (36)

Введем матрицу Й1 = ||гу|| порядка (IV + 1) х (IV + 1) с элементами

гу = Ь,-_,- (г, з = \, IV+ 1). (3.7)

Лемма 3.1. Если матрица + Щ положительно определена, то оператор Сц фредеольмов и ксг Ск = {0}.

При доказательстве этой леммы использовалось неравенство Гординга

Кс(-АПкт + Т1кш, ш)1,(К) ^ ^ЦгиЦ2,-,^

(ср. с неравенством (2.4)), а также теоремы вложения весовых пространств и пространств Соболева.

Для того чтобы доказать тривиальность коядра оператора Сц, мы изучим задачу, формально сопряженную к задаче (3.3), (3.4). Если 0 = 1, имеем

-Дь'«Ы + У1к(у) = 0 (хе К1к, к = 1, ..., N + 1), (3.8) «п(0, г) = 0 (у е £0), (3.9)

'^.лчЖ^ + г) = 0 (у 6 (3.10)

(кк, г) - У1к(к1г, г) = 0 (у 6 екк, к = 1, ..., (3.11)

I, г) - -~У1к(кк, г) =

д ^

= 72,л'+1-^^1,Я+1((Аг + 1)Л, г) - Ък—уп(0, г) (3.12)

{у € 4/г, /с = 1, ..., Ы).

Показано, что данная задача эквивалентна краевой задаче для функци-онально-дифференциалыюго уравнения. Если матрица 7?! + положительно определена, то коядро оператора £д- тривиально.

Окончательно получаем, что справедлив следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть (1е1;Г ф 0 и матрица Л] + положительно определена. Тогда нелокальная краевая задача (3.1), (3.2) имеет единственное решение Ы е Я?(0) для любой правой части

{/• 9и 9г] € Я?(9) х Н\12(Т0) х Я?/2(Т(ЛЧ1),,).

Пример 3.1. Пусть 0 = {х = (у, г) : г > 0. 0 < ¡р < 2к. г 6 И""2}. Рассмотрим следующую задачу:

-ДМ = Дх) (х е 0). (3.13)

и(0,г,г)-Ъи(>1, г,г) = д1(х) (х £ Т0), М(2Л, г, г) - 72М(Й, г, г) = й(а:) (х е Т2Л).

Предположим, что ¡71 + 72| < 2. Тогда условия теоремы 3.2 выполнены и задача (3.13), (3.14) однозначно разрешима для

{/, 5ь «72} € Я°(0) х Я?/2(Т0) X Я?/2(Т2/1).

Публикации по теме диссертации

1. Скрябин М. А. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и функционально-дифференциальные уравнения// Совр. мат. Фунд. направл. — 2003. — Т. 4.-С. 121-143. English transl. in J. Math. Sci.-2005. -T. 129, № 5. — C. 4227-4249.

2. Skryabin M. A. Unique solvability of some nonlocal boundary-value problems in dihedral angles// Abstracts. The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2005,-C. 75-76.

3. Скрябин M. А. Сильная эллиптичность дифференциально-разностных уравнений в цилиндре// Тезисы докладов секции математики и информатики. XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва, РУДН, 17-21 апреля 2006 года. — С. 27.

4. Скрябин М. А. Продолжение дифференциально-разностного оператора вне цилиндра с целой высотой// Тезисы докладов секции математики и информатики. XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва, РУДН, 23-27 апреля 2007 года. — С. 23.

5. Скрябин М. А. Сильная эллиптичность некоторых функционально-дифференциальных уравнений// Тезисы докладов секции математики и информатики. XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008 года. — С. 20.

6. Skryabin М. A. Strongly Elliptic Functional Differential Operators with Rotations// Abstracts. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 17-24, 2008. — C. 70.

7. Скрябин M. А. Принцип локализации для исследования сильной эллиптичности функционально-дифференциальных операторов// Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii. Book of Abstracts. Donetsk, Ukraine, November 11-14, 2008. -C. 100-101.

8. Скрябин M. А. Модельная задача в конусе для функционально-дифференциального оператора с преобразованиями поворота// Усп. мат. наук. — 2009.-Т. 64, вып. 1.-С. 159-160. -

Подписано в печать:

11.03.2009

Заказ № 1688 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ni

1. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. — Минск: Университетское, 1988.

2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. — 1969. — Т. 185. С. 739-740.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Физмат-лит, 1958.

4. Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теория вероятн. и ее примен. — 1959. — Т. 4. — С. 172-185.

5. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. 1951. - Т. 29 (71), № 3. - С. 615-676.

6. Гуревич П. JI. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и формула Грина// Докл. РАН. 2001. - Т. 379. - С. 735-738.

7. Гуревич П. J1. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах// Мат. заметки. — 2002. — Т. 72. — С. 178-197.

8. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Мат. сб. — 1994. — Т. 185, № 1. С. 121-160.

9. Иванова Е. П., Скубачевский A. JI. Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка// Депонировано в ВИНИТИ, № 3646-81, 1981.

10. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, опря-женной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифф. ур-я. — 1988. Т. 24, № 5. - С. 795-804.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

12. Келли Дж. JI. Общая топология. — М.: Физматлит, 1968.

13. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. ММО. — 1967. Т. 16. - С. 209-292.

14. Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973.

15. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. L^-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Тр. ММО. — 1978. — Т. 37. — С. 49-93.

16. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

17. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.

18. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. мат. журнал. — 1972. — Т. 13, № 1. С. 165-181.

19. Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. — 1996. — Т. 59, № 1. — С. 103-113.

20. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

21. Скубачевский A. JI. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. 1989. - Т. 307, № 2. — С. 287-291.

22. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. -1986. -Т. 129(Т. 171), № 2. — С. 279-302.

23. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. — 1990. — Т. 26. С. 119-131.

24. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. 1991. - Т. 27. - С. 128-139.

25. Скубачевский A. JI. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. ур-я. — 1989. — Т. 25, №1. С. 127-136.

26. Agmon S. The coerciveness problem for integro-differential forms// J. Analyse Math. 1958. - T. 6. - C. 183-223.

27. Bensoussan A., Lions J.-L. Impulse control and quasi-variational inequalities. — Paris: Gauthier-Villars, 1984.

28. Carleman T. Sur la théorie des equations intégrales et ses applications// Verhandlungen des Internat, Math. Kongr., Zurich. — 1932. — T. 1. — C. 132-151.

29. Feller W. Diffusion processes in one dimension// Trans. Am. Math. Soc. 1954. - T. 77. - С. 1-30.

30. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations// Ann. Math. — 1952. — T. 55. — C. 468-519.

31. Figueiredo D. G. The coerciveness problem for forms over vector-valued functions// Comm. Pure Appl. Math. 1963. - T. 16. - C. 63-94.

32. Gârding L. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations// Math. Scand. 1953. - T. 1. - C. 55-72.

33. Galakhov E., Skubachevskii A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integro-differential boundary conditions// J. Differ. Equations. 2001. - T. 176. - C. 315-355.

34. Gurevich P. L. Solvability of the boundary-value problem for some differential-difference equations// Funct. Differ. Equ. — 1998. — T. 5, № 1-2. C. 139-157.

35. Gurevich P. L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// Mitt. Math. Semin. Giessen. — 2001. — T. 247. C. 1-74.

36. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. 1965. - T. 4. - C. 529-605.

37. Skryabin M. A. Unique solvability of some nonlocal boundary-value problems in dihedral angles// Abstracts. The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2005. C. 75-76.

38. Skryabin M. A. Strongly Elliptic Functional Differential Operators with Rotations// Abstracts. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 17-24, 2008.-C. 70.

39. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. — 1995. — T. 3, № 3. — C. 327-360.applications. — Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

40. Taira K. Diffusion Processes and Partial Differential Equations. — New York—London: Academic Press, 1988.