Двухмасштабные асимптотические методы в теории сильно неоднородных упругих сред и задачах дифракции волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ5 ОД

ШАМАЕВ Алексей Станиславович

Двухмасштабные асимптотические методы и теории сильно неоднородных упругих сред и задачах дифракции волн.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской Академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С.Братусь; доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник С.Ю. Доброхотов;

доктор физико-математических наук, профессор A.C. Йльинский

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН."

Защита состоится шх! 1997 г. в час. на

заседании диссертационного совета Д.053.05.37 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ.

Автореферат разослан ^^ 1997 года

Ученый секретарь специализированного совета ■ доктор физ.-мат. наук, профессор / /( / (у( / гроК Е.И. Моисеев

fjhoriLCid

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Диссертация посвящена вопросам теории сильно неоднородных и перфорированных упругих сред, а также вопросам дифракции волн на неровных (волнистых) поверхностях. Работа содержит как и чисто математические, строго доказанные результаты, так и результаты нескольких численных экспериментов. Ряд утверждений диссертации формулируется как результаты таких численных экспериментов. Последняя (четвертая) глава диссертации имеет прикладной характер. В ней используются разработанные в предыдущих главах математические методы для создания комплексной математической модели процедур и аппаратных средств радиолокации поверхности морей и океанов.

Рассматриваемые в диссертации методы объединены использованием идеи двух-масштабных асимптотических разложений, т.е. идеи построения асимптотического приближения исходной краевой задачи математической физики в виде комбинации функций, зависящих от "быстрых" и "медленных" переменных, с последующей асимптотической декомпозицией, т.е. формулировкой краевых задач для "быстрых" и "медленных" функций, входящих в разложение, которые могут быть исследованы независимо друг от друга.

В математическом плане процессы в композиционных материалах, как правило, описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами. Поскольку свойства компонентов различаются в несколько раз, то коэффициенты уравнений часто являются сильно изменяющимися функциями. Поля и процессы в пористых средах описываются уравнениями, заданными в "сильно изрезанных" областях с большим количеством полостей. В ряде случаев требуется найти собственные значения операторов с быстро осциллирующими коэффициентами.

Теория, описывающая процессы, протекающие в таких средах, превратилась благодаря работам таких математиков, как Е. Де Джорджи, С. Спаньоло, Ж. Л. Лионе, С.Н. Бахвалов, O.A. Олейник, В.А. Марченко, Е.Я. Хруслов, Е. Санчез-Паленсия, В.В. Жиков и многих других в некоторую самостоятельную область дифференциальных уравнений с частными производными.

Основной вопрос, рассматриваемый в работах указанных авторов — это вопрос о построении "усредненных" краевых задач для уравнений с медленно меняющимися или постоянными коэффициентами, таких, что решения исходной краевой задачи в некотором смысле близко к решению "усредненной" задачи. В работе [1] было установлено, что из каждой последовательности эллиптических операторов, принадлежащих некоторому классу, можно выбрать подпоследовательность операторов, такую, что решения краевых задач для этой последовательности операторов с некоторыми краевыми условиями сходятся в пространстве Li к решению некоторой краевой задачи для эллиптического уравнения с теми же краевыми условиями. Такая последовательность была названа в [1] G-сходящейся, а предельный оператор — G-предельным для этой последовательности. Далее понятие G-сходимости было подробно изучено в многочисленных работах. Отметим важную работу [2],

где была указана связь между понятием усреднения и G-сходимосги и двухмас-штабными асимптотическими разложениями в случае, когда коэффициент имеет вид a(xi¡s, x2fs, ■ ■■ , Хп/е), где a(yi,. .. , уп) — периодическая функция, е — малый параметр. Далее, большое значение для развития теории G-сходимости сыграла работа [3], где сформулирован критерий G-сходимости, названный условием N. Он играет важную роль в настоящей работе. Понятие G-сходимости и близкое к нему понятие 7-сходимости интегральных функционалов исследовалось в [4].

Близкий к теории G-сходимости вопрос — это вопрос о поведении решений краевых задач в перфорированных областях, т.е. областях с большим количеством малых отверстий. Здесь также ставится задача о построении предельных или усредненных краевых задач в областях без отверстий, таких, чтобы решения краевых задач для исходных областей были бы близки в норме некоторых функциональных пространств и решению усредненной краевой задачи. Впервые систематически эти задачи изучены в монографии [5], см. также [6].

Однако ряд задач еще оставался нерешенным. К таким задачам относилась задача построения оценок отклонения решений исходных и усредненных краевых задач и собственных значений и собственных функций для этих задач, построения усредненных моделей для частично перфорированных областей^ т.е. областей, состоящих из однородных и перфорированных частей, построение усредненных краевых условий на быстроосциллирующих участках границы и другие. Эти вопросы рассматриваются в главах 1,2 настоящей диссертации.

Кроме методов теории усреднения в диссертации рассматриваются также и другие асимптотические методы, основанные на двухмасштабных асимптотических разложениях. Так, в третьей главе подробно исследуются точность и границы применимости различных асимптотических и приближенных методов решения задач дифракции на неровной (волнистой) поверхности.

Последняя задача весьма актуальна всвязи с различными проблемами акустики,

[1] De Giorgi Е., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali dell energía per operatori ellittici del secondo ordine. Boll. Unione Mat. Ital. 1973. V. 8. P. 391 - 411.

[2] Бахвалов H.C. Осредненные характеристки тел с периодической структурой. ДАН. 1974. Т. 218, N 5. С. 1046 - 1048.

[3] В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов. УМН. 1979. Т. 34, N 5. С. 65 - 133.

[4] В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. Усреднение дифференциальных операторов, М.: Наука, 1993.

[5] Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова думка, 1974.

[6] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.: Мир, 1984.

[7] А. Г. Свешников. Принцип предельного поглощения для волновода. ДАН СССР, 1951, т. 80, N 3, с. 345-347.

[8] Бреховских JI.M. Дифракция волн на неровной поверхности. ЖЭТФ. 1992. т. 23. с. 275-304

лазерной техники, радиолокации поверхностей морей и океанов и др. Она рассматривалась в работах А.Г.Свешникова, Л.М.Бреховских, Л.А.Вайштейна, Ф.Г.Басса и И.М.Фукса, А.С.Ильинского, В.П.Шестопалова, А.Г.Вороновича, А.Б.Исерс и многих других авторов [7-15]. Автор настоящей диссертации ставил своей задачей сравнительный анализ точности и границ применимости методов, разработанных указанными авторами и некоторых их модификаций. В третьей главе на основе объемного численного эксперимента строятся зоны погрешности различных приближенных методов решения указанной задачи. Проведенный анализ позволил дать ряд рекомендаций по применению тех или иных методов расчета рассеянного поля в конкретных задачах морской радиолокации.

Цель работы состоит, во, первых, в изучении близости ряда характеристик для сильно неоднородных сред и перфорированных областей (таких, как собственные значения, собственные функции и др.) к тем же характеристикам для усредненных моделей. При этом ставится задача оцедить величину этой близости через параметры, которые можно получить конструктивным путем через исходные параметры задачи. Кроме того, целью работы является исследование границ применимости различных асимптотических методов (в том числе и методов усреднения, но не только метода усреднения) путем сравнения результатов расчетов, сделанных согласно этим методам, с результатами численных расчетов, проведенных без каких-либо упрощений в рамках исходной задачи. В конечном счете ставится задача построения в пространстве параметров задачи областей, где те или иные асимптотические методы работают с заданной точностью. В третьих, требуется на основе проведенного анализа точности и границ применимости методов решения прямой задачи дифракции дать рекомендации по использованию этих методов при решении обратной задачи дифракции.

[9] Басе Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности М.: Наука, 1972.

[10] Урусовский И.А. Дифракция волн на периодической поверхности // Акуст. журн. 1964. Т. 10. Вып. 3.

[11] Вайнштейн Л.А., Суков А..И. Дифракция волн на периодической (волнистой) поверхности // Препринт N 8 (380). М.: ИРЭ АН СССР, 1984. .

[12] Воронович А.Г. Приближение малых наклонов в теории рассеяния волн на неровных поверхностях // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 1 (7). с. 116-125.

[13] Исерс A.B., Пузенко A.A., Фукс И.М. Метод локальных возмущений решения задач дифракции волн на неровной поверхности // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. N 9. с. 64 - 68.

[14] Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. 208 С.

[15] Шестопалов В. П., Сиренко Ю. К. Динамическая теория решеток. Киев: На-укова думка- 1989.-213 С.

Методы исследования. В основе разрабатываемых в диссертации методов лежит концепция асимптотической декомпозиции, т.е. поиска решения той или иной задачи математической физики в виде комбинации функций, зависящих от быстрых и медленных переменных с последующим анализом краевых задач, которым должны удовлетворять "медленные" и "быстрые" компоненты по отдельности. Далее для обоснования близости асимптотических решений к решениям исходных задач используются априорные оценки, теоремы вложения и пр. Другой подход к анализу асимптотических методов - проведение численных экспериментов по сравнению асимптотических решений и решений исходных задач, полученных численно с заданной точностью.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметим следующие.

1. Получены эффективные оценки близости решений, собственных значений и собственных функций краевых задач для исходных уравнений с быстроизменяю-щимися коэффициентами и усредненных уравнений с медленноменяющимися или постоянными коэффициентами. При этом рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения, эллиптические дифференциальные уравнения второго и высокого порядка, система теории упругости.

2. Аналогичное указанному в п. 1 исследование проведено для краевых задач в перфорированных и частично перфорированных областях с различными типами краевых условий на отверстиях, полостях или каналах в перфорированной части области.

3. Исследованы границы применимости и точность ряда приближенных и асимптотических методов в задаче дифракции волн на неровной поверхности.

4. Рассмотрен ряд прикладных вопросов, таких как вопрос об идентификации параметров отражающей поверхности по отраженным радиоволнам, а также поведения больших космических антенн на орбите.

Теоретическая и прикладная ценность диссертации заключается в том, что, во-первых, получен ряд вполне конструктивных оценок близости различных важных характеристик сильно неоднородных объектов к характеристикам усредненных моделей этих объектов, во-вторых для задач дифракции построены зоны погрешности асимптотических методов, и, тем самым, указаны границы их применимости. Кроме того, разработаны методы решения некоторых обратных задач дифракции волн на периодических поверхностях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались неоднократно на Совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, на Международном конгрессе по механике в Болгарии в 1989 году, на Международной конференции по дифракции волн в Н.Иерусалиме в 1993 году, на Международной конференции "Уравнения с частными производными" в г. Киеве

в 1995 году, на Международной конференции "Вычислительные методы в механике" в г. Штудгарте (Германия) в 1990 году, на семинаре Института прикладной математики при Гейдельбергском университете (г. Гейдельберг, Германия) в 1993 году, на Международной конференции в г. Обервольфах в 1993 году (Германия), на Международной конференции "Численные методы в инженерном деле" в Париже в 1996 году, на российско-американской конференции "Наука-НАСА" в г.Королеве в 1996 году, а также Воронежской школе по дифференциальным уравнениям в 1988 году и на ряде научных семинаров в МГУ, ИПМех РАН.

Результаты диссертации, отраженные в гл. 1, были удостоены Премии Ленинского комсомола по математике 1990 года.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 42 работы, в том числе 2 монографии.

Структура и объем. Диссертация состоит из 4 глав, разбитых на параграфы и пункты. Объем диссертации составляет 342 страницы. Библиография состоит из 148 наименований.

СОДЕЖАНИЕ РАБОТЫ

. Рассматриваемые в данной работе задачи статики и динамики сильно неоднородных упругих и перфорированных тел можно разделить на два класса. К первому классу относятся задачи определения эффективных характеристик для колеблющихся тел, упругие свойства которых быстро меняются (например, слоистых композитов). Ко второму классу относятся задачи определения указанных характеристик для перфорированных тел, т.е. Тел с большим количеством малых отверстий. Задачи второго класса могут быть, в свою очередь, разделены на группы по следующим признакам. Пусть П — область в пространстве R". Рассмотрим перфорированную область UC\FC, где множество Fc представляет собой объединение большого количества малых областей, причем при s -> 0 количество этих областей возрастает, а размеры каждой области стремятся к нулю. Введем величину те = (mes Fs)/(mes fi), характеризующую концентрацию "пустот" в области . Рассмотрим три случая:

а) те 0 при г 0; k

б) те т0 при s 0, 0 < то < 1;

в) т€ 1 при s —> 0.

Приведем характерные примеры областей Fe, когда реализуются соответственно случаи а), б), в)

случай а) lanuc отверстия"

случай б) коночная концонто; ция отверстий" i'i;c. 2

случая в) 'каркасная, конструк-

Ркс. 1

цил"

Рис. .3

Область Пг, изображенная на рис. 1 получается выбрасыванием периодически расположенных (с периодом е) малых отверстий, диаметр каждого из которых стремится к нулю при е —У 0, причем порядок стремления представляет собой величину £а, а > 1. На рис. 2 изображена область также с периодическим расположением отверстий, но в этом случае диаметр отверстия стремится к нулю как е. На рис. 3 изображена так называемая каркасная конструкция, которая получена пересечением области П с объединением периодически расположенных тонких полос (ширины е/и). Если fi 0 при е —> 0, то те —> 0, и мы получаем пример для случая

Кроме характеристик тс (концентрации отверстий) основную роль будет играть также тип краевых условий, которым должна удовлетворять собственная функция рассматриваемой краевой задачи на границе отверстий. Мы будем рассматривать два типа краевых условий — Дирихле и Неймана. Таким образом, комбинируя случаи а), б), в) с типом граничных условий Дирихле или Неймана, мы получим шесть различных случаев, каждый из которых будем рассматривать отдельно. Для краткости будем писать: случай 1>а, случай Нв и т.д., обозначая большой буквой тип краевого условия, а малой буквой - случай той или иной объемной концентрации отверстий.

Перейдем к рассмотрению задач первого класса, именно, когда задача о предельном поведении собственных значений и собственных функций ставится для сильно неоднородного тела без отверстий, а малым параметром служит характерный масштаб неоднородности тела. В этом случае изучение поведения собственных значений и собственных функций для оператора с быстроосциллирующими коэффициентами вида

в).

основано на некоторых оценках близости решений задачи Дирихле для оператора с быстроосциллирующими коэффициентами и усредненного уравнения (т.е. уравнения с медленноменяющимися или постоянными коэффициентами, описывающими "усредненные" свойства среды). Сходимость соответствующих решений краевых задач к решению "усредненной" или "С?-предельной" (определение бг-сходимости и сильной (^-сходимости см. §1.1.1) в некоторых функциональных пространствах является следствием самого определения О-сходимости. В диссертации устанавливаются некоторые оценки скорости этой сходимости. В ряде случаев возможно построить указанные оценки близости через величины, эффективно построенные по коэффициентам допредельных операторов. Приведем указанные результаты.

Теорема 1. Пусть {£),} — последовательность обыкновенных дифференциальных операторов вида

сильно б-сходящиеся к оператору

Ьк е £7(Аг, Л2, А3), Ь 6 Е{ДьАгДз) (определение классов Е см. §1.1.1). Тогда для решения и^(г) и и(х) задач Дирихле

(£* +///)«* = /, (¿4-рТ)и = /, щ,иеНт{Я), <2= [0,1],

имеет место оценка

1К-Ч1я'[о,1] < Д*||/||ь»(М), где {Д^} — стремящаяся к нулю при к оо последовательность, члены которой явно выражаются через коэффициенты и агя операторов Ьк и Ь (см. §1.1.1).

Теорема 2. Пусть {£*} — последовательность дифференциальных операторов вида

Ьк= ТУ {аа\кх)ТР), ЬкеЕ(Аь Л2,А3),

|а|,|/3|<т

я"13(у) — периодические с периодом 1 по й,.. . ,уп функции, сильно (^-сходящиеся к оператору

ь = ТУ (а^Т?) , I € Е[АьАзЛ),

|а|,|/5|<ш

Тогда для решения ик(х) и к(г) задач Дирихле (10) имеет место оценка

- < С ^||/]|я-1^(а) + ^||/||янп)

где постоянная С > 0 не зависит от к а /(х), П — область в И".

На основе теорем 1 и 2 выводятся оценки близости собственных значений задачи Дирихле для операторов Ь/, и ¿. Вывод этих оценок опирается на теорему Вейля (см. §1.1.3).

Предположим, что коэффициенты операторов Ьк и Ь удовлетворяют условию симметрии а£,(х) = (или аа0(у) = а0а{у)).

Теорема 3. Пусть{^£}, — последовательности собственных значений задач

ькч1 = рякипкъ(}, и1ентШ

Ьип = в <2, и" ент(Я), и" ^ о, /и1 < < ... < цп < . . . ,

где Ьк, Ь — операторы из условия теоремы 1. Тогда имеет место неравенство

К-Л <С|Л2Д*,

где постоянная С > 0 не зависит от п и к.

Для операторов Ьк и Ь из условия теоремы 2 нельзя получить непосредственно с помощью теоремы Вейля оценку величины — Л> однако, можно свести задачу к теореме Вейля, используя лемму, приведенную в §1.1.3 гл. 1.

Теорема 4. Пусть —последовательности собственных значений задач

= »>1 в Д , «г ент(&), иЦ ф. о, 1ип = цпипъЯ», ипент{$,

Ц1 < IX2 ';.

где Ьк, Ь — операторы из условия теоремы ¿.Тогда имеет место оценка

си3

к-л <

, у/к '

где С > 0 не зависит от п и к.

В §1.1.3 рассматривается также вопрос о точности оценок теорем 3,4. Для случая задачи Штурма-Лиувилля

= «2(1) = о,

а(х) — периодическая с периодом 1 функция, доказывается, что оценка вида

является точной.

В гл. 1 диссертации рассмотрены также вопросы об оценке решений, собственных значений и собственных функций системы теории упругости с быстроосциллирую-щими периодическими коэффициентами.

§1.1.5 главы 1 посвящен изучению системы теории упругости с коэффициентом, быстро изменяющимся вдоль одного выделенного направления (слоистые среды). Пусть слои композитного материала располагаются вдоль линий уровня некоторой гладкой функции ip(x) . Тогда стационарная задача теории упругости для такого тела имеет вид

L.{x) s A fci'Mz),Xl,... .*«) Jj) = /(*).

где элементы c'hl(t,y) матриц СУ удовлетворяют известным условиям на коэффициенты системы теории упругости, и обладают ограниченными равномерно по е производными первого порядка по у, — скалярная функция из С3, 0 < <р(х) < 1, |Vvs(i)| > const > 0.

Рассматривается "усредненная" система теории упругости

Lou з A ^C'0'(<fi(x),xu... = /(г).

Решения систем рассматриваются в ограниченной гладкой области fi с граничными условиями

"Ian =°-

Ставится вопрос, при каких условиях на коэффициенты системы, описывающей слоистые упругие композиты, решения системы сходятся при е —> 0 в норме L2(il) к решению "усредненной" задачи соответствующей материалу с медленно меняющимися упругими свойствами.

Рассмотрим задачи Дирихле (/ 6 £2(П))

¿£ие = / (left), «г|эп=0, (1)

Lou = I (хеП), иг]эп=0. (2)

Определим матрицы N'(t,y), M?(i,j/) по формулам из §1.1.5. Далее определяется величина

¡5, = max

где максимум берется по х 6 П и l,i,j = 1,... , п.

Теорема 5. Пусть / € ¿2(Л). Тогда для решений задач (6), (7) справедливы оценки

. ди

ut - u-NZ~-\\ < со&^Шщп),

•дх,

i & с >

1Я'(П)

1У(П)

7i Н С?

dXj'

Рассмотрим задачи на собственные значения для операторов Lc и i0:

Ltu\+\k,pt(x)u* = О (*€П), ик.ан1{ П),

(ик,реи?)0 = 5тк, Q<XI<XI<..., ' L0uk + \кра{х)ик = 0 (х е П), ик е //¿(n), (и*,/>оит) = 5т*, 0 < А1 < А2 < ... ,

где <5im — символ Кронекера, каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность, —■ ограниченные измеримые функции, /?е > const > О, />о > const > 0.

Теорема 6. Предположим, что ро € С1 (А). Тогда для собственных значений Хк и Л' справедлива оценка

||(а;г1 - (А*)-1» < с (||Л - Л,+ .

Перейдем к описанию результатов, относящихся к задачам второго класса, именно, задач в перфорированных областях. Начнем со случая Hs-

Пусть G° — объединение конечного числа непересекающихся областей с границами класса С°°, лежащих в единичном кубе Q — {£ £ R", 0 < < 1, j = 1,... , п}, причем расстояние от G0 до 8G положительно. Обозначим через X '■+ z сдвиг множества X С Rn на вектор z 6 R™, через еХ — множество {х 6 R",£_Ia; € X}. Положим

G\ — (J (G° + *), 26Z»

где Z" — множество векторов z = (21,... , zn) с целочисленными компонентами:

Ge = sGu пе = ft\с?Е, sc = da'\aa, ге=<эппжг.

Области типа Пе называются перфорированными или же областями с мелкозернистой границей.

Рассмотрим краевую задачу теории упругости

Ьс

•<"•>=s ИЗ £)-*•>■»■•

(3)

/ х \ дие

и' = 0 на IV ас(и') = С" ^^ = 0 на 5,.

Рассмотрим "усредненную" систему теории упругости с постоянными коэффициентами

дхр \ Зх, с граничным условием

Ц° = 0 на ЗП,

где матрицы коэффициентов /¡р' определяются по формуле

А" = (тез(д \ С0))"1 / + С*®^)

р,ц = 1,... , п, а матрицы Л/р(£) (р = 1,... , п) являются 1-периодическими по решениям некоторых краевых задач (см. §1.2.1).

Сначала устанавливаются следующие оценки для решений задач (3) и (4). Теорема 7. Для решений и' и Ц° задач (8) и (9) имеют место оценки

dU°

нця-)

и'-и°- eJV,(e-»*)_I < Cv^ll/Цячп),

где постоянная С > 0 не зависит от е > 0 и /.

Для исследования свойств собственных значений краевых задач (8) и (9) препятствием служит то обстоятельство, что операторы Ls и L определены на функциональных пространствах в различных областях. В гл. 1 развита техника, позволяющая осуществить сравнение собственных значений для операторов, заданных в различных функциональных пространствах.

Перейдем теперь к рассмотрению случая Va (рис. 1). Пусть П — область в R3 с гладкой границей. Покроем область кубиками с ребром £ и вырежем в центре каждого кубика полость в форме шара радиуса £3. Полученную область обозначим iî5. Рассмотрим следующие краевые задачи:

Дщ = / в иг€Я'(Пг) (5)

(A + /j)u = /в il, иея'(П), Р = (6)

В §1.2.4 диссертации устанавливаются оценки близости решений задач (5), (6), а на основе ее оценка близости собственных значений.

Рассмотрим теперь случай Т>$. Поставим следующую задачу на собственные значения:

Ьси, + Ь щ + А(ф (!) ие = 0, и, £Н\ПС), К,"г)ь2(£2,) = (!) и1(х)с1х = 1, ^

Определим функцию А'о(б) как решение следующей задачи на собственные значения на ячейке периодичности Т = о:

з\с0

В дальнейшем под №о(0 будем подразумевать первую собственную функцию, а отвечающее ей собственное значение будем обозначать Л_2.

Рассмотрим "усредненную" краевую задачу

дик

+ {ь)ик + {р)хки"= 0 в п'

(8)

и* =0.

1эп

где ||/гр?|| — матрица с постоянными коэффициентами, определенная в §1.2.2,

(/>= / /т-

д\со

Теорема 8. Для собственных значений {АА(£)} и {А*} задач (7) и (8) имеет место неравенство

|ЛД£) - £_2А_2 - А^! < С{к)е,

где постоянная С (к) не зависит от г.

Перейдем, наконец, к случаю Иь- Пусть, как и ранее, П — область в Б.2 с гладкой границей. Будем обозначать через Ве11 множество, состоящее из перечисления области Л с объединением полос ширины ец, находящихся друг от друга на расстоянии г и параллельных осям координат О11, Охг соответственно.

Для собственных значений краевых задач в области В£м и собственных значений А1 некоторых усредненных краевых задач в области П также устанавливаются оценки близости. Результаты главы 1 удобно представить в виде следующих двух таблиц.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам усреднения решений различных краевых для уравнения Лампаса в частично перфорированной области, т.е. области, состоящей из двух частей, одна из которых перфорирована, а другая является

/а елИЦА /. Диф^ЕрЗНЦИААЬНЫЕ ОП£р/\ТО/>Ы С 004,14 АЛИру ЮЩиМ К К О Э9РИ Ц И ВН ТЯ-ЦЧ

ОБЫКНОВЕННЫЕ Дм?- оперлторы Йи^. опеглгоры Поря А КА 2.ГПУ '¿Ьшр. ОПЕрЛТОрЫ Второго поряр,кл 'Система теории упругости, ОПИСЬ!&А- ЬОЩАЯ САОиСТо&СеЩы Систвма теории упругости с ПёрИОДИЧ. ЗШЬИЕ-НТАИИ

ИсИОДНЫЕ ДИ<?- ОПЕрАТорЫ С ОСЦИААИр-коз^гициан. кЫЩ

УсргднЕные ДИ<}. ОПЕРАТОРЫ — {а,. 2. )

ОЦЕНКИ 5 Близости РЕШЕНИЙ при К — оо ->С2£11?11нШ - Сец?Ис»*№К ч^кча) * О при К-* 1ТО 'С^Щ'са)

Оценку Близости СОБСТВЕННЫХ значении (А*« / 0>0 на зличсит от П и К * СЯ1Т1* с не зааисит от £■ и И' (¿1=2,3), Ы-рмИ- прост., 1Г(г)-ТМС1Г/3& ¡к-м* , ¿С/Д,< /Г/, 0 не ¡явчсигог К ч п, ¡Ш-П* * С/ёЧ Г/,3 С >0 не ЗАВИСИТ от <£ и и,

Оценки близости С06СТ&ЕННЫ* функций 1 lpимeчA^ <ие. ' ?(и,Л/)= иг' С>0 не зле. от Пи к ? |\и-иг» -О.ГГГЛ.Ш ?К,ШГХ))* + 11?*-$ Ни-'-} ^д/ошм

Таблица 2. Краевые задачи в перфорированных областях

Те-» б? ПРИ О %Г%0<Хо<1 1 при <Гн>о

Исходный оператор Л/ О. 1 = 4 с $Л1Ащ

Усредненный оператор для усл. Дирихле Усредненного оператора не существует. Решения зада- . чи Дирихле стремятся к 0 как £г ■—

Усредненный оператор для условий Неймана ьу-1 * % з! + А 3-ь Ь1 , Ьг- на- правления^кар-каса (осЕй)

Оценки близости собственных значений для условия Дирихле С(п) не зависит от £ > О Существуют такие постоян- "Го7-'

Оценка близости собственных значений для условий Неймана \Г(1)'Х(€)\-о1Хк) Для системы теории упругости при В<и/и) С^^ не зависит от <5 и уц

однородной областью без перфорации. Такие задачи возникают в ряде прикладных проблем в химии, биологии, акустике, механики жидкости, теории фильтрации.

Введем следующие обозначения. Пусть Г! — область в пространстве К" с гладкой границей. Положим П+ = П П {х : х1 > 0}, = П П {я : х1 < 0], х = (х\,... , хп), С? = : 0 < < 1, ^ = 1,... ,ге), £ = (£1,... ,£п), Уо — область с гладкой границей дУо = 5о, Уо С £?.

Пусть г > 0 — малый параметр. Положим еХ = {ж : е~гх 6 X}, X + у = {г : г = х + у, х е X} для любого множества X С 13-2, де = []£(Уо + т), 9 = + т),

т т

3 = и(50 + т), где т = (т.1,... ,т„), т\ > 0, т, — целые числа = 1,... , п).

т

Рассмотрим область = Пг+ = П+П<Зг, Яс = Пе+иО" 11и, где ш = ПП{х :

= 0}. Мы обозначаем Гг = ЭПЕ П дй, = дйе П П. В области , которую мы здесь и далее будем называть частично перфорированной, рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения Лапласа:

Диг = / в П„ uc\Гt = 0,

для краевого условия на поверхности 5"е возможны три варианта: а) иг|<. = 0 (условие Дирихле), дие

= 0 (условие Неймана)

я.

дпг \ £

= 0 (краевое условие смешанного типа, 0 < р < 1).

В главе 2 установлено, что поведение при £ —» 0 решений указанных задач существенно различно для трех видов граничных условий. А именно, если имеет место случай краевых условий Дирихле, то в пределе при £ -> 0 решение стремится к нулю в области П+ и к решению задачи Ди = /, и|эп_ = 0 в области Г2~, т.е. в пределе для двух частей области получаются два предела, не связанные между собой через граничное условие на поверхности контакта и. Иной будет картина для случая краевого условия Неймана. Здесь в предельная функция и будет

Г Г.4- ^ ^ д'и

удовлетворять уравнению Дп = /, в И1" уравнению п^———— = у, на границе

1,7 = 1 ОХх0Х]

контакта ш решения справа н слева от и> будут связаны условием сопряжения

'* 'Ц=+о :

ди дху

XI =—0 »2=1

Если же краевое условие является краевым условием третьего типа, то предельное поведение решения при £ —> 0 то же, что и для условия Дирихле. Интерес для

случаев краевого условия Дирихле и смешанного краевого условия вызывает построение следующих приближений асимптотики по е. Эта задача решается в гл.2 диссертации. Интересный эффект, не имеющий аналогов в других подобных задачах, имеет место для краевого условия смешанного типа. Здесь следующие члены ряда являются коэффициентами при нецелых степенях е. Во второй главе проводится построение этих рядов по дробным степеням для случая краевой задачи в частично перфорированном слое, ограниченном плоскостями. Автору диссертации представляется, что результаты этой главы удобно представить в виде следующей таблицы (см. таблицу 3).

Постоянные jrf и А, входящие в формулы и приведенные в настоящей таблице, могут быть получены в результате анализа некоторых вспомогательных краевых задач в областях, имеющих форму полу перфорированного цилиндра с краевыми условиями периодичности на боковых сторонах и условиями Дирихле или третьего типа на отверстиях. Такие вспомогательные задачи подробно исследованы в §2.1. Решения этих задач являются функциями типа "пограничного слоя", описывающими поведение решения, в окрестности границы раздела перфорированной и однородной частей области Пг.

В третьей главе рассматриваются задачи дифракции волн (электромагнитных или акустических) на периодической поверхности. Первый параграф посвящен асимптотическому исследованию задачи дифракции на поверхности вида у = sF(x/e] где F(x) — периодическая гладкая функция, а е — малый параметр. Краевая задача для уравнения Гельмгольца (Д + k2)us{x,y) = 0 ставится в неограниченной области.úc, задаваемой неравенством у > sF{xje). На границе области Пе задается

ди£ (х у\

краевое условие третьего типа —--ikW ( —, —J и' = 0, где W(x,y) — некоторая

гладкая 27г-периодическая функция переменных х и у. Это условие не определяет однозначно решение уравнения Гельмгольца. Требуется еще условие, имеющее характер условия излучения, которое должно выражать тот факт, что волна, отраженная от поверхности, переносит энергию в направлении от поверхности. Однако условия, аналогичные условию Зоммерфельда на характер убывания амплитуды отраженной волны здесь не может быть использовано, так как в данной задаче при удалении от границы области амплитуда отраженного поля не уменьшается. В данной задаче условие излучения имеет вид

и'(х,у) = ]Г T¿exp(i'(A„x - 7„у)) +ехр(г(А0х + у0у)),

п=0,±1,±2,...

где — заранее неизвестные комплексные числа, называемые амплитудами рассеивания, (Ао,7о) — волновой вектор падающей волны, чцад = expt(AoX + 70у), Ап = А0 + п, 7„ = уТг2 — AJ, Im7„ > 0, Re7„ > 0. В §3.1 доказывается, что решения краевой задачи в такой постановке существует и единственно при почти всех значениях (Ао,7о) волнового вектора падающей волны на плоскости (А, 7). При этом для каждого направления волнового вектора, характеризуемого углом а с осью Ох (sin а = 7), существует лишь дискретное множество значений волнового вектора,

ТАВЛиЦА 3

Усредненная краевая

задача

Краевое. условие 11 =О (Дирихле )

Ц=0 в Я*

Краевое

условие Неймана (

Ж

-О

Ш-оёсо ^ ^

у =0

лраевое условие

|^ £ а 11= 0 ('смешанное )Со^р<1}

% =0 Б

1)0 ~1-к1рио^. по 'Х. , ЭС-^СЗ^г,

Оценки

близости решений'

и,=0 на 3

Э(4

г/7 ^-А А=со^>о

- Пгриу. /и} СС

Оценки близости собственных значений

VI

М-П'СК

ей.

#-0 ил эй,

Ц:>»Ш -о,

А в

• Й" 'У'('Х) - решение некоторой краевой ЗА^льи

£ оелАСти

I1

для точек которого рассматриваемая задача может не иметь единственного решения. Это множество может иметь предельную точку только не бесконечности. При этом решение задачи полностью определяется набором амплитуд рассеивания {Т°}.

Задача, решаемая в §3.1, состоит в построении и обосновании асимптотики решения и:(х,у) по параметру £, когда е -> 0, а отражающая поверхность является быстроосциллирующей с малой (порядка е) амплитудой осцилляции. Основным результатом здесь является построение и обоснование полного асимптотического разложения по параметру е. Доказано, в частности, что первый член асимптотики представляет собой решение задачи об отраженной волне от прямолинейной границы, но с видоизмененным поверхностным импедансом, а именно краевое условие на прямой у = 0 имеет вид

-р- - гШио =0, & = /(х))ф + (/'(х))2 ¿х.

у К о

Таким образом, если период осцилляции поверхности значительно меньше, чем длина падающей на поверхность волны, то отражение от поверхности "в нулевом приближении" происходит так же, как отражение от плоскости, но с измененным коэффициентом в граничном условии. Однако аналитические оценки не могут дать ответ на вопрос о том, насколько мал должен быть период отражающей поверхности, чтобы можно было в качестве решения исходной задачи использовать с заданной точностью описанное ниже "нулевое приближение". Чтобы ответить на этот вопрос, нужно провести ряд численных экспериментов. Было проведено сравнение решения "нулевого приближения", которое дается аналитической формулой, с решением исходной задачи, полученного в результате прямого численного моделирования. Прямое численное моделирование было осуществлено с помощью комплекса программ для численного решения задач дифракции волн на неровных (волнистых) поверхностях, написанного коллективом авторов под руководством автора настоящей диссертации. Описание принципов работы этого программного комплекса содержится в §3.4. Применительно к данной задаче сравнение показало, что с высокой степенью точности можно использовать "нулевое приближение" в качестве решения, если отношение длины падающей волны к периоду поверхности более пяти. Результаты расчетов приведены в §3.2.

В ряде задач, возникающих в акустике, радиолокации, лазерной технике и других задачах возникает необходимость построения эффективных аналитических выражений для полей, рассеянных на неровной поверхности в случае, когда период поверхности соизмерим с длиной падающей волны (а не много меньше, как в описанной выше задаче). Второй параграф четвертой главы посвящен анализу точности и границ применимости различных асимптотических методов в задаче дифракции волн на периодической поверхности в случае, когда величина периода поверхности соизмеримы с длиной падающей волны или много больше ее. Опишем коротко различные асимптотические методы, которые были подвергнуты анализу в третьей главе. Метод Кирхгофа может быть интерпретирован как коротковолновая асим-

птотика в рассматриваемой задаче при Л —> 0, где А — длина волны, и соответствующие формулы получены применением ВКБ-метода. Другой метод — метод малых возвышений — может быть получен предельным переходом при е -> 0, если граница области Пе задается формулой у = ef(x), где f(x) — 2тг-периодическая функция. Формулы для амплитуд рассеивания {Тп}, полученные при предельном переходе при £ —\ 0 хорошо известны и имеют вид

Тп = AS0n + BnJn + ^Cmnfmfn-m, S{x) = ^2fne'mx, A, Bm, Cmn = const.

m m

3 ряде случаев удобным является применение метода, называемого методом двух масштабов. Здесь граница области предполагается кривой, задаваемой уравнением у = ф(х) + ет](х), причем ■ф(х) — периодическая функция, период которой значительно превышает длину падающей на поверхность волны, а г > 0 стремится к нулю. В этом случае (если функция ф достаточно гладкая), для области, ограниченной поверхностью у = ф(х) задача дифракции может быть решена с достаточной точностью на основе метода Кирхгофа. Поэтому такое решение может быть взято в качестве "нулевого приближения" при s —> 0, а следующие приближения построены с помощью метода малых возмущений. Полученные таким образом формулы (см. [9]) называются формулами метода двух масштабов.

Однако и этот метод не может быть эффективно использован в ряде задач, которые могут встречаться в приложениях. В самом деле, метод двух масштабов существенно использует предположение о том, что отражающая поверхность является суперпозицией некоторой плавноменяющейся поверхности, масштабы неоднородно-стей которой велики по сравнению с длиной падающей волны, и некоторой поверхности с малой (порядка г) амплитудой. Однако не всякую поверхность можно разложить в сумму двух таких поверхностей. Так, поверхность моря имеет непрерывный спектр и, вообще говоря, не ясно, как осуществить указанное выше разложение. В ряде случаев можно, однако, считать, что поверхность моря является суперпозицией крупных волн и мелкой ветровой ряби, т.е. спектр такой поверхности как бы имеет "провал" в определенном частотном интервале. В период последних 1015 лет рядом авторов [12, 13] проводились исследования, направленные на создание эффективных методов построения рассеянного поля на поверхностях, имеющих непрерывный спектр, т.е. свободных от недостатка метода двух масштабов, на который мы обратили внимание выше. Были созданы методы малых наклонов [12] и локальных возмущений [13], описание которых мы приводим в §3.3. Однако оставался открытым вопрос о границе применимости и точности всех упомянутых методов. Аналитические выкладки не могли дать ответ на этот вопрос, поскольку соответствующие оценки проводятся с большим огрублением входящих в них постоянных. Представлялось достаточно важным провести объемный численный эксперимент, который позволил бы выделить в пространстве параметров задачи те области, где тот или иной метод работает с заданной точностью (например, 10% или 30%). Такая работа была проделана и ее результаты, как представляется автору диссертации,

проще всего представить в виде таблицы. Все расчеты проводились для поверхности

Угол падения и длина падающей волны менялись в пределах от 5° до 90° с горизонталью и соответственно А 6 (27г,27Г/10) (А — длина падающей волны). В таблице приведены формулы для амплитуд рассеивания {Гп}, полученных тем или иным способом и для различных краевых условий. В таблице также указаны номера рисунков , на которых изображены зоны погрешностей 10% и 30%, и номера зон, соответствующих тому или иному методу. Погрешность 5 вычислялась по формуле

где Т"1"'6 вычислялись по соответствующим формулам, а Т*°ч — с помощью пакета программ для численного моделирования задач дифракции, о котором было сказано выше. Метод двух масштабов не может быть просто включен в рисунки 4-8, поскольку его точность зависит не только от угла падения волны, но и от разложения поверхности в сумму двух — плавно меняющейся и "малой ряби". Численные эксперименты показали, что погрешность метода двух масштабов примерно равна сумме погрешностей метода Кирхгофа на "плавной" компоненте поверхности и методы малых возмущений на "малой ряби". Этот результат является эмпирическим результатом численного эксперимента, а не доказанной математической оценкой.

Интересным моментом является ярко выраженная зависимость точности методов от краевого условия на поверхности ЗП. Именно, точность метода существенно ухудшается при переходе от краевых условий Дирихле к краевым условиям Неймана. Краевое условие третьего типа является как бы "промежуточным" с точки зрения точности приближенных методов. Так, при переходе от краевого условия Неймана к краевому условию ^ + аи = 0 зоны погрешности < 10% и '< 30% уменьшаются, как показано на рис. 8. Все полученные численные результаты явились основой для создания методов решения обратной задачи дифракции на неровной поверхности, т.е. восстановления тех или иных параметров отражающей поверхности по отраженным от поверхности волнам. В самом деле, простое аналитическое выражение для рассеянного поля можно эффективно использовать для применения методов оптимизации невязки (например, градиентного спуска), а также в других случаях. Эти вопросы рассматриваются в главе 4 настоящей диссертации. Ранее обратные задачи дифракции рассматривались многими авторами, " - ,

В §4.1.1 рассматривается задача восстановления формы 27г-периодической поверхности по данным рассеяния с помощью минимизации невязки с использованием различных изученных в гл. 3 приближенных методов.

9

а! = 0.27, «2=0.02, а3 =-0.04, а4 = -0.02, а5 = -0.02, а6 = 0.00, а7 = -0.01, а8 = 0.00, ад = 0.00, б! = 0.03, Ь2 = 0.07, А3 = 0.00, Ь„ = 0.01, к = 0.00, 66 =-0.01, ¿7 = 0.00, ¿8 = 0.01, ¿>9 = 0.01.

Метод Кирхгофа. Уравнение поверхности У = Я1)- к=° (краевое условие Неймана) т" - (тГРт^ + Т") ( Лхехр( ■ехр(г(7о + 7„)/(х)),

Зона погрешности 1: ¿Кир(/) < 0.1 — рис. 6 <5Кир(/) < 0.3 — рис. 7

и = 0 (краевое условие Дирихле) •ехр(г'(7о + 7г.)Яг))>

Зона погрешности 1: ¿Кир(Л < 0.1 — рис. 4 ¿Кир(/) < 0.3 — рис. 5

Метод малых возвышений. Уравнение поверхности у = /(х) = тп ди _ п (краевое условие Неймана) Тп = Лй0„ + Вп/п + Е Стп/т/п-т ТП /1=1, £„ = 2г'(7„ - А0п) - 7'\ Ст„ = 2(7о - А0т)(Ат(п - т) - 7т)7^17™

Зона погрешности 3: ¿МВ(Я <0.1— рис. 6 6МВ(/) < 0.3 — рис. 7

и = 0 (краевое условие Дирихле) '^п = -^¿Оп &п}п 4" X] ^тп/щ/п-тп т А = -1, В„ = -2г7о, Стп = 27о7т

Зона погрешности 3: ¿МВ(Л < 0.1 — рис. 4 ¿мв(/) < 0.3 — рис. 5

Метод двух масштабов. Уравнение поверхности У = /(*) = ф(х) + £Т](х). ди _ л (краевое условие Неймана) ■1 27Г т„ = • ехр(-гпх) ехр(г(7о + 7„)ф(х))- ■ ((7« + /(7о-А„0'(х))2 ¿0"(з) (7о - 2\аф'(х) - 1аф'\х)) еф)-

¿Ш ^ + ¿Гмв(£77)

и = 0 (краевое условие Дирихле) 1 2т = -ехр(-гпх)ехр(г'(7о + 7„)^(х))-(7о - А,ф'{х)) (1 +

¿ДМ ^ ¿КиР(^,) + ¿МВ(£1?)

Таблица 4: Приближенные (асимптотические) методы.

Метод локальных возмущений. Уравнение поверхности у=/(х) = т = о ап (краевое условие Неймана) , 2тг Тп = 7г№ехр(-гп1)ехр(г(7о + 7„)/(г))-0 • («<»> + Еъ^ие^1 + . \ т т з / а(п) _ ^ ¿(в) = ¿(72 _ А0т)7"1 - г'7о + г'ЛтТО7~1, = -^5(7о - Аот - 7™7о)7т17п' + + (То - •^опг)7™17ш!ц' (Ат+аз + 2(Атз - 7^) + (70 + Пт+,)"1т+,)- + (7о+7т+»)(27т+»)-1-(7т+5(7т+* - 7о) + 2Ат+ато)

Зона погрешности 2: 5ЛВ(/) <0.1 — рис. 6 5лв(Л <0.3 —рис. 7

и = 0 (краевое условие Дирихле) , 2<г Г» = /¿гехр(-гпа;)ехр(г(7о + 7„)/(х))- \ т та / а(") = -707"1, = ¿7о7й'(7о -7т), = 7о7п1 (7о ~ 7т+»)(7о - 7» ~ 7т + 7т+,)/2.

'¿она погрешности 2: 5ЛВ(/) < 0.1 — рис. 4 5ЛВ(/) < 0.3 — рис. 5

§% + аи = 0 (смешанное краевое условие) 1 Зоны погрешности 5 > 0.1 на рис. 8 (двойная штриховка)

Таблица 5: Приближенные (асимптотические) методы — продолжение таблицы 4.

-60 - 40 - 20 0 20 40 60 -1--1-1-1-1-1 I-'-Г16.2 8

2,3

Рис. 4: Зоны точности приближенных методов: ^-поляризация, ошибка 10%.

-60 - 40 - 20 0 20 40 60

Как и следовало ожидать, метод локальных возвышений дает гораздо более точное восстановление формы, чем широко применяемый метод малых возвышений. Точность восстановления высоты гармоники для всех методов падает, если эта высота в безразмерных единицах превосходит 0.5, что связано с ухудшением точности асимптотических методов.

Кроме описанной выше постановки задач восстановления формы индивидуальной поверхности по отраженным от нее радиосигналам для приложений к вопросам радиолокации моря большое значение имеет другая постановка обратной задачи, которую можно назвать статистической постановкой (см. §4.1.2). Здесь требуется определить не характеристики формы индивидуальной поверхности, а некоторые средние характеристики формы статистического ансамбля отражающих поверхностей. Так, в задачах радиолокации моря важно уметь определить радиолокационными средствами, где на поверхности моря расположены зоны с уменьшенной амплитудой ветровой ряби (так называемые "пятна выглаживания"). Основная гипотеза, высказываемая радиоинженерами и радиофизиками состояла в том, что среднее значение амплитуды ветровой ряби на поверхности моря примерно пропорционально среднему значению амплитуды обратного сигнала, т.е. сигнала, рассеянного точно назад. С целью проверки этой очень важной для приложений гипотезы был осуществлен численный эксперимент. Для проведения этого эксперимента необходимо получить большое количество реализаций (представителей) формы поверхности. Поверхность моделировалась суммой нескольких (порядка 10) гармоник.

—1. 2,' 3 -—' 4—' 1 2

г-Гик -

Рис. 6: Зоны точности приближенных методов: Я-поляризация, ошибка 10%.

Амплитуды этих волн определялись по формуле Пирсона-Московитца для спектра поверхности моря, а фазы выбирались случайно. Для каждой полученной описанным способом поверхности проводилось вычисление отраженного поля по формулам метода локальных возмущений. Далее амплитуда обратного сигнала, усреднялись по достаточному большому количеству реализаций. Оказывается, что при пологих углах облучения этот средний обратный отраженный сигнал примерно пропорционален амплитуде гармоники поверхности, моделирующей ветровую рябь. Если же угол зондирования близок к нормальному, то такая пропорциональность не имеет места. На рис. 9 изображены результаты расчетов. По горизонтальным осям отложены угол падения в градусах, отсчитываемый от вертикали (пологие углы ближе к переднему плану) и амплитуда резонансной гармоники (ряби) в мм, по вертикали — значение сигнала, усредненное по 50-ти экспериментам для данных угла падения и амплитуда ветровой ряби. Из рисунка видно, что при приближении угла к прямому (отвесное падение) эта зависимость становится более слабой и исчезает. Критический угол составляет примерно 20°-30° с вертикалью. Видно, что при крутых углах зондирования абсолютная величина амплитуды сигнала велика, но нет монотонной зависимости абсолютной величины амплитуды от высоты ветровой ряби. Поэтому для крутых углов при данном способе обработки РЛ кадра (методом усреднения) нельзя получить информацию об изменении амплитуды резонансных гармоник ветровой ряби в пределах кадра. Но уже при углах зондирования, больших 30°, ситуация меняется. Мощность сигнала резко падает, затем появляется все

2

0.5

5

85

Рис. 8: Зоны погрешности > 10% метода локальных возмущений для пресной воды (1) и идеального проводника (2); ось абсцисс — а, ось ординат — к.

более выраженная (с увеличением угла зондирования) зависимость усредненного сигнала (абсолютной величины амплитуды) от амплитуды ветровой ряби.

Одной из возможных аппаратурных реализаций описанного выше метода определения изменений спектра морской поверхности является радиолокационная аппаратура космического базирования. При этом (поскольку сигнал обратного рассеяния имеет малую мощность) от РЛ станции космического базирования требуется возможность создания остронаправленных диаграмм направленности. Один из возможных путей в этом направлении — использование больших космических антенн (БКА) на орбите. Заключительная часть диссертации посвящена описанию построенной автором диссертации вместе с группой сотрудников ИПМ РАН математической модели сложной системы, представляющей собой космический корабль с укрепленной на его корпусе БКА и излучающим устройством в виде рупорного излучателя. При этом модель включает в себя как механический, так и электродинамический блоки. Зеркало антенны представляет собой двухслойную стержневую оболочку со структурой, близкой к периодической. Подробное описание конструкции зеркала и способов его крепления на космическом корабле приводится в §4.3.1. Конструкция содержит около 3 тыс. стержней, поэтому непосредственное моделирование механической системы БКА-КА на ЭВМ затруднительно. Сначала с помощью методики усреднения, описываемой в §4.2 стержневая конструкция заменяется непрерывной оболочкой. Далее с помощью готовых программ, написанных по методу конечных элементов, рассчитываются величины малых деформаций зеркала антенны под действием различных возмущающих моментов или сил инерции, возникающих при маневрах космического корабля. Затем величины этих деформаций используются в качестве исходных данных для электродинамической модели антенны, с помощью которой можно рассчитать диаграмму направленности деформированной антенны и определить падение коэффициента усиления антенны за счет деформаций. Разработанный программный комплекс позволяет за время порядка 5-10 сек рассчитывать объемную диаграмму направленности антенны по 2500 угло-

272_

136.

КУ, дБ

О амплитуда ряби

Рис. 9

-20' 0' 20' угол, мин

Рис. 10

Рис. 9: Зависимость среднего отраженного сигнала от угла падения (град) и амплитуды резонансной гармоники (мм).

Рис. 10: Изменение диаграммы направленности БКА в процессе разворота.

вым направлениям.

Приведенный цикл расчетов на ЭВМ был сделан для конкретной космической конструкции. Однако разработанные при этом методы и алгоритмы выходят за пределы расчета только данной конструкции. Отметим особенности разработанных алгоритмов и методов, позволяющие говорить о возможности их применения для более широкого класса задач.

1. Созданы алгоритмы расчета двумерных диаграмм направленности антенн, поверхность которых подвержена малым деформациям, работающие с высокой скоростью. 1

2. Разработаны численные и двухмасштабные асимптотические методы, пригодные для моделирования на ЭВМ механических систем с упругими и диссипа-тивными элементами, с помощью которых можно рассчитывать упругие деформации, возникающие под действием тех или иных сил и моментов, применимых к широкому классу конструкций с упругими и диссипативными элементами.

3. Алгоритмы и методы, упомянутые в гл.1 и 2 позволяют создать математическую модель антенны и устройства, зеркало которого подвержено деформациям, следящую непосредственно за изменением характеристик диаграммы

направленности в процессе деформирования зеркала (в том числе в реальном времени).

4. Разработанные алгоритмы и методы могут быть применены к проблемам построения активного управления отражающей поверхности антенны, вызванных возмущающими силами и моментами.

На рис. 10 представлены два сечения диаграммы направленности БКА — не-деформированной (кривая 1) и деформированной (кривая 2) в процессе разворота корабля. По горизонтальной оси отложен угол в минутах, по вертикальной — коэффициент усиления в децибелах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертационной работе для различных задач статики и динамики сильно неоднородных упругих сред и перфорированных сред, а также для задач дифракции волн на неровных (волнистых) поверхностях получены следующие основные результаты.

1. Построены эффективные оценки близости решений, собственных значений и собственных функций краевых задач для операторов с быстроменяющимися коэффициентами к решениям, собственным значениям и собственным функциям краевых ■задач для уравнений с усредненными коэффициентами.

2. Аналогичное указанному в п.2 исследование проведено для перфорированных областей, причем рассмотрены различные типы краевых условий на границах малых отверстий (полостей, каналов).

3. Исследовано поведение решений, собственных значений и собственных функций краевых задач в частично перфорированных областях, получены усредненные условия на границе между однородной и перфорированной частями области при этом изучены три типа граничных условий на границе отверстий (полостей, каналов) (Дирихле, Неймана, третье граничное условие).

4. Исследованы границы применимости различных асимптотических методов в задаче дифракции плоской волны на периодической поверхности, построены зоны заданных погрешностей на плоскости параметров задачи. Изучены с этой точки зрения методы Кирхгофа, усреднения, малых возвышений, малых наклонов, локальных возмущений, метод двух масштабов.

5. С помощью метода локальных возмущений (как наиболее точного в определенном диапазоне параметров задачи) построены некоторые алгоритмы решения обратных задач дифракции на неровных поверхностях в детерминированной и статической постановках.

6. Построена комплексная математическая модель поведения большой космической антенны на орбите Земли.

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Шамаев A.C. Спектральные задачи в теории усреднения и G-сходимости. ДАН СССР. 1981. Т. 295, N 2. С. 294 - 299.

2. Шамаев С. А. Спектральные задачи в теории усреднения. УМН.- 1981. Т. 36, N 4. С. 224 - 225.

3. Шамаев A.C. Усреднение собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для эллиптических уравнений с быстроосциллируюгцими коэффициентами. УМН. 1982. Т. 37, вып. 4. С. 135 - 136.

4. Иосифьян РА., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение собственных значений краевой задачи теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами. СМЖ. 1983. Т. 24, вып. 5. С. 50 - 58.

5. Иосифьян РА., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение первой краевой задачи и задачи на собственные значения для системы теории упругости с разрывными, периодическими быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированной области. Тр. Тбил. ун-та. Мат., мех., астр. 1986. N 259. С. 77 - 92.

6. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении эллидтических уравнений, описывающих процессы в слоистых средах. УМН. 1986. Т. 41, N 3. С. 185 - 186.

7. Иосифьян РА., Олейник O.A., Шамаев A.C. О собственных значениях краевых задач для системы теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях. Матем. сборник. 1987. Т. 32, N 4. С. 517 - 531.

8. Иосифьян РА., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированной области. УМН. 1987. Т. 42, вып. 6. С. 195 - 196.

9. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. Problèmes d'homogénéisation pour le systeme de l'élasticité a coefficiente oscillant non uniformément. C.r. Acad. Sei. Paris.

1984. T. 298, N 12. P. 273 - 276.

10. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. On homogenization problems for the elasticity system with non-uniformly oscillating coefficients. Math. Analysis. 1985. B. 79. Teubner- Texte zur Mathematik. S. 192 - 202.>

11. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. On the convergence of the energy, stress tensors and eigenvalues in homogenization problems of elasticiry. Z. angew. Math. Mech. 1985. V. 65, N 1. P. 13 - 17.

12. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. On the homogenezation of stratified structures. Analyse Mathématique et Applications Gauthier. Villars. Paris. 1988. P 401 - 419.

13. Иосифьян PA., Олейник O.A., Шамаев A.C. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика, механика.

1985. N 6. С. 37 - 46.

14. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении слоистых упругих

композитов. Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N 1. С. 118 - 125.

15. Олейник O.A., Шамаев A.C. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред. Механика неоднородных структур. Киев: Наукова думка, 1986. С. 185 - 190.

16. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. О предельном поведении спектра последовательности операторов, заданных в различных пространствах. УМН. 1989. Т. 44. N 3. С. 157 - 158.

17. Шамаев A.C. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях. УМН. 1982. Т. 37. N 2. С. 243 - 244.

18. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в перфорированной области // Вестник МГУ, Сер.1, Математика, механика, 1983. N 4. С. 53-63.

19. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об асимптотическом разложении решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений и системы теории упругости в перфорированной области. - ДАН СССР, 1985, 284, N 5, с. 1062-1066

20. Oleinik O.A., Shamaev A.S-, Yosifian G.A. Homogenization of eigenvalues and eigenfunctions of the boundary-value problems in prforated domains for elliptic equations with non-uniformly oscillating coefficients, in: Current Topics in Partial Differential Equations, Kinokuniya Co. Ltd, Tokio (1986), pp. 187-216

21. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении решений задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка и системы теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированной области //УМН, 1987, т. 42, N 6, с. 195-196

22. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. О собственных значениях краевых задач для системы теории упругости с быстроосциллирующими коэффициентами в перфорированной области. - Матем. сб., 1987, 132, N 4, с. 517-531

23. Олейник O.A., Шамаев A.C. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред. Киев: Наукова думка, 1986. С. 185 - 190.

24. Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей. ДАН, 1984, Т. 337, N 2, с. 168 - 171.

25. В.А.Корнеев, А.Г.Михеев, А.С.Шамаев. Точные и приближенные .методы решения задачи дифракции электромагнитной волны на периодической поверхности, Препринт ИПМ АН СССР N 490, 1991г. 40с.

26. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization, North-Holland, Amsterdam (1992)

27. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Изд-во МГУ, 1990 г.

28. W.Jager, Oleinik O.A., Shamaev A.S. On a Homogenization Problem for the Laplace Operator in a Partially Perforated Domain with the Neumann condition on Holes, Preprint N 93-53, Interdisziplinares Zentrum ftr Wissenschaftliches Rechnen, Heidelberg (1993)

29. Егер В., Олейник O.A., Шамаев A.C. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфо- рированной области// ДАН. 1993. Т. 333, N 4. С. 424427

30. Беляев А.Г., Михеев А.Г., Шамаев A.C. Дифракция плоской волны на бы-строосциллирующей поверхности //ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. N 8.

31. Корнеев В.А., Михеев А.Г., Работнова Е.Ю., Шамаев A.C. Сравнение двух численных методов решения задачи дифракции на периодической поверхности //ЖВМиМФ. 1990. Т. 30. N 5.

32. Корнеев В.А., Михеев А.Г., Работнова Е.Ю., Шамаев A.C. Сравнение точности численного и асимптотического методов в задаче дифракции на периодической поверхности //Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. N 2.

33. Михеев А.Г., Шамаев A.C. Об одном методе расчета дифракции электромагнитной волны на волнистой поверхности //Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. N 9.

34. Гильмак М.А., Киргетов A.B., Михеев А.Г., Ткаченко А.Г., Шамаев A.C. Методы и алгоритмы обработки и идентификации радиолокационных изображений поверхности моря. // Теория и системы управления, вып. 2, с. 80-102, 1995.

35. Корнеев В.А., Михайлов В.А., Черноусько Ф.Л., Шамаев A.C. Методы расчета эффективных упругих модулей стержневых конструкций с периодической структурой //МТТ. 1993. N. 3.

36. Б.А.Амосов, A.B.Киргетов, В.А.Корнеев, О.Л.Сатовская, А.С.Шамаев О влиянии динамических характеристик большой космической антенны на ее отражающие свойства. // Изв. РАН - Теория и системы управления, 1996, N 6, с. 117 - 129.

37. Черноусько Ф.Л. Шамаев A.C. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и диссипативными элементами. Изв. АН СССР, МТТ, N. 3, 1983, с. 33-42

38. Черноусько Ф.Л., Шамаев A.C. Эволюционные уравнения для медленных переменных в теории сингулярно возмущенных систем. ДАН СССР, т. 277, 2, 1984, с. 315-318.

39. M.A.Gilman, A.G.Mikheev, T.L.Tkachenko, A.S.Shamaev. Radar Image Analysis as a Means of Remote Sensing of Sea Surface. Numerical Methods in Engineering '96. Proceedings of the Second ECCOMAS Conference on Numerical Methods in Engineering. 9-13 September, 1996, Paris, France, Ed. by1 J.-A. Desideri, P.Le Tallec, E.Onate, J.Periaux, E.Stein. pp.351-354.

40. A.I.Ovseevich, A.L.Piatnizkij, A.S.Shamaev. Asymptotic of Solytions to a Boundary Value Problem with Small Parameter Russian Journal of Mathematical Physics, 1996, V.4, N.4

41. Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли. М: Научный Мир, 1996.

42. В.Егер,О.А.Олейник,А.С.Шамаев. Об асимптотике решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированнойобласти с краевыми условиями третьего рода на границах полостей. Труды Московского Математического Общества, 1997г., т.58. .