Задачи усреднения в частично перфорированных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

- Ю6Ч-/С.5

Московский государственный университет

. е ■

На правах рукописи

кова Татьяна Ардолионовна

Задачи усреднения

в частично перфорированных областях

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1999

Содержание

Введение Глава 1.

§1.

§з.

§4.

Приложение

Глава 2. §1.

§2.

§3

Усреднение краевых задач для оператора Лапласа в областях с непериодической структурой

Об усреднении задачи Дирихле в частично перфорированной области общего вида с непериодической структурой О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой

Об усреднении краевых задач для оператора Лапласа в областях, перфорированных вдоль многообразий

Усреднение задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях

Об усреднении задачи Дирихле для полигармонического уравнения в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности

Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности Об усреднении решений задачи Дирихле для уравнения А3ие = / в областях, перфорированных вдоль многообразий коразмерности 2

стр. 4 22

22

32

52

84

98 103

103

170

195

Глава 3.

1.

2.

Список литературы

Усреднение некоторых краевых задач 220 в перфорированных областях с периодической структурой

Об усреднении оператора Лапласа в 220 области, часть которой содержит периодически расположенные канала с условием Неймана на их границе Об усреднении решений уравнения 239 Пуассона в перфорированной области с различным типом краевых условий на границе различных полостей

257

Введение

Настоящая работа посвяшена вопросам усреднения решений краевых задач в перфорированных и частично перфорированных областях с периодической и непериодической структурой. Этим вопросам посвяшено большое число работ российских и зарубежных авторов (см. [1 ]-[9] и приведенную там библиографию). В диссертации продолжены исследования, изложенные в монографиях [1], [2]. В частности, предложены новые подходы к построению асимптотик краевых задач в перфорированных и частично перфорированных средах с непериодической структурой. Изучены задачи усреднения в таких областях с различными краевыми условиями на границе полостей. Предложенные здесь методы позволяют исследовать различные задачи усреднения в частично перфорированных областях с непериодической структурой. Также исследованы вопросы усреднения задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности. Отметим, что в случае, когда коразмерность многообразия равна 1 эта задача была исследована Марченко В.А. и Хрусловым Е.Я. (см. [1]). В случае , изученном в диссертации, предельное поведение решений, когда диаметры полостей уменьшаются, существенным образом зависит от коразмерности многообразия, порядка оператора, размерности пространства а также от того, с какой скоростью диаметры отверстий стремятся к нулю по отношению к скорости стремления к нулю расстояния между соседними отверстиями. В работе рассмотрены все возможные случаи различного качественного поведения решений задачи Дирихле, а также исследована асимптотика собственных значений соответствующих спектральных задач. Кроме того, в настоящей работе исследована задача усреднения в области, часть которой занимают периодически расположенные тонкие каналы, ось которых перпендикулярна плоскости раздела однородной и неоднородной частей. В этом случае существенную трудность составило получение правильных условий сопряжения на границе раздела двух сред для предельной задачи. Приведем некоторые результаты работы.

В §2 гл. 1 изучена задача усреднения в частично перфорированной

области для уравнения Пуассона с граничным условием смешанного типа на границе полостей и малым параметром при неизвестной функции в граничном условии.

Пусть П— ограниченная область в Я" с гладкой границей, О П {г : xi = 0} = 7 ф 0, 0+ = О П {г : xi > 0}, Q" = Г> П {х : xi < 0}, ш-неограниченная область в Щ с 1 - периодической структурой и гладкой границей дш, у = г~хх, е > 0 - малый параметр; us = ееи, Qf = П+ п ие, Q = {зг 6 Rnx : 0 < xj < 1, j = l,...,n}, Y = QDw, S = dY Пдси, \Y\-объем области Y .

Положим : = 0+ и ГГ U 7, Se = 8Q, П П, T£ = П 50, Ы1Реу= Ир+0~ Ир-0 ДЛЯ любой точки Р € у и функции </?. В рассмотрим краевую задачу

Аи? = / в fL, —--Ь г a<rUe = 0 на Se,

ov

ut = 0 на Гг, (1)

где / £ ¿2(0), ¡у = - единичный вектор внешней нормали к

Ss, к € R1 и ае = а(£-1:г) — г— периодическая функция, заданная на дш, ае > ао > 0, ао = const.

Пусть к < 1 и v € ^(О-)- обобщенное решение краевой задачи:

&v = f при х е г> = 0 на ЭГГ. (2)

Имеет место

Теорема 1. Пусть ие - обобщенное решение задачи (1), v - решение задачи (2) и к < 1. Тогда имеют место оценки

1И«п» < ¿И4. IK - »Jk<0-) ^

где a{k) = 1 при к < —1, а (к) = |(1 — к) при к €: [—1,1).

Замечание. Теорема 1 имеет местои для более сложных частично-перфорированных областей с непериодической структурой. Пусть к = 1 и г»о - решение задачи

п д2г>о

Av0 - f в х £ hij-z—«--hvQ = / при х 6

i,j=l OXjUX i

i»o = 0 на dQ, bo = \Y\ 1 J a(y)dsy = const > 0, (3)

5

{hij}— матрица усредненных коэффициентов,

hij = \Y\-1 f(dNt/dyj + 5tj)dy, (4)

г

ог] - символ Кронекера, М]{у) = 1,..., п) являются 1- периодическими по у решениями задач:

<9

= 0, у € У, = (5)

(Щг = ^Г11 М^у = 0. г

Теорема 2. Пусть ие - обобщенное решение задачи (1) и к = 1,ьо-решение задачи (3), - решение задачи (5). Тогда

IК - г>011^(0-) + 1К ~ г^о - £ £ — Ня^) ^ КъуД-

}-\ ахз

Пусть к > 1 и г^о - решение задачи

д2ъи0 дх^дхг

и>а = О на дП.

Справедлива

Теорема 3. Пусть и5 - решение задачи (1) и к > 1, г^о - решение задачи (6), А^-— решение задачи (5). Тогда

ДГ(г) q^

|ue -WQ-гТ Nj{e~lx)—~||Я1(а+) + II"5 ~ ^оЦя^п-) <

j=1 OXj

Дги0 = / при х е & , £ а—= f ПРИ х € (б)

где ß(к) = min(l, к — 1).

В §2 гл. 1 рассмотрена соответствующая спектральная задача и получены оценки отклонения собственных значении исходной и предельной задач. Приведем одну из спектральных теорем, содержащуюся в §2.

Рассмотрим спектральную задачу, соответствующую задаче (1):

Auf + Xfuf = 0 при х £ Пе,

дит

—+ екаЛх)и? = 0 на 5,, uf = 0 на Г,.

öv

Теорема 4. Пусть к < 1, {Аш} - неубывающая последовательность с.з, (собственных значений) и {ит} - соответствующая последовательность с.ф. J собственных функций) спектральной задачи

Аит + Хгпит = 0, х <Е iT, ит = 0 на д(2~, т = 1,2,...,

причем каждое с.з. в неубывающей последовательности {Ат} повторяется столько раз, какова его кратность. Тогда

| JL _ J_| < К5е°М*,

Хт \т —

с

где а (k) = 1, к < 1 и а (к) = 1/2(1 - к) при к € [-1,1).

В §3 гл. 1 изучены различные краевые задачи в перфорированных областях с непериодической структурой.

Пусть Q - гладкая ограниченная область в Я" с границей дП. Пусть область G{ С fi, j = 1 ,...,N(e), е— малый параметр, G{ П G\ = 0 при i ф j, G{ имеют кусочно-гладкую границу dG3s.

Положим: Ge = NZGi, Пе = Ü\G~S, St = dG£, Se = Ге = dÜe\Se.

j=i

Будем предполагать, что G{ таковы, что любую функцию и € Н\(0,е, Г£) можно продолжить на О, как функцию и £ Hi(Q,Ts) так, что выполнены неравенства

|й||я1(п) < #6|М|я1(а), 11^1^(0) < Кг\\Чи\\ыъ). (7)

А. Условие Неймана, яа границе полостей.В области ГЬ рассмотрим краевую задачу

— Aus = / в Qs, — 0 на Sc, us = 0 x £ Г£, (8)

где /— гладкая в U функция. Имеет место

Теорема 5. Пусть и£ - решение задачи (8), г»о - решение задачи

— ¿Ivq = / при х € О, г»о = 0 ма <9П. (9)

Тогда

если 5* П = 0, и

K-v0|k(ili) < ^{IG.I1/'2 + |М£р/2},

если 5е П <9П = Ме ф 0.

Примеры. Пусть G^ имеет диаметр а^ и N(s) < dse~s, 0 < s < n, (¿s = const > 0. Этот случай включает области, перфорированные вдоль многообразий М3 С размерности s: s < п, либо G{ могут быть расположены произвольным образом внутри Q, s = п. Тогда

Ike ~ ^оИя^п,) < К10 max

если 5* П дП = 0, и

||u£ - voЦя^п,) < Kn(mj.x\a{\n~ls~k + max

если S*£f\dVt ф Ь и число полостей таких, что дО, П dGJs ф 0, не превосходит dks~k, причем \dG{\ < Къ(а{)п~1.

Заметим, что из Теоремы 5 следуют оценки для (us — i»o) , если G{ или часть из них представляют собою узкие каналы с малым объемом.

Рассмотрим задачу

— А ие = / в Пе,

(/If

^ + {3(x)ur = 0 на Se, ue = 0 на (10)

OU

где ,в{х) > (3q > 0 на 5е. Справедлива

Теорема 6. Пусть us - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (9) и |5г| —¥ 0 при е —у 0. Тогда

IK-^olltf^) ^ Kn\Se\.

Примеры. Пусть \dG{\ < K(aJ£)n~а{- диаметр области GJS и пусть N{г) < Dse~~s. Тогда из Теоремы 7 следует

IK ~ ио||я1(пе) < -^13(niaxaje)n~1s~s. Заметим, что в разделе Б мы не использовали условий (7).

В.Предположим, что имеется конечное число геометрически различных множеств вида Yj — Q\G3, j = 1,... , М, Q— единичный куб, GJ С Q. Обозначим YjS = sQ \ a{Gi, a3s < 6. Предположим, что

\dGJ\

lim —^--— = Со = const > 0, (11)

j = 1,...,М.

Пусть - неограниченная область в i?R, которую можно разбить на ячейки, причем каждая из ячеек геометрически совпадает с одним из множеств YSJ, j = 1...., М.

Пусть область О. содержит множество П*, которое состоит из конечного числа связных областей i — 1,..., /. Положим Q*e = О,1 П ше, =

U Обозначим 0£ = (Q \ П„) U Щ. i — 1

Изучим поведение при г —У 0 решения задачи (11), где (3{х) = b = const > 0.

Определим функцию vq(x) как решение задачи:

-Ava = f в xe£l\Q*,v о = 0 на dfi, (12)

-Avq + bC0vq = f в О,, Ы1ап,=

где постоянная Со задана соотношением (11). Справедлива

Теорема 7.Пусть ие - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (12). Предположим, что выполнено равенство (11)- Тогда

11«. - щ\\2нм < А'14{та ^^е^'Ч

Прямеры.Предположим, что суммарная площадь поверхности полостей, лежащих в разных ячейках одна и та же, т.е. \dGJ\ — то, aJ£ = ае для произвольного j и Бта"-1£_г1 = т\. Тогда Со =

Г.Предположим, что структура области Qs такая же, как и в предыдущем разделе и выполнено условие: для любого j = 1,... , М

lim(a{)"-1c~n = оо. (13)

Пусть г>о - решение задачи

-Avq = / при х £ CI \ П*, vq = 0 на d(Q \ П9). (14)

Имеет место

Теорема 8.Пусть и£ - обобщенное решение задачи (10), vq - решение задачи (1¿¡.). Предположим, что (13) верно. Тогда Цг^Ц.^^) —> 0 и

IK ~ vo|U2(n\ii,) 0 пРи £ 0-

Глава 2 посвящена усреднению решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях.

В §1 гл. 2 изучена задача усреднения для полигармонического уравнения в области Q пространства Rn, перфорированной вдоль многообразий, размерность которых не превосходит (п — 2), с условием Дирихле на всей границе области. В частности рассмотрен, так называемый, критический случай, когда в предельной задаче появляются новые члены, имеющие вид произведения дельта-функции Дирака, сосредоточенной на многообразии Mn-S, и производных от решения, соответствующего порядка.

1) Пусть'Q - ограниченная гладкая область в Я", Mn-S - гладкое многообразие в О, размерности (п — s) и s > 2. Пусть Pl~s - точки, принадлежащие Mn-S, j = 1,... ,N(e) и N(s) < daes~n, do = const > 0. Обозначим через T* - шар радиуса a£)S < cq€, cq = const > 0, с центром в точке

Pn-s, малый параметр. Предположим, что T{r s П T*ts = 0 при i ф j.

Будем предполагать, что точки Ph-S расположены так, что шары T^q£ с центрами в этих точках радиуса Cqs образуют конечно-кратное покрытие многообразия Mn-S) причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, независящей от г.

гт ,( - 1 •

Пусть О)? = Е Т3^. Определим частично перфорированную область Пг, полагая

в

В области 0€ рассмотрим задачу

Дтие = / при х 6 (15)

ди€ дт~1ив

= — = • • • = -г на о\1€.

ди ди™-1

где и - внешняя единичная нормаль к / 6 ^(П), т > 2.

Далее будем предполагать, что иг € Нт{£1е, продолжено нулем на

Приедем некоторые результаты, содержащиеся в этом параграфе.

1). Пусть п < 2т, п = 2к + 1жз = 2к или 5 = 2к + 1, т.е. П содержит

многообразия Мо, Мь Определим г»о как решениу задачи

Атг»о = /, если х € П \ р = О или р = 1,

Д-^о — 0 на если 0 < У < т — к — 1, ^26)

£>*г>0 = О на ЯП, 0 < г < т — 1.

Аналогично определяется задача, когда п = 2к и я = 2/:, т.е. П содержит нульмерное многообразие Мо-Имеет место

Теорема 1. Пусть п < 2т, п = 2к + 1 ( или п = 2к). Предположим, что П содержит многообразие Мп-3 при з = 2к или 5 = 2к + 1 ^ соответственно з = 2к), ае>5 —О при г —> 0. Тогда ие г»о при е —> 0 слабо в Нт($1), где г/о - обобщенное решение задачи (16),

Пусть теперь п < 2т, гг = 2к + 1 и содержит многообразие Мп-3 , где й < 2£. Положим 5 = 2/ или з = 2/ + 1. В §1 гл. 2 доказана следующая Теорема 2 .Пусть п < 2т, п = 2к + 1 и содержит многообразие Мп-з, где й < 2к, в = 21 или в = 21 + 1. Предположим, что

Цта^^^Н+^о, если з = 2/,

если з = 2/ + 1.

Тогда ие v при € —у 0 слабо б Нт(&), где v— обобщенное решение задачи:

' Amv - J при х 6 Ü \ Mn-S, DJv = О на М„_5, О < j < т - I - 1, Dlv= О на дП, 0<i<m-l.

2). Приведем теперь результат, относящийся к так называемому "критическому " случаю.

В этом разделе будем предполагать следующую структуру области ГЬ. Пусть область перфорирована вдоль какого-нибудь одного многообразия, например, Мп-3 и это многообразие лежит на поверхности {х £ ВР : х\ = . .. = х3 = 0}. Пусть = 1,..., -Л/"(г)) - совокупность

(п — 5) - мерных кубов с ребром 2е, таких, что С^И п = 0 и их замыкание совпадает с Мп-3. Пусть является центром куба . Пусть п > 2га, п = 2& + 1, 5 < 2т и р - некоторое целое число из промежутка [0, т - [5/2] - 1].

Предположим, что

lim ап-2т+2рг3~п = А0 = const > 0. (17)

e-rO £'s

Определим функцию и £ Hm(Q, 9Q), удовлетворяющую соотношениям:

д*~1и

ди

и = 0, -— = 0,..

' дхч дхн ...дхгр_г

и для которой справедливо интегральное тождество

= 0 на Мп-3,

(18)

г дти дт(р , _ _ г ^ Л

/ --—---dx + £ Са / D uD ipx =

J Г/Т.. . . Cf Г: а Т.___(IT.: i i J

»1,-.»т=1 п дхч ... дх{т дхч ... дх1т |в|_р

= (-1)т//^х. (19)

п

при произвольной функции ср € Нт(П, <9П), = 0 на Мп-3, { < р — 1, Са - некоторые постоянные определяемые данными исходной задачи.(Эти постоянные зависят от микроструктуры области Г2е.)

Справедлива

Теорема 3.Предположим, что выполнено условие (17) и О, содержит многообразие Mn-S. Тогда существуют такие постоянные Са, а — мулътииндекс, а = (отi,..., ап), |аг| = р, такие, что при п > по(га,£>, s), р < т — [5/2] — 1,2р < т, us —У и при е —г 0 слабо в Нт(П), где и - удовлетворяет соотношениям (18) и интегральному тождеству (19).

Отметим, что в §2 и §3 рассмотрены примеры, когда в "критическом" случае удается вычислить коэффициенты предельной задачи.

3). Рассмотрим случай, когда многообразие Mn-S, вдоль которого произведена перфорация имеет " большую" коразмерность s. Именно, пусть s > 2га и г»о - гладкое решение задачи

Amv0 = f в Q,DJvо = 0 на дй, 0 < j < га - 1. (20)

Имеет место

Теорема 4.Пусть п > 2га, ие - обобщенное решение задачи (15) и Q содержит многообрази Mn-S и s > 2га. Тогда иг —У vq при г —Y 0 по норме Hm(Q), где vq - решение задачи (20) и справедливы оценки

IK - ^0||ят(П) < А'15|1па£)2т|~1/2, ^и 5 = 2га, ||ие- г>о||ят(П) < Ä'i6a^s"2m)/4| In ае^Г1, если s > 2га-fl.

4). Рассмотрим еще один случай, когда в пределе полости "смываются". В §1 гл. 2 доказана следующая

Теорема 5.Пусть п > 2га, us— обобщенное решение задачи (15) и Q содержит многообразие Mn-S и s < 2га. Предположим, что для aSjS выполнены условия:

limeri-s| In ае .1 = оо, если п — 2га, £-+0 ' 1 1 '

и

= 00, если п>2га + 1.

Тогда us —vq при г —> 0 по норме Hm(Q), г»о - решение задачи (20) и справедливы оценки

IK - ^о||ят(Г2) < Ki^£s~na^-S2m, если п > 2га + 1,

и

Ike - vo||ffm(ri) < iW^-2m|ln a^sl"1, если n = 2m.

5). Рассмотрим теперь случаи, когда в результате усреднения частично повышается гладкость решения предельной задачи по сравнению с классом гладкости решения исходной задачи.

Пусть для определенности п > 2т + 1 и выполнены условия:

Нта^-^^^О, но (21)

е—5>s v J

lim a2m-»-2(Po+D,»-s = 00}

где pQ- некоторое целое число из промежутка [0, т — к — 2], s — 2к + 1.

Предположим, что структура области Г2е такая же как и в "критическом" случае. Введем функцию vq(x) как решение задачи

'Amva = f в Q \ М„_5,

, D3v$ = 0 на М„_5, 0 < j < ро, (23)

£>Ч'О=0 на дП, 0 < г < (m - 1).

Известно, что задача (23) разрешима в пространствах Hq(Q,) при q € [2m — s/2 — ро — 1, 2m — s/2 — po). Нетрудно показать (это проделано в приложении к §1 гл. 2), что задача (23) не может иметь более одного решения в Hq(Q).

Справедлива

Теорема 6.Пусть п > 2m + 1 и выполнены условия (21), (22) при некотором целом ро £ [0,"т — к — 2], s = 2к + 1 и область Q содержит многообразие Mn-S. Пусть vq € H2m-k-p0-i(^) - решение задачи (23) и us - обобщенное решение задачи (15). Тогда |jue — г>о||ят(П) ~~0 при е —> 0.

6). В §1 гл. 2 рассмотрена также соответствующая краевой задаче (16) спектральная задача:

/ 1 \т л тЛ к _ -1 к к

(-1 ) Д U = Л U,

В

Üs, Djuhe = 0 на дП£ при 0 < j < т - 1,

uh£u\dx = 8 k j,

(2^ *- j

где ókj - символ Кронекера. Приведем одну из спектральных теорем, полученных в §1 гл. 2.

Теорема 7. Пусть Са - постоянные, определенные в теореме 3. Предположим, что Са > 0, jorj = р и выполнено условие

]lma2sms~n-2pen~s = А: = const > 0, p G [0, m - [s/2] - 1],

где область fl£ имеет структуру, определенную в 3). Пусть {А'} - неубывающая последовательность собственных значений задачи

J Dmи1 Dmípdx -f ¿2 J DaulDaípdx + \lJul<p = 0,

Q l«l=P Mn-S O

где и € Hm(Q, dQ): D3u = 0 на Mn~s для 0 < j < p — 1, (p - произвольная функция из Нт(П, dQ), такал, что DJ(p = 0 на Mn-S, 0 < j < p — 1. Тогда, если п > щ(т,р, s), 2p < т, то Ag —ï X1 при е —> 0.

7).В гл. 2 §2 и §3 рассмотрены примеры , когда коэффициенты в усредненных задачах могут быть найдены. Так в §2 изучена задача усреднения для бигармонического уравнения в области П£ пространства Rn, перфорированной вдоль некоторых многообразий, размерность которых не-превосходит (гг — 2), с условиями Дирихле на дП£:

&2ие = / при х G (25)

xL£ — du£¡dv — 0 на дП£.

Приведем некоторые результаты о различном асимптотическом поведении и£ в зависимости от разной геометрии области Ое.

Теорема 8.Пусть размерность пространства п = 2 или п = 3 и a£)S 0 при с —У 0. Тогда ие —)■ v при е —0 слабо в Н2(Í2), где v -обобщенное решение задачи:

= если хеП\М0, (26)

v = 0 на M0,v = dv/dv = 0 на дй, если п — 2, и задачи:

A2v = f, если х е П\ (М0 UMi), (27)

если п — 3.

Приведем результат, относящийся к кри�