Оценки спектра и разрешимость вариационных задач для вырождающихся эллиптических операторов и связанные с ними теоремы вложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р Г Б ом

- 8 МАИ 19S5

РОССИЙСКАЯЛКЛДЕЛШЯ НАУК Л\АТЕЛ\АТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

имени В. A. CTEKJIOBA

Па правах оукоииси УДК 517.956 -517. 518

ИСХОКОВ Сулаймон Абунасрович

ОЦЕНКИ СПЕКТРА И РАЗРЕШИМОСТЬ

ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ

01.1)1. I)lr.Ma icMai ический лна.нн.

А I', I О 1» Г Ф Г Р \ 1 дассер^цин на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—1995

Робота выполнена в Таджикском государственном университете. »

• Научные консультанта: члон-корр. РАН, профессор Л.Д. Кудрявцев, доктор физико-математических наук, профессор f П.И. Лизоркин!, доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Мирошин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский; доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Костюченко; доктор физико-математических наук, профессор C.B. Успенский.

Ведущая организация! Московский инженерно-физический институт.

Защита диссертации состоится

"ll-jaa а 1995 года в 14 часов на ззседчши Специализированного Ученого Совета Д.осе.38.03 в Математическом института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 117333. г. Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан "0 5" О.У1р6,Л9-1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор Сизико-матаматических наук

В.А. ВАТУТИН

ОБЩ&Я StfaOEFZCIiEIA PiSOЩ Актуальность те:-ш. Диссертация поевязкша всслэдаг-.кх*- сзэк-гральных асимптотик выроадащихся дифференциальных оператосов, гадьяпых с помощью йшшейшх форы и изучению рззр?та>г/стг и свойства гладкости обобщенного решения вариационной задачи Ди-р'.'л.пе для вирокдзтекхся эдшггетеских да$фгрзицич.щ уразвечкЗ Проблема исследования спектральных асимптотик вырождающихся

шшшоропиИЫШгШя иПчраторов ДОВОЛЬНО Ч5СТО Я CÎpa-

зсгл вэзнжает при решении задач квантовой механики, теории колебаний тонких оболочек, других разделов физики. В настоящее время

•

этой проблеме посвяшено довольно большое количество научных работ (А.Г. Костюченко, М.Г. Гасымов, К.Х. Бойматов, М.Ш. Бирман, М.З.' Соломяк, M Байрамоглы, М.А. Шубин, М.С. Агранович, С.З. Левендорский. Г.В. Розенблюм, S. Agmon, T. Carleman, С. Clark,

H. Triebel, R. Courant и др.) и приемы использованные в этих работах в основном разделяются нз.две группы: "вариационные методы", восходящие к работал Г. Вейля и Р. Куранта и "тауберовыэ методы", восходящие к работам Кларка.

Спектральная асимптотика эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, заданных в ограниченной области в основном исследовалась вариационным методом и полученные результаты блкзкх к окончательными. Однако недостаточно полно исследована случай дифференциальных операторов, заданных в неограниченной области. Применение тауберовых методов в исследовании спектральных асимптотик дифференциальных операторов обычно приводило к некоторым жестким ограничениям на гладкость коэффициентов исследуемого оператора. В настоящей диссертации тауберо-еым методом исследуется спектральная асимптотика вырождающегося эллятического дифференциального оператора с негладким;! коэффициентами в неограниченной области Пей,,.

Задача о нахождении спектральной асимптотики дкфференциаль

ног'о оператора, заданного в неограниченной области, но имещего ограниченный свободный коэффициент (например, нулевой) была поставлена А.Г. Костюченко (1968 г.) Для обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов впервые эту задачу реши М.Г. Гасымов (1969 г.). Случай самосопряженных дифференциальных операторов с гладкими коэффицинтами в Лп рассмотрен в работах К.Х. Бойматова. Спектральная задача типа Гасымова-Косттсченко с негладкими коэффициентами в неограниченной области П с ранее

не иследовалась. 1

Выровдающеся эллиптические дифференциальные уравнения встречаются при решении многих важных вопросов теории малых изгибаний поверхностей врашения, в газовой динамике и других разделов механики. Подход к исследованию. граничных задач для выроздапщпся. дифференциальных уравнений на базе теории влотания весовых функциональных пространств впервые продемонстрирован в работах Л.Д. Кудрявцева в пятидесятых-шестидесятых • годах. Результаты этих работ позеэ обобщались п дополнялись в работах С.и. Никольского, П.И. Лизоркина,уС.В. Успенского, О.В. Бесова, Н.В. Миропшна, X. Трибеля, Нечаса, Куфнера и других. Большинство этих исследований относятся к ■ эллиптическим дифференциальным уравнениям, вырождалциеся на границе ограниченной области и дифференциальные операторы определяются с помощью коэрцитивных билинейных форм.

В настоящей работе рассматриваются эллиптические дифференциальные уравнения, заданные в полупространстве л* = { х = = (х',хп): хп> О}, кторыс вырождаются при хп--- и на гиперплоскости хп= о, и эллиптические уравнения, заданные в ограниченной области, которые короадаися с помоаыо некоэрцитивных билинейных форм.

Цаяь работа. 1). Получение асимптотики взвешенного слэда сэшсспрякенных эллиптических дифференциальны х оповзтзрск с негладкими коэффициентами (включая грушу старцах коойзиавк-гоб.|, заданных в неограниченней области Г; с Р . 2). Получение асмггготики числа собственных значений несамосопря-зрмкго эллаплпегког:/ оператора в нзогс&ниченной елл'зт .. с КГ1, расположенных в полуплоскости (г « £; й г < м. 3>. игтеладование клихми» шшлаш.

оператора на главную часть его спектральной асимптотики.

4). Исследование различных свойств весовых пространств типа ^(О) с весами общего вида и изучение их приложения в исследовании свойства гладкости обобщенного решения вырождающихся эллиптических уравнения в ограниченных и неограниченных областях с с нл.

5). Исследование однозначной разрешимости, свойства гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве К*.

6). Исследование разрешимости, гладости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной формой.

7). Изучение спектральных свойств матричных дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами.

Методика исследования. В шестидесятых годах А.Г. Костюченко разработал метод получения равномерных оценок для параболической функции Грина и с привлечением соответствующей таубероеой теоремы исследовал асимптотику функции распределения собственных значений обших эллиптических дифференциальных операторов. Обобщению и развитию подхода А.Г. Костюченко посвящен ряд работ ,К.Х. Бой-матова. Использованный нами метод при исследовании спектра.« нкх асимптотик дифференциальных операторов является мсдиФяквпиеЯ тзуберова подхода Костюченко-Бойматова.

Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических

дифференциальных уравнений исследуется с помощью теорем влозенк: весовых пространств до{ференцируемых функций.

Научная новизна.' 1). В роботе впервые разработана тауберов методика исследования спектральных асимптотик самосопряженных : несамосопряженных дифференциальных ' операторов с негладким: коэффициентами (включая группу старших коэффициентов).

2). Получена асимптотика взвешенного следа самосопряженных эл липтичэских дифференциальных операторов с негладкими коэффициен тами е неграниченной области. Исследованы влияния младыпих коэф фициентов на главную часть спектральной асимптотики операторов.

3). Изучена спектральная асимптотика задачи типа Гасымова Ксстюченко с негладкими коэффициентами в самосопряженном и неса мосспряженном случаях.

4). Получена асимптотика числа собственных значений, расположен кых в полуплоскости {2 е С; Яе г < А.}, несамосоггряж91Шого диффе реншального оператора далекого от самосопряженного с негладким коэффициентами.

5). Доказаны тобремы вложения для весовых пространств типа

с более общая весами чем степени расстояния до границы области

6). Доказаны теоремы, вложения для двухвесовых пространств Собо лева в полупространстве л*. Исследована однозначная разрешимое? вариационной задачи Дирихле для выроздащихся эллиптически уравнений в изучена свойства гладкости решения этой задачи зависимости от гладкости даннах.

7).Доказана теорема существования и единственности решения вари ационной задачи Диршсгз, связанная с некоэрцитивной формой,, ограниченной облзсти. Изучена гладкости решения этой задачи.

8).Исследована дискречюсть спектра и гладкость собственны функций матричных дифференциальных операторов, пороаденны некоэрцитивными формами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит

теоретический характер, ее результаты могут служит основой для дальнейших теоретических исследований в спектральной теории дифференциальных операторов, в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождавшихся дифференциальных ■ уравнений и других разделах теории функций и функционального анализа.

ПуПликягти. Опноьныа результаты лиссестации опубликованы в работах [1-17]. Из работ [14-16] написанных совместно с М.Г. Га-доевым и Н.У. Усмановым в диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором. Работа [51 написана в соавторство, с К.Х. Бойматовым, которому принадлежит постановка рассмотренной задачи. .

Апробация работы. Основные- результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались: на Международной конференции "Бирож-дэщиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г. Ташкент, 1933 г.);на Республиканской научной конференции '"Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Куляб, 1991 г.);"на научной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы (г. Алма -Ата, 1991 г.); на Республиканской научной конференции "Теория лриблежения и вложения функциональных пространств" (г. Караганда, 1991 г.). С сообщениями о результатах диссертации автор выступил на семинаре член-корр. АН РТ, проф. К.Х. Бойматова (МИ АН РТ, г. Душанбе); на семинаре член-корр. АН РА, проф. М.Г. Гасы-моЕа (Аз.ГУ, г. Баку); на семинаре проф. А.Г. Костюченко (МГУ, г. Москва); на семинаре член-корр. РАН, проф. Л.Д.' Кудрявцева (МИРАЯ, г. Москва); на семинаре проф. П.И. Лизоркина.! МКРАН ); • на семинаре академика РАН, проф. С.М. Никольского ( MMFAH ): на семинаре проф. М. Отелбаева (1Ш АН FK, г. Алма Ата);_но ссмина-ре проф. A.A. Шпаликова ( МРУ ). '

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, со дзжащего 143 названий. Объем диссертации - 279 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введение к диссертационной pad ото дается кратка исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указаншм основных результатов.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвпавна исследо&знию асимптотики взвесенного следа вырождающихся эллиптических ДО с негладкими коэффициентами (включая группу стариих коэффициентов), заданных в неограниченной области П с Rn, удовлотворягсра условию бесконечного конуса. В гзэрвон параграфе рассматриваются ДО, потенциалы'которых растут стеганным образом на бесконечности.

Пусть С-класс; положительных функций ф е С* (R.), удовлзт-ворясдк* следуктам условиям:

к 15„ Д?, " •

где р(х) = (1 + Ф(2х) ж ф(х) для х с R„.

На вектор-функциях u, и.е c£J(Q;cn>, гда к-некоторое натуральное число и <сы- и-ыэрное кошшжснсо пространство, рассмотрим билинейную форму

21 „я

В[и, и] « I С Р ' Фаов & u. 1? v). (1:

lal-lpl-fcJ

= 1 *

, a- a, a Здесь a, p - мультииндоксы.ГГ = 2), C2d... Pn , = <k =

= 1, n ), J - конечное множество неотрицательных целых чисел;

причем О е J; (,)- скллпрнг.е произведения в пространстве Н :„(Г.; «^.Положительные функции (х) гхинзллежат классу <5.

Предполагается, что значения коэффициентов ^{х)

являются квадратным: матрицами порядка N и удовлетворяют слэдувфт условиям:

I) Существуют числа К > О, 0 е (0,1] тзкиз, что

¡аор{г) - Сдр^)) < к|х - ^У^х) (?)

дал всех х,у.<= О и для любых кульпвщдэксов а,р: |а| = |С| - j с. I) Найдется число II > о такое,- что

7 < а > < а,« (г) Ся V сз>

для всех х е П. } е л и дня ли?ого набора (Сд }. Сд е сн ;

В) асф(1> = ара <х) ■ (4)

дл»;'любой точки х е О и всех мультииндексгов а, р таких, что |а| =|Р| = .} е .т.

• Относительно вещественных чисел € предполагается,

ЧТО:

т0> О , т0+ т > о (О * ^ с .Т);всди J, к е <7 и J > к.

■ то J - И > т.-т;..

" л к

(5)

Обозначив чероз Н. замыкгниз С®(П;См) по норме |и|^=-|в[и,у]. Пространство н^ является гильбертовым пространство!» со скалярньк произведением (и, = В[и, и].

В сделанных выш предположениях. билинейная форма В[и;и], является замкнутой и однозначно определяет положитель-выа самосопряженный оператор А з про с, панство н со следующими свойствами:

д(АГ/г) = Н^; .. ,

В{и, V1 = (А1/ги, А1/2и) (V «,£/ е В(Лиг)).

Пусть о > 0. Обозначим через класс положительных фу:жций

Ъ. е с1СП), удовлетворяющих неравенствам: .

чЬ(х) < Кй(х)р-1 (х);

- 10 -

й(х> я р2а(х) для всех х е о . Определим функцию ср(Х;й), для ). е в[ к бе 7"а(П). равенством

Ф<\, &) = (?.*)*" / й(х)( / Н(Х,1,з)<±э)с1г,

О . •

где х, з) - число собственных значения матрицы

2т „ я

А(х, 8) «= £ '(^^(Х) Г1

не превосходящих

Обозначим через Е^сгюктральныо проекторы ошратора А и через к олэратор умножения на функцию &(х)е в пространстве Н.

Основной результат шрвсго параграфа сформулирован в следующей теореме. •

' Те ореха 1 (Теореха 1.1]. Пусть выполнены сфорлулировстш Выше условия и пусть Оля функции й(х) с (О < а < г0)

выполняется неравенство (р(Х; Л) < КМ (X « Н^). где 1{К)~ некаюрая неубыСаяиря функция такая, что Цг\) = 0(1 (Л.)). ГогЗа оператор ГвГЕ^ПГ является ядер сил для всех 1еН|ч существует такое палоххпелъное число х <1, что для любого числа и € (ге;1) илеет лесто неравенство

|К(Х;Й) - ф(Х;&) | < МХ^КХ) +

+ И вир ( + Ю - щг-.ь)), |Х-*|<

где ЖХ;Л) =ар( Е^ ЛГ ).

Рвг 'льтат сформулированный в теореме 1 ранее был известен только в случае

Ф|а,<-). аа, (х) е с1а1*1(П) (|а| € 3). В §2 первой глав;.: исследуется асимптотика взвешенного следа спектральной задачи типа Гасымзва - Ко стче нко в неограниченной области П с. к , удоалетворязсщзе условии бесконечного ко-

нуса. Здесь условия на гладкость коэффициентов таковы, что требуется только т. непрерывность по Гельдеру. рассмотрим билинейную форму

2т

В [U.UJ = 1 [р 'фОддГЯи, dPo], u.y G С® (П; с,), (б)

|а|-|р|-3<7

г до матрица - функция a^fij <|a|=iPl с J ) удовлетворяет условиям (2)-(4), ф^си (J с J ) функции из класса Ф, J - конечное

inàvifnoU i btJ НацТржЩд lU^i h'n hi Л Lia .¿mi Л. 4j-iCaJi ; iipMHÔtf Ь ОТЛАЧтэ UT «i

множество J может не содержать число нуль. Числа a (з к J)

принадлежат интервалу (-œ, +ш) и удовлетворяют условиям

wax (т - j) > О; если е J и j > к, то j-k > т- т. (7) 1 1 1 " j t j

Обозначим через И+ замыкание С® (Rn; cn> по норме |и| +=-1п [и,и] Так как билинейная форма В [и,и] ( и,о е с®(Ип;см>) положительно

определена, то пространство 7f+ является гильбертовым пространством со скалярным произведением (и,у)+=В [и,и].Так же как в. первом . параграфе доказывается, что в сделанных выше предположениях билинейная форма В [и,и] (u,v g ?î+) однозначно определяет положительный самосопряженный оператор л в пространстве H со следующими свойствами:

1/2 )= H

Btu.y) = ( A1/2u,J1/2v) для всех u,u е С(Л1/2)

Пусть к(х) с (а > 0). Определим функцию ф(Л.;й)

g R*) равенством

ф(Л;Л) = (2ic)"n J й(х). ( J Л(Х,х,з)йз)с1х, (8}

0

гдз Л(\,х,з) обозначает число собственных значения матрицы

2т * •

Мт.э) = J '(xja^fx)^ (8')

|a!=|p|=dej не превосходящих Л..

Теорега 2 (Теорема 2.1 j. Щспсь выполнены сфорлулированныз

• л

6ш условия. Тогда найдется число а > о такое, что если а е

л л

[О.а], по вдя любой функции fc(x) «= оператор Ак {X €

■ л

R^), гЗе {Е^} -спещкиъные проектору оператора А, является яОерсиА. Бели при зтол втолняется неравенство < ft),

гЗе функция l(A.;ft) ие убивает и удовлетворяет условию Z(2\;fe) = 0(Z mo существует кисло зг с (0,1) такое, что бля любого

числа й с (гг,1) илвет zscmo неравенство .

- ф(\;й)| < И V*"^+ ' sup (ф(1 + t°;fc)-<p(t;fc)).

*гдэ = api(T \ ЛГ

loopetra г доказывается методом возмущения сингулярньа

потенциалом, разработанный К.Х. Бовдатовьи. Опзратор Л

Еозаугротся потенциалом, достаточно сильно растущим на

бесконзчносТи и спзетральныэ асиштготики возмущённого ошратора

Р исслздуится с поиощыо результатов гервого параграфа. Далее

устанаалЕвзэтся,- что *взвешенные следа операторов Л и V имеют

одааакопув аскштготику .при \ —» +ю. В процзссе доказательства

используются теоремы вложения, полученные Л.Д. Кудрявцэвым дяя

. весовых функциональных протранств' собсиввского типа в

неограниченной области.

П р я к в р 1 (Пример 2.1). Пусть п = 1 » а>

B[u,u] = J (u?(t), V(t))r dt + J (P(t)u'(t). u'(t))c dt,

~tO -XD "

u.ve <% (R,;CM), гда P(t) = (1 + t2)0Po(1), 0 > 1, a P0(t) - эрмитова матрица, . собстЕЗнныэ значения которой b.(t), bit)....... b <t)

e * 2 N

удовлетворяют неравенству о < b^i) (j » 17"H) с некоторыми o>0. Пусть для всех t,i е Rt, J - ашолняэтея неравенство

|b<n - ь <t)| < и<1 + |t|)"0|t - i|e <м > о, e с <o,n).

Тогда для функции Jf(X) распределения собственных значения оператора ' А при X-► справедлива асиптотичаская формула

n 00 . .---1/г

Ж(Х) ^ -il +B.<t)/2 dt, (9)

где B(i) » (1 + t2)0 b(i) <J =ТЛ*7.

йкязсзая правую чость (9), нчтолт", что при достаточно больших X выполняются неравенства MtA.s < Л(Х) < ы^Х* , ж -с некоторыми Mif иг > 0. Если при этом существуют пределы Ilm Bit) - u, Ilm B.{t) > v. (j = ITH)

t—► +oo > t —■ -m

то при X-> +oo справедлива а сшптотиче.ска я формула

мх) Хж2(и71/гв + V-1/20 ) .

j=«

1/2

где о = J f /1 + (43/ 4 - f2S/ 2 ] at.

о

Если элементы матрица P(t) непрерывно дифференцируемы, то оператор Л совпадает с расширением по Фридрихсу в Ьг (R, ) оператора •

(.<0u){t) = ии <t) - ( P(i)u'<t))'. ue с® (R;cn).

В асимггготических формулах для взвешенного следа самосопряженных эллиптических ДО,получеиных в первых двух параграфах, равноправно участвуют все коэффициенты дифференциального оператора. В третьем параграфа первой главы исследуется влияние младыаих коэффициентов нз главную часть асимптотики взвешенного следа.

Пусть к{х) € Уа<П), а > о. Для любого X « R* обозначим

= (2жГп /й(х)( J N(X, х. 3)03)01, О

<p,tt;ft) = <2*ГП p(x>[ J x, з>с2з)аг.' 0

где N(\,x,s), Кш(\,х.з) функции распределения собственных значений соответственно матриц

А(х.з) = I аар(х)Р '(ХЩЫ3*1^ ПО) |a|=IPI=ieJ

2Т

А,{х,з) = I Осф(х)Р '<*>4>/*>за+Р

|a|=|P|=JeJ\{0]

Справедлива следующая

Теорела 3 (Теорела 3.1 J. Яушь выполнены все условия, теорем 1 и пусть существуют числа a > о, б0> о, ае € [0,1) такие, что если а"« [0,а], то вля всех функций fc(x) е ^а<П) и всех чисел е е с <0, ео) выполняется соотношение

Jfc(x) |а0 (х) ^[fN.a.x.eJdsjdr^C^^fctxJ^JiUX.x.aldajdr, О • й Q й

'Л п

2V

где ас(х) = аоо(х)фо-(х)р (х).Тогда найдется число в4> о такое, что если а « [o,5t J, ко для всех функций k(x) « u

любого числа 0 с (зе0, 1), где хо « жс(а) - некоторое число из интервала (0,1), илещ лесто неравенство

|1Г(*.;Ю - <р,а,1г)| < Н \ ° Z,(A.;ft) + (11)

+ sup (9(i+tesft)-9(t;ft)), ' | <(1+Х)/2

гСе Jf(X;fc) =' sp , {E^} -спектральные проекторы опера-

тора A\ l't{\iti) -не увивающая функция, которая удовлетворяет условиял

Асимптотическая формула " (1) означает, что в условиях теоремы з глазная часть асимптотики функции от свободного

коэффициента а0<х) не зависит.

Теорела л (Теорела 3.2). Пусть выполнены все условия

теорелы г и пусть существуют числа е<, о > О такие, чяо для всех и <= С^{0;ск) выполняется неравенство

Жи.и] >о £ [(1 + |х|2}Ш + %>т<х)£Ри, Л], |а|=ш

где т - наибольшее полохителъное число из мюгества 3.Тогда

л

найдется положительное кисло а такое, что Оля всех функцию. й(х)

л

ия клгюсп. ? 10), гвв а <= (0,а]. и для всех Л. > О опегскор Уй

и 1 к

Является яверохл и Оля фунщии = зр справед-

лива следующая асгштотическая форхула

.У(Х;к) = Хп/2т(1+оа~г')){г»:)~прг(х)(/Жт(1,х,з)йз]<гг, (.12)

ая-

п

где V - некоторое число из интервала, (0,1) и Ж - число

собственных зилчекий латрацы *

2Т

рт(х'3> = I Фга^)Р т(х)аа»'(х)заа(3

|а|=|р|=т • не превосходящих единицы.

Формула (12) означает, что при выполнении условия тооремы 4 главная часть асимптотики взвешенного следа ЛЧХ; к) определяется группой старших коэффициентов оператора.

Вторая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию асимптотики числа всех собственных значений носамосопряжонного вырождающегося эллиптического оператора А,

расположенных в полуплоскости Р.вг < К (X > О). В этой главе, так

*

же как в главе I предполагается, что неограниченная область П с с Лд удовлетворяет условию бесконечного конуса. ' >

Пусть числа ^ е J) удовлетворяют условии (5) и пусть положительные функции ф^х) а е «?) принадлежат классу Ф. ОЗоз-начим черэз-замыкание множества с£ЧЛ; см) по норме

r x '__ 2 -»1/2

N = I У J |p '<*> I dr + J" |u(x)|2dr[

1 |a|=JcJ 0 ' Сн 0 J

Пусть В[ü,у]-билинейная форма, определенная равенством (1)

с областью определения D[B]=Wo и пусть'ее коэффицивнты a^íx)

<|a|=|PI € J> удовлетворяют условиям (2), (3). Предположим, что

при некотором положительном числе Л0 выполняется неравенство

Ilm I «WDCq. Cß>c I < Л0Ее J «W*>Ca' ^р>с <13>

I |a|=|ß|=J Nl |a|=|ßl=J

для всех х с П, j е J и для любого набора {Ca>» Са е

В сделанных выше предполокюяияхбилинеяная форма в [u,v] (D[ BJ=wo) плотно определа на. замкнута и секториальна в пространстве н, и существует единственный m - секториальньш оператор А в пространстве н такой, что

DU) с D[B] И (Au,v) » BCu.yJ Vu с DIA) Vu « D[B].

Пусть. А{х,а) -матрица функция, определенная равенстзои

(10). Определим функцию <р(М (1 е ) с помощью равенства

Ф(Л.) = *<2X)~nJ J N(X,x,3)ctai3 . ORn

где N(X,x,8) - число собственных значения матрицы'Re ¿4(x,s), не превосходящих к. '■

Предположим, что найдется положительное число ^ такое,

я

что ф(Х) = 0{\ > при X —► +». Нижнюю грань таких чисел обозначим через рс и будем предполагать, что число Лс из норавенства <1Э> удовлетворяет условию А0 < tg 6', где 0' = mln{*/2, ic/2p0).

Теорела 5 (Теорем: inj. В сделанных више предположениях оператор А, ассоиуировск-аО., с форлой B(u,u] (DlBl = »о; илеет дискретный спектр u систла всех корневых вендоров спертора А

полна в пространстве в.

Обозначим через Щ\,Л) числа собственных значений оператора А (с учетом их алгебраической кратности), расположенных в полуплоскости {z с С; Re г < X }.

Основной результат первого параграфа второй главк сформулирован в следующей теореме.

Теорела 6 (Теорем 1.2J. Пусть выполнены условия теорежы 5 и пусть найдутся положительные числа м, о такие, нто

la^Cr) - < н р~°(х) . (14)

для всех лулъпашндексов а, р таких, что |а| = |р| G J и для любой точки,it Q. Предположил, что существует положительная неуби-ваюиря функция ИХ) е c*(Rj) такая, что ф(Л.)оо1(Х), XI'(X) = 0(i (\)) при X —* +оо. Тогда справедлива асилгтотическая форлула.

N(\,/4)cnj>9(\) при X —» +ю . (15)

В §2 второй гзавы исследуется спектральная асимптотика задачи типа Гасымова-Костюченко в носамосопряжвнном случав. Обозначим через J - подмножество множества (0,1,.I. ,п} которое содержит числа га. Пусть • вещественные числа т.. ( j е J ) удовлетворяют условиям (7). Символом ID0 обозначим замыкания множества с®(П; сн) по норме

М+ = { 2 Пр\*)/ф~СгГ ifu(x)|2 Ox + J|u(jr)|2dr| l«l=jeJ П £" Я

где ф (а-) (3 е 3) - Функции класса Ф.

Пусть 8 [и,и] - билинейная форма, определенная равенством (6) с облзстыо определения D[B] - 11>о и пусть ее коэффициенты, а л (г) ( |а] = ]р1 6 J) являются квадратными матрица - функциями

порядка N и удовлетворяют условиям (2), (3), (13) для всех 3 £ е J. Доказывается, что в сделанных выше предположениях билинэй ная форма В [и,и] ( D[8] = U»o) плотно определена, замкнута и секториальна в пространстве н. Поэтому в Н существует единственный m - секториальный оператор Л со следующими свойствами

DU) с DIB], В [и,и] = Uu, и) (V и е D<-4>. V и с D[fll). Пусть Л(х,з) матрица, определенняя равенством (8'). Определим функцию ф(Х) (Л. G я*) о помощью равенства (8), где Л(\;х,з) - число собственных звачениа матрицу Re Л(х,э) не превосходящих X и к(х) = 1.

Пусть существует положительное число q' такое, что ф(Х) =

ч'

= 0(Х ) при X —► + а>. Нижнюю грань таких чисел q' обозначим через р'. Гак же как в ii предполагается, что число Л0 из неравенства (13) (Vj с J) удовлетворяет условию Л0 < tg в', где в' = min {х/2; я/2р'}.

Аналогично теореме 5 доказывается, что в сделанных выло предположениях оператор Л имеет дискретный спектр и система все корневых векторов оператора Л Полна в пространстве н.

Далее предположим, что для всех мультииндексов а, таких, что ¡а| = |ß| = j е J'выполняется неравенство (14). В сделанных выше предположениях справедлива следующая Теорела 7 С Теорема 2.1). Пусть найдется положительна*

А

функция 1 (X) которая не убивает и удовлетворяет условиях ИХ) € c'(R*); Х1(Х) = 0(1 СЛ.)) U ф(Х)<-о1(Х) при X —* ♦<». Тогда для фунтш N(/, Л) справедлива следукщзя аыиатсшчеснс форлула

N(X, .ч)с-^ф(А) лш —► . (16)

Э третьем параграфа второй глл>ь1 ш.-и некоторых допольн!

тельных условиях уточняются правые части асимптотических формул С, (16) .

В третей главе диссертации исследуется однозначная разрешимость и свойства гладкости решения вариационной задачи Дирихле-для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Л' = { их = (х'.х ) е К . х > О }.

fi п п г»

Б uiipbvM ncporpûîc рз^скстр^пы ресорн» тгроп.тпянг.твя типа v^ ( П ), использованием свойств этих пространств найден^ ьд;ш;рная оценка решений вырождающихся эллиптических уравнений в произвольном открытом множестве О с и*, допускается Солее общий случай выровдения дифференциальных операторов, чем степенно - логарифмический.

Пусть G -произвольное открытое множество в Пп ; а(х) ,5(х)

-положительные изморите функции заданные во множестве G. При натуральном г и 1< р < t » рассмотрим пространство Vp(G;o,6) функций и(х)(х с G ), «моющих обобщенные но Соболеву производные и'к> (х),(|К| < г) с конечной нормой

jjti;Vp(G;o,e)jj = I 2 l[j(x)S{\y\" Ux)\и,у> ш\)Р^/Рг (17) N4<r G

Обозначим через d(x) растояния от точки 1« С до границы <?С если ао / 0. В случае G = Rn положим d(x) = [1 + |x|2j1/г. Если 0. -ограниченная область с (п-1 )-мерной границей jg и б(х) = р(х) а(х) - ра(х) (а е R,), где р(х)- регуляризованное расстояние от х е G до <3G, то пространство Vp(G;o,C) совпадает с хорошо изг вестшм пространством v£.a(G), которое достаточно полно изучено р. работах С.М. Никольского, П.И. Лигоркина, Н.В. Мирошина и весьма полезно при исследовании выроздащихся эллиптических операторов . Рассматриваемый здесь класс функций о(т), ù(x) существенно шире чем степень регуллризозшшого расстояния.

Предположим,что о(х), 0(х) положительные функции класса С1(С) удовлетворящие условиям

6(х) < х d(x), |vOrx;|.< х; \ча(х)\ < ая(х)6~'(х) (18)

для всех х е G .

Теорела в (Лелла I.I). Пусть о(х),Ъ(х) удовлетворяет условиях ( 18),г е w u р е (1,+»). Тогда :

I) множество c"(G) плотно в пространстве v^(o;o,0) и корда (17) пространства У^(о;о,0) эквивалентна велимте

{ 2 J(afxj|u<k,(x)| )pdx + JiofxjO -'rxj|u(x)|)pcir V'; . |к|т g g

2) Оля людого целого г' такого, что О < г' < г илеет лесто

вложение

с ' (а;о0'г ',0)

р р

Следуя П.И. Лизоркина, С.Ы. Никольского распространим определение пространства Yp(G;o,0) на целые отрицательные значения г. Пусть г - целое отрицательное число и р е (1,+»). По определению положим . -

v4g;o,0) = ( V*r(g;l/a,C))'. f + = ,

P 4 l. P 4 J

где штрих означает переход к двойственному относительно l2(g) пространству.

Теорема 9 (Лелла 1.2). Пусть 1<р<+« , q=p/(p-i) и г - целое ощхлютелыюе число. Тогда для люОого элелехта f е v^(g;o,5) найдутся .^кидаи {д}^« г, д е Ьр1ое(0) такие, что

1) |ов",-|к1д; у0)| < + » ,

2) cf,u> = j j fk(x) uKk,(x) dx для всех u e v^'(g;i/o,c) .

jk| <-,o

3) ï p;V;(G:o,0)i = { l [ae-'-|4/k; Lp(G)| Jl/p.

M S"

Выведенные выше пространства У^(С;о,0) (при р-2) хорошо описывают гладкость решения вырождайтегося эллиптического дифференциального уравнения, когда коэффициенты дифференциального оператора и правая часть уравнения удовлетворяют некоторым условиям гладкости.

Пусть г с к.Рассмотрим билинейную форму

?[ и,о]= ^ ( а^иг', и*'), ¿19)

1Ч-1Ч5Г

где £ , скалярное произведение в пространстве 1^(0), ^(х)-измеримые в с комплекснозначные функции, удовлетворяющие следующим условиям

| а^гхф м а г(х) <х « о ) (20)

для всех мультииндексов к,1 по длине не превосходящих г и для

всех мультииндексов А. таких, что |Х| < т0. Здесь и далле т0 -некоторое фиксированное целое неотрицательное число.

Теорема 10 (Теорежх 1.1). Пусть Выполнены условия (18), (20). Тогда оператор ь -ассоциированный с билинейной форгсп1 (19) отображает пространство У^*г.(о;С"о,а) в тГ" (б; (8"п,аГ* ,в) • для всех ре(1,+®) и для всех целых чисел т таких, что О <т< шп.

Обозначим через слэдущей полунормой

Обозначим через I/(с;о) весовое пространство функций и(х) со

|и:ь;(0;о)| = { 2 ]1/р< + » .

И" о

Предположим, что коэффициенты' ^(х) билинейной фермы (19) удовлетворяют еледувдему условия эллиптичности

оиаг(х)1 |Г|2< Ке 7

!Ч' ' М-ЧМ-

для всех хс о и для любого набора комплексных чисел (?<1с> }|к|«ге с с. Чзмо о > О не зависит от х и от ?,к>.

- 22 -

Теорела II (Теорела 1.2). Пусть выполнены условия (19). (20) ,(21) и пусть задан элелент ? е (0; (o5~m>"î5 ), где m -любое целое число такое, что о s m < то. Тогда, если функция и е L^CGîo ) п \ loc'0' является решенизл уравнения

Р[ U,t>] = <f,v > (vue C£(G ) ) , (22)

то и е fÇ и пРи добавочного условия

|с ô"u; lgig) j < + 00 (23)

выполняется неравенство

JU;Vg*l"(G;05m,6)|< M { jU;V^(G;o.ö) Ц +

+ JF;V^-'(G;(0 ö-m)-',e) | j, .. (24)

где число M > О не зависит cm и(х) и F..

Замечание 1. Ест m < г, то правая часть уравнения (22) <Р,у> означает значение функционала F на функцию"у,-а если и > < т, то <i,v> = (F,и).

Во втором параграфе1 изучаются свойства некоторых весозых классов типа Соболева в R*. Используя результаты §2 и применяя полученную в первом параграфе априорную оценку, в 53 исследуется однозначная разрешимость и гладкость обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для внровдающихся эллиптических уравнений в Е*.

Разрешимость граничных задач для других классов вырождающихся эллиптических уравнений в R* рассматривались в работах Глушко в.П. и Савченко Ю.Б., Матвеевой И.И., Рыболова C.B. другими метода!,т.

Пусть функция <p(t) е c°°(r|) такая.что о < <р(£) < 1 для всех t с h/2': 1 ] и ip(t) = о когда t > 1, a <p(t> = 1 для всех t е 6 [О; 1/2]. Для любых дьух ьеЕостЕешкх чисел а, ß опеределим

следу щую функцию

°а,р(П = + ( г > О ).

Пусть р € (1;+®) и г -некоторой неотрицательное целое число. Определим следующие весовые классы функций, заданных в полупространстве и*

^а.э'О - Фя>а,р>'

I

+

; |и(х)|рсЦ' " < + о» |

+ У" < + " } '

7£;а,Р(!0 = 7р(н>а.р- гда аа,р<*> = "а.р^5' № =

Если 0 некоторое весовое пространство функций на н*, то чв-

о

рез V и V соответственно обозначим пополнения класса и

класса бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в ноль при больших значениях х^, з метрике пространства V. Справедливы слэдугзде теоремы. Теорела 12 (Теорела 2.1). Пусть выполнены условия . -а ♦ -I-в {1,2,...,г), Р + е {1,2....,г}, р-г > 7. Толда, с п очнссяью до э кбибсиекпвюат нсрл, VLteem легчо следующее равенство

Теорела 13 (Теорела Р..2). Пусть числа а, р, ^ удовлетворят услов>.*лл теорелы 12 прп ? = 2 и пусть -хч—^ < а < - ~ , г- з+_1. < зГ1, б < г—, 7> вл , 7+во * - , где иелов. число ь0 покое, о

г + а-~<в<г + а+ -г. '

О

Тогда для всех функций и е ь^.д^О справедливо неравенство х pa/Y(x)|u(z)h2dr« 1 f гоа р(1)|ил,(х)| )2dr

К ' im-г К

Пусть p[u,ü] -билинейная форма (19) в случае с = Предположим, что коэффишенты a^tx) удовлетворяют условию (20), где о(х) = оа р(х), 0(х) = х. Здесь то-некоторое фиксированное целое неотрицательное число. Вместо условия елииптичности (21) предпологается выполнение более сильного требования: существует число с > о такое, что

Re I ак1(х)Г i777 > с <£>р<хп> £ |?""|г ' (25).

в любой точке х с R* и для любого набора (£'к>)|к|<г-

Пусть числа а, р, 7 удовлетворяют всем условиям теоремы 13. Рассмотрим следующую вариационную задачу .Дирихле.

Задача D,. Для заданного элемента F с д _,(R+))'

требуется найти, функцию и(х) удовлетворяющую условия*

Ip[u,u] = < F,V > V v « (£(R*). (26)

В сделанных выше предположениях справедливы следующие теоремы.

Теорела 14 (Теорела 3.1). Пусть m -любое целое число такое, что о < a < m . Тогда Оля любого заданного элемента F е

- — о

существует единственное решение и(х) задачи

О

которое на салол деле принадлежит, пространству w^^p+m^K*) и при эяюд справедлива следущая оценка

- « 8Р!

Теорела 16 (Теорема 3.3). Для любого целого неотрицательного числа га < ш0 оператор L задачи D, осуществляет изоморфизм

= О, з = 0.1.....3 - 1. (27')

X жо

- 25 -

(алгебраический и топологический) просщ.-знства

Замечание 2. Из результатов П.И. Лизоркина следует, что условие (27) задачи £>, можно заменить на эквивалентное ему условие

Д5ДО», рясемятривается однозначная разрешимость я сзояствэ гладкости решения обобщенной граничной задачи в и* с неоднородными граничными условиями (27'), при этом на рост коэффициентов а^Ся) налагается более сильное чем раньше условие:

К* *<*>! « <р-г+,М*М )/г^|Х| (га>

для всех мультииндексов к, г, X таких, что 1к|,|Х| < г, |А.| < т0.

Задача С. Кля заданного функционала ? е ^ ^ и

заданного набора <[ункций

Ф) € В^-Т-'(!?„_,), ^ = 0.1.....ао-1, (29.)

где силвол в^й^) обозначат классы функций О.В. Бесова, заданные на требуется найти решение и(х) е ^ ^(Н*) уробне-ния (26), удовлетворяющее следуацил граничньи условиям

I = <Р,(Х). 3 '0,1.....В - 1.

их' ¡хп=0 1

' I .

Георела 16 (Теорела 3.3). Пусть числа а, р. 7. т такие хе как в теореле 14 и пусть коэффициент а^х) удовлетворят условиям (25), (28). Тогда для любого элелента Р € У?;1* „ я(н+) и любого набора граничных функций (29) задача д илеет и притол единственное решение и(х) е д -,(Н+) < хстспое на салол деле

с. % 1а» р« 7 п *

принадлежит чрослрмстбу ^ и при этол справедлива

следукюря, оценка

+ p |}'

гбе 'тело ll > о не зависит от ? и набора функций (29).

Четвертая глава диссертации,состоящаяся из пяти параграфов, посвящена исследованию разрешимости и свойства гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических дифференциальных уравнений, вырождащихся на границе ограниченной области Gc R„. Допускается более общий случай вырождения коэффициентов уравнения чем степенно-логарифмический. Граница области Q состоится из двух многообразий размерности п-1 и т, где Ск т <п-1, расположенных друг от друга на положительное.расстояние. Рассматри-' ваэмые дифференциальные операторы порождаются билинейными формами, которые в общем случаэ.нэ являются коэрцитивными.'

Пусть- 0ос ограниченная область. Пусть положительная функция f(x) пронадлежит 'классу с1(С20) и удовлетворяет равенству

р(хц9/(х)\ Е о+ ^ -- =

где р(х) - регуляризованное расстояние от точки х е до дй0 и супремум берется по всем х е для которых dlat(x, gnQ) < с. Множество всех таких функций f(x) обозначим через F(00).

~ Пусть R -компактное сС-многообразие без края.,размерности m < < п. Пусть положителная функцияi(x) ррталпвхат классу с®(йп\Я), и удовлетворяет условиям -ояао(х)< х(х) < - dtaf (х ; Я ); .

|1>Чех;| < HkT1"'vl <\r; для любого мультииндекса k.

Обозначим через ®(Rn\ И) множества положительных функций фСг) е oy(Rn\ В ) удовлотворящих условию

-27 -

1(х)\ ч фы |

е -» о+ й0(х) < е

в некоторой окрестности многообразии В и обрашащихся в единицу

при достаточно больших |х| > о .

Предположим, что существует некоторая окрестность в многообразии а такая,что 5 сс 00. Обозначим О = 00\ П н будем считать, что облает П0 и многообразие Я удовлетворяют условию конуса (определения см. в 51 четвертой главы).

Пусть функция в(х) е 0^(0 ) такая, что о < в(х) < 1; в(х}= 1 V I с б; вГхЛг О V х € О \ где -открытое множество со свойством-® с ,~34с 0 . Положим <р(х) = ф(х)в(х)+/(х;(1-в(х)). Будем говорить, что ср(х) е е Ф(П) если в этом равенстве /(х) е Т(^) я ф(х.) е Ф(ЯП\К). Пустъ'а.р е И, и ц(х) « Ф(0). Определим пространства Яр:О.Р:ф(П)* 7рлр;ф(0)»где м И р € (1,+ш), С нормами

¡"••«и^Щ -

= | I (ра(Х)1&

= П /Сра'

1|Ч<' а

1-г*!к'(х;т' Р"1"!к I(х)у(х)|(\г)|)"¿г | .

соответственно. Если 1. то пространства р.ф(П).

V' . ,п(П) соответственно обозначим через п(П), V* _ Я(П). р.а. р;ф , г ряХ,р р;Л,р

Основные свойства этих пространств изучены в первом параграфе.

Во втором параграфе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями. На фушс51ях и,V « С£(0) рассматривается билинейная форма

- 28 -

V [ u.u] = l [ <p Pk O^u11", <p J^l/11) (30)

M-IWs г

где ( • скалярное произведение в пространстве HQ = а ),

ф(i) € ф(0) и рк (х) = 1 k 1 (х) |к i (i) ( x е q ).

Предполагается,что коэффициенты ак1(х) измеримые функции ограниченные в 0 и для всех х е П, { = ^k)|k|<r с с удовлетворяют условиям:

|arg а (х,£)| < % - е, (31)

где е- некоторое число из интервала < о,* ) и

Ж (х,5) = 1 akl( х )ikit ; M-Ms г

l iek| .< И Не | .т(х ) А (x.i ) } ( (32)

М»г

где 7(х) - некоторая функция из С(П) такая,что ч(х) / о для всех х € СГ; число М > О. не зависит от х,

Здесь и далее функция arg z (z «= с) пронимает значения на отрезке (О.тс ]

Относительно чисел a,ß предпологается.что а + j « {1,2,...,г), ß + е {1,2,...,г), а<г, р<г. (33)

В силу ограниченности коэффициентов akl(x) доказывается, что

для всех и, v е с£(П ). Продолжая это неравенство по непрерыв-

о _

ности всюду будем считать, что Dpi] = Н+, где Н+= w2ja>ß;(p( О ). Рассматривается следующая вариационная задача Дирихле

Задача Т>0.Для заданного функционала [» z;a,ß;<p^ 0

требуется найти функцию и е ß.<p ( 0 ) удовлетворяющую уравнению

и [ и,и] + \ (и ,и ) = < Р.и > V и С ( О ),

- 29 -

гое - некоторое 6ещественнсе число.

Вариационная задача Дирихле для б л. икайпой фермы (30) при условии 3= з, 7(х) а 1, ф(х) з 1 издалась в работах А.А. Вашари-на. Л.Д. Кудрявцева, С.М. Никольского, Н.В. Кирошинй и др. При выполнения условии (31)-(32) форма (30) вообще говоря нэ будет н+- коэрцитивной относительно н^ (см. пршгер в §2 гл.К).

^ор0«'? п (Те<уг0кг р..л ).Пияяь т с 0(0) и числа а. 0 удов-летЬор&от услооияя (35). ТогСа су'^с^Х*". ,\0 z -

что если X > Х0, по для любого заданного функционала V е

с р.ф(О)]' задача В0 шееп единственное решение

и(х) и при этл справедлива оценка /

| « •• | * * I ? « ( Ч-.а,^}' |>

где число П не заЗисгяг са X <= [ Х0,+ ю ) и ся фунхцисгпала Р.

В трэтьеи параграфе четвертой главы псатад??,тся дпф^орэкцп-алышо свойства обобщенного решения зала" ■ Рг зрк некоторых допольнительных условиях на гладкость .".го^фщзентоз о^Ш билинейной фор«н. (30) .и на гладкость празоЗ част:; уравнения 1. Полученная з этом параграф априорная оценка относится к более Еирохсг^у, чем в $ 2 классу да}ферэнциалша о^рэторов.

Пусть 0 с р"- произвольная огратотенявя область и пусть о(х) ,0(х)~ положительные функцЕИ класса с1 (с), удозлотверятаэ условиям (18). . '

I

Пусть Р[ц,и] билинейная форта (19) и пусть ее коэффициенты

а^(х) удовлетворяют условии (20), где п^ -' некоторое целее неотрицательное число. 'Такге првдпологается, что

О г(х) I К„|г< гг 8е {-«х) I Ъп(х) ^ }

для возх г« о и для любого набора комплексных чисел С?к}|к|=гс

с с. Здесь ^(х)-комшгехснозначная «функция класса С( такая, что * О V х 6~<Г\

В сделанных выше предположениях справедлива следующая Теорела 18 (Теорем 3.1 )• Пусть додан элелеит р е е в"™)"^ ),гЗе т -произвольное целое число такое, что

о < т < п^.ТогОо, если функция и € С;о ) п \ 1ос(б)

является решениел уравнения (22) то и с и нахи~

чии добавочного условия (23) выполняется неравенство (24).

Предположим, что для всех мультииндексов. кЛ: )К| * 111 < г-г для любого мультииндекса q: |ч| < в0. где в0- целое неотрицательное число, выполняется неравенство

< н (ХбП) (35)

Теорела 19 (Теорела 3.2). Пусть выполнены все условия теоре~ ли 17 и пусть коэффициенты ак1 удовлетворяет условию (35). Тогда для любого элелента г е где ф(х)=1/<р(х)

и в-целое число такое, что О < в < е0, существует единственное решение и(х) задачи Т>0.Это решение принадлежит пространству 7г-а-в.р-е.ф^и "Р" зт0Л спаведлива следующая оуэнка

8" уГ£ар-*Ф(0)1 5 Н УГ;-а-8.-р.В!ф (П> 1 • ; где, число и > о не зависит, от у.

Пусть д П0, 51 - достаточно гладкими многообразия и пусть числа, а, р удовлетворяют условиям -1/2 < а < г - 1/2, а + 1/2« {1,2,....г-1};

<р<г- -а-д-й- , р + е {1.2,»..,г-1}|

Определяем целые числа г,, г2 из следувдих соотношений

г-а-1/2 < г,< г-а+1/2, г-р- < г2< г-р+

О

Тогда функции и(х) е Я^.ар(П) пронадлекит

ff'^I^O |¡c| <г,- 1.

ü""(X)\ =0 |H| < 1.

'a

В четвертом параграфе четвертой главы рассматривается вариационную задачу Дирлхле с неоднородными граничными условиями.

В пятом параграфе изучается некоторые спектральные свойства матричных дайвренциадый^. üUópüiopc-B, ^у^ртати15-

ными билинейными фермами.

На вектор-функциях u,v с где К -некоторое натураль-

ное число и Я = П0\ И -такая se область как и выше, рассмотрим билинейную форму

И С «*.»] = (36)

5 J^pCiJp^ (x.to^ fxju"" (X) ,ф(х Jp^ fx)u'l> (X)y^udz.

M-Í4< г n °

Здесь феФСП) я символом < , ">см -обозначено скалярное произведение в N-мерном комплексном пространстве cN.Предполагается, что

a^fx) =^¡'fxjji .где a^'Cx.)-измеримые функции ограниченные

в О и для всех i« О, £ = (Ck)|V|<rs: выполнены неравенства (31), (32),где

А (х.{) - J < a^ х )Ck. > .

I v 1. ¡ i j < Г

Обозначим через н^-а р-ф^" пространство вектор-$уккшй и(х)= =(и1(х)....,цм(х)) (X в О)'для.которых и(х) € №

удобства записи норму этого пространства обозначим через | 1+

о

Пусть ?íf= g (П)м-замыкание множества с^Ш)" по норме Ц Предположим, что числа a, б удовлетворяют условиям (33). Аналогично неравенстве (34) доказывается, что

I « [ '¿.«3! « I ц 1+ Г " ■+ ( V и. о « OjíQ)" ),

Следовательно, билинейная форма (36) определена на всех элементов u, u е Далее, всвду считается , что Dpi ] = ~Н+.

Пусть негативное пространство построенное по 71 = Ь2(П)М и Введем операторы А, —► Я_ действующие на элемент и е е Я+ соответственно по формулам

<А и, v> = V [ u.v], <А +U. v> = il [ у,и] ( V V е ).

Теорема 20 (Теорема 5.1;. В сделанных выше предположениях справедливы следующие утверждения:

(а) dim ker (А - Л£) = dim Лег (,Л+-"Пз) < + v X € с . .

(б) множество <S точек X е с таких, что dim tier. (А ~ ЛЕ) > о, является чисто точечным множеством .с 'единственной возможной предельной точкой на бесконечности.

■ (в) при любом кеб операторы (Л - ХЕ), (Л+-"Хе) илехт непрерывные обратные (А - Я J—► Я+. (г) при X. в ® уравнение

M-W3)u.= F (37)

разрешило для тех и только тех Р « И_ для тпорих

<?,t»=0 We Лег M+-"X~S) . (38)

Если Р е уЭоблетборяет f38J, mo существуем решение уровне-ния (37) удовлетворяющее неравенству .

1 UNSHIP J ; г<5е положительное число м = К(Л) не зависит cm I.

Рассмотрим ' следующую обобщенную 'задачу на собственные

значейиягкдЯтй функцию и(х) удовлетворявшая условиям

1« Itt, wl + X (u.u) «О V и € eg (О)" ( А. « с )

О, н ' ' v <39)

В уйловнях теоремы го обобщенная задача (39) имеет нетривиальные решения лишь гчя счетного числа значения параметра X (X=Xjt J=1,2,...) с единственной возможной предельной точкой на

бесконечности и число линейно независимые, решения отвечай*;« кэ-г.см* либо собственному значении , конечно. Низа, используя аналог теоремы 18 исследуем гладкость собственных Функций задачи (39) з зависимости от гладкости коэффициентов фсрта №)-

Првдполсгям, что элементы ({.Л = ГЛТ) матрицы а,!--'

удовлетворяют следующему неравенству

. I - I - _ . . . .. I о I I* | ,/11.1 171, -I _ ■( -^ (1

IV,-, . , , .. ... . -

для всех мултжядекссв а по дяя» нэ аревосходаод п-«отор«. о целого неотрицательного числа з.

Теорема г: (Теореж1 5.2). Пусть выполнена все условия теоремы 20 и пусть выполняется условия (40). Тогда собственные

о

функх&и задачи (39) принадлежат пространству 0+д.фШ)*.

Птблпг^язх по тсг:з д^сссртгц^п

•. Исхскав С.А. о гя&яхэста сбобкзпкогс решения гзрицгзяноЗ Дирюслв для вкрозигвдясл эллг-огпт - "гг у^вглша з

2. йсхскйб с.д. Распр*?доде:тил собстз^г'.-л злзчешй! ;:5:;стсры." классов нееамосопрл-;с:ашх слг.'.м

альных операторов в неограниченных областях // Докл. АН (Россия)." 1993." 1-330, о". 549-5533. Исхсхсв С.А. Еардацасыная задача Дядях-ъ для енрогдзлг-^с:! на границе эллиптической системы дифференциальных операторов // Докл. АН СССР.- 1992.-Т.322,2л .- С. 33-37-

•I. '.!:хсков с.А. О гладкости ревеяай обсбсеягпа заг&'ш Тлг1<и.лй и зздачи на собственные значения для дифференциальных операторов. порожденных некоэрцятивнкми ^илинейнмми *(г?.'/:.у:а ' Докл. АН (Россия).- 1995." Т.342, & 1.

5. БоЯматов Н.Х. Дсхоков С.А. Спектральная асимптотика задача

типа Гасымова-Костюченко с "негладкими" коэффициентами // Функц. анализ и его прилов.- 1985,- Т.19,вып.4.- С.76-77.

6. Исхоков С.А. Спектральная асимптотика задачи типа Гасымова -Костюченко в неограниченной области // Известия АН РТ. Отделение физ.- мат. и хим. наук.-1992.- JS3.- с. 3-11.

7. Исхоков С.А. Распределение собственных значений одного класса эллиптических дифференциальных операторов в Rn // Известия АН ТаджССР. Отделение физ.- мат., хим. и геол.

1988.- *4.- С. 73-77.

8. Исхоков С.А. Асимптотика взвешенного следа эллиптических , дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами // Тезисы докладов Республиканской научно-практической конференции молодых учен, и спец. ТаджССР. Математика. Душанбе,

1989.- с. 31-34. .

9. Исхоков С.А.-Распределение собственных значений самосопряженного дифференциащлого оператора во всем пространстве // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 0s.09.86.Jf 6516-В86.- 60 о.

10. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для вырождающейся эллиптической системы дифференциальных операторов // Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения".Куляб.- 1991.- о. 78-79.

11. Исхоков С.А. О спектральной асимптотике эллиптических ' дифференциальных операторов в неограниченной области //

Тезисы докладов научной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы". Алма-Ата.- 1991.- с. 120.. 12,. Исхоков С.А. Распределение собственных значений некоторых классов эллиптических дифференциальных операторов во всем . пространстве.- Рукопись деп. в ЕИНИТИ. 26.01.88, *723-В83. - 34 С.

13. Исхоков O.A. Спектральная асимптотика одного класса эллиптических дифференциальных операторов в неограниченной области // Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Теория приблежения и вложения функциональных пространств". Караганда.- 1991.- 0. 77.

14. Исхоков С.А., Гадоев М.Г. Об одном неравенстве тыла Харди для ограниченных областей, удовлетворящих условию конуса // Докл. АН ТадхиксксЗ ССР.- 1991.- 7.34.- ЯЗ.- С.1',6-151,

15. Исхоков С.А., Усманов Н.У. Обобщенная задача Дирихле для одного класса выроядаэдихся эллиптических систем дифференциальных уравнений в целиндрической области // Докл. АН Таджикской ССР. - 19ЭЗ.- Т.36.- Й12.

16. Исхоков С.А., Усманов Н.У. О разрешимости обобщенной граничной задачи с "носовыми" граничными условиями // Докл. АН Тпдх-кской ССР.- 1994.- Т.37, Я1 .- С.Л - 8.

1?. 'Ас-/.сгсоз С.А. О гладпости решения вырж;:

цлальнкх уравнений // Дифференц. урчвч«:; .д.- • - Г, 51, J5 4.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность Льву Дмитриевичу Кудрявцеву, Камолиддин Хамроевичу Бойматову и Киколяп Васильевичу Мирсшину за постоянное внимание к нему и

псддергку в работе.