Усреднение в областях с осциллирующей границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

004616191

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Национальный Исследовательский Ядерный Университет "МИФИ"

Л11&И

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

на правах рукописи УДК 517.956.226

Чечкина Татьяна Петровна

УСРЕДНЕНИЕ В ОБЛАСТЯХ С ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

" 9 ЛЕН 2010

Москва 2010

004616191

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Национального Исследовательского Ядерного Университета "МИФИ"

Научный руководитель: доктор фи^ихо-матсматлческих наук,

доцент Пастухова Светлана Евгеньевна.

Официальные оппоненты:, доктор физико-матема тических наук,

профессор Алкутрв ШрйЙ Александробйч

кандидат фкзикс^математйческнх. наук Беляев Алексей Юрьевич:

Ведущая организация: Институт- проблем механики

им, АЛО. Ишдинского РАН

Защита диссертации состоится 17 декабря 2010 г. в 16 часов на, заседании диссертационного совета ДМ 212.024.02 во Владимирском государственном гуманитарном университете ко адресу 600024, РФ, Владимир, проспект Строителей, Л1, аудитория 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского, государственного гуманитарного университета.

Автореферат разослан 12 ноября 2010 г„

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.024.02 прй ВГГУ кандидат физико-математических наук, доцент — Наумова С.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами — теория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, А. Ю. Беляев, A. Bensoussan, H. H. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. С. Булдырев, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, M. D. Van Dyke, M. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, Ю. Д. Головатый, G. Dal Maso, A. Damlamian, U. Hornung, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифьян, С. M. Козлов, О. А. Ладыженская, J.-L. Lions, JI. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. А. Марченко, В. П. Маслов, Т. А. Мельник, Ю. А. Митропольский, Е. Ф. Мищенко, F. Murât, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, G. Papanico-lau, С. Е. Пастухова, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, А. Л. Пятницкий, H. X. Розов, J. Saint Jean Paulin, Е. Sánchez-Palencia, И. В. Скрыпник, L. Tartar, А. Н. Тихонов, М. Ф. Федорюк, Е. Я. Хруслов, Г. А. Чечкин, D. Cioränescu, А. С. Шамаев.

В диссертации рассматриваются задачи в областях с быстрой осцилляцией границы области и трансмиссионного слоя в густых соединениях. Здесь под трансмиссионным слоем понимается асимптотически тонкий слой между телом соединения и большим количеством отростков в каскадном соединении. Интерес к такого рода задачам возник благодаря многочисленным приложениям. Это и инженерные науки, и физика, и химия, и биология. Задачи математической биологии давно появились в поле зрения учёных. На стыке наук можно найти неожиданные постановки и интересные приложения известных результатов. Например, в работе1 исследовался вопрос о проводимости биологических мембран и с помощью асимптотических методов была выведена более точная формула для проводимости. Краевые задачи, которые описывают поведение простейших одноклеточных, имеющих микроскопические размеры, естественно содержат малый параметр (характерный размер микронеоднородности среды). Закономерно, что для исследования таких задач становятся актуальными асимптотические методы и методы теории усреднения дифференциальных операторов, упомянутые выше.

Движение и питание простейших типа инфузории происходит благодаря наличию ресничек на поверхности их тел. Тонкие и относительно длинные реснички помогают доставлять питательные вещества к клетке, а плавные движе-

iBelyaev А.О., Chechkin G.A.t Gadyl'shin R.R. Effective Membrane Permeability: Estimates and Low Concentration Asymptotics // SIAM J. Appl. Math.- 2000.- v. 60, No 1,- p. 84-108.

ния ресничек заставляют ее двигаться. Внутри клетки можно увидеть и более плотные включения (фибриллы, ядра, митохондрии), и пузырьки газа (сократительная вакуоль, трихоцисты), и включения, состоящие из жидкости, окруженные мембранами (пищеварительная вакуоль). Установившийся био-физи-ческий процесс (метаболизм) в таких клетках может быть смоделирован краевой задачей в перфорированной области с быстро осциллирующей границей. Амплитуда осцилляции (высота ресничек), при этом, много больше периода (толщины ресничек). Процессы в таких клетках можно моделировать уравнениями в локально периодической области с осциллирующей границей (см. рисунок 1). Оказывается, что некоторые виды инфузорий имеют ярко выраженные локально периодические включения — пузырьки, например, инфузория STROBILIDIUM RAPULUM, в такой модели осцилляция границы согласована с внутренним строением области. При этом осцилляция границы может быть

Рис. 1: Инфузория туфелька (PARAMECIUM CAUDATUM).

как согласованной, так и не согласованной с внутренним строением области. Под согласованной структурой мы понимаем такую микроструктуру области, при которой период осцилляции и перфорации одинаковы и при этом ячейка периодичности — полуполоса с криволинейной границей, которая и формирует быстро осциллирующую границу области. Случай согласованной внутренней структуры и осцилляции внешней границы для областей типа "инфузории" был рассмотрен в работе [3]. Для такой структуры удаётся выписать усреднённую задачу, которая описывает эффективное поведение модели, и оценить скорость сходимости решений исходной задачи к решению усреднённой. Случай несогласованной структуры рассмотрен в работе [4]. В этом случае также удаётся описать эффективное поведение модели, т.е. построить усреднённую задачу и доказать сходимость решений.

Задачи в перфорированных областях с осциллирующей границей изучались в работе2, где рассмотрен случай, когда амплитуда и период осцилляции имеют одинаковый порядок.

Модельная задача в области с очень быстро осциллирующей границей, т.е. когда амплитуда имеет больший порядок, чем период, рассматривалась в работе3.

2Беляев А.Г., Пятницкий A.JI., Чечкан Г.А. Асимптотическое поведение решения краевой задачи в перфорированной области с осциллирующей границей. Сиб. мат. журнал,- 1998.- т. 39, No 4.- с. 730-754.

3Chechkin G. A., Friedman A., Piatnitski A. L. The Boundary Value Problem in Domains with Very Rapidly

В последние годы область математики, посвященная асимптотическому анализу задач в перфорированных областях, бурно развивается. Были получены результаты по усреднению для периодических, почти периодических и случайных структур. Детальную библиографию можно найти в работах4.

Другое направление, уравнения в областях с осциллирующей границей, также достаточно хорошо исследовано5.

Комбинация этих двух эффектов, перфорации и осцилляции внешней границы, является естественной, но приводит к появлению дополнительных математических трудностей.

Краевые задачи в густых сингулярно вырождающихся соединениях (количество компонент таких соединений неограниченно возрастает, когда параметр возмущения стремится к нулю) имеют свои специфические трудности: потеря коэрцитивности в предельном переходе6, отсутствие равномерно ограниченных по малому параметру операторов продолжения, степенной рост на бесконечности решений пограничного слоя, негладкая граница. В последние годы появилось много работ7, посвящённых асимптотическому анализу краевых задач в

Oscillating Boundary// Journal of Math. Anal, and Appl. — 1999. — 231, № 1. — C. 213-234.

* Sánchez-Palencia E. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin - New York: Springer-Verlag. 1987.

Олейник O.A., Иосифьлн Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМат-Лит, 1993.

Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. M.: Наука, 2004.

Марченко В. А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005.

5Kohler W., Papanicolaou G., Varadhan S. Boundary and Interface Problems in Regions with Very Rough Boundaries// In Multiple Scattering and Waves in Random Media (Eds. Chow P.L., Kohler W.E., Papanicolaou G.C.), 165-197. — Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1981.

Sánchez-Palencia E., Suquet P. FViction and homogenization of a boundary. In: Free Boundary Problems: Theory and Applications. Ed. A.Fasano, M.Primicerio, London, Pitman (1983) 561-571.

Бахвалов H.C., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

Беляев А.Г. О сингулярных возмущениях краевых задач; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1990.

Мов\ан А.Б., Назаров С.А. Влияние малой поверхностной иррегулярности на статическую деформацию тела и энергетический баланс растущей трещины. Прикл. мат. и мех., 55, (5,1991), с. 819-828.

Gaudiello A. Asymptotic Behavior of Non-homogeneous Neumann Problems in Domains with Oscillating Boundary// Ricerche di Math. — 1994. — 43. — C. 239-292.

Nevard J., Keller J. B. Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces// SIAM J. Appl. Math. — 1997. — 57, № 6. - C. 1660-1686.

6Fleury F. , Sánchez-Palencia E. Asymptotic and spectral properties of the acoustic vibrations of body, perforated by narrow channels, Bull Sci. Math.t 2 (1986), 149-176.

7Хруслов Е.Я. "О резонансных явлениях в одной задаче дифракции" Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 6 (1968), 111-129.

Котляров В.П., Хруслов Е.Я. О предельном граничном условии одной задачи Неймана Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 10 (1970) 83-96.

Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами. // Докл. РАН. 1993. Т. 133. № 1. С. 13-15.

Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа "густого гребешка"// Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 1996. — 19. — С. 138-174.

Mel'nyk Т. A. Asymptotic analysis of a spectral problem in a periodic thick junction of type 3:2:1, Mathematical Methods in the Applied sciences, 23 (2000), 321-346.

Mel'nyk T. A., Vaschuk P. S. Homogenization of the Neumann-Fourier Problem in a Thick Two-level Junction

густых мультиструктурах. В этих работах была дана классификация густых соединений и разработаны строгие асимптотические методы исследования основных краевых задач.

Густое соединение типа m : к : d является результатом объединения некоторой области, которую называют телом соединения, и большого числа е-пери-одически размещенных вдоль некоторого многообразия (зона присоединения) на поверхности тела соединения тонких областей. Тип соединения указывает соответственно на предельные размерности тела соединения (m), зоны присоединения (к), и присоединенных тонких областей (d); е — малый параметр, который характеризует расстояние между соседними тонкими областями и их толщину. Известно, что качественные свойства решений существенно зависят от типа соединения и от краевых условий, выставленных на границе присоединённых областей.

В краевых задачах на густых соединениях изучается асимптотическое поведение решений при е —» 0, когда количество тонких присоединяемых областей неограниченно возрастает, а их толщина стремится к нулю.

Густое многоуровневое соединение ~ это густое соединение, тонкие присоединяемые области (отростки) которого разделены на конечное число уровней в зависимости от их геометрической конфигурации и краевых условий задаваемых на границах тонких областей. Кроме того, тонкие области каждого уровня е-периодически чередуются вдоль зоны присоединения.

Густое каскадное соединение — это густое соединение, в котором тонкие отростки присоединяются к телу соединения через тонкий трансмиссионный слой.

Мы будем разделять густые многоуровневые (каскадные) соединения на три вида. К первому виду относятся густые соединения с фиксированной длиной тонких областей каждого уровня8 (или фиксированной толщиной трансмиссионного слоя и фиксированной длиной отростков). Ко второму виду относятся густые многоуровневые соединения, в которых длина отростков первого уровня (или густые каскадные соединения, в которых толщина трансмиссионного слоя) имеет тот же порядок, что и период чередования длинных присоединённых областей (см. 9, а также [11], [12]). К третьему виду относятся многоуровневые (или каскадные) соединения, в которых длина отростков первого уровня (тол-

of Туре 3:2:1, J. of Math. Physics, Analysis and Geometry, 2 (2008), 318-337.

Blanchard D., Gaudiello A., Mel'nyk T. A. Boundary homogenization and reduction of dimension in a KirchhofF-Love plate// SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2008. — 39, № 6. — C. 1764-1787.

Мельник Т. А., Че-чтсин Г. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых трёхмерных многоуровневых соединениях// Математический сборник. — 2009. — 200, № 3. — С. 49-74.

&De Мало U., Durante T., Mel'nyk Т. A. Asymptotic Approximation for the Solution to the Robin Problem in a Thick Multi-Level Junction// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS). — 2005. — 15, № 12. — C. 1897-1921.

^ M ельник Т. А., Чечкин Г. А. Усреднение краевой задачи в густом каскадном соединении// Проблемы математического анализа. — 2008. — 37. — С. 47-72.

щина трансмиссионного слоя) стремятся к нулю, но существенно медленнее, т.е. с меньшим порядком относительно малого параметра, чем период (см. [9]

Рис. 2: Густое многоуровневое и каскадное соединения третьего вида.

Отметим, что для соединений второго и третьего вида при некоторых значениях возмущенных параметров в краевых условиях, в усредненной задаче возникает нестандартное неоднородное условие сопряжения, которое учитывает геометрию тонких областей первого уровня (геометрию границы трансмиссионного слоя) и взаимодействие границ этих областей с внешней средой.

С недавнего времени появилось множество математических работ, посвященных асимптотическому анализу задач в областях со случайной микроструктурой. Первый строгий результат по усреднению эллиптических операторов в дивергентной форме со случайными коэффициентами был получен в пионерских работах10. Задачи усреднения в случайно перфорированных областях были изучены в статьях11. Граничное усреднение для эллиптических краевых задач со случайной сменой типа граничного условия было изучено в12. Более подробную информацию о случайном усреднении и детальную библиографию можно найти в монографиях13.

Работа [12] посвящена изучению краевой задачи в густом многоуровневом соединении типа 3:2:1с элементами случайности в структуре, при этом

10Козлов С. М. Усреднение случайных структур// Доклады АН СССР. 1978.- Т. 19, С. 950-954.

Козлов С. М. Усреднение случайных операторов// Мат. сборник. 1980.- Т. 37, С. 167-180.

Papanicolaou G. С., Varadhan S. R. S. Boundary value problems with rapidly oscillating random coefficients. Random fields, Vol. I, II (Esztergom, 1979), 835-873, Colloq. Math. Soc. Jtoos Bolyai, 27, North-Holland, Amsterdam-New York, 1981.

nZhikov V. V. Efficient conductivity of homogeneous random sets. Math. Notes, 45 (3-4, 1989): 288-296.

Zhikov V. V. Averaging in punctured random domains of general type. Math. Notes, 53 (1-2,1993): 30-42.

l2Beliaev A. Yu., Chechkin G. A., Averaging Operators with Boundary Conditions of Fine - Scaled Structure. Mathematical Notes 65 (4, 1999): 418-429 (Translated from Math. Zametki 65 (4, 1999): 496-510).

1гЖикоа В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМат-Лит, 1993.

Пятницкий А. Л., Че-чкин Г. А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Т. 3. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007.

предполагается, что отростки могут быть не только прямолинейными.

Работа поддержана грантами РФФИ № 09-01-00353-а и грантом Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1698.2008.1.

Цель работы.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию асимптотики решения краевых задач в областях с осциллирующей границей и многоуровневых (каскадных) густых соединениях, геометрия которых зависит от малого параметра.

Целью работы является

• вывод предельных задач, включая предельные уравнения, краевые условия и предельные условия сопряжения в зависимости от значений параметров;

• доказательство теорем усреднения, т.е. сходимости решений исходных задач к решениям усреднённых, в некоторых случаях с оценкой скорости сходимости;

• усреднение функционалов энергии в областях типа каскадного и многоуровневого густого соединения.

Методика исследования.

В диссертации используются методы теории усреднения, качественной теории дифференциальных операторов в частных производных, функционального анализа, элементы теории вероятностей и случайных процессов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

• Построены усреднённые задачи для исходных возмущённых задач в областях с осциллирующей границей и в многоуровневых густых соединениях.

• Доказаны теоремы сходимости решений исходных возмущённых задач к решениям усреднённых (предельных) задач. Получены оценки скорости сходимости для задач в областях с осциллирующей границей.

• Доказаны теоремы усреднения для функционалов энергии для многоуровневых и каскадных соединений.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Применённые в работе подходы и полученные результаты могут быть применены и к другим задачам граничного усреднения. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: МГУ, Механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В. В. Жикова, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой, семинар под руководством проф.

Г. А. Чечкина; кроме того, на заседаниях семинаров Белградского университета (2002, Белград, Югославия), университета Блеза Паскаля (2003, Клермон-Ферран, Франция), университета Жана Моне (2003, 2008, Сант-Этьен, Франция), технического университета города Люлео (2004, 2009, Швеция).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: 13-ый Международный коллоквиум по дифференциальным уравнениям (Пловдив, Болгария, 18 - 23 августа 2002 г.) - пленарный доклад; 5-ый Международный симпозиум по математическому анализу и его приложениям (Нишка Баня, Югославия, 2-6 октября 2002 г.) - приглашённый доклад; 6-ая Эллинско-Европейская конференция по компьютерной математике и её приложениям (HERCMA 2003) (Афины, Греция, 25 - 27 сентября 2003 г.) -приглашённый доклад; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, Россия, 27 июня - 2 июля 2008 г.) - секционный доклад; Международная конференция "Scaling Up for Modeling Transport and Flow in Porous Media" (Дубровник, Хорватия, 13 - 16 октября 2008 г.) - пленарный доклад.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-14].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 136 страниц текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов и списка литературы, включающего 166 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 1.2.3 - лемма 3 второго параграфа первой главы.

Основное содержание работы.

Первая глава. В первой главе рассматриваются краевые задачи в областях типа "инфузории", т.е. перфорированных областях с осциллирующей границей.

В первом параграфе рассматривается задача в области с согласованной структурой перфорации и осцилляции границы.

Пусть граница гладкой ограниченной области П с П {я | Xd > 0},е! > 2,

о

имеет плоскую часть Ti = flfi П {я | Xi = 0} с внутренностью Гь Пусть Гг =

о

<ЭП\Г1 и Го — компактное подмножество Гь

Определим локально периодическую внутреннюю перфорацию таким образом, чтобы она исчезала в окрестности Гг и являлась чисто периодической в окрестности Го- С этой целью мы вводим срезающую Со°(Кй)-функцию Ф(г), 0 < Ф(х) < 1, Ф(х) = 0 в окрестности Г2, Ф(х) = 1 в окрестности Го, и фиксируем открытое множество ио с гладкой границей, такое что о>о С □ = {£ | —1<

< 5, j = 1,... ,d}. Затем, обозначая 1-периодическое по £ продолжение характеристической функции множества шо через Хш0 (?) и функцию Хи0 (f /Ф (х))

через определяем следующую область:

Щ = П\{х\Х(х,~) = 1}.

Теперь оснастим область осциллирующей границей. Задавая гладкую неположительную 1-периодическую по £ функцию ,Р(х, £), х = (хх,... , х<г_х),

£ = (6. ■ • • , £¿-1), такую что в«ррх С) = {х | < 0}с Г0 для всех

£, мы определяем

П£ = {хеК1' : х е Гх> ^х, ^ < хл < 0}, а > 1

и, наконец, объединяя области, получаем искомую перфорированную область

П£ = П^ и ПЕ.

В соответствии с построением, граница <9ПЕ состоит из Г2 и = {х е Гх, ха —

Рис. 3: Область и система обозначений.

е«Р (ж, которые образуют внешнюю границу, и границы полостей Бе С П, = () П П (см. рис. 3).

Мы исследуем асимптотическое при е —» 0 поведение решения и£(х) следующей краевой задачи в области Г2Е:

' -Дис = /(х) в П£, ди.

на

ш

. дп.

= 0 на Г2, + ед (х, щ = ег (х, §) на

(1)

где у£ - внешняя нормаль к , п£ - внутренняя нормаль к границе полостей и N - внешняя нормаль к Гг; р (х, и д ^х, ^ - 1-периодические по £ функции,

д(х, £) и г(х,£) - 1-периодические по £ функции. Здесь нормировка е"«*' является естественной для ограниченности решений. Мы также предполагаем, что зйррх (р{х, и виррх принадлежат Го для всех Вектор нормали

пе зависит от х и | в П'\П" и представляется в следующей форме: пе(х, = п(х,£)| ^Ч-еп^х,^! Здесь п - нормаль к 5(х) = дю{х), где ы(х) = {£ е

^ 7 £ е

□ I £/Ф(х) е К = + а п' = (п, (УгФ(х) - (У*Ф(х),п) п) в □. Обозначим

и1(х,О = (^хп0(х),М(х,О), (2)

где 1-периодическая по £ вектор-функция М(х,£) = {М^х,^),... ,Ма(х,£)) удовлетворяет задаче

(ДеЛ^(х,О = 0 в а\ш(х),

= «а ад. (3)

Определим матрицу ац(х) = (^бц + ■ Здесь {-)п = /п •

i (°у(:с) = -|DV(x)|/(x)-iE(x) в П, tj'=i J ^ 1

+ = G(x) на Гь (4)

дщ(х) „ _

■W2 = 0 на

где

Q{x) = jq{x,i)da, B{x) = jrMdo% T={£ : 0 < fc < 1, j = 1}.

Замечание 1. Как решение краевой задачи (4) функция щ(х) определена в области П и допускает продолжение (см., например,и) в некоторую её окрестность с сохранением регулярности. Аналогично решение задачи (3) может быть продолжено во внутренность "дырки", так что функцию М(х, |) считаем заданной в окрестности области П, содержащей Г2£ при достаточно малых е. За продолженными функциями сохраняем прежние обозначения.

14Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва: Мир, 1971.

В частности, в приводимой ниже теореме как решение задачи (4) функция щ(х) принадлежит классу С3(П), согласно стандартным эллиптическим оценкам. С учётом продолжения считаем, что щ(х) е С3(Пе).

Теорема 1.1.1 Предположим, что f(x), g(х,£), р(х,£), д(ж,£) и г(х, £) — достаточно гладкие и при этомр{х, £) и q(x, £) — неотрицательные и хотя бы одна из них является строго положительной, по крайней мере, в одной точке. Тогда имеет место оценка

||ие(ж) - (и0(х) + ещ(х, < + е^) , (5)

где щ и щ — решения задач (1) и (4) соответственно, и\ определяется формулой (2), а Кх не зависит от е.

Во втором параграфе рассматривается область типа "инфузории" с несогласованной структурой перфорации и осцилляции границы.

Пусть граница ограниченной области П С d > 2, является (d — 1)-мерным гладким многообразием. Обозначим

Je = {j е Zd : dist (ej,dn)>eVd}, □ = {£ : < & < i г = 1,...,d}.

Определим перфорацию, а затем перфорированную область. Задав Апериодическую по f гладкую функцию Ф(а;,£), такую, что

Ф(х, £) > const > 0, Ф(х, 0) = -1, V{$ ф 0 при £ е □\{0>, мы положим

х,

Q*. = {xee(a+j) |Ф(*,-)<0}, je

е

и определим перфорированную область следующим образом:

= л\ у

Далее, мы будем интерпретировать 1-периодические по £ функции как функции, определенные на ¿-мерном торе ТЛ = {£ : £ е

Осталось снабдить область осциллирующей границей. Пусть дана гладкая неотрицательная 1-периодичная по £ функция у е дП, £ = Положим

1Г = {(у,т) : уедП, 0 < г < | > <* > 1,

шней нормали ] Ф 0. Далее, рассмотрим

где т - координата, направленная вдоль вектора внешней нормали к границе

dip

9Л, ip(y) - гладкая вектор-функция, такая, что

ду

произвольное финитное покрытие 80. с элементами IIч: дП — У 1/ч. В локаль-

ных координатах х„ = (х\,..., х\

Щ = \ (£„ г) : х, е и„ 0 < г < (хч,

вектор-функция 1р„ удовлетворяет <рч{х^) :— <р{у), если хч — локальные коор-д<р\

— ^ 0. Если пересечение и IIр непусто, то мы имеем

динаты у € дО., и

ЭХд

следующую формулу

<Рр@р)

В дальнейшем, мы будем опускать номер элемента покрытия д.

Наконец, нужную нам перфорированную область (см. рис. 4) определяем следующим образом:

= ^ и П£.

В силу изложенного выше построения, граница 9П£ состоит из Г£ = и{(гз, г) : хя е 1/я, т = £iFq (хя, образующей внешнюю грани-

цу, и границ "дырок" 5£ = (£ЮЕ) П Г2. Обозначим ЭД = {£ 6 ^Ф^.О = 0}, ш{х) = {£ 6 Г^|Ф(х,0 > 0}.

«О 'ЛИ) ' '

Рис. 4: Перфорированная область с быстроосциллирующей границей.

Мы исследуем асимптотическое поведение решения и£(х) при е —» 0 следующей краевой задачи в области П£ :

' -ДиЕ = }{х) в ПЕ,

8и.

дие дпе

+ £-

= (х,*®)

(6)

+ £9 (*> |) = ег(х, §)

где ие - внешняя нормаль к Ге, пс внутренняя нормаль к границе "дырок"; p(x,£j и — 1-периодические по £ функции, д(х,£) и г(х,() — 1-

периодические по £ функции. Рассмотрим также задачу

А Щ (aij{x} ^г) ~ R{x) ~ Q{x)uo{x) = -1° п в П,

I Е Oij(z) + Р (х) и0{х) = G(x) на an,

(7)

где N = (TVi,... ,Nd) — вектор единичной внешней нормали к 90, оу(х) — матрица, определённая в первом параграфе,

Р(х) = J р(х, О | (veF(x, £), Vv>) | Q(x) = J q(x, e) da,

G{x) = J g(x,0 | (vfF(£, £), Vp) | Я(®) = J r(x, d<r,

M—1 \ '

Теорема 1.2.1. Пусть р(х, £) и q(x,£) неотрицательные и хотя бы одна из них строго положительна по крайней мере в одной точке. Тогда

IK -ио|Ц2(П«) -> О

при £ —» 0, где иЕ и щ решения задач (6) и (7) соответственно.

Вторая глава. Во второй главе рассматриваются краевые задачи в многоуровневых и каскадных соединениях разных типов.

В первом параграфе рассматривается двумерное периодическое многоуровневое соединение.

Обозначим через а, bi, 62. fii, такие положительные действительные числа, что 0 < Ьх < Ъ2 < §, 0 < bi-f ^ < Ь2-у, < ¡-f. Разобьем

отрезок /о := [0, а] на N ровных сегментов \ej,e(j + 1)], j = 0,... ,N — 1. Здесь N — большое натуральное число, поэтому величина е = a/N — малый дискретный параметр.

Модельное густое многоуровневое соединение Г2£ (по нашей классификации третьего вида) (см. рис. 2) состоит из тела соединения

По = {х е R2 : 0 < xi < а, 0 < х2 < 7(0:1) },

где 7 £ С1((0, о]), min7 > 0, и большого количества тонких прямоугольников

[О,а]

Gf\dk,e)= jxeR2: In-е(г +dfc)l < ^ ®2 € (-e°ii,OjJ ,

Gf\e) = e R2 : \Xl-e(j + ±)| < z2 e (-i,0]J ,

где к = 1,..., 4, j = 0,1,..., N - 1, di = b\, d2 = b2, d3 = 1 - ¿4 = 1- Ь\и а <1. Итак, = n0 U U G?\ где G?> = Ц^1 (u£=1 öf (d*. <0) A04 = Ujio1 Gf\E)'> ЧИСЛО тонких прямоугольников равно 5JV и они разделяются на два чередующихся класса G^ и G^ в зависимости от их длины. Длина прямоугольников первого класса равна eali, 0 < а < 1, а второго класса равна I. Кроме того, параметр е характеризует расстояние между соседними тонкими стержнями и их толщину, которая равна eh\ для прямоугольников первого класса и sh2 для прямоугольников второго класса. Тонкие прямоугольники из каждого класса е-периодически чередуются вдоль отрезка Iq = {х : х\ 6 [0,а], z2 = 0}.

В Q£ рассмотрим следующую краевую задачу:

-Да, ис{х) = fe(x), х е П£;

диие{х) = е^р£{х), х G

дииЕ(х) = ege(x), х G li2); (8)

щ(х) = 0, хе Гц

диис(х) = 0, х е Гс.

Здесь ди = d/dv - производная по внешней нормали; действительный параметр fj, > 1 — а; Т^ - объединение боковых сторон и нижних оснований прямоугольников г—класса, г = 1,2; = {х : х2 = 7(2:1), 6 [0,а]};

г« = апе\(т?)ит?)иг1). _

Будем предполагать, что fE G L2(£l2), где П2 = fioU Z)2, D2 = (0, а) X (—0), и ||Л - /о||х,(п,) < Сл/Е при малых е; gE £ H1(D2,Ii) и для любого v е Hl(D2) имеет место оценка (де — до, г')я1(£>2) ^ ^V^IMU1^) ПРИ маль1Х £< здесь Ji/1(JC>2, -^1) — пространство функций из H1(D2), имеющих нулевой след на h = {ж : XI = 0,12 = (-i,0)} U {я : Жх = а, а:2 = Н,0)}; р£ £ Я1^1'), £>i1} = (0, а) х (-е%,0), и ЫЦдр, < ||ft(si,0) -po(®i)||l,(o^ < С ei при малых е.

Введем операцию продолжения для функций из пространства

Й(*)Ч Iе' W

0, X е D2 \ Ge

Функция

/ \ Note). zea0,

= < V с п (10)

определена через решения задачи сопряжения

-Дг vf(x) ~ fo(x), х £ Г20

и0+(х) = 0, 16Г!

dvv+(x) = 0, х е дП0\ (Г1 U/0),

-hidl^vâix) = h2f0(x) + g0(x), х Ç. D2, (Ц)

= «¿"(хьО), (xbO)eJ0,

(h2dX2vô -дХгь^(хи0) = 5^1-аP{%i)> (xi,0)e/0,

dx2vô(xu-l) ~ 0, (xh-l)eli,

которая разрешима единственным образом. Здесь Jj = {х : х2 = —I, х\ е (О,a)}; a равен 1, если Р — в и 0 иначе, Р{х\) s 81\ Рй(х\). Теорема 2.1.1.

1. Решение иЕ задачи (8) связано с функцией г>о(х), определённой соотношениями (10), (11), следующими сходимостями:

Чг

"о

слабо в Hl(Slо, Ti),

ñs —k h2 Vq слабо в L2(D2), дХ2ис h2 dX2v¿ слабо в L2{D2), dXlu£ —>■ 0 слабо в 2/2(Дг)|

при е —» 0. (12)

2. Имеет место сходимость интегралов

Ё£{и£) := [ |VxuE\2dx-> í \Vvq\2cLx+ f h2\dx^\2dx =: E0{va). (13) JSlt Jfta JDi

Во втором параграфе рассматривается задача в периодическом каскадном соединении с "широкой" трансмиссионной областью.

Пусть a, h — положительные действительные числа такие, что интервал 1д(1/2) := содержится в (0,1). Пусть N — большое натуральное

число, тогда е = a/N — малый дискретный параметр. Пусть также F(xi, — неположительная 1-периодическая по гладкая функция такая, что supp^F является компактным подмножеством интервала (0,а) равномерно по

Модельное густое каскадное соединение Пе (см. рис. 2) состоит из тела соединения Q0 = {х G R2 : 0 < Xi < а, 0 < х2 < Ф(хх)}, где Ф 6 С1 ([0, а]), ттФ > 0, большого количества тонких прямоугольников

б,(е)= |х £R2: (хь0) е/0) |irI < у, z2£ Н, 0]J, j = 0,1,..., N-1,

и трансмиссионного слоя

П£ — {х € К2 : X! е (0,а), еТ (хх, у) < х2 < 0},

где 0 < а < 1. Итак, Пс = П0 и де и ПЕ1 где 6е = и^1 или ^ = По и <?£ и П£, где = бДПе. Таким образом, имеется большой перепад высот при переходе от прямоугольников к трансмиссионному слою. Кроме того, параметр е характеризует расстояние между соседними тонкими стержнями и их толщину, которая равна еИ. Тонкие прямоугольники е-периодически чередуются вдоль отрезка 1о = {х : х\ Е [0, а], х2 = 0}. Обозначим также

.

/. 1Ч1

-еО + д) < У'х2

Ге = Т£ =

{хек2 : II £ (0,а)\в° х2 = ^(хъ^)}, Т^ := 5бДВ? или Бе и ВЕ, где 5£ — боковая поверхность множества ¿?£, Вс — нижняя поверхность (?е. Те :— ЗСДдП£, Те = £е и В£, Г1 = {х : х2 = Ф(хх), х% е [0, а]}, 7е = аПе\(ГеиТеиГ!).

В Г2£ рассматривается следующая краевая задача:

—Ах щ(х) дии£(х) д„и£(х) и£(х) диие(х)

= Мх),

едс(х), 0, 0,

х 6 хбГ£; х е Т£; х е Гц х 6 7е.

(14)

Здесь действительный параметр ц > 1 — а; ди = д/ди - производная по внешней нормали.

Относительно заданных функций будем предполагать, что выполняются следующие условия. Не ограничивая общности, считаем, что £ ¿2(^2)1 где 0.2 = ^о и £>2, = (0, а) х (—¿,0) - прямоугольник, который заполняется тонкими стержнями второго класса, и ||/е — /о||£а(па) < Су/ё при малых е. Функция де € Н1(02, /1) и для любого V е II1 (Б2) имеет место оценка (Зе - Зо.«)ячд.) < СЧ/ё|М1ячд>) пРи малых е.

Здесь Н1(Ю2, /1) — пространство функций из Н1{02), имеющие нулевой след на 1\, а /1 — боковая поверхность прямоугольника Функция р(х\, £1) является 1-периодической по

Введем операцию продолжения нулем, как и во втором параграфе (см. (9)). Функция г;о> определённая в (10), является единственным решением задачи (11)

Теорема 2.2.1.

1. Решение щ задачи (14) и функция ио(х), являющаяся решением задачи (11), связаны следующими соотношениями:

дХ2ие дх,щ

Уд слабо в Я1 (Ло, Гх),

Лг)ц слабо в ¿г (^2),

кдХ2Уд слабое ¿2(^2),

О слабо в 1/3(1)2),

при £ —► 0. (15)

2. Имеет место сходимость при е —> 0 интегралов энергии

Е£{щ):= [ \Чхщ\2с1х / |У«0+|2(& + [ Н\дх^\2йх =: Е0(ь0). (16)

УПо

В третьем параграфе рассматривается задача в двумерном случайном каскадном соединении.

Предполагается, что а и Л < 1 — положительные действительные числа, при этом интервал Гь(1/2) := , Чр) принадлежит (0,1). Разделим отрезок /0 := [0, а] на N равных частей [еу, е(] + 1)], ^ = 0,..., ЛГ - 1, Я б N. ДГ » 1. Таким образом, е = а/Ы — малый дискретный параметр. Отметим, что здесь и далее мы отождествляем отрезов /о и отрезок {х € К2 : х\ е [0, а], х2 = 0}.

Модельное каскадное густое соединение Юс со случайным трансмиссионным слоем состоит из тела

£>о = {х 6 К2 : 0 < х1 < а, 0 < х2 < Ф(ж0 }, где Ф 6 С^ЦО, а]), ттФ > 0, большого количества тонких прямоугольников

[0,о]

<?,-(е)= {ге!2: (жь0)е/0>

XI ~ £ (3 +

е/г

<у, Х2€

] = 0,1,..., N — 1 и случайной трансмиссионной зоны (тонкого слоя с осциллирующей границей)

Т1е = {хеШ2 : хх е (0,а), е0(х!)Е < х2 < 0},

где 9(х 1) — гладкая неотрицательная функция, зирр 0(х1) С 1о и —

случайная статистически однородная неположительная функция с гладкими реализациями, ш — элемент стандартного вероятностного пространства (П, Л, ц) (детальные определения приведены ниже). Таким образом, ПЕ = -О0иП£и6£, где = и^о1^'^) ог = £>0иПеиСг, где (?£ = Се\П£. Обозначим также

3° = 6 ;

- £(з + 3)

ек <Т,*2

ГЕ = {гб82 : не (0,а)\Б°, с9{х1)Р = х2},

Те := дСе\~В^ или Т£ = и В£, где Бе — боковая поверхность множества Се, Вс — нижняя граница С£; Те := дСе\д!1е, Т£ = £?£ и В£, Гх = {х : х2 = Ф(х1), X! е [0, а]}, уе = д.\ (Г£ и ТЕ и Г^ (см. рис. 5). В области £>Е

/X

Рис. 5: Плоское каскадное густое соединение со случайной трансмиссионной зоной

рассматривается следующая краевая задача:

— Лх Че(х) — /е(х),

д,щ(х)+£гв(х1)р(^,ш)ис(х) = 0(г1)в(а ц,).

(х) + е'' А (х) = £0 д£(х),

ие(х) = О,

диие(х) = О,

х€£>£; хеГ£; х 6 ТЕ; хеГи X е 7е.

(17)

Здесь <Э„ = д/ду — производная по направлению внешней нормали; к > 0; параметры Р > 1, д, т — действительные; и <7(£ъш) — случайные

статистически однородные положительные функции, имеющие гладкие реализации.

Без ограничения общности считаем, что /£ € ¿2(^1)) где £>х = Г>о и £2, £>2 = (0, а) х (—1,0). Также предполагается, что /е —* /о сильно в £2(^1) при е —» 0. Для функции <7е е Я1 (£>2) имеет место сходимость де —1 з0 слабо в Я^Дг) при е 0.

Определение 2.3.6.Случайная функция Ф(х1,а>) (ях е € П) называется статистически однородной, если имеет место следующее представление: Ф(х2,о>) = Ф(ТХ1ш) для некоторой функции Ф, где ТХ1 — динамическая система на П.

Для статистически однородных функций, имеющих гладкие реализации, обозначим 3ШФ(Тцш) := дх^{х\,и}).

Теперь сформулируем дополнительные условия на функции р, д и Р. Предположим, что р, <? и Р — статистически однородные, ТХ1 — эргодическая и

почти наверное р(о) > 0, ИрИд^ад < оо, ИяИд^ад < оо, < то,

1М11»(п./0 < оо.

Введем операцию продолжения нулем функций из II1 (С€) (см. (9)). Справедливы теоремы.

Теорема 2.3.2. (Случай г>0ид>1) Решение ие задачи (17) для почти всех ш (почти наверное) удовлетворяет

ис ->■ в Я^Оо.Гх),

^йе в Ь2ф2),

д^ис 1гдХ2Уо в Ь2(в2), дХ1ие —0 е Ь2(£2),

где

при е —► 0, (18)

хеЛ0'- (19)

это единственное решение задачи

~АХ v£(x) = /о(ж), х е D0 itf(x) = 0, х 6 Г! d„v£(x) = 0, x&dD0\(Г! U/o), ~hd^2vô(x) + 2Sf,ikvo (x) = hfa{x)+5ptiga{x), x G D2¡ (20)

^í(^i.o) = ^0(^1,0), (жа, o) e J0. (ft^wí- 5Tfi(l~h)ePv¿yXu0) = (1 -h)9Q, (xb0) e /о,

dXlvô(xu ~l) - 0, (xb -1) £ h,

которую называют усреднённой задачей для задачи (17). Здесь D2 = (0, а) х (—Z,0), Ii — {x : Х2 = —l, х\ e (0,а)}; 5а,к — это аналог символа Кронекера для нецелых индексов;

Р(х!)=е(к6,ь;^/1 + (0(x1)%F(6,o;))2)=E (р(ш) Jl + (9(xi) д^ш))2^,

Более того для почти всех ш имеем сходимость интегралов энергии:

Ее(ис) := / \Vxue\2dx + eT / 0(xi)p(—u]dax-\-e>lk / u\dox Jd, Jr, \ e / jt,

-» / |V4|2dx+ í (h\dx,vñ\2 + 25ll,lk\v¿\2)dx+ (21)

JDo JDi

+ 5Tio(l - h) I 0(xi)P(a;i)|ví(a;i, 0)|2 йхг ==: E0{v0) при г-»0.

Jiо

Теорема 2.3.3. (Случай т < 0 и ц ~> 1) Для решений ие задачи (17) имеют место соотношения

и£

НУп

в ЯЧД).^),

в 1п{Рг),

Ь,дХ2Уй в Ь2{02), дХ1щ ->■ 0 в Ь2(02),

> при Е —> О

(22)

для почти всех ш, где функции Уд и у0 являются, соответственно, решениями следующих задач:

-Лх у£(х) = /0(х), хеВ0

у+(х) = О, ж 6 Гх и /о

диу+{х) = 0, хедДД (Г! и 70),

-Ьд1гХ2Ьо{х) +25^ кьй{х) = Л/о(х) + <5^,1I £ Да,

(23)

(24)

г;0(хьО) = 0, (х!,0)е/0,

дХ2Уо(х1,-1) = 0, (хь-1)е11,

которые в совокупности называются предельной (усреднённой) задачей для (17).

Более того, имеет место сходимость

Е1

(и£) -» / |У<|2<*х + /1/ |<Э12г>0-|2(*г + 2^1*: [ К\2 йх

~ Ео{у£) + Е0{уо).

(25)

при е —► О для почти всех ш.

Теорема 2.3.3. (Случай /и < 1) Для решения и£ задачи (17) для почти всех ш имеет место

в Н\Do.ro,

о о " 1

; -> о в £2(А>), /

при е —> О,

(26)

где функция Уд является решением задачи (23). Более того, для почти всех ш умеем

Ее(ие) / |У^|2(£е=: Е0(у£) при е0. JDS¡

(27)

В четвёртом параграфе рассматривается задача в трёхмерном случайном каскадном соединении, периодическом в одном направлении.

Предположим, что В — это круг с центром в начале координат и лежащий в единичном квадрате

а = {е = (£ъ6):0<6<1, 0<б<1}-

Модельное каскадное густое соединение Ое со случайным переходным слоем, периодическим в одном направлении, состоит из тела соединения

Б0 = {х е К3 : х' - (XI, х2) 6 /о, 0 < а;3 < Ф(х') },

где /о = (0, а) X (0, а), Ф € о), тт Ф(г') = Ф0 > 0, большого числа тонких

х'е<?

криволинейных цилиндров

хзбН4

,7 = 0,1,..., ЛГ — 1,

где £?(хз), хз 6 [—0] — заданная гладкая положительная функция, е(0) = 1 и случайной переходной (трансмиссионной) зоны (тонкого слоя с осциллирующей границей)

П£ = |х € К3 : х' 6 10, ев(х')Р (у, и) 0 (у) < х3 < о|,

где в(х') — гладкая неотрицательная функция, вирр О(х') с /о, ^(£1,01) — случайная статистически однородная неположительная функция, имеющая гладкие реализации, и) — элемент стандартного вероятностного пространства (Л, Л, ц) и ©(?г) — достаточно гладкая 1-периодическая неотрицательная функция. Таким образом,

N-1

Д£ = Д, и П£ и Се, Сс = и дц(е).

¿¿=0

Здесь N — большое натуральное число, поэтому е = а/N — малый дискретный параметр. Отметим, что мы отождествляем квадрат 1о и квадрат {х £ К3 : х' £ /о,з:з = 0}.

В эквивалентной форме = Во и П£ I) (?£, где <?£ = ¿?ДПе (см. рис. б). Мы обозначаем также В° = {х £ М3 : (е-1 XI — г, е-1 х2 — У) € 5, х3 = 0},

ГЕ = {х е Щб, : хз = ев&)Е (у,в },

Те := дОе\В°Е или Те = й'е и где 5е — боковая поверхность множества <Зе, а Ве — нижняя граница цилиндров С£; Т£ := ЭС?ДсШе или Т£ = ¿>£ и В£,

Рис. 6: Каскадное густое соединение типа 3 : 2 : 1 со случайной трансмиссионной зоной

Г1 = {х : хз = Ф(г'), х' е То}, Ъ = \ (Ге и Те и 1\). В области БЕ мы рассматриваем следующую краевую задачу:

-Лх ие(х) = /Е(х), х € Бе;

д1/ие(х)+е>гк;иЕ(х) = е^д£{х), 1бТ£; (28)

иЕ(х) =0, х € Гх;

д1/ие{х) =0, х € 7е.

Здесь ди = д/ди — производная по направлению внешней нормали; к > 0; параметры /3 > 1, ц, г являются действительными; 1,ш) и — слу-

чайные статистически однородные функции, при этом, р (£1, и>) — положительная и обе функции р и 5 имеют гладкие реализации. Функции Т^) и — достаточно гладкие 1-периодические и V — неотрицательная.

Предполагается, что имеют место следующие условия. Без ограничения общности /е е Ьг(0{), где 1>1 = и £>2, £>2 = /о х (—0), и /е —> /0 сильно в 1-2(1)1) при е —> 0. Функция дЕ е Я^-Ог) удовлетворяет условию 50

слабо в Я1 (1)г) при е —> 0. Также предполагаем, что Тц — эргодическая и почти наверное р(ш) > 0, |)р||£оо(ад < оо, НаЦ^ад < оо, ||Ф||д,,(ад < оо, И^ФН^ад < оо.

Введем, как и ранее, операцию продолжения нулем функций из Н1 (С?е) (см. (9)). Обозначим ш(х3) = {£' € К2 : (е_1(з;з)6> в~Чхз)&) 6 В} , также обозначим через |о|(а;з)| и 1Ш(хз), — соответственно, площадь и периметр области ш{хз) для любого фиксированного хз £ [—¿,0]. Справедливы утверждения.

Теорема 2.4.1. (Случай г > 0 и ц > 1) Решение иЕ задачи (28) для почти

всех ш удовлетворяет предельным соотношениям

> при е -> 0, (29)

- О в Ь2{Рг), г = 1,2,

где функция

u£\Do - в ЯЧКо.ГО,

|со»(а?з)| Vg в L2(D2),

д^ое |и>(я;з)|Згз^ в L2{D2),

dx¡ue ^ О в L2(D2), i = 1,2,

} ItTÍx)

X*Do<- (30)

x€D2

это единственное решение задачи

-Ai V¿(x) = /о(ж), х е Do v¿(x) = 0, х е 14

д^(х) = О, хедП0\(Г1 и/0),

(|w(x3)|dl3tJo (х)) + ^,1/ы(а;з)Ьо (х) =

= |w(x3)|/o(a;)-l-5w/1J(x3)po(a;), а: £ D2, v+(x', 0)=Vo(x',0), (х',0) е lo,

(|ы(0)|в^1>5"- ^wf+íT>o0(®')W«á")(s',O) = 9{x')QW), (z'-0) G Jo,

dX3Vo(x', -l) = 0, (x', -l) € h,

(31)

которая называется усреднённой задачей для задачи (28). Здесь /j = {х : Хз = -г, х' е 70}; dQijc — это аналог, как и ранее, символа Кронекера для нецелых индексов;

Р{х')=ж(р{ш) jv(b)(l + (0(x')duF(u,)9({2))2+(0(x')F М<%©(6))2)^,

Q(x')=E(q(W)^Q(ft)(l + (0(s'RF(W)9(6))2 + (f^FM^efe))2)^) •

Более того, имеет место сходимость Ес(ие) := J\Vxue\2dx + еТ Jв(х')р ^u2edax + E>"k J u\dax —>

—» / |Ví/0+|2dx+ f (Nx3)¡|^0-|2 + Mw(x3)fcK-|2)dx+ JDa JDi

+ áT,o f e(x!)P(x')\v+(x',a)\2 dx' E0(v0)

Jh

при e —» 0 йлл почти всех ш.

Теорема 2.4.2. (Случай т < 0 и /х > 1) Для решения и£ задачи (28) имеют место сходимости

«Ид,

дх^е

4

в Я1(Оо,Гх),

к(а:з)|«о в ЬШ

|^(а:з)|51зг)о в £,2(£>2),

О е Ьг{р2), г = 1,2,

при е —» О

(33)

для почти всех ш, где функции ггц" и ь0 являются решениями, соответственно, следующих задач:

-Аху$(х) = /о(х), хеО0 и£(х) = О, х е П и 10

д^(х) = о, х е ал0 \ (^ и 70),

-дхз(Ияз) 13:^0 (г)) + б^1Цх3)кь^ (х) =

= |^(а:з)|/о(г)+^д/ы(а;з)5о(а;)1 г е -02,

^ (я', 0) = 0, (х\ 0) € 70, -0 = 0, (х', -I) 6 7,,

которые вместе называются усреднённой задачей для задачи (28). Более того, имеет место сходимость интегралов энергии

(34)

(35)

Е1

-> / IЧу£\2йх+ [ \и>(хз)\ \дХзУд\2 йх + JDa JD■¡

+ к [ Цх3)К-|2сгх =: Ё0(<) + £о("о)

^ В-1

(36)

при е —* 0 для почти всех и>.

Теорема 2.4.3. (Случай р, < 1) Для решения щ задачи (28) для почти всех и> имеют место сходимости

к ^ 4 в Н^сГг), щ - 0 в Ь2(П2),

при £ —> О,

(37)

где функция Уд является решением задачи (34) и более того, для почти всех ш сходятся интегралы энергии:

£,(«*)-» [ |У<;0+|2 <&=:£()№) (38)

JDa

при £ —» 0.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] chechkina т.р., снеснкш G.A. Homogenization Theory in Microbiology // Abstracts of the Thirteen International Colloquium on Differential Equations (August 18-23, 2002, Plovdiv, Bulgaria), 13.

В работе [1] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство основной теоремы.

[2] chechkina Т.P., chechkin G.A. Homogenization Problems in Microbiology // Abstracts of the 5th International Symposium on Mathematical Analysis and its Applications (MAA5) (October 2-6, 2002, Niska Banja, Yugoslavia), 3-4.

В работе [2] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство основной теоремы и вспомогательных лемм.

[3] Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Об усреднении задач в областях типа "инфузории" // Труды семинара им. И.Г.Петровского.- 2003.- т. 23.- с. 379-400.

В работе [3] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство основной сходимости и оценки.

[4] Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Теорема усреднения для задач в областях типа "инфузории" с несогласованной структурой // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. Уравнения с частными производными. ВИНИТИ.- 2003.- т. 2.- с. 139-154.

В работе [4] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство сходимости решений.

[5] chechkina Т.P., chechkin G.A. Homogenization Models and Methods in Microbiology // Proceedings of the Sixth Hellenic - European Conference on Computer Mathematics and its Applications (HERCMA 2003) (September 25-27,2003, Athens, Hellas). Volume 1,173-174. Athens: LEA Publisher, 2004.

В работе [5] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство основной теоремы.

[6] Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Некоторые прикладные вопросы теории граничного усреднения // Соросовский Образовательный Журнал.- 2005.т. 9, No 1.- с. 123-127.

в работе [6] Чечкиной Т.П. принадлежит изложение результатов об усреднении в областях с осциллирующими границами.

[7] чечкин г.а., Чечкина т.п. Задача усреднения на случайном многоуровневом соединении // Сборник тезисов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (с 27 июня по 2 июля 2008 года, Суздаль, Россия), 257-258. Владимир: Изд-во Влад. гос. ун-та, 2008.

В работе [7] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство теоремы усреднения.

[8] Chechkina T.P., chechkin G.A. Homogenization of Random Multilevel Junctions // Book of Abstracts of the International Conference: Scaling Up for Modeling Transport and Flow in Porous Media (Dubrovnik, Croatia, 13-16 October 2008), 15-17.

В работе [8] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство теоремы усреднения.

[9] мельник т.а., Чечкин Г.А., Чечкина Т.П. Теоремы сходимости для решений и интегралов энергии краевой задачи с возмущенными краевыми условиями Неймана на границах тонких стержней в густых многоуровневых соединениях нового типа // Проблемы математического анализа.-2009.- т. 40. - с. 113-131.

В работе [9] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство основной теоремы и сходимость функционалов энергии.

{10] Chechkina Т.Р., Chechkin G.A., D'Apice С., De Маю U. Homogenization in Domains Randomly Perforated Along the Boundary // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. В.- 2009,- v. 12, No 4,- p. 713-730.

В работе [10] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство теоремы усреднения для случайной перфорации.

[11] Chechkina Т.Р., Chechkin G.A., D'Apice С., De Маю U., Mel'nyk T. A. Asymptotic Analysis of a Boundary Value Problem in a Cascade Thick Junction with a Random Transmission Zone // Applicable Analysis.-2009. v. 88, No 10-11. - p. 1543-1562.

В работе [И] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство теоремы усреднения для случайной осцилляции границы.

[12] Chechkina Т.Р., Chechkin G.A., D'Apice С., De Маю U., Mel'nyk T. A. Homogenization of 3D Thick Cascade Junction with the Random Transmission Zone Periodic in One direction // Russian Journal of Mathematical Physics.- 2010.- v. 17, No 1,- p. 35-55.

В работе [12] Чечкиной Т.П. принадлежит доказательство теоремы усреднения для случайной структуры.

[13] чечкина т.п. о сходимости решений краевой задачи в густом каскадном соединении с осциллирующей границей трансмиссионной зоны в случае условий Неймана на границе // УМН,- 2010.- т. 65, No 5.- с. 195-196.

[14] ЧЕЧКИНА Т.П. Усреднение в каскадных соединениях с "широкой" трансмиссионной областью // Современная математика. Фундаментальные направления.- 2011,- т. 39.- с. 126-138.

Изд.№12-11-01 Объем п.л. /,о Тираж / оо Заказ

Академия бюджета и казначейства

101990, Москва, Златоустинский Малый пер. д.7 стр 1.

Введение

1 Обзор литературы и описание проблемы.

2 Структура работы.

1 Усреднение в областях типа инфузории

§1.1 Усреднение в областях с согласованной структурой перфорации и осцилляции.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Формальная процедура усреднения.

1.1.3 Предварительные леммы.

1.1.4 Основная оценка.

§ 1.2 Усреднение в области с несогласованной структурой.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Применение метода компенсированной компактности Мюра-Тартара.

1.2.3 Предварительная лемма.

1.2.4 Доказательство теоремы.

2 Усреднение в многоуровневых соединениях

§2.1 Усреднение в периодическом многоуровневом соединении

2.1.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

2.1.2 Вспомогательные асимптотические утверждения

2.1.3 Доказательство основной теоремы.

§2.2 Усреднение в периодическом каскадном соединении с широкой" трансмиссионной областью.

2.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

2.2.2 Вспомогательные асимптотические утверждения

2.2.3 Доказательство основной теоремы.

§ 2.3 Усреднение в двумерном случайном каскадном соединении

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Определение случайности.

2.3.3 Основные результаты.

2.3.4 Вспомогательные утверждения.

2.3.5 Доказательство основных утверждений.

§2.4 Усреднение в трёхмерном случайном каскадном соединении

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Основные результаты.

2.4.3 Вспомогательные леммы.

2.4.4 Доказательство основных результатов.

1 Обзор литературы и описание проблемы.

Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами — теория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, А. Ю. Беляев, A. Bensoussan, H. H. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. С. Булдырев, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, M. D. Van Dyke, M. И. Вишик, Р. Р. Гадылынин, Ю. Д. Головатый, G. Dal Maso,

A. Damlamian, U. Hornung, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифь-ян, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, J.-L. Lions, Л. А. Люстерник,

B. Г. Мазья, В. А. Марченко, В. П. Маслов, Т. А. Мельник, Ю. А. Мит-ропольский, Е. Ф. Мищенко, F. Murât, С. А. Назаров, О. А. Олей-ник, Г. П. Панасенко, G. Papanicolau, С.Е.Пастухова, Б. А. Пламенев-ский, Л. С. Понтрягин, А. Л. Пятницкий, H. X. Розов, J. Saint Jean Paulin, Е. Sánchez-Palencia, И. В. Скрыпник, L. Tartar, А. Н. Тихонов, М. Ф. Федорюк, Е. Я. Хруслов, Г. А. Чечкин, D. Cioränescu, А. С. Ша-маев (см., например, [2], [3], [6], [28], [29], [160], [157], [150], [50], [83], [96], [26], [11], [7], [136], [27], [152], [148], [43], [44], [45], [48], [108], [16], [133], [115], [12], [13], [59], [119], [120], [66], [21], [9], [30], [40], [34], [14], [15], [158], [113], [70], [17], [114], [8], [46], [131], а также см. обзор в [58]).

В диссертации рассматриваются задачи в областях с сингулярно возмущёнными границами, такими как быстрая осцилляция границы области и трансмиссионного слоя в густых соединениях. Здесь под трансмиссионным слоем понимается асимптотически тонкий слой между телом соединения и большим количеством отростков в каскадном соединении. Интерес к такого рода задачам возник благодаря многочисленным приложениям. Это и инженерные науки, и физика, и химия, и биология. В инженерной науке интерес привлекают модели композитных материалов, скелетонов и стержневых конструкций с шероховатыми поверхностями. В физике и химии такие задачи моделируют поведение трущихся поверхностей и кристаллов, растущих на гладких поверхностях. Влияние микронеоднородностей поверхности на глобальное поведение структур (например, трение); прохождение света через прозрачные материалы с неровной поверхностью и формирование правильной картинки интерференции воли при этом; замедление и увеличение скорости реакции в химических процессах при сложных интерфейсах между средами и многое другое.

Математическая биология давно привлекает внимание ученых. На стыке наук можно найти неожиданные постановки задач и интересные приложения известных результатов. Например, в работе [84] исследовался вопрос о проводимости биологических мембран и с помощью асимптотических методов была выведена более точная формула для проводимости. Краевые задачи, которые описывают поведение простейших одноклеточных, имеющих микроскопические размеры, естественно содержат малый параметр (характерный размер микронеоднородности среды). Естественно, что для исследования таких задач становятся актуальными асимптотические методы и методы теории усреднения дифференциальных операторов, упомянутые выше.

Движение и питание простейших типа инфузории происходит благодаря наличию ресничек на поверхности их тел (см. рисунок 1). Тонкие и относительно длинные реснички помогают доставлять питательные вещества к клетке, а плавные движения ресничек заставляют ее двигаться. Современные микроскопы позволяют увидеть неоднородное внут

Рис. 1: Инфузория туфелька (PARAMECIUM CAUDATUM). реннее строение простейших. Внутри клетки можно увидеть и более плотные включения (фибриллы, ядра, митохондрии), и пузырьки газа (сократительная вакуоль, трихоцисты), и включения, состоящие из жидкости, окруженные мембранами (пищеварительная вакуоль). Установившийся био-физический процесс (метаболизм) в таких клетках может быть смоделирован краевой задачей в перфорированной области с быстро осциллирующей границей. Амплитуда осцилляции (высота ресничек), при этом, много больше периода (толщины ресничек). Строение клеток инфузорий подсказывает, что необходимо рассматривать области со случайной микроструктурой и осцилляцию границы, несогласованную с внутренним строением. С хорошей точностью можно считать, что внутренняя структура инфузорий имеет локально периодический характер в некоторой малой окрестности её границы.

Как мы уже отметили, осцилляция границы может быть как согласованной, так и не согласованной с внутренним строением области. Под согласованной структурой мы понимаем такую микроструктуру области, при которой период осцилляции и перфорации одинаковы и при этом ячейка периодичности — полуполоса с криволинейной границей, которая и формирует быстро осциллирующую границу области. Случай согласованной внутренней структуры и осцилляции внешней границы для областей типа "инфузории" был рассмотрен в работе [68]. В качестве примера, в работе была предъявлена инфузория (8ТЮВ1ЬГОШМ КАРиЫ1М) (см. рисунок 2), у которой структура ресничек строго согласована с внутренней микроструктурой. Случай несогласованной структуры рассмотрен в работе [69]. В обоих случаях

Рис. 2: Инфузория зтыовилбшм ылриьим. удаётся описать эффективное поведение модели, т.е. построить усреднённую задачу и доказать сходимость решений, но в случае согласованной структуры появляется возможность оценить скорость сходимости.

Задачи в перфорированных областях с осциллирующей границей изучались в работе [5], где рассмотрен случай, когда амплитуда и период осцилляции имеют одинаковый порядок.

Модельная задача в области с очень быстро осциллирующей границей, т.е. когда амплитуда имеет порядок много больший, чем период, рассматривалась в [100].

В работе [68] рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона в локально периодической перфорированной области с быстро осциллирующей границей. Предполагается, что осцилляция границы согласована с внутренним строением области и амплитуда осцилляции много больше периода. При этом на границе полостей и на осциллирующей границе ставится третье краевое условие (условие Фурье), которое характеризует установившийся обмен веществ (диффузию). Неоднородности д£{х) и г£(х) в граничных условиях третьего типа (условиях Фурье) на осциллирующей части границы и на границе полостей характеризуют перемещение питательных веществ к клетке и внутри неё. Эффективное поглощение и перемещение питательных веществ описывается усреднёнными функциями С(х) и Я(х) (средними от д£(х) и ге{х) по соответствующей ячейке периодичности).

Работа [69] посвящена изучению поведения перфорированного тела с быстро осциллирующей внешней границей. Перфорация и граничная осцилляция предполагаются локально периодическими, причем их структуры не согласованы.

В последние годы область математики, посвященная асимптотическому анализу задач в перфорированных областях, бурно развивается. Были получены результаты по усреднению для периодических, почти периодических и случайных структур. Детальную библиографию можно найти в [131], [16], [50], [29], [157], [113]. В частности, задачи с условием Неймана на границе полостей были исследованы в [109], [62], с третьим краевым условием (условием Фурье) на границе полостей были исследованы в [52], [53], [63], [64], а также в [5], [101], [110]. Интересные случаи рассмотрены в [54], [55], где исследуются асимптотики задачи с косой производной на поверхности полостей и задачи типа Стеклова. Также один интересный случай был рассмотрен в [10]. Особый интерес вызывает наиболее реалистичный случай, когда на границе дырок присутствует малая диссипация. Соответствующая математическая постановка включает третье краевое условие (условие Фурье) с малым параметром, при этом в усредненном уравнении возникает потенциал. Периодический случай был подробно изучен в [111], [110]. Позднее, локально периодические перфорированные структуры были изучены в [107], [137]. В работе [52] исследуется асимптотическое поведение спектра краевой задачи с третьим краевым условием на границе полостей, в которых большая диссипация компенсируется за счёт введения неограниченно возрастающего потенциала в уравнение.

Другое направление, уравнения в областях с осциллирующей границей, также достаточно хорошо исследовано. Смотри, например, [79], [3], [4], [5], [92], [97], [100], [116], [129], [130], [135], [42], [149], [49], [151], [57], [156], [159], [161], [162].

Комбинация этих двух эффектов, перфорации и осцилляции внешней границы, является естественной, но приводит к появлению дополнительных математических трудностей. Случай, когда внутренняя и граничная структуры согласованы, был рассмотрен в [5], а также в статье [68]. В работе [69] изучается общий случай, когда и перфорация, и осцилляция границы локально периодичны и их структуры не согласованы. При этом осцилляция и перфорация имеют различные порядки малости. В этом случае невозможно получить асимптотический ряд для решения задачи и только доказывается сходимость решений.

Краевые задачи в густых сингулярно вырождающихся соединениях (количество компонент таких соединений неограниченно возрастает, когда параметр возмущения стремится к нулю) имеют свои специфические трудности: потеря коэрцитивности в предельном переходе, отсутствие равномерно ограниченных по е операторов продолжения, степенной рост на бесконечности решений пограничного слоя, негладкая граница. В последние годы появилось много работ, посвящённых асимптотическому анализу краевых задач в густых мультиструктурах (см., например, [87], [37], [117], [122], [121], [134], [146], [147]). Первыми работами в этом направлении были работы [67], [22]. В работах [32], [140], [142], [145], [141], [143], [139], [33], [34], [47] была дана классификация густых соединений и разработаны строгие асимптотические методы исследования основных краевых задач.

Густое соединение типа т : к : й является результатом объединения некоторой области, которую называют телом соединения, и большого числа £—периодически размещенных вдоль некоторого многообразия (зона присоединения) на поверхности тела соединения тонких областей. Тип соединения указывает соответственно на предельные размерности тела соединения (ш), зоны присоединения (к), и присоединенных тонких областей («¿); е - малый параметр, который характеризует расстояние между соседними тонкими областями и их толщину. Было показано, что качественные свойства решений существенно зависят от типа соединения и от краевых условий, выставленных на границе присоединённых областей. Более того, в работе [128] было показано, что такие задачи теряют коэрцитивность при е —» 0 и это создаёт дополнительные трудности в асимптотических исследованиях.

В краевых задачах на густых соединениях изучается асимптотическое поведение решений при е —0, т.е. когда количество тонких присоединяемых областей неограниченно возрастает, а их толщина стремится к нулю.

Густое многоуровневое соединение — это густое соединение, тонкие присоединяемые области (отростки) которого разделены на конечное число уровней в зависимости от их геометрической конфигурации и краевых условий задаваемых на границах тонких областей. Кроме того; тонкие области из каждого уровня £-периодически чередуются вдоль зоны присоединения.

Густое каскадное соединение — это густое соединение, в котором тонкие отростки присоединяются к телу соединения через тонкий трансмиссионный слой.

В работах [32], [33], [140], [34], [141], [47], [147] показано, что асимптотическое поведение решений краевых задач в густых соединениях существенно зависит от краевых условий (Неймана, Фурье, Стекло-ва, Дирихле), которые задаются на границах тонких присоединяемых областей и геометрической конфигурации густого соединения.

Мы будем разделять густые многоуровневые соединения на три вида. К первому виду принадлежат густые соединения с конечной длиной тонких областей из каждого уровня (см. рис. 3). Краевые задачи

-а,

Рис. 3: Густое многоуровневое соединение первого вида. в таких соединениях были рассмотрены в [121], [145], [125], [35], [126].

Следует заметить, что в случае краевых условий Неймана или Фурье, многоуровневые соединения ведут себя как многофазные среды (см. [121, 145, 126]). Если на границах тонких областей из разных уровней чередуются краевые условия Фурье и Дирихле, то в пределе получаем две независимые краевые задачи, решения которых являются главными членами асимптотики для решения исходной задачи в многоуровневом соединении (см. [125, 35]). На следующем шаге асимптотики первые члены согласуются специальными решениями типа пограничного слоя в зоне присоединения (см. [125]).

Ко второму виду также относятся густые каскадные соединения, в которых толщина трансмиссионного слоя имеет тот же порядок, что и период чередования длинных присоединённых областей (см. работы [105], [106]). В работах [36], [37], [38] исследовались краевые задачи в густых многоуровневых соединениях, в которых тонкие области первого уровня имеет длину того же порядка, что и период чередования. В этих работах на границах тонких областей задавались неоднородные краевые условиях третьего рода с возмущенными коэффициентами. Были доказаны теоремы усреднения и сходимость интегралов энергии. Отметим также, что при некоторых значениях возмущенных параметров в краевых условиях, в усредненной задаче возникает нестандартное неоднородное условие сопряжения, которое учитывает геометрию тонких областей из первого уровня и взаимодействие границ этих областей с внешней средой.

К третьему виду относятся многоуровневые или каскадные соединения, в которых тонкие области первого уровня (толщина трансмиссионного слоя) стремятся к нулю, но существенно медленнее (с меньшим порядком малости относительно малого параметра), чем период. Результаты для многоуровневого соединения третьего вида получены в работе [39]. В этой работе предполагается, что такое соединение имеет два уровня присоединённых тонких прямоугольников. Один уровень состоит из тонких прямоугольников конечной длины, расположенных периодически с периодом е, где е = a/N — малый дискретный параметр, а = const, N — большое натуральное число. Другой уровень состоит из тонких прямоугольников малой длины (порядка еа, О < а < 1), также расположенных периодически с периодом е. Кроме того, прямоугольники из разных уровней е-периодически чередуются. Таким образом второй уровень состоит из прямоугольников, длины которых малы, но существенно больше периода чередования.

В работе [72] (см. также краткое сообщение [71]) исследуется краевая задача в густом каскадном соединении третьего вида с быстро осциллирующим трансмиссионным слоем (см. рис. 4). Предполагается,

Рис. 4: Густое многоуровневое и каскадное соединения третьего вида. что такое соединение имеет тонкие присоединённые прямоугольники конечной длины, расположенные периодически с периодом е, где s = a/N — малый дискретный параметр, а = const, N — большое натуральное число, и локально периодический осциллирующий трансмиссионный слой ширины порядка еа, 0 < а < 1с периодом осцилляции равным е. Таким образом, трансмиссионный слой имеет малую ширину, но существенно большую периода осцилляции.

Заметим, что при а —> 0 мы получаем густое многоуровневое соединение первого вида, а при а —> 1 — густое каскадное соединение. Однако, как следует из результатов работы [39] и результатов полученных в предыдущих работах, такие предельные переходы в усредненной задаче не дают правильных усредненных задач. Это говорит о различном и качественном характере возмущения краевых задач в многоуровневых соединений трех видов.

Отметим, что для соединений второго и третьего вида при некоторых значениях возмущенных параметров в краевых условиях, в усредненной задаче возникает нестандартное неоднородное условие сопряжения, которое учитывает геометрию тонких областей из первого уровня (геометрию границы трансмиссионного слоя) и взаимодействие границ этих областей с внешней средой.

Области рассматриваемого типа, по сути, являются симбиозом областей с густым соединением прямоугольников конечной длины, методы исследования краевых задач в которых разработаны в работах [29], [67], [22], [32], [33], [140], [34], [141], [47], [147], [87], [88], [89], [117], [134], [76], и областей с быстро осциллирующей границей, краевые задачи в которых рассматривались в работах [74], [75], [4], [5], [93], [102], [100], [116], [130], [132], [135], [149], [31], [68], [69]. Отметим, что методы, разработанные в вышеприведённых статьях, кроме [31], для областей с быстро осциллирующей границей, существенно используют тот факт, что осцилляция определяется некоторой гладкой функцией. В работе [39] граница тонких прямоугольников второго уровня не может задаваться никакой функцией, что приводит к дополнительным трудностям.

В работах [72], [71], [39] рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона с разными неоднородными краевыми условиями Неймана, в которые входят дополнительные параметры, на границах топких прямоугольников разных уровней. В зависимости от значений этих параметров меняется асимптотика решения исходной задачи.

С недавнего времени появилось множество математических работ, посвящённых асимптотическому анализу задач в областях со случайной микроструктурой. Первый строгий результат по усреднению эллиптических операторов в дивергентной форме со случайными коэффициентами был получен в пионерских работах [19], [20] и [153]. Затем, оценки скорости сходимости были выведены и доказаны в [163]. Задачи усреднения в случайно перфорированных областях были изучены в [164], [165]. Отметим, что в [165] был рассмотрен случай более общей геометрии. В частности, не предполагалось наличие оператора продолжения. В работе [94] авторы определяют стохастическую двух-масштабную сходимость и исследуют её основные свойства. Позже понятие двухмасштабной сходимости было обобщено в [166], техника, развитая в статье позволяет также рассматривать случайные тонкие структуры и сингулярные меры. Усреднённые уравнения для потока жидкости в среде со случайной микроструктурой было выведено в [95]. Задачи усреднения для случайных операторов с возрастающими младшими членами рассмотрены в [98], [123]. Более подробную информацию о случайном усреднении и детальную библиографию можно найти в монографиях [16], [58]. Граничное усреднение для эллиптических краевых задач со случайной сменой типа граничного условия было изучено в [85]; эффективные граничные условия для областей, случайно перфорированных вдоль границы, были получены в [104]. Усреднение интегральных функционалов в случайно перфорированных областях было разобрано в [81]. Задачи с р-Лапласианом в стохастическом случае были изучены в [82]. Уравнение Стокса изучалось в [86].

Рис. 5: Каскадное густое соединение со случайной трансмиссионной зоной

Работа [105] посвящена проблемам усреднения в 2Т) густом соединении со случайным трансмиссионным слоем (см. рис. 5). Случай ЗБ рассмотрен в [106].

Остановимся подробнее на работах [105] и [106]. В статье [105] рассматривается краевая задача в двумерном густом соединении типа 2:1:1 с периодической структурой присоединённых прямоугольников и случайным трансмиссионным слоем, в отличие от работ [37], [36], где рассмотрен случай многоуровневого соединения с периодической структурой. Изучается асимптотическое поведение решения при стремлении малого параметра к нулю в предположении, что на границе прямоугольников и трансмиссионного слоя выставлено возмущённое условие Фурье (третье краевое условие) Доказана теорема усреднения и сходимость соответствующих интегралов энергии. Показано, что есть три качественно различных случая асимптотического поведения решений.

Рис. 6: Каскадное густое соединение типа 3 : 2 : 1 со случайной трансмиссионной зоной

Работа [106] посвящена изучению краевой задачи в густом многоуровневом соединении типа 3:2:1 (см. рис. 6). Густое соединение в работе имеет более сложную структуру. Трансмиссионная зона имеет случайную структуру по одному направлению и периодическую по другому направлению. Для такой структуры приходится использовать как методы усреднения периодических структур, так и методы усреднения случайных структур. Более того, предполагается, что присоединяемые отростки имеют переменное сечение.

2 Структура работы

Диссертация занимает 136 страниц текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов, и списка литературы, содержащего 166 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная — номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 2.1.3 — лемма 3 первого параграфа второй главы. Обозначения в каждой главе, как правило, независимы. Обратное оговаривается в каждом случае отдельно.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

4. Беляев А.Г. О сингулярных возмущениях краевых задач; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1990.

5. Беляев А.Г., Пятницкий A.JI., Чечкин Г.А. Асимптотическое поведение решения краевой задачи в перфорированной области с осциллирующей границей. Сиб. мат. журнал.- 1998.- т. 39, No 4,- с. 730-754.

6. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М.: Наука, 2004.

7. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.

8. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий. // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. № 6. С.23-70.

9. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973.

10. Волков Д. Б. Об осреднении некоторых краевых задач в областях с периодической структурой. // ЖВМ и МФ.- 1982.- т. 22, No 1,-с. 112-122.

11. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой. // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

12. Гадыльшин P.P. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца. // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. № 1. С. 3-76.

13. Гадыльшин P.P. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны. // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 1. С. 3-19.

14. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник O.A., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. // Сиб. мат. журнал. 1988. Т.29. № 5. С. 71-91.

15. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединёнными массами: эффект локальных колебаний. // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1992. Т. 54. С. 29-72.

16. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит, 1993.

17. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

18. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967.

19. Козлов С. М. Усреднение случайных структур// Доклады АН СССР. 1978.- Т. 19, С. 950-954.

20. Козлов С. М. Усреднение случайных операторов// Мат. сборник. 1980,- Т. 37, С. 167-180.

21. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелиненых гиперболических уравнений. М.: МАИК "Наука", 1998.

22. Котляров В.П., Хруслов Е.Я. О предельном граничном условии одной задачи Неймана Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 10 (1970) 83-96.

23. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

24. Ладыженская O.A., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977.

25. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва: Мир, 1971.

26. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва: Мир, 1972.

27. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика-решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981.

28. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005.

29. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

30. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

31. Мельник Т. А. Усереднение эллиптических уравнений, описывающих процессы в сильно неоднородных тонких перфорированных областях с быстро изменяющейся толщиной// Доклады АН Украины. 1991. — 10. - С. 15-19.

32. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами. // Докл. РАН. 1993. Т. 133. № 1. С. 13-15.

33. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа "густого гребешка"// Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 1996. — 19. — С. 138-174.

34. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями. // Алгебра Анализ. 2000. Т. 12. № 2. С. 188-238.

35. Мельник Т. А., Ващук П. С. Усреднение краевой задачи со сменным типом граничных условий в густом соединении// Дифференциальные уравнения. — 2007. — 43, № 5. — С. 677-685.

36. Мельник Т. А., Чечкин Г. А. Усреднение краевой задачи в густом каскадном соединении// Проблемы математического анализа. — 2008. 37. - С. 47-72.

37. Мельник Т. А., Чечкин Г. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых каскадных соединениях/ / Доповвд HAH У крайни. 2008. - 9. - С. 16-22.

38. Мельник Т. А., Чечкин Г. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых трёхмерных многоуровневых соединениях// Математический сборник. — 2009. — 200, № 3. — С. 49-74.

39. Митрополъский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1976.

40. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

41. Мовчан A.B., Назаров С.А. Влияние малой поверхностной иррегулярности на статическую деформацию тела и энергетический баланс растущей трещины. Прикл. мат. и мех., 55, (5,1991), с. 819-828.

42. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1983.

43. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1984.

44. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1987.

45. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

46. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей// Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1995. - 18. - С. 1-78 (Часть I); Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 2000. — 20. — С. 155-196 (Часть И).

47. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Новосибирск: Изд-во "Научная книга", 2002.

48. Олейник О. А., Иосифъян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областяхс некомпактной границей. Мат. сборник, (1980), т. 112 (154), с. 588-610.

49. Олейник O.A., Иосифъян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

50. Олейник O.A. Лекции об уравнениях с частными производными. Второе издание. Классический университетский учебник. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005, 260 с.

51. Пастухова С.Е. Усреднение смешанной задачи с косой производной для эллиптического оператора в перфорированной области // Диф. уравнения.- 1994,- т. 30, No 8.- с. 1445-1456.

52. Пастухова С.Е. О погрешности усреднения для задачи Стекло-ва в перфорированной области // Диф. уравнения.- 1995.- т. 31, No 6.- с. 1042-1054.

53. Пастухова С.Е. Метод компенсированной компактности Тартара в усреднении спектра смешанной задачи для эллиптического уравнения в перфорированной области с третьим краевым условием // Мат. сборник.- 1995,- т. 186, No 5.- с. 127-144.

54. Пастухова С.Е. О характере распределения поля температур в перфорированном теле с заданным его значением на внешней границе в условиях теплообмена на границе полостей по закону Ньютона. // Мат. сборник,- 1996,- т. 187, No 6,- с. 85-96.

55. Пастухова С.Е. Обоснование асимптотики решения смешанной задачи для стационарной теплопроводности в перфорированной области // ТММО 1997,- т. 58.- с. 88-101.

56. Пастухова С.Е. Эффект осциллирующей границы в усреднении задачи климатизации // Дифференциальные уравнения 2001.т. 37, No 9.- с. 1216-1222.

57. Пятницкий А. JI., Чечкин Г. А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Т. 3. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007.

58. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

59. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

60. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989.

61. Сукретный В. И. Усреднение краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях // УМН.- 1983.- т. 38, No 6.- с. 125-126.

62. Сукретный В. И. Асимптотическое разложение решений третьей краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // УМН.- 1984.- т. 39, No 4.- с. 120121.

63. Сукретный В. И. О задаче стационарной теплопроводности в перфорированных областях. Препринт 84.48 Института математики АН УССР. Киев, 1984.

64. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

65. Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения. // Труды семинара СЛ. Соболева. № 1. Новосибирск. 1980. С. 113-131.

66. Хруслов Е.Я. "О резонансных явлениях в одной задаче дифракции" Теория функций, функциональный анализ и их приложения,, 6 (1968), 111-129.

67. Чечкин Г. А., Чечкина Т. П. Об усреднении задач в областях типа "инфузории" // Труды семинара им. И.Г.Петровского.- 2003.т. 23,- с. 386-407.

68. Чечкина Т.П. О сходимости решений краевой задачи в густом каскадном соединении с осциллирующей границей' трансмиссионной зоны в случае условий Неймана на границе// УМН.- 2010.т. 65, No 5.- с. 195-196.

69. Чечкина Т.П. Усреднение в каскадных соединениях с "широкой" трансмиссионной областью// Современная математика. Фундаментальные направления.- 2011.- т. 39.- с. 126-138.

70. Adams R. Sobolev Spaces. Academic Press, New York London, 1975.

71. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. Asymptotics of Simple Eigenvalues and Eigenfunctions for the Laplace Operator in a Domain with Oscillating Boundary// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — 46, № 1. — С. 102-115.

72. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. Asymptotics for Eigenelements of Laplacian in Domain with Oscillating Boundary:Multiple Eigenvalues// Applicable Analysis. — 2007. — 86, № 7. — C. 873-897.

73. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. Asymptotics of the Solution of a Dirichlet Spectral Problem in a Junction with Highly Oscillating Boundary// CR Mécanique. 2008. - 336, № 9. -C. 693-698.

74. Amirat Y., Bodart 0., Chechkin G. A., Piatnitski A. L. Boundary homogenization in domains with randomly oscillating boundary // Stochastic Processes and their Applications.- 2010.- v. 121.- p. 1-23.

75. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. Asymptotic Approximation of Eigenelements of the Dirichlet Problem for the Laplacian in a Domain with Shoots// Mathematical Methods in the Applied Sciences (M2AS). 2010. — 33, № 7 — C. 811-830.

76. Arrieta J.M. Neumann Eigenvalue Problems on Exterior Perturbations of the Domain. Journal of Differential Equations 118 (1995) 54-103.

77. Ball J. M., Murat F. Remarks on Rank-One Convexity and Quasiconvexity. R 90043. Paris. Universite Pierre et Marie Curie, Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d'analyse numérique (1990).

78. Balzano M., Corbo Esposito A., Paderni G. Nonlinear Dirichlet Problems in Randomly Perforated Domains, Rendiconti di Matematica e dette sue Appl (7) 17 (1997), 163-186.

79. Balzano M., Durante T. The p-Laplacian in Domains with Small Random Holes, Boll. Unione Mat. Ral. Sez. B Artie. Ric. Mat. 6 (8) (2003), 435-458.

80. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

81. Belyaev A.G., Chechkin G.A., Gadyl'shin R.R. Effective Membrane Permeability: Estimates and Low Concentration Asymptotics // SIAM J. Appl. Math.- 2000.- v. 60, No 1.- p. 84-108.

82. Beliaev A. Yu., Chechkin G. A., Averaging Operators with Boundary Conditions of Fine Scaled Structure. Mathematical Notes 65 (4, 1999): 418-429 (Translated from Math. Zametki 65 (4, 1999): 496510).

83. Beliaev A. Yu., Efendiev F., Homogenization of the Stokes equations with random potential. Mathematical Notes 59 (3-4,1996): 361-372.

84. Blanchard D., Gaudiello A., Mel'nyk T. A. Boundary homogenization and reduction of dimension in a Kirchhoff-Love plate// SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2008. — 39, № 6. C. 1764-1787.

85. Blanchard D., Gaudiello A., Mossino J. Highly oscillating boundaries and reduction of dimension: the critical case// Analysis and Application. —2007. — 5. — C. 137-163.

86. Blanchard D., Gaudiello A., Griso G. Junction of a periodic family of elastic rods with 3d plate// J. Math. Pures Appl. — 2007. — 88, m 9. C. 1-33 (Part I); J. Math. Pures Appl. - 2007. - 88, № 9. -C. 149-190 (Part II).

87. Bogoljubov N.N., Mitropol'skij Yu.A. Asymptotic Methods in Theory of Nonlinear Oscillations. New York: Gordon and Breach, 1962.

88. Briane M. Homogénéisation de Matériaux Fibres et Multi-Couches. Thèse d'Etat, Université de Paris VI, France (1990).

89. Brizzi R., Chalot J.P. Homogénéisation de frontière. Thèse d'Etat, Université de Nice, France (1978). (Ricerche di Mat. 46 (2, 1997) 341-387.)

90. Bouchitté G., Lidouh A., Suquet P. Homogénéisation de frontière pour la modélisation du contact entre un corps déformable non linéaire et un corps rigide// C. R. Acad. Se. Paris. Sér. I. — 1991. — 313. C. 967-972.

91. Bourgeat A., Mikelic A., Wright S. Stochastic two-scale convergence in the mean and applications. J. Reine Angew. Math., 456 (1994): 19-51

92. Bourgeat A., Kozlov S. M., Mikelic A. Effective equations of two-phase flow in random media. Calc. Var. Partial Differential Equations, 3 (3, 1995): 385-406.

93. Butazzo G., Dal Maso G. P-limits of integral functionals. //J. Analyse Math. 1980. V. 37. P. 145-185.

94. Butazzo G., Kohn R. Reinforcement by a Thin Layer with Oscillating Thickness. IMA Preprint Series # 236. Minneapolis: Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota (April 1986).

95. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential. Stochastic Process. Appl, 93 (1, 2001): 57-85.

96. Casado-Diaz J. Existence of a sequence satisfying Cioranescu-Murat conditions in homogenization of Dirichlet problems in perforated domains, Rend. Mat. Appl. (7) , Roma, 16 (1996), Ser. VII, 387413.

97. Chechkin G. A., Friedman A., Piatnitski A. L. The Boundary Value Problem in Domains with Very Rapidly Oscillating Boundary// Journal of Math. Anal, and Appl. — 1999. — 231, № 1. C. 213-234.

98. Chechkin G.A., Piatnitski A.L. Homogenization of Boundary—Value Problem in a Locally Periodic Perforated Domain // Applicable Analysis.- 1999,- v. 71, No 1-4.- p. 215-235.

99. Chechkin G. A., Chechkina T. P., D'Apice C., De Maio U. Homogenization in Domains Randomly Perforated Along the Boundary // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. B.- 2009.-v. 12, No 4,- p. 713-730.

100. Chechkin G. A., Chechkina T. P., D'Apice C., De Maio U., Mel'nyk T. A. Asymptotic Analysis of a Boundary Value Problem in a Cascade Thick Junction with a Random Transmission Zone// Applicable Analysis. 2009. -88, № 10-11. - C. 1543-1562.

101. Chechkin G. A., Chechkina T. P., DApice C., De Maio U., Mel'nyk T. A. Homogenization of 3D Thick Cascade Junction with the Random Transmission Zone Periodic in One direction// Russian Journal of Mathematical Physics. — 2010. — 17, №1. — C. 35-55.

102. Chenais D., Mascarenhas M.L., Trabucho L. On the Optimization of Non Periodic homogenized Microstructures. Modélisation Mathématique el Analyse Numérique (M2AN) 31 (5, 1997) 559-597.

103. Cherkaev A., Kohn R. (eds.) Topics in mathematical modelling of composite materials. Boston: Birkhàuser Publ., 1997

104. Cioranescu D., Murât F. Un terme étrange venu d'ailleurs. // In: Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications.Collège de France Seminar," Vol. II, 58-138, Vol. Ill, 157-178, Res. Notes in Math.- v.60.- London: Pitman, 1982.

105. Cioranescu D., Donato P. Homogénésation du problème de Neumann non homogène dans des ouverts perforés. Asymptotic Analysis 1 (1988) 115 138.

106. Cioranescu D., Donato P., An Introduction to Homogenization, Oxford Lecture Ser. Math. Appl. Oxford University Press, 17 (1999).

107. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization of Reticulated Structures. Applied Mathematical Sciences. Volume 136. Springer Verlag, Berlin-New York, 1999.

108. Damlamian A., Li Ta-Tsien (Li Daqian). Boundary Homogenization for Elliptic Problems. // J.Math.Pure et Appl. 1987. V. 66. P. 351 -361.

109. Dal Maso G. An Introduction to F convergence. Boston, MA: Birk-hàuser Publ. 1993.

110. Dancer E. N., Daners D. Domain Perturbation for Elliptic Equations Subject to Robin Boundary Conditions// Journal of Differential Equations. 1997. - 138, № 1. - C. 86-132.

111. D'Apice C., De Maio U., Mel'nyk T. A. Asymptotic analysis of a perturbed parabolic problem in a thick junction of type 3:2:2// Networks and Heterogeneous Media. — 2007. — 2. — C. 255-277.

112. D'Apice C., De Maio U., Kogut P. I. Suboptimal boundary controls for elliptic equation in critically perforated domain, Ann. Inst. H.Poincaré Anal. Non Linéaire, 25 (2008), 1073-1101.

113. De Giorgi E. Convergence problems for functional and operators. // Proc. Int. Meeting on "Recent Methods in Nonlinear Analysis", Rome 1978, ed. E. De Giorgi, E. Magenes, U.Mosco, Pitagora ed Bologna, 245-256 (1979).

114. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza delli integrali dell energiaper operatori ellitici del secondo ordine. // Boll. Unione Mat. Ital. 1973. V. 8. P. 391-411.

115. De Maio U., Durante T., Mel'nyk T. A. Asymptotic Approximation for the Solution to the Robin Problem in a Thick Multi-Level Junction// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS). 2005. - 15, № 12. - C. 1897-1921.

116. De Maio U., Mel'nyk T. A. Homogenization of the Robin problem in a thick multi-structures of type 3:2:2. Asymptotic Analysis, 41 (2005), 161-177.

117. Diop M., Iftimie B., Pardoux E., Piatnitski A. Singular homogenization with stationary in time and periodic in space coefficients. Journal of Functional Analysis, 231 (1, 2006): 1-46.

118. Durante T., Mel'nyk T. A., Vashchuk P. S. Asymptotic aproximation for the solution to a boundary-value problem with varying type of boundary conditions in a thick two-level junction// Nonlinear oscillations. — 2006. — 9, № 3. — C. 336-355.

119. Durante T., Mel'nyk T. A. Asymptotic analysis of a parabolic problem in a thick two-level junction// Journal of Math. Physics, Analysis, Geometry. — 2007. 3, № 3. — C. 313-341.

120. Evans L. C., Gariepy R. F. Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton, 1992.

121. Fleury F. , Sánchez-Palencia E. Asymptotic and spectral properties of the acoustic vibrations of body, perforated by narrow channels, Bull. Sci. Math., 2 (1986), 149-176.

122. Friedman A., Hu B., Liu Y. A boundary value problem for the Poisson equation with multi-scale oscillating boundary. J. Differential Equations 137 (1997), no. 1, 54-93.

123. Gaudiello A. Asymptotic Behavior of Non-homogeneous Neumann Problems in Domains with Oscillating Boundary// Ricerche di Math. 1994. — 43. - C. 239-292.

124. Hornung U. (ed.) Homogenization and Porous Media. IAM, Volume 6. Berlin, New York: Springer Verlag, 1997.

125. Jager W., Mikelic A. On the roughness-induced boundary conditions for an incompressible viscous flow// Journal Differential Equations. 2001. — 170, № 1. - C. 96-122.

126. Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals. Berlin-New York: Springer Verlag, 1994.

127. Kazmerchuk Yu. A., Mel'nyk T. A. Homogenization of the Signorini boundary-value problem in a thick plane junction// Nonlinear oscillations. — 2009. — 12, № 1. — C. 45-59.

128. Lions J.-L. Asymptotic Expansions in Perforated Media with a Periodic Structure. // Rocky Mountain J. Math. 1980. V. 10, № 1. P. 125-140.

129. Mascarenhas, M.L., and Polisevski, D. The Warping, the Torsion and the Neumann Problems in a Quasi Periodically Perforated Domain. Modélisation Mathématique et Analyse Numérique (M2AN) 28 (1, 1994) 37-57.

130. Marchenko V. A., Khruslov E. Ya. Homogenized Models of Microinhomogeneous Media, Naukova Dumka, Kiev, 2005. English Translation: Homogenization of partial differential equations. Progress in Mathematical Physics, 46. Boston, MA: Birkhäuser, 2006.

131. Mel'nyk T. A., Nazarov S. A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in a thin comb-like domain, C.R. Acad Sei. Paris, Serie 1, 319 (1994), 1343-1348.

132. Mel'nyk T. A. Homogenization of the Poisson equation in a thick periodic junction// Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 1999. — 18, № 4. — C. 953-975.

133. Mel'nyk T. A. Homogenization of a singularly perturbed parabolic problem in a thick periodic junction of type 3:2:1// Ukrainian Math. Journal. — 2000. 52, № 11. - C. 1737-1749.

134. Mel'nyk T. A. Asymptotic analysis of a spectral problem in a periodic thick junction of type 3:2:1, Mathematical Methods in the Applied sciences, 23 (2000), 321-346.

135. Mel'nyk T. A. Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Steklov problem in a thick periodic junction, Nonlinear oscillations, 4 (2001), no. 1, 91-105.

136. Mel'nyk T.A. Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses. // Math. Models Methods Appl. Sci. 2001. V. 11. № 6. P. 1001-1027.

137. Mel'nyk T. A. Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Fourier problem in a thick multi-level junction// Украинский математический журнал. —2006. — 58, № 2. — С. 220-243.

138. Mel'nyk T. A., Vaschuk P. S. Homogenization of the NeumannFourier Problem in a Thick Two-level Junction of Type 3:2:1, J. of Math. Physics, Analysis and Geometry, 2 (2006), 318-337.

139. Mel'nyk T. A. Homogenization of a boundary-value problem with a nonlinear boundary condition in a thick junction of type 3:2:1// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS). — 2008. 31, № 9. - C. 1005-1027.

140. Murat F., Tartar L. Calcul des variations et homogénéisation. R 84012. Paris. Université Pierre et Marie Curie, Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d'analyse numérique, 1984.

141. Nevard J., Keller J. B. Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces// SIAM J. Appl. Math. 1997. — 57, № 6. — C. 16601686.

142. Oleinik O.A., Shamaev A.S., and Yosifian G.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. Amsterdam: North-Holland. 1992.

143. Ozawa S., Rappongi S. Singular Variation of Domains and Continuity Property of Eigenfunction for some Semi-Linear Elliptic Equations. Kodai Math. J. 18 (1995) 315-327.

144. Panasenko G.P. Asymptotic Analysis of Rod Structures. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2001.

145. Yurinskii V. V. Averaging an elliptic boundary-value problem with random coefficients. Siberian Math. J., 21 (3, 1980): 470-482.

146. Zhikov V. V. Efficient conductivity of homogeneous random sets. Math. Notes, 45 (3-4, 1989): 288-296.

147. Zhikov V. V. Averaging in punctured random domains of general type. Math. Notes, 53 (1-2, 1993): 30-42.

148. Zhikov V. V., Piatnitski A. L. Homogenization of random singular structures and random measures. Izv. Math., 70 (1, 2006): 19-67.