Метод пограничного слоя в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

российская академия наук

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи УЛК 517.9

КИРПИЧНИКОВА Наталья Яковлевна

МЕТОД ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Булдырев

доктор физико-математических наук, профессор С.А.Назаров

доктор физико-математических наук, вед. научн. сотр. М.М.Скриганов

Ведущая организация: Вычислительный дентр Сибирского

отделения РАН

Защита состоится 27 июня 1996 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН (191011, С.Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, коми. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН. Автореферат разослан " 25 " мая 1996 г.

' Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории распространения волн, как и в других физических теориях, число нетривиальных задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, когда известно строгое решение задачи, это решение имеет весьма сложный вид (бесконечные ряды, иногда отличающиеся столь медленной сходимостью, что они не могут быть применены к вычислению поля, или многократные интегралы, или же ряды, каждый член которых представляется в виде интеграла).

Вполне понятен поэтому постоянный интерес к нриближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам. Эти методы имеют все более широкое применение при исследовании волновых явлений различной физической природы: упругих, акустических, электромагнитных.

Большой вклад в развитие асимптотических методов внесли различные по математическим методам московские школы, с одной стороны, школы академиков В.И.Арнольда, H.H.Боголюбова, В.П.Маслова, И.Г.Петровского, а также школы М.В.Федорюка, В.И.Иванова и, с другой стороны, школы академиков Л.А.Вайнштейна и Л.М.Брехов-ских, школы В.А.Боровикова, Ю.А.Кравцова, Г.Д.Малюжинца, С.М. Рытова.

Современная петербургская школа асимптотических методов математической физики имеет глубокие корни, ведущие свое начало от основополагающих исследований академиков В.И. Смирнова, C.JI. Соболева и В.А. Фока. Основываясь на их фундаментальных работах, эта школа разветвилась по различным направлениям, приложениям, по математическим подходам и методам. Это школы ведущих ученых В.М.Бабича, В.С.Булдырева, В.С.Буслаева, В.Ф.Лазуткина, И.А. Молоткова, С.А.Назарова, Г.И.Петрашеня, П.Е.Товстика, Т.Б.Яновской и др.

Асимптотические методы и метода теории возмущений активно развиваются также школами академиков А.С.Алексеева, В.А.Марченко, А.А.Дородницына, зарубежными школами, которыми руководят известные учепые F.W.J.Olver, W.P.Brown, R.Courant, T.M.Cherry, F.G. Friedlender, E.Hopf, R.Grimshaw, J.B.Keller, P.Lax, D.Ludwig, F.Ursell, G.B.Whitham и многие другие.

Наиболее важным и часто используемым из асимптотических ме-

тодов в теории распространении воли является лучевой метод, который дает наглядную качественную картину развития волновых процессов в неоднородных средах и во многих случаях обеспечивает достаточно хорошее количественное их описапие. Для уравнений теории упругости и уравнений Максвелла лучевой метод был впервые применен и развит в работах В.М.Бабича, А.С.Алексеева, М.С.Рытова.

Интенсивное развитие асимптотических методов и, в частности, лучевого метода, на начальном этапе развитого в областях регулярного поведения поля лучей, позволило расширить рамки этого метода. Асимптотические представления решений в областях (теневые, полутеневые, окрестности каустических поверхностей, поля сосредоточенных конгруэнций лучей и т.д.), где нарушается регулярность поля, можно получать на основе лучевых представлений, если , как это сделали впервые В.А.Фок и J.B.Keller с сотрудниками, ввести понятие о дифракционных лучах.

В областях нерегулярного поведения поля лучей в зависимости от конкретной постановки задачи лучевой метод следует модифицировать, рассматривая его дифракционный вариант: лучевой метод в малом, метод параболического уравнения, метод эталонных задач и предложенный в диссертации метод пограничного слоя.

Во многих задачах модифицированный лучевой метод - это единственно возможный и достаточно универсальный аналитический метод решения. Особенно это относится к волновым процессам в неоднородных средах, для которых число точно решенных задач мало и ограничено одномерными и двумерными случаями.

В диссертации асимптотическим методом пограничного слоя решены различные задачи дифракции в неоднородных трехмерных упругих средах.

Построенные в диссертации асимптотические разложения сосредоточенных вблизи экстремалей интеграла Ферма решений динамических уравнений теории упругости для неоднородных трехмерных сред и названные впоследствии гауссовыми пучками, нашли свое применение в методе расчета упругих волновых полей, дающего единое представление как в областях регулярного поведения поля лучей, так и на каустиках произвольной геометрической структуры. Кроме того, эти решения отличны от нуля лишь в малой трубчатой окрестности фиксированного луча и не имеют сингулярностей при продолжении их вдоль центрального луча независимо от того, попадет ли этот луч на

каустику или нет. Гауссовы пучки можно отражать и преломлять, но нельзя допускать того, чтобы какой-либо из лучей касался границы отражения (или преломления). Для нестационарных задач возникают пространственно временные (ПВ) гауссовы пучки с аналогичными свойствами. Интерес к такого рода асимптотическим решениям возник в связи с созданием лазеров.

Идея получения новых и важных асимптотических решений с помощью суммирования элементарных решений, восходящая к работам О.Френеля, оказалась весьма плодотворной. Так, исследование фундаментальных решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами основываются на суммировании лучевых решений. Поэтому так важно знание последующих приближений к лучевому разложению решений уравнений теории упругости для неоднородных сред. Этому вопросу посвящена одна из глав диссертации.

Б-ЬисЬ,^ построил коротковолновую асимптотику задачи дифракции волны на гладком выпуклом препятствии, суммируя каустические решения. Построенная асимптотика поля справедлива как в зоне тени, так и в полутени. Однако методика этой работы не распространяется ни на краевое условие Неймана, ни на векторные задачи. Автору диссертации удалось преодолеть эти трудности, ввода новый параметр задачи и используя двухмасштабное асимптотическое разложение каустических решений.

Найденные в диссертации асимптотические разложения могут быть применены для практического расчета волновых нолей при подземных взрывах, производимых, например, при геологической разведке или ядерных испытаниях, а также в других случаях при построении теоретических сейсмограмм в неоднородных упругих средах. Обобщенные волны Релея, распространяющиеся вдоль свободной от напряжений гладкой поверхности, ограничивающей неоднородное упругое тело, являются моделью к наиболее интенсивным, но распространяющимся с самой медленной скоростью волнам, ответственным за самые разрушительные последствия землетрясений.

В связи с этим тема диссертации является актуальной и представляет значительный интерес как для математической физики, так и для различных ее практических приложений в областях теории упругости, акустики, геофизики, сейсморазведки и т.д.

Цель работы состоит в разработке асимптотического метода по-

граничного слоя для нерегулярных волновых полей и в применении его к решению большого класса дифракционных задач теории упругости, при этом существенно в неоднородных трехмерных средах. Особенно подробно рассмотрены поверхностные волны и волны, сосредоточенные в окрестности лучей (экстремальных кривых), а также изучено поведение нестационарного волнового поля и его особенностей вблизи каустики IIB лучей. Асимптотический метод пограничного слоя, или метод локальных разложений, предложенный в диссертации, позволил решить ряд новых задач теории дифракции и обнаружил себя как весьма универсальный метод, позволивший взглянуть с единой точки зрения па довольно разные задачи.

Научная новизна. Основные результаты дассертапри. Перечисленные ниже выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми и получены впервые автором.

1). Предложен метод пограничного слоя нахождения высших приближений асимптотического разложения решений в зонах как регулярного, так и нерегулярного поведения лучевого поля. В основе метода лежит получение рекуррентной последовательности уравнений для коэффициентов искомого разложения по обратным степеням большого параметра (различного для каждой из рассматриваемых областей и задач). Необходимые и достаточные условия разрешимости этих уравнений с соответствующими граничными или начальными условиями дают рецепт нахождения уравнений переноса для определения коэффициентов разложения решения.

Метод локальных разложений позволил взглянуть с единой точки зрения на довольно разные задачи дифракции, которые представлены в диссертации. Этот метод приводит к эффективному математическому аппарату, что дает основание говорить о естественности применения методики пограничного слоя к различным рассмотренным задачам. Соответствующие формулы оказываются удобными и с вычислительной точки зрения.

Суть метода заключается в следующем. В пограничном слое волновое поле представляется асимптотическим разложением, коэффициенты которого удовлетворяют системе рекуррентных уравнений, причем в каждом конкретном случае эта система для разных задач различна. Далее разложение из одного пограничного слоя продолжается в решение другого пограничного слоя. Характерными чертами ме-

■годики пограничного слоя, общими для различных задач, являются: стандартная система рекуррентных уравнений со своими операторами и лемма единственности (о продолжении разложений пограничного слоя в другие области) или ее заменитель — двухмасштабное разложение .

2). С помощью разработанной методики пограничного слоя получено решение ряда динамических задач акустики и имеющих существенно векторный характер динамических задач теории упругости для трехмерных неоднородных сред. При этом вектор смещений упругой среды вблизи поверхности выбирается в виде суммы продольной и поперечной волн, удовлетворяющих граничным условиям свободной от напряжений границы.

Перечислим решенные задачи.

- Построены решения уравнений упругости, сосредоточенные в окрестности границы и распространяющиеся вдоль луча поперечной волны. Продольная волна подобна волне Релея и убывает при удалении от границы вглубь тела. Поперечная волна сосредоточена в приповерхностном объемном волноводе вблизи луча и соответствует собственным функциям типа шепчущей галереи. Рассмотрены два вида поперечных смещений: по направлению нормали к поверхности п перпендикулярно плоскости пормального сечения поверхности вдоль луча.

- Исследована дифракция построенных в предыдущей задаче волн на линии разрыва кривизны поверхности тела. При этом поперечные волны с различными поляризациями и соответственно с различными граничными условиями Дирихле или Неймана согласовываются на этой линии.

- Найдены решения, сосредоточенные одновременно в приповерх-постном объемном волноводе и на поверхности вблизи экстремального луча подобно волнам прыгающего мячика.

- Используя теорему И.Г.Петровского о разрыве, перемещающемся вдоль поверхности со скоростью, близкой к релеевской скорости, построены обобщенные волны Релея для трехмерного неоднородного упругого тела, ограниченного поверхностью произвольной формы.

- Найдены волпы Реяея, распространяющиеся по произвольной свободной от напряжений поверхности и сосредоточенные вблизи луча релеевской волпы.

- Построены акустические волны соскальзывания и проведено их

согласование с волнами Фридлендера-Келлера в теневой области.

3). При нахождении высших приближении асимптотического разложения вектора упругих смещений, сосредоточенных вблизи свободной от напряжений границы, построены обобщенные функции Грива задач Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и Неймана.

4). Проведено дальнейшее развитие метода локальных разложений: вместо согласования решений из одной характерной области в другую с использованием лемм единственности применяется метод двухыасштабного разложения с использованием коэффициентов ряда Лорана по малому параметру. Разработанный метод позволил не только расширить область применимости полученных разложений, но и находить высшие приближения для более сложных граничных условий при исследовании поверхностных волн в теории упругости.

5). Методом локальных разложений для поля нестационарной продольной волны, распространяющейся в упругом неоднородном трехмерном пространстве и заданной своим ПВ лучевым представлением, построено поле в непосредственной окрестности каустики, образованной семейством заданных ПВ лучей.

6). Классическая задача исследования особенностей волнового поля в окрестности каустики, образующейся при движении волнового фронта в среде с переменной скоростью, рассмотрена ПВ лучевым методом. Полученное решение обладает простотой, наглядностью и универсальностью по отношению к различным классам разрывов на фронте нестационарной волны.

7). ПВ лучевым методом для неоднородной трехмерной среды найден закон отражения ПВ лучевых амплитуд от движущейся гиперповерхности в четырехмерном пространстве (пространственные координаты, время). Получен аффект Доплера для ПВ волны, относительно движущейся гиперповерхности. Следует заметить, что как каустика ПВ лучей, тале и движущаяся гиперповерхность являются времени-подобными поверхностями.

8). ПВ лучевым методом получены следующие за главным приближения ПВ лучевого представления вектора продольных смещений неоднородной трехмерной упругой среды.

Достоверность полученных результатов вытекает из полноты и математической строгости постановки задач, приводимых рассуждений и доказательств, а также контролируется сравнениями в тех слу-

чаях, которые имеются в научной литературе.

Методика исследования. Лля достижения цели работы в диссертации применяются различные методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории упругости, римаповой геометрии, тензорного анализа, гамильтоновой механики, вариационного исчисления и др.

Основной метод исследования рассматриваемых в диссертации волповых процессов — асимптотический. Здесь наиболее важным и наиболее распространенным является лучевой метод, который дает наглядную качественную картину развития волновых процессов в неоднородных средах и хорошо согласуется с интуитивным представлением о распространяющихся вдоль лучей потоках энергии .

Даже в тех случаях, когда известно точное решение какой-либо задачи, как правило, рассматривают коротковолновую асимптотику точного решения, чтобы представить качественный характер поведения решения.

Для нерегулярных волповых полей (каустики, неоднородности, препятствия, поверхности разрывов непрерывности кривизн или градиентов скоростей распространения и т.д.) лучевой метод требует существенного видоизменения, и тогда следует применять, например, дифракционный вариант метода пограничного слоя.

В процессе исследования различного класса задач, связанных с нерегулярным полем лучей, автор для их решения разработал метод локальных разложений (мегод пограничного слоя): исследуемая область делится на характерные области, и в каждой из них решение ищется в некотором присущем данной области специфическом виде, который свойственен физике явлений для данной области.

Следует отметить, что дифракционный вариант метода пограничного слоя сталкивается с серьезной трудностью: локальные разложения должны быть согласованы друг с другом. Согласование локальных разложений, да еще во всех приближениях, является непростой задачей, однако, как правило, разрешимой. Здесь па помощь приходится привлекать специфическую аналитическую технику, связанную с так называемыми леммами единственности, впервые сформулированными В.М.Бабичем при исследовании поведения волны, заданной своим лучевым разложением вблизи каустики. Другой возможный путь — продолжение решения из одной области в другую проводится пу-

тем введения нового параметра задачи. Здесь согласование решений в разных областях, а следовательно, и с разными асимптотическими разложениями, производится методом двухмасштабного асимптотического разложения решения.

Для всех классов задач, которые предложены, разработана методика нахождения высших приближений асимптотического разложения решений в зонах как регулярного, так и нерегулярного поведения лучевого поля. Эта методика основана на получении рекуррентной последовательности задач для коэффициентов формального асимптотического разложения решения по обратным степеням большого параметра (различного для каждой из рассматриваемых областей и задач). Необходимые и достаточные условия разрешимости этой серии задач на .(п -+- 1)-ом шаге дают нам рецепт получения так называемых уравнений переноса для определения п-ых коэффициентов разложения решения.

Используемая методика и получила название метода пограничного слоя или метода локальных разложений.

Интенсивное развитие асимптотических методов решения задач математической физики, относящихся к теории распространения решений гиперболических уравнений, позволило весьма эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных средах. В связи с этим возник ряд новых задач, имеющих специфические для неоднородных сред особенности.

Асимптотические методы позволили исследовать в диссертации не только задачи, связанные с гладкими объектами, но и позволили рассмотреть эффекты влияния на процессы распространения волн произвольного вида экстремумов скоростей, каустических поверхностей и т.п., а также решить модельные задачи в тех случаях, когда различные среды имеют особенности типа линий разрыва кривизн, градиентов скоростей.

Теоретическая и практическая значимость. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Наиболее важным теоретическим результатом является разработка метода пограничного слоя — аналога лучевого метода для нерегулярных волновых полей.

Бесспорно перспективное направление — применение метода пограничного слоя для уравнений теории упругости, имеющих суще-

ственпо векторный характер, для неоднородных трехмерных сред и вблизи произвольных поверхностей раздела, что приближает эти задачи к реальным физическим и геофизическим проблемам.

Сложность динамических уравнений теории упругости, имеющих существенно векторный характер, в неоднородных трехмерпых средах увеличивается при рассмотрении этих уравнений вблизи произвольных поверхностей раздела, вблизи экстремальных кривых или в окрестности каустик.

Найденные автором различного класса сосредоточенные решения типа гауссовых пучков, тина волн шепчущей галереи, волк соскальзывания много позже были применены в методе суммирования гауссовых пучков для представления поля в упругих неоднородных средах, а также были использованы различными зарубежными авторами: чешскими V.Cherveny, I.Pshenchik при более позднем написании статьи, подобной статье автора "Сосредоточенные вблизи лучей решения уравнений теории упругости для неоднородной среды", американским K.Yomogida, исследующим сосредоточенные волны Релея, французским D.Bouche, использующим методику пограничного слоя для нахождения электромагнитных волн соскальзывания и согласования с волнами Фридлендера-Келлера.

Приложения методики пограничного слоя к исследованным в диссертации задачам дифракции, разумеется, не исчерпываются только этими примерами. Так, некоторые общие черты с методикой пограничного слоя имеют несколько более ранняя интересная работа В.С.Буслаева, в которой рассматривается задача о точечном источнике колебаний на выпуклом теле, серия работ американских авторов, посвященных задачам с острыми кромками, и несколько работ E.Zauderer, G.S.Avila и J.B.Keller.

Добавим, наконец, что методика пограничного слоя показала, что между асимптотическими методами в теории дифракции и асимптотическими методами в других областях математической физики больше общих черт, чем думалось раньше. Особенно интересны в этой связи казалось бы далекие от задач дифракции монографии Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского "Асимптотические методы в теории нели-пейпых колебаний", В.П.Маслова "Теория возмущений и асимптотические методы", В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова "Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей", С.А.Назарова и Б.А.Пламепев-ского "Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей"

и статьи М.И.Вишика, Л.А.Люстерника "Регулярное вырождение и пограничный слой для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной", С.Ю.Доброхотова, В.Н.Маслова " Конечнозонные почтипериодические решения в ВКВ приближении ", С.А.Назарова "Асимптотика по малому параметру решения эллиптической краевой задачи в области с конической точкой".

Теоретические результаты и методы диссертации находят практическое применение в геофизических методах построения сейсмограмм, помогают эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных упругих средах. Разработанные методы позволяют исследовать влияние на волновые процессы произвольного вида экстремумов скоростей, разрывов кривизн, каустических поверхностей, а тале же помогают строить решения, сосредотачивающиеся вблизи некоторых экстремальных кривых. Эти решения отличны от нуля лишь в малой трубчатой окрестности фиксированного луча и не имеют сингуляр-ностей при продолжении их вдоль центрального луча независимо от того, попадет ли этот луч на каустику или нет. Интерес к такого рода асимптотическим решениям возник и не угасает в связи с созданием и непрерывным усовершенствованием лазеров.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Всесоюзной акустической конференции (январь 1968, Москва), на II Международном рабочем совещании "Сейсмическая анизотропия. Результаты. Проблемы. Возможности." (20-27 мая 1986, Москва), на VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (Новосибирск, 1987), па Международной конференции в Эйлеровском международном математическом институте "Спектральная теория и теория распространения волн" (15-26 ноября 1993, Санкт-Петербург) на Международной научной конференции "День дифракции" (1994, Санкт-Петербург).

Результаты диссертации неоднократно докладывались на общегородских семинарах проф. В.М.Бабича по теории дифракции и распространению волн в С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН, на геофизических семинарах в Карловарском государственном университете в Чехословакии и на семинаре в Геофизическом институте ЧСАН (г. Прага), на семинаре акад. В.И.Кейлис-Борок в институте Физики Земли РАН, на семинаре лаборатории геофизических проблем в Потсдамском Институте Физики

Земли и др.

Монография [9] (совместная с В.М.Бабичем), содержащая изложение метода пограничного слоя в задачах дифракции, переведена па иностранный язык, широко известна и используется в научной работе как в России, так и за границей.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 30 научных работах [1-30], список которых представлен в копце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты. Общий объем диссертации — 274 страницы машинописного текста. Имеется 2 рисунка. Список литературы содержит 204 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении работы подробно изложены мотивировки данного исследования, содержится обзор литературы по рассматриваемым в диссертации вопросам, описано содержание диссертации по главам и приведены основные результаты диссертации.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, представлены известные классические уравнения теории упругости в декартовой и в произвольной криволинейной системах координат, введено понятие метрического тензора, асимптотического ряда. Рассмотрены фундаментальные решения уравнений динамической теории упругости с различными типами особенностей. Во втором параграфе первой главы даны основные идеи и уравнения лучевого метода. Приведены три системы криволинейных координат (лучевые, полугеодезические и нормальные римановы координаты), которые в основном используются в диссертации. Пространственно временной лучевой метод в приложении к теории упругости, понятие времениподобных поверхностей, условия нрименимости ПВ лучевого метода предложены в параграфе 3 первой главы.

В главе 2, основанной на работах [21,22,29] автора, найден алгоритм вычисления последующих за главным членов ПВ лучевого ряда для вектора смещений в изотропной неоднородной упругой среде. Нахождение главного члена лучевого ряда для неоднородных сред сопря-

жеыо с громоздкими аналитическими и вычислительными алгоритмами. Вычисление же последующих членов лучевого асимптотического разложения в неоднородной трехмерной среде эти трудности увеличивает многократно.

Отсюда так важно проведенное в §4 сравнение методики этой главы с рассмотрениями, проведенными в совместных с М.М.Поповым работах автора [27,28], и с методами, предложенными в работах школ Г.И.Петрашеня и Т.Б.Яновской.

Рассмотрения следующих за главным приближений лучевого метода важны не только для того, чтобы найти нетривиальное решение другой поляризации или для строгого оправдания асимптотического лучевого метода, но, например, в задаче о поле точечного источника в волноводе для уточнении области лакун, где неприменим лучевой метод, или в методе гауссовых пучков при исследовании области применимости этого метода на больших расстояниях от источника и вблизи областей почти касательного падения лучей.

В третьей главе диссертации приведен метод пограничного слоя в задачах дифракции и исследованные этим методом задачи, в которых соответствующее поле лучей теряет свойство регулярности, и следовательно, лучевой или ПВ лучевой методы не могут быть применены в стандартном виде, изложенном в первой главе. Материал главы 3 базируется на работах [1-12,15,30].

Метод локальных разложений позволил взглянуть с единой точки зрения на довольно разные задачи дифракции, которые представлены в диссертации.

Этот метод приводит к эффективному математическому аппарату, что дает основание говорить о естественности методики пограничного слоя в применении к различным рассмотренным в диссертации задачам. Соответствующие формулы оказываются удобными и с вычислительной точки зрения.

В пограничном слое волновое ноле представляется разложением, коэффициенты которого удовлетворяют системе рекуррентных уравнений

ь0и0 = о, ¿0^1 + ь^о = 0, ..., £0г/,- + ь^и^-х + ...+ 1;-£/0 = 0, ...,

(1)

причем уравнение Ь()[/о = 0 в каждом конкретном случае свое для разных задач. Далее формулируется лемма единственности, позволя-

ющая продолжить разложение из одного пограничного слоя в решение, присущее другому пограничному слою. Характерными чертами методики пограничного слоя, общими для различных задач, являются: стандартная система рекуррентных уравнений (1) со своими операторами г = 0,1,2,..., и лемма единственности о продолжении разложений пограничного слоя в другие области или ее заменитель — двухмасштабное разложение.

Наиболее ярко преимущества разработанного автором метода пограничного слоя проявились при исследовании задач построения волн шепчущей галереи и волн соскальзывания. Естественно наиболее проста схема построения всех приближений при отыскании решения типа волн шепчущей галереи для обыкновенного волнового уравнения с неременной скоростью распространения. Получена та же серия рекуррентных уравнений (1), причем однородное уравнение пограничного слоя Ьй11о = 0 — это уравнение Эйри. Однако краевые условия здесь другие. Они аналогичны классическим условиям Штурма-Лиувилля, распространенным на полубескопечный интервал.

Отметим еще одну характерную общую особенность метода пограничного слоя в задачах дифракции: для нахождения п-ого коэффициента асимптотического разложения решения приходится привлекать условие разрешимости уравнений (п+ 1)-ого приближения.

Метод пограничного слоя в теории дифракции имеет много общего с методом пограничного слоя, применяемым в других областях математической физики. Это относится к рекуррентным последовательностям уравнений (1) и к некоторым другим приемам, используемым б главе 3. Он также оказался плодотворным при исследовании задач из других областей математической физики.

Так, для нахождения начальных данных в высших приближениях лучевого разложения решения для неоднородной упругой среды приходится решать задачу о поле в окрестности источника. Эта задача вызывала иптерес многих авторов. До сих пор были найдены либо равномерные формулы, которые трудны для обозрения, либо формулы, полученные близким по исходным идеям методом американскими авторами, но содержащие из-за сложности построений неточности. Эти неточности (присутствие логарифмических членов в плоском случае) возникли из-за отсутствия рассмотрений, связанных с леммой единственности. Построение всех приближений здесь проходит, в общем, по схеме, предписанной методом пограничного слоя, однако от-

личие состоит в том, что однородное уравнение пограничного слоя £оСо = 0 здесь есть уравнение Гельмгольца.

Проиллюстрируем [9] метод локальных разложений на примере известной двумерной задачи о доведении волнового поля в окрестности границы дО, = 5 для волн шепчущей галереи и волн соскальзывания. Формальное разложение волны шепчущей галереи имеет вид

СО 1=0

где 8 — длина дуги вдоль границы 5, п — расстояние по нормали к границе, го(а) — эйконал, и — пш2/3, гх(в),!/;(«) — искомые функции, ш 1 — большой параметр задачи.

Однородное уравнение системы (1) для данной задачи Ь^Щ =0 — это уравнение Эйри для вещественной функции V. В силу граничных условий и требования сосредоточенности решения функции 11} удовлетворяют условиям

= (3)

Однородная краевая задача Штурма-Лиувилля для составляющей С/о разложения (2)

имеет нетривиальное решение

и0 = А0{вН£-и), (4)

где V — функция Эйри, Ао(я) — амплитудный множитель. Краевое условие при V = 0 приводит к равенству

£ = — 1,2,3,...,

. где — корень функции Эйри V.

Для нахождения Uj мы получаем рекуррентную последовательность (1) задач типа Штурма-Лиувилля:

L0f7;- + + ... + LsUo = 0, tyLo = 0, UjI^ - 0.

По существу, уравнения (1) рассматриваются на прямом произведении участка кривой S и полупрямой 0 < —и < оо.

Здесь Lj -— дифференциальные операторы по s и v не выше второго порядка с полиномиальными по и коэффициентами, которые имеют следующие выражения:

ь. = £ + <--о,

Vos со Со ов / ■ф2 I с£ф2 12 дп? \ р > 1п=о р ov

2 дп2 с2 ln=oJ idn Vpj ln=oJ 4 J

В случае j = 0 рекуррентная система (1) переходит в уравнение LqUq = 0 с краевыми условиями (3), и эта задача Штурма-Лиувилля имеет нетривиальное решение (4). Для индекса j > 1 система задач Штурма-Лиувилля превращается в уравнения с неоднородной правой частью F и с однородными краевыми условиями. Функция F является линейной комбинацией функции Эйри и ее производной с полиномами по f, имеющими коэффициенты, зависящие от а.

Все последующие функции разложения (2) при j > 0 найдутся с помощью теоремы о разрешимости задач Штурма-Лиувилля.

Теорема. Для разрешимости задачи

Ч=о = 0. Ч—оо °> = О, П = 1,2,3,..., 17

где •Рп'^(ь'), * = 1,2, — полином по V степени п с коэффициентами, зависящими от а, необходимо и достаточно, чтобы свободный член Р = -РгпС^) у + -^ги-гС") ортогонален решению соответствующей

однородной задачи, а именно

[ - I/)<1и = 0.

и — ос

Из последнего равенства при j = 1 получаем уравнение переноса для нахождения амплитудного множителя Ло(а) формулы (4).

Далее по той же схеме были рассмотрены высшие приближения для волн шепчущей галереи.

Рассмотренные в §1 волны соскальзывания при удалении от границы (по крайней мере, в первом приближении) представляют собой совокупность лучей, соответствующих уходящей волне, имеющей каустикой эху границу. Методом локальных разложений аналогично волнам шепчущей галереи построены во всех приближениях волны соскальзывания, а затем они продолжены в так называемые волны Фридлендера-Келлера.

При распространении волны соскальзывания лучи, сходя по касательной к границе, уносят энергию из пограничного слоя.

В §1 главы 3 построено формальное решение уравнения Гельм-гольца, соответствующее лучам соскальзывания, а затем (пункт 2 §1) это решение пограничного слоя согласовано с решением, отвечающим волнам соскальзывания. Согласование имеет много общих черт со сшиванием волны в окрестности каустики. Полученное в результате "кусочное" асимптотическое разложение имеет свой равномерный аналог: формулы Льюиса, Влейстейна, Людвига.

Формальное решение уравнения Гельмгольца, отвечающее лучам соскальзывания, было найдено Фридлендером и Келлером . Они предложили искать решение в виде (2) с эйконалом то(М), отвечающим лучам соскальзывапия.

Подставляя искомое асимптотическое разложение в уравнение Гельмгольца, получим

= 7Щ*

Утс^п = 0,

LoUo = 0, LoUi + LXU0 = = 0, (5)

k=0

L0U = 2Vr0W + Дт0 U, Lx U = -(Vn)2 U, L2U = 2VnV£/ + An U, LaU = AU.

Рекуррентная система для Uj (M) имеет вид, подобный рекуррентной системе лучевого метода для амплитудных множителей.

Рассмотрим представления волны соскальзывания и волны Фрид-лендера-Келлера в одной и той же полосе по расстоянию тг от границы

v = и>2/*п,0 < cjo!ei <v< c-zw'2, С{, с; = const, 0 < ej < ег < —.

6

В такой полосе функции Эйри w^ и w[ заменяются на асимптотику по аргументу, стремящемуся к бесконечности, оба представления и волн соскальзывания, и волн Фридлепдера-Келлера приобретут одинаковое разложение вида

и ~ ехр

iur0 +

г-, „хЦ+к/ЪиНз-г/а

¡=0к=-4]

Используя лемму единственности В.М.Бабича, проведено согласование разложений путем сравнения соответствующих коэффициентов, так как разложения в полосе согласования совпадают. Ввиду того, что в разложении волны соскальзывания логарифмические члены отсутствуют, их не будет и в лучевом разложении Фридлепдера-Келлера. С точностью до главных членов волна Фридлендера-Кел-лера является продолжением волны соскальзывания.

В §2 главы 3 приводится разработанный автором [11] метод двух-маштабного разложения равномерных асимптотик. Применение этого метода проиллюстрировано на примере акустической задачи нахождения собственных функций типа шепчущей галереи, которые являются решениями уравнения Гельмгольца, сосредоточенными в окрестности

границы области, и удовлетворяют на самой границе условиям Дирихле или Неймана. В предлагаемом автором методе двухмасштаб-ного разложения при нахождении асимптотических формул и рекуррентных соотношений для собственных функций используется метод равномерных разложений, предложенный Д. Людвигом, Ю.А. Кравцовым.

Кроме того здесь разработана некоторая модификация метода равномерных разложений, относящаяся к нахождению высших приближений решения задачи Неймана. Это позволяет легко переносить метод на более сложные задачи исследования поверхностных волн в теории упругости.

Отметим достоинства метода двухмасштабного разложения. Во-первых, метод позволяет легко согласовывать локальные разложения пограничного слоя вблизи границы упругого тела с лучевыми представлениями рассматриваемых решений. Во-вторых, важным свойством двухмасштабных разложений является возможность получения дальнейших приближений асимптотических разложений в случае сложных граничных условий, в частности, граничных условий Неймана. Это свойство позволило в дальнейшем найти решения каустического вида для сложных неоднородных упругих сред вблизи свободной от напряжений границы.

Первоначально данный метод был предложен автором в статье [ 11]. Несколько позже в совместной работе В.С.Булдырева и Н.С.Григорьевой, посвященной распространению квазинормальных волн в нерегулярных рефракционных волноводах, разработанный ими незави-. симо аналогичный метод асимптотического разложения решения по двум параметрам назван "методом двухмасштабного разложения". Автор использует этот удачный термин в диссертации.

Далее в §3 построены решения динамических уравнений теории упругости, имеющие разрыв только на граниде, которая предполагается свободной от напряжений. Решения, найденные в совместных с В.М.Бабичем работах [1,15], обобщают на случай неоднородного упругого тела произвольной формы известные "плоские" волны Релея.

Полученные обобщенные волны Релея распространяются вдоль поверхности в соответствии с принципом Ферма, т.е. вдоль поверхностных лучей, и для этих волн Релея удалось развить аналог лучевого метода вычисления интенсивности волновых фронтов.

Построенные решения уравнений теории упругости имеют разрыв

только вдоль некоторой гладкой линии, перемещающейся по свободной от напряжений поверхности упругого тела. По теореме И.Г.Петровского скорость распространения этой линии разрыва определяется только значениями упругих постоянных данной линии и находится из уравнения Релея.

Одновременно в п.8 §3 методом пограничного слоя найден новый класс волн — обобщенные волны Релея [4], сосредоточенные вблизи луча, лежащего на свободной от напряжений поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы.

В заключение данного параграфа проведено исследование и срав-непие волн Релея двух построенных типов. Доказано, что, действительно, существует решение уравнений теории упругости, имеющее в окрестности дП такое же поведение, как и = и, + иь и точно удовлетворяющее условию отсутствия напряжений па границе:

и ~ е!Хо Vтa - та) + е2хо С /С* ~ п),

здесь

Смещение и в окрестности фронта волны Релея пропорционально величине хо, называемой комплексной интенсивностью волны Релея. Чтобы найти хо ? следует взять начальные данные из точного решения соответствующей задачи для однородного полупространства в трехмерном случае и полуплоскости в плоском случае. Функция / здесь та же, что и в соответствующей задаче для полупространства или полуплоскости.

Комплексная интенсивность представляется в виде произведения шести сомножителей, каждый из которых характеризует собой влияние того или иного фактора на волну Релея:

хо(т,а) = х(0,а) 1=Х

V9аа

х ехр/1 ^г<|гвжр/ § ^1т/! *техр1

Первый сомножитель характеризует начальный вид волны Релея, второй зависит только от внутренней геометрии лучей и показывает, что

зависимость амплитуды волны Релея от расходимости поверхностных лучей такая же, как и в случае распространения объемных волн. Следующие три сомножителя показывают, что кривизна поверхности вдоль и поперек луча и скорость изменения \,ц,р с глубиной влияют только на фазу волны Релея, но не влияют на ее амплитуду. Скорости изменения Л,ц,р вдоль луча, наоборот, влияют только на амплитуду.

Коэффициент А всегда положителен, а В ~ А/4. Далее коэффициенты С, D чисто мнимые, коэффициент Е является линейной комбинацией и тоже чисто мнимый, коэффициент F, являющийся линейной комбинацией — вещественен. Важно отметить, что влияющий на фазу волны коэффициент Е не зависит от производной релеевской скорости с по глубине v.

Существенно позже вывода автором формулы для комплексной интенсивности хо(т, ос) подобный комплексный экспоненциальный множитель с коэффициентом Е в амплитуде волны был получен применительно к другой физической ситуации М.В.Берри (см. Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. Lond. A 392, 1984, pp. 45 -57). Впоследствии такой экспоненциальный множитель с коэффициентом Е стал называться фазой Берри.

Конкретный вид коэффициентов Е и F приведен в диссертации. Он столь громоздок, что нет никакого смысла давать здесь соответствующие формулы.

Комплексная интенсивность сосредоточенной вблизи поверхностного луча волны Релея подобна функции хо, но содержит дополнительный экспоненциальный и амплитудный сомножители

1 1

—-ехр

у/У9тт

Так кале предел функций параболического цилиндра Оя(г) при г —►

±оо равен нулю только для целых неотрицательных д, то д = 0,1,2,____

Функции Од(г),г = у/2т)/*/, осциллируют, если 2д+1 > ша27~2 и экспоненциально убывают, если 2д + 1 < ша27-2.

При достаточно большой частоте ш сосредоточенное решение существенно отлично от нуля лишь в узкой полосе

N < А/2д-Ы7^-1/2, {ш оо),

окружающей луч Ьс. За пределами этой полосы решение экспоненциально убывает. Ширина полосы сосредоточенности решения квантована: д = 0,1,2,... и увеличивается с ростом д, в то время как амплитуда соответствующих волн и^ убывает.

Построенные сосредоточенные волны Релея, по существу, являются поверхностными. Действительно, модули обоих слагаемых поперечного и продольного составляющих вектора смещений можно записать в виде

|иа| = 0(^)ехр (-.ц^ХГХ), Ы = 0(и/>)ехр (-„^/ХЗ).

Следовательно, вектор смещения и, а вместе с ним и комплексные продольная волна и поперечная волны иа,иь экспоненциально убывают с глубиной, стремясь к нулю при V —» оо. Чем больше частота ш, тем убывание происходит быстрее. При ш —» оо модули векторов иа,иь существенно отличны от нуля лишь в пограничной полосе и — 0(ш-1), а при V — 0(и>~а), а < 1, экспоненциально стремятся к нулю.

Сравним между собой асимптотическое лучевое представление нестационарных обобщенных установившихся волн Релея и сосредоточенные вблизи луча Ье установившиеся гармонические волны Релея, полученные методом пограничного слоя. Для этого выберем функции — г) лучевого ряда

оо

и=(Т' а> ^ ~т) *=0

в виде Д = ехр[—га>(4 — г)](га;)~'1. Анализ соответствующих формул показал, что они согласуются между собой. Векторы смещений как функции от г и и описывают одинаковые волновые процессы. По отношению к переменной а их поведение отличается, так как в первом случае волны Релея распространяются по всей поверхности, а во втором — сосредоточены вблизи луча Ьс на поверхности.

Рассмотрения параграфа 4 главы 3 сводятся к отысканию высокочастотной асимптотики сосредоточенных в окрестности луча Ьъ С дС1 решений уравнений теории упругости в неоднородной трехмерной среде П. Построенные решения имеют характер волн, распространяющихся вдоль луча Ьь, целиком лежащего на гладкой свободной от напряжений поверхности дП, ограничивающей упругое тело О.

Вектор смещений и упругой среды в области, ограниченной dfl, выбран в виде суммы продольной иа и поперечной u¡, волн, удовлетворяющих условиям отсутствия напряжения на границе. Продольная волна сразу убывает при удалении от границы вглубь тела и подобна волне Рэлея. Поперечная же волна сосредоточена в некотором приповерхностном объемном волноводе вблизи луча Ьь. Поведение ее в приповерхностном слое соответствует собственным функциям типа шепчущей галереи.

Внутри тела ÍÍ асимптотически определяющими являются поперечные волны Uj. Рассмотрены два вида поперечных смещений: волны, у которых смещение частиц в главном происходит но направлению нормали к поверхности дГ2, и волны, у которых смещение частиц происходит перпендикулярно плоскости нормального сечения поверхности вдоль луча Ьь, как у волн Лява.

В отличие от работы Л.М.Бреховских и совместной статьи И.В. Мухиной, И.А.Молоткова подобные решения (названные там волнами, удерживаемыми кривизной границы) обобщены [3,6,8,30] на случай трехмерных неоднородных унругих сред и сосредотачиваются подобно собственным функциям типа прыгающего мячика вдоль поперечной к лучу координате.

В параграфе 5 главы 3 в плоском случае на примере сосредоточенных вблизи луча волн тина прыгающего мячика дана иллюстрация метода пограничного слоя, предложенного автором в нервом параграфе главы 3. Применение этой методики позволяет получить достаточно просто формальные разложения во всех приближениях как в случае двумерных, так и, что особенно важно, для трехмерных сред [9].

В §6 построена [2,5,7,10] высокочастотная асимптотика продольных и поперечных волн, сосредоточенных вблизи лучей в неоднородном упругом теле Я.

Четвертая глава посвящена обобщению метода локальных разложений на нестационарные задачи теории упругости в неоднородной среде. В §1 для поля нестационарной продольной волны, заданной своим пространственно временным лучевым представлением, построено [13] поле в непосредственной окрестности каустики ПВ лучевых полей и проведено согласование ПВ лучевого разложения с пограничным каустическим разложением.

В ряде работ рассматривалась задача об отражении волн, описываемых пространственно временным лучевым методом, от движу-

щейся границы. При этом использовались те или иные упрощающие предположения, главным из которых является постоянство скорости распространения волн. Кроме того предполагалось, что отражающая граница плоская и на нее падает плоская волна или что волновое поле зависит от двух пространственных координат. В §2 главы 4 диссертации для общего случая неоднородной трехмерной среды и произвольной скорости распространения волн найден закон отражения ПВ лучевых амплитуд от движущейся гиперповерхности в четырехмерном (x,t) пространстве и получен эффект Доплера. Результаты этого параграфа основаны на совместной работе с М.М.Поповым [14].

В §3 классическая задача исследования особенностей 1IB волнового поля в окрестности каустики в среде с переменной скоростью изучена методом локальных разложений. Получеппое решение [16,24,26] обладает простотой, наглядностью и универсальностью по отношению к различным классам разрывов на фронте нестационарной волны.

Эта задача рассматривалась ранее в статьях В.М.Бабича, B.C. Булдырева и Ю.Л.Газаряна и ее решение всегда находилось с использованием того или иного интегрального преобразования. В отличие от этих результатов ПВЛ метод и его модификация позволили автору найти вид асимптотического разложения поля в окрестности пространственно временной каустики и ответить на вопрос о том, как меняется аналитический вид нестационарной волны с разрывом на фронте в окрестности ПВ каустики.

Преимущества предлагаемого автором подхода по сравнению с другими методами решения состоят в его универсальности при исследовании различного вида однородных обобщенных функций, описывающих разрывы на гладком волновом фронте.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бабич В.М., Русакова (Кирпичникова) Н.Я. О распространении волн Рэлея по поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2, N 4. С.652-665.

2. Астраханцев Г.П., Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я., Кравцова Т.С. Об остро направленном распространении коротких волн. //VI Всесоюзная Акустическая Конференция. Москва, 1968. Тезисы докладов. М.: Оргкомитет VI Всесоюзной акустической конференции, 1968.

3. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. О распространении волн Лява вдоль поверхности упругого неоднородного тела произвольной формы. // Сборник "Проблемы математического анализа". Вып. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969. С. 134-140.

4. Кирпичникова Н.Я. Волны Релея, сосредоточенные вблизи луча на поверхности неоднородного упругого тела // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1969. Т. 15. Математические вопросы теории распространения волн. N 2. Ленинград. С.91-114.

5. Кирпичникова Н.Я. Сосредоточенные вблизи лучей решения уравнений теории упругости для неоднородной среды. // Вестник Ле-нингр. ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1969. Вып. 3 (N 13). С.159-161.

6. Кирпичникова Н.Я. О распространении некоторого класса приповерхностных волн для неоднородного упругого тела. // Вестник Ле-нингр. ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1969. Вып. 4 (N 19). С.153-156.

7. Кирпичникова Н.Я. О построении сосредоточенных вблизи лучей решений уравнений теории упругости для неоднородного изотропного пространства. // Труды ордена Ленина Математического института им. В.А. Стеклова. 1971. Т. CXV. Математические вопросы теории дифракции и распространения волн.1. Л.: Изд-во "Наука",1971. С.103-113.

8. Кирпичникова Н.Я. О распространении сосредоточенных вблизи лучей поверхвостных волн в неоднородном упругом теле произвольной формы // Труды ордена Ленина Математического института им. В.А. Стеклова. 1971. Т. CXV. Математические вопросы теории дифракции и распространения волн.1. Л.: Изд-во "Наука", 1971. С.114-130.

9. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. 124с.

10. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Об остронаправленном распространении упругих волн. // Numerische Methoden in der Geophysik, Geoph. Inst. Czech. Acad. Sei., Prague 1975. S. 217-223.

11. Кирпичникова Н.Я. Равномерная асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1979. Т. 89. Математические вопросы теории распространения волн. N 10. Ленинград. С.112-119.

12. Babich V.M., Kirpichnikova N.Y. The Boundary-Layer Method in Diffraction Problems. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1979. 140 p.

13. Кирпичникова Н.Я. Пространственно-временная каустика упругого коротковолнового поля. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 117. Математические вопросы теории распространения волн. N 12. Ленинград. С.147-161.

14. Кирпичникова Н.Я., Попов М.М. Отражение пространственно времепных лучевых амплитуд от движущейся границы. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 128. Математические вопросы теории распространения волн. N 13. Ленинград. С.72-88.

15. Бабич В.М., Кирпичпикова Н.Я. К вопросу о волнах Релея, распространяющихся вдоль поверхности неоднородного упругого тела. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1986. Т. 156. Математические вопросы теории распространения волн. N 16. Ленинград. С.20-23.

16. Кирпичникова Н.Я. О поведении особенностей нестационарного волнового поля вблизи каустики в среде с переменной скоростью. //Записки научных семинаров ЛОМИ. 1986. Т. 156. Математические вопросы теории распространения волн. N 16. Ленинград. С.98-108.

17. Кирпичникова Н.Я., Киселев А.П. Поляризационно-спектр-альные аномалии поверхностных волн в изотропной модели среды. // II Международное рабочее совещание "Сейсмическая анизотропия. Результаты. Проблемы. Возможности." (20-27 мая 1986, Москва). Программа и тезисы докладов. Москва, 1986. С.67.

18. Кирпичникова Н.Я. Волны на поверхности тяжелой жидкости с точки зрения пространственно-временного лучевого метода и его модификаций (линейная теория). // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 165. Математические вопросы теории распространения волн. N 17. Ленинград. С.91-101.

19. Кирпичникова Н.Я., Киселев А.П. Поляризационно-спектр-альные аномалии поверхностных волн в почти слоистом упругом полупространстве. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 165. Математические вопросы теории распространения волн. N 17. Ленинград. С.102-114.

20. Кирпичникова Н.Я., Янсон З.А. О применении пространственно-временного лучевого (ПВЛ) метода к задачам дифракции акустических и упругих волн вблизи каустик. // Теория распространения волн в упругих и унругопластических средах. Сборник научных трудов. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987. С.13-17.

21. Кирпичникова Н.Я. Методика вычисления дальнейших при-

ближениЙ в асимптотическом пространственно-временном методе га= уссовых пучков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 173. Математические вопросы теории распространения вой. N 18. Ленинград. С.104-112.

22. Кирпичникова Н.Я. Методика вычисления последующих приближений в асимптотическом пространственно-временном (ПВ) лучевом методе гауссовых пучков.11. (Изотропная неоднородная упругая среда). // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1989. Т. 179. Математические вопросы теории распространения волн. N 19. Ленинград.

С.88-100.

23. Кирпичникова Н.Я., Киселев А.П. Деполяризация упругих поверхностных волн в вертикально-неоднородном полупространстве. // Акустический журнал. 1990. Т.36, вып. 1. С.173-175.

24. Кирпичникова Н.Я. О поведении вблизи каустики нестационарного волнового поля с особенностью (типа обобщенной функции) на начальном фронте. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1990. Т. 186. Математические вопросы теории распространения волн. N 20. Ленинград. С.122-133.

25. Кирпичникова Н.Я., Киселев А.П. Об аномальной поляризации упругих волн Лява и Ралея в слоистой структуре. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1990. Т. 186. Математические вопросы теории распространения волн. N 20. Ленинград. С.134-135.

26. Кирпичникова Н.Я. Уравнения волнового фронта, лучей, фазовой функции вблизи неособого участка каустики, образованной полем пространственно- временных лучей. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1992. Т. 203. Математические вопросы теории распространения волн. N 22. Санкт-Петербург. С.92-100.

27. Кирпичникова Н.Я., Попов М.М., Пшенчик И. Алгоритм вычисления второго члена лучевого ряда в неоднородной изотропной упругой среде. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1994. Т. 210. Математические вопросы теории распространения волн. N 23. Санкт-Петербург. С.73-93.

28. Кирпичникова Н.Я., Попов М.М. Вычисление второго члена лучевого ряда в квазидвумерном случае. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1994. Т. 210. Математические вопросы теории распространения волн. N 23. Санкт-Петербург. С.94-108.

29. Кирничникова Н.Я. О вычислении второго члена лучевого ряда для вектора продольных смещений в неоднородной изотропной

упругой среде. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1994. Т. 218. Математические вопросы теории распространения волн. N 24. Санкт-Петербург. С.25-43.

30. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б. Поведение поверхностных волн при переходе через линию сопряжения на границе упругого однородного изотропного тела. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1995. Т. 230. Математические вопросы теории распространения волн. N 25. Санкт-Петербург. С.86 -102.